ÍNDICE
CONTEÚDO
Página
Análise Combinatória
Binômio de Newton
Cálculo Algébrico
139
192
25
Equação da Circunferência
Equações do 2° grau
Equações Exponenciais
ESFERA
Equações Modulares
Equações Polinomiais
Estatística
Fatoração de Polinômios
187
Funções
Função afim (1° grau)
Função definida por mais de uma sentença
30
35
Função Exponencial
Função Logarítmica
Função quadrática (2° grau)
50
50
41
Geometria Analítica
178
Geometria Espacial ( CILINDRO E CONE )
Geometria Espacial ( Prismas )
Geometria Plana
Logaritmos
Matemática Comercial
Matemática Financeira
Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares
Números Complexos
126
118
84
50
19
56
61
79
Números Inteiros
Números Irracionais
Números Naturais
Números Racionais
Números Reais
15
15
07
15
15
Poliedros
Polinômios
116
81
Probabilidade
Progressões (P. A. e P. G.)
PIRÂMIDE
Sistemas de Numeração
Teoria dos Conjuntos
Teoria Elementar dos Números
TRONCO DE CONE E PIRÂMIDE
Trigonometria
148
108
122
13
4
10
136
72
48
132
54
81
160
28
1
CALENDÁRIO 2016
ANOTAÇÕES
2
HORÁRIO DE ESTUDO
3
TEORIA DOS CONJUNTOS
açúcar e do algodão. Constatou-se que 125
associados cultivam a cana-de-açúcar, 85 cultivam o
algodão e 45 cultivam ambos.
01.(ESAF/AFC) Considere dois conjuntos, A e B, onde A
= {X1, X2, X3, X4} e B = {X1, X5, X6, X4}. Sabendo-se
que a operação Ψ é definida por AΨB = (A–B)U(B–A),
então a expressão (AΨB)ΨB é dada por:
A) { X1, X5, X4}
B) { X1, X2}
C) { X1, X2, X3, X4}
D) {X4, X6, X5}
E) {X1, X6}
Sabendo que todos os cooperativados cultivam pelo
menos uma dessas duas culturas, qual é o número de
agricultores da cooperativa?
a) 210
b) 255
c) 165
d) 125
e) 45
02. (Esaf - ANEEL) X e Y são dois conjuntos não vazios.
O conjunto X possui 64 subconjuntos. O conjunto Y, por
sua vez, possui 256 subconjuntos. Sabe-se, também, que
o conjunto Z X Y possui 2 elementos. Desse modo,
conclui-se que o número de elementos do conjunto P = Y
– X é igual a:
A) 4
B) 6
C) 8
D) vazio
E) 1
06. (Uece 2015) No colégio municipal, em uma turma
com 40 alunos, 14 gostam de Matemática, 16 gostam
de Física, 12 gostam de Química, 7 gostam de
Matemática e Física, 8 gostam de Física e Química, 5
gostam de Matemática e Química e 4 gostam das três
matérias. Nessa turma, o número de alunos que não
gostam de nenhuma das três disciplinas é
a) 6.
b) 9.
c) 12.
d) 14.
03.(UESC) No diagrama de Venn, a região sombreada
representa o conjunto:
07. (Fgv 2015) Observe o diagrama com 5
organizações intergovernamentais de integração sulamericana:
01) C (B – A)
02) C – (A B C)
03) C – (A B)
04) C B A
05) C B
A
04.(CFO/PM 2009)Sejam C, F e O os conjuntos tais que:
Os elementos do conjunto O são:
A) {3,4,6,8,9,10}
B) {1,2,9,10}
C) {3,4,6,8,9}
D) {9,10}
05. (G1 - ifpe 2016) Em uma cooperativa de agricultores
do município de Vitória de Santo Antão, foi realizada uma
consulta em relação ao cultivo da cultura da cana-de-
Dos 12 países que compõem esse diagrama, integram
exatamente 3 das organizações apenas
a) 4.
b) 5.
c) 6.
4
d) 7.
e) 8.
08. (Espm 2015) Considere os seguintes subconjuntos de
alunos de uma escola:
A: alunos com mais de 18 anos
B: alunos com mais de 25 anos
C: alunos com menos de 20 anos
Assinale a alternativa com o diagrama que melhor
representa esses conjuntos:
a)
b)
c)
d)
e)
09. (Uece 2015) Em um grupo de 300 alunos de línguas
estrangeiras, 174 alunos estudam inglês e 186 alunos
estudam chinês. Se, neste grupo, ninguém estuda outro
idioma além do inglês e do chinês, o número de alunos
deste grupo que se dedicam ao estudo de apenas um
idioma é
a) 236.
b) 240.
c) 244.
d) 246.
10. (Uemg 2015) Em uma enquete sobre a leitura dos
livros selecionados para o processo seletivo, numa
universidade de determinada cidade, foram entrevistados
1200 candidatos. 563 destes leram “Você Verá”, de Luiz
Vilela; 861 leram “O tempo é um rio que corre”, de Lya
Luft; 151 leram “Exílio”, também de Lya Luft; 365 leram
“Você Verá” e “O tempo é um rio que corre”; 37 leram
“Exílio” e “O tempo é um rio que corre”; 61 leram “Você
Verá” e “Exílio”; 25 candidatos leram as três obras e
63 não as leram.
A quantidade de candidatos que leram apenas “O
tempo é um rio que corre” equivale a
a) 434.
b) 484.
c) 454.
d) 424.
11. (Pucrj 2015) Uma pesquisa realizada com 245
atletas, sobre as atividades praticadas nos seus
treinamentos, constatou que 135 desses atletas
praticam natação, 200 praticam corrida e 40 não
utilizavam nenhuma das duas modalidades no seu
treinamento.
Então, o número de atletas que praticam natação e
corrida é:
a) 70
b) 95
c) 110
d) 125
e) 130
12. (Espcex (Aman) 2014) Uma determinada empresa
de biscoitos realizou uma pesquisa sobre a preferência
de seus consumidores em relação a seus três
produtos: biscoitos cream cracker, wafer e recheados.
Os resultados indicaram que:
- 65 pessoas compram cream crackers.
- 85 pessoas compram wafers.
- 170 pessoas compram biscoitos recheados.
- 20 pessoas compram wafers, cream crackers e
recheados.
- 50 pessoas compram cream crackers e recheados.
- 30 pessoas compram cream crackers e wafers.
- 60 pessoas compram wafers e recheados.
- 50 pessoas não compram biscoitos dessa empresa.
Determine quantas pessoas responderam a essa
pesquisa.
a) 200
b) 250
c) 320
d) 370
e) 530
13. (G1 - cp2 2014) No diagrama abaixo, as figuras A,
B e C representam conjuntos de indivíduos com uma
determinada característica. Todo indivíduo que possui
a característica A está representado dentro do conjunto
A e quem não tem a característica está fora do mesmo.
Analogamente, estão dentro de B todos os que têm a
característica B e estão dentro de C todos os que têm a
5
característica C.
Calcule:
a) o número de mulheres brasileiras não fumantes;
b) o número de homens fumantes não brasileiros;
c) o número de mulheres não brasileiras, não fumantes.
Nesse caso, a região sombreada indicará todos os
indivíduos que:
a) não têm nenhuma das três características;
b) têm pelo menos uma das três características;
c) têm apenas uma das três características;
d) têm duas das três características;
e) têm as três características.
14.(G1 - cftrj 2012) Uma das grandes paixões dos
cariocas é o desfile de escolas de samba.
16. (Ufmg) Uma pesquisa foi feita com um grupo de
pessoas que frequentam, pelo menos, uma das três
livrarias, A, B e C. Foram obtidos os seguintes dados:
- das 90 pessoas que frequentam a Livraria A, 28 não
frequentam as demais;
- das 84 pessoas que frequentam a Livraria B, 26 não
frequentam as demais;
- das 86 pessoas que frequentam a Livraria C, 24 não
frequentam as demais;
- oito pessoas frequentam as três livrarias.
a) Determine o número de pessoas que frequentam
apenas uma das livrarias.
b) Determine o número de pessoas que frequentam,
pelo menos, duas livrarias.
c) Determine o número total de pessoas ouvidas nessa
pesquisa.
Foram entrevistados alguns foliões com a seguinte
pergunta: “Em qual ou quais escolas você irá desfilar em
2012?”, e os entrevistadores chegaram a algumas
conclusões, de acordo com a tabela:
Escola de samba
Mangueira
Portela
Salgueiro
Mangueira e Portela
Portela e Salgueiro
Mangueira e Salgueiro
Mangueira, Portela e Salgueiro
Nenhuma das três
Número de foliões
1500
1200
800
600
400
200
150
700
a) Quantos foliões foram entrevistados?
b) Quantos, dentre os entrevistados, não pretendem
desfilar na Salgueiro?
15. (Pucrj 2008) Um trem viajava com 242 passageiros,
dos quais:
- 96 eram brasileiros,
- 64 eram homens,
- 47 eram fumantes,
- 51 eram homens brasileiros,
- 25 eram homens fumantes,
- 36 eram brasileiros fumantes,
- 20 eram homens brasileiros fumantes.
6
CONJUNTO NUMÉRICOS
GABARITO
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
C
B
01
A
C
D
D
D
B
B
E
B
C
a) 1500 + 350 + 350 + 250 + 700 = 3150. b) 3150
– 800 = 2350.
15. a) 29 b) 5 c) 127
16. a) 78 pessoas b) 87 pessoas c) 165 pessoas
NÚMEROS NATURAIS
EXERCÍCIOS
01. (CESGRANRIO) Se a2 = 996, b3 = 997 e c4 = 998,
então (abc)12 vale:
A) 9912
B) 9921/2
C) 9928
D) 9988
E) 9999
02 . ( PUC – MG ) Na divisão do número natural P
pelo número natural m o quociente é 13 e o resto, 5.
O menor valor de P é :
a) 44
b) 57
c) 83
d) 13
03. (UFMG) Na divisão de dois inteiros positivos, o
quociente é 16 e o resto é o maior possível. Se a soma
do dividendo e do divisor é 125, o resto é:
A) 4
B) 5
C) 6
D) 7
E) 8
04. ( PUC – MG ) Os números M e N são inteiros
positivos. Na divisão de M por N o quociente é 17 e
o resto, o maior possível. Se M – N = 407, o resto é:
24
23
21
18
16
05. ( UFMG) Um número é da forma 3a7b. Sabendose que este número é divisível por 25 e por 9, os
algarismos a e b são, respectivamente:
0 e 8
3 e 7
6 e 5
3 e 5
N.d.a
06. ( ETF – RJ ) Qual o menor número que se deve
subtrair de 21.316 para se obter um número que seja
divisível por 5 e por 9 ?
31
1
30
42
41
7
07. (UNIMONTES PAES/2007 ) Se no número m498n, m
é o algarismo da dezena de milhar e n o algarismo das
unidades e m498n é divisível por 45, então m + n vale:
6
7
8
9
08. (UNIMONTES) Um número de seis algarismos é
formado pela repetição de uma classe, por exemplo:
256256 ou 678678. Qualquer número dessa forma é
sempre divisível por
A) 13, somente.
B) 1010.
C) 11, somente.
D) 1001
09. ( UFU – MG ) São dados os conjuntos :
D = divisores positivos de 24
M = múltiplos positivos de 3
S= DM
N = números de subconjuntos de S.
Portanto, N é igual a:
64
16
32
8
4
14. (UFMG) A soma de todos os divisores do número
105 é:
a) 15
b) 16
c) 120
d) 121
e) 192
15.( Unimontes – MG ) Entre os números 20 e 35,
quantos são os números que têm apenas quatro
divisores no conjunto dos números inteiros?
a) 4
b) 3
c) 5
d) 6
16. (UFMG) Sabe-se que o número 213 – 1 é primo.
Seja n = 217 – 16. No conjunto dos números naturais, o
número de divisores de n é
a) 5
b) 8
c) 6
d) 10
10. ( Unimontes / PAES – 2004 ) Dados os conjuntos A =
{ x N / x = 3n, n N } e B = { x N– {0} /
b) - 1
c) 0
d)1
e)2
18
= n, n
x
N } , tem-se que AB é igual ao conjunto:
[3, 18 ]
Vazio
{ x N / 3 ≤ x ≤ 18 }
{ 3, 18, 6, 9 }
11. ( Fuvest) O número de divisores positivos de 360 é :
18
22
24
26
30
12. ( PUC – MG ) O número 2a . 3b tem oito divisores. Se
a.b = 3, então a + b é igual a:
1
2
3
4
60
13. (UFMG) O número 2a.3b.c divide o número 3600.
Suponha que a, b e c sejam números inteiros, positivos,
c seja um número primo maior que 3 e n com 16
divisores. Então, a + b – c será igual a:
a) - 2
17. ( UFMG ) Sabe-se que os meses de janeiro, março,
maio, julho, agosto, outubro e dezembro têm 31 dias.
O dia 31 de março de um certo ano ocorreu numa
quarta-feira. Então, 15 de outubro do mesmo ano foi:
quinta-feira
terça-feira
quarta-feira
sexta-feira
18. ( UFMG ) Seja N o menor número inteiro pelo qual
se deve multiplicar 2520 para que o resultado seja um
quadrado de um número natural. Então, a soma dos
algarismos de N é:
9
7
8
10
19. ( FCC ) Sejam os números A = 23. 32. 5 e B = 2.
33. 52 . O MDC e o MMC entre A e B valem
respectivamente :
2. 32. 5 e 23. 33. 52
2. 52. 5 e 22. 32. 5
2. 3. 5 e 23. 33. 52
22. 32. 5 e 2. 32. 5
23. 32. 52 e 2. 33. 52
8
20. (UFU-MG) Se o máximo divisor comum entre os
números 144 e (30)P é 36, em que p é um inteiro
positivo, então o expoente p é igual a:
A) 1
B) 3
C) 4
D) 2
21. ( Fuvest ) Sejam a e b o máximo divisor comum e o
mínimo múltiplo comum de 360 e 300, respectivamente.
Então o produto a.b vale :
a) 24. 34. 53
b) 25. 32. 52
c) 25. 33. 53
d) 26. 33. 52
e) 26. 34. 52
22. (UFU) Os irmãos José e Maria visitam regularmente
seu avô Pedro. José visita-o a cada 8 dias e Maria a cada
6 dias, ambos, rigorosamente, sem nunca falharem. Se
José e Maria visitaram simultaneamente o avô no primeiro
dia do ano de 2004, quantas vezes mais eles fizeram a
visita simultânea até o dia 31 de dezembro de 2006?
Obs.: Considere cada ano com 365 dias.
A) 48
B) 44
C) 46
D) 45
23. ( CFTPR ) Três vendedores encontraram-se num certo
dia na cidade de Medianeira - PR e jantaram juntos. O
primeiro vendedor visita esta cidade a cada 6 dias, o
segundo a cada 8 dias e o terceiro a cada 5 dias. Estes
três vendedores marcaram de jantar juntos novamente no
próximo encontro. Este, deverá acontecer após:
a) 480 dias.
b) 120 dias.
c) 48 dias.
d) 80 dias.
e) 60 dias.
24. ( UEL – PR ) Em 1982 ocorreu uma conjunção entre
os planetas Júpiter e Saturno, o que significa que podiam
ser vistos bem próximos um do outro quando avistados da
Terra. Se Júpiter e Saturno dão uma volta completa ao
redor do Sol aproximadamente a cada 12 e 30 anos,
respectivamente, em qual dos anos seguintes ambos
estiveram em conjunção no céu da Terra?
a) 1840
b) 1852
c) 1864
d) 1922
e) 1960
25. ( UERJ ) Dois sinais luminosos fecham juntos num
determinado instante. Um deles permanece 10 segundos
fechado e 40 segundos aberto, enquanto o outro
permanece 10 segundos fechado e 30 segundos aberto.
O número mínimo de segundos necessários, a partir
daquele instante, para que os dois sinais voltem a fechar
juntos outra vez é de:
a) 150
b) 160
c) 190
d) 200
26. ( FGV – SP ) Seja x o maior número inteiro de 4
algarismos que é divisível por 13 e y o menor número
inteiro positivo de 4 algarismos que é divisível por 17.
Se a diferença entre x e y é igual a K, a soma dos
algarismos de K é:
a) 26
b) 27
c) 28
d) 29
e) 30
27. (UESB) Um paciente deve tomar três
medicamentos distintos, em intervalos de 2:00h, 2:30h
e 3:20h respectivamente. Se esse paciente tomou os
três medicamentos às 7:00h, então deverá voltar a
tomar os três, ao mesmo tempo, às
(01) 10:00h
(02) 12:50h
(03) 15:00h
(04) 16:30h
(05) 17:00h
28. (CFO/PM 2005) Duas pessoas, fazendo exercícios
diários, partem simultaneamente de um mesmo ponto
e, andando, contornam uma pista oval que circunda um
jardim. Uma dessas pessoas dá uma volta completa na
pista em 12 minutos. A outra, andando mais devagar,
leva 20 minutos para completar a volta. Depois de
quantos minutos essas duas pessoas voltarão a se
encontrar no ponto de partida?
A. ( ) 30 minutos.
B. ( ) 45 minutos.
C. ( ) 60 minutos.
D. ( ) 240 minutos.
29.( UECE)
Dois relógios tocam uma música
periodicamente, um deles a cada 60 segundos e o
outro a cada 62 segundos. Se ambos tocaram, juntos,
às 10 horas, que horas estarão marcando os relógios
quando voltarem a tocar juntos, pela primeira vez após
as 10 horas ?
10 horas e 31 minutos
11 horas e 02 minutos
13 horas e 30 minutos
17 horas
30. (UPE-PE) Neto e Rebeca fazem diariamente uma
caminhada de duas horas em uma pista circular.
Rebeca gasta 18 minutos para completar uma volta, e
Neto, 12 minutos para completar a volta. Se eles
partem do mesmo ponto P da pista e caminham em
sentidos opostos, pode-se afirmar que o número de
vezes que o casal se encontra no ponto P é
9
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
31. (CFO/PM 2007) No alto de uma torre de uma emissora
de televisão, duas luzes "piscam" com freqüências
diferentes. A primeira "pisca" 15 vezes por minuto e a
segunda "pisca" 10 vezes por minuto. Se num certo
instante as luzes piscam simultaneamente, após quantos
segundos elas voltarão a piscar simultaneamente?
A. ( ) 12
B. ( ) 10
C. ( ) 20
D. ( ) 15
32. (UFTM) Márcia fabrica trufas de chocolate, que são
vendidas em embalagens com 5, 8 ou 12 unidades.
Renata, uma de suas vendedoras, possui em seu estoque
793 trufas, que serão todas vendidas em embalagens do
mesmo tipo. Porém, ela ainda não decidiu qual das três
embalagens irá utilizar. Nessas condições, a menor
quantidade de trufas que Márcia deverá acrescentar ao
estoque de Renata de modo que, independentemente do
tipo de embalagem utilizada, não sobre nenhuma trufa no
estoque depois da confecção das embalagens, é igual a
a) 7.
b) 11.
c) 23.
d) 39.
e) 47.
33. (UFMG) No sítio de Paulo, a colheita de laranjas ficou
entre 500 e 1500 unidades. Se essas laranjas fossem
colocadas em sacos com 50 unidades cada um, sobrariam
12 laranjas e, se fossem colocadas em sacos com 36
unidades cada um, também sobrariam 12 laranjas. Assim
sendo, quantas laranjas sobrariam se elas fossem
colocadas em sacos com 35 unidades cada um?
A) 4
B) 6
C) 7
D) 2
34. ( EEAer ) Três rolos de arame farpado têm,
respectivamente, 168 m, 264 m e 312 m. Deseja-se
cortá-los em partes de mesmo comprimento, de forma
que, cada parte, seja a maior possível. Qual o número de
partes obtidas e o comprimento, em metros de cada
parte?
a) 21 e 14
b) 23 e 16
c) 25 e 18
d) 31 e 24
35. ( FEI – SP ) Em uma sala retangular de piso plano nas
dimensões 8,80 m por 7,60 m deseja-se colocar
ladrilhos quadrados iguais, sem necessidade de recortar
nenhuma peça. A medida máxima do lado de cada
ladrilho é:
a) 10 cm
b) 20 cm
c) 30 cm
d) 40 cm
e) 50 cm
36. ( PUC / MG – 2001 ) Uma praça retangular, de
110 m de comprimento por 66 m de largura é
contornada por fileiras de palmeiras igualmente
espaçadas. A distância entre uma palmeira e a
seguinte é a mesma e a maior possível. Se em cada
vértice da praça existe uma palmeira, o número total de
palmeiras contornando a praça é :
A) 16
110
B) 18
66
C) 22
D) 24
37. ( UFMG ) Sejam a, b e c números primos
distintos, em que a > b. O máximo divisor comum e o
mínimo múltiplo comum de m = a2.b.c2 e n = a.b2 são,
respectivamente, 21 e 1764. Pode-se afirmar que a +
b+c é:
a) 9
b) 10
c) 12
d) 42
e) 62
38. (UFU-MG) Se p é um número natural primo e a
soma de todos os divisores positivos de p 2 é igual a 31,
então p é igual a:
a) 5
b) 7
c) 13
d) 3
39. (FIP-2009) Numa competição de arremesso de
disco, o vencedor conseguiu 61 m. O segundo
colocado, 58m. De quanto foi o lançamento do terceiro
colocado, sabendo-se que a diferença entre o seu
lançamento e o lançamento do segundo colocado foi
duas vezes a diferença entre o segundo colocado e o
primeiro?
A) 56m
B) 52m
C) 54m
D) 50m
40. (FIP-2009) Suponha que uma pessoa esteja
percorrendo uma pista em forma do polígono
ABCDEFGHI da figura abaixo. Saindo do ponto A, no
sentido horário, ao caminhar, ela irá contando quantos
lados já percorreu. Em qual dos vértices (A, B, C, ...)
ela estará quando disser 555.555.555.555.555?
10
41. (FIP-2010) Observe a figura abaixo, que descreve as
dimensões oficiais possíveis para um campo de futebol:
A) 91
B) 76
C) 120
D) 144
43. (FIP-2011) Um grupo de estudantes se preparava
para as provas do vestibular das FIPMoc. Ao estudar o
assunto
CONJUNTOS,
em
Matemática,
eles
observaram que o número de subconjuntos de um
conjunto era dado por 2n. Se P e Q são conjuntos que
possuem um único elemento em comum e se o número
de subconjuntos de P é igual ao dobro do número de
subconjuntos de Q, então o número de elementos do
conjunto P união Q é o:
Segundo o projeto, o comprimento do campo pode variar
de 90 a 120 metros, e a largura de 45 a 90 metros.
Admitindo que o comprimento seja um múltiplo de 10, e a
largura seja um múltiplo de 5, de quantos modos possíveis
pode ser construído o campo?
A) 80
B) 60
C) 120
D) 40
42. (FIP-2010) Pensando em contribuir com uma
alimentação mais saudável para a sua família, um
professor da rede Pitágoras está planejando uma horta em
um espaço retangular de 1,56m por 84cm, disponível em
seu quintal. Ele inicia o preparo da horta dividindo o
comprimento e a largura do terreno em partes iguais,
todas de mesma medida inteira, quando expressas em
centímetros. Dessa maneira, esse professor formou, na
superfície do terreno, um quadriculado composto por
quadrados congruentes, de modo que as medidas das
arestas de cada quadrado tivessem o maior valor possível.
Sua intenção é plantar, no centro de cada quadrado
obtido, uma única muda.
Nessas condições, a quantidade máxima de mudas que
pode ser plantada é:
A) triplo do número de elementos de P.
B) dobro do número de elementos de Q.
C) triplo do número de elementos de Q.
D) dobro do número de elementos de P.
44 .(FIP-2012) Os números primos são verdadeiras
estrelas da matemática - eles só podem ser divididos
por eles mesmos (com resultado igual a um) ou por um
(com resultado igual a ele mesmo), sem nenhuma outra
possibilidade de se conseguir um número inteiro. O
mais célebre desses números é o 2, mas o maior deles
foi descoberto no ano passado por Martin Nowak,
professor da Universidade de Harvard, nos Estados
Unidos. O número é dado pela notação 225 964 951 – 1 e
tem mais de sete milhões de dígitos, o equivalente ao
número total de letras publicadas em mais de 61
edições de Galileu.
Considere um número natural N, dado por N = 251 929 902
– 225 964 951.
A quantidade de divisores naturais do número N é:
A) 12 982 476
B) 25 964 952
C) 51 929 904
D) 103 859 804
45 .(FIP-2013) Numa prova de aquecimento, o atleta
Bruno Lins sai correndo e, após dar 200 passos, o
atleta UsainBolt parte em seu encalço. Enquanto Bolt
dá 3 passos, Lins dá 11 passos; porém, 2 passos de
11
Bolt valem 9 de Lins. É correto afirmar que, para alcançar
Bruno Lins, UsainBolt deverá dar
GABARITO
A) 480 passos
B) 240 passos
C) 120 passos
D) 80 passos
1) D
2) C
3) C
4) B
5) D
6) A
7) A
8) D
9) D
10) D
11) C
12) D
13) B
14) E
15) A
16) D
17) D
18) B
19) A
20) D
21) C
22) D
23) B
24) D
25) D
26) E
27) 5
28) C
29) A
30) C
31) A
32) E
33) D
34) D
35) D
36) A
37) C
38) A
39) B
40) A
41) D
42) A
43)B
44) C
45) B 46) A 47) A 48) A
46 (FIP).m agricultor de laranjas do norte de Minas obteve
em uma colheita a quantidade de 1500 a 2100 unidades.
Ao agrupá-las em embalagens com 50 unidades cada
uma, percebeu que sobraram 20 laranjas. Resolveu, em
seguida, reorganizá-las em embalagens com 36 unidades
cada uma, e também sobraram 20 laranjas. Desejando
obter um melhor aproveitamento, decidiu reagrupá-las em
embalagens com 23 unidades cada uma.
Quantas laranjas sobraram com a última organização?
A) 3
B) 4
C) 5
D) 6
E) 7
47.(FIP) Três ciclistas percorrem um circuito saindo
todos ao mesmo tempo, do mesmo ponto, e com o
mesmo sentido. O primeiro faz o percurso em 40 s, o
segundo em 36 s e o terceiro em 30 s
Os três ciclistas se reencontrarão no ponto de partida
pela primeira vez em:
a) 6 minutos
b) 5 minutos
c) 7 minutos
d) 8 minutos
e) 9 minutos
48.(FIP) Os noivos Carlos e Maria são médicos
plantonistas de um mesmo hospital, onde fizeram o
primeiro plantão juntos no primeiro dia do ano de 2013.
José realiza seu plantão a cada 8 dias, e Maria a cada 6
dias, ambos, rigorosamente, sem nunca falharem.
Dado: Ano = 365 dias
Quantas vezes Carlos e Maria compareceram juntos nos
plantões, até o dia 31 de dezembro de 2015?
a) 46.
b) 45.
c) 38.
d) 35.
e) 44.
12
SISTEMAS DE NUMERAÇÃO
EXERCÍCIOS
01. (UNIMONTES) O numeral na base três, que
representa o número de pontos do quadro abaixo, é
a) 123.
b) 1203.
c) 1023.
d) 3203.
02.( PAES / UNIMONTES ) Em 1962, através da Lei
2615 de ( 11000 )2 de maio de 1962, foi criada a
Fundação Norte-Mineira de Ensino Superior ( FUNM ) de
cuja transformação resultou a Universidade Estadual de
Montes Claros ( UNIMONTES ), de acordo com o artigo
82, parágrafo 3º da Constituição Mineira de ( 10101 )2 de
setembro de 1989. Ao digitar o texto acima, o digitador se
distraiu e colocou o dia das duas datas na base 2.
Escrevendo esses dias na base 10, encontramos
respectivamente :
A) 28 e 21
B) 26 e 20
C) 24 e 30
D) 24 e 21
03.(F.C.Chagas) Num sistema de numeração de base 4,
faz-se a contagem do seguinte modo: 1, 2, 3, 10, 11, 12,
13, 20, 21, 22, 23, 30...
O número 42 ( quarenta e dois ) no sistema de base 4 é
composto de:
A) 4 algarismos iguais.
B) 3 algarismos iguais.
C) 2 algarismos iguais.
D) 3 algarismos distintos.
E) 2 algarismos distintos.
04.( Unimontes) A tábua da multiplicação abaixo está
incompleta.
05.(F.G.V) Qualquer número pode ser representado na
base "2" como a soma de fatores que indicam
potências crescentes de 2, da direita para esquerda,
aparecendo o símbolo "1" se 2 elevado aquela
potência está presente na composição de número e o
símbolo "0" se 2 elevado aquela potência não está
presente na composição do número.
Por exemplo: O número 5 é representado por (101),
pois 5 = 1.(22 ) + 0.( 21 ) + 1.( 20 )
O número 9 pode ser representado por (1001), pois
9 = 1.( 23 ) + 0.( 22 ) + 0 .( 21 ) + 1.( 20 )
Utilizando os números a seguir, (10010)2 e (1010)2
representados na base "2", somando-os e
apresentando o resultado na base "2" teremos:
A) (11000)
B) (11100)
C) (11011)
D) (11101)
E) (11111)
06.(Escola Técnica Federal - RJ) Escrevendo o
número 324 num sistema de base 3 obtemos:
A) 110000
B) 101110
C) 122010
D) 210010
E) 112110
07. ( PUC – MG ) Se A = 10023, B = 2214 e C =
10012, o valor A + B – C, na base 6 é:
A) 114
B) 121
C) 141
D) 212
E) 221
13
08.( CEFET – MG ) Seja x = ( 1001) 2e
valor de ( x + y ) 16 é :
A) 5C
B) 5E
C) 46
D) 92
E) 125
y = ( 123 ) 8. O
reconhece a letra “e” minúscula.
De acordo com parte da tabela ASCII abaixo, o sinal
elétrico indicado corresponde ao símbolo:
A) Y
B) Z
C) [
D) \
E) ]
09. ( UFLA – MG ) Dois números a e b, são
representados em uma base x por 100 e 102,
respectivamente. O produto a.b é representado na base
5 por344. A base x é:
A) 3
B) 2
C) 5
D) 7
E) 9
10.(UNIMONTES) No sistema de numeração em base 5, a
contagem é feita assim: 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14, 20,
21, ... O número 69, na base 10, quando descrito em base
5, é um número formado por
A) 3 dígitos consecutivos.
B) 2 dígitos consecutivos.
C) 2 dígitos não consecutivos.
D) 3 dígitos não consecutivos.
11. (UNIMONTES) Um número de 3 dígitos tem, da
esquerda para a direita, os dígitos h, t e u, sendo h >u.
Quando o número com os dígitos em posição reversa é
subtraído do número original, o dígito da unidade da
diferença é 4. Então, os dois dígitos seguintes, da direita
para a esquerda, são
A) 9 e 5.
B) 5 e 4.
C) 5 e 9.
D) 4 e 5.
GABARITO
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
B
D
B
B
B
A
C
A
A
A
A
C
12. O computador trabalha convertendo pulsos elétricos
em números binários onde cada conjunto binário de oito
dígitos é chamado de BYTE e cada dígito desse número é
chamado de BIT. Cada BYTE pode ser convertido para o
sistema decimal e esse número corresponde a um
caractere padronizado em uma tabela chamada de ASCII.
Veja o exemplo abaixo:
Quando o computador recebe o sinal elétrico acima, ele
14
a) 1/5
b) 1/4
c) 1/3
d) 1/2
O CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS,
RACIONAIS, IRRACIONAIS E REAIS
EXERCÍCIOS
07. ( CFTCE ) O valor da expressão [(0, 5)2]8.
01. ( PUC – MG) Em uma caixa há m pirulitos. Depois
2
que a criança A retira
do total de pirulitos dessa caixa
7
e a criança B retira 11 pirulitos, ainda restam na caixa,
2
de m. O valor de m é :
5
A) 25
B) 30
C) 35
D) 40
02. ( Fatec – SP ) Se A = (–3) – 2 , B = – 3 + (–2) e C
= (–3 –2)2, então C + A × B é igual a
a) –150
b) –100
c) 50
d) 10
e) 0
2
2
2
04. ( UNIP ) Simplificando-se a expressão [(23)2]3, obtémse:
a) 66
b) 68
c) 28
d) 218
e) 224
05. ( UEL – PR ) Se x e y são números reais, então a
única alternativa correta é:
b)
c)
d)
e)
y
3x
y
(2x . 3y)2 = 22x . 32y
(2x – 3x)y = 2xy – 3xy = –1xy
5 x + 3x = 8 x
3 . 2 x = 6x
3
como uma só potência de 2 é:
08. ( UFJF ) A soma 3.103 + 3.100 + 3.10– 1 é igual a:
A) 303,3
B) 27000. 1
30
2
03. ( Fuvest – SP ) Qual desses números é igual a 0,064
?
a) ( 1/80 )2
b) ( 1/8 )2
c) ( 2/5 )3
d) ( 1/800 )2
e) ( 8/10 )3
a) 3 x
1 2
64
a) 2 16
b) 2 18
c) 2 20
d) 2 22
e) 2 24
C) 3001,01
D) 3001,3
E) 3003,3
09. ( Fuvest – SP ) O valor de ( 0,2 )3 + ( 0,16 )2é
A) 0,0264
B) 0,0336
C) 0,1056
D) 0,2568
E) 0,6256
10. ( PUC – RJ ) O maior número a seguir é:
a) 3 31
b) 8 10
c)16 8
d) 81 6
e) 243 4
11. ( UFG – GO ) O número
18 8 2 é igual a:
A) 8
B) 4
C)
18 6
D) 10 2
E) 0
12. ( Unaerp – SP ) O valor da expressão
quando a
2 3 –
06. ( PUC – MG ) O resultado da expressão {[2 : (2 . 2 ) ]
3
} / 2 é:
9
a 3 .b 2 . c
,
d
1
, b = – 2, c = 4 e d = – 8 é :
2
A) – 8
B) – 4
C) – 2
D) – 1/4
15
E) – 1/8
13. ( Izabela Hendrix – BH ) Se 2k = x e 2t = y, então 22k
+ 3t
é:
A) 2x + 3y
B) x.y
C) x + y
D) x2. y3
E) x3. y2
14. ( PUC – MG ) O produto 21,2222.... 20,133333...é igual a :
A) 2.51 2 9
B) 2.
49
2
45
2 16
C) 2.
18. (UFMG) O valor de 10–2 . [(–3)2 – (–2)3] 3 0,001
é:
A) –17
B) – 1,7
C) – 0,1
D) 0,1
E) 1,7
19. (FUVEST) O valor da expressão
A)
2
B)
1
2 2
2 1
é:
2
C) 2
11
D)
D) 2.30 2
E)
1
2
2 1
E) 2.25 2 12
20. (FGV-SP) Simplificando-se a expressão
15. ( PUC – SP ) O valor da expressão
3
2 1 2 1
2
2
3 2 é:
3
2
D)
1
2
3
E) 2 3 2
1
16. (USP) Sela
a
a fração geratriz da dízima 0,1222...
b
com a e b primos entre si. Nestas condições, temos:
A) ab = 990
B) ab = 900
C) a – b = 8
D) a + b = 110
E) b – a = 79
17. (UFMG) Efetuando as operações indicadas na
A) 0,220
B) 0,226
C) 0,296
D) 0,560
E) 0,650
obteremos:
D) 2 2 3
E) 2 6
expressão
2
3 2
C) 2 2 2 3
B) 3 3
C)
A) 2 2
B) 3 2 3
A) 2 2
1
2
6
1
3 2
1
0,01 0,12 0,142 0,04 obtemos:
3
21.(Bombeiros-MG) Considere os números reais a, b
c
b
0 e
0 Nessas
e c tais que : a b c,
b
a
condições podemos afirmar que:
22. (Bombeiros-MG) Sejam p e q dois números
primos. Sabe-se que a soma dos divisores naturais de
p2 é 133, e que a soma dos divisores naturais de 2q é
18. O valor de p + q é
A) 10
B) 7
C) 18
D) 16
23. (G1 - ifsp) Um pesquisador tem à disposição
quatro frascos com a mesma substância. No frasco I,
há um quarto de litro dessa substância; no frasco II, há
um quinto de litro dessa substância; no III, há um oitavo
de litro dessa substância; e no frasco IV há um décimo
16
de litro da substância. Se ele utilizar os dois frascos que
mais contêm dessa substância, ele terá utilizado, ao todo:
a) dois nonos de litro.
b) dois dezoito avos de litro.
c) nove vinte avos de litro.
d) nove quarenta avos de litro.
e) um nono de litro.
3 5 4
3
, ,
e , a
7 6 9
5
divisão do menor deles pelo maior é igual a
27
a)
.
28
18
b)
.
25
18
c)
.
35
20
.
d)
27
24. (Uece) Dados os números racionais
25. (G1 - cp2) Veja a lista de meses e seus respectivos
códigos:
Janeiro: 7.1.10
Fevereiro: 9.2.6
Março: 5.3.13
Abril: 5.4.1
Maio: 4.5.13
Junho: 5.6.10
Julho: 5.7.10
Qual é o código para o mês de Agosto?
a) 8.6.1
b) 6.7.10
c) 5.8.10
d) 6.8.1
26. (Uerj) O segmento XY, indicado na reta numérica
abaixo, está dividido em dez segmentos congruentes
pelos pontos A, B, C, D, E, F, G, H e I.
17
30
7
d)
10
c)
27. (Enem) Deseja-se comprar lentes para óculos. As
lentes devem ter espessuras mais próximas possíveis
da medida 3 mm. No estoque de uma loja, há lentes de
espessuras: 3,10 mm; 3,021mm; 2,96 mm; 2,099 mm
e 3,07 mm.
Se as lentes forem adquiridas nessa loja, a espessura
escolhida será, em milímetros, de
a) 2,099.
b) 2,96.
c) 3,021.
d) 3,07.
e) 3,10.
28. (Fgv) A raiz quadrada da diferença entre a dízima
periódica 0,444... e o decimal de representação finita
10 vezes
64 7 48
0, 444...4 é igual a 1 dividido por
a) 90.000.
b) 120.000.
c) 150.000.
d) 160.000.
e) 220.000.
29. (G1 - cftmg) Um grupo de alunos cria um jogo de
cartas, em que cada uma apresenta uma operação
com números racionais. O ganhador é aquele que
obtiver um número inteiro como resultado da soma de
suas cartas. Quatro jovens ao jogar receberam as
seguintes cartas:
Maria
Selton
Admita que X e Y representem, respectivamente, os
3
1
números
e .
6
2
O ponto D representa o seguinte número:
1
a)
5
8
b)
15
Tadeu
Valentina
1ª carta
4
1,333...
5
1
0,222...
5
3
1,111...
10
7
0,666...
2
2ª carta
7
1,2
3
1
0,3
6
8
1,7
9
1
0,1
2
O vencedor do jogo foi
a) Maria.
b) Selton.
c) Tadeu.
d) Valentina.
17
30. (Fuvest) O número real x, que satisfaz 3 < x < 4, tem
uma expansão decimal na qual os 999.999 primeiros
dígitos à direita da vírgula são iguais a 3. Os 1.000.001
dígitos seguintes são iguais a 2 e os restantes são iguais a
zero.
Considere as seguintes afirmações:
I. x é irracional.
10
II. x
3
III. x 102.000.000 é um inteiro par.
Então,
a) nenhuma das três afirmações é verdadeira.
b) apenas as afirmações I e II são verdadeiras.
c) apenas a afirmação I é verdadeira.
d) apenas a afirmação II é verdadeira.
e) apenas a afirmação III é verdadeira.
13)
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22)
23)
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
32)
D
C
E
E
A
B
A
B
C
D
C
C
D
D
C
C
C
E
36
A
31. (G1 - cp2) Operações realizadas com os números
internos da figura resultam no número que aparece no
centro. Este número também é obtido com operações
realizadas com os números externos. Qual o número que
substitui corretamente a interrogação?
32. (G1 - cftrj) Qual é o valor da expressão numérica
1 1
1
1
?
5 50 500 5000
a) 0,2222
b) 0,2323
c) 0,2332
d) 0,3222
GABARITO
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
C
E
C
D
B
D
C
E
B
A
E
A
18
MATEMÁTICA COMERCIAL
QUESTÕES
01.(Enem )No depósito de uma biblioteca há caixas
contendo folhas de papel de 0,1 mm de espessura, e em
cada uma delas estão anotadas 10 títulos de livros
diferentes. Essas folhas foram empilhadas formando uma
torre vertical de 1 m de altura.
Qual a representação, em potência de 10, correspondente
à quantidade de títulos de livros registrados nesse
empilhamento?
A) 102
B) 104
C) 105
D) 106
E) 107
02.(ENEM) Os calendários usados pelos diferentes povos
da terra são muito variados. O calendário islâmico, por
exemplo, é lunar, e nele cada mês tem sincronia com a
fase da lua. O calendário maia segue o ciclo de Vênus,
com cerca de 584 dias, e cada 5 ciclos de Vênus
corresponde a 8 anos de 365 dias da terra.
MATSSURA, Oscar. Calendário e o fluxo do tempo.
Scientific
American
Brasil.
Disponível
em:
http://www.uol.com.br Acesso em: 14 out. 2008 (adaptado)
Quantos ciclos teria, em Vênus, um período terrestre
de 48 anos?
(A) 30 ciclos.
(B) 40 ciclos.
(C) 73 ciclos.
(D) 240 ciclos.
(E) 384 ciclos.
03(ENEM) Pneus usados geralmente são descartados de
forma inadequada, favorecendo a proliferação de insetos e
roedores e provocando sérios problemas de saúde
pública. Estima-se que, no Brasil, a cada ano, sejam
descartados 20 milhões de pneus usados. Como
alternativa para dar uma destinação final a esses pneus, a
Petrobras, em sua unidade de São Mateus do Sul, no
Paraná, desenvolveu um processo de obtenção de
combustível a partir da mistura dos pneus com xisto. Esse
procedimento permite, a partir de uma tonelada de pneu,
um rendimento de cerca de 530 kg de óleo.
Disponível em: http://www.ambientebrasil.com.br. Acesso
em 3 out. 2008 (adaptado)
Considerando que uma tonelada corresponde, em média,
a cerca de 200 pneus, se todos os pneus descartados
anualmente fossem utilizados no processo de obtenção de
combustível pela mistura com xisto, seriam então
produzidas
(A) 5,3 mil toneladas de óleo.
(B) 53 mil toneladas de óleo.
(C) 530 mil toneladas de óleo.
(D) 5,3 milhões de toneladas de óleo.
(E) 530 milhões de toneladas de óleo.
04.(ENEM) No monte do Cerro Amazones, no deserto
do Atacama, no Chile, ficará o maior telescópio da
superfície
terrestre,
o
Telescópio
Europeu
Extremamente Grande (E – ELT). O E–ELT terá um
espelho primário de 42m de diâmetro, “O maior olho
do mundo voltado para o céu”.
Ao ler o texto em sala de aula, a professora fez uma
suposição de que o diâmetro do olho humano mede
aproximadamente 2,1cm.
Qual a razão entre o diâmetro do olho humano, e o
diâmetro do espelho primário do telescópio citado?
a) 1:20;
b) 1:100;
c) 1:200;
d) 1:1000;
e) 1:2000.
05.(PUC-MG) Um caminhão pode carregar 52 sacos de
areia ou 416 tijolos. Se forem colocados no caminhão
30 sacos de areia, o número de tijolos que ele ainda
pode carregar é:
A) 144
B) 156
C) 176
D) 194
06.(Unimontes)Um artesão faz um trabalho em 10
dias. O mesmo trabalho é feito por outro artesão em 15
dias. Se os dois trabalhassem juntos, quantos dias
gastariam para fazer o trabalho?
A) 6 dias.
B) 5 dias.
C) 12 dias e 12 horas.
D) 9 dias.
07. (UFMG) As dimensões de uma caixa retangular são
3cm, 20mm e 0,07m. O volume dessa caixa, em
mililitros, é
A) 0,42
B) 4,2
C) 42
D) 420
E) 4200
08. (UFOP) Na planta de uma casa, escala 1:100, a
área de uma sala retangular, com dimensões de 5 m
por 6 m, é:
A) 0,3 cm2
B) 3 cm2
C) 15 cm2
D) 30 cm2
E) 150 cm2
09.(UFMG) Na maqueta de um prédio, feita na escala
1:1000, a piscina com a forma de um cilindro circular
reto, tem a capacidade de 0,6 cm3. O volume, em litros,
dessa piscina será:
A) 600
B) 6.000
C) 60.000
D) 600.000
E) 6.000.000
19
10.(PUC) Um elevador pode levar 20 adultos ou 24
crianças. Se 15 adultos já estão no elevador, quantas
crianças podem ainda entrar ?
A) 5
B) 6
C) 7
D) 8
E) 9
11.(ENEM) A figura a seguir mostra as medidas reais de
uma aeronave que será fabricada para utilização por
companhias de transporte aéreo. Um engenheiro precisa
fazer o desenho desse avião em escala de 1:150.
Para o engenheiro fazer esse desenho em uma folha de
papel, deixando uma margem de 1 cm em relação às
bordas da folha, quais as dimensões mínimas, em
centímetros, que essa folha deverá ter?
A) 2,9 cm × 3,4 cm.
B) 3,9 cm × 4,4 cm.
C) 20 cm × 25 cm.
D) 21 cm × 26 cm.
E) 192 cm × 242 cm.
12.Se dois carteiros, de igual capacidade de produção,
entregam uma certa quantidade de cartas em 5 horas, em
quanto tempo três carteiros, de mesma capacidade de
produção que os anteriores, entregarão a mesma
quantidade de cartas?
A. 3h 40min
B. 3h 33min
C. 3h 20min
D. 3h 10min
E. 3h
13. (UFMG) Se, para encher um tanque, uma torneira A
gasta 3 h, e outra, B, gasta 7 horas, ambas abertas ao
mesmo tempo levam:
A) 1 h 50 min.
B) 2 h 06 min
C) 2 h 10 min
D) 2 h 20 min
E) 2 h 30 min
14. (UFMG) Dois operários, juntos, realizam uma tarefa
em 5 horas. Sabendo que, trabalhando isoladamente. o
primeiro gasta a metade do tempo do segundo.
concluímos que o primeiro operário, sozinho, realiza a
tarefa em
A) 6 h 40 min
B) 7 h 10 min
C) 7 h 50 min
D) 7 h 30 min
E) 8 h 10 min
15. (CESGRANRIO) Uma torneira enche um tanque
em 4 horas. O ralo do tanque pode esvaziá-lo em 3
horas.
Estando
o
tanque
cheio,
abrimos,
simultaneamente a torneira e o ralo. Então o tanque,
nunca se esvazia.
A) esvazia-se em 1 hora.
B) esvazia-se em 4 horas.
C) esvazia-se em 7 horas.
D) esvazia-se em 12 horas.
16. ( UFT – TO ) Em uma fazenda produtora de soja
duas colheitadeiras A e B são utilizadas para a
colheita da produção. Quando trabalham juntas
conseguem fazer toda a colheita em 72 horas. Porém,
utilizando apenas a colheitadeira A, em 120 horas. Se
o produtor utilizar apenas a colheitadeira B, toda a
colheita será feita em:
a) 180 horas
b) 165 horas
c) 157 horas
d) 192 horas
17. Uma verba de R$ 2.700.000,00 deve ser dividida
entre os municípios A, B e C em partes proporcionais
ao número de matrículas no Ensino Fundamental de
cada um deles. O número de alunos matriculados de A
é o dobro do número de alunos matriculados de B
que, por sua vez, tem o triplo do número de matrículas
de C. Com base nessas informações, pode-se afirmar
que o município A deverá receber, em milhares de
reais, uma quantia igual a:
a) 270
b) 810
c) 1270
d) 1620
18. Uma mina d'água localiza-se na divisa de dois
sítios. Os dois proprietários, Sr. Edson e Sr. José,
resolveram construir, na saída da mina, uma caixa de
água coberta e vão dividir as despesas entre si, em
partes inversamente proporcionais às distâncias de
suas casas em relação à mina. Se as despesas
totalizarem R$ 5.600,00 e se as casas do Sr. Edson e
do Sr. José distam, respectivamente, 5 km e 3 km
da mina, então a parte da despesa que caberá ao Sr.
20
Edson é
a) R$ 1.900,00
b) R$ 2.100,00
c) R$ 2.200,00
d) R$ 3.100,00
e) R$ 3.500,00
A) 36% ; 7% ; 7,2
B) 0,36% ; 70% ; 7,2
C) 0,36% ; 7% ; 72
D) 36% ; 70% ; 72
E) 3,6% ; 7% ; 7,2
19. ( UNICAMP – SP ) Uma obra será executada por 13
operários (de mesma capacidade de trabalho) trabalhando
durante 11 dias com jornada de trabalho de 6 horas por
dia. Decorridos 8 dias do início da obra 3 operários
adoeceram e a obra deverá ser concluída pelos operários
restantes no prazo estabelecido anteriormente. Qual
deverá ser a jornada diária de trabalho dos operários
restantes nos dias que faltam para a conclusão da obra no
prazo previsto?
a) 7h 42
b) 7h 44
c) 7h 46
d) 7h 48
e) 7h 50
24(FIP).O Sr. Jair, proprietário de uma gráfica na
cidade de Montes Claros, possui duas impressoras de
modelos diferentes, utilizadas para a impressão de
panfletos, mantendo cada qual sua velocidade de
produção constante. Ao iniciar um serviço que lhe foi
encomendado, percebeu que uma das máquinas não
está funcionando. Para a realização desse serviço, as
duas máquinas trabalhando juntas conseguem realizálo em 2 horas e 40 minutos, e a máquina que quebrou,
funcionando sozinha, mantendo sua velocidade
constante,
realizaria
um
terço
do
trabalho
encomendado em 1 hora e 20 minutos.
20.Um carro bicombustível percorre 8 km com um litro de
álcool e 11 km com um litro do combustível constituído de
75% de gasolina e de 25% de álcool, composição
adotada, atualmente, no Brasil. Recentemente, o Governo
brasileiro acenou para uma possível redução, nessa
mistura, da porcentagem de álcool, que passaria a ser de
20%. Suponha que o número de quilômetros que esse
carro percorre com um litro dessa mistura varia
linearmente de acordo com a proporção de álcool
utilizada. Então, é CORRETO afirmar que, se for utilizado
um litro da nova mistura proposta pelo Governo, esse
carro percorrerá um total de
A) 11,20 km .
B) 11,35 km .
C) 11,50 km .
D) 11,60 km .
21. (CTSP) O valor de √9% é:
A) 30%
B) 30
C) 3
D) 3%
22. ( MACK – 2001 ) Numa festa, a razão entre o número
13
de moças e o de rapazes é
. A porcentagem de
12
rapazes na festa é :
a) 44%
b) 45%
c) 40%
d) 48%
e) 46%
23. ( Fuvest – SP ) O quadrado de 6%, a raiz quadrada
positiva de 49% e 4% de 180 valem, respectivamente :
Utilizando apenas a máquina que não está quebrada,
mantendo sua velocidade de produção constante, o
serviço ficará pronto em
a) 8 horas.
b) 6 horas.
c) 7 horas.
d) 4 horas.
e) 5 horas.
25(FIP).As famílias Kent, Stark e Wayne realizaram
uma viagem juntas, cada uma em seu carro. Cada
família sabe muito bem o quanto o seu carro consome
de gasolina. O quadro a seguir mostra o carro de cada
uma das famílias, com os respectivos consumos
médios.
Nessa viagem, eles sempre pagaram a gasolina com o
mesmo cartão de crédito. Ao final, eles perceberam
que consumiram 1 200 litros de gasolina e gastaram 3
mil reais com esses abastecimentos. Decidiram dividir
a despesa de forma proporcional ao que cada família
consumiu.
Quanto deverá pagar a família Stark ?
a) R$ 1 000,00
b) R$ 750,00
c) R$ 1 050,00
d) R$ 1 250,00
e) R$ 1 800,00
26(FIP). O gerente de uma academia de dança faz uma
promoção para aumentar o número de frequentadores,
21
tanto do sexo masculino quanto do feminino. Com a
promoção, o número de frequentadores do sexo masculino
aumentou de 80 para 126 e, apesar disso, o percentual da
participação de homens caiu de 40% para 28%.
O número de mulheres que frequentam essa academia,
após a promoção, teve um aumento de:
a) 170%
b) 70%
c) 200%
d) 112%
e) 240%
27(FIP). Atualmente, a concentração do álcool na gasolina
brasileira, segundo o Conselho Nacional de Petróleo, é de
30%. Um posto de gasolina, após uma fiscalização, foi
interditado, pois a gasolina possuía concentração de 40%
de álcool. Havia, nesse posto, um estoque de 60.000 litros
dessa gasolina adulterada. O órgão exigiu que fosse
adicionado gasolina pura nessa mistura, a fim de ficar de
acordo com a legislação.
O número de litros de gasolina pura que deve ser
adicionado é:
Segundo o plano, em 2030, a oferta total de energia do
país irá atingir 557 milhões de tep (toneladas
equivalentes de petróleo). Nesse caso, podemos prever
que a parcela oriunda de fontes renováveis, indicada
em cinza na figura, equivalerá a
a) 178,240 milhões de tep.
b) 297,995 milhões de tep.
c) 353,138 milhões de tep.
d) 259,562 milhões de tep.
28(FIP). Hércules é síndico de um edifício que possui 4
andares, com 4 apartamentos por andar, sendo que em
cada andar 2 apartamentos possuem 60 m2, e 2 possuem
80 m2.. O gasto mensal com a administração do edifício é
de R$ 6.720,00. Em uma assembleia, ficou decidido que o
valor do condomínio seria proporcional à área do
apartamento.
30. (Fac. Albert Einstein - Medicin) Suponha que, em
certo país, observou-se que o número de exames por
imagem, em milhões por ano, havia crescido segundo
os termos de uma progressão aritmética de razão 6,
chegando a 94 milhões / ano, ao final de 10 anos.
Nessas condições, o aumento percentual do número de
tais exames, desde o ano da observação até ao final do
período considerado, foi de
a) 130%.
b) 135%.
c) 136%.
d) 138%.
Um apartamento de 60 m2 deve pagar uma cota de:
31. (Unesp) Em um terreno retangular ABCD, de
a) R$ 360,00.
b) R$ 720,00.
c) R$ 480,00.
d) R$ 420,00.
e) R$ 300,00.
20 m2 , serão construídos um deque e um lago, ambos
de superfícies retangulares de mesma largura, com as
medidas indicadas na figura. O projeto de construção
ainda prevê o plantio de grama na área restante, que
corresponde a 48% do terreno.
a) 20 000.
b) 16 000.
c) 25 000.
d) 24 000.
e) 18 000.
29. (Unicamp) A figura abaixo exibe, em porcentagem, a
previsão da oferta de energia no Brasil em 2030, segundo
o Plano Nacional de Energia.
22
No projeto descrito, a área da superfície do lago, em m2,
será igual a
a) 4,1.
b) 4,2.
c) 3,9.
d) 4,0.
e) 3,8.
32. (G1 - cftmg) Em uma empresa, 10 funcionários
produzem 150 peças em 30 dias úteis. O número de
funcionários que a empresa vai precisar para produzir
200 peças, em 20 dias úteis, é igual a
a) 18.
b) 20.
c) 22.
d) 24.
33. (G1 - cp2) Em tempos de escassez de água, toda
medida de economia é bem vinda. Num banho de 15
minutos com chuveiro aberto são gastos cerca de 135
litros de água. Daniel resolveu reduzir seu banho para 9
minutos, obtendo assim uma economia de água a cada
banho.
Se Daniel tomar apenas um banho por dia, em um mês ele
terá economizado (considere 1 mês como tendo 30 dias)
a) 1620 litros.
b) 2510 litros.
c) 5700 litros.
d) 3250 litros.
34. (G1 - ifpe) Um aluno do curso de Mecânica, do IFPE,
recebeu o desenho de uma peça, fez as devidas medições
e, a partir de sua escala, fabricou a peça. Se a largura da
peça no desenho tinha 1,5 mm e a largura da peça já
fabricada tinha 45 cm, qual a escala do desenho?
a) 1: 3
b) 1: 30
c) 1: 300
d) 1: 3.000
e) 1: 30.000
35. (G1 - ifsp) Em março de 2015, na Síria, de acordo
com informações divulgadas pela Organização das
Nações Unidas (ONU), 4 em cada 5 sírios viviam na
pobreza e miséria. Sendo assim, a razão entre o
número de habitantes que viviam na pobreza e miséria
e o número de habitantes que não viviam na pobreza e
miséria, naquele país, em março de 2015, podia ser
representada pela fração:
4
a) .
5
4
b) .
1
1
c) .
4
1
d) .
5
4
e) .
9
36. (G1 - cftmg) Numa fábrica de peças de automóvel,
200 funcionários trabalhando 8 horas por dia
produzem, juntos, 5.000 peças por dia. Devido à crise,
essa fábrica demitiu 80 desses funcionários e a
jornada de trabalho dos restantes passou a ser de 6
horas diárias.
Nessas condições, o número de peças produzidas por
dia passou a ser de
a) 1.666.
b) 2.250.
c) 3.000.
d) 3.750.
37. (G1 - cp2) A latinha de alumínio é o material mais
reciclado nas grandes cidades. Um quilograma de
latinhas é formado, em média, por 75 latinhas.
Considerando que o quilograma de latinhas pode ser
vendido por R$ 4,50 e sabendo que o salário mínimo
23
nacional tem um valor diário de aproximadamente
R$ 27,00, então o número necessário de latinhas
vendidas, por dia, para se atingir esse valor é de
a) 225.
b) 450.
c) 500.
d) 1250.
38. (G1 - ifsc) Em um determinado local e horário do dia,
Márcio observou que sua sombra era de 1 metro e que a
sombra projetada por um prédio em construção, no
mesmo local e horário em que ele estava, era de 10
metros.
Sabendo-se que Márcio tem 1,62 m de altura, é
CORRETO afirmar que a altura desse prédio é de,
aproximadamente,
a) 6,2 metros.
b) 8,1 metros.
c) 16,2 metros.
d) 14 metros.
e) 13,8 metros.
39. (Enem) Uma pessoa compra semanalmente, numa
mesma loja, sempre a mesma quantidade de um produto
que custa R$10,00 a unidade. Como já sabe quanto deve
gastar, leva sempre R$6,00 a mais do que a quantia
necessária para comprar tal quantidade, para o caso de
eventuais despesas extras. Entretanto, um dia, ao chegar
à loja, foi informada de que o preço daquele produto havia
aumentado 20%. Devido a esse reajuste, concluiu que o
dinheiro levado era a quantia exata para comprar duas
unidades a menos em relação à quantidade habitualmente
comprada.
b)
c)
d)
e)
R$156,00.
R$84,00.
R$46,00.
R$24,00.
GABARITO
1. C
2. A
3. B
4. E
5. C
6. A
7. C
8. D
9. D
10. B
11. D
12. C
13. D
14. B
15. D
16. A
17. D
18. B
19. D
20. A
21. A
22. D
23. B
24. A
25. A
26. A
27. A
28. A
29. D
30. B
31. D
32. B
33. A
34. C
35. B
36. B
37. B
38. C
39. B
A quantia que essa pessoa levava semanalmente para
fazer a compra era
a) R$166,00.
24
CÁLCULO ALGÉBRICO
c) múltiplo de 3
d) divisor de 5
EXPRESSÃO ALGÉBRICA E EQUAÇÕES
EXERCÍCIOS
01.(Upf 2015) Um grupo de amigos planejou fazer um
“pão com linguiça” (PL) para comemorar o aniversário de
um deles. Cada participante deveria contribuir com
R$ 11,00. No dia marcado, entretanto, 3 desses amigos
tiveram um imprevisto e não puderam comparecer. Para
cobrir as despesas, cada um dos que compareceram
contribuiu com R$ 14,00, e, do valor total arrecadado,
sobraram R$ 3,00 (que mais tarde foram divididos entre
os que pagaram). Quantas pessoas compareceram à
festa?
a)
b)
c)
d)
e)
10
11
12
13
15
02. (Unifor 2014) Uma indústria de cimento contrata uma
transportadora de caminhões para fazer a entrega de 60
toneladas de cimento por dia em Fortaleza. Devido a
problemas operacionais diversos, em certo dia, cada
caminhão foi carregado com 500 kg a menos que o usual,
fazendo com que a transportadora nesse dia contratasse
mais 4 caminhões para cumprir o contrato. Baseado nos
dados acima se pode afirmar que o número de caminhões
usado naquele dia foi:
a) 24
b) 25
c) 26
d) 27
e) 28
03.(Espm 2012) Se três empadas mais sete coxinhas
custaram R$ 22,78 e duas empadas mais oito coxinhas
custaram R$ 20,22, o valor de uma empada mais três
coxinhas será:
a) R$ 8,60
b) R$ 7,80
c) R$ 10,40
d) R$ 5,40
e) R$ 13,00
04. (G1 - epcar (Cpcar) 2016) As idades de dois irmãos
hoje são números inteiros e consecutivos.
Daqui a 4 anos, a diferença entre as idades deles será
1
da idade do mais velho.
10
A soma das idades desses irmãos, hoje, é um número
a) primo.
b) que divide 100
05. (G1 - utfpr 2015) A soma de dois números é 64,
se um é o triplo do outro a diferença entre os dois é:
a) 16.
b) 25.
c) 27.
d) 31.
e) 32.
06.(G1 - cftce 2005) De um recipiente cheio de água,
tira-se 2/3 de seu conteúdo; recolocando-se 30 litros de
água, o conteúdo passa a ocupar a metade do volume
inicial. A capacidade do recipiente é ____ litros:
a) 45
b) 75
c) 120
d) 150
e) 180
07. (Uece 2016) Num certo instante, uma caixa-d’água
está com um volume de líquido correspondente a um
terço de sua capacidade total. Ao retirarmos 80 litros
de água, o volume de água restante na caixa
corresponde a um quarto de sua capacidade total.
Nesse instante, o volume de água, em litros,
necessário para encher totalmente a caixa-d’água é
a) 720.
b) 740.
c) 700.
d) 760.
08. (Fuvest) Um empreiteiro contratou um serviço com
um grupo de trabalhadores pelo valor de R$ 10.800,00
a serem igualmente divididos entre eles. Como três
desistiram do trabalho, o valor contratado foi dividido
igualmente entre os demais. Assim, o empreiteiro
pagou, a cada um dos trabalhadores que realizaram o
serviço, R$ 600,00 além do combinado no acordo
original.
a) Quantos trabalhadores realizaram o serviço?
b) Quanto recebeu cada um deles?
09. (Fuvest 1989) Um açougue vende dois tipos de
carne: de 1a a Cz$ 1.200,00 o quilo e de 2a a Cz$
1.000,00 o quilo. Se um cliente pagou Cz$ 1.050,00 por
25
um quilo de carne, então necessariamente ele comprou
a) 300 g de carne de 1a
b) 400 g de carne de 1a
c) 600 g de carne de 1a
d) 350 g de carne de 1a
e) 250 g de carne de 1a
10. (G1 - ifsul 2015) Um móvel de R$ 360, 00 deveria ser
comprado por um grupo de rapazes que contribuíram em
partes iguais. Como 4 deles desistiram, os outros
precisaram aumentar a sua participação em R$ 15, 00
cada um.
Qual era a quantidade inicial de rapazes?
a) 8
b) 12
c) 15
d) 20
11. (Unioeste 2012) Um quintal tem a forma de um
retângulo tal que a medida de um de seus lados é o triplo
da medida do outro e seu perímetro em metros é igual à
sua área em metros quadrados. Neste caso, quanto mede
o maior lado do quintal?
a) 3 m.
b) 4 m.
c) 8 m.
d) 6 m.
e) 18 m.
12. (UFSJ)Deseja-se dividir igualmente 1.200 reais entre
algumas pessoas. Se três dessas pessoas desistirem de
suas partes, fazem com que cada uma das demais
receba, além do que receberia normalmente, um adicional
de 90 reais. Nessas circunstâncias, é CORRETO afirmar
que
a) se apenas duas pessoas desistissem do dinheiro, cada
uma das demais receberia 60 reais.
b) com a desistência das três pessoas, cada uma das
demais recebeu 150 reais.
c) inicialmente, o dinheiro seria dividido entre oito pessoas.
d) inicialmente, o dinheiro seria dividido entre cinco
pessoas.
13. (Enem) Um dos grandes problemas enfrentados nas
rodovias brasileiras é o excesso de carga transportada
pelos caminhões. Dimensionado para o tráfego dentro
dos limites legais de carga, o piso das estradas se
deteriora com o peso excessivo dos caminhões. Além
disso, o excesso de carga interfere na capacidade de
frenagem e no funcionamento da suspensão do
veículo, causas frequentes de acidentes.
Ciente dessa responsabilidade e com base na
experiência adquirida com pesagens, um caminhoneiro
sabe que seu caminhão pode carregar, no máximo,
1500 telhas ou 1200 tijolos.
Considerando esse caminhão carregado com 900
telhas, quantos tijolos, no máximo, podem ser
acrescentados à carga de modo a não ultrapassar a
carga máxima do caminhão?
a) 300 tijolos
b) 360 tijolos
c) 400 tijolos
d) 480 tijolos
e) 600 tijolos
14. (Enem) O Salto Triplo é uma modalidade do
atletismo em que o atleta dá um salto em um só pé,
uma passada e um salto, nessa ordem. Sendo que o
salto com impulsão em um só pé será feito de modo
que o atleta caia primeiro sobre o mesmo pé que deu a
impulsão; na passada ele cairá com o outro pé, do qual
o salto é realizado.
Disponível em: www.cbat.org.br (adaptado).
Um atleta da modalidade Salto Triplo, depois de
estudar seus movimentos, percebeu que, do segundo
para o primeiro salto, o alcance diminuía em 1,2 m, e,
do terceiro para o segundo salto, o alcance diminuía
1,5 m. Querendo atingir a meta de 17,4 m nessa prova
e considerando os seus estudos, a distância alcançada
no primeiro salto teria de estar entre
a) 4,0 m e 5,0 m.
b) 5,0 m e 6,0 m.
c) 6,0 m e 7,0 m.
d) 7,0 m e 8,0 m.
e) 8,0 m e 9,0 m.
15. (G1 - utfpr) Renata apresentou a sua amiga a
seguinte charada: “Um número x cujo quadrado
aumentado do seu dobro é igual a 15”. Qual é a
resposta correta desta charada?
a) x = 3 ou x = 5.
b) x = –3 ou x = –5.
c) x = –3 ou x = 5.
d) x = 3 ou x = –5.
e) apenas x = 3.
16. (Enem) Uma escola recebeu do governo uma
verba de R$ 1000,00 para enviar dois tipos de folhetos
pelo correio. O diretor da escola pesquisou que tipos de
selos deveriam ser utilizados. Concluiu que, para o
primeiro tipo de folheto, bastava um selo de R$ 0,65
26
enquanto para folhetos do segundo tipo seriam
necessários três selos, um de R$ 0,65, um de R$ 0,60 e
um de R$ 0,20. O diretor solicitou que se comprassem
selos de modo que fossem postados exatamente 500
folhetos do segundo tipo e uma quantidade restante de
selos que permitisse o envio do máximo possível de
folhetos do primeiro tipo.
Quantos selos de R$ 0,65 foram comprados?
a) 476
b) 675
c) 923
d) 965
e) 1 538
17. (G1 - utfpr) O(s) valor(es) de m para que a equação
x2 mx 3 0 tenha apenas uma raiz real é(são):
a) 0.
b) 4.
c) 12.
d) 2 3.
e) inexistente para satisfazer esta condição.
18. (G1 - ifsc) Num mundo cada vez mais matematizado,
é importante diagnosticar, equacionar e resolver
problemas. Dada a equação 2(x + 5) – 3(5 – x) = 10, é
CORRETO afirmar que o valor de x nessa equação é:
a) Um múltiplo de nove.
b) Um número inteiro negativo.
c) Um número par.
d) Um número composto.
e) Um número natural.
d) 2,5.
e) 1.
GABARITO
1. C
2. A
3. A
4. A
5. E
6. E
7. A
8. A) 6
9. E
10. B
11. C
12. C
13. D
14. D
15. D
16. C
17. D
18. E
19. A
20. E
B) 1800
19. (Espm) Se as raízes da equação 2x2 5x 4 0 são
1 1
é igual a:
m e n, o valor de
m n
5
a)
4
3
b)
2
3
c)
4
7
d)
4
5
e)
2
20. (G1 - utfpr) Fulano vai expor seu trabalho em uma
feira e recebeu a informação de que seu estande deve
ocupar uma área retangular de 12 m2 e perímetro igual a
14 m. Determine, em metros, a diferença entre as
dimensões que o estande deve ter.
a) 2.
b) 1,5.
c) 3.
27
FATORAÇÃO
01.( UC – MG ) A expressão
a 3 a 2b
3a 5 6a 4 b 3a 3 b 2
equivale a :
a
A)
3a b
a
B)
3a b
1
C)
3a b
1
D)
3aa b
1
E)
3aa b
x 2 y xy 2
A) x + y
B) x – y
C) x.y
D) x
y
xy
E)
x.y
x 2 y 2 z 2 2xy
x 2 y 2 z 2 2xy 2xz 2yz
obtemos:
2 x y 2z
A)
2
2 y 2z x
B)
yz
C) 2x – z + y
xyz
D)
xyz
07. Se m IN, o valor do quociente
02. ( Mack – SP ) Uma expressão equivalente a
x 3 y 2x 2 y 2 xy 3
06. (CTSP) Simplificando a expressão
é:
x 2 y 2 x 2 2xy y 2
x y
x y 2
igual a:
A) 23,25
B) 25,75
C) 26,25
D) 28,00
E) 32,25
A) 1
B) 2
C) 4
D) 8
E) um valor que depende de m
08. ( UFMG ) ( a–1 + b–1)–2 é igual a
ab
A)
a b 2
ab
B)
2
2
a b2
C) a2 + b2
a 2b 2
D)
a b2
03. ( U. São Francisco ) O valor numérico da expressão
para x = 17,25 e y = 10,75, é
x6 y6
para
x 2 xy y 2
x = 5 e y = 3 é igual a:
A) 304
B) 268
C) 125
D) 149
( a + b )³ + ( a – b )³ é igual a :
A) 1
B) 2
C) 2a²
D) a
09.(UFOP) Simplificando a expressão
04. (CTSP) O resultado da operação :
05. (CTSP) Sabendo que a 2 3b 2
2m 3 2m 1
5 2m 1
1
, então a expressão
a
ax 2 ay 2
x 2 4 xy 3 y 2
para x ≠ y, obtém-se
a( x y )
A)
x 3y
xy
B)
x 3y
a( x y )
C)
x 3y
(x y)
D)
x 3y
10. (UFMG) Sejam x e y números reais não-nulos tais
x
y2
que 2
2 . Então é correto afirmar que:
x
y
A)
B)
C)
D)
x2 – y = 0
x + y2 = 0
x2 + y = 0
x – y2 = 0
28
xy yx
6
11. (Espm) O valor da expressão
: 2
2
xy xy x y
para x = 24 e y = 0,125 é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
12. (G1 - utfpr) Simplificando a expressão algébrica
1
5
1 2
x
y
2
4 x 2 y 2
2 xy , temos:
2
a) x.
b) y.
c) 1.
d) 0.
e) x2.
13. (G1 - epcar (Cpcar)) O valor da expressão em que x
e y ¡ e x y e x y, é
a) 1
b) 2
c) 1
d) 2
GABARITO
01. E
02. A
03. D
04. A
05. B
06. D
07. C
08. D
09. C
10. B
11. C
12. D
13. A
29
FUNÇÕES
CONCEITOS BÁSICOS
3. (Enem) O gráfico fornece os valores das ações da
empresa XPN, no período das 10 às 17 horas, num dia
em que elas oscilaram acentuadamente em curtos
intervalos de tempo.
1. (Enem PPL) O modelo predador-presa foi proposto de
forma independente por Alfred J. Lotka, em 1925, e Vito
Volterra, em 1926. Esse modelo descreve a interação
entre duas espécies, sendo que uma delas dispõe de
alimentos para sobreviver (presa) e a outra se alimenta da
primeira (predador). Considere que o gráfico representa
uma interação predador-presa, relacionando a população
do predador com a população da sua presa ao longo dos
anos.
Neste dia, cinco investidores compraram e venderam o
mesmo volume de ações, porém em horários
diferentes, de acordo com a seguinte tabela.
Investidor
1
2
3
4
5
Hora da Compra
10:00
10:00
13:00
15:00
16:00
Hora da Venda
15:00
17:00
15:00
16:00
17:00
Com relação ao capital adquirido na compra e venda
das ações, qual investidor fez o melhor negócio?
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
De acordo com o gráfico, nos primeiros quarenta anos,
quantas vezes a população do predador se igualou à da
presa?
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 9
2. (Esc. Naval) Considere f uma função real de variável
real tal que:
4. (Enem) A figura a seguir apresenta dois gráficos
com informações sobre as reclamações diárias
recebidas e resolvidas pelo Setor de Atendimento ao
Cliente (SAC) de uma empresa, em uma dada semana.
O gráfico de linha tracejada informa o número de
reclamações recebidas no dia, o de linha continua é o
número de reclamações resolvidas no dia. As
reclamações podem ser resolvidas no mesmo dia ou
demorarem mais de um dia para serem resolvidas.
1. f(x y) f(x)f(y)
2. f(1) 3
3. f( 2) 2
Então f(2 3 2) é igual a
a) 108
b) 72
c) 54
d) 36
e) 12
30
O gerente de atendimento deseja identificar os dias da
semana em que o nível de eficiência pode ser considerado
muito bom, ou seja, os dias em que o número de
reclamações resolvidas excede o número de reclamações
recebidas.
Disponível em: http://bibliotecaunix.org. Acesso em: 21
jan. 2012 (adaptado).
O gerente de atendimento pôde concluir, baseado no
conceito de eficiência utilizado na empresa e nas
informações do gráfico, que o nível de eficiência foi muito
bom na
a) segunda e na terça-feira.
b) terça e na quarta-feira.
c) terça e na quinta-feira.
d) quinta-feira, no sábado e no domingo.
e) segunda, na quinta e na sexta-feira.
x3
. O domínio
2x 1
de g(x) e a função inversa de g(x) são,
respectivamente,
x3
a) x ¡ ;x 1 2 e g1 x
2x 1
x 3
b) x ¡ ;x 1 2 e x 3 e g1 x
2x 1
x
3
c) x ¡ ;x 1 2 e g1 x
2x 1
x3
d) x ¡ ;x 1 2 e x 3 e g1 x
2x 1
9. (Ufsj) Considere a função g x
10. (Espm) Sejam f e g funções reais tais que
f 2x 1 2x 4 e g x 1 2x 1 para todo x R.
5. (Fuvest) Sejam f(x) = 2x - 9 e g(x) = x2 + 5x + 3. A soma
dos valores absolutos das raízes da equação
f g x g x é igual a
Podemos afirmar que a função fog(x) é igual a:
a) 2x – 1
b) x + 2
c) 3x + 1
d) 2x
e) x – 3
a) 4
b) 5
c) 6
d) 7
e) 8
11. (Uepb) Dada a função bijetora
3x 2
f(x)
, D(f ) ¡ 1, o domínio de f 1(x) é
x 1
a) ¡ 3
6. (Pucrj) Sejam f(x) 2x 1 e g(x) 3x 1. Então
f(g(3)) g(f(3)) é igual a:
a) – 1
b) 0
c) 1
d) 2
e) 3
7. (Uepb) Dada f(x) x2 2x 5, o valor de f(f(1)) é:
a) – 56
b) 85
c) – 29
d) 29
e) – 85
b) ¡
c) ¡ 1
d) ¡ 1
2
e) ¡
3
12. (Enem PPL) Alunos de um curso de engenharia
desenvolveram um robô “anfíbio” que executa saltos
somente nas direções norte, sul, leste e oeste. Um dos
alunos representou a posição inicial desse robô, no
plano cartesiano, pela letra P, na ilustração.
8. (Espcex (Aman)) Sejam as funções reais
f x x2 4x e g x x 1. O domínio da função
f(g(x)) é
a) D x ¡ | x 3 ou x 1
b) D x ¡ | 3 x 1
c) D x ¡ | x 1
d) D x ¡ | 0 x 4
e) D x ¡ | x 0 ou x 4
31
A direção norte-sul é a mesma do eixo y, sendo que o
sentido norte é o sentido de crescimento de y, e a direção
leste-oeste é a mesma do eixo x, sendo que o sentido
leste é o sentido de crescimento de x.
Em seguida, esse aluno deu os seguintes comandos de
movimentação para o robô: 4 norte, 2 leste e 3 sul, nos
quais os coeficientes numéricos representam o número de
saltos do robô nas direções correspondentes, e cada salto
corresponde a uma unidade do plano cartesiano.
Depois de realizar os comandos dados pelo aluno, a
posição do robô, no plano cartesiano, será
a) (0; 2).
b) (0; 3).
c) (1; 2).
d) (1; 4).
e) (2; 1).
Qual é o domínio da função composta (fog)(x)?
a) ¡
1
1
b) x ¡ | x
,x
2 2
2 2
1
c) x ¡ | x
4
1
1
d) x ¡ | x , x
4
2 2
1
1
e) x ¡ | x , x
4
2 2
17.(UFOP) Seja uma função f: R R tal que:
I) f ( x + y ) = f (x) . f (y)
II) f (1) = 2
III) f 2 4
Então o valor de f 3 2 é dado por:
13. (Uel) Sejam os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4} e B = {2, 8,
9} e a relação R, de A em B, definida por R = {(x,y) ∈ A x B
│ x é divisor de y}. Nestas condições, R é o conjunto
a) {(0,2), (0,8), (0,9), (1,2), (1,8), (1,9), (2,2), (2,8), (3,9),
(4,8)}
b) {(1,2), (1,8), (1,9), (2,2), (2,8), (3,9), (4,8)}
c) {(2,1), (2,2), (8,1), (8,2), (8,4), (9,1), (9,3)}
d) {(0,2), (0,8), (0,9), (2,2)}
e) {(2,0), (2,2), (2,4)}
14. (Ufsj) Sendo a função f x ax b, tal que
f f x 9x 8, é CORRETO afirmar que
a) f 1 x
b) f 0 8
x
2
3
c) f x 3x 4
d) f
1
x
x 2
3
15. (Uece) A função real de variável real definida por
x2
f(x)
é invertível. Se f 1 é sua inversa, então, o
x2
valor de [f(0) f 1(0) f 1( 1)]2 é
a) 1.
b) 4.
c) 9.
d) 16.
16. (Esc. Naval) Considere f e g funções reais de
variável real definidas por, f(x)
a) 3 2
d) 24
2
18.(UFOP) Sejam
satisfazendo:
b) 9 2
e) 32
f:IR IR
c) 16
e
g:N N,
funções
g(0) 1
g(n) .
g(n 1) 2
f x 2 x3 e g(x )
Então, f(3) – g(3) é igual a:
a) 11
b) 16
c) 93
d) 109
e) 125
19.( UE – Londrina ) Seja a função f( x ) = ax3 + b. Se
f( – 1 ) = 2 e f( 1 ) = 4, então “a” e “b” valem,
respectivamente:
a) – 1 e – 3
b) 3 e – 1
c) – 1 e 3
d) 3 e 1
e) 1 e 3
20.( UFP – RS ) Qual é o domínio de y =
x4
?
x2
a)R – { 4 }
b) 4,
c) [ 4, + ∞ )
d) ( 2, 5 )
e) x ≠ 2
1
e g(x) 2x2 .
4x 1
32
21.( UFP – RS ) Qual é o domínio de y =
x 2 7x 10
2x 7
da função acima é :
?
7
a) R –
2
7
b) ,
2
7
c) ,
2
d) ( 2, 5 ) e)
22.O domínio da função f(x) =
2x 4
x5
qual dos intervalos reais abaixo?
A) { x R / 2 ≤ x < 5 }
B) { x R / 2 < x < 5 }
C) { x R / 2 ≤ x ≤ 5 }
D) { x R / 2 ≤ x <– 5 }
E) { x R / – 2 ≤ x < 5 }
está definido em
25.( PUC – SP ) Se D = { 1, 2, 3, 4, 5 } é o domínio da
função f(x) = (x – 2).(x – 4), então seu conjunto
imagem tem :
1 elemento
2 elementos
3 elementos
4 elementos
5 elementos
23. Dê o domínio de cada função abaixo
a) f(x) = x3 + 7x – 5
b) f(x) =
c) f(x) =
3
x 7 5x 4 3
x 3
x 1
26.(ENEM) Muitas vezes o objetivo de um remédio é
aumentar a quantidade de uma ou mais substâncias já
existentes no corpo do indivíduo para melhorar as
defesas do organismo. Depois de alcançar o objetivo,
essa quantidade deve voltar ao normal.
Se uma determinada pessoa ingere um
medicamento para aumentar a concentração da
substância A em seu organismo, a quantidade dessa
substância no organismo da pessoa, em relação ao
tempo, pode ser melhor representada pelo gráfico
x 1
24.( Unimontes / PAES) Os alunos da primeira série do
ensino médio, ao concluírem o estudo do sinal de uma
função g, obtiveram o seguinte resultado:
g(x) = 0 x = – 3 ou x = – 1 ou x = 3
g(x) > 0 – 3 < x < – 1
g(x) < 0 x < – 3 ou x > – 1 e x ≠ 3
Das figuras abaixo, a que representa o esboço do gráfico
27.(Unimontes) Em relação ao esboço de gráfico
apresentado na figura abaixo, podemos afirmar que:
33
30. (FIP-2009) Seja uma função f(x) = 3 + 2 x – 1 e f –1
(x) a sua inversa. Nessas condições, o valor de fof – 1
3 , é:
2
a) representa uma função cujo domínio é [1, 5].
b) representa uma função cujo conjunto imagem é [3, 5] ∪
{2}.
c) não pode representar uma função.
d) representa uma função crescente.
28.Observando o gráfico da função real f, pode-se afirmar
que, das alternativas, a única falsa é :
A) A função admite 6 raízes reais
B) f( 1 ) = – 3
C) A imagem de fé ( – ∞, 5 ]
D) f(1) + f(7) = 1
E) Para x >7, f(x) é crescente
29. Observando o gráfico da função f, podemos concluir
que :
A) Se f(x) < 0, então x > 1
B) Se x > 1, então f(x) é decrescente
C) Se x < 1 , então f(x) é decrescente
D) Se f(x) < 0, então x < 1
E) Se x > 0, então f(x) > 0
31.(FIP-2013) A função afim abaixo definida mostra a
concentração de álcool no sangue para um indivíduo
do sexo masculino com 75 quilogramas de massa
corporal, que ingere 1 lata de cerveja (350 ml) por hora,
durante 5 horas:
Onde a é a quantidade de álcool retido e t é o tempo
em horas.
Pela “Nova Lei Seca”, que entrou em vigor no Brasil em
janeiro de 2013, a tolerância à presença de álcool
retido no sangue é zero.
Após ter cessado a ingestão de cerveja, o indivíduo
apresentado na questão está apto a dirigir com
segurança e não infringir a Lei de tolerância zero,
aproximadamente em:
A) 3 horas e 20 minutos.
B) 3 horas e 30 minutos.
C) 3 horas e 45 minutos.
D) 3 horas e 7 minutos.
GABARITO
1. C
2. B
3. A
4. B
5. D
6. A
7. D
8. A
9. C
10. D
11. A
34
12. C
FUNÇÃO AFIM (1° GRAU)
13. B
14. D
15. C
16. B
17. E
18. D
19. E
20. E
21. B
22. A
23. _
EXERCÍCIOS
1. (G1 - cftmg) Os preços dos ingressos de um teatro
nos setores 1, 2 e 3 seguem uma função polinomial do
primeiro grau crescente com a numeração dos setores.
Se o preço do ingresso no setor 1 é de R$ 120,00 e no
setor 3 é de R$ 400,00, então o ingresso no setor 2, em
reais, custa
a) 140.
b) 180.
c) 220.
d) 260.
2. (Espcex (Aman)) Na figura abaixo está representado
o gráfico de uma função real do 1º grau f(x).
24. D
25. C
26. D
27. B
28. C
29. D
30. B
31. D
A expressão algébrica que define a função inversa de
f(x) é
x
a) y 1
2
1
b) y x
2
c) y 2x 2
d) y 2x 2
e) y 2x 2
3. (G1 - cftmg) O gráfico representa a função real
definida por f(x) = a x + b.
O valor de a + b é igual a
a) 0,5.
35
b) 1,0.
c) 1,5.
d) 2,0.
c) 13
d) 23
e) 33
4. (Uece) Em uma corrida de táxi, é cobrado um valor
inicial fixo, chamado de bandeirada, mais uma quantia
proporcional aos quilômetros percorridos. Se por uma
corrida de 8 km paga-se R$ 28,50 e por uma corrida de 5
km paga-se R$ 19,50, então o valor da bandeirada é
a) R$ 7,50.
b) R$ 6,50.
c) R$ 5,50.
d) R$ 4,50.
8. (Enem) O saldo de contratações no mercado formal
no setor varejista da região metropolitana de São Paulo
registrou alta. Comparando as contratações deste setor
no mês de fevereiro com as de janeiro deste ano,
houve incremento de 4.300 vagas no setor, totalizando
880.605 trabalhadores com carteira assinada.
5. (Pucpr) Seja a uma função afim f(x), cuja forma é
f(x) ax b, com a e b números reais. Se f(3) 3 e
Suponha que o incremento de trabalhadores no setor
varejista seja sempre o mesmo nos seis primeiros
meses do ano. Considerando-se que y e x
representam, respectivamente, as quantidades de
trabalhadores no setor varejista e os meses, janeiro
sendo o primeiro, fevereiro, o segundo, e assim por
diante, a expressão algébrica que relaciona essas
quantidades nesses meses é
a) y 4300x
b) y 884 905x
c) y 872 005 4300x
d) y 876 305 4300x
e) y 880 605 4300x
f(3) 1, os valores de a e b, são respectivamente:
a) 2 e 9
b) 1 e 4
3
1
c)
e
3
5
d) 2 e 7
2
e) e 1
3
6. (Puccamp) Para produzir um número n de peças (n
inteiro positivo), uma empresa deve investir R$200000,00
em máquinas e, além disso, gastar R$0,50 na produção
de cada peça. Nessas condições, o custo C, em reais, da
produção de n peças é uma função de n dada por
a) C(n) = 200 000 + 0,50
b) C(n) = 200 000n
c) C(n) = n/2 + 200 000
d) C(n) = 200 000 - 0,50n
e) C(n) = (200 000 + n)/2
7. (Enem) As curvas de oferta e de demanda de um
produto representam, respectivamente, as quantidades
que vendedores e consumidores estão dispostos a
comercializar em função do preço do produto. Em alguns
casos, essas curvas podem ser representadas por retas.
Suponha que as quantidades de oferta e de demanda de
um produto sejam, respectivamente, representadas pelas
equações:
QO = –20 + 4P
QD = 46 – 2P
em que QO é quantidade de oferta, QD é a quantidade de
demanda e P é o preço do produto.
A partir dessas equações, de oferta e de demanda, os
economistas encontram o preço de equilíbrio de mercado,
ou seja, quando QO e QD se igualam.
Para a situação descrita, qual o valor do preço de
equilíbrio?
a) 5
b) 11
Disponível em: http://www.folha.uol.com.br. Acesso em:
26 abr. 2010 (adaptado).
9. (Enem) O prefeito de uma cidade deseja construir
uma rodovia para dar acesso a outro município. Para
isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas
empresas. A primeira cobrou R$ 100.000,00 por km
construído (n), acrescidos de um valor fixo de
R$ 350.000,00 , enquanto a segunda cobrou
R$ 120.000,00 por km construído (n), acrescidos de
um valor fixo de R$ 150.000,00 . As duas empresas
apresentam o mesmo padrão de qualidade dos
serviços prestados, mas apenas uma delas poderá ser
contratada.
Do ponto de vista econômico, qual equação
possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que
tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer
uma das propostas apresentadas?
a) 100n 350 120n 150
b) 100n 150 120n 350
c) 100(n 350) 120(n 150)
d) 100(n 350.000) 120(n 150.000)
e) 350(n 100.000) 150(n 120.000)
10. (Enem) Um experimento consiste em colocar certa
quantidade de bolas de vidro idênticas em um copo
com água até certo nível e medir o nível da água,
conforme ilustrado na figura a seguir. Como resultado
do experimento, concluiu-se que o nível da água é
36
função do número de bolas de vidro que são colocadas
dentro do copo.
d) f(x) 3x 24
e) f(x) 24x 3
12. (Uerj) O reservatório A perde água a uma taxa
constante de 10 litros por hora, enquanto o reservatório
B ganha água a uma taxa constante de 12 litros por
hora. No gráfico, estão representados, no eixo y, os
volumes, em litros, da água contida em cada um dos
reservatórios, em função do tempo, em horas,
representado no eixo x.
O quadro a seguir mostra alguns resultados do
experimento realizado.
número de bolas (x)
5
nível da água (y)
6,35 cm
10
6,70 cm
15
7,05 cm
Disponível em: www.penta.ufrgs.br. Acesso em: 13 jan.
2009 (adaptado).
Qual a expressão algébrica que permite calcular o nível da
água (y) em função do número de bolas (x)?
a) y 30 x.
b) y 25 x 20,2.
c) y 1,27 x.
d) y 0,7 x.
e) y 0,07 x 6.
Determine o tempo x0 , em horas, indicado no gráfico.
13. (Enem 2ª aplicação) As sacolas plásticas sujam
florestas, rios e oceanos e quase sempre acabam
matando por asfixia peixes, baleias e outros animais
aquáticos. No Brasil, em 2007, foram consumidas 18
bilhões de sacolas plásticas. Os supermercados
brasileiros se preparam para acabar com as sacolas
plásticas até 2016. Observe o gráfico a seguir, em que
se considera a origem como o ano de 2007.
11. (Enem 2ª aplicação) Em fevereiro, o governo da
Cidade do México, metrópole com uma das maiores frotas
de automóveis do mundo, passou a oferecer à população
bicicletas como opção de transporte. Por uma anuidade de
24 dólares, os usuários têm direito a 30 minutos de uso
livre por dia. O ciclista pode retirar em uma estação e
devolver em qualquer outra e, se quiser estender a
pedalada, paga 3 dólares por hora extra.
Revista Exame. 21 abr. 2010.
A expressão que relaciona o valor f pago pela utilização da
bicicleta por um ano, quando se utilizam x horas extras
nesse período é
a) f(x) 3x
De acordo com as informações, quantos bilhões de
sacolas plásticas serão consumidos em 2011?
a) 4,0
b) 6,5
c) 7,0
d) 8,0
e) 10,0
b) f(x) 24
c) f x 27
37
14. (Ucs) O salário mensal de um vendedor é de
R$ 750,00 fixos mais 2,5% sobre o valor total, em reais,
das vendas que ele efetuar durante o mês.
Em um mês em que suas vendas totalizarem x reais, o
salário do vendedor será dado pela expressão
a) 750 2,5x.
b) 750 0,25x.
d) o plano B é sempre mais vantajoso que o plano A,
independente de quantos minutos sejam cobrados.
e) o plano A é sempre mais vantajoso que o plano B,
independente de quantos minutos sejam cobrados.
18. (Ueg) Considere o gráfico a seguir de uma função
real afim f(x).
c) 750,25x.
d) 750 0,25x .
e) 750 0,025x.
15. (G1 - cftmg) Um experimento da área de Agronomia
mostra que a temperatura mínima da superfície do solo
t(x), em °C, é determinada em função do resíduo x de
planta e biomassa na superfície, em g/m2, conforme
registrado na tabela seguinte.
x(g/m2)
t(x)
(°C)
10
7,24
20
7,30
30
7,36
40
7,42
50
7,48
60
7,54
70
7,60
Analisando os dados acima, é correto concluir que eles
satisfazem a função
a) y = 0,006x + 7,18.
b) y = 0,06x + 7,18.
c) y = 10x + 0,06.
d) y = 10x + 7,14.
16. (G1 - cftmg) Um motorista de táxi cobra, para cada
corrida, uma taxa fixa de R$ 5,00 e mais R$ 2,00 por
quilômetro rodado. O valor total arrecadado (R) num dia é
função da quantidade total (x) de quilômetros percorridos
e calculado por meio da função R(x) ax b, em que a é
o preço cobrado por quilômetro e b, a soma de todas as
taxas fixas recebidas no dia. Se, em um dia, o taxista
realizou 10 corridas e arrecadou R$ 410,00, então a
média de quilômetros rodados por corrida, foi de
a) 14
b) 16
c) 18
d) 20
17. (Unioeste) Uma empresa de telefonia celular possui
somente dois planos para seus clientes optarem entre um
deles. No plano A, o cliente paga uma tarifa fixa de R$
27,00 e mais R$ 0,50 por minuto de qualquer ligação. No
plano B, o cliente paga uma tarifa fixa de R$ 35,00 e mais
R$ 0,40 por minuto de qualquer ligação. É correto afirmar
que, para o cliente,
a) com 50 minutos cobrados, o plano B é mais vantajoso
que o plano A.
b) a partir de 80 minutos cobrados, o plano B é mais
vantajoso que o plano A.
c) 16 minutos de cobrança tornam o custo pelo plano A
igual ao custo pelo plano B.
A função afim f(x) é dada por
a) f(x) 4x 1
b) f(x) 0,25 x 1
c) f(x) 4 x 4
d) f(x) 0,25 x 3
19. (Enem PPL) Os sistemas de cobrança dos serviços
de táxi nas cidades A e B são distintos. Uma corrida
de táxi na cidade A é calculada pelo valor fixo da
bandeirada, que é de R$ 3,45, mais R$ 2,05 por
quilômetro rodado. Na cidade B, a corrida é calculada
pelo valor fixo da bandeirada, que é de R$ 3,60, mais
R$ 1,90 por quilômetro rodado.
Uma pessoa utilizou o serviço de táxi nas duas cidades
para percorrer a mesma distância de 6 km.
Qual o valor que mais se aproxima da diferença, em
reais, entre as médias do custo por quilômetro rodado
ao final das duas corridas?
a) 0,75
b) 0,45
c) 0,38
d) 0,33
e) 0,13
20. (Unesp) A tabela indica o gasto de água, em m3
por minuto, de uma torneira (aberta), em função do
quanto seu registro está aberto, em voltas, para duas
posições do registro.
Abertura da torneira
(volta)
Gasto de água por minuto
(m3 )
38
1
2
1
0,02
0,03
(www.sabesp.com.br. Adaptado.)
Sabe-se que o gráfico do gasto em função da abertura é
uma reta, e que o gasto de água, por minuto, quando a
torneira está totalmente aberta, é de 0,034 m3 . Portanto, é
correto afirmar que essa torneira estará totalmente aberta
quando houver um giro no seu registro de abertura de 1
volta completa e mais
1
a)
de volta.
2
1
b)
de volta.
5
2
c)
de volta.
5
3
d)
de volta.
4
1
e)
de volta.
4
21. (Pucmg) A função linear R(t) at b expressa o
rendimento R, em milhares de reais, de certa aplicação. O
tempo t é contado em meses, R(1) 1 e R(2) 1.
Nessas condições, o rendimento obtido nessa aplicação,
em quatro meses, é:
a) R$ 3.500,00
b) R$ 4.500,00
c) R$ 5.000,00
d) R$ 5.500,00
22. (Ufrn) Uma empresa de tecnologia desenvolveu um
produto do qual, hoje, 60% das peças são fabricadas no
Brasil, e o restante é importado de outros países. Para
aumentar a participação brasileira, essa empresa investiu
em pesquisa, e sua meta é, daqui a 10 anos, produzir, no
Brasil, 85% das peças empregadas na confecção do
produto.
Com base nesses dados e admitindo-se que essa
porcentagem varie linearmente com o tempo contado em
anos, o percentual de peças brasileiras na fabricação
desse produto será superior a 95% a partir de
a) 2027.
b) 2026.
c) 2028.
d) 2025.
23. (Ucs) O custo total, por mês, de um serviço de
fotocópia, com cópias do tipo A4, consiste de um custo
fixo acrescido de um custo variável. O custo variável
depende, de forma diretamente proporcional, da
quantidade de páginas reproduzidas. Em um mês em que
esse serviço fez 50.000 cópias do tipo A4, seu custo total
com essas cópias foi de 21.000 reais, enquanto em um
mês em que fez 20.000 cópias o custo total foi de
19.200 reais.
Qual é o custo, em reais, que esse serviço tem por
página do tipo A4 que reproduz, supondo que ele seja
o mesmo nos dois meses mencionados?
a) 0,06
b) 0,10
c) 0,05
d) 0,08
e) 0,12
24(FIP). Marcela deseja contratar um plano de celular.
Ao iniciar a pesquisa, ela recebe duas propostas:
Operadora A - Assinatura mensal de R$ 15,00 mais R$
0,30 por cada minuto, durante o mês.
Operadora B - Assinatura mensal de R$ 20,00 mais R$
0,20 por cada minuto, durante o mês.
Acima de quantos minutos de ligações por mês é mais
econômico optar pela operadora B?
a) 50
b) 80
c) 60
d) 20
e) 40
25.(FIP-2009) Um táxi cobra R$ 20,00 pelo primeiro
quarto de quilômetro rodado e R$ 5,00 por cada quarto
de quilômetro adicional. Quanto custará, em reais, uma
viagem de x quilômetros?
A) P(x) = 20 + 5.(4x – 1)
B) P(x) = 20 + 4.(x – 1)
C) P(x) = 20 + 20.(x – 1)
D) P(x) = 20 + 5x
26.(FIP-2012) Os preços cobrados por duas
empresas que administram planos de saúde estão
dispostos na tabela abaixo:
Pode-se afirmar que o plano mais econômico
oferecido pela empresa:
A) A, quando o número de consultas não exceder
total de 20 por mês.
B) B, quando o número de consultas for superior a
por mês.
C) B, quando o número de consultas não exceder
total de 10 por mês.
D) A, quando o número de consultas for superior a
por mês.
é
o
3
o
6
39
27.(FIP-2012) A Gráfica Universitária das Fipmoc pretende
comercializar a Revista Multidisciplinar no mercado nortemineiro. Os responsáveis pela empresa que irá
confeccionar a revista estimam gastos variáveis de R$
1,50 por revista processada e gastos fixos na ordem de R$
10.000,00 por mês. Por outro lado, também esperam obter
R$ 1,00 por revista comercializada, além de R$ 13.000,00
mensais relativos à receita de publicidade. Permanecendo
as demais condições constantes, para se alcançar um
lucro de R$ 1.000,00 por mês, será necessário
comercializar:
A) 8.000 assinaturas.
B) 4.000 assinaturas.
C) 2.000 assinaturas.
D) 6.000 assinaturas.
28.(FIP-2013) Pensando em otimizar seu lucro,
empresa “Nexxus” fabrica um único tipo de produto,
todas as unidades são vendidas. O custo total (C)
produção e a receita (R),considerando a quantidade
produtos vendidos, estão representados abaixo:
a
e
da
de
GABARITO
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
D
C
C
D
E
C
B
C
A
E
D
30
E
E
A
C
B
B
E
B
C
A
A
A
A
D
B
A
C
Com base nos dados apresentados, pode-se inferir
corretamente que a expressão que fornece o lucro (L),
considerando a quantidade de produtos vendidos (q) pela
referida empresa, é:
L(q) = 25q – 1000
L(q) = 50q – 1000
L(q) = 50q + 2000
L(q) = – 25q + 2000
29.(FIP-2013) Os estacionamentos em Montes Claros
estão cobrando entre R$3,00 e R$5,00 por hora. Um
estacionamento no centro da cidade cobra R$5,00 por
hora, mas possui uma promoção em que o cliente pode
comprar um selo no valor de R$20,00, com o qual passa a
pagar apenas R$ 1,00 por hora.
A partir de quanto tempo passa a ser vantajoso comprar o
selo promocional?
A) 3 horas
B) 4h 20 min
C) 5h
D) 5h 40 min
40
FUNÇAO QUADRÁTICA (2° GRAU)
1. (Ufjf-pism 1) Uma função quadrática f(x) ax2 bx c
assume valor máximo igual a 2, em x 3. Sabendo-se
que 0 é raiz da função f, então f(5) é igual a:
a)
2
9
b) 0
c) 1
10
d)
9
4
e)
3
2. (G1 - cftmg) O saldo S de uma empresa A é calculado
em função do tempo t, em meses, pela equação
S(t) 3t2 39t 66.
Considerando essa função, o saldo da empresa é negativo
entre o
a) 2º e o 11º mês.
b) 4º e o 16º mês.
c) 1º e 4º e entre o 5º do 16º mês.
d) 2º e 5º e entre o 7º do 14º mês.
3. (G1 - cftrj) Em uma brincadeira, uma bola é
arremessada para o alto, e sua altura em relação ao solo,
em função do tempo, é dada pela fórmula
1
h(t) (t 2)2 5, com h em metros e t em segundos.
2
A seguir temos o gráfico de h em função de t.
a) 24.
b) 36.
c) 48.
d) 56.
e) 64.
5. (G1 - ifba) Jorge planta tomates em uma área de
sua fazenda, e resolveu diminuir a quantidade Q (em
mil litros) de agrotóxicos em suas plantações, usando a
lei Q(t) 7 t 2 5t, onde t representa o tempo, em
meses, contado a partir de t 0. Deste modo, é
correto afirmar que a quantidade mínima de
agrotóxicos usada foi atingida em:
a) 15 dias.
b) 1 mês e 15 dias.
c) 2 meses e 10 dias.
d) 2 meses e 15 dias.
e) 3 meses e 12 dias.
6. (Pucmg) O transporte aéreo de pessoas entre as
cidades de Belo Horizonte e Campinas é feito por uma
única companhia em um único voo diário. O avião
utilizado tem 180 lugares, e o preço da passagem p
relaciona-se com o número x de passageiros por dia
pela equação p(x) 285 0,95x. Nessas condições, o
número de passageiros que torna a receita máxima
possível por viagem é:
a) 150
b) 160
c) 170
d) 180
7. (Enem) Um estudante está pesquisando o
desenvolvimento de certo tipo de bactéria. Para essa
pesquisa, ele utiliza uma estufa para armazenar as
bactérias. A temperatura no interior dessa estufa, em
graus Celsius, é dada pela expressão
T(h) h2 22h 85, em que h representa as horas
do dia. Sabe-se que o número de bactérias é o maior
possível quando a estufa atinge sua temperatura
máxima e, nesse momento, ele deve retirá-las da
estufa. A tabela associa intervalos de temperatura, em
graus Celsius, com as classificações: muito baixa,
baixa, média, alta e muito alta.
Dessa forma, determine a altura máxima atingida pela
bola, e em que instante (tempo) isso acontece.
4. (Imed) Em um determinado mês, o lucro de uma
indústria de cosméticos é expresso por
L(x) x2 10x 11, em que x representa a quantidade
de cosméticos vendidos e L(x), o valor do lucro em reais.
Nessas condições, o lucro máximo, em reais, atingido por
essa indústria corresponde a:
Intervalos de
temperatura (C)
Classificação
T0
0 T 17
17 T 30
30 T 43
T 43
Muito baixa
Baixa
Média
Alta
Muito alta
Quando o estudante obtém o maior número possível de
bactérias, a temperatura no interior da estufa está
classificada como
41
a) muito baixa.
b) baixa.
c) média.
d) alta.
e) muito alta.
8. (Uepa) Leia o texto para responder à questão.
Considerando o custo de R$ 4,50 para produzir cada
sanduíche, o preço de venda que dará o maior lucro ao
proprietário é:
a) R$ 5,00
b) R$ 5,25
c) R$ 5,50
d) R$ 5,75
e) R$ 6,00
A utilização de computadores como ferramentas
auxiliares na produção de conhecimento escolar tem sido
uma realidade em muitas escolas brasileiras. O GeoGebra
é um software educacional utilizado no ensino de
Matemática (geometria dinâmica). Na ilustração acima se
tem a representação dos gráficos de duas funções reais a
valores reais, definidas por
g(x) x2 x 2 e f(x) x 5.
10. (Enem PPL) Uma pequena fábrica vende seus
bonés em pacotes com quantidades de unidades
variáveis. O lucro obtido é dado pela expressão L(x) =
−x2 + 12x − 20, onde x representa a quantidade de
bonés contidos no pacote. A empresa pretende fazer
um único tipo de empacotamento, obtendo um lucro
máximo. Para obter o lucro máximo nas vendas, os
pacotes devem conter uma quantidade de bonés igual
a
a) 4.
b) 6.
c) 9.
d) 10.
e) 14.
11. (Enem) A parte interior de uma taça foi gerada pela
rotação de uma parábola em torno de um eixo z,
conforme mostra a figura.
Fonte:
http://portaldoprofessor.mec.gov.br/fichaTecnicaAula.html?
aula-53900
Nestas condições, a soma das ordenadas dos pontos de
interseção dos gráficos que representam as duas funções
polinomiais acima ilustradas é:
a) 2
b) 5
c) 7
d) 11
e) 12
9. (Ibmecrj) Uma lanchonete vende, em média, 200
sanduíches por noite ao preço de R$ 6,00 cada um. O
proprietário observa que, para cada R$ 0,10 que diminui
no preço, a quantidade vendida aumenta em cerca de 20
sanduíches.
A função real que expressa a parábola, no plano
cartesiano da figura, é dada pela lei
42
3 2
x 6x C, onde C é a medida da altura do
2
líquido contido na taça, em centímetros. Sabe-se que o
ponto V, na figura, representa o vértice da parábola,
localizado sobre o eixo x.
f(x)
x2 + 100x, onde x é a quantidade desse produto. O
gráfico da referida função é apresentado abaixo.
Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em
centímetros, é
a) 1.
b) 2.
c) 4.
d) 5.
e) 6.
12. (Unisc) O gráfico da parábola cuja função é
f x 40x 10x 2 50 mostra a velocidade, em
quilômetros horários, de um automóvel num intervalo (x)
de 0 até 5 segundos.
Analise as afirmativas abaixo e assinale a alternativa
correta.
I. A maior velocidade que o automóvel atingiu supera a
velocidade inicial em 40 km h.
II. A maior velocidade ocorreu quando o cronômetro
indicava x 2,5 segundos.
III. O automóvel estava parado quando o cronômetro
indicava x 5 segundos.
a) Todas as afirmativas estão corretas.
b) Somente as afirmativas II e III estão corretas.
c) Somente as afirmativas I e III estão corretas.
d) Somente as afirmativas I e II estão corretas.
e) Apenas uma das afirmativas está correta.
13. (Uern) Seja uma função do 2º grau y = ax2 + bx + c,
cujo gráfico está representado a seguir.
A soma dos coeficientes dessa função é
a) – 2.
b) – 3.
c) – 4.
d) – 6.
É CORRETO afirmar que as quantidades a serem
comercializadas para atingir a receita máxima e o valor
máximo da receita são, respectivamente,
a) 50 e 2.000.
b) 25 e 2.000.
c) 100 e 2.100.
d) 100 e 2.500.
e) 50 e 2.500.
15. (Ulbra) Preocupados com o lucro da empresa VXY,
os gestores contrataram um matemático para modelar
o custo de produção de um dos seus produtos. O
modelo criado pelo matemático segue a seguinte lei: C
= 15000 – 250n + n2, onde C representa o custo, em
reais, para se produzirem n unidades do determinado
produto. Quantas unidades deverão ser produzidas
para se obter o custo mínimo?
a) – 625.
b) 125.
c) 1245.
d) 625.
e) 315.
16. (Uftm) Certa fonte multimídia promove um balé de
água, luzes, cores, música e imagens. Sabe-se que
bombas hidráulicas fazem milhares de litros de água
circularem por minuto em alta pressão por canos de
aço, dando vida a um show de formas, entre as quais
parábolas, conforme ilustra a figura.
14. (G1 - ifsc) A receita obtida pela venda de um
determinado produto é representada pela função R(x) = –
43
A trajetória de uma dessas parábolas pode ser descrita
pela função h t 12t – t 2 , com t 0, onde t é o tempo
medido em segundos e h(t) é a altura, em metros, do jato
no instante t.
Nessas condições:
a) determine, após o lançamento, a altura máxima que o
jato alcança.
b) construa o gráfico da função, explicando o que
acontece no instante t 12 s.
17. (Ucs) Uma dose de um medicamento foi administrada
a um paciente por via intravenosa. Enquanto a dose
estava sendo administrada, a quantidade do medicamento
na corrente sanguínea crescia. Imediatamente após
cessar essa administração, a quantidade do medicamento
começou a decrescer.
Um modelo matemático simplificado para avaliar a
quantidade q, em mg, do medicamento, na corrente
sanguínea, t horas após iniciada a administração, é
q t t2 7t 60.
Considerando esse modelo, a quantidade, em mg, do
medicamento que havia na corrente sanguínea, ao ser
iniciada a administração da dose e o tempo que durou a
administração dessa dose, em horas, foram,
respectivamente,
a) 5 e 12.
b) 0 e 12.
c) 0 e 3,5.
d) 60 e 12.
e) 60 e 3,5.
18. (Uerj) Uma bola de beisebol é lançada de um ponto 0
e, em seguida, toca o solo nos pontos A e B, conforme
representado no sistema de eixos ortogonais:
Durante sua trajetória, a bola descreve duas parábolas
com vértices C e D.
x 2 2x
.
A equação de uma dessas parábolas é y
75
5
Se a abscissa de D é 35 m, a distância do ponto 0 ao
ponto B, em metros, é igual a:
a) 38
b) 40
c) 45
d) 50
19. (Uel) A função real f, de variável real, dada por f(x)
= -x2 + 12x + 20, tem um valor
a) mínimo, igual a -16, para x = 6
b) mínimo, igual a 16, para x = -12
c) máximo, igual a 56, para x = 6
d) máximo, igual a 72, para x = 12
e) máximo, igual a 240, para x = 20
20.( PAES ) Maria e Joana são revendedoras de um
certo produto de beleza. Em um determinado mês, a
renda mensal ( em reais ) de Maria foi dada pela
função R(x) = 17x – 30 e a de Joana foi R(x) = x2 +
5x – 3, onde R é a renda mensal e x é o número de
unidades que cada uma vendeu. Maria terá um
rendimento mensal maior que o de Joana se vender:
a) mais que nove unidades
b) entre 3 e 9 unidades
c) exatamente 10 unidades
d) 9 unidades
21.( Unimontes / PAES ) Um menino está à distância
de 6m de um muro de 3m de altura e chuta uma bola
que vai bater exatamente sobre o muro. Se a função da
trajetória da bola em relação ao sistema de
coordenadas indicado pela figura é y = ax2 + ( 1 – 4a )
x, então a altura máxima atingida pela bola é igual a:
4m
y
4,5m
3m
3,5m
x
44
22.( Cesgranrio – RJ )
4x 1
x 2 2x 1
Os valores de
x, tais que
0, são aqueles que satisfazem :
a) x 4
b) x 4
1
c)x
4
d) x 1
1
e)x
4
23.( UFPA ) O domínio da função y = x .
4 x2
2
x 3x 4
éo
conjunto :
] -1 ; 4 ]
]-;-2] ]4;+[
[-2;1[ [2;4[ {0}
]-;-1[ ]4;+[ {0}
]-;-1[ ]4;+[
24.( PAES ) Considere a função f: ]1, 3[ ]–1, 3 [ , definida por
f(x) = x2 – 2x. O esboço da função inversa de f, f – 1 é
Supondo que a trajetória da bola seja descrita pela
equação y = –x² + 6x, em que y é a altura atingida
pela bola (em metros), e x é o tempo decorrido (em
segundos), qual a altura máxima atingida por ela, e
após quanto tempo isso ocorre, respectivamente?
A) 6 metros e 9 segundos
B) 9 metros e 6 segundos
C) 6 metros e 3 segundos
D) 9 metros e 3 segundos
26.(FIP-2013) O dono de um restaurante vende, em
média, 300 refeições por dia a R$5, 00 cada uma, que
tem um preço de custo de R$3, 00. Ele observou que, a
cada R$0, 20 que oferece de desconto no preço da
refeição, há um aumento de 40 refeições em sua
venda.
A que preço ele deve oferecer a refeição para que seu
lucro seja máximo?
A) R$7,40
B) R$6,50
C) R$5,25
D) R$4,75
27.(FIP-2013) Pensando em aproveitar o seu terreno, o
Sr. Paulo observou que poderia construir um cercado
para cultivar suas plantas. Ele possui um muro, com 6
metros de comprimento, que irá aproveitar como parte
dos lados desse cercado retangular. Para completar o
contorno desse cercado,ele irá usar 34 metros de
cerca.
Veja na figura abaixo.
25.(FIP-2010) Num dos jogos da Copa do Mundo, a bola
chutada por um jogador, em determinado lance, descreve
uma trajetória parabólica, conforme a figura abaixo:
A maior área que o Sr. Paulo poderá cercar é:
45
34 m2
13 m2
91 m2
45,5 m2
28. ( Fuvest – SP ) Sejam x’ e x’’ as raízes da função
f(x) = 10x2 + 33x – 7.O número inteiro mais próximo do
número N = 5.( x’. x’’ ) + 2.( x’ + x’’ ) é:
9
–9
10
– 10
– 13
29. ( UFMG ) Observe a figura.
Nessa figura, está representada a parábola de vértice V,
gráfico da função de segundo grau cuja expressão é
a) y = (x2 / 5) – 2x
y
b) y = x2 – 10x
2
c) y = x + 10x
d) y = (x2 / 5) – 10x
e) y = (x2 / 5) + 10x
5
–5
x
v
30. ( Cesgranrio ) O diretor de uma orquestra percebeu
que, com o ingresso a R$ 9,00 em média 300 pessoas
assistem aos concertos e que, para cada redução de R$
1,00 no preço dos ingressos, o público aumenta de 100
espectadores. Qual deve ser o preço para que a receita
seja máxima?
a) R$ 9,00
b) R$ 8,00
c) R$ 7,00
d) R$ 6,00
e) R$ 5,00
31. Uma criança arremessa uma bola de basquete cujo
centro segue uma trajetória plana de equação
1 2 8
y
x x 2 , na qual os valores de x e y são
7
7
dados em metros.
Essa criança acerta o arremesso, e o centro da bola passa
pelo centro da cesta, que está a 3 metros de altura. A
distância do centro da cesta ao eixo y é:
a) 6 metros
b) 7 metros
y
c) 8 metros
d) 9 metros
e) 10 metros
x
32. ( PUC – SP ) O lucro de uma empresa é definido
pela função L(q) = – q2 +10q – 16, onde q representa
a quantidade de produtos vendidos pela empresa num
determinado mês. Podemos concluir que esta
empresa terá lucro positivo, se o número q de
produtos vendidos estiver compreendido em:
(A) 2 ≤ q ≤ 8.
(B) 2 < q < 8.
(C) q < 2 ou q > 8 .
(D) q ≤ 2 ou q ≥ 8.
(E) q < 10 ou q > 16.
33. ( FIPMoc – 2015 ) No Mercado Municipal de
Montes Claros, é comum, no período de safra,
encontrar diversos produtores vendendo pequi, fruto
típico da região. Ao longo de um desses períodos,
constatou-se que a quantidade diária de dúzia de pequi
vendida (x) variava de acordo com o preço de venda da
dúzia (p), e a relação quantitativa entre essas variáveis
era dada pela lei:
1
9
P(x )
x
20
2
Para que esse produtor tenha uma receita máxima,
deve-se vender a dúzia de pequi por:
A) R$2,25.
B) R$1,25.
C) R$3,25.
D) R$4,25.
E) R$5,25.
34.(FIP) Um cinema de um shopping, com 200 lugares
por sala, para evitar cancelamentos de sessões quando
não atingir o número mínimo de ingressos vendidos,
decide alterar a forma de cobrança do ingresso. A
empresa cobrará de cada cliente a quantia de R$ 8,00
mais R$ 0,20 por lugar vago da sala, não exigindo um
número mínimo de ingressos vendidos para que ocorra
a exibição do filme.
A rentabilidade máxima que o cinema conseguirá em
uma sala por sessão é:
a) R$ 2 880,00
b) R$ 2 400,00
c) R$ 1 600,00
d) R$ 3 200,00
e) R$ 3 000,00
35.(FIP) O dono de um sítio quer cercar, com tela de
arame, uma região retangular dentro de uma grande
área de pastagem. Ele também quer subdividir essa
região em três áreas retangulares equivalentes,
puxando duas telas de arame paralelas a uma de suas
fronteiras, dispondo de 80 metros de tela de arame.
Qual a área máxima, em metros quadrados, da região
cercada?
46
28. D
a) 200
b) 250
c) 180
d) 100
e) 140
29. A
30. D
31. B
32. B
33. A
GABARITO
1. D
34. A
35. A
2. A
3. 2 segundos e 5 metros
4. B
5. D
6. A
7. D
8. E
9. D
10. B
11. E
12. C
13. C
14. E
15. B
16. a) Reescrevendo a lei da função h sob a forma
canônica, obtemos
h(t) 12t t 2 36 (t 6)2.
Portanto, a altura máxima que o jato alcança é
36 m, no instante t 6 s.
b) Quando t 12 s, h é igual a zero, ou seja, o
jato retorna ao solo.
17. E
18. B
19. C
20. B
21. A
22. C
23. E
24. A
25. D
26. D
27. sem resposta ( 100 m2 )
47
EQUAÇÕES EXPONENCIAIS
1. (Imed) Em um experimento no laboratório de pesquisa,
observou-se que o número de bactérias de uma
determinada cultura, sob certas condições, evolui
quantidade de açúcar não dissolvido (em gramas), t
minutos após o café ser despejado. Pelo gráfico,
podemos concluir que
conforme a função B(t) 10 3t 1, em que B(t) expressa
a quantidade de bactérias e t representa o tempo em
horas. Para atingir uma cultura de 810 bactérias, após o
início do experimento, o tempo decorrido, em horas,
corresponde a:
a) 1.
b) 2.
c) 3.
d) 4.
e) 5.
2. (Ufrgs) A função f , definida por f(x) 4 x 2,
intercepta o eixo das abscissas em
a) 2.
b) 1.
1
c) .
2
d) 0.
e)
1
.
2
3. (Enem PPL) Em um experimento, uma cultura de
bactérias tem sua população reduzida pela metade a cada
hora, devido à ação de um agente bactericida.
Neste experimento, o número de bactérias em função do
tempo pode ser modelado por uma função do tipo
a) afim.
b) seno.
c) cosseno.
d) logarítmica crescente.
e) exponencial.
4. (Acafe) Um dos perigos da alimentação humana são os
microrganismos, que podem causar diversas doenças e
até levar a óbito. Entre eles, podemos destacar a
Salmonella. Atitudes simples como lavar as mãos,
armazenar os alimentos em locais apropriados, ajudam a
prevenir a contaminação pelos mesmos. Sabendo que
certo microrganismo se prolifera rapidamente, dobrando
sua população a cada 20 minutos, pode-se concluir que o
tempo que a população de 100 microrganismos passará a
ser composta de 3.200 indivíduos é:
a) 1 h e 35 min.
b) 1 h e 40 min.
c) 1 h e 50 min.
d) 1 h e 55 min.
5. (Unicamp) Em uma xícara que já contém certa
quantidade de açúcar, despeja-se café. A curva a seguir
representa a função exponencial M(t), que fornece a
4
t
75.
4
t
50.
5
t
50.
5
t
150.
a) M(t) 2
b) M(t) 2
c) M(t) 2
d) M(t) 2
6. (Pucmg) O valor de certo equipamento, comprado
por R$60.000,00, é reduzido à metade a cada 15
t
15
meses. Assim, a equação V (t) = 60.000. 2
, onde t
é o tempo de uso em meses e V(t) é o valor em reais,
representa a variação do valor desse equipamento.
Com base nessas informações, é CORRETO afirmar
que o valor do equipamento após 45 meses de uso
será igual a:
a) R$ 3.750,00
b) R$ 7.500,00
c) R$10.000,00
d) R$20.000,00
7. (Ita) Se x é um número natural com 2015 dígitos,
então o número de dígitos da parte inteira de 7 x é
igual a
a) 285.
b) 286.
c) 287.
d) 288.
e) 289.
8. (G1 - ifsul) O par ordenado (0, 2) pertence ao
gráfico da função y (k 1)ex .
Qual é o valor mínimo da função no intervalo [1, 2]?
a)
3
e
48
b)
c)
13.( PUC – RS ) Encontre o domínio da função
3
definida por f(x) = 2 x 1 2 x
2
e
2
e2
1
d)
e
9. (Ufpr) Uma pizza a 185°C foi retirada de um forno
quente. Entretanto, somente quando a temperatura atingir
65°C será possível segurar um de seus pedaços com as
mãos nuas, sem se queimar. Suponha que a temperatura
T da pizza, em graus Celsius, possa ser descrita em
função do tempo t, em minutos, pela expressão
T 160 20,8t 25. Qual o tempo necessário para que
se possa segurar um pedaço dessa pizza com as mãos
nuas, sem se queimar?
a) 0,25 minutos.
b) 0,68 minutos.
c) 2,5 minutos.
d) 6,63 minutos.
e) 10,0 minutos.
10.(FIP) Em janeiro de 2016, dez pessoas fundaram um
clube. Um dos regulamentos do regimento prevê que cada
sócio pode apresentar, no máximo, 2 novos sócios, ao
final de cada ano.
A partir do mês de janeiro de qual ano o clube terá chance
de alcançar 810 sócios?
a) 2020
b) 2018
c) 2019
d) 2017
e) 2021
11.( UFPA ) O conjunto solução da desigualdade
x 2 2
1
1
é:
4
2
{xR/–2<x<2}
{ x R / x < – 2 ou x > 2 }
{ x R / x < 0 ou x > 2 }
{xR/0<x<2}
{ x R / x < – 2 ou x > 0 }
14.(ENEM) Suponha que o modelo exponencial y =
363.e0,03x, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x =
1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e
que y é a população em milhões de habitantes no ano
x, seja usado para estimar essa população com 60
anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento
entre 2010 e 2050 Desse modo, considerando e0,3 =
1,35, estima-se que a população com 60 anos ou mais
estará, em 2030, entre
A) 490 e 510 milhões.
B) 550 e 620 milhões.
C) 780 e 800 milhões.
D) 810 e 860 milhões.
E) 870 e 910 milhões.
15.(SEE-SP) Dez pessoas fundaram, no início do ano,
um clube. Um dos regulamentos de seu regimento
interno prevê que cada sócio pode apresentar, no
máximo, 2 novos sócios ao final de cada ano. A
expressão que permite calcular o número máximo de
sócios após decorrerem x anos é
A) 3. 10X + 10
B) 2. 10X
C) 10 + 2X
D) 10. 2X
E) 10. 3X
16. ( FIPMOC ) Um jantar causou mal-estar nos
clientes de um restaurante. Após análise, foi
comprovada a presença da bactéria Salmonella na
maionese. Essa bactéria multiplica-se, segundo a
função B(t) = 200 . 2at, em que B(t) é o número de
bactérias encontradas na amostra de maionese, t
horas após o início do jantar, e a é uma constante real.
Se, após 3 horas do início do jantar, o número de
bactérias era 800, podemos concluir que o número de
bactérias será maior ou igual que 3.200 bactérias
depois de
(A) 5 horas.
(B) 6 horas.
(C) 7 horas.
(D) 8 horas.
(E) 9 horas.
12.( FGV – SP ) Encontre a solução da inequação
1
2
x 2 5 x 1
1
2
GABARITO
1. E
2. C
3. E
4. B
5. A
6. B
49
7. D
8. C
9. C
LOGARITIMOS
10. A
11. B
12. S = { x R / – 5 ≤ x ≤ 0 }
13. Df = { x R / x
16. B
1
}
2
14. E
15. E
01.(UFV) Os números reais log2(x −1), log2(2x) e
log2(6x)
formam, nesta ordem, uma progressão
aritmética. O valor de x é:
a) 3
b) 9
c) 2
d) 4
02. (UFOP) Se 𝒏 ∈ 𝒁∗+ eS é o conjunto solução da
inequação log n 2 3 log n 2 0 , então, é correto
afirmar que:
a)S contém 4 múltiplos de 20.
b)S contém 90 elementos.
c)S contém 46 números ímpares.
d)S contém 46 números pares.
03. (UFOP) Considere que as funções logarítmicas
envolvidas na equação a seguir são reais e de variável
real.
Se a é raiz dessa equação, então calcule
04. ( FGV – SP ) Na equação y = 2
será igual a 8 quando x for igual a :
a) 13
b) –3
c) –1
d) 5
e) 23
log3 ( x 4 )
, y
05.(UNIMONTES-2009) As soluções da equação
4x+1 + 44-x - 80 = 0 são a e b, sendo a < b. O valor de
b
log 4 (ab) log 4 é
a
a) 2.
b) 4.
c) 3.
d) 1.
06.(Unimontes-2007) Resolvendo a equação 3x = 7
em uma calculadora que tem a tecla log x, obtêm-se
os seguintes números:
A) log3, log 7 e log 7 − log3.
B) log3, log 7 e log73.
C) log3, log 7 e log7 : log3.
7
7
D)
e log
3
3
07.(PASES) A intensidade M de um terremoto, na
Escala Richter, pode ser calculada pela fórmula 3M =
50
2.log10 (kE), onde k é uma constante positiva e E , em
quilowatt/hora, é a energia liberada no terremoto. Se um
terremoto de intensidade 8 libera uma energia E1 e outro
terremoto de intensidade 6 libera uma energia E2 , então
a razão E1/E2 é a seguinte potência:
a) 105
b) 103
c) 102
d) 106
e) 104
08.(PASES) A intensidade I de uma onda sonora, medida
em Watt por metro quadrado, possui uma faixa de valores
muito grande. Por essa razão é conveniente o uso de
logaritmos em seu cálculo. O nível sonoro N , medido em
I
decibéis ( dB ), é definido por N(I) = 10. log10 , onde
I0
I0 é uma intensidade de referência padrão. O nível sonoro
de uma sala de aula típica é N1(I1) = 50 dB , enquanto
que o nível sonoro mais intenso que um ser humano pode
suportar antes de sentir dor é N2(I2) = 120 dB. A razão
entre as intensidades sonoras I2 e I1 é:
a) 104
b) 105
c) 106
d) 107
e) 108
09.(PASES) Gastão resolveu fazer uma aplicação junto ao
banco onde possui conta. O gerente o informou de que
estão disponíveis as seguintes opções de investimento a
juros compostos:
12.( UFU – 2007 ) Se x e y são números reais
positivos, tais que logx3 = 4 e logy5 = 6, então, (xy)12
é igual a
a) 625.
b) 640.
c) 648.
d) 675.
13.(UNIMONTES-2010) Sendo a e b números reais,
uma solução da equação log a + log b = log(a + b)
existe se, e somente se,
b
A) a
b1
b2
B) a
1 b
b
C) a
b 1
1
D) a
b 1
14.(UNIMONTES) A raiz da equação exponencial
8x − 5 x = 0 é
log85
5/8
0
8/5
15. (Paes )A igualdade log2 = 0,30 significa que
A) 0,3010 = 2
B) 20,30 = 1
1
I. taxa de rendimento de 20% ao ano, para aplicação
mínima de R$ 500,00;
II. taxa de rendimento de 30% ao ano, para aplicação
maior ou igual a R$ 4.500,00.
Sabendo que Gastão vai iniciar seu investimento com
R$3.125,00, o tempo MÍNIMO, em anos, necessário para
que seu capital alcance o valor de R$ 58.500,00 é:
(Considere: log1,3 = 0,1.)
a) 15
b) 11
c) 13
d) 09
10.(UNIMONTES) Acrescentando-se 16 unidades a um
número, seu logaritmo na base 3 aumenta de 2
unidades. Esse número é
a) 5
b) 8
c) 2
d) 4
log x log y log y
11. (FAAP) Resolver o sistema
3 x 2 y 33
C) 2 10 0,30
D) 100,30 = 2
16. ( FEI – SP ) Se a.b = 1, então logb a é igual a:
a) 2
b) – 1/2
c) 1/2
d) 1/a2
17.( UNIMONTES ) Os possíveis valores de x para os
quais log 9 x + log x 9 = 5/2, são:
a)
b)
c)
d)
divisores de 243
múltiplos de 27
primos entre si
múltiplos de 9
18.( Fuvest – SP ) O número real x que satisfaz a
equação log2 (12 – 2x) = 2x é:
a) log2 5
b) log2 3
c) 2
d) log2 5
e) log2 3
51
19.(PUC-SP) A energia nuclear, derivada de isótopos
radiativos, pode ser usada em veículos espaciais para
fornecer potência. Fontes de energia nuclear perdem
potência gradualmente, no decorrer do tempo. Isso pode
t
ser descrito pela função exponencial P P0 .e 250 , na
qual P é a potência instantânea, em watts, de
radioisótopos de um veículo espacial; P0 é a potência
inicial do veículo;t é o intervalo de tempo, em dias, a partir
de t0 = 0; e é a base do sistema de logaritmos
neperianos. Nessas condições, quantos dias são
necessários, aproximadamente, para que a potência de
um veículo espacial se reduza à quarta parte da potência
inicial? (Dado: In2=0,693)
a) 336
b) 338
c) 340
d) 342
e) 346
20.(FIP-2009) Sem uma fonte de energia, a capacidade de
funcionamento celular cessaria, provocando a morte. Essa
energia é satisfeita pelo consumo de alimentos que
contém calorias. Um hambúrguer de dois andares, por
exemplo, contém 512 cal. Qual das afirmativas abaixo
expressa esse valor?
21.(FIP-2012) Alpargatas anuncia fábrica em Montes
Claros
Maior empresa de calçados da América Latina, a
Alpargatas S.A. anunciou a construção de uma nova
fábrica, em Montes Claros, no norte de Minas. A empresa
pretende investir R$ 177 milhões nos próximos quatro
anos na unidade mineira, e espera gerar cerca de 2,3 mil
empregos diretos e mais de 3 mil indiretos.
O principal item das novas linhas de produção serão as
sandálias Havaianas, tradicional marca da companhia
controlada pelo grupo Camargo Corrêa. A nova planta,
que começa a ser construída em agosto deste ano e deve
entrar em operação no segundo semestre de 2012, vai
fabricar cerca de 100 milhões de pares de calçados por
ano, o que representa um aumento de 35% na produção
atual.
A empresa fabricou e vendeu no ano passado 244 milhões
de unidades de calçados, vestuário e acessórios.
"Optamos por gerar empregos no Brasil. Temos condições
competitivas de fabricar nosso produto localmente", diz
Márcio Utsch, presidente da Alpargatas S.A.
Fonte: ADENORMG | Agência de Desenvolvimento da
Região Norte de Minas Gerais.
Suponha que um estudo estatístico tenha permitido a
conclusão de que, após t anos (t ³ 0), a empresa terá
sua produção dada pela expressão P(t) = 100. (1,35) t ,
em milhões de pares de calçados.
Segundo esse estudo, a fábrica atingirá uma produção
de 246 milhões de unidades de calçados em:
(Dados: log 2,46 = 0,39 e log 1,35 = 0,13)
A) 2015
B) 2013
C) 2017
D) 2020
22.(FIP-2012) O pH de uma solução varia de 0 a 14,
conforme a tabela:
O aparelho mostrado na figura a seguir é o phmetro.
Para medir o pH de uma solução, ele utiliza a relação
1
pH=log , onde H+ é a concentração de hidrogênio
H
em íons-grama por litro de solução.
Um estudante ao realizar uma pesquisa, encontrou a
concentração de hidrogênio de uma solução igual a
H+ = 12.10– 4.
Considerando: log2= 0,3 e log3=0,48, conclui-se que se
trata de uma solução:
A) ácida, uma vez que seu pH é maior que 0 e menor
que 3.
B) básica, uma vez que seu pH é maior que 11 e menor
que 13.
C) básica, uma vez que seu pH é maior que 7 e menor
que 9.
D) ácida, uma vez que seu pH é maior que 4 e menor
que 6.
23.(FIP-2012) Terremoto com mortos na Itália
aumenta a apreensão por ser 2 pontos superior ao
ocorrido em Montes Claros
O terremoto de 6 graus ocorrido no Norte da Itália, na
manhã de domingo, que provocou sete mortes e deixou
50 feridos, causou mais apreensão nos moradores de
Montes Claros por ser apenas dois pontos superior ao
ocorrido no município mineiro. Contudo, o professor
George Sands de França, do
Observatório Sismológico da UnB, não vê motivo para
alarme. “A população não deve se preocupar,
pois trata-se de uma medição de ordem de grandeza.
Se um tremor alcança 4 graus na escala Richter e outro
passa de 5 graus, esse ponto de diferença significa
uma intensidade 32 vezes maior”, explica França. O
Observatório Sismológico confirmou que o tremor de
sábado de manhã foi o de maior intensidade ocorrido
em Montes Claros até hoje: 4,2 graus.
52
GABARITO
O professor George Sands França, se referiu, a relação
E1
101,5(M1 M 2 ) onde é possível perceber quantas
,
E2
vezes um terremoto é mais intenso que outro, sendo que
nesta relação:
E1 = energia liberada pelo terremoto 1
E2 = energia liberada pelo terremoto 2
M2 = grau do terremoto 1 na escala Richter
M2 = grau do terremoto 2 na escala Richter
Considerando que 100, 7 = 5 , quantas vezes a intensidade
do terremoto da Itália, foi maior do que o de Montes
Claros?
A) 500
B) 150
C) 800
D) 1.000
24.(FIP-2013) Devido a uma grande campanha de
esclarecimento, realizada neste ano pelo Instituto
Nacional do Câncer - INCA, sobre a prevenção das
infecções causadas pelo HPV, é projetada uma
importante redução do número de mulheres que
desenvolverão câncer no colo do útero.
Considerando MO como o número atual de mulheres com
essa doença, daqui a t anos esse número será:
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
A
D
1
E
D
C
B
D
C
C
(9,3)
D
C
C
D
B
A
E
E
D
A
A
A
C
C
Desse modo, sabendo-se que log2 = 0,3, pode-se
considerar que o número de mulheres com a doença
1
será igual a
do atual daqui a:
16
A)12 anos.
B)9 anos.
C)6 anos.
D)3 anos.
25.(FIP-2013) O tremor de terra ocorrido na cidade de
Montes Claros, no dia 18 de abril de 2013 teve amplitude
de 1000 micrômetros.
O sismógrafo mede a amplitude e a frequência dessas
vibrações. A magnitude (Ms) do terremoto pode ser
calculada pela equação logarítmica:
Onde A é a amplitude, dada em micrômetros e f é a
frequência, dada em Hertz (Hz).
O referido tremor teve uma frequência de:
53
EQUAÇÕES MODULARES
b) | 3x – 8 | = 2x – 1
01. (UESB) O gráfico que melhor representa a função
𝑓 (𝑥 ) = 2 − |𝑥 − 1 | .
c) | x | . | x – 5 | = 6
04. A Resolva, no universo R, as inequações abaixo:
a) | 3x – 1| ≤ 8
b) | x2 – 5x | > 6
02.(UFMG) Considere a função f(x) = x.| 1 – x | .
Assinale a alternativa em que o gráfico dessa função está
CORRETO.
05.Esboce o gráfico de cada função abaixo:
a) f(x) = | 3x – 6 |
b) f(x) = | x2 – 6x + 8 |
03. Resolva, no universo R, as equações abaixo:
a) | x – 3 | = 4
06. ( Unitau – SP ) Se x é uma solução de |2x - 1| < 5
– x, então:
a) 5 < x < 7.
b) 2 < x < 7.
c) – 5 < x < 7.
d) – 4 < x < 7.
54
e) – 4 < x < 2.
07.( Cesgranrio ) O conjunto Imagem da função f(x) = |x2
– 4x + 8| + 1 é o intervalo:
a) [ 5, + [
b) [ 4, + [
c) [ 3, + [
d) [ 1, + [
e) [ 0, + [
08. ( UFLA – MG ) O gráfico da expressão |x| + |y| = 4 é
dado por:
b) f(x) = |x - 1| + |x + 1| - 2
c) f(x) = | | x | + 2| - 3
d) f(x) = |x - 1|
e) f(x) = | | x | + 1| - 2
GABARITO
1. 05
2. B
3. –
4. –
5. 6. E
7. A
8. A
9. D
10. A
09. ( UFRN ) Um posto de gasolina encontra-se localizado
no km 100 de uma estrada retilínea. Um automóvel parte
do km 0, no sentido indicado na figura abaixo, dirigindo-se
a uma cidade a 250km do ponto de partida. Num dado
instante, x denota a distância (em quilômetros) do
automóvel ao km 0. Nesse instante, a distância (em
quilômetros) do veículo ao posto de gasolina é:
a) |100 + x |
b) x – 100
c) 100 – x
d) |x – 100|
10. ( UFES ) O gráfico abaixo representa a função
a) f(x) = | | x | - 1|
55
MATEMÁTICA FINANCEIRA
01.(UNIMONTES) João aplicou R$520,00 a juros simples
de 3% ao mês. Seu irmão aplicou R$450,00 a uma outra
taxa. Ao final do 6.° mês, ambos atingiram o mesmo
montante. A taxa mensal de juros (simples) aplicada ao
dinheiro do irmão de João foi de, aproximadamente,
A) 6% ao mês.
B) 5% ao mês.
C) 4% ao mês.
D) 3,5% ao mês.
em relação ao valor de 2006, o salário mínimo de 2009
reflete um reajuste acumulado de:
A) 29,8%.
B) aproximadamente 32,8%.
C) mais do que a metade.
D) menos do que a quinta parte.
02.(UNIMONTES) Uma televisão, cujo preço de venda era
R$2500,00, sofreu dois descontos sucessivos, um de 20%
e outro de 15%. O novo preço da televisão ficou reduzido
a
A) 32% do preço inicial.
B) 68% do preço inicial.
C) 35% do preço inicial.
D) 65% do preço inicial.
06.(CESGRANRIO) Uma empresa oferece aos seus
clientes desconto de 10% para pagamento no ato da
compra ou desconto de 5% para pagamento um mês
após a compra. Para que as opções sejam indiferentes,
a taxa de juros mensal praticada deve ser,
aproximadamente,
A) 5,6%.
B) 5,0%.
C) 4,6%.
D) 3,8%.
E) 0,5%.
03.(UNIMONTES) Um comerciante vendeu duas
mercadorias a R$12,00 cada uma. Uma delas
proporcionou 20% de lucro em relação ao custo e, a outra,
20% de prejuízo em relação ao custo. Na venda de
ambas, ele
A) perdeu 1 real.
B) não ganhou nem perdeu.
C) ganhou 1 real.
D) perdeu 50 centavos.
07.(UFMG) Por um empréstimo de R$ 80000,00, à taxa
de i% ao mês, paga-se, de uma única vez, após 2
meses, o montante de R$ 115200,00. Por terem sido
aplicados juros compostos, a taxa mensal foi de:
A) 15%
B) 20%
C) 22%
D) 24%
E) 26%
04.(ENEM) Paulo emprestou R$ 5.000,00 a um amigo, a
uma taxa de juros simples de 3% ao mês. Considere x o
número de meses do empréstimo e M(x) o montante a ser
devolvido para Paulo no final de x meses. Nessas
condições, a representação gráfica correta para M(x) é
08.(UESB) Para fazer uma viagem ao exterior, uma
pessoa foi a uma instituição financeira comprar dólares.
Nesse dia, um dólar estava sendo cotado a 0,85 euros
e um real estava sendo cotado a 0,25 euros. Com base
nesses dados, pode-se afirmar que, para comprar 500
dólares, essa pessoa gastou, em reais,
01) 1700,00
02) 1640,00
03) 1520,00
04) 1450,00
05) 1360,00
05.(UFOP) Em 2007, o salário mínimo sofreu 8,6% de
reajuste sobre seu valor de 2006. Em 2008, foi reajustado
em 9,2% e, em janeiro de 2009, sofreu mais um reajuste,
de 12%, sempre sobre seu valor no ano anterior. Assim,
09.(UFMG) O preço de venda de determinado produto
tem a seguinte composição: 60% referentes ao custo,
10% referentes ao lucro e 30% referentes a impostos.
Em decorrência da crise econômica, houve um
aumento de 10% no custo desse produto, porém, ao
mesmo tempo, ocorreu uma redução de 20% no valor
dos impostos. Para aumentar as vendas do produto, o
fabricante decidiu, então, reduzir seu lucro à metade.
É CORRETO afirmar, portanto, que, depois de todas
essas alterações, o preço do produto sofreu redução
de
A) 5%.
B) 10%.
C) 11%.
D) 19%.
10.(Unimontes) Uma loja de brinquedos resolveu fazer
a seguinte promoção “Presenteie com bonecas”: a
56
pessoa paga o preço de 3 bonecas e leva 5. Quanto uma
pessoa economizará comprando 5 bonecas nessa
promoção?
A) 60%.
B) 40%.
C) 33,3%.
D) 66,66%.
11.(Unimontes) Uma mercadoria, que custa R$50,00 à
vista, é adquirida a prazo, com uma entrada de R$30,00
mais uma parcela de R$25,00 com 30 dias de prazo. A
taxa de juros mensal, cobrada nessa operação, é de
A) 20%.
B) 15%.
C) 25%.
D) 10%.
12.(Unimontes) Um comerciante aplicou um capital a 24%
ao ano e o triplo desse capital a 26% ao ano. Depois de
um ano, ele recebeu R$1530,00. Qual o capital total
aplicado?
A) R$9000,00
B) R$4500,00
C) R$5000,00
D)R$6000,00
13. (UFMG) Um capital de R$ 30 000,00 foi dividido em
duas aplicações: a primeira pagou uma taxa de 8% de
juros anuais; a outra aplicação, de risco, pagou uma taxa
de 12% de juros anuais. Ao término de um ano, observouse que os lucros obtidos em ambas as aplicações foram
iguais. Assim sendo, a diferença dos capitais aplicados foi
de
A) R$ 8 000,00.
B) R$ 4 000,00.
C) R$ 6 000,00.
D) R$ 10 000,00.
14. O preço de uma geladeira era igual a 60% do preço de
uma TV.No último mês, esses produtos tiveram aumentos
de 30% e 20% respectivamente. A razão entre os novos
preços da geladeira e da TV passou a ser de:
A) 62% B) 63%
C) 64% D) 65%
E) 66%
15. (Uesc) Um automóvel foi comprado e revendido,
sucessivamente, por três pessoas. Cada uma das duas
primeiras pessoas obteve, por ocasião da revenda, um
lucro de 10%, e a terceira teve um prejuízo de 10% sobre
o respectivo preço de compra. Se a terceira pessoa
vendeu o automóvel por 13068,00, então a primeira o
adquiriu por
a) R$12000,00
b) R$12124,00
c) R$12260,00
d) R$12389,00
e) R$12500,00
16. ( Viçosa – MG ) Dois descontos sucessivos, um de
10% e outro de 20%, correspondem a um desconto
único de:
30%
29%
28%
27%
26%
17. ( PUC – SP ) Uma cooperativa compra a produção
de pequenos horticultores, revendendo-a para
atacadistas com um lucro de 50% em média. Estes
repassam o produto para os feirantes, com um lucro de
50% em média. Os feirantes vendem o produto para o
consumidor e lucram, também, 50% em média. O preço
pago pelo consumidor tem um acréscimo médio, em
relação ao preço dos horticultores, de:
a) 150%
b) 187%
c) 237,5%
d) 285,5%
e) 350%
18. ( UFRS ) Um capital, aplicado a juros simples,
triplicará em 5 anos se a taxa anual for de :
a) 30%
b) 40%
c) 50%
d) 75%
e) 100%
19. ( Vassouras ) Um artigo custa, à vista R$ 200,00 ,
mas também é vendido a prazo com uma entrada de
R$ 120,00 e outra parcela de R$ 100,00 um mês
depois. Quem opta pela compra a prazo paga juros
mensais na taxa de :
25%
20%
15%
10%
5%
20. ( UFMG ) Uma compra de R$ 100 000,00 deverá
ser paga em duas parcelas iguais, sendo uma à vista e
a outra a vencer em 30 dias. Se a loja cobra juros de
20% sobre o saldo devedor, então o valor de cada
parcela, desprezando-se os centavos, será de :
R$ 54 545,00
R$ 56 438,00
R$ 55 000,00
R$ 58 176,00
R$ 60 000,00
21. (FIP-2010) Durante a Copa do Mundo de 2006, na
Alemanha, o slogan no ônibus que transportava a
seleção brasileira era: "Veículo monitorado por 180
milhões de corações brasileiros". Essa frase dizia
respeito à população total brasileira daquele ano.
Segundo as estimativas do Instituto Brasileiro de
Geografia e Estatística – IBGE, no ano de 2025 a
população brasileira deverá atingir 228 milhões de
habitantes. Considerando os dados apresentados, qual
é o aumento, aproximado, estimado pelo IBGE da
população brasileira de 2006 até 2025?
57
A) 32,4%
B) 26,7%
C) 18,6%
D) 41,2%
22. (FIP-2011) Pequenos consumos podem parecer
bobagem, mas, quando somados, tornam-se grandes
gastos. Para ajudarmos nosso planeta e também
economizarmos nosso salário, devemos desligar os
aparelhos e não os deixar no modo de espera, conhecido
por stand by. Diante disso, considere a situação:
· Um determinado DVD consome 20W, em stand by;
· Admita que esse DVD permaneça, em média, 23 horas
por dia em stand by;
· 1 kwh de energia equivale ao consumo de um aparelho
de 1.000 w de potência durante uma hora de uso;
· O preço de 1kwh é R$ 0,40.
Considerando 1 ano de 365 dias, qual será,
aproximadamente, a média anual, de consumo desse
aparelho em stand by?
A) R$ 19,00
B) R$ 95,00
C) R$ 67,00
D) R$ 65,00
23. (FIP-2011) Na compra a prazo de uma TV, o total pago
por uma pessoa foi de R$ 672,00. A entrada teve valor
correspondente a um sexto do total, e o restante foi pago
em quatro parcelas, cujos valores formam uma progressão
aritmética crescente de razão R$ 40,00. Qual foi o valor da
última prestação?
A) R$ 205,00
B) R$ 210,00
C) R$215,00
D) R$ 200,00
24. (FIP-2012) O preço do tomate teve alta de mais de
100% para o consumidor em 2008, informação que foi
divulgada no início do mês de março, pelo IBGE – Instituto
Brasileiro de Geografia e Estatística – e pela FGV –
Fundação Getúlio Vargas. Mas, para os produtores,
comerciantes e consumidores da Ceanorte – Central de
abastecimento de Montes Claros –, o tomate iniciou esta
semana com o preço médio quase 45% mais barato em
relação à passada. A caixa com 22 quilos do fruto foi
comercializada, na segunda-feira, a R$25,00.
Fonte: O NORTE DE MINAS. 29 Mar 2011
O Sr. Horta Liço, pequeno produtor de Nova Esperança,
distrito de Montes Claros, entrega caixas de 22kg de
tomate, na Ceanorte, ao preço estipulado de R$ 25,00 a
caixa. Porém, na feira de fim de semana, para facilitar seu
trabalho, ele distribui os tomates em sacolas de 2 kg.
Quantas sacolas, nas condições especificadas, ele
precisará vender para arrecadar R$ 300,00?
A) 132
B) 335
C) 123
D) 220
25. (FIP-2012) A campanha de matrícula de uma
escola para o ano de 2012 apresenta, em seu site, a
seguinte regra de desconto:
No mês de novembro, comparativamente a outubro,
houve, em relação aos preços:
A) redução de 10%
B) aumento de 10%
C) aumento de 12,5%
D) redução de 12,5%
26. (FIP-2012) Sem fazer tanto alarde o Hyundai HR,
vem conseguindo conquistar um grande público no
Brasil, o modelo figura entre os 10 utilitários mais
vendidos. A receita é simples, um preço atrativo, (em
média é achado por R$ 55.900 mil), uma mecânica
robusta com motor turbodiesel, somada a uma ótima
capacidade de carga, faz do HR uma boa opção para
quem busca transportar cargas nas grandes cidades no
dia-a-dia.
HR HYUNDAI MODELO : 2011
VALOR R$ 58.000,00
PLANOS DE 80 MESES :R$ 867,66
CAPACIDADE DE CARGA: 1.800 kg
O Sr. Juvenal gostou da propaganda do Hyundai HR e
adquiriu um. Algum tempo depois, precisou fazer um
transporte de material de construção (cimento e tijolo)
para uma obra de sua propriedade. Ele verificou que
seria possível transportar 36 sacos de cimento ou 720
tijolos em seu caminhão.
De acordo com as informações, a ÚNICA alternativa
INCORRETA é:
A) Se já foi colocado 15 sacos de cimento sobre o
caminhão, então é possível colocar mais 500 tijolos.
B) 17 sacos de cimento totalizam 850 kg
C) 460 tijolos totalizam 1.150 kg
D) 12 sacos de cimento e 480 tijolos completam a
carga máxima do caminhão
27.(FIP-2012) Medida provisória que altera regras da
poupança é publicada
Foi publicada nesta sexta-feira (4) no "Diário Oficial da
União" a medida provisória editada pelo governo
federal que altera as regras da poupança. Segundo a
nova resolução, quando a taxa básica de juros for de
8,5% ao ano ou menor, o rendimento da caderneta
será fixado em 70% da taxa Selic. A mudança só vale
para os depósitos que forem feitos a partir desta sexta.
58
O IPVA (Imposto sobre a Propriedade de Veículos
Automotores) é um imposto estadual, cobrado
anualmente, cuja alíquota varia em cada Estado, de
acordo com o valor do veículo.
Em Minas Gerais, desde 2004, calcula-se o IPVA
aplicando-se sobre a base de cálculo (preço de
mercado) a alíquota de 4% para automóveis, veículos
de uso misto e utilitários. Esse valor pode ser dividido
em 3 parcelas mensais e iguais ou ser pago a vista
com desconto de 3,6%.
De acordo com as taxas apresentadas, é correto
afirmar que:
A)O valor do IPVA de um veículo de uso misto,
cujo preço de mercado é R$25.000,00 é
R$1.200,00.
B)O valor do IPVA de um veículo de uso misto, cujo
preço de mercado é R$25.000,00 é R$980,00, se for
pago a vista.
C)O valor de mercado de um veículo de uso misto
cujo IPVA sem desconto foi de R$800,00 é
R$15.000,00.
D)O valor de mercado de um veículo de uso misto
cujo IPVA, pago a vista, foi de R$771,20 é
R$20.000,00.
Suponha que um pequeno investidor, tenha feito uma
aplicação de R$ 1.000,00 após essa mudança.
Caso os juros caiam para 8,5% e se mantenham nesse
patamar, qual será, de acordo com as informações acima,
o rendimento anual desse investidor?
A) R$58,00 B) R$61,70 C) R$61,50 D) R$63,70
28.(FIP-2013)
29. (FIP-2013) O Número de Ouro é um número
irracional que surge numa infinidade de elementos da
natureza na forma de uma razão. Esse número é
representado pela letra grega Φ (Phi maiúscula) (lê-se
“fi”) e é o número 1,618033989, sendo considerado por
muitos como uma oferta de Deus ao mundo. Esse
número não é mais do que um valor numérico e é
reconhecido como o símbolo da harmonia.
Algumas curiosidades sobre o número de ouro:
1) Se você pegar uma concha em formato de espiral e
calcular a razão de cada diâmetro de uma espiral para
a seguinte, chegará sempre a um valor aproximado de
1,618.
2) Se você pegar sua altura e dividir pela distância
entre seu umbigo e o chão, encontrará um valor de
aproximadamente 1,618.
3) Se você dividir o número de fêmeas pelo número de
machos em uma colmeia de abelhas, sempre chegará
ao mesmo número aproximado: 1,618.
59
Calcule, aproximadamente, o percentual de fêmeas em
uma colmeia.
A) 38,2%
B) 65,7%
C) 61,8%
D) 54,5%
30. (FIP-2013) A Lei 12.433/2011, que entrou em vigor no
dia 29 de junho de 2011, alterou sensivelmente o
panorama da remição de penas no Brasil. Ao modificar a
redação dos artigos 126, 127 e 128 da Lei de Execução
Penal, passou a permitir que, além do trabalho, o estudo
seja causa de diminuição de pena.
Essa lei determina que a contagem do tempo será feita à
razão de 1 (um) dia de pena por 3 (três) de trabalho ou
estudo, o que significa que, a cada três dias trabalhados
ou estudados, o condenado terá direito a redução de 1 dia
em sua pena.
Fonte:
http://jus.com.br/revista/texto/21100/a-novaremicao-de-penas acesso em 20/11/2012
Um réu que foi condenado a 12 anos de prisão fez a prova
do ENEM e foi aprovado; e fará o curso em 4 anos. Se ele
completar o curso nesse período, quanto tempo deverá
permanecer na prisão?
A) 10 anos e 3 meses
B) 10 anos e 8 meses
C) 10 anos e 4 meses
D) 11 anos e 3 meses
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
24.
25.
26.
27.
28.
29.
30.
31.
B
C
D
C
D
A
C
C
B
A
A
B
C
D
A
C
A
C
D
C
B
A
31. (FIP-2013) A Rede Globo apresentou a novela
Avenida Brasil, que foi um frenesi na vida dos brasileiros.
Uma das situações da novela apresentou o sequestro de
Tufão, cujo resgate foi de R$ 20 milhões. Na novela, foi
mostrado que esse resgate foi colocado em duas sacolas
de lixo. Considerando que os R$ 20 milhões tenham sido
pagos em notas de R$100,00 e que cada nota pesa 1
grama, e, ainda, que, em média, sacos de lixo de
fabricação no Rio de Janeiro suportam 40 quilos, então a
cena da novela:
A) não está correta, pois seriam necessários no mínimo 3
sacos de lixo;
B) não está correta, pois bastaria 1 saco de lixo;
C) está correta, pois seriam necessários exatos 2 sacos
de lixo.
D) não está correta, pois seriam necessários no mínimo 4
sacos de lixo;
GABARITO
1. A
2. B
3. A
4. A
5. B
6. A
7. B
8. 01
9. A
60
MATRIZES, DETERMINANTES E SISTEMAS
LINEARES
07. (UFBA) A matriz 2 x 3, com
aij 2i j, se i j
aij i j, se i j é:
EXERCÍCIOS I
01. Determine os valores de a, b, x e y, nas matrizes
abaixo sabendo que:
x y 2a b 3 1
2x y a b 0 7
02. Qual a soma de todos os elementos bij da matriz B =
[ bij ]3 x 3 tal que bij = ( i – j )2 ?
03. Dadas as matrizes A e B abaixo,
de x, y e z para que B = At.
0
2 4
0 6
A 6 3 y e B x 3
5
4 8
1 2
E) apenas II é verdadeira
determine o valor
5
1
z
04. Ache x, y, z e w, nas matrizes abaixo de modo que:
x y 2 3 1 0
z w 4 1 8 5
05. Nas matrizes abaixo, ache m, n, p e q, de modo que:
m 2m n n 7 8
p p q 3q 1 5
2
a) - 3
-1
0
4
1
2 0 - 1
d)
3 4 1
2 3
b) 0 4
1 1
2 0 - 1
e)
- 3 4 1
2 3
c) 0 4
1 2
08. ( ABC – SP ) Seja A = ( a ij ) uma matriz quadrada
de ordem 3, tal que
0, se i j
a ij i j, se i j
i - j, se i j
Então o valor da soma de todos os elementos da matriz
A é:
a) 16
b) 14
c) 12
d) 10
e) 8
09. (Unesp – SP) Considere três lojas, L1, L2 e L3, e
três tipos de produtos, P1, P2 e P3. A matriz a seguir
descreve a quantidade de cada produto vendido por
cada loja na primeira semana de dezembro. Cada
elemento aij da matriz indica a quantidade do produto
vendido pela loja , com i e j = 1, 2, 3.
1 2
,
2 3
06 .(UNIFEI MG) Dadas as matrizes A
1 0
0 3
B
e C
, considere as seguintes
2 1
1 4
afirmativas:
2 5
1 8
0 1
II . Y = B – A – C =
3 2
I.
X=A+B–C=
3 4
2 7
III . Z = 2A – C =
Pode-se afirmar que:
A) apenas as afirmativas I e II são verdadeiras.
B) todas as afirmativas são verdadeiras.
C) apenas as afirmativas II e III são verdadeiras.
D) todas as afirmativas são falsas.
Analisando a matriz, podemos afirmar que
A) a quantidade de produtos do tipo P2 vendidos pela
loja L2 é 11.
B) a quantidade de produtos do tipo P1 vendidos pela
loja L3 é 30.
C) a soma das quantidades de produtos do tipo P3
vendidos pelas três lojas é 40.
D) a soma das quantidades de produtos do tipo Pi
vendidos pelas lojas Li, i = 1, 2, 3, é 52.
E) a soma das quantidades dos produtos dos tipos P 1 e
P2 vendidos pela loja L1 é 45.
10. (FGV – RJ) A organização econômica Merco é
formada pelos países 1, 2 e 3. O volume anual de
negócios realizados entre os três parceiros é
representado em uma matriz A, com 3 linhas e 3
61
colunas, na qual o elemento da linha i e coluna j informa
quanto o país i exportou para o país j, em bilhões de
dólares.
Então o país que mais exportou e o que mais importou no
Merco foram, respectivamente:
a) 1 e 1
b) 2 e 2
c) 2 e 3
d) 3 e 1
e) 3 e 2
a2 2
2a
11. ( Fatec – SP ) Sejam X =
2 a2
4a
I. O produto de matrizes A3x2 . B2x1 é uma matriz 3x1.
II. O produto de matrizes A5x4 . B5x2 é uma matriz 5x2.
III. O produto de matrizes A2x3 . B3x2 é uma matriz
quadrada 2x2.
é verdade que
a) somente I é falsa.
b) somente II é falsa.
c) somente III é falsa.
d) somente I e III são falsas.
e) I, II e III são falsas.
16. ( VUNESP – SP ) Considere as matrizes A =
2 1
1 0
e I =
. A Matriz B, tal que A.B = I é
1
1
0 1
dada por :
e Y=
6
7
, onde a R . Se X = Y, então:
12 7
a =3
a = -3
a = 1/3
a = - 1/3
c)
2
3 x
0 5 seja
2 5 0
0
1 0
0
a) 9B
anti-simétrica, o valor de x deve ser :
a) 0
b) 2
c) 3
d) 5
e) 10
d)
24 3
13. (UEL) Uma matriz quadrada
A se diz ANTISIMÉTRICA se A = – At. Nessas condições, se a matriz
x y z
A = 2 0 3 é uma matriz anti-simétrica, então x + y
1 3 0
+ z é igual a:
a) 3
b) 1
c) 0
d) –1
e) – 3
14. (UEL) Sejam as matrizes A 3x 4 e Bpxq . Se a matriz
15. (UEL) Sobre as sentenças:
b)
2
1 0
17. ( FATEC – SP ) Se A =
e B=
0 1
3 3
são duas matrizes quadradas de ordem 2, então A2 –
5A + 3B é igual a :
12. ( ICÉS – MG ) Para que a matriz 3
A.B é 3 x 5, então é verdade que
a) p = 5 e q = 5
b) p = 4 e q = 5
c) p = 3 e q = 5
d) p = 3 e q = 4
e) p = 3 e q = 3
1 1
2 1
2 1
1 1
1 1
e)
1 2
1 1
1 2
1 1
d)
1 2
a)
3
b)
3
6
0
3 0
0 3
c)
0
e)
18 16
18. ( UFV – MG ) Considere as matrizes:
A = ( aij ), 3 x 4, definida por aij = i – j
B = ( bij ), 4 x 3, definida por bij = 2i – j
C = ( cij ), C = A x B
O elemento C32 é :
–7
–4
–2
0
2
1 2
2 y
19. ( PUC – MG ) Se A =
, B=
e A.B =
0 3
0 5
B.A, o valor de y é :
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
a 0
2
20. (UEL) Considere as matrizes M =
e M
b
a
8 0
=
. Conclui-se que o número real “a” pode ser:
0 8
62
26. (Unimontes) Sejam x e y números reais
positivos. Considere as matrizes
a) 2 3
b) 2 2
c) 2
d) – 2
e) – 3
1 0
21. ( FEI – SP ) Dadas as matrizes: A
,
1 2
2 7
0 0
B
e 0 0 0 , determine a matriz X de
0
4
ordem 2 tal que : 2X – AB = 0 .
11 9
x y
,
e L =
z
w
8 2
11 9
é necessário que os
para que se tenha K x L =
2 12
22. ( ICÉS – MG ) Sendo K =
valores de x, y, z e w sejam, nessa ordem, iguais a:
0, 0, 4, 6
1, 0, 2, 3
1, 1, 4, – 6
1, 2, 0, 3
1, 1, 1/4, – 6
2 3
23. ( CEFET - MG ) Se a matriz inversa de A =
é
3 x
5 3
o valor de x é :
3 2
5
6
7
9
10
24. (UNIMONTES) Considere as seguintes matrizes
Com base nessas informações, é CORRETO afirmar
que os valores de x e y, de modo que se tenha A.B =
B.A, são, respectivamente,
27. (UNIMONTES) Uma fábrica produz 3 tipos
diferentes de artigos . Numa semana são vendidos 100
unidades do artigo A , 150 unidades do artigo B e 200
unidades do artigo C . Os preços de venda , por
unidade de cada artigo , são respectivamente .
R$20,00 , R$30,00 , R$10,00 . A quantidade total de
artigos , na ordem A, B e C , vendidos em uma
semana, podem ser representada pela matriz
20
X 100 150 200 . A matriz Y 30 representa o
10
preço de venda por unidade de artigo , tomado na
ordem dada . Com base nos dados apresentados , é
correto afirmar que o produto X.Y representa .
a)Uma matriz de ordem 1 , que fornece o total apurado
diariamente pela venda dos artigos A, B e C .
b) Uma matriz de ordem 1 , que fornece o total apurado
semanalmente pela venda dos artigos A, B e C .
c) Uma matriz de ordem 3 .
d) Uma matriz de 3 linhas e 1 coluna .
28. (UFMG) Milho, soja e feijão foram plantados nas
regiões P e Q, com ajuda dos fertilizantes X, Y e Z.
A matriz A indica a área plantada de cada cultura, em
hectares, por região:
Podemos afirmar que:
A) A. B = B . A = I.
B) não existe a matriz inversa da matriz A.
C) A e B são inversas, pois A.B = I.
D) B.I = I.B = B.
25. (MACK) Se A é uma matriz 3 x 4 e B uma matriz
n x m, então:
a) existe AB se, e somente se, n = 4 e m = 3
b) existem AB e BA se, e somente se, n = 4 e m = 3
c) existem, iguais, AB e BA se, e somente se, A = B
d) existe A + B se, e somente se, n = 4 e m = 3
e) existem, iguais, A + B e B + A se, e somente se, A =
B.
A matriz B indica a massa usada de cada fertilizante,
em kg, por hectare, em cada cultura:
a) CALCULE a matriz C = AB.
63
b) EXPLIQUE o significado de C23, o elemento da segunda
linha e terceira coluna da matriz C.
4 6
1 2
29. ( UFV – MG ) Sejam as matrizes A
x
M 1
2
e
y
. Onde x e y são números reais e M é a
2
matriz inversa de A. Então o produto x. y é:
A) 0
B) – 3
C) 4
D) – 2
E) 3
30. (FIP) Considere a matriz de segunda ordem
A
2
1
3
2
Na 33ª rodada do Campeonato Brasileiro 2011, o
resultado dos 4 últimos times era o que se lê na
tabela2:
Sabendo que cada tabela pode ser transformada em
uma matriz, temos a seguinte situação:
Tabela 1, que corresponde à seguinte matriz
Tabela 2, que corresponde à seguinte matriz
e seja A–1 sua inversa. Se a matriz B,
também de segunda ordem é dada por B
então a expressão A 5 . A 1
32
2
5
3
7
. B é igual a:
Nessa rodada do campeonato, qual matriz abaixo
corresponde ao resultado dos pontos para cada
equipe?
02.(FIP-2012) O Brasileirão 2011 contou com 20 clubes
que disputaram entre si, ponto a ponto, qual o melhor time
brasileiro da atualidade. A forma de pontuação manteve
igual a do ano passado, em que cada vitória valia 3 pontos
e os empates, apenas 1 ponto, conforme tabela 1. E para
se tornar campeão, todos os times disputaram, entre si,
em jogos de turno e returno; ao final, o time com mais
pontos sagrou-se o campeão brasileiro.
GABARITO
1) x = 1, y = 2, a = 2 e b = – 5
3) y = 8
x=
2
4) x = –3; y = 3; z = 12; w = –6
5) m = 5; n = 2; q = –1; p = 2
9) E
10) C
2) 12
11) B
12) B
6) B
7) D
13) D
8) A
14) B
64
15) B
16) E
7
1 2
21) X
1
1
2
25) B
26) B
17) C
18) C
19) C
20) B
DETERMINANTES
01. ( Faap – SP ) Resolva a equação
22) B
23) A
x
4
3x
14
2x
24) B
27) B
28)
a)
a b
c d
02. ( FGV – SP ) Se
determinante
a b 0
0 d 1
c 0 2
= 0, então o valor do
é:
29) E
0
bc
2bc
3bc
b2c2
30) C
03. ( UFES ) A solução real da equação
b) A massa de fertilizante Z usada na área Q.
31) B
x 2 0
1 3 3
0 x 3
=0
é:
x=1 e x=2
x=2 e x=3
x = -1 e x = 2
x=1 e x=3
04. ( UFRS ) A solução da equação
1 1 2
1 2 x = 0 é:
3 0 1
–3
–1
0
1
3
05. ( PUC-RS) A equação
2 1
3
4 1 x 1 12 , tem
x 0
x
como conjunto verdade:
{-6, 2}
{-2, 6}
{2, 6}
{-6, 6}
{-2, 2}
06. ( FGV – SP ) A solução da equação
x 0 1
1 x 0 0
0 1 x
( “x” real ) é:
65
d) 12
e) 15
não tem solução real
x= 3
x=1
x=1
x = -1
8 7 4
07.( UFBA ) Se X 10 1 5
0 20 1
e
Y
8 7 4
0 20 1 ,
10 1 5
então :
X=Y0
X=Y=0
X = 2Y
2X = Y
X+Y=0
12. (UFRGS) Se A é uma matriz 2x2 e det A = 5, então
o valor de det 2A é:
a) 5
b) 10
c) 20
d) 25
e) 40
13. ( FATEC – SP ) Se x é um número real positivo tal
x 1
1 1
que A =
, B =
e det (A.B) = 2,
1 1
x 0
08. ( Unicap – PE ) Calcule o valor de x, a fim de que o
determinante da matriz A seja nulo.
então x x é igual a:
A) – 4
B) 1/4
C) 1
D) 2
E) 4
1 0 1
09. ( UNIFORM ) Sejam as matrizes A
e
0 2 2
2 1
B 1 2 . O determinante da matriz A.B é:
0 1
14. (Ufes) Se A é uma matriz quadrada de ordem 3
com det(A) = 3 e se k é um número real tal que
det(kA) = 192, então o valor de k é:
a) 4
b) 8
c) 32
d) 64
e) 96
2 1 0
15. ( UESP ) Se o determinante da matriz k k k
1 2 2
a) 64
b) 8
c) 0
d) – 8
e) – 64
p 2 2
10. ( UESP ) Se o determinante da matriz p 4 4 é
p 4 1
p 1 2
igual a –18, então o determinante da matriz p 2 4 é
p 2 1
igual a:
a) – 9
b) – 6
c) 3
d) 6
e) 9
16. ( PUC
2 1
A 1 2
0 1
2 1
, o triplo do determinante da
4 6
11. (MACK) Se A3 =
matriz A é igual a
a) 3
b) 6
c) 9
é igual a
10, então o determinante da matriz
1
0
2
k 4 k 3 k 1 é igual a:
1
2
2
a) 7
b) 8
c) 9
d) 10
e) 11
– SP ) O cofator do elemento a23 da matriz
3
1 é:
2
a) 2
b) 1
c) – 1
d) – 2
e) 3
66
a) k = – 4
b) k = – 3
c) k = – 5
d) k = 3
17. (ESAF) Considere as matrizes
onde os elementos a, b e c são números naturais
diferentes de zero. Então, o determinante do produto das
matrizes X e Y é igual a
a) 0.
b) a.
c) a + b + c.
d) a + b.
e) a + c.
18. (Unimontes) Indicaremos por det(X) o determinante
de uma matriz X. Seja A uma matriz 2×2. Nessas
condições, é CORRETO afirmar:
A) det(2A) é igual a 2.det(A).
B) se det(A) = 1, então A é a matriz identidade.
C) se multiplicarmos a segunda linha de A por 2, o
determinante da nova matriz será igual a 2.det(A).
D) se det(A) = 0, então A é a matriz nula.
e
e
e
e
k=1
k=2
k = -2
k=2
GABARITO
1) S = {-1, 7 }
7) E
8) x = 13
13) B
14) A
19) C
20) A
2) D
9) D
15) C
21) D
C) A
4) A
10) E
16) D
5) B
11) B
17) A
6) E
12) C
18) C
22) A
19. (UNIMONTES) As afirmações abaixo são falsas,
EXCETO
a) Se det A = det B, então A = B.
b) det(A⋅ A) = det A.
c) Se det A ≠ 0 , então a matriz A possui matriz inversa.
d) Se a matriz B possui inversa, então det B = 1.
20.
1
0
0
0
(
–
FMJ
0 0
2 0
0 3
0 1
0
0
1
4
SP
)
O
valor
do
determinante
é:
– 26
– 24
– 13
24
26
21. ( ABC – SP ) Seja A = (aij) uma matriz quadrada de
0, se i j
ordem 3, tal que ( aij ) i j, se i j . Então o valor do
i j, se i j
determinante da matriz A é:
a) 0
b) 12
c) 24
d) 48
e) 60
1 0 1
22.(CEFET) Para que a matriz A = k 1 3 não seja
1 k 3
inversível, os valores de k são:
67
SISTEMAS LINEARES
x y z 6
01.(UFRN) A solução do sistema 4x 2y z 5 é:
x 3 y 2z 13
a) (-2, 7, 1)
b) (4, -3, 5)
d) (2, 3, 1)
e) (1, 2, 3)
c) (0, 1, 5)
02.( PAES ) Um par de tênis, duas bermudas e três camisetas
custam, juntos, R$100,00. Dois pares de tênis, cinco bermudas e
oito camisetas custam, juntos, R$235,00. Um par de tênis, duas
bermudas e duas camisetas custam, juntos, R$95,00. Quanto
custam, juntos, um par de tênis, uma bermuda e uma camiseta?
A) R$50,00
B) R$70,00
C) R$60,00
D) R$65,00
03.( PAES ) Em uma loja de brinquedos, uma bola, duas petecas
e três quebra-cabeças custam R$10,00. Duas bolas, cinco
petecas e oito quebra-cabeças custam R$23,50. Na compra de
uma bola, uma peteca e um quebra-cabeça, pagarei
A) R$7,00.
B) R$6,00.
C) R$7,50.
D) R$8,50.
04. (FUVEST-SP) Carlos e sua irmã Andréia foram com
seu cachorro Bidú à farmácia de seu avó. Lá encontraram
uma velha balança com defeito, que só indicava
corretamente pesos superiores a 60 kg. Assim, eles se
pesaram dois a dois e obtiveram as seguintes marcas:
• Carlos e o cão pesam juntos 87 kg;
• Carlos e Andréia pesam 126 kg; e
• Andréia e Bidú pesam 66 kg.
Podemos afirmar que:
A) Cada um deles pesa menos que 60 kg.
B) Dois deles pesam mais que 60 kg.
C) Andréia é mais pesada dos três.
D) Carlos é mais pesado que Andréia e Bidú juntos.
05. (UEL – PR ) Se os sistemas abaixo são equivalentes,
encontre o valor de a2 + b2
ax by 5
xy 1
x
2
y
5
bx ay 1
06. (Unimontes) Se um número de dois dígitos é 9 vezes
a soma de seus dígitos, então o número formado pela
troca dos dígitos é a soma dos dígitos multiplicada por
A) 2.
B) 3.
C) 4.
D) 1.
07.(Unimontes) O conjunto solução do sistema de
equações lineares
𝒙
𝒚+𝟏
08. (FGV-SP) É dado o sistema {𝟐𝒚 = 𝟖𝒙−𝟗 , pode-se
𝟗 =𝟑
dizer que x + y é igual a:
a) 18
b) -21
c) 27
d) 3
e) -9
09. (BNB-ACEP) Uma agência bancária vende dois
tipos de ações. O primeiro tipo é vendido a R$1,20 por
cada ação e o segundo a R$1,00. Se um investidor
pagou
R$1.050,00
por
mil
ações,
então
necessariamente ele comprou:
300 ações do primeiro tipo
300 ações do segundo tipo
250 ações do primeiro tipo
250 ações do segundo tipo
200 ações do primeiro tipo
10. (Bnb/2007) Dentre os serviços que um BANCO
presta à comunidade, há três pelos quais cobra as
taxas X, Y e Z em reais. Ao final do expediente de um
dia de trabalho, os caixas A, B e C anotaram os valores
recebidos referentes às taxas supracitadas:
Logo, a soma das taxas X + Y + Z é, em real, igual
a:
a) 35,40
b) 46,20
c) 44,70
d) 33,80
e) 36,70
11. (CTSP) Um mesmo conjunto de farda é vendido em
duas lojas A e B, sendo R$ 40,00 mais caro na loja
B. Se a loja B oferecer 10% de desconto no preço do
produto, este ainda assim será 5 % mais caro do que
custa na loja A. O preço do conjunto na loja A é:
A) R$ 300,00
B) R$ 280,00
C) R$ 260,00
D) R$ 240,00
12. (CTSP) Os 180 alunos de uma escola estão
dispostos de forma retangular,em filas, de tal modo que
o número de alunos de cada fila supera em 8 o número
de filas.Quantos alunos há em cada fila?
A) 20
68
x 2y z 3
B) 15
C) 18
D) 22
19. (CEFET) A respeito do sistema 2x y z 1
3x y 2z 2
13. (Esaf-MPU).Ana e Júlia, ambas filhas de Márcia,
fazem aniversário no mesmo dia. Ana, a mais velha, tem
olhos azuis; Júlia, a mais nova, tem olhos castanhos.
Tanto o produto como a soma das idades de Ana e Júlia,
consideradas as idades em número de anos completados,
são iguais a números primos. Segue-se que a idade de
Ana – a filha de olhos azuis –, em número de anos
completados, é igual
A) à idade de Júlia mais 7 anos.
B) ao triplo da idade de Júlia.
C) à idade de Júlia mais 5 anos.
D)ao dobro da idade de Júlia.
E) à idade de Júlia mais 11 anos.
14. ( UFVJM ) Considere o sistema indeterminado
2x y a
. Nele o valor de a + b vale:
4 x by 2
a) 1/2
b) 3/2
c) 2
d) 3
,podemos afirmar que ele é:
A) possível e determinado
B) possível e indeterminado
C) impossível
D) homogêneo
E) impossível e homogêneo
2x 3 y z 0
20. (FGV – SP) O sistema x 2y 4z 0 é:
x 14z 0
a) determinado.
b) Impossível
c) Determinado e admite como solução (1, 1, 1).
d) Indeterminado.
e) N.D.A.
21. (UFSC) Para qual valor de m o sistema
mx 2y z 0
x my 2z 0 admite infinitas soluções?
3x 2y 0
a) m = 0
15. (UEL) O sistema abaixo, de incógnitas x e y, é:
6x ky 9
2x 7 y 1
a) impossível, para todo k real diferente de - 21;
b) possível e indeterminado, para todo k real diferente de
- 63;
c) possível e determinado, para todo k real diferente de 21;
d) possível e indeterminado, para todo k real diferente de
- 3;
e) possível e determinado, para todo k real diferente de 1 e - 63.
3x y 1
possui
2
k x 3 y k 6
16. (UFV – MG) O sistema linear
infinitas soluções. Logo pode-se afirmar que:
a) k = 3
b) k = ± 3
c) k = – 3
d) k = 0
e) não existe K real
17. (FMU – SP) O valor de a para que o sistema
x 2y 18
seja possível e indeterminado é:
3x ay 54
a) -6
d) -2
b) 6
e) 3/2
c) 2
18. (Fuvest-SP) Para quais valores de k o sistema linear
x y Z 1
3x y 2Z 3 é compatível e determinado?
y kZ 2
d) m = 10
b) m 0
c) m = 2
e) m = 1
k 2 x y 0
nas incógnitas x e
x ky 0
22. (FCC – BA) O sistema
y:
é impossível se k 1
admite apenas a solução trivial se k = 1
é possível e indeterminado se k = -1
é impossível para todo k real
admite apenas a solução trivial para todo k real.
ax y z 0
23. (Cesgranrio) O sistema x ay z 1 tem uma
x y b
infinidade de soluções. Então, sobre os valores dos
parâmetros a e b, podemos concluir que:
a = 1 e b arbitrário.
a=1
a=1
a=0
a=0
e b0
e b=1
e b=1
e b=0
x y 2z 0
24. (Fuvest – SP) O sistema linear: x y z 1
x y z 3
admite solução se for igual a:
0
b) 1
d) 2
c) -1
e) -2
69
25. O sistema linear abaixo
2x y 3z 7
4x 2y 6z 14
6x 3y 9z 17
Pode ser representado geometricamente como:
Três planos paralelos e distintos
Três planos coincidentes
Dois planos paralelos distintos e outro secante aos dois
Três planos secantes dois a dois
Dois planos coincidentes e outro paralelo aos dois
26. O sistema linear abaixo
x y 2z 9
2 y 2 x 4 z 12
x 3 y 4 z 17
Pode ser representado geometricamente como:
Dois planos coincidentes e outro paralelo aos dois
Dois planos paralelos distintos e outro secante aos dois
Três planos paralelos e distintos
Três planos coincidentes
Três planos secantes dois a dois
27. ( PAES – 2006 )
1
1
2
1
5x5y5z 5
1
1
1
2
x y z
3
3
3
3
2
2
4
2
7x 7y 7z 7
2x 3y 2z 2
3x 2y 4z 2
4x y 6z 3
Pode ser representado geometricamente como:
Três planos paralelos e distintos
Três planos coincidentes
Dois planos paralelos distintos e outro secante aos dois
Três planos secantes dois a dois
Três planos que se interceptam em um único ponto
31.( PAES ) Ao escalonar o sistema linear
chegou-se a
.
Então, È CORRETO afirmar que os três planos dados pelas
equações do sistema inicial
A) têm apenas uma reta em comum.
B) têm apenas um ponto em comum.
C) são paralelos.
D) têm interseção vazia, porque dois deles são paralelos.
x yz 1
32.( PAES ) O sistema linear
2x 2y 2z 4
yz 0
pode ser representado, geometricamente, por
Quanto ao número de soluções do sistema de equações lineares
apresentado acima, é CORRETO afirmar que
A) esse sistema tem infinitas soluções.
B) esse sistema não tem solução.
C) esse sistema tem uma única solução.
D) esse sistema tem apenas duas soluções.
28.( PAES – 2011 ) Para o sistema linear
2x 3 y 9
, a
6 y 4x 9
A)
B)
C)
D)
solução geométrica é:
B)
C)
D)
29.( PAES ) O conjunto-solução do sistema de equações lineares
0x y 0z 0
0x 0 y z 0
0x y z 0
pode ser interpretado, geometricamente, como sendo:
Um ponto
Um plano
Uma reta
Uma reta e um plano paralelos
30. O sistema linear abaixo
33. (UFJF) Um nutricionista está preparando uma
refeição com 2 alimentos A e B. Cada grama do
alimento A contém 2 unidades de proteína, 3 unidades
de carboidrato e 2 unidades de gordura. Cada grama
do alimento B contém 4 unidades de proteína, 4
unidades de carboidrato e 3 unidades de gordura. Essa
refeição deverá fornecer exatamente 400 unidades de
proteína e 500 unidades de carboidrato. A quantidade
de gordura que essa refeição irá fornecer é:
A) 300 unidades.
B) 350 unidades.
C) 400 unidades.
D) 450 unidades.
E) 500 unidades.
34. (UFJF) Uma lanchonete vende cada copo de suco
de laranja por R$ 1,50, obtendo um lucro de 50% sobre
o custo do suco. Devido a uma queda na safra, o preço
da laranja subiu, o que acarretou um aumento de 20%
70
no custo do suco. O dono da lanchonete, para não
diminuir as vendas de suco de laranja, decidiu manter o
preço de cada copo de suco em R$ 1,50 e reduzir o
tamanho do copo de modo a conservar a margem de lucro
de 50% sobre o custo do suco. Originalmente, a
capacidade do copo era 300 ml. O novo copo deve ter
capacidade de:
A) 150 ml.
B) 200 ml.
C) 250 ml.
D) 275 ml.
E) 280 ml.
33. B
34. C
35. A
35. (FIP-2012) Durante os três primeiros dias de exibição
do filme “Os Vingadores”, em determinada cidade, foram
vendidos 8000 bilhetes, e a arrecadação foi de R$
76.800,00. O preço do bilhete para adulto era de R$ 12,00
e, para criança, era de R$ 8,00.
A razão entre o número de crianças e o de adultos que
assistiram ao filme nesse período foi de:
A) 1/2
B) 3/4
C) 3/2
D) 1/4
GABARITO
1. E
2. B
3. NULA ( 6,50 )
4. D
5. 10
6. A
7. A
8. C
9. C
10. A
11. D
12. C
13. D
14. D
15. C
16. C
17. A
18. {k IR/ k ≠ 1/4}
19. C
20. A
21. C
22. C
23. D
24. E
25. E
26. B
27. B
28. C
29. C
30. D
31. A
32. D
71
TRIGONOMETRIA
1. (Enem) As torres Puerta de Europa são duas torres
inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida
de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de 15°
com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de 114 m
(a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas
torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base
quadrada e uma delas pode ser observada na imagem.
Os segmentos AB, BC e CA simbolizam ciclovias
construídas no interior da praça, sendo que AB 80 m.
De acordo com a planta e as informações dadas, é
CORRETO afirmar que a medida de R é igual a:
160 3
m
a)
3
Utilizando 0,26 como valor aproximado para tangente de
15º e duas casas decimais nas operações, descobre-se
que a área da base desse prédio ocupa na avenida um
espaço
a) menor que 100m2.
b) entre 100m2 e 300m2.
c) entre 300m2 e 500m2.
d) entre 500m2 e 700m2.
e) maior que 700m2.
b)
80 3
m
3
c)
16 3
m
3
d)
8 3
m
3
e)
3
m
3
4. (Ufsm) A figura a seguir apresenta o delta do rio
Jacuí, situado na região metropolitana de Porto Alegre.
Nele se encontra o parque estadual Delta do Jacuí,
importante parque de preservação ambiental. Sua
proximidade com a região metropolitana torna-o
suscetível aos impactos ambientais causados pela
atividade humana.
2. (Enem) Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o
skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado "Mineirinho",
conseguiu realizar a manobra denominada "900", na
modalidade skate vertical, tornando-se o segundo atleta
no mundo a conseguir esse feito. A denominação "900"
refere-se ao número de graus que o atleta gira no ar em
torno de seu próprio corpo, que, no caso, corresponde a
a) uma volta completa.
b) uma volta e meia.
c) duas voltas completas.
d) duas voltas e meia.
e) cinco voltas completas.
3. (Ufjf) Uma praça circular de raio R foi construída a
partir da planta a seguir:
A distância do ponto B ao ponto C é de 8 km, o ângulo
µmede 75°. Uma maneira de
µ mede 45° e o ângulo C
A
estimar quanto do Delta do Jacuí está sob influência do
72
meio urbano é dada pela distância do ponto A ao ponto C.
Essa distância, em km, é
distância entre A e C é de 24 km, e entre A e B é de 36
km.
8 6
3
b) 4 6
a)
c) 8 2 3
d) 8( 2 3)
e)
2 6
3
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de
Engenharia, visitou a PUCRS para colher informações.
Uma das constatações que fez foi a de que existe grande
proximidade entre Engenharia e Matemática.
5. (Pucrs) Em uma aula prática de Topografia, os alunos
aprendiam a trabalhar com o teodolito, instrumento usado
para medir ângulos. Com o auxílio desse instrumento, é
possível medir a largura y de um rio. De um ponto A, o
observador desloca-se 100 metros na direção do percurso
do rio, e então visualiza uma árvore no ponto C, localizada
na margem oposta sob um ângulo de 60°, conforme a
figura abaixo.
Nessas condições, conclui-se que a largura do rio, em
metros, é
100 3
a)
3
100 3
2
c) 100 3
b)
Nesse caso, pode-se concluir que a distância, em km,
entre B e C é igual a
a) 8 17.
b) 12 19.
c) 12 23.
d) 20 15.
e) 20 13.
7. (Unesp) Uma pessoa se encontra no ponto A de
uma planície, às margens de um rio e vê, do outro lado
do rio, o topo do mastro de uma bandeira, ponto B.
Com o objetivo de determinar a altura h do mastro, ela
anda, em linha reta, 50 m para a direita do ponto em
que se encontrava e marca o ponto C. Sendo D o pé do
mastro, avalia que os ângulos BÂC e
valem 30°, e
o
vale 105°, como mostra a figura:
a) 12,5.
b) 12,5 2 .
c) 25,0.
d) 25,0 2 .
e) 35,0.
8. (Unicamp) Ao decolar, um avião deixa o solo com
um ângulo constante de 15°. A 3,8 km da cabeceira da
pista existe um morro íngreme. A figura abaixo ilustra a
decolagem, fora de escala.
50 3
3
e) 200
d)
6. (Uftm) Na figura estão posicionadas as cidades
vizinhas A, B e C, que são ligadas por estradas em linha
reta. Sabe-se que, seguindo por essas estradas, a
73
Podemos concluir que o avião ultrapassa o morro a uma
altura, a partir da sua base, de
a) 3,8 tan (15°) km.
b) 3,8 sen (15°) km.
c) 3,8 cos (15°) km.
d) 3,8 sec (15°) km.
9. (Enem) Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou
como herança um terreno retangular de 3 km x 2 km que
contém uma área de extração de ouro delimitada por um
quarto de círculo de raio 1 km a partir do canto inferior
esquerdo da propriedade. Dado o maior valor da área de
extração de ouro, os irmãos acordaram em repartir a
propriedade de modo que cada um ficasse com a terça
parte da área de extração, conforme mostra a figura.
a) 60
b) 65
c) 70
d) 75
e) 80
11. (G1 - utfpr) Um caminhão, cuja carroceria está a
uma altura de 1,2 m do chão está estacionado em um
terreno plano. Deseja-se carregar uma máquina
pesada neste caminhão e para isso será colocada uma
rampa da carroceria do caminhão até o chão. O
comprimento mínimo da rampa para que esta forme
com o chão um ângulo máximo de 30° é, em metros,
de:
1
3
3
e tg 30°
(Considere: sen 30° , cos 30°
)
2
2
3
a) 0,8 3.
b) 2,4.
c) 1,2 3.
d) 0,6 3.
e) 0,6.
12. (Unifor) Uma pessoa está a 80 3 m de um prédio
Em relação à partilha proposta, constata-se que a
porcentagem da área do terreno que coube a João
corresponde, aproximadamente, a
(considere
e vê o topo do prédio sob um ângulo de 30, como
mostra a figura abaixo.
3
= 0,58)
3
a) 50%.
b) 43%.
c) 37%.
d) 33%.
e) 19%.
10. (G1 - ifpe) Um estudante do Curso de Edificações do
IFPE tem que medir a largura de um rio. Para isso ele
toma os pontos A e C que estão em margens opostas do
rio. Em seguida ele caminha de A até o ponto B, distante
100 metros, de tal forma que os segmentos AB e AC são
perpendiculares. Usando instrumento de precisão, a partir
do ponto B ele visa o ponto C e em seguida o ponto A,
determinando o ângulo CBˆA que mede 37º. Com isso ele
determinou a largura do rio e achou, em metros:
Dados: sen (37º) = 0,60, cos (37º) = 0,80 e tg (37º) = 0,75
Se o aparelho que mede o ângulo está a 1,6 m de
distância do solo, então podemos afirmar que a altura
do prédio em metros é:
a) 80,2
b) 81,6
c) 82,0
d) 82,5
e) 83,2
74
13. (Uemg) Em uma de suas viagens para o exterior, Luís
Alves e Guiomar observaram um monumento de
arquitetura asiática. Guiomar, interessada em aplicar seus
conhecimentos matemáticos, colocou um teodolito distante
1,20 m da obra e obteve um ângulo de 60°, conforme
mostra a figura:
fixou um aparelho de medir ângulo (teodolito) de tal
modo que o ângulo no ponto B seja reto e obteve uma
π
ˆ
medida de
rad para o ângulo ACB.
3
Qual foi a largura do rio que ele encontrou?
a) 9 3 metros
b) 3 3 metros
9 3
metros
2
d) 3 metros
e) 4,5 metros
c)
Sabendo-se que a altura do teodolito corresponde a 130
cm, a altura do monumento, em metros, é
aproximadamente
a) 6,86.
b) 6,10.
c) 5,24.
d) 3,34.
14. (Ufsm) Em muitas cidades, os poluentes emitidos em
excesso pelos veículos causam graves problemas a toda
população. Durante o inverno, a poluição demora mais
para se dissipar na atmosfera, favorecendo o surgimento
de doenças respiratórias.
Suponha que a função
π
N x 180 54cos x 1
6
represente o número de pessoas com doenças
respiratórias registrado num Centro de Saúde, com x 1
correspondendo ao mês de janeiro, x 2, ao mês de
fevereiro e assim por diante.
A soma do número de pessoas com doenças respiratórias
registrado nos meses de janeiro, março, maio e julho é
igual a
a) 693.
b) 720.
c) 747.
d) 774.
e) 936.
15. (Espcex (Aman)) Um tenente do Exército está fazendo
um levantamento topográfico da região onde será
realizado um exercício de campo. Ele quer determinar a
largura do rio que corta a região e por isso adotou os
seguintes procedimentos: marcou dois pontos, A (uma
árvore que ele observou na outra margem) e B (uma
estaca que ele fincou no chão na margem onde ele se
encontra); marcou um ponto C distante 9 metros de B,
16. (G1 - ifce) O valor de cos (2 280°) é
1
a) .
2
1
b) .
2
2
.
c)
2
3
.
2
3
.
e)
2
d)
17. (G1 - cftmg) O valor de y = cos 150° + sen 300° - tg
225° - cos 90° é
18. (Espcex (Aman)) O valor numérico da expressão
sec1320
53 π
2
2 cos
tg2220 é:
2
3
a) 1
b) 0
1
c)
2
d) 1
e)
3
2
19. (G1 - ifsp) A base de um triângulo isósceles mede
3 3 cm e o ângulo oposto à base mede 120°. A
medida dos lados congruentes desse triângulo, em
centímetros, é
a) 3.
b) 2.
c) 3.
d) 1 3.
e) 2 3.
20. (G1 - utfpr) Uma escada rolante de 6 m de
comprimento liga dois andares de uma loja e tem
75
inclinação de 30°. Determine, em metros, a altura entre
estes dois andares.
Use os valores: sen 30 0,5, cos 30 0,87 e
tg 30 0,58.
a) 3,48.
b) 4,34.
c) 5,22.
d) 5.
e) 3.
e)
21. (Ufpb) Um especialista, ao estudar a influência da
variação da altura das marés na vida de várias espécies
em certo manguezal, concluiu que a altura A das marés,
dada em metros, em um espaço de tempo não muito
grande, poderia ser modelada de acordo com a função:
22. (Ucs) Para colocar um objeto em movimento e
deslocá-lo sobre uma trajetória retilínea por x metros, é
necessário aplicar uma força de 20 10 sen x
newtons sobre ele.
Em qual dos gráficos abaixo, no intervalo 0,3, está
representada a relação entre a força aplicada e a
distância, quando o objeto é deslocado até 3 metros?
A(t) 1,6 1,4 sen t
6
Nessa função, a variável t representa o tempo decorrido,
em horas, a partir da meia-noite de certo dia. Nesse
contexto, conclui-se que a função A, no intervalo [0,12],
está representada pelo gráfico:
a)
a)
b)
b)
c)
c)
d)
d)
e)
23. (Pucrj) Se tgθ 1 e θ pertence ao primeiro
quadrante, então cosθ é igual a:
a) 0
76
b)
1
2
c)
2
2
d)
3
2
e) 1
24. (G1 - cftmg) Uma raposa avista um cacho de uvas em
uma parreira sob um ângulo de 30 formado com a
horizontal. Então, preguiçosamente ela se levanta, anda
3 m em direção à base da parreira e olha para as uvas
b) 4 3
c) 6
d) 4 5
e) 2(2 2)
26.(FIP) O Sr. Afonso deseja fazer uma reforma em
sua residência, incluindo trocar o telhado, cuja estrutura
tem a forma de um prisma triangular reto, conforme a
figura.
sob um ângulo de 60, como mostra a figura abaixo.
Ele decide pelo modelo de telha americana, sendo
necessárias 20 telhas por metro quadrado.
A quantidade aproximada de telhas necessárias será:
a) 4080
b) 5712
c) 4896
d) 3670
e) 2856
Nessas condições, a altura h do cacho de uvas, em
metros, é
a) 1,0
b) 1,5
c) 1,7
d) 3,4
27.(FIP-2013) Num dia chuvoso, uma descarga elétrica
queimou uma das lâmpadas da casa de Bernardo.
Após a chuva, ele resolveu trocar a lâmpada
queimada. Para isso, encostou uma escada na
parede, de modo que o topo da escada ficou a uma
altura de 4 metros, conforme mostra a figura a seguir:
25. (Fgv) Na figura, ABCDEF é um hexágono regular de
lado 1 dm, e Q é o centro da circunferência inscrita a ele.
O perímetro do polígono AQCEF, em dm, é igual a
a) 4 2
Após subir alguns degraus, Bernardo tomou um
susto, pois a base da escada escorregou por 1
metro, e só parou ao tocar um muro paralelo à parede,
formando, assim, um ângulo de 45º com o piso
77
horizontal. A nova situação pode ser observada na figura a
seguir:
𝑥
A) 𝑌 = 𝑠𝑒𝑛 ( 2)
B) 𝑌 = 𝑠𝑒𝑛 (2𝑥)
𝑥
C) 𝑌 = 𝑠𝑒𝑛 ( 3)
1
𝑥
D) 𝑌 = 3 𝑠𝑒𝑛 (2)
E) 𝑌 = 2𝑠𝑒𝑛(3𝑥 )
A distância entre a parede da casa e o muro é de:
29.(FIP/2014) Num hemocentro, o número de doações
de sangue varia periodicamente. No ano de 2013, esse
número, de janeiro a dezembro, foi calculado mediante
a função
𝐷(𝑡) = 3 − 𝐶𝑂𝑆
28.(FIP/2014) Uma empresa produz telhas senoidais,
como a da figura abaixo.
(𝑡 − 1)𝑛
,
6
em que D(t) é dado em milhares e t em meses, com 0 ≤
t ≤ 11.
O número de doações de sangue nos meses de agosto
e outubro foi de:
A) 4
B) 7,5
C) 3,5
D) 3,86
E) 7
GABARITO
Para a criação do molde da telha a ser fabricada, é
necessário fornecer a função cujo gráfico será a curva
geratriz da telha. A telha padrão produzida pelo fabricante
possui por curva geratriz o gráfico da função y = sen (x).
Um cliente solicitou a produção de telhas que fossem duas
vezes mais sanfonadas e que tivessem o triplo da altura
da telha-padrão, como na figura abaixo.
Marque a opção que representa a curva geratriz dessa
nova telha.
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22.
23.
E
D
B
B
C
B
B
A
E
D
B
B
D
B
A
A
C
D
A
E
A
A
C
78
24.
25.
26.
27.
28.
29.
B
B
A
A
B
B
NÚMEROS COMPLEXOS
1. (Unicamp) O módulo do número complexo
z i2014 i1987 é igual a
a) 2.
b) 0.
c) 3.
d) 1.
2. (G1 - ifal) O valor da potência (1 i)10 é:
a)
b)
c)
d)
e)
11i.
5i.
32i.
50i.
1 5i.
3. (Upf) O número complexo z, tal que
5z z 12 16i, é igual a:
a) 2 2i
b) 2 3i
c) 3 i
d) 2 4i
e) 1 2i
4. (Uern) Considere a igualdade 2z i z 1. É
correto afirmar que o número complexo z, da forma
z a bi, é
i
a) 1 .
3
i
b) 2 .
2
c) 1 3i.
d) 3 2i.
5. (Unicamp) Chamamos de unidade imaginária e
denotamos por i o número complexo tal que i2 1.
Então i0 i1 i2 i3 L i2013 vale
a) 0.
b) 1.
c) i.
d) 1 i.
6. (Mackenzie) Se y = 2x, sendo x=
1 i
ei=
1 i
1 , o
valor de (x + y)2 é
a) 9i
b) – 9 + i
c) –9
d) 9
e) 9 – i
79
7. (Espcex (Aman)) Sendo Z o conjugado do número
complexo Z e i a unidade imaginária, o número complexo
Z que satisfaz à condição Z 2Z 2 Zi é
a) z 0 1i
b) z 0 0i
c) z 1 0i
d) z 1 i
e) z 1– i
13. (Unicamp) Considere o número complexo
1 ai
z
, onde a é um número real e i é a unidade
ai
8. (Unicamp) Sejam x e y números reais tais que
14. (Uepb) O produto dos números complexos (3 – i) (x
+ 2yi) é um número real quando o ponto P(x,y) está
sobre a reta de equação:
a) 6x y 0
b) 6x y 0
c) x 6y 0
d) 6y x 0
e) 3y x 0
x yi 3 4i, onde i é a unidade imaginária. O valor de
xy é igual a
a) 2.
b) 1.
c) 1.
d) 2.
9. (Fgv) Sendo i a unidade imaginária, então (1 + i)20 – (1
– i)20 é igual a
a) –1024.
b) –1024i.
c) 0
d) 1024.
e) 1024i.
10. (Espcex (Aman)) Seja o número complexo z
x yi
,
3 4i
com x e y reais e i2 1.
Se x2 y2 20, então o módulo de z é igual a:
a) 0
b) 5
2 5
c)
5
d) 4
e) 10
11. (Fgv) Sendo a unidade imaginária do conjunto dos
números complexos, o valor da expressão (i 1)6 (1 i)6
é:
a) 0
b) 16
c) 16
d) 16i
e) 16i
12. (Uel) A forma algébrica do número complexo z = (1 +
3i)/(2 - i) é
a) 1/2 - 3i
b) 5/3 + (7i/3)
c) -1/5 + (7i/5)
d) -1/5 + 7i
e) 3/5 + (4i/5)
imaginária, isto é, i2 1. O valor de z2016 é igual a
a) a2016 .
b) 1.
c) 1 2016i.
d) i.
15. (Unitau) A expressão i13+i15 é igual a:
a) 0
b) i.
c) - i.
d) - 2i.
e) 3i.
16.(FIP-2011) Numa aula de Matemática, o tema era
Números Complexos. Inicialmente, o professor definiu
a unidade imaginária como sendo uma das soluções da
equação x2 +1 = 0 . Após a explicação, o professor
sugeriu a seguinte questão:
Qual o valor da soma dos “n” primeiros elementos da
sequência
( i2006 + i2007 + i2008 + i2009 + ... ) ?
Na tentativa de acertar a questão proposta, quatro
alunos fizeram as seguintes afirmações:
· ANA: A soma será –1 se n Î { 2 , 6 , 10 , ...};
· BETO: A soma será (–1 – i ) se n Î { 4 , 8 , 12 , ...};
· CAIO: A soma será –i se n Î { 3 , 7 , 11 , ...};
· DANIEL: A soma será 0 se n Î { 1, 5, 9, ...};
Considerando-se as respostas apresentadas, qual
aluno acertou a questão?
A) Beto.
B) Ana.
C) Daniel.
D) Caio.
GABARITO
01. A
02. C
03. D
04. A
80
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
D
C
D
D
C
C
E
C
B
D
A
D
POLINÔMIOS
1. (Espm) O resto da divisão do polinômio x5 3x2 1
pelo polinômio x2 1 é:
a) x – 1
b) x + 2
c) 2x – 1
d) x + 1
e) x – 2
2. (Ueg) A divisão do polinômio x3 2x2 – 5x – 6 por
x 1 x – 2 é igual a:
a) x – 3
b) x + 3
c) x – 6
d) x + 6
3. (Ufrgs) Se 2 é raiz dupla do polinômio p(x) = 2x4 –
7x3 + 3x2 + 8x – 4, então a soma das outras raízes é
a) -1.
b) -0,5.
c) 0.
d) 0,5.
e) 1.
4. (Unesp) Sabe-se que, na equação
x3 4x2 x 6 0, uma das raízes é igual à soma das
outras duas. O conjunto solução (S) desta equação é
a) S = {– 3, – 2, – 1}
b) S = {– 3, – 2, + 1}
c) S = {+ 1, + 2, + 3}
d) S = {– 1, + 2, + 3}
e) S = {– 2, + 1, + 3}
5. (Unesp) O polinômio P(x) a x3 2 x b é
divisível por x – 2 e, quando divisível por x + 3, deixa
resto –45. Nessas condições, os valores de a e b,
respectivamente, são
a) 1 e 4.
b) 1 e 12.
c) –1 e 12.
d) 2 e 16.
e) 1 e –12.
6. (Espm) O trinômio x2 ax b é divisível por x 2 e
por x 1. O valor de a b é:
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
81
1 2 3
7. (Ime) Seja o determinante da matriz x x 2 x3 . O
x x
1
número de possíveis valores de x reais que anulam é
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
8. (G1 - utfpr) Quais são os polinômios que representam o
quociente q(x) e o resto r(x) da divisão do polinômio
p x x3 5x 2 6 pelo polinômio d x x 2 – 3 ?
a) q(x) = – (x + 5)
b) q(x) = x + 5
c) q(x) = x – 5
d) q(x) = – (x + 5)
e) q(x) = x + 5
e
e
e
e
e
r(x) = 3x + 21.
r(x) = – (3x + 21).
r(x) = – 3x + 21.
r(x) = 3x – 21.
r(x) = 3x + 21.
9. (Espcex (Aman)) O polinômio f(x) x5 x3 x2 1,
quando dividido por q(x) x3 3x 2 deixa resto r(x).
Sabendo disso, o valor numérico de r(1) é
a) 10.
b)
c)
d)
e)
4.
0.
4.
10.
10. (Espcex (Aman)) Os polinômios A(x) e B(x) são tais
que A x B x 3x 3 2x 2 x 1. Sabendo-se que 1
é raiz de A(x) e 3 é raiz de B(x), então A 3 B 1 é
igual a:
a) 98
b) 100
c) 102
d) 103
e) 105
11. (Uftm) Dividindo-se o polinômio p(x) = 3x4 – 2x3 + mx
+ 1 por (x – 1) ou por (x + 1), os restos são iguais. Nesse
caso, o valor de m é igual a
a) –2.
b) –1.
c) 1.
d) 2.
e) 3.
3
2
12. (Uel) O polinômio p x x x 3ax 4a é
2
divisível pelo polinômio q x x x 4 . Qual o valor de
a?
a) a = −2
b) a = −1
c) a = 0
d) a = 1
e) a = 2
13. (Insper) A equação x3 3x2 7x 5 0 possui
uma raiz real r e duas raízes complexas e não reais z1
e z2. O módulo do número complexo z1 é igual a
a) 2.
b) 5.
c) 2 2.
d) 10.
e) 13.
14. (Unesp) A equação polinomial x3 – 3x2 + 4x – 2 = 0
admite 1 como raiz. Suas duas outras raízes são
a) 1 3 i e 1 3 i .
b) 1 i e 1 i.
c) 2 i e 2 i.
d) 1 i e 1 i.
e) 1 3 i e 1 3 i .
15. (Pucrj) Sabendo que 1 é raiz do polinômio
p(x) 2x3 ax2 2x, podemos afirmar que p(x) é
igual a:
a) 2x 2 x 2
b) 2x x 1 x 1
c) 2x x 2 2
d) x x 1 x 1
e) x 2x 2 2x 1
16. (Ita) Se 1 é uma raiz de multiplicidade 2 da
equação x4 + x2 + ax + b = 0, com a, b ¡ , então a2 –
b3 é igual a
a) – 64.
b) – 36.
c) – 28.
d) 18.
e) 27.
17. (Unesp) Dado que as raízes da equação
x3 3x2 x k 0 , onde k é uma constante real,
formam uma progressão aritmética, o valor de k é:
a) – 5.
b) – 3.
c) 0.
d) 3.
e) 5.
82
18. (Cefet MG) Perdeu-se parte da informação que
constava em uma solução de um problema, pois o papel
foi rasgado e faz-se necessário encontrar três dos
números perdidos que chamaremos de A, B e C na
equação abaixo.
Ax 2
x2 x 3
B
Cx 2 9x C
2x 1 2x3 x 2 5x 3
O valor de A + B + C é
a) –3.
b) –2.
c) 4.
d) 5.
e) 7.
19. (Uepb) Para que o resto da divisão de
2x4 3x3 mx 2 por x3 1 seja independente de x,
devemos ter:
a) m 2
b) m 2
c) m 4
d) m 0
e) m 3
GABARITO
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
09.
10.
11.
12.
13.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
E
B
B
B
E
D
C
E
A
C
D
E
B
B
B
C
D
D
B
A
20. (Insper) A figura, feita fora de escala, representa a
planta de uma sala de aula, que conta com uma área para
armários dos alunos (parte hachurada).
A sala está sendo projetada de modo que o teto fique a
uma distância de x metros do chão e, para que haja uma
ventilação adequada, o volume total da sala mais o hall de
entrada, descontando-se o espaço dos armários (que vão
até o teto), deve ser de 280 m3. O menor valor de x que
atende a todas essas condições é
a) 5.
b) 6.
c) 7.
d) 8.
e) 9.
83
CURSO DE MATEMÁTICA
GEOMETRIA PLANA
EXERCÍCIO 1
01. ( FCM Santos – SP ) Às 9h 10min, o ângulo
formado pelos ponteiros de um relógio é:
a) 150º
b) 147º 30’
c) 145º
d) 160º
e) n.d.a
02. ( PUC – MG ) Uma circunferência é dividida em
sete arcos de medidas iguais. Dente as alternativas, o
valor que mais se aproxima da medida de cada um
desses arcos é:
a) 51º 43’
b) 52º
c) 51º 25’ 42”
d) 51º 25’ 10”
e) 53º
03. ( Mackenzie – SP ) A figura abaixo mostra dois
ângulos adjacentes suplementares.
HAMILTON E ALEX
06. (UFPA) O quíntuplo do suplemento do complemento
de um ângulo é igual ao triplo do replemento do seu
suplemento. O ângulo é:
A) 45º
B) 47º
C) 50º
D) 54º
07. (UFBA) O suplemento do triplo do complemento da
metade de um ângulo é igual ao triplo do complemento
desse ângulo. Determine o ângulo.
a) 65º
b) 70º
c) 75º
d) 80º
e) 85º
08. ( Fuvest – SP )
Quantos graus mede,
aproximadamente, um arco de 0,105 rad ?
a) 4º
b) 5º
c) 6º
d) 7º
e) 8º
B
C
a)
b)
c)
d)
e)
O
A
Podemos afirmar que:
As bissetrizes dos ângulos AÔB e BÔC são
perpendiculares.
A medida do ângulo AÔB é a metade da medida do
ângulo BÔC.
O ângulo BÔC mede o triplo de AÔB.
O ângulo formado pelas bissetrizes dos ângulos
AÔB e BÔC tem medida menor que 90º.
N.d.a.
04. ( Cescem – SP ) A medida de um ângulo está para
a medida do seu complemento assim como 1 está para
5. Esse ângulo mede:
a) 75º
b) 20º
c) 10º
d) 15º
e) 25º
05. (UFAM) Se um ângulo mede 85°45'54", o valor do
seu complemento é:
A) 01°02'16"
B) 07°09'46"
C) 04º14'06"
D) 05°14'26"
E) 06º14'06"
09. ( UnB – DF ) Quanto mede, em radianos, um arco
de 2º 15’ ?
a)
rad
80
b)
rad
70
c)
rad
100
d)
rad
25
e) n.d.a
10. ( UFES ) O triplo do complemento de um ângulo é
igual à terça parte do suplemento desse ângulo. Esse
ângulo mede:
7
a)
rad
8
5
b)
rad
16
7
rad
c)
4
7
d)
rad
16
84
CURSO DE MATEMÁTICA
11. ( U.F.Uberlândia ) Dois ângulos consecutivos são
complementares. Então, o ângulo formado pelas
bissetrizes desses ângulos é :
a) 20º
b) 30º
c) 35º
d) 40º
e) 45º
12. ( UFMG ) Na figura, OC é a bissetriz do ângulo
AÔB, BÔD = 50º e AÔD = 22º . A medida do ângulo
DÔC é :
B
a) 36º
b) 28º
c) 22º
C
O
d) 16º
e) 14º
D
HAMILTON E ALEX
16. ( FEI – SP ) Na figura, as retas r e s
paralelas. A medida do ângulo indicado com x é:
a) 70
x
b) 50
2x + 20º
c) 60
d) 85
e) 65
são
70º
17. ( PUCCAMP – SP ) Na figura, r e
paralelas. O ângulo x mede :
a) 60º
r
b) 65º
130º
c) 70º
x
d) 75º
e) 80º
150º
s são retas
s
A
13. ( Cesgranrio ) As retas r e s da figura são
paralelas cortadas pela transversal t . Se o ângulo B̂ é
o triplo de  , então B̂ –  é :
a) 90º
A
b) 85º
c) 80º
d) 75º
B
18. ( F. C. C – SP ) Na figura seguinte tem-se r // s ; t
e u são transversais ; o valor de + é ?
a) 140º
b) 130º
70º
s
20º
c) 120º
d) 100º
e) 90º
r
u
t
19. ( PUC ) Na figura, r // s, então x vale ?
r
10º
14. ( UniUb – 2000 ) Considere a figura abaixo em que
as retas p e q são paralelas e as retas r e s são
perpendiculares. Sendo = 36º, qual é a medida, em
graus, do ângulo ?
r
x
s
p
20. ( UFMG –2001 ) Observe esta figura:
q
F
s
15. ( Fuvest – SP ) Na figura, as retas r e s são
paralelas, o ângulo 1 mede 45º e o ângulo 2 mede
55º. A medida em graus do ângulo 3 é:
r
a) 50º
1
b) 55º
c) 60º
3
d) 80º
e) 100º
2
A
105º
s
E
57º
28º
C
D
B
Nessa figura, os pontos F, A e B estão em uma
reta e as retas CB e ED são paralelas.
Assim sendo, o ângulo ABC mede :
a) 39º
b) 44º
c) 47º
d) 48º
85
CURSO DE MATEMÁTICA
HAMILTON E ALEX
21. ( UFSC ) Na figura a seguir sabe-se que r// s// t. A
diferença x – y é:
a) 20º
b) 22º
c) 24º
d) 26º
e) 28º
26. (UFG) Na figura abaixo as retas r e s são paralelas.
A medida do ângulo b é:
a) 100°
b) 120°
c) 110°
d) 140°
e) 130°
22. ( PUC – PR ) Na figura, as retas r
paralelas. O valor de x é:
a) 38º 30’
x
b) 39º 30’
3x
c) 40º 30’
d) 39º
79º
e) 40º
27. (UEMG) As retas r e s da figura abaixo são
paralelas. O valor de 3b + a é:
A) 220º
B) 225º
C) 230º
D) 235º
e s são
r
s
23. ( MACK – SP ) Na figura, DE é paralelo a BC. O
valor de é :
A
a) 90
b) 80
c) 70
d) 60
D 60º
E
e) 50
130º
B
C
24. (FCC) Na figura abaixo tem-se r//s; t e u são
transversais. O valor de x + y é:
a) 100°
b) 120°
c) 130°
d) 140°
e) 150°
28. (FIP-2013) Sobre um relógio de forma circular,
graduado de 1 a 12, sendo os dígitos igualmente
espaçados entre si, pode-se afirmar corretamente que:
A) O menor ângulo formado por seus ponteiros das
horas e minutos quando estiver marcando 3h 25min
mede 47º30’.
B) O maior ângulo formado por seus ponteiros das
horas e minutos quando estiver marcando 14h 20min
mede 210º.
C) O maior ângulo formado por seus ponteiros das
horas e minutos quando estiver marcando 3h 25min
mede 254º45’.
D) O menor ângulo formado por seus ponteiros das
horas e minutos quando estiver marcando 14h 20min
mede 52º.
GABARITO
25. (UFES) Uma transversal intercepta duas paralelas
formando ângulos alternos internos expressos em graus
por (5x + 8) e (7x – 12). A soma das medidas desses
ângulos é:
a) 40°
b) 58°
c) 80°
d) 116°
e) 150°
1) C
2) C
3) A
4) D
8) C
9) A
10) D
5) C
11) E
12) E
14) 126º
15) E
16) B
17) E
19) 100º
20) D
21) C
22) B
25) D
26) A
27) D
6) A
7) D
13) A
18) B
23) C
24) C
28) A
86
CURSO DE MATEMÁTICA
EXERCÍCIO 2
01. ( UFMG ) Num triângulo, dois lados medem 3 e 7.
Se a medida do terceiro lado pertence ao conjunto x = {
2, 3, 4, 5, 10 }, então o terceiro lado mende :
a) 10
b) 5
c) 4
d) 3
e) 2
02. ( UNEB ) Os lados AB , BC , CD e DA de um
quadrilátero convexo ABCD medem respectivamente 2,
4, 2 e 6. Se a medida de uma das diagonais desse
quadrilátero é um número inteiro, essa diagonal mede :
a) 2
b) 4
c) 5
d) 6
e) 7
03. ( Fuvest – SP ) No quadrado ABCD de 12 de lado,
temos AE = 13 e CF = 3. O ângulo AÊF é agudo,
reto ou obtuso ?
Justifique.
A
HAMILTON E ALEX
06. ( UFPA ) Na figura abaixo, os comprimentos dos
lados AB e BC do triângulo ABC são congruentes.
Qual a medida, em graus, de ?
A) 18º
B) 20º
C) 25º
D) 22º
E) 17º
07. ( Conc. Público – GDF ) Na figura abaixo, o
triângulo ABC representa a vista frontal da sustentação
de um telhado. Por questão de economia, os segmentos
CH, HD, DG, GE, EF, e FB têm comprimentos iguais.
Sabendo que os triângulos CGD e BGE são isósceles
de bases DG e EG, respectivamente, podemos
afirmar que a medida x do ângulo DÂE é igual a :
a) 108º
b) 115º
c) 120º
d) 130º
e) 135º
B
F
D
E
C
04. ( Cesgranrio ) Na figura, ABCD é um quadrado,
ADE e ABF são triângulo equiláteros. Se os pontos C,
A e M são colineares, então o ângulo FÂM mede :
E
a) 75º
M
b) 80º
c) 82º 30’
A
D
d) 85º
e) 87º 30’
F
C
B
09. (Unesp) Considere o triângulo ABC da figura
adiante.
B
05. ( STA CASA – SP ) O triângulo ABC, representado
na figura abaixo, é isósceles. A medida do ângulo x
indicado é :
A
a) 90
b) 100
20º
c) 105
d) 110
e) 120
08. (UFF) O triângulo MNP é tal que M = 80º e P = 60º.
A medida do ângulo formado pela bissetriz do ângulo
interno N com a bissetriz do ângulo externo P é:
a) 20°
b) 30°
c) 40º
d) 50º
e) 60º
x
Se a bissetriz interna do ângulo B forma com a bissetriz
externa do ângulo C um ângulo de 50°, determine a
medida do ângulo interno A.
C
87
CURSO DE MATEMÁTICA
10. ( MACK – SP ) Na figura, AB = AC e AD = AE. A
medida do ângulo CDE é:
a) 5º
b) 10º
c) 15º
d) 20º
HAMILTON E ALEX
14. Na figura abaixo temos que o triângulo ABC é
isósceles de base BC. Se AD = DE = EF = FC = CB, a
medida do ângulo BÂC é :
a) 15º
B
F
b) 20º
c) 25º
D
d) 30º
A
e) 36º
E
C
11. ( UFMG ) Observe a figura. Nessa figura, AB = BD
= DE e BD é bissetriz de EB̂C . A medida de AÊB,
em graus, é :
D
a) 96º
b) 100º
E
c) 104º
d) 108º
e) 110º
A
B
15. Na figura abaixo, ABC é um triângulo equilátero
e ABMN é um quadrado. Qual a medida do ângulo ?
N
M
C
C
A
B
12. ( UFMG ) Observe a figura.
E
C
D
GABARITO
1) B
2) C
3) AGUDO
7) A
8) C
9) 100º
4) A
5) B
6) B
11) D
12) D
B
A
ˆ B = 2(EÂB) e a medida
BD é bissetriz de ABˆ C , EC
ˆ B é 80º. A medida do ângulo CD
ˆB é :
do ângulo EC
a) 40º
b) 50º
c) 55º
d) 60º
e) 65º
13) C
14) B
10) B
15) 15º
13. ( UFLA ) Na figura abaixo, o ponto O é o centro da
circunferência inscrita no triângulo ABC. Se os ângulos
ABˆ C e BÂC medem respectivamente 60º e 70º,
ˆ C é:
pode-se afirmar que o valor de BO
A
A) 105º
B) 110º
C) 115º
O
D) 120º
E) 125º
B
C
88
CURSO DE MATEMÁTICA
EXERCÍCIO 3
01. (UFRGS–RS) O número de diagonais de um
polígono é o dobro de seu número n de lados. O valor
de n é:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
02. (Ufscar) Um polígono regular com exatamente 35
diagonais tem
a) 6 lados.
b) 9 lados.
c) 10 lados.
d) 12 lados.
e) 20 lados.
03. ( PUC – PR ) O polígono convexo em que o número
de lados é igual ao número de diagonais é :
a) Pentágono
b) Heptágono
c) Eneágono
d) Dodecágono
04. ( ACAFE – SC ) Num polígono regular convexo, o
ângulo interno vale 3/2 do ângulo externo. O polígono
é:
a) pentágono
b) hexágono
c) heptágono
d) eneágono
05. (F. Ruy Barbosa–BA) Sendo o número de diagonais
de um octógono o quíntuplo do número de lados de um
polígono, conclui-se que esse polígono é um:
a) triângulo
b) quadrilátero
c) pentágono
d) hexágono
e) heptágono
06. (Mackenzie - SP) Os ângulos externos de um
polígono regular medem 20°. Então, o número de
diagonais desse polígono é:
a) 90
b) 104
c) 119
d) 135
e) 152
HAMILTON E ALEX
07. (Puc – Rio) Os ângulos internos de um quadrilátero
medem 3x – 45, 2x + 10, 2x + 15 e x + 20 graus. O
menor ângulo mede:
a) 90°
b) 65°
c) 45°
d) 105°
e) 80°
08. (UNICAMP-SP) O polígono convexo cuja soma dos
ângulos internos mede 1440º tem exatamente:?
a)15 diagonais
b)20 diagonais
c)25 diagonais
d)35 diagonais
09. (Unesp-2001) O número de diagonais de um
polígono convexo de x lados é dado por N(x) = (x2 –
3x)/2. Se o polígono possui 9 diagonais, seu número de
lados é
a) 10.
b) 9.
c) 8.
d) 7.
e) 6.
10. (Fuvest-2000) Na figura adiante, ABCDE é um
pentágono regular. A medida, em graus, do
ângulo α é:
a) 32°
b) 34°
c) 36°
d) 38°
e) 40°
11. (Faap) A medida mais próxima de cada ângulo
externo do heptágono regular da moeda de R$ 0,25:
a) 60°
b) 45°
c) 36°
d) 83°
e) 51°
12. (Ita ) De dois polígonos convexos, um tem a mais
que o outro 6 lados e 39 diagonais. Então, a soma total
dos números de vértices e de diagonais dos dois
polígonos é igual a:
a) 63
b) 65
c) 66
d) 70
e) 77
89
CURSO DE MATEMÁTICA
13. ( UNIFESP ) Pentágonos regulares congruentes
podem ser conectados lado a lado, formando uma
estrela de cinco pontas, conforme destacado na figura a
seguir
Nessas condições, o ângulo vale:
A) 108º
B) 72º
C) 54º
D) 36º
E) 18º
14. (FUVEST) Na figura abaixo os ângulos a, b, c e d
medem, respectivamente, x/2, 2x, 3x/2 e x. O ângulo e
é reto. Qual a medida do ângulo f ?
15. (MACK – SP ) Calcule a soma das medidas dos
ângulos dos vértices ( a + b + c + d + e ) na figura
a
abaixo.
GABARITO
1) C
2) C
3) A
8) D
9) E
10) C
14) 18º
15) 180º
4) A
11) E
5) B
12) B
6) D
7) B
13) D
16) A
EXERCÍCIO 4
01.
(Saresp-SP)
No
desenho
abaixo
estão
representados os terrenos I, II e III.
Quantos metros de comprimento deverá ter o muro que
o proprietário do terreno II construirá para fechar ao lado
que faz frente com a rua das Rosas?
a) 24 m
b) 20 m
c) 35 m
d) 32 m
b
e
d
c
16. ( ITA – SP ) O número de diagonais de um polígono
regular de 2n lados, que não passam pelo centro da
circunferência circunscrita a este polígono é dado por:
a) 2n( n – 2 )
b) 2n( n – 1 )
c) 2n( n – 3 )
d)
HAMILTON E ALEX
nn 5
2
02 .(FIP-2012) A figura a seguir mostra a planta de três
lotes, disponíveis para venda. Todos eles têm frente
tanto para a rua “Bela Vista” quanto para a rua
“Recanto”. As divisas laterais são perpendiculares à
rua “Bela Vista”.
Sabendo que a frente total para a rua “Recanto”
tem 180m, assinale a alternativa que indica as
medidas CORRETAS da frente dos lotes A, B e C
respectivamente:
90
CURSO DE MATEMÁTICA
A) 100 m, 55 m e 25m.
B) 70 m, 60 m e 50 m.
C) 80 m, 70 m e 50 m.
D) 80 m, 60 m e 40 m.
03. Na figura abaixo, as retas r, s, t e u, são paralelas.
Qual o valor de x + y + z ?
04. ( UFSM ) A crise energética tem levado as médias e
grandes empresas a buscarem alternativas na geração
de energia elétrica para a manutenção do maquinário.
Uma alternativa encontrada por uma fábrica foi a de
construir uma pequena hidrelétrica, aproveitando a
correnteza de um rio que passa próximo às suas
instalações. Observando a figura e admitindo que as
linhas retas r, s e t sejam paralelas, pode-se afirmar
que a barreira mede:
a) 33
b) 38
c) 43
d) 48
e) 53
HAMILTON E ALEX
06. (FEI-SP) Na figura, BC // DE. Então, o valor de x é:
a) 4
b) 6
c) 14
d) 9
e) 2
07. (Unesp) Um obelisco de 12 m de altura projeta, num
certo momento, uma sombra de 4,8 m de extensão.
Calcule a distância máxima que uma pessoa de 1,80 m
de altura poderá se afastar do centro da base do
obelisco, ao longo da sombra, para, em pé, continuar
totalmente na sombra.
08. (Unesp) A sombra de um prédio, num terreno plano,
numa determinada hora do dia, mede 15 m. Nesse
mesmo instante, próximo ao prédio, a sombra de um
poste de altura 5 m mede 3 m.
A altura do prédio, em metros, é
a) 25.
b) 29.
c) 30.
d) 45.
e) 75.
09. (Unicamp) Uma rampa de inclinação constante,
como a que dá acesso ao Palácio do Planalto em
Brasília, tem 4 metros de altura na sua parte mais alta.
Uma pessoa, tendo começado a subi-la, nota que após
caminhar 12,3 metros sobre a rampa está a 1,5 metros
de altura em relação ao solo.
a) Faça uma figura ilustrativa da situação descrita.
b) Calcule quantos metros a pessoa ainda deve
caminhar para atingir o ponto mais alto da rampa.
05. ( UnB ) Determine o valor de x, na figura abaixo,
onde r, s e t são retas paralelas.
a)
b)
c)
d)
e)
21
22
23
24
25
10. ( Itaúna ) Na figura abaixo, MNPQ é um quadrado
e ABC, um triângulo de altura H = 5 cm e AB = 7,5 cm.
2
Então a área do quadrado MNPQ é, em cm :
a) 1,5
C
b) 3
Q
P
c) 6
d) 9
A
M
N
B
91
CURSO DE MATEMÁTICA
11. ( FUVEST ) Dados:
ˆ C = BÂC, AB = 3, BC = 2 e AC = 4, então MC =
MB
?
A
a) 3,5
M
b) 2
c) 1,5
d) 1
B
C
e) 0,5
HAMILTON E ALEX
15. (Fuvest – SP ) No retângulo ABCD da figura temse CD = l e AD = 2l. Além disso, o ponto E pertence à
diagonal BD, o ponto F pertence ao lado BC e EF é
perpendicular a BD. Sabendo que a área do retângulo
ABCD é cinco vezes a área do triângulo BEF, então BF
mede:
12. ( MAPOFEI ) Um triângulo equilátero ABC tem 60m
de perímetro. Prolonga-se a base BC e sobre o
prolongamento toma-se CS = 12m. Une-se o ponto S
ao ponto médio M do lado AB. Calcular a área do
quadrilátero BCNM.
16. (Puccamp) Os triângulos ABC e AED,
representados na figura a seguir, são semelhantes,
sendo o ângulo ADE congruente ao ângulo ACB
13. (FGV – SP ) No triângulo ABC, AB = 8, BC = 7, AC
= 6 e o lado BC foi prolongado, como mostra a figura,
até o ponto P, formando-se o triângulo PAB,
semelhante ao triângulo PCA .
O comprimento do segmento PC é
a) 7.
b) 8.
c) 9.
d) 10.
e) 11.
14. (Fuvest – SP ) Uma folha de papel ABCD de
formato retangular é dobrada em torno do segmento
EF, de maneira que o ponto A ocupe a posição G, como
mostra a figura.
Se AE = 3 e BG = 1, então a medida do AF é igual a:
A)
3 5
2
B)
7 5
8
C)
3 5
4
D)
3 5
5
E)
5
3
D
C
E
G
A
F
Se BC = 16 cm, AC = 20 cm, AD = 10 cm e AE = 10,4
cm, encontre o perímetro do quadrilátero BCED, em
centímetros.
17. (CESGRANRIO) O losango ADEF está inscrito no
triângulo ABC, como mostra a figura. Se AB = 12m e
AC = 6m, o lado a do losango mede :
a) 5m
A
b) 3m
D
c) 2m
d) 4m
F
e) 8m
B
E
C
18. (ITA – SP) Considere uma circunferência inscrita
num triângulo isósceles com base de 6 cm e altura de
4 cm. Seja t uma reta tangente a esta circunferência e
paralela à base do triângulo. Determine a medida do
segmento de t compreendido entre os lados do
triângulo.
B
92
CURSO DE MATEMÁTICA
HAMILTON E ALEX
19. (UFPA) Uma fonte luminosa a 25 cm do centro de
uma esfera projeta sobre uma parede uma sombra
circular de 28 cm de diâmetro, conforme figura abaixo.
Se o raio da esfera mede 7 cm, a distância (d) do
centro da esfera até a parede, em cm, é:
A) 23
B) 24
C) 25
D) 27
E) 32
20.(CESGRANRIO) Na figura dada, as circunferências
de centro P e S são ambas tangentes à reta l no
mesmo ponto Q e a reta que passa por P e R tangencia
a circunferência menor no ponto T. Sendo os raios das
circunferências respectivamente 8m e 3m, a medida do
segmento QR é:
a) 4 m
l
b) 6 m
R
c) 8 m
T
d) 2 m
Q
P
S
e) n.r.a
Qual deve ser o valor do comprimento da haste EF?
A) 1 m
B) 2 m
C) 2,4 m
D) 3 m
E) 2
m
23. (ENEM-2009) A fotografia mostra uma turista
aparentemente beijando a esfinge de Gizé, no Egito.. A
figura a seguir mostra como, na verdade, foram
posicionadas a câmera fotográfica, a turista e a esfinge
21. ( MACK – SP ) O triângulo ABC da figura foi
dividido em duas partes de mesma área pelo segmento
BC
DE, que é paralelo a BC. A razão
vale :
DE
a) 2
A
3
b)
2
5
c)
2
E
D
d)
2
e)
3 2
2
B
C
22. (ENEM-2013) O dono de um sítio pretende colocar
uma haste de sustentação para melhor firmar dois
postes de comprimentos iguais a 6 m e 4 m. A figura
representa a situação real na qual os postes são
descritos pelos segmentos AC e BD e a haste é
representada pelo segmento EF, todos perpendiculares
ao solo, que é indicado pelo segmento de reta AB. Os
segmentos AD e BC representam cabos de aço que
serão instalados.
Medindo-se com uma régua diretamente na fotografia,
verifica-seque a medida do queixo até o alto da
cabeçada turista é iguala 2/3 da medida do queixo da
esfinge até o alto da sua cabeça. Considere que essas
medidas na realidade são representadas por d e d’,
respectivamente, que a distância da esfinge à lente da
câmera fotográfica, localizada no plano horizontal do
queixo da turista e da esfinge, é representada por b, e
que a distância da turista à mesma lente, por a
A razão entre b e a será dada por
A) b/a = d’/c
93
CURSO DE MATEMÁTICA
B) b/a = 2d/3c
C) b/a =3d’/2c
D) b/a = 2d’/3c
E) b/a = 2d’/c
HAMILTON E ALEX
EXERCÍCIO 5
01. (CEFET – RJ) Na figura abaixo, ABCD é um
paralelogramo, as retas r e s são paralelas, D e E são
pontos de s, F e G são pontos de r, F é um ponto de
AD, ABˆ C = 30° e CDˆ E = 120°. Quanto mede, em
GABARITO
1) D
2) D
3) 97/5
8) A
9) 20,5 m
13) C
14) D
19) A
20) B
4) B
10) D
15) E
5) E
11) C
16) 44,4
6) B
12)
17) D
7) 4,08
800 3
11
graus, o ângulo DFˆ G ?
A) 120º
B) 130º
C) 140º
d) 150º
18) 1,5
21) D
02. (IFSP/2014) Considerando que as medidas de dois
ângulos opostos de um losango são dadas, em graus,
por 3x + 60° e 135° – 2x, a medida do menor ângulo
desse losango é
a) 75°
b) 70°
c) 65°
d) 60°
e) 55°
03. (INSPER 2012) Considere um Iosango ABCD em
que M, N, P e Q são os pontos médios dos lados,
respectivamente. Um dos ângulos internos desse
Iosango mede α, sendo 0°< α < 90°.
Nessas condições, o quadrilátero convexo MNPQ
a) é um quadrado.
b) é um retângulo que não é Iosango.
c) é um Iosango que não é retângulo.
d) é um paralelogramo que não é retângulo nem
Iosango.
e) não possui lados paralelos.
04. (IFSC/2011) O perímetro de um Iosango é 40 cm e
uma diagonal mede 16 cm. A outra diagonal mede:
a) 10 cm.
b) 6 cm.
c) 12 cm.
d) 8 cm.
e) 5 cm.
05. (UDESC) No paralelogramo ABCD, conforme
mostra a figura, o segmento CE é a bissetriz do ângulo
DCB.
94
CURSO DE MATEMÁTICA
HAMILTON E ALEX
A)
B)
C)
D)
E)
Sabendo que AE = 2 e AD = 5, então o valor do
perímetro do paralelogramo ABCD é:
a) 26
b) 16
c) 20
d) 22
e) 24
06. (PUCCAMP) Na figura a seguir tem-se representado
o Iosango ABCD, cuja diagonal menor mede 4 cm.
Quadrado
Losango
Retângulo
Trapézio
Paralelogramo
10. (ITA 2014) Considere o trapézio ABCD de bases e.
Sejam M e N os pontos médios das diagonais AC e
BD, respectivamente. Então, se AB tem comprimento x
e CD tem comprimento y<x, o comprimento de MN é
igual a
a) x - y
b) 1/2.(x - y)
c) 1/3.(x - y)
d) 1/3.(x + y)
e) 1/4.(x + y)
11. ( CESGRANRIO ) Seja ABC um triângulo retângulo,
onde D é o ponto médio da hipotenusa BC. Se AD =
AB, então o ângulo ABC mede:
a) 67º 30’
b) 60º
c) 55º
d) 52º 30’
e) 45º
A medida do lado desse Iosango, em centímetros, é
a) 6 3
b) 6
c) 4 3
d) 4
e) 2 3
07. (UECE 2014) O palco de um teatro tem a forma de
um trapézio isósceles cujas medidas de suas linhas de
frente e de fundo são respectivamente 15 m e 9 m. Se a
medida de cada uma de suas diagonais é 15 m, então a
medida da área do palco, em m 2, é
a) 80.
b) 90.
c) 108.
d) 1182.
08. (FUVEST – SP) Um trapézio retângulo tem bases 5
e 2 e altura 4. 0 perímetro desse trapézio é:
a) 13
b) 14
c) 15
d) 16
e) 17
09. (CONC. DA PM) Se um quadrilátero plano convexo
tem todos os lados iguais, então esse quadrilátero é o:
12. ( ITA – SP ) Considere um quadrilátero ABCD cujas
diagonais AC e BD medem, respectivamente, 5 cm e
6 cm. Se R, S, T e U são os pontos médios dos lados
do quadrilátero dado, então o perímetro do quadrilátero
RSTU vale:
a) 22 cm
b) 13 cm
c) 11 cm
d) 8,5 cm
e) 5,5 cm
13. ( UFMG ) Num triângulo equilátero ABC, de 8 cm de
lado, traça-se MN // BC, de modo que ele se
decomponha num trapézio e num novo triângulo.
O valor de MN para o qual o perímetro do trapézio é
igual ao do triângulo AMN é:
a) 2 cm
b) 3 cm
c) 4 cm
d) 5 cm
e) 6 cm
14. (ENEM-2010) Em canteiros de obras de construção
civil é comum perceber trabalhadores realizando
medidas de comprimento e de ângulos e fazendo
demarcações por onde a obra deve começar ou se
erguer. Em um desses canteiros foram feitas algumas
marcas no chão plano. Foi possível perceber que, das
seis estacas colocadas, três eram vértices de um
triângulo retângulo e as outras três eram os pontos
95
CURSO DE MATEMÁTICA
médios dos lados desse triângulo, conforme pode ser
visto na figura, em que as estacas foram indicadas por
letras.
A região demarcada pelas estacas A, B, M e N deveria
ser calçada com concreto.
Nessas condições, a área a ser calçada corresponde
A) À mesma área do triângulo AMC
B) À mesma área do triângulo BNC
C) À metade da área formada pelo triângulo ABC
D) Ao dobro da área do triângulo MNC
E) Ao triplo da área do triângulo MNC
HAMILTON E ALEX
GABARITO
1) D
2) A
8) D
9) B
14) E
15) C
3) B
10) B
16) B
4) C
5) E
11) B
6) D
12) C
7) C
13) E
17) A
EXERCÍCIO 6
15. ( ITA – SP ) Dadas as afirmações:
I – Quaisquer dos ângulos opostos de um quadrilátero
são suplementares.
II – Quaisquer dos ângulos consecutivos de um
paralelogramo são suplementares.
III – Se as diagonais de um paralelogramo são
perpendiculares entre si, então esse paralelogramo é o
losango.
Podemos garantir que:
a) Todas são verdadeiras;
b) Apenas I e II são verdadeiras;
c) Apenas II e III são verdadeiras;
d) Apenas II é verdadeira;
e) Apenas III é verdadeira.
01. (FATEC-SP) Se os catetos de um triângulo
retângulo T, medem, respectivamente, 12 cm e 5 cm,
então a altura de T relativa à hipotenusa é:
a) 12/5 m
b) 5/13 m
c) 12/13 m
d) 25/13 m
e) 60/13 m
02. (Cesgranrio-RJ) Num triângulo retângulo em A, a
altura relativa à hipotenusa mede 12, e o menor dos
segmentos que ela determina sobre a hipotenusa, 9. O
menor lado do triângulo mede:
a) 12,5
b) 13
c) 15
d) 16
e) 16,5
16. Na figura, ABCD é um paralelogramo. AE é
bissetriz de DÂB e EB = EC. A medida do ângulo
DCˆ B é :
a)
b)
c)
d)
e)
50º
52º
56º
60º
65º
D
E
03. ( FATEC – SP ) Na figura abaixo, ABCD é um
retângulo. A medida do segmento EF é :
4
a) 0,8
B
A
b) 1,4
F
c) 2,6
3
d) 3,2
e) 3,8
E
C
78º
A
B
D
17. No trapézio isósceles da figura,
C
DB é bissetriz de
AD̂C e é perpendicular a BC. O ângulo BD̂C mede :
a)
b)
c)
d)
e)
30º
35º
40º
45º
50º
A
D
B
C
04. ( PUC – SP ) A soma dos quadrados dos três lados
de um triângulo retângulo é igual a 32. Quanto mede a
hipotenusa do triângulo ?
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 8
96
CURSO DE MATEMÁTICA
05. ( UFPA ) Uma corda de 3,9 m de comprimento
conecta um ponto na base de um bloco de madeira a
uma polia localizada no alto de uma elevação, conforme
o esquema abaixo. Observe que o ponto mais alto
dessa polia está 1,5 m acima do plano em que esse
bloco desliza. Caso a corda seja puxada 1,4 m, na
direção indicada abaixo, a distância x que o bloco
deslizará será de:
A) 1,0 m
B) 1,3 m
C) 1,6 m
D) 1,9 m
E) 2,1 m.
06. ( Enem – 2006 ) Na figura abaixo, que representa o
projeto de uma escada com 5 degraus de mesma
altura, o comprimento total do corrimão é igual a
A) 1,8 m.
B) 1,9 m.
C) 2,0 m.
D) 2,1 m.
E) 2,2 m.
07. (OBMEP) O topo de uma escada de 25 m de
comprimento está encostado na parede vertical de um
edifício. O pé da escada está a 7 m de distância da
base do edifício, como na figura. Se o topo da escada
escorregar 4m para baixo ao longo da parede, qual será
o deslocamento do pé da escada?
A) 4 m
B) 8 m
C) 9 m
D) 13 m
E) 15 m
08. ( UnB ) De um círculo, conhece-se apenas a parte
que é representada na figura abaixo. Então, a medida
de seu raio é :
1m
a) 3m
3m
3m
b) 4m
c) 5m
d) 6m
e) 7m
HAMILTON E ALEX
09. ( FATEC ) O valor do raio da circunferência de
centro O da figura é :
a) 7,5
b) 14,4
O
c) 12,5
d) 9,5
10
10
5
10. ( UFRJ ) Duas circunferências são tangentes
exteriores. A distância entre seus centros é de 13 cm e
a diferença entre seus raios é de 5 cm. A medida do raio
menor, do raio maior e do segmento AB da reta
tangente comum às circunferências, nessa ordem, é :
a) 3; 8; 11
b) 4; 9; 12
c) 3; 8; 12
d) 4; 9; 11
B
e) 5; 10; 13
A
11. ( MACK – SP ) A circunferência de raio a é
tangente às duas semicircunferências menores e à
semicircunferência maior. Se MN NP = R, então a é
igual a:
R 2
a
a)
2
R 3
b)
2
P
M
N
R
c)
4
R
d)
3
R
e)
2
12. ( ENEM - 2012 ) Em exposições de artes plásticas, é
usual que estátuas sejam expostas sobre plataformas
giratórias. Uma medida de segurança é que a base da
escultura esteja integralmente apoiada sobre a
plataforma. Para que se providencie o equipamento
adequado, no caso de uma base quadrada que será
fixada sobre uma plataforma circular, o auxiliar técnico
do evento deve estimar a medida R do raio adequado
para a plataforma em termos da medida L do lado da
base da estátua.
Qual relação entre R e L o auxiliar técnico deverá
apresentar de modo que a exigência de segurança seja
cumprida?
A) R ≥ L / 2
B) R ≥ 2L / π
C) R ≥ L /
D) R ≥ L / 2
E) R ≥ L / (2 2 )
97
CURSO DE MATEMÁTICA
13. ( PUC – Campinas ) Um quadrado tem dois vértices
numa circunferência e um lado tangente a ela no ponto
T, como mostra a figura. Se a área do quadrado é 64
2
cm , o raio da circunferência é:
a) 4 2
HAMILTON E ALEX
torre central e centro coincidente com o centro da base
da pirâmide), como sugere a ilustração.
Se a altura e a aresta da base da torre central medem,
respectivamente, 24 m e 6 2 m e o lado da base da
plataforma mede 19 2 m, então a medida, em metros,
de cada cabo será igual a
b) 3 2
c) 5 2
d) 5
14. Uma corda foi amarrada do ponto A ao ponto B
contornando um bloco retangular maciço cujas
dimensões são: 3m, 2m e 6m como indicado na
figura abaixo. A medida dessa corda é:
A
A) 9 metros
B) 10 metros
C) 11 metros
D) 12 metros
E) 13 metros
6m
2m
B
3m
15. ( ENEM – 2010 ) Uma fábrica de tubos acondiciona
tubos cilíndricos menores dentro de outros tubos
cilíndricos. A figura mostra uma situação em que quatro
tubos cilíndricos estão acondicionados perfeitamente
em um tubo com raio maior.
Suponha que você seja o operador da máquina que
produzirá os tubos maiores em que serão colocados,
sem ajustes ou folgas, quatro tubos cilíndricos internos.
Se o raio da base de cada um dos cilindros menores for
igual a 6 cm, a máquina por você operada deverá ser
ajustada para produzir tubos maiores, com raio da base
igual a
A) 12 cm
A)
288
B)
313
C)
328
D)
400
E)
505
17. (ENEM-2013) Um restaurante utiliza, para servir
bebidas, bandejas com bases quadradas. Todos os
copos desse restaurante têm o formato representado na
figura.
7
Considere que AC BD e que L é a medida de um
5
dos lados da base da bandeja. Qual deve ser o menor
valor da razão
para que uma bandeja tenha
capacidade de portar exatamente quatro copos de uma
só vez?
B) 12 2 cm
C) 24 2 cm
D) 6(1 +
E) 12(1 +
2 )cm
2 )cm
16. ( ENEM – 2010 ) Devido aos fortes ventos, uma
empresa exploradora de petróleo resolveu reforçar a
segurança de suas plataformas marítimas, colocando
cabos de aço para melhor afixar a torre central.
Considere que os cabos ficaram perfeitamente
esticados e terão uma extremidade no ponto médio das
arestas laterais da torre central (pirâmide quadrangular
regular) e a outra no vértice da base da plataforma (que
é um quadrado de lados paralelos aos lados da base da
18. A logomarca de uma empresa é composta de
círculos tangentes, como indicados na figura abaixo.
Essa empresa resolveu fazer chaveiros com o mesmo
formato dessa logomarca, para presentear seus
clientes. Se o raio do circulo menor deve medir 1cm,
qual medida, aproximada, do raio dos outros dois
círculos? ( considere 2 = 1,4 )
A) 2,5 cm e 6 cm
B) 2,1 cm e 5,6 cm
C) 2,8 cm e 6,2 cm
D) 2,2 cm e 5,8 cm
98
CURSO DE MATEMÁTICA
19. ( Fuvest – SP ) Num plano são dadas duas
circunferências de raios R e r cujos centros distam de
um comprimento a, a > R + r. Uma reta tangencia as
circunferências nos pontos P e Q e encontra o
segmento que une seus centros. Determinar a distância
PQ em função de a, R e r .
20. ( UFMG ) Os círculos C1, C2 e C3 são tangentes à
reta r e entre si dois a dois. Se os raios de c1 e c2
valem 6 2 cm, o raio de c3, em cm é:
a) 2 2
7 2
b)
4
3 2
c)
2
d)
4 2
3
e)
2
c2
c1
r
2) C
7) B
8) C
EXERCÍCIO 7
01. ( PUC - SP )
Na figura, AB é diâmetro da
circunferência. O menor dos arcos AC mede:
C
a) 100º
b) 120º
40º
c) 140º
A
B
d) 150º
e) 160º
02. ( U. C. SALVADOR ) Sabendo que O1 e O2 são os
centros das circunferências, calcule o valor de “x”.
a) 10º
b) 15º
c) 20º
80º
x
d) 25º
O1
O2
e) 30º
03. ( MACK - SP ) Na figura, sabe-se que m(CÂD) =
20º e m(CÊD) = 70º. Então AMB é igual a:
a) 50º
B
A
b) 45º
c) 60º
d) 22º 30’
E
e) 30º
C
D
M
GABARITO
1) E
HAMILTON E ALEX
3) B
4) B
5) C
6) D
11) D
12) A
04. (UNIMONTES) Sendo O o centro do círculo, calcule
o valor de x que aparece nos ângulos assinalados na
figura abaixo.
a) 12º
V
b) 9º
5x
c) 18º
d) 6º
O
e) n.d.a
A
6x + 48º
B
13) D
14) B
18) A
19)
9) C
10) B
15) D
a 2 (R r ) 2
16) D
20) C
17) D
05. ( UFMG – 99 ) Observe a figura:
Nessa figura, BD é um diâmetro da circunferência
circunscrita ao triângulo ABC, e os ângulos ABD e AÊD
medem, respectivamente, 20º e 85º.
Assim sendo, o ângulo CB̂D mede:
a) 40º
A
b) 25º
c) 35º
B
d) 30º
E
D
C
99
CURSO DE MATEMÁTICA
06. ( UFGO ) Se a corda AB da figura é um lado de um
triângulo equilátero inscrito na circunferência de centro
em O, a medida do ângulo , em radianos é:
a) 2/3
A
b) 3/2
c) 3/4
O
d) /3
e) /6
HAMILTON E ALEX
10. ( PUC – SP ) Na figura abaixo, AP é tangente e AB
é secante à circunferência. Se o arco b = 100º e  =
50º, a medida do arco a, em graus, é igual a:
a) 50
P
A
b) 60
a
c) 65
d) 75
e) 80
b
B
B
07. ( FEI – SP ) Na figura, ABCD é um quadrilátero
inscrito num círculo; x e y são as medidas, em graus,
de ACˆ D e ADˆ C , respectivamente. O valor de y – x é :
a)
b)
c)
d)
e)
55º
35º
50º
42º 30’
45º
11. ( UFES ) Na figura, a medida de em graus é :
a) 50º
b) 52º
c) 54º
d) 56º
32º
e) 58º
B
45º
C
40º
A
12. ( UC - Salvador ) Na figura abaixo, o triângulo ABC
é isósceles de base BC e BD é a bissetriz do ângulo
de vértice B. A medida do ângulo assinalado é:
A
a) 55º
b) 50º
35º
D
c) 45º
d) 40º
e) 35º
D
08. ( UECE – 2000 ) Na figura, a reta MN é tangente à
circunferência em P, a secante MQ passa pelo centro
O da circunferência e a medida do ângulo QMP é 40º.
A medida do ângulo NPˆ Q é igual a :
a)
b)
c)
d)
65º
60º
55º
50º
M
P
N
C
B
13. ( UFMG ) Observe a figura abaixo.
Suponha que as medidas dos ângulos PŜQ , QŜR e
SP̂R , assinalados na figura, sejam 45º, 18º e 38º,
O
Q
09. (UFMG) – Na figura A, B e D são pontos da
circunferência de centro O e diâmetro AC, M é ponto
ˆ M mede 35º. A
médio da corda AB e o ângulo AD
medida x do ângulo BÂC em graus, é :
a) 20
B
b) 25
M
c) 30
d) 35
O
A
C
e) 37,5
D
respectivamente. A medida do ângulo PQ̂S , em graus,
S
é:
a) 38º
45º 18º
b) 63º
R
c) 79º
d) 87º
38º
Q
P
14. ( CESGRANRIO ) As semi-retas PM e PN são
tangentes ao círculo da figura e o comprimento do arco
MGN é 4 vezes o do arco MFN . O ângulo MP̂N vale:
a) 76º
M
b) 80º
c) 90º
G
F
P
d) 108º
e) 120º
N
100
CURSO DE MATEMÁTICA
15. ( CESGRANRIO ) Em um círculo de centro O, está
inscrito o ângulo . Se o arco AMB mede 130º, o
ângulo mede :
a) 25º
b) 30º
O
c) 40º
B
A
d) 45º
e) 50º
HAMILTON E ALEX
20. ( Cesgranrio ) Se, na figura, AB = 20º, BC = 124º,
CD = 36º e DE = 90º, então o ângulo x mede:
a) 34º
E
b) 35º 30’
c) 37º
D
d) 38º 30’
A
e) 40º
B
x
C
M
16. ( PUC – SP ) O pentágono ABCDE abaixo está
inscrito em um círculo de centro O. O ângulo central
CÔD mede 60º. Então x + y é igual a:
A
a) 180º
b) 185º
c) 190º
B x
y E
O
d) 210º
e) 250º
21. ( Fuvest - SP ) Numa circunferência está inscrito um
triângulo ABC; seu lado BC é igual ao raio da
circunferência. O ângulo BÂC mede:
a) 15º
b) 30º
c) 36º
d) 45º
e) 60º
D
C
22. ( MACK ) Na figura abaixo, tem-se m(BÂD) = 108º
17. ( UFMG ) De um ponto M, exterior a um círculo de
centro O, traçam-se as tangentes MA e MB. Se a corda
AB é um lado do pentágono regular inscrito nesse
ˆ B é:
círculo, a medida do ângulo AM
a) 144º
b) 120º
A
c) 108º
O
M
d) 96º
e) 72º
e m( AD̂C ) = 112º. A medida de EB̂C é:
E
a) 68º
B
b) 72º
c) 108º
A
d) 112º
e) n.d.a
D
C
B
18. ( MACK ) Na figura, temos um trapézio inscrito. Se o
menor dos arcos AB = 60º, então o menor dos arcos MN
mede:
A
B
a) 90º
b) 110º
c) 120º
d) 140º
75º
e) 150º
M
N
19. ( VUNESP ) Os pontos A, B, C, D, E, e F
pertencem à circunferência. O valor de é ?
A
B
120º
F
E
13) ( CESGRANRIO ) Um quadrilátero convexo está
inscrito em um círculo. A soma em radianos, dos
ângulos e mostrados na figura é:
a) /4
b) /2
c)
d) 3/2
e) 2
GABARITO
1) A
2) C
8) A
9) A
14) D
15) A
18) C
3) E
4) A
10) E
19) 50º
5) B
11) E
16) D
20) C
6) A
7) A
12)D 13) C
17) C
21) B
110º
C
D
22) D
23) C
101
CURSO DE MATEMÁTICA
EXERCÍCIOS 8
HAMILTON E ALEX
6) Calcule o valor do raio r do círculo inscrito no
trapézio retângulo abaixo.
1) ( CESCEM ) Seja P o ponto de tangência da
circunferência inscrita no triângulo ABC, com o lado
AB. Se AB = 7, BC = 6 e AC = 8, quanto vale AP ?
10
A
13
B
2) Na figura, determine a medida do segmento BD
sabendo que a circunferência de centro O está
inscrita no triângulo ABC, e que os lados AB, BC e
AC medem respectivamente 6cm, 8cm e 10cm.
A
B
D
C
3) ( UFMG ) Na figura, o círculo está inscrito no
triângulo ABC cujos lados medem AB = 9 cm, BC
= 8 cm e AC = 5 cm e M é o ponto de tangência.
A medida de MB é :
a) 5 cm
C
b) 5,5 cm
c) 6 cm
d) 6,5 cm
A
M
D
15
C
7) ( F.C.M.S.C ) Na figura abaixo, o valor de d é :
a)
ba
b)
2ab
c)
2 ab
d)
2a a b
e)
2 ab 2a
a
d
b
8) ( MACK – SP ) A hipotenusa de um triângulo
retângulo é 8 e o raio do círculo inscrito é 2. O
perímetro do triângulo é igual a:
a) 28
b) 26
c) 24
d) 22
e) 20
B
4) Na figura, PA = 10 cm. Calcule o perímetro do
triângulo PRS sabendo-se que RS é tangente à .
R A
P
S B
5) Na figura, o círculo está inscrito no triângulo ABC,
retângulo em A. Se BM = 6 m e MC = 4 m, o raio
do círculo é :
A
a) 1,8
b) 2,0
c) 2,2
d) 2,4
C
M
B
e) 2,5
9) ( EPUSP ) As bases de um trapézio isósceles
circunscrito a uma circunferência medem 9m e
6m. Cada um dos outros dois lados do trapézio
mede:
a) 4,5 m
b) 6 m
c) 7,5 m
d) 8 m
e) n.d.a
10) ( UFMS )
Na figura abaixo, tem-se uma
circunferência inscrita num triângulo ABC, retângulo
em A e isósceles. Se a hipotenusa do triângulo
mede 8 2 cm, o raio da circunferência, em cm, é
:
a)
4 2 8
b)
48 2
c)
84 2
d)
63 2
C
A
B
102
CURSO DE MATEMÁTICA
11) A figura abaixo representa uma praça triangular.
Nela deseja-se fazer um heliporto circular com a
maior área possível. O raio desse círculo será?
A) 3 metros
B) 3,5 metros
C) 4 metros
10 m
D) 4,5 metros
E) 5 metros
HAMILTON E ALEX
EXERCÍCIO 10
7) ( UFRJ – 99 ) Na figura, o triângulo AEC é
equilátero e ABCD é um quadrado de lado 2cm.
Calcule a distância do vértice B ao vértice E .
E
A
B
D
C
24 m
12) (ENEM – 2010) Uma metalúrgica recebeu uma
encomenda para fabricar, em grande quantidade,
uma peça com o formato de um prisma reto com
base triangular, cujas dimensões da base são 6 cm,
8 cm e 10 cm e cuja altura é 10 cm. Tal peça deve
ser vazada de tal maneira que a perfuração na
forma de um cilindro circular reto seja tangente às
suas faces laterais, conforme mostra a figura.
O raio da perfuração da peça é igual a
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
8) ( PUC/RIO – 2001 ) Qual a razão entre os raios dos
círculos circunscrito e inscrito de um triângulo
equilátero de lado a ?
a) 2
b)
3
c)
d)
2
3a
e)
3.a 2
9) ( UFPA ) Uma pista de atletismo está representada
na figura abaixo, sendo que os arcos são
semicircunferências. Nesse contexto, assinale a
única alternativa correta.
A) O contorno interno da pista é maior que 290 m.
B) A área da região englobada pela pista é maior
que 4500 m2
C) A área da pista é maior que 3200 m2
D) O contorno externo da pista é menor que 350 m
GABARITO
1) 4,5
8) E
2) 2
9) C
3) C
10) C
4) 20
11) C
5) B
6) 6
7) C
12) B
10) (PUC – SP) A figura mostra um hexágono regular
de lado a a diagonal AB mede ?
a) 2a
A
b) a 2
c)
a 3
2
d) a 3
B
103
CURSO DE MATEMÁTICA
11. (FIP-2013) A quadratura do círculo
Quando uma pessoa está fazendo um cálculo errado,
absurdo, é comum dizer que ela quer “quadrar o
círculo”.
Essa expressão significa, simplesmente, que, dado
um círculo, deve-se construir um quadrado que
tenha exatamente a mesma área do círculo, usando
somente uma régua não graduada e um compasso.
É muito fácil construir um quadrado de área
aproximadamente igual à de um círculo dado.
Sobre a situação apresentada, três estudantes
formularam as seguintes hipóteses:
I – Abel: Para que um quadrado tenha área igual à de
um círculo de raio 1, seu lado deve medir
HAMILTON E ALEX
EXERCÍCIO 11
01. (UFRGS) Os babilônios utilizavam a fórmula A = (a
+ c).(b + d)/4 para determinar aproximadamente a área
de um quadrilátero com lados consecutivos de medidas
a, b, c, d.
Para o quadrilátero da figura a seguir, a diferença entre
o valor aproximado da área obtido utilizando-se a
fórmula dos babilônios e o valor exato da área é
a) 11/4.
b) 3.
c) 13/4.
d) 4.
e) 21/4.
.
II – Bianca: Se um círculo possui área igual a 4, a
diagonal do quadrado de mesma área mede 2 2 .
III – Camila: Um quadrado de lado igual a 5 possui
mesma área de um círculo de raio igual a 5 .
É correto o que é afirmado em:
A)somente III.
B) I e III somente
C) I e II somente
D) I, II e III.
12. (ENEM-2013) Em um sistema de dutos, três canos
iguais, de raio externo 30 cm, são soldados entre si e
colocados dentro de um cano de raio maior, de medida
R. Para posteriormente ter fácil manutenção, é
necessário haver uma distância de 10 cm entre os
canos soldados e o cano de raio maior.
Essa distância é garantida por um espaçador de metal,
conforme a figura:
Utilize 1,7 como aproximação para .
O valor de R, em centímetros, é igual a
A) 64,0.
B) 65,5.
C) 74,0.
D) 81,0.
E) 91,0.
02. ( UFMG ) Considere um trapézio isósceles ABCD,
em que AB BC CD = 4 cm. Se AD = 8 cm, pode-se
afirmar que a área do trapézio, em cm2, é :
B
C
a) 4 3
b) 6 3
c) 8 3
d) 12 3
A
D
e) 24 3
03. ( U. E. Londrina ) O Tangram é um quebra-cabeça
de origem chinesa. É formado por cinco triângulos
retângulos isósceles ( T1, T2, T3, T4 e T5 ), um
paralelogramo ( P ) e um quadrado ( Q ) que, juntos,
formam um quadrado, conforme a figura a seguir.
Em relação às áreas das figuras, é correto afirmar :
a) Se a área de Q é 1, então a área do quadrado
maior é 4.
b) A área de T1 é o dobro da área de T 3.
c) A área de T4 é igual à área de T 5.
d) A área de T 5 é um quarto da área do quadrado
maior.
e) A área de P é igual à área de Q.
GABARITO
7)
6 2
10) D
8) A
9) D
11) D
12) C
04. ( Conc. Publ./ MG – 2002 ) Para facilitar o cálculo
da área de um terreno, representado pela figura
poligonal fechada abaixo, foi superposto a ela um
reticulado onde cada um de seus menores quadrados
tem área igual a 10 m 2.
104
CURSO DE MATEMÁTICA
Utilizando-se esse recurso, a área desse terreno foi
estimada em :
a) 390 m2
2
b) 470 m
c) 510 m2
d) 630 m2
05. ( PUC – Poços / 2001 ) Na figura, o quadrilátero
ABCD é um quadrado de lado medindo 4 m. O ponto
E se desloca sobre o lado AB , em direção ao ponto
A, a partir de B, de modo a formar o retângulo AEFG,
em que EF = EB = x. A medida da área desse
retângulo, expressa em função de x, é :
D
C
a) 4 – x2
2
b) 2x – x
2
c) 3x – x
d) 4x – x2
F
G
e) n.d.a
E
A
B
06. (Escola Técnica Federal - RJ) O perímetro de um
hexágono regular inscrito em um círculo de 25 cm2 de
área é igual a
a) 150 cm
b) 75 cm
c) 25 cm
d) 15 cm
e) 30 cm
07. ( Mack – 97 ) No hexágono regular da figura, a
distância do vértice E à diagonal AC é 3. Então a
área do polígono assinalado é:
a) 6
B
C
b) 4 3
c) 5 3
A
D
d) 6 3
e) 8 3
F
raio medindo 6 2 . A área da região assinalada na
figura é :
a) 72 – 32 3
c) 96 – 32 3
d) 36 – 192 3
09. ( Vunesp – SP )
logotipo :
Uma empresa tem o seguinte
Se a medida do raio da circunferência inscrita no
2
quadrado é 3 cm, a área, em cm , de toda a região
pintada de preto é :
9
A) 9 –
4
9
B) 18 –
4
9
C) 18 –
2
9
D) 36 –
4
9
E) 36 –
2
10. ( U. E. Londrina ) Na figura, ABCD é um quadrado
cujo lado mede a . Um dos arcos está contido em uma
circunferência de centro C e raio a , e o outro é uma
semi- circunferência de centro no ponto médio de BC e
de diâmetro a . A área da região hachurada é :
A
D
B
C
a) Um quarto da área do círculo de raio a.
b) Um oitavo da área do círculo de raio a.
a
c) O dobro da área do círculo de raio .
2
a
d) Igual a área do círculo de raio .
2
e) A metade da área do quadrado.
E
08. ( CESCEM ) A figura abaixo representa um
hexágono regular, inscrito num círculo de centro O e
b) 72 – 108 3
HAMILTON E ALEX
O
11. ( MACK – 2001 ) Na figura, ABCD é um quadrado
e o arco AP tem centro em D. Se a área assinalada
4
mede
, o perímetro do quadrado é igual a:
8
A
B
A) 2
B) 4 2
C) 4
2
D)
E) 8
P
D
C
e) 36 – 32 3
105
CURSO DE MATEMÁTICA
12. ( MACK – SP ) É dado um hexágono regular de
lado 2. A área da figura que se obtém eliminando do
hexágono a sua interseção com os 6 círculos de raios
unitários e centros, respectivamente, nos vértices do
hexágono é :
a) 6 3 – 2
b) 3 6 –
c)
6 –
3
HAMILTON E ALEX
16. ( CFTCE ) Calcule a área hachurada da figura,
sabendo-se que "O" é o centro das circunferências e
OA = 4 cm e AB = 5 cm.
a) 65 / 2 cm2
2
b) 63 / 2 cm
2
c) 61 / 2 cm
2
d) 59 / 2 cm
e) 57 / 2 cm2
d) 6. ( 3 – )
e) n. d. a
13. ( Mackenzie – SP ) Na figura a seguir, os círculos
internos são iguais e a região assinalada tem área 8(
– 2). Então a área do círculo externo é:
a) 20 .
b) 16 .
c) 8 .
d) 4 .
e) 2 .
14. ( Cesgranrio ) O polígono a seguir, em forma de
estrela, tem todos os lados iguais a 1 cm e todos os
ângulos iguais a 60° ou 240°. Sua área é:
a) 3 cm2
b) 3 3 cm2
c) 6 cm2
d) 6 3 cm2
2
e) 9 cm
15. ( UFRJ ) O Tangram é um antigo quebra-cabeça
chinês formado por um quadrado decomposto em sete
peças: cinco triângulos, um paralelogramo e um
quadrado, como mostra a figura A. A figura B é obtida a
partir da figura A por meio de translações e rotações de
seis dessas peças. A razão da área da figura A para a
área da figura B é:
a) 8/7
b) 8/6
c) 7/6
d) 1
e) 8/9
17. ( UFRS ) Na figura abaixo, C é o centro do círculo,
A é um ponto do círculo e ABCD é um retângulo com
lados medindo 3 e 4. Entre as alternativas, a que
apresenta a melhor aproximação para a área da região
sombreada é
a) 6,5
b) 7,0
c) 7,5
d) 8,0
e) 8,5
18. ( CFTMG ) O quadrilátero ABCD da figura abaixo
tem 16 cm2 de área. M e N são pontos médios dos
lados CD e BC respectivamente.
A área do triângulo AMN, em cm2, é
a) 6
b) 8
c) 10
d) 12
19. ( CFTMG ) Na figura seguinte, o quadrado ABCD
2
tem área igual a 100 cm . Sabe-se que AE = AF e que
as medidas de AE e EB estão na razão de 1 para 4. A
área do quadrilátero CEFD, em cm 2, é
a) 58
b) 63
c) 64
d) 70
106
CURSO DE MATEMÁTICA
20. ( PUC – MG ) O ponto O é o centro de uma
circunferência de raio r, conforme a figura. A área da
região sombreada, em função de r, é:
a) (r2 )/4
2
b) [r ( – 2)]/4
2
c) [r ( – 2)]/2
2
d) [r ( + 4)]/2
21. ( UFG – 2000 ) Um quadrado de 4 cm de lado é
dividido em dois retângulos. Em um dos retângulos,
coloca-se um círculo tangenciando dois de seus lados
opostos, conforme figura abaixo.
HAMILTON E ALEX
23. ( UEL – PR ) Uma lembrança de festa foi
confeccionada em cartolina a partir de um hexágono
regular de lado igual a 3 cm. Com centro em cada
vértice foram construídos semicírculos com raio igual ao
lado do hexágono. A seguir, foi retirada a região do
semicírculo que ficava por baixo do semicírculo
seguinte, resultando a figura abaixo. Use o valor 3,14
para e 1,73 para 3 .
A alternativa que contém o valor mais aproximado da
área total da figura é :
a) 113,04 cm2
2
b) 108,14 cm
2
c) 103,22 cm
2
d) 84,78 cm
e) 82,52 cm2
GABARITO
1) C
Determine o raio que o círculo deve ter, para que a
soma das áreas do círculo e do retângulo, que não o
contém, seja a menor possível.
2) D
3) E
8) B
9) B
14) B
15) A
19) A
20) B
4) C
10) B
5) D
11) C
16) A
21) 4/
6) E
7) C
12) A 13) B
17) C
18) A
22)
23) C
22. ( UFJF – 2001 ) Na figura abaixo, temos que os
arcos ADB, BEC e ABC são semicircunferências de
diâmetros AB , BC e AC , respectivamente. Mostre
que a área sombreada é igual à área do triângulo ABC
inscrito na semicircunferência ABC.
E
B
D
A
C
PROGRESSÃO ARITMÉTICA
107
CURSO DE MATEMÁTICA
01. (UECE/2011) Se os números x1, x2 e x3 formam,
nesta ordem, uma progressão aritmética, com x2 = 1,
então o valor de
log 9 (x1+ x2 + x3) é:
A) 0.
B) 1/2.
C) 1.
D) 3/2.
E) 5/2.
02. (IBMEC SP/2011) Um número triangular é um inteiro
n(n 1)
da forma
, sendo
n um inteiro positivo.
2
Considere a tabela:
A soma dos algarismos de X é
A) 10.
B) 11.
C) 12.
D) 13.
E) 14.
HAMILTON E ALEX
C) Julho.
D) Setembro.
E) Novembro.
06. Acompanhando o desenvolvimento de uma
população de vírus, certo biólogo montou a seguinte
tabela, que apresenta o número de vírus ao final de
cada um dos 5 primeiros minutos:
Supondo-se que o ritmo de crescimento dessa
população tenha continuado a obedecer a essa mesma
lei, o número de vírus, ao final de 50 minutos, era:
A) 87.
B) 90.
C) 197.
D) 200.
E) 210.
07. (PUC SP) Sobre as casas de um grande tabuleiro
de xadrez devem ser colocados grãos de arroz, em
quantidades que obedeçam a uma lei de formação
sequencial, conforme é mostrado na figura seguinte.
03. (PUC MG) A soma de três números naturais em
progressão aritmética é trinta; a diferença entre o maior
e o menor destes números é doze. O menor termo
dessa progressão é igual a:
A) 2.
B) 3.
C) 4.
D) 5.
E) 6.
04. (PUC PR) O 4.º e o 9.º termos de uma progressão
aritmética crescente são as raízes de x2 - 8x - 9 = 0. O
1.º termo desta progressão é:
A) -1.
B) -5.
C) -3.
D) -9.
E) -7.
05. (UNESP SP) Duas pequenas fábricas de calçados,
A e B, têm fabricado, respectivamente, 3.000 e 1.100
pares de sapatos por mês. Se, a partir de janeiro, a
fábrica A aumentar sucessivamente a produção em 70
pares por mês e a fábrica B aumentar sucessivamente a
produção em 290 pares por mês, a produção da fábrica
B superará a produção de A a partir de
A) Março.
B) Maio.
A quantidade de grãos de arroz que devem ser
colocados na casa em que se encontra o ponto de
interrogação é um número compreendido entre
A) 170 e 175.
B) 175 e 180.
C) 180 e 185.
D) 185 e 190.
E) 190 e 195.
08. (PUC PR) Qual a soma dos múltiplos de 7
compreendidos entre 1 e 100?
A) 735.
B) 742.
C) 728.
108
CURSO DE MATEMÁTICA
D) 749.
E) 746.
09. (FGV /2005) A tabela indica a sequência de teclas
digitadas em uma calculadora (da esquerda para a
direita) e o resultado apresentado no visor após a
sequência:
Sabendo que X e Y representam dois algarismos de 0 a
9, e que após digitarmos X + Y seguido de 20 vezes
a digitação da tecla = obtivemos o número 87, é
correto afirmar que X + Y é igual a:
A) 12.
B) 11.
C) 10.
D) 9.
E) 8.
10. (IBMEC SP) Considere a sequência de matrizes
abaixo:
O maior número que constará da 27ª matriz é:
A) 222.
B) 220.
C) 216.
D) 214.
E) 208.
11. (UFV MG) Os números inteiros x + 1, 2x e 5, nesta
ordem, formam uma progressão aritmética. O valor de
2
x é:
A) 9.
B) 4.
C) 1.
D) 0.
E) -2.
12. (MACK SP) Na sequência (a1, a2, a3, ....), de
décimo termo 92, tem-se que a2 – a1 = 2, a3 – a2 = 4, a4
– a3 = 6 e assim sucessivamente. O valor de a1 é
A) 2.
B) 0.
C) 8.
D) 1.
E) 3.
HAMILTON E ALEX
13. (UNIFESP SP) A soma dos termos que são
números primos da sequência cujo termo geral é dado
por an = 3n + 2, para n natural, variando de 1 a 5, é:
A) 10.
B) 16.
C) 28.
D) 33.
E) 36.
14. (UNIMONTES MG) Se ( 3 – x, x, 9 x ) é uma
progressão aritmética, seu 6.º termo é
A) 5.
B) −5.
C) 0.
D) 3.
E) 6.
15. (MACK SP) No primeiro semestre deste ano, a
produção de uma fábrica de aparelhos celulares
aumentou, mês a mês, de uma quantidade fixa. Em
janeiro, foram produzidas 18.000 unidades e em junho,
78.000. Se a fábrica exporta 30% de sua produção
mensal, o total de aparelhos celulares exportados nos
meses de março e abril foi:
A) 32.400.
B) 30.600.
C) 24.500.
D) 26.200.
E) 28.800.
16. (Unifra RS/2012) O décimo sexto elemento da
sequência abaixo tem uma quantidade de cubos igual a
A) 73.
B) 74.
C) 75.
D) 76.
E) 77.
17. (UEPB) Programado para soar de 20 em 20
minutos, um relógio soou às 10 h e 30 min. A partir
desse horário quantos toques serão dados até às 15 h e
30 min?
A) 51.
B) 31.
C) 25.
D) 15.
E) 11.
109
CURSO DE MATEMÁTICA
18. (UFAM) Durante 13 dias, um automóvel é submetido
a testes de desempenho mecânico. No primeiro dia ele
percorre 30 km; no segundo, 45 km; no terceiro, 60 km;
e assim sucessivamente, até o último dia, quando
percorre x km. Então o valor de x/10 é:
A) 35.
B) 30.
C) 45.
D) 60.
E) 21.
19. (Anhembi Morumbi SP/2013) Uma pessoa está
tomando diariamente 500 mg de um medicamento e,
por ordem médica, diminuirá gradativamente a
dosagem, até parar de usá-lo. Isso será feito da
seguinte maneira: do 1.º ao 7.º dia, tomará 480 mg por
dia, do 8.º ao 14.º dia reduzirá para 460 mg diárias, do
15.º ao 21.º dia tomará diariamente 440 mg, e assim
sucessivamente até parar de ingerir o medicamento.
Contando a partir do primeiro dia em que essa pessoa
passou a tomar 480 mg, o número de dias que ela ainda
tomará o medicamento será
A) 178.
B) 182.
C) 172.
D) 168.
E) 164.
20. (OSEC-SP) Um jardim tem uma torneira e dez
roseiras dispostas em linha reta. A torneira dista 50
metros da primeira roseira e cada roseira dista 2 metros
da seguinte.
Um jardineiro, para regar as roseiras, enche um balde
na torneira e despeja seu conteúdo na primeira. Volta à
torneira e repete a operação para cada roseira seguinte.
Após regar a última roseira e voltar à torneira para
deixar o balde ele terá andado:
a) 1200 m
b) 1180 m
c) 1130 m
d) 1110 m
e) 1000 m
21. (UNIFESP) Se os primeiros quatro termos de uma
progressão aritmética são a, b, 5a, d, então o quociente
d/b é igual a
A) 1/4
B) 1/3.
C) 2.
D) 7/3.
E) 5.
22. (UFPel RS/2005) Durante anos, paleontólogos vêm
buscando indícios que possam ajudar a desvendar o
mistério da verdadeira origem do homem. A partir de
várias investigações, foi possível conhecer algumas
HAMILTON E ALEX
espécies de hominídeos, estimar altura e capacidade
craniana.
A ilustração abaixo mostra uma sequência da evolução
da espécie, com relação à altura. Sabendo que as
alturas estão em progressão aritmética, que a sua soma
é 4,59 m e que a razão entre elas é 0,26 m, analise as
afirmativas abaixo.
I. A altura do Homo habilis é 1,27 m.
II. O Homo sapiens é 0,52 m mais alto do que o Homo
habilis.
III. A altura do Homo erectus é a média aritmética das
alturas do Homo sapiens e do Homo habilis.
IV. A altura do Homo sapiens é 1,53 m.
Estão corretas apenas as afirmativas
A) I, II e III.
B) II, III e IV.
C) I e II.
D) I e III.
E) III e IV.
23. (UNIFOR CE) Em uma progressão aritmética em
que a2 = 3 e a3 = 2, é verdade que
A) a5 = – 1.
B) a10 = – 6.
C) a15 = – 15.
D) a50 = – 45.
E) a100 = –99.
24. (UNIFOR CE) Um casal tem três filhos cujas idades
estão em progressão aritmética. Se a soma dessas
idades é 36 anos e o filho mais velho tem 16 anos,
quantos anos tem o filho mais novo?
A) 6.
B) 8.
C) 10.
D) 12.
E) 14.
25. (UNIFOR CE) Considere o seguinte problema:
“As medidas, em centímetros, dos lados de um triângulo
retângulo são numericamente iguais aos termos de uma
progressão aritmética de razão 2. Determinar essas
medidas”.
É verdade que esse problema
A) não tem solução.
B) admite infinitas soluções.
C) admite duas soluções sendo que em uma delas o
menor cateto mede 5 cm.
110
CURSO DE MATEMÁTICA
D) admite uma única solução, em que o maior cateto
mede 6 cm.
E) admite uma única solução, em que a hipotenusa
mede 10 cm.
26. (UNIFOR CE) Em um triângulo, as medidas dos
ângulos internos estão em progressão aritmética. Se a
menor dessas medidas é 10º, a maior delas é
A) 90º.
B) 100º.
C) 110º.
D) 120º.
E) 130º.
27. (UNIFOR CE) Hoje, as idades de três irmãos, em
anos, são numericamente iguais aos termos de uma
progressão aritmética de razão 3. Se daqui a 5 anos, a
soma de sua idades for igual a 57 anos, atualmente, a
idade do mais
A) velho é 18 anos.
B) jovem é 13 anos.
C) velho é 16 anos.
D) jovem é 11 anos.
E) velho é 14 anos.
28. (UFCG PB) Num período de 10 meses
consecutivos, uma fábrica deseja produzir 60.000 pares
de calçados, de modo que a produção a cada mês (a
partir do segundo) seja 900 pares a mais, em relação ao
mês anterior. Nessas condições, a produção ao final do
primeiro mês deve ser de
A) 1.980 pares.
B) 1.950 pares.
C) 1.910 pares.
D) 1.890 pares.
E) 1.850 pares.
29. (UNIUBE MG) Um estacionamento cobra R$ 15,00
pela primeira hora. A partir da segunda hora os preços
caem em progressão aritmética, sendo que o valor da
segunda hora é R$ 10,00 e o valor da décima segunda
é R$ 4,00. Se um automóvel ficar estacionado 5 horas
nesse local, o seu proprietário gastará
A) R$ 54,10.
B) R$ 53,10.
C) R$ 51,40.
D) R$ 48,50.
E) R$ 45,80.
30. (EFOA MG) Para angariar recursos para formatura,
uma turma de 3º ano do ensino médio de um colégio
organizou uma rifa, cujos bilhetes foram numerados de
3 em 3, de 100 a 997. Sabendo-se que os bilhetes
foram vendidos a R$ 8,00 cada um e que foram
HAMILTON E ALEX
vendidos 92% do total de bilhetes, o valor arrecadado
com a rifa, em reais, foi:
A) 2.304.
B) 2.128.
C) 2.248.
D) 2.136.
E) 2.208.
31. (PUC RS) As medidas das alturas de três irmãos
estão em Progressão Aritmética. Se o maior mede 1,68
m e o de medida média tem 1,60 m, então o menor
mede, aproximadamente,
A) 1,42m.
B) 1,50m.
C) 1,52m.
D) 1,54m.
E) 1,58m.
32. (MACK SP) As medidas dos lados de um triângulo
retângulo estão em progressão aritmética. Se b é a
medida do maior cateto, a área do triângulo é
33. (UNESP SP) Em 05 de junho de 2004, foi
inaugurada uma pizzaria que só abre aos sábados. No
dia da inauguração, a pizzaria recebeu 40 fregueses. A
partir daí, o número de fregueses que passaram a
frequentar a pizzaria cresceu em progressão aritmética
de razão 6, até que atingiu a cota máxima de 136
pessoas, a qual tem se mantido. O número de sábados
que se passaram, excluindo-se o sábado de
inauguração, para que a cota máxima de fregueses
fosse atingida pela primeira vez, foi:
A) 15.
B) 16.
C) 17.
D) 18.
E) 26.
34. (PUC MG) Um restaurante, que só abre aos
sábados, foi inaugurado no dia 02 de julho de 2005,
quando recebeu 60 fregueses. A partir daí, o número de
fregueses que passaram a frequentar esse restaurante
aumentou à razão de 12 pessoas por semana, até
atingir a capacidade máxima de 180 pessoas, a qual
111
CURSO DE MATEMÁTICA
tem se mantido. Sem contar o da inauguração, o
número de sábados transcorridos, até que a capacidade
máxima fosse atingida pela primeira vez, foi:
A) 10.
B) 12.
C) 14.
D) 16.
E) 18.
35. (UFU MG) Sabendo-se que o quinto e o oitavo
termos de uma progressão aritmética crescente são as
raízes da equação x2 – 14x + 40 = 0, seu terceiro termo
é:
A) –2.
B) 0.
C) 2.
D) 14.
E) –35.
HAMILTON E ALEX
GABARITO
1) B
2) B
3) C
4) E
5)D
6)C
8) A
9)B
10)D
11)B
12) A
13) D
14) A
15) E
16) D
17) D
18) E
19) D
20) B
21) D
22) A 23) D
24) B
25) E
26) C
27) D
28) B
29) C
7) A
30) E 31) C
36. (PUC RS) As quantias, em reais, de cinco pessoas
estão em progressão aritmética. Se a segunda e a
quinta possuem, respectivamente, R$ 250,00 e R$
400,00, a primeira possui
A) R$ 200,00.
B) R$ 180,00.
C) R$ 150,00.
D) R$ 120,00.
E) R$ 100,00.
37. (UEPB) Com o intuito de atrair mais clientes, um
estacionamento de veículos adotou a seguinte regra de
pagamento para as primeiras 10 horas:
1ª hora: valor a pagar R$ 3,00
2ª hora: valor a pagar R$ 2,50
A partir daí, cada hora terá um desconto de R$ 0,20.
Quanto pagará um cliente se estacionar o seu carro por
8 horas?
A) R$ 10,00.
B) R$ 15,00.
C) R$ 14,50.
D) R$ 16,30.
E) R$ 19,20.
112
CURSO DE MATEMÁTICA
PROGRESSÃO GEOMÉTICA
01. (PUC) Se a razão de uma P.G. é maior que 1 e o
primeiro termo é negativo, a P.G. é chamada:
A) decrescente
B) crescente
C) constante
D) alternante
E) singular
02. (Vunesp – SP) Várias tábuas iguais estão em uma
madeireira. Elas deverão ser empilhadas respeitando a
seguinte ordem: uma tábua na primeira vez e, em cada
uma das vezes seguintes, tantas quantas já estejam na
pilha. Por exemplo:
Determine a quantidade de tábuas empilhadas na 12ª
pilha.
x
x+1
x+2
03. (PUC-RIO) A sequência 10 , 10
, 10
,...
representa:
A) uma progressão aritmética de razão 10.
B) uma progressão aritmética de razão 1.
C) uma progressão geométrica de razão 10.
D) uma progressão geométrica de razão 1.
E) nem progressão aritmética nem progressão
geométrica.
04. (UE – PA) Um carro, cujo preço à vista é R$ 24
000,00, pode ser adquirido dando-se uma entrada e o
restante em 5 parcelas que se encontram em
progressão geométrica. Um cliente que optou por esse
plano, ao pagar a entrada, foi informado que a segunda
parcela seria de R$ 4 000,00 e a quarta parcela de R$ 1
000,00. Quanto esse cliente pagou de entrada na
aquisição desse carro?
05. (FIA) Numa progressão geométrica, tem-se a3 = 40
e a6 = -320. A soma dos oito primeiros termos é:
A) -1700
B) -850
C) 850
D) 1700
F) 750
HAMILTON E ALEX
06. (UDESC) O primeiro termo de uma progressão
geométrica é 10, o quarto termo é 80; logo, a razão
dessa progressão é:
A) 2
B) 10
C) 5
D) 4
E) 6
07. ( UNESP ) No início de janeiro de 2004, Fábio
montou uma página na internet sobre questões de
vestibulares. No ano de 2004, houve 756 visitas à
página. Supondo que o número de visitas à página,
durante o ano, dobrou a cada bimestre, o número de
visitas à página de Fábio no primeiro bimestre de 2004
foi
a) 36
b) 24
c) 18
d) 16
e) 12
08. (PUC - RIO) Na sequência 1, 3, 7,..., cada termo é
duas vezes o anterior mais um. Assim, por exemplo, o
quarto termo é igual a 15. Então o décimo termo é:
A) 1000
B) 1002
C) 1015
D) 1023
E) 1024
09. (UDESC) Os termos (a, b, c) formam, nesta ordem,
uma progressão aritmética crescente, cuja soma é igual
ac
, c a, b c formam,
a 21. Então os termos
2b
nesta ordem, uma progressão geométrica de razão igual
a:
A) -2
B) 2
C) 16
D) 4
E) -4
10. (FUVEST) Numa progressão geométrica de 4
termos positivos, a soma dos dois primeiros vale 1 e a
soma dos dois últimos vale 9. Calcule a razão da
progressão.
113
CURSO DE MATEMÁTICA
11. (MACKENZIE) A sequência de números reais e
positivos dada por (x 2,
x 11, 2x 2,...) é uma
2
progressão geométrica cujo sétimo termo vale:
A) 96
B) 192
C) 484
D) 252
E) 384
12. (Viçosa - MG) A superfície de certa folha vegetal
aumenta 50% de semana em semana. Ao final de 5
semanas de controle, foi medida sua superfície e
obteve-se 30 cm². A superfície atingirá exatamente 60
cm²:
a) somente após a 10ª semana
b) entre a 9ª e a 10ª semana
c) entre a 7ª e a 8ª semana
d) entre a 6ª e a 7ª semana
e) precisamente na 10ª semana
13. As idades de três irmãos são números inteiros que
estão em PG. Se o produto dessas idades é 64 e a
soma das idades dos dois mais velhos é 20, quantos
anos têm cada um dos irmãos?
14. (UFES) Uma pesquisa acompanhou o crescimento
de uma colônia de bactérias. Na 1º observação
constatou-se um total de 1500 bactérias. Observações
periódicas revelaram que a população da colônia
sempre duplicava em relação à observação
imediatamente anterior. Em que observação a colônia
alcançou a marca de 375 x 255 bactérias?
a) 50ª
b) 54ª
c) 58ª
d) 62ª
e) 66ª
15. (UFBA) Um jogador faz uma série de apostas e, na
primeira vez, perde R$1,00; na segunda, duplica a
aposta e perde R$2,00; na terceira, duplica a aposta
anterior e perde R$4,00; e assim, sucessivamente, até
ter perdido um total de R$255,00. Calcule quantas
vezes o jogador apostou.
HAMILTON E ALEX
16. (UFRGS) Numa PG de razão positiva, o primeiro
termo é igual ao dobro da razão, e a soma dos dois
primeiros é 24. Nessa progressão a razão é
A) 1
B) 2
C) 3
D) 4
E) 5
17. (PUC) De acordo com a disposição dos números
abaixo,
A soma dos elementos da décima linha vale:
A) 2066
B) 5130
C) 10330
D) 20570
E) 20660
18. (PUC – MG ) Depois de percorrer um comprimento
de arco de 12 m, uma criança deixa de empurrar o
balanço em que está brincando. Se o atrito diminui a
velocidade do balanço de modo que o comprimento de
arco percorrido seja sempre igual a 80% do anterior, a
distância total percorrida pela criança, em metros, até
que o balanço pare completamente, é dada pela
expressão:
D = 12 + 0,80 × 12 + 0,80 × (0,80 × 12) + ... .
Observando-se que o segundo membro dessa
igualdade é a soma dos termos de uma progressão
geométrica, pode-se estimar que o valor de D, em
metros, é igual a:
a) 24
b) 36
c) 48
d) 60
19. (UERJ) A figura 1 mostra um molusco 'Triton
tritonis' sobre uma estrela do mar.
Um corte transversal nesse molusco permite visualizar,
geometricamente, uma seqüência de semicírculos. O
esquema na figura
2
indica quatro desses
semicírculos.
114
CURSO DE MATEMÁTICA
Admita que as medidas dos raios (AB, BC, CD, DE, EF,
FG, ...) formem uma progressão tal que (AB)/(BC) =
(BC)/(CD) = (CD)/(DE) = (DE)/(EF) = ...
HAMILTON E ALEX
22. ( FGV – SP ) Na equação 1 +
1
1 x
2
+
1
1 x
2 2
+
... = 2 o primeiro membro é a soma dos termos de
uma progressão geométrica infinita. A soma das raízes
da equação é :
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
3
Assim, considerando AB = 2, a soma AB + BC + CD +
DE + ... será equivalente a:
a) 2 +
3
b) 2 +
5
c) 3 +
3
d) 3 +
5
e) 5 +
3
20. ( Ufsm ) No piso do hall de entrada de um shopping,
foi desenhado um quadrado Q1 de 10 m de lado, no qual
está inscrito um segundo quadrado Q2 obtido da união
dos pontos médios dos lados do quadrado anterior e,
assim, sucessivamente, Q3, Q4, ..., formando uma
sequência infinita de quadrados, segundo a figura.
Dessa forma, a soma das áreas dos quadrados é de
a) 25 m2
b) 25 2 m2
2
c) 200 m
d) 50 2 m2
e) 100 (2 +
2)m
5
7
23. ( UFU – MG ) Seja S(x) = x – x + x – x + ... + (–
1)n x2n – 1 + ... uma série geométrica. Se S(x) = 6/13,
então, o valor de x é:
a) 3/2
b) 1/2
c) 1/3
d) 2/3
e) 5/3
24. (UNIFESP) No interior de uma sala, na forma de um
paralelepípedo com altura h, empilham-se cubos com
arestas de medidas 1, 1/3, 1/9, 1/27, e assim por
diante, conforme mostra a figura. O menor valor para a
altura
h, se o empilhamento pudesse ser feito
indefinidamente, é:
a) 3
b) 5/2
c) 7/3
d) 2
e) 3/2
2
21. ( ITA – SP ) Um triângulo tem lados medindo 3, 4
e 5 cm. A partir dele, constrói-se uma sequência de
triângulos do seguinte modo: os pontos médios dos
lados de um triângulo são os vértices do seguinte.
2
Dentre as alternativas abaixo, o valor em cm que está
mais próximo da soma das áreas dos 78 primeiros
triângulos assim construídos, incluído o triângulo inicial
é:
a) 8
b) 9
c) 10
d) 11
e) 12
25. (UFR – RJ) Uma forte chuva começa a cair na
UFRRJ formando uma goteira no teto de uma das salas
de aula. Uma primeira gota cai e 30 segundos depois
cai uma segunda gota. A chuva se intensifica de tal
forma que uma terceira gota cai 15 segundos após a
queda da segunda gota. Assim, o intervalo de tempo
entre as quedas de duas gotas consecutivas reduz-se à
metade na medida em que a chuva piora. Se a situação
assim
se
mantiver,
em
quanto
tempo,
aproximadamente, desde a queda da primeira gota, a
goteira se transformará em um fio contínuo de água ?
115
CURSO DE MATEMÁTICA
26. ( UNI – BH ) A construção de modelos de pontos
para números pentagonais satisfaz a uma sequência
lógica de etapa para a outra, conforme se pode
observar no desenho abaixo:
1ª ETAPA
2ª ETAPA
3ª ETAPA
considerando-se o exposto, pode-se afirmar que o
número de pontos a mais que se terá da quinta para a
sexta etapa é ?
27. ( FEI – SP ) Um trabalho escolar de 150 páginas
deverá ser impresso em uma impressora que apresenta
os seguintes problemas: nas páginas 6, 12, 18, ...
(múltiplos de 6) o cartucho de tinta amarela falha e nas
páginas 8, 16, 24, ... (múltiplos de 8) falha o cartucho
de tinta azul. Supondo-se que em todas as páginas do
trabalho sejam necessárias as cores amarela e azul,
quantas páginas serão impressas sem essas falhas?
a) 105
b) 107
c) 113 ***
d) 116
e) 120
GABARITO
1) A
2) 2048
3) C
4) 8500,00
5)B
6)A
7) E
9)D
10)3
11)B
12)D
13) 1, 4, 16 14) B
15) 8
16) C
17) C
18)D
19) D
22)A
23)D
24)E
25)60
20)C
8) D
21)A
26)19 27)C
GEOMETRIA ESPACIAL
POLIEDROS
01. (UFRGS) Um poliedro convexo de onze faces tem
seis faces triangulares e cinco faces quadrangulares. O
HAMILTON E ALEX
número de arestas
respectivamente
A) 34, 10
B) 19, 10
C) 12, 10
D) 19, 12
e
vértices
do
poliedro
é,
02. (UNIRIO) Um geólogo encontrou, numa de suas
explorações, um cristal de rocha no formato de um
poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60 faces
triangulares. O número de vértices deste cristal é
A) 35
B) 34
C) 33
D) 32
03. (PUCCAMP) Sobre as sentenças:
I. Um octaedro regular tem 8 faces quadradas.
II. Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais.
III. Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares.
É correto afirmar que apenas:
A) II é verdadeira
B) III é verdadeira
C) I e II são verdadeiras
D) II e III são verdadeiras
04. (PUCPR) Um poliedro convexo de 10 vértices
possui 8 faces triangulares e x faces quadrangulares.
Qual é o número total de faces desse poliedro?
A) 6
B) 8
C) 10
D) 12
05. (UPE) Até 1985, as únicas formas conhecidas de
organização de cadeias carbônicas puras e estáveis
eram o diamante e o grafite. Nesse mesmo ano, três
pesquisadores revelaram ao mundo a terceira forma
estável de carbono além do diamante e do grafite. Os
fulerenos, substância cuja molécula possui átomos de
carbono nos vértices de um poliedro denominado de
icosaedro truncado. Esse poliedro possui 12 faces
pentagonais e 20 faces hexagonais. Pode-se afirmar
que o número de vértices do icosaedro truncado é igual
a
A) 80
B) 60
C) 70
D) 90
06. (PUC-MG) Um poliedro convexo tem 3 faces
pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o
116
CURSO DE MATEMÁTICA
número de faces desse poliedro, sabendo que o número
de arestas é o quádruplo do número de faces
triangulares.
A) 6
B) 7
C) 8
D) 9
07. Arquimedes descobriu um poliedro convexo formado
por 12 faces pentagonais e 20 faces hexagonais, todas
regulares. Esse poliedro inspirou a fabricação da bola
de futebol que apareceu pela primeira vez na Copa do
Mundo de 1970. Quantos vértices possui esse poliedro?
A) 54
B) 60
C) 64
D) 68
08. (UPF) É correto o que se afirma em:
A) o tetraedro possui quatro faces quadrangulares.
B) o tetraedro possui 12 arestas iguais.
C) um poliedro regular que tem 6 faces quadrangulares
tem 8 vértices.
D) o hexaedro tem 6 faces triangulares.
09. (ITA – SP) Considere um prisma regular em que a
soma dos ângulos internos de todas as faces é 7200°. O
número de vértices deste prisma é igual a
a) 11
b) 32
c) 10
d) 20
e) 22
10. (PUC-PR) Se a soma dos ângulos das faces de um
poliedro regular é 1440°, então o numero de arestas
desse poliedro é:
a) 12
b) 8
c) 6
d) 20
e) 4
11. (PUC – MG ) Um poliedro convexo tem 3 faces
pentagonais e algumas faces triangulares. Qual o
número de faces desse poliedro, sabendo que o número
de arestas é o quádruplo do número de faces
triangulares.
HAMILTON E ALEX
12. (UF – AM) O número de faces de um poliedro
convexo de 22 arestas é igual ao número de vértices.
Então, qual o número de faces do poliedro?
13. (Cesgranrio) Um poliedro convexo tem 14 vértices.
Em 6 desses vértices concorrem 4 arestas, em 4 desses
vértices concorrem 3 arestas e, nos demais vértices,
concorrem 5 arestas. O número de faces desse poliedro
é igual a:
A) 16
B) 18
C) 24
D) 30
E) 44
14. (Fuvest) O número de faces triangulares de uma
pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que esta
pirâmide possui
a) 33 vértices e 22 arestas.
b) 12 vértices e 11 arestas.
c) 22 vértices e 11 arestas.
d) 11 vértices e 22 arestas.
e) 12 vértices e 22 arestas.
15. (Puccamp) Sobre as sentenças:
I - Um octaedro regular tem 8 faces quadradas.
II - Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais.
III - Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares.
é correto afirmar que APENAS
a) I é verdadeira.
b) II é verdadeira.
c) III é verdadeira.
d) I e II são verdadeiras.
e) II e III são verdadeiras.
16. (Ita – SP) Um poliedro convexo de 10 vértices
apresenta faces triangulares e quadrangulares. O
número de faces quadrangulares, o número de faces
triangulares e o número total de faces formam, nesta
ordem, uma progressão aritmética. O número de
arestas é:
a) 10
b) 17
c) 20
d) 22
e) 23
117
CURSO DE MATEMÁTICA
GABARITO
1) B
2) D
3) D
8) C
9) E
10) A
14) E
15) E
4) D
11) 6
5) B
6) A
12) 12
7) B
HAMILTON E ALEX
A) 12 cm3
B) 64 cm3
C) 96 cm3
3
D) 1216 cm
3
E) 1728 cm
13) A
16) C
02. (Mackenzie) O lado, a diagonal de uma face e o
volume de um cubo são dados, nessa ordem, por três
números em progressão geométrica. A área total desse
cubo é:
A) 20
B) 48
C) 24
D) 18
E) 12
03. (Unesp) Sendo ABCDA'B'C'D' um cubo, calcular o
seno do ângulo α.
04. (Mackenzie) Se, no cubo da figura, a distância entre
as retas t e u é 3 2 cm, a área total desse cubo é:
a) 150 cm2
b) 300 cm
2
c) 216 cm2
d) 180 cm
2
e) 280 cm2
PRISMAS
01. ( ENEM – 2010 ) Um porta-lápis de madeira foi
construído no formato cúbico, seguindo o modelo
ilustrado a seguir. O cubo de dentro é vazio. A aresta do
cubo maior mede 12 cm e a do cubo menor, que é
interno, mede 8 cm.
O volume de madeira utilizado na confecção desse
objeto foi de:
05. (ENEM – 2009) Considere um caminhão que tenha
uma carroceria na forma de um paralelepípedo
retângulo, cujas dimensões internas são 5,1 m de
comprimento, 2,1 m de largura e 2,1 m de altura.
Suponha que esse caminhão foi contratado para
transportar 240 caixas na forma de cubo com 1m de
aresta cada uma e que essas caixas podem ser
empilhadas para o transporte.
118
CURSO DE MATEMÁTICA
Qual é o número mínimo de viagens necessárias para
realizar esse transporte?
A) 10 viagens.
B) 11 viagens.
C) 12viagens.
D) 24 viagens.
E) 27 viagens.
06. (Enem) Uma editora pretende despachar um lote de
livros, agrupados em 100 pacotes de 20 cm x 20 cm x
30 cm. A transportadora acondicionará esses pacotes
em caixas com formato de bloco retangular de 40 cm x
40 cm x 60 cm. A quantidade mínima necessária de
caixas para esse envio é:
A) 9
B) 11
C) 13
D) 15
E) 17
07. ( CEFET – PR ) A diferença entre as áreas totais de
2
dois cubos é 270 cm . Se a aresta do menor dos cubos
mede 7 3 cm, então a diferença entre as diagonais é:
a) 1
b) 2
c) 3
d) 4
e) 5
08. (MACK) Aumentando em 1m a aresta de um cubo, a
sua área lateral aumenta de 164 m 2. O volume do cubo
original é:
a) 6000m3
b) 7000m3
c) 8000m3
d) 12000m3
3
e) 16400m
09. ( UFES ) Uma formiga para na superfície de um
cubo de aresta a. O menor caminho que ela deve
seguir para ir de um vértice a um vértice oposto tem
comprimento:
a) a 2
b) a 3
c) 3.a
d) ( 1 +
2)a
HAMILTON E ALEX
e) a
5
10. ( UFMG ) Considere um reservatório, em forma de
paralelepípedo retângulo, cujas medidas são 8 m de
comprimento, 5 m de largura e 120 cm de profundidade.
Bombeia-se água para dentro desse reservatório,
inicialmente vazio, a uma taxa de 2 litros por segundo.
Com base nessas informações, é correto afirmar que,
para se encher completamente esse reservatório, serão
necessários
a) 40 min .
b) 240 min .
c) 400 min .
d) 480 min .
11. ( Ufes – 2001 ) Um aquário em forma de
paralelepípedo reto, de altura 50cm e base retangular
horizontal com lados medindo 80cm e 60cm, contém
água até um certo nível. Após a imersão total de uma
pedra decorativa nesse aquário, o nível da água subiu
0,5cm sem que a água entornasse. O volume da pedra
imersa é :
a) 1.200 cm3
b) 1.500 cm3
c) 2.000 cm3
d) 2.400 cm3
12. ( Unirio ) Na fabricação da peça acima, feita de um
único material que custa R$ 5,00 o cm3, deve-se gastar
a quantia de:
a) R$ 400,00
b) R$ 380,00
c) R$ 360,00
d) R$ 340,00
13. ( Unimontes – PAES ) Uma peça de madeira, com
forma de paralelepípedo de base quadrada, foi
seccionada determinando um cubo e um prisma
quadrangular regular ( figura abaixo ). Sabendo-se que
esse prisma forma com o plano da base um ângulo de
2
30º e que a área lateral do cubo é 48 cm , é possível
afirmar que o volume do prisma determinado é:
a) 12 cm3
b) 4 cm3
c) 6 3 cm
3
119
CURSO DE MATEMÁTICA
d) 48 3 cm
HAMILTON E ALEX
d) 100
3
14. (Enem) Prevenindo-se contra o período anual de
seca, um agricultor pretende construir um reservatório
fechado, que acumule toda a água proveniente da
chuva que cair no telhado de sua casa, ao longo de um
período anual chuvoso. As ilustrações a seguir
apresentam as dimensões da casa, a quantidade média
mensal de chuva na região, em milímetros, e a forma do
reservatório a ser construído.
Sabendo que 100 milímetros de chuva equivalem ao
acúmulo de 100 litros de água em uma superfície plana
horizontal de um metro quadrado, a profundidade (›) do
reservatório deverá medir
A) 4m
B) 5m
C) 6m
D) 7m
E) 8m
15. ( UFMG ) Um tanque retangular, cuja base é um
retângulo de 30 m por 20 m, está com água até o
5
nível de 7,5 m. Se esse nível se eleva de
m
3
quando um cubo sólido é completamente mergulhado
no tanque, então a aresta do cubo mede:
a) 7 m
b) 8 m
c) 9 m
d) 10 m
7,5m
17. (PUCCAMP) De uma folha quadrada de papelão,
com 60 cm de lado, devem ser cortados os quatro
cantos, para montar a base inferior e as faces laterais
de uma caixa de base quadrada, como mostram as
figuras abaixo.
Essa caixa será fechada com uma tampa de acrílico e,
no seu interior, serão colocadas bolas com 3 cm de
raio, acomodadas em uma única camada ou em várias
camadas, dependendo da medida x da altura da caixa.
Se todas as camadas devem ter o mesmo número de
bolas, a maior quantidade de bolas que podem ser
acomodadas é
a) 72
b) 64
c) 48
d) 24
e) 16
18. (Ita – SP) As dimensões x, y, z
de um
paralelepípedo retângulo estão em progressão
aritmética. Sabendo que a soma dessas medidas é igual
a 33 cm e que a área total do paralelepípedo é igual a
694 cm2, então o volume deste paralelepípedo, em cm¤,
é igual:
A) 1.200
B) 936
C) 1.155
D) 728
E) 834
20m
30m
16. ( FAFEOD – 2002 ) Observe a figura a seguir, que
representa uma escada de concreto, compacta, formada
de três blocos retangulares, possuindo três degraus,
cada um medindo 25cm de altura, 30cm de piso e
1m de largura.
Admitindo-se que o custo de cada metro cúbico de
concreto seja R$ 200,00 , é correto concluir que na
construção dessa escada, o gasto, em reais, relativo à
compra de concreto será igual a :
a) 80
30 cm
b) 125
1m
c) 90
25 cm
19. (FGV – SP) A soma das medidas das 12 arestas de
um paralelepípedo reto-retângulo é igual a 140 cm. Se a
distância máxima entre dois vértices do paralelepípedo
2
é 21 cm, sua área total, em cm , é
a) 776.
b) 784.
c) 798.
e) 812.
120
CURSO DE MATEMÁTICA
20. (Uem) Uma indústria fabrica reservatórios sem
tampa, em forma de paralelepípedos retângulos, de
base quadrada, altura interna h = 5 m e capacidade
para
180.000
litros.
Os
reservatórios
são
impermeabilizados interna e externamente, com
exceção das bordas. Sabe-se que a espessura do
material utilizado na confecção dos reservatórios é 10
cm e que, com uma lata de impermeabilizante,
impermeabiliza-se exatamente 15 m£ de superfície.
Quantas dessas latas de impermeabilizante, no mínimo,
são necessárias para impermeabilizar um reservatório?
HAMILTON E ALEX
Sendo h1 = 4 3 cm, a1 = 2 3 cm e h2 = 3 3 cm,
com relação à aresta a2 e à quantidade de material
empregado na confecção das embalagens, abertas nas
bases superiores, podemos afirmar que
a) a2 = 4 3 cm e a embalagem 2 é menos
econômica, pela quantidade de material empregado na
sua confecção.
b) a2 = 4 cm e a embalagem 2 é mais econômica, pela
quantidade de material empregado na sua confecção.
c) a2 = 4 cm e a embalagem 1 é mais econômica, pela
quantidade de material empregado na sua confecção.
d) a2 = 4 3 cm e é gasta a mesma quantidade de
material, na confecção de cada embalagem.
e) a2 = 4 cm e é gasta a mesma quantidade de material,
na confecção de cada embalagem.
21. ( Fatec – SP )
Temos na figura abaixo a
planificação de um sólido cujo volume é :
a) 6 3
b) 12 3
c) 24
d) 18 3
3
3
8
3
3
24. (Ufsc 2013) Uma conhecida marca de chocolate
utiliza como embalagem um prisma regular de base
triangular cuja aresta da base mede 3,5cm. Se sua
altura tem o dobro do perímetro da base, então calcule
sua área lateral.
22. ( UFBA ) Um prisma hexagonal regular tem para a
altura a diagonal de um cubo de aresta “a”. Se o
volume do cubo é igual ao do prisma, a aresta da base
do prisma mede :
a) a 3
b)
2
a 3
c)
3
d)
a 2
3
25. (Ufjf 2012) Uma empresa de sorvete utiliza como
embalagem um prisma reto, cuja altura mede 10 cm e
cuja base é dada conforme descrição a seguir: de um
retângulo de dimensões 20 cm por 10 cm, extrai-se em
cada um dos quatro vértices um triângulo retângulo
isósceles de catetos de medida 1cm.
23. (UFPEL) As embalagens abaixo, com a forma de
prismas hexagonais regulares, têm a mesma
capacidade de armazenamento.
Calcule o volume da embalagem.
26. (Ufrj) Um cubo de aresta 10 cm tem os quatro
vértices A, B, C e D de uma de suas faces, F, sobre a
121
CURSO DE MATEMÁTICA
superfície de uma esfera S de raio r. Sabendo que a
face oposta a F é tangente à esfera S no ponto P,
calcule o raio r. Justifique.
HAMILTON E ALEX
d) 18
e) 21
02. (Unirio) Um prisma de altura H e uma pirâmide têm
bases com a mesma área. Se o volume do prisma é a
metade do volume da pirâmide, a altura da pirâmide é:
a) H/6
b) H/3
c) 2H
d) 3H
e) 6H
27. (Ufrs) A figura a seguir representa a planificação de
um sólido. O volume deste sólido é
a) 20 3
b) 75 **
03. (Ufrs) Na figura, O é o centro do cubo.
c) 50 3
d) 100
e) 100 3
GABARITO
1) D
2) E
3)
3 /6
7) C
8) C
9) E
13) D
14) D
19) B
20) 22 latas
24) 220,5 cm2
4) C
10) C
15) D
5) C
11) D
16) C
21) D
25) 1980 cm3
6) C
12) B
17) A
22) D
Se o volume do cubo é 1, o volume da pirâmide de base
ABCD e vértice O é
a) 1/2.
b) 1/3.
c) 1/4.
d) 1/6.
e) 1/8.
18) C
23) B
26) r = 6,25
27) B
PIRÂMIDES
01. (Unirio)
Uma pirâmide está inscrita num cubo, como mostra a
figura anterior. Sabendo-se que o volume da pirâmide é
3
3
de 6 m , então, o volume do cubo, em m , é igual a: a) 9
b) 12
c) 15
04. (OSEC) Um prisma e uma pirâmide tem bases com
a mesma área. Se o volume do prisma é o dobro do
volume da pirâmide, a altura da pirâmide será:
a) O triplo da do prisma.
b) O dobro da do prisma.
c) O triplo da metade da do prisma.
d) O dobro da terça parte da do prisma.
e) n.d.a
05. ( UNIV ) As faces laterais de uma pirâmide
hexagonal regular são triângulos isósceles com área de
12cm² cada.A área lateral do sólido vale:
a) 36 cm²
b) 48 cm²
c) 54 cm²
d) 72 cm²
e) 108 cm²
06. (ENEM/2009) Uma fábrica produz velas de parafina
em forma de pirâmide quadrangular regular com 19 cm
de altura e 6 cm de aresta da base. Essas velas são
formadas por 4 blocos de mesma altura — 3 troncos de
122
CURSO DE MATEMÁTICA
pirâmide de bases paralelas e 1 pirâmide na parte
superior —, espaçados de 1 cm entre eles, sendo que a
base superior de cada bloco é igual à base inferior do
bloco sobreposto, com uma haste de ferro passando
pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a figura.
Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo,
retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm
de aresta na base, mas mantendo o mesmo molde,
quanto ele passará a gastar com parafina para fabricar
uma vela?
3
A) 156 cm .
3
B) 189 cm .
C) 192 cm3.
3
D) 216 cm .
3
E) 540 cm .
07. (Cesgranrio) Uma folha de papel colorido, com a
forma de um quadrado de 20 cm de lado, será usada
para cobrir todas as faces e a base de uma pirâmide
quadrangular regular com altura de 12 cm e apótema da
base medindo 5 cm. Após se ter concluído essa tarefa,
e levando-se em conta que não houve desperdício de
papel, a fração percentual que sobrará dessa folha de
papel corresponde a:
a) 20 %
b) 16 %
c) 15 %
d) 12 %
e) 10 %
08. ( Fuvest – SP ) Um telhado tem a forma da
superfície lateral de uma pirâmide regular de base
quadrada. O lado da base mede 8 metros e a altura
da pirâmide 3 metros. As telhas para cobrir esse
2
telhado são vendidas em lotes que cobrem 1 m .
Supondo que possa haver
10 lotes de telhas
desperdiçadas ( quebras e emendas ), qual o número
mínimo de lotes de telhas a ser comprado ?
a) 90
b) 100
c) 110
d) 120
e) 130
HAMILTON E ALEX
volume de concreto (em m 3) necessário para a
construção da pirâmide será
a) 48
b) 36
c) 28
d) 12
e) 4
10. (Pucsp) Um imperador de uma antiga civilização
mandou construir uma pirâmide que seria usada como
seu túmulo. As características dessa pirâmide são:
1° - Sua base é um quadrado com 100 m de lado.
2° - Sua altura é de 100 m.
Para construir cada parte da pirâmide equivalente a
3
1000 m , os escravos, utilizados como mão-de-obra,
gastavam, em média, 54 dias. Mantida essa média, o
tempo necessário para a construção da pirâmide,
medido em anos de 360 dias, foi de:
a) 40 anos.
b) 50 anos.
c) 60 anos.
d) 90 anos.
e) 150 anos.
11. (Unirio) As arestas laterais de uma pirâmide reta
medem 15cm, e a sua base é um quadrado cujos lados
medem 18cm. A altura dessa pirâmide, em cm, é igual
a:
a) 2 7
b) 3 7
c) 4 7
d) 5 7
12. (Uerj) Leia os quadrinhos:
09. ( UNESP – SP ) O prefeito de uma cidade pretende
colocar em frente à prefeitura um mastro com uma
bandeira, que será apoiado sobre uma pirâmide reta de
base quadrada feita de concreto maciço, como mostra a
figura. Sabendo-se que a aresta da base da pirâmide
terá 6 m e que a altura da pirâmide será de 4 m, o
123
CURSO DE MATEMÁTICA
Suponha que o volume de terra acumulada no carrinhode-mão do personagem seja igual ao do sólido
esquematizado na figura 1, formado por uma pirâmide
reta sobreposta a um paralelepípedo retângulo. Assim,
o volume médio de terra que Hagar acumulou em cada
ano de trabalho é, em dm 3, igual a:
a) 12
b) 13
c) 14
d) 15
HAMILTON E ALEX
16. (Ufrs) A figura abaixo representa a planificação de
uma pirâmide de base quadrada com AB = 6 cm, sendo
ADV triângulo equilátero.
13. (Ufrs) Considere uma pirâmide regular de base
quadrada, construída a partir do padrão plano abaixo.
O volume da pirâmide é
a) 12 3 .
Se a altura da pirâmide é o dobro do lado "a" da base, o
valor de h no padrão é
a) h = a 17 / 2
b) h = a 5
b) 27 3 .
c) 36 3 .
d) 72 3 .
e) 108 3 .
c) h = a 22 / 2
d) h = a 6
e) h = 5a/2
14. (UFF) A grande pirâmide de Quéops, antiga
construção localizada no Egito, é uma pirâmide regular
de base quadrada, com 137m de altura. Cada face
dessa pirâmide é um triângulo isósceles cuja altura
relativa à base mede 179m. A área da base dessa
pirâmide, em m2, é:
a) 13272
b) 26544
c) 39816
d) 53088
e) 79 432
15. (Uff) O hexágono regular ABCDEF é base da
pirâmide VABCDEF, conforme a figura.
A aresta VA é perpendicular ao plano da base e tem a
mesma medida do segmento AD.
O seguimento AB mede 6cm. Determine o volume da
pirâmide VACD.
17. (Ita) Uma pirâmide regular tem por base um
quadrado de lado 2cm. Sabe-se que as faces formam
com a base ângulos de 45°. Então, a razão entre a área
da base e a área lateral é igual a:
a) 2
b) 1/3
c) 6
d)
2 /2
e)
3 /3
18. (Ufc) Um tetraedro regular tem arestas medindo
cm. Então a medida de suas alturas é igual a:
a) 1/2 cm
b) 1 cm
c) 3/2 cm
d) 2 cm
e) 5/2 cm
6
19. (Ufrj) O sólido representado na figura é formado por
um cubo e uma pirâmide quadrangular regular cuja base
coincide com a face superior do cubo. O vértice O do
cubo é a origem do sistema ortogonal de coordenadas
cartesianas Oxyz. Os vértices P, R e O' pertencem
respectivamente aos semi-eixos positivos Ox, Oy e Oz.
O vértice S tem coordenadas (2, 2, 8).
124
CURSO DE MATEMÁTICA
HAMILTON E ALEX
Considere o plano z = k que divide o sólido em duas
partes de volumes iguais. Determine o valor de k.
20. (Unesp) As arestas do prisma triangular reto
mostrado na figura a seguir têm todas a mesma medida.
Secciona-se o prisma por meio de um plano pelos
vértices R e Q e por um ponto M da aresta AB. Para que
o tetraedro MBQR tenha volume igual a 1/3 do volume
do outro sólido em que se dividiu o prisma, deve-se ter
BM igual a:
a) 3/4 BA
b) 2/3 BA
c) 3/5 BA
d) 1/3 BA
e) 1/6 BA
CILINDROS E CONES
GABARITO
1) D
2) E
3)D
4) C
7) E
8) A
9) D
10) B
13) A
14) D
18)D
19) 8/3
5) D
15) 72 3 cm3
20) A
6) B
11) B
16)C
12) D
17)D
01. (UFGO) Para encher de água um reservatório que
tem a forma de um cilindro circular reto são necessárias
5 horas. Se o raio da base é 3m e a altura 10m, o
reservatório recebe água à razão de:
a) 18π m3 por hora.
b) 30π m3 por hora.
c) 6π m3 por hora.
d) 20π m3 por hora.
e) Nenhuma.
02. (U.C.DOM BOSCO-DF) Um cilindro reto, cuja base
é um círculo de raio R = 3m, tem 108π m 3 de volume.
Então, a área total desse cilindro é:
125
CURSO DE MATEMÁTICA
HAMILTON E ALEX
a) 126π m2.
b) 81π m2.
c) 72π m2.
2
d) 90π m .
e) 108π m2.
03. (UFPA) O reservatório “tubinho de tinta” de uma
caneta esferográfica tem 4mm de diâmetro e 10cm de
3
comprimento. Se você gasta 5π mm de tinta por dia, a
tinta de sua esferográfica durará:
a) 20 dias
b) 40 dias
c) 50 dias
d) 80 dias
e) 100 dias
04. (PUCC-SP) Numa indústria, deseja-se utilizar
tambores cilíndricos para a armazenagem de um certo
tipo de óleo. As dimensões dos tambores serão 30cm
para o raio da base e 80cm para a altura. O material
utilizado na tampa e na lateral custa R$100,00 o metro
quadrado. Devido à necessidade de um material mais
resistente no fundo, o preço do material para a base
inferior é de R$200,00 o metro quadrado. Qual o custo
de material para a confecção de um desses tambores
sem contar as perdas de material?
a) R$235,50.
b) R$24250.
c) R$247,20.
d) R$249,20.
e) R$250,00.
05. (UE-CE) Um cone circular reto de altura 3 2 cm
Sabendo que toda a quantidade de gelatina que foi
preparada coube em cinco recipientes cilíndricos e em
dois recipientes em forma de paralelepípedo, como
representado na figura acima, a quantidade preparada,
em litros, foi de (Use = 3,14)
a) 1,01
b) 1,19
c) 1,58
d) 1,64
e) 1,95
07. (UEPG-PR) A área lateral de um cone de revolução
é 600π cm2 e sua geratriz te 25cm. O raio de sua base
é:
a) 20 cm.
b) 25 cm.
c) 24 cm.
d) 27 cm.
e) nenhuma.
08. (UFPA) Num cone reto, a altura é 3m e o diâmetro
da base é 8m. Então, a área total, em metros
quadrados, vale:
a) 52π
b) 36π
c) 20π
d) 16π
e) 12π
3
tem volume igual a 18 2 π cm . O raio da base desse
cone, em centímetros, mede:
a) 2.
b) 2 2 .
c) 3.
d) 3 2 .
06. (Ufg) Preparou-se gelatina que foi colocada, ainda
em estado líquido, em recipientes, como mostram as
figuras a seguir.
09. (FUVEST-SP) O diâmetro da base de um cone é
igual a geratriz. A razão da área total para a área lateral
do cone é:
a) 3/2 .
b) 1/2 .
c) 2/3 .
d) 3/4 .
e) 2 /3 .
10. (Vunesp – SP) Um tanque subterrâneo, que tem o
formato de um cilindro circular reto na posição vertical,
3
3
está completamente cheio com 30 m de água e 42 m
de petróleo. Considerando que a altura do tanque é de
12 metros, calcule a altura da camada de petróleo.
126
CURSO DE MATEMÁTICA
h=?
12 m
11. (UFG) Um produtor de suco armazena seu produto
em caixas, em forma de paralelepípedo, com altura de
20 cm, tendo capacidade de 1 litro. Ele deseja trocar a
caixa por uma embalagem em forma de cilindro, de
mesma altura e mesma capacidade. Para que isso
ocorra, qual deve ser o raio da base dessa embalagem
cilíndrica?
12. (UFRGS) A superfície lateral de um cone de altura
h, quando planificada, gera um semicírculo de raio 10. O
valor de h é:
a) 3
b) 3
c) 5
d) 5 3
e) 10
13. (Ita) Considere um cilindro circular reto, de volume
igual a 360 cm3, e uma pirâmide regular cuja base
hexagonal está inscrita na base do cilindro. Sabendo
que a altura da pirâmide é o dobro da altura do cilindro e
que a área da base da pirâmide é de 54 3 cm2, então,
2
a área lateral da pirâmide mede, em cm ,
a) 18 427
HAMILTON E ALEX
15. (Unesp) Num tonel de forma cilíndrica, está
depositada uma quantidade de vinho que ocupa a
metade de sua capacidade. Retirando-se 40 litros de
seu conteúdo, a altura do nível do vinho baixa de 20%.
O número que expressa a capacidade desse tonel, em
litros é:
a) 200.
b) 300.
c) 400.
d) 500.
e) 800.
16. (ACAFE) Uma dona de casa está preparando a
festa de aniversário de seu filho. Com semicírculos de
raio 12cm vai confeccionar copos de papel em forma de
cone. Para 30 destes copos, a quantidade de papel
necessário será de aproximadamente:(adote π = 3)
a) 7.530cm2.
b) 8.500 cm2
c) 6.000 cm2
d) 6.480 cm2
2
e) 9.500 cm
17. (Ufrrj) Um copo cilíndrico tem 18 cm de altura, raio
da base 2 cm e metade de seu volume ocupado por
uma bebida. Colocando-se no copo uma pedra de gelo
com a forma de um cubo de 2 cm de aresta e ficando o
gelo completamente submerso, de quanto subirá o nível
da bebida? Considere π = 3,14.
b) 27 427
c) 36 427
d) 108 3
e) 45 427
14. (UFRGS) Um cone circular reto é tal que cada seção
obtida pela interseção de um plano que passa por seu
vértice e pelo centro da sua base é um triângulo
retângulo de catetos iguais. Se cortarmos esse cone ao
longo de uma geratriz, abrindo e planificando sua
superfície lateral, será obtido um setor circular cujo
ângulo central tem medida x. Então:
a)
b)
c)
d)
e)
x 180 º
180 º x 200 º
200 º x 220 º
220 º x 240 º
x 240 º
18. (FUVEST) Deseja-se construir um cone circular reto
com 4cm de raio da base e 3cm de altura. Para isso,
recorta-se, em cartolina, um setor circular para a
superfície lateral e um círculo para a base. A medida do
ângulo central do setor circular é:
a) 144°
b) 192°
c) 240°
d) 288°
e) 336°
19. (ACAFE) Um fazendeiro solicitou a um engenheiro o
projeto de um depósito para estocar a ração de seus
animais. A figura abaixo mostra o esboço do depósito
criado pelo engenheiro.
127
CURSO DE MATEMÁTICA
A capacidade total desse depósito é de:
a) 96 π m3
b) 24 π m3
3
c) 64 π m
3
d) 48 π m
e) 72 π m3
20. (Ufrrj) Uma empresa fabricante de óleo de soja
mandou confeccionar miniaturas de seu produto,
semelhantes às latas originais (cilíndricas com raio e
altura variando na mesma proporção). Enquanto a altura
das primeiras é de 24cm, a das miniaturas é de 6cm. O
número de miniaturas que seriam necessárias para
encher uma lata original é
a) 4.
b) 8.
c) 16.
d) 32.
e) 64.
21. (EN) Um copo cilíndrico tem 6 cm de altura e tem
uma circunferência da base medindo 16 cm. Um inseto
está do lado de fora do copo, a 1 cm do topo, enquanto,
do lado de dentro, a 5 cm do topo, está uma gota de
mel. A gota e o inseto encontram-se em geratrizes do
cilindro que são simétricas em relação ao eixo do
cilindro. A menor distância que o inseto deve andar para
a para atingir a gota de mel é:
a) 10 cm
b) 14 cm
c) 65 5 cm
d)
89 1 cm
e) 4 5 cm
HAMILTON E ALEX
a) Sabendo que R = (3/2)r, determine o volume da água
no cilindro e o volume da substância química no cone,
em função de r. (Para facilitar os cálculos, use a
aproximação π = 3.)
b) A substância química do cone é despejada no
cilindro, formando uma mistura homogênea (figura 3).
Determine a concentração (porcentagem) da substância
química na mistura e a altura h atingida pela mistura no
cilindro.
23. (Uerj) Em um supermercado, podemos encontrar
manteiga em dois tipos de embalagens de forma
cilíndrica: - a menor tem raio da base medindo 4 cm,
altura igual a 5 cm, contém 200 g e custa R$ 1,75; - a
maior tem diâmetro da base medindo 10 cm, altura igual
a 8 cm e custa R$ 4,00. Supondo que a densidade da
manteiga seja constante, determine:
a) a quantidade de manteiga, em gramas, contida na
embalagem maior;
b) a embalagem que apresenta o menor preço por
unidade de medida.
24. (Uerj) Um lago circular com diâmetro de 40 m e
profundidade uniforme de 3 m tem 80% de sua
capacidade ocupada por água poluída que apresenta
uma concentração de sais de mercúrio de 0,5 kg por
litro. Uma indústria despeja no lago, a uma taxa de 10 L
por segundo, água poluída com a mesma substância,
porém com concentração de 1,5 kg por litro.
a) Considerando π = 3, calcule o número de horas
necessário para que o lago fique totalmente cheio.
b) Supondo uma mistura homogênea, determine a
concentração de sais de mercúrio no lago, no instante
em que ele está cheio.
22. (Unesp) Um recipiente, na forma de um cilindro
circular reto de raio R e altura 32 cm, está até à metade
com água (figura 1). Outro recipiente, na forma de um
cone circular reto, contém uma substância química que
forma um cone de altura 27 cm e raio r (figura 2).
128
CURSO DE MATEMÁTICA
25. (Ufg) Num laboratório, um recipiente em forma de
um cilindro reto tem marcas que mostram o volume da
substância presente a cada 100 ml. Se o diâmetro da
base do cilindro mede 10 cm, qual a distância
aproximada entre duas dessas marcas consecutivas?
26. (Ufpe) O sólido ilustrado na figura abaixo foi obtido
perfurando-se um cubo de aresta 4 com uma broca
circular de raio 1, cujo o eixo passou pelos pontos
médios de duas faces adjacentes do cubo. Indique o
inteiro mais próximo do volume do cubo perfurado.
(Dados: use as aproximações π = 3,14 e
HAMILTON E ALEX
lados a e 2a, soldando lados opostos dessas chapas,
conforme ilustrado a seguir.
Se VA e VB indicam os volumes dos barris do tipo A e
B, respectivamente, tem-se:
a) VA = 2 VB
b) VB = 2 VA
c) VA = VB
d) VA = 4 VB
e) VB = 4 VA
2 = 1,41).
29. (Uff) Em certo posto de gasolina, há um tanque com
a forma de um cilindro circular reto, com 5 m de altura e
diâmetro da base 2 m, mantido na horizontal, sob o
solo. Devido à corrosão, surgiu, em sua parede, um furo
situado 13 cm acima do plano horizontal que o apoia,
conforme ilustrado na figura:
27. (Pucsp) O retângulo ABCD seguinte, representado
num sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, é
tal que A = (2; 8), B = (4; 8), C = (4; 0) e D = (2; 0).
O combustível vazou até que seu nível atingiu a altura
do furo, em relação ao plano em que o tanque está
apoiado. Indicando-se por V o volume desse tanque e
por v o volume do combustível restante, considerandose 3 /2 = 0,87 e π = 3,14, pode-se afirmar que:
a) 0,20 < v/V < 0,30
b) 0,10 < v/V < 0,20
c) 0,05 < v/V < 0,10
d) 0,01 < v/V < 0,05
e) v/V < 0,01
Girando-se esse retângulo em torno do eixo das
ordenadas, obtém-se um sólido de revolução cujo
volume é
a) 24π
b) 32π
c) 36π
d) 48π
e) 96π
30. (Ufpr) A obtenção de lâminas de madeira para a
fabricação de compensados consiste em se colocar
uma tora em um torno e cortá-la, ao mesmo tempo em
que é girada, com uma faca disposta paralelamente ao
eixo da tora. O miolo da tora não é utilizável para a
produção de lâminas.
28. (Fuvest) Uma metalúrgica fabrica barris cilíndricos
de dois tipos, A e B, cujas superfícies laterais são
moldadas a partir de chapas metálicas retangulares de
129
CURSO DE MATEMÁTICA
Uma tora em forma de cilindro circular reto de 40 cm de
diâmetro e 2 m de comprimento será utilizada para obter
lâminas de 0,1 cm de espessura e 2 m de largura.
Considere que: a parte utilizada da tora seja
transformada em lâmina, sem perda de madeira; o
miolo não utilizado da tora seja um cilindro circular reto
com 10 cm de diâmetro; a lâmina obtida, quando
estendida sobre uma superfície plana, seja um
paralelepípedo retângulo de 0,1 cm de altura. Nessas
condições, é correto afirmar:
3
(01) O volume da tora é 0,08 π m .
3
(02) O volume da lâmina obtida é 0,075 π m .
3
(04) Quando se tiver utilizado 0,02 m da tora, o
comprimento da lâmina obtida será 10 m.
(08) De uma lâmina de 5 m de comprimento poderão
ser recortadas 16 chapas retangulares de base 30 cm,
altura 2 m e espessura 0,1 cm.
(16) Durante o processo de obtenção da lâmina, a cada
giro completo da tora corresponde um comprimento de
lâmina, em centímetros, e a sequência desses
comprimentos é uma progressão aritmética de razão 0,1π
Soma (
)
31. (Ufg) Um recipiente sem tampa possui a forma de
um cilindro circular reto e está parcialmente preenchido
com água. O raio da base desse cilindro mede 5 cm, a
altura mede 20 cm e a água ocupa 4/5 do volume do
cilindro. A figura a seguir mostra esse recipiente
inclinado até a posição em que o nível da água está na
altura do ponto mais baixo da borda, de modo que uma
inclinação adicional fará a água derramar. Nessa
posição, o ângulo que uma geratriz do cilindro faz com a
vertical é denotado por , e a altura do nível da água em
relação ao plano horizontal é denotada por h.
HAMILTON E ALEX
32. (Ufal) Na figura abaixo têm-se duas vistas de um
tanque para peixes, construído em uma praça pública.
Suas paredes são duas superfícies cilíndricas com
altura de 1,2m e raios da base medindo 3m e 4m. Se,
no momento, a água no interior do tanque está
alcançando 3/4 de sua altura, quantos litros de água há
no tanque? (Use: π = 22/7)
a) 1.980
b) 3.300
c) 6.600
d) 19.800
e) 66.000
33. (Fgv) Deseja-se construir uma piscina de formato
quadrado sendo 100m2 a área do quadrado e 1,5m a
profundidade. Se as paredes laterais e o fundo forem
revestidos com azulejos de dimensões 15cm×15cm: a)
Qual o número (aproximado) de azulejos necessários?
b) Se a piscina fosse circular sendo 100m 2 a área do
círculo e 1,5m a profundidade, qual seria o número
(aproximado) de azulejos necessários para revesti-la?
Adote o resultado: = 1,8.
34. (Ita) Um cilindro circular reto é seccionado por um
plano paralelo ao seu eixo. A secção fica a 5cm do eixo
e separa na base um arco de 120°. Sendo de 30 3
cm2 a área da secção plana retangular, então o volume
da parte menor do cilindro seccionado mede, em cm¤,
a) 30π - 10 3 .
b) 30π - 20 3 .
c) 20π - 10 3 .
Considerando o exposto, julgue os itens a seguir:
( ) O volume da região não ocupada pela água no
cilindro é 300 cm¤.
( ) O ângulo mede 45°.
( ) A altura h mede 15 cm.
( ) A medida do segmento de geratriz AB, da base do
cilindro até o nível da água, é 12 cm.
d) 50π - 25 3 .
e) 100π - 75 3 .
(Mackenzie) Na figura, a rotação completa do triângulo
CBD em torno de åæ gera um sólido de volume:
130
CURSO DE MATEMÁTICA
HAMILTON E ALEX
a) 72π
b) 108π
c) 60π
d) 144π
e) 54 π
GABARITO
1) A
2) D
3) D
8) B
9) C
10) 7m
4) A
5) D
11)
13) A
14) E
15) C
16) D
18) D
19) B
20) E
21) A
6) D
50
7) C
12) D
17) 0,63
22) a) volume da água no cilindro: 108r2 cm3; volume da
substância química na mistura: 27r2 cm3
b) 20% ; h = 20 cm
23) a) 500g
b) a embalagem maior apresenta o
menor preço por unidade de medida
24) a) 2 horas
25) 1,27 cm
30) 15
b) 0,7 kg / L
26) 55
27) E
31) F F F V
32) D
33) a) 7112 azulejos.
34) E
ESFERA
28) A
b) 6845 azulejos.
29) D
01. (Ufsm) A área da superfície de uma esfera e a área
total de um cone circular reto são iguais. Se o raio da
base do cone mede 4 cm e o volume do cone é 16π
cm3, o raio da esfera é dado por
a) 3 cm
b) 2 cm
c) 3 cm
d) 4 cm
e) 4 + 2 cm
02. (Unitau) Aumentando em 10% o raio de uma esfera
a sua superfície aumentará:
a) 21%.
131
CURSO DE MATEMÁTICA
b) 11%.
c) 31%.
d) 24%.
e) 30 %.
HAMILTON E ALEX
boneco será composto por uma cabeça e um corpo
ambos em forma de esfera, tangentes, sendo o corpo
maior que a cabeça, conforme mostra a figura a seguir.
Para calcular o raio de cada uma das esferas, Ping Oin
aproximou π por 3.
03. (Uel) Na figura a seguir são dados uma esfera de
centro O, uma reta que contém O e intercepta superfície
esférica nos pontos A e B e um ponto C na superfície
esférica.
Calcule, usando a aproximação considerada, os raios
das duas esferas.
Em relação às medidas dos segmentos determinados
na figura é sempre verdade que
a) OC < OA
b) OB > OA
c) AC = OC
d) OB = OC/2
e) AB = 2.OC
04. (Ufmt) A região sombreada na figura a seguir sofre
uma rotação completa em torno do eixo y. Os pontos O
= (0, 0); A = (1, 1); B = (0, 2); C = (1, 3); D = (0, 3) e E
= (0, 1). OAB é uma semicircunferência com centro em
E, conforme mostra a figura a seguir.
Sendo V a medida do volume do sólido de revolução
gerado, calcule o valor de (36/5π).V.
06. (Fgv) Deseja-se construir um galpão em forma de
um hemisfério, para uma exposição. Se, para o
revestimento total do piso, utilizou-se 78,5 m2 de lona,
quantos metros quadrados de lona se utilizaria na
cobertura completa do galpão? (Considerar π = 3,14).
a) 31,4
b) 80
c) 157
d) 208,2
e) 261,66
07. (Mackenzie) A altura de um cone reto é igual ao raio
da esfera a ele circunscrita. Então o volume da esfera é:
a) o dobro do volume do cone.
b) o triplo do volume do cone.
c) o quádruplo do volume do cone.
d) 4/3 do volume do cone.
e) 8/3 do volume do cone.
08. (Uerj) Duas esferas metálicas maciças de raios
iguais a 8 cm e 5 cm são colocadas, simultaneamente,
no interior de um recipiente de vidro com forma
cilíndrica e diâmetro da base medindo 18 cm. Neste
recipiente despeja-se a menor quantidade possível de
água para que as esferas fiquem totalmente submersas,
como mostra a figura.
3
05. (Ufrj) Ping Oin recolheu 4,5m
de neve para
construir um grande boneco de 3m de altura, em
comemoração à chegada do verão no Pólo Sul. O
132
CURSO DE MATEMÁTICA
HAMILTON E ALEX
11. (Ufrj) Considere um retângulo, de altura y e base x,
com x > y, e dois semicírculos com centros nos lados do
retângulo, como na figura a seguir.
Posteriormente, as esferas são retiradas do recipiente.
A altura da água, em cm, após a retirada das esferas,
corresponde, aproximadamente, a:
a) 10,6
b) 12,4
c) 14,5
d) 25,0
Calcule o volume do sólido obtido pela rotação da
região sombreada em torno de um eixo que passa pelos
centros dos semicírculos. Justifique.
12. (Uerj)
09. (Unesp) Em um tanque cilíndrico com raio de base
R e altura H contendo água é mergulhada uma esfera
de aço de raio r, fazendo com que o nível da água suba
1/6 R, conforme mostra a figura.
a) Calcule o raio r da esfera em termos de R.
b) Assuma que a altura H do cilindro é 4R e que antes
da esfera ser mergulhada, a água ocupava 3/4 da altura
do cilindro. Calcule quantas esferas de aço idênticas à
citada podem ser colocadas dentro do cilindro, para que
a água atinja o topo do cilindro sem transbordar.
10. (Ufrn) No final de um curso de Geometria, o
professor fez um experimento para saber a razão entre
os diâmetros de duas bolinhas de gude de tamanhos
diferentes. Primeiro, colocou a bola menor num
recipiente cilíndrico graduado e observou que o nível da
água se elevou 1,5 mm e, logo em seguida, colocando a
bola maior, observou que o nível da água subiu 12,0
mm. O professor concluiu que a razão entre o diâmetro
da bola maior e o diâmetro da bola menor é igual a
a) 2
b) 3
c) 6
d) 8
Na figura anterior, há um círculo de raio R e uma reta
(e) que contém o seu centro - ambos do mesmo plano.
Fez-se uma rotação de uma volta desse círculo ao redor
da reta (e). O menor arco AB nele assinalado descreveu
a superfície de uma calota esférica, cuja área pode ser
calculada através da fórmula 2πRm, sendo m a
projeção ortogonal do arco AB sobre a reta (e).
a) Calcule o comprimento da corda AB, do círculo
original, em função de R e m.
b) Demonstre que a área da calota esférica gerada pelo
arco AB é equivalente à área plana limitada por uma
circunferência de círculo cujo raio tem a mesma medida
da corda AB.
13. (Ufv) Considere as afirmações abaixo:
I - A esfera de volume igual a 12π cm3 está inscrita em
um cilindro equilátero cujo volume é 24π cm3.
II - A esfera de raio 4 3 cm circunscreve um cubo de
volume igual a 64cm 3.
133
CURSO DE MATEMÁTICA
HAMILTON E ALEX
III - Dobrando o raio da base de um cilindro circular reto,
o seu volume será quadruplicado.
Assinalando V para as afirmações verdadeiras e F para
as afirmações falsas, obtém-se a seguinte sequência
CORRETA:
a) V F V
b) F V F
c) V V F
d) F F V
e) V V V
Nas figuras a seguir, os triângulos ABC e A'B'C' são
equiláteros com lados medindo 3 cm, e DE e D'E' são
arcos de circunferência com centro em O e raios iguais
a 3 cm e 2 cm, respectivamente.
14. (Uerj) Três bolas de tênis, idênticas, de diâmetro
igual a 6 cm, encontram-se dentro de uma embalagem
cilíndrica, com tampa. As bolas tangenciam a superfície
interna da embalagem nos pontos de contato, como
ilustra a figura a seguir.
Seja S1 o sólido obtido pela rotação de 360° do triângulo
ABC em torno de I1•, S2 pela rotação de 360° de A'B'C'
em torno de I2‚ e S3 pela rotação de 360° da região
hachurada em torno de I3. Podemos afirmar que:
(
) S1 é obtido de um cone circular reto retirando-se
dois outros cones circulares retos.
( ) O volume de S1 é igual ao volume do cone com raio
igual a 3/2cm e altura igual 3 3 /2cm.
( ) S2 é obtido de um cilindro circular reto retirando-se
dois cones circulares retos.
(
) A área da superfície de S2 é igual à área de um
cone circular reto de raio 3 3 /2cm e altura 3cm.
(
) S3 é obtido de um hemisfério retirando-se outro
hemisfério.
Calcule:
a) a área total, em cm 2, da superfície da embalagem;
b) a fração do volume da embalagem ocupado pelas
bolas.
15. (Uff) Na figura estão representados três sólidos de
mesma altura h - um cilindro, uma semi-esfera e um
prisma - cujos volumes são V1, V2‚ e V3,
respectivamente.
17. (Fuvest – SP) Um cálice com a forma de cone
contém V cm3 de uma bebida. Uma cereja de forma
esférica com diâmetro de 2 cm é colocada dentro do
cálice. Supondo-se que a cereja repousa apoiada nas
laterais do cálice e o líquido recobre exatamente a
cereja a uma altura de 4 cm a partir do vértice do cone,
determinar o valor de V.
A relação entre V1•, V2 e V3 é:
a) V3 < V2 < V1•
b) V2 < V3 < V1•
c) V1 < V2 < V3
d) V3 < V1 < V2
e) V2 < V1 < V3
16. (Ufpe) Na(s) questão(ões) a seguir escreva nos
parênteses (V) se for verdadeiro ou (F) se for falso.
18. (Uerj) Admita uma esfera com raio igual a 2 m, cujo
centro O dista 4 m de um determinado ponto P.
Tomando-se P como vértice, construímos um cone
tangente a essa esfera, como mostra a figura.
134
CURSO DE MATEMÁTICA
Calcule, em relação ao cone:
a) seu volume;
HAMILTON E ALEX
A razão entre o volume da porção do cubo ocupado
pelas esferas e o volume do cubo é
a) π/6.
b) π/5.
c) π/4.
d) π/3.
e) π/2.
b) sua área lateral.
21. (Ufrs) Uma esfera de raio 2 cm é mergulhada num
copo cilíndrico de 4 cm de raio, até encostar no fundo,
de modo que a água do copo recubra exatamente a
esfera.
19. (Uff) Considere duas superfícies S = ABCD e S' =
E'B'C' obtidas, respectivamente, pelas interseções de
um cilindro circular reto e de uma semi-esfera com
semiplanos que formam um ângulo diedro de 60°,
conforme as figuras a seguir.
Tem-se:
O - centro da base do cilindro
Antes da esfera ser colocada no copo, a altura de água
era
a) 27/8 cm
b) 19/6 cm
c) 18/5 cm
d) 10/3 cm
e) 7/2 cm
OE - altura do cilindro
OB - raio da base do cilindro
O'E' - raio da semi-esfera
OE = OB = O'E'
Sendo área(S) a área da superfície S e área(S') a área
da superfície S', calcule o valor de área(S)/área(S').
GABARITO
1) C
2) A
3) E
4) 22,6
5) Raio da esfera menor = 1/2
Raio da esfera maior = 1
6) C
7) C
9) a) r = R/2
20. (Ufrs) No desenho abaixo, em cada um dos vértices
do cubo está centrada uma esfera cuja medida do
diâmetro é igual à medida da aresta do cubo.
10) A
8) C
b) 6 esferas.
11) π.y2(3x - 2y)/12
12) a) AB 2Rm
13) D
14) a) 126π cm
16) V F V F V
17)
2
b) 2/3
15) E
4
cm3
3
135
CURSO DE MATEMÁTICA
18) a) 3π m3
b) 6π m2
19) 1
20) A
HAMILTON E ALEX
d)
21) D
V
2
2)
( UFMG ) Um reservatório de água tem forma de
um cone circular reto, de eixo vertical e vértice para
baixo. Quando o nível de água atinge a metade da
altura do tanque, o volume ocupado é igual a . A
capacidade do tanque é:
a) 2
8
b)
3
c) 4
d) 6
e) 8
3)
( UnB – DF ) Um cálice tem a forma de um cone de
revolução, de altura igual a 100mm e volume V1.
Esse cálice contém um líquido que ocupa um
volume V2 , atingindo a altura de 25mm, conforme
V1
V2
mostra a figura. O valor do quociente
a)
b)
c)
d)
e)
4
8
16
32
64
é:
100mm
4)
( FCC – SP ) Uma pirâmide de altura 6 e área da
base 27 é interceptada por um plano, cuja
distância ao vértice é 2 e que é paralelo ao plano
da base. Qual o volume do tronco de pirâmide
assim determinado ?
a) 52
b) 48
c) 44
d) 40
e) 24
5)
( PUC – SP ) O recipiente abaixo, em forma de um
cone circular reto, tem raio com 12 cm e altura
TRONCO DE CONE E TRONCO DE
PIRÂMIDE
1) ( FCMMG ) Observe a figura :
com
a)
c)
V
4
1
do volume do
8
recipiente. A altura x do líquido é:
a) 1 cm
b) 2 cm
c) 4 cm
d) 6 cm
x
e) 8 cm
Essa taça, cujo interior tem a forma de um cone, contém
suco até a metade da altura do cone interno. Se o
volume do cone interno é igual a V, então o volume do
suco nele contido é:
V
16
V
b)
8
16 cm. O líquido ocupa
6)
( UEPI – PI ) Uma pirâmide de base quadrangular
2
tem esta base com área de 64 cm . Efetuando-se
nesta pirâmide um corte a 6 cm da base, obtém-se
136
CURSO DE MATEMÁTICA
2
uma secção transversal com área de 16 cm . A
altura da pirâmide, então, é de :
a) 8 cm
b) 10 cm
c) 12 cm
d) 14 cm
e) 16 cm
6 cm
7)
8)
( PUC – SP ) Um quebra-luz é um cone de geratriz
medindo 17 cm e altura com 15 cm. Uma lâmpada
acesa no vértice do cone projeta no chão um
círculo de 2 metros de diâmetro. A que altura do
chão se encontra a lâmpada?
a) 1,50 metros
17
15
b) 1,87 metros
c) 1,90 metros
d) 1,97 metros
e) 2,00 metros
( UFAL ) Na figura abaixo tem-se, apoiado no plano
, um cone circular reto cuja altura mede 8 cm e
cujo raio da base mede 4 cm. O plano é
paralelo a e a distância entre os dois planos é
de 6 cm. O volume do cone que está apoiado no
plano é, em centímetros cúbicos, igual a
a) / 3
b) / 2
c) 2 / 3
d) 3 / 4
e) 4 / 5
HAMILTON E ALEX
e) 150
11) ( Vunesp – SP ) Cortando um cone reto com um
plano paralelo à base e distante H/2 da base,
onde H é a altura do cone, obtemos um círculo de
área A. O volume V do cone é igual a:
a) (A.H)/3
b) (2.A.H)/3
c) A.H
d) (4.A.H)/3
e) (5.A.H)/3
12) ( Vunesp – SP ) É dada uma pirâmide de altura H,
3
H = 9 cm, e volume V, V = 108 cm . Um plano
paralelo à base dessa pirâmide
corta-a
determinando um tronco de pirâmide de altura h, h
= 3 cm. Qual o volume do tronco de pirâmide
resultante ?
13) ( PUC – RS ) Uma secção paralela à base feita a 3
cm do vértice de uma pirâmide tem área igual a 1/3
da área da base. A altura da pirâmide é, em
centímetros, igual a:
a) 3 3
b) 5
c) 2 6
9)
( PUC – SP ) Um cone reto cuja geratriz mede 15
cm e o raio da base mede 9 cm, é interceptado por
um plano paralelo à base, distando 4 cm de seu
vértice. O volume do tronco de cone obtido dessa
interseção é, em cm3:
a) 246
b) 312
c) 324
d) 348
e) 421
10) ( Cesgranrio ) Um tanque cônico, de eixo vertical e
vértice para baixo, tem água até a metade de sua
altura. Se a capacidade do tanque é de 1200 litros,
então a quantidade de água nele existente, em
litros, é de :
a) 600
b) 450
c) 300
d) 200
d) 2 3
e)
3
14) ( Fuvest – SP ) Qual das expressões seguintes dá o
volume do tronco de cone circular de bases
paralelas em função de H, R, h, r ?
a) /3[ HR2 + (H – h) r2 ]
b) /3[ HR2 – (H + h) r2 ]
r
H
c) /3[ HR2 – (H – h) r2 ]
2
2
h
d) /3[ HR + (H + h) r ]
R
e) n.r.a
15) ( UCMG ) A área lateral de um tronco de cone
circular reto de altura 4 cm, raio maior 8 cm e raio
menor 5 cm é, em cm2, igual a:
a) 45
137
CURSO DE MATEMÁTICA
b)
c)
d)
e)
55
65
75
85
16) ( PUC – RJ ) Um tanque subterrâneo tem a forma
de um cone circular invertido, de eixo vertical, e está
cheio até a boca ( nível do solo ) com 27000 litros
de água e 37000 litros de petróleo ( o qual é
menos denso que a água ). Sabendo que a altura
total do tanque é 8 m e que os dois líquidos não
são miscíveis, a altura da camada de petróleo é :
a) 6 metros
solo
a) 2 metros
b) 3 metros
c) 1 metro
d) 4 metros
17) ( Unicamp – 95 ) Uma pirâmide regular, de base
quadrada, tem altura igual a 20 cm. Utilizando-se a
base dessa pirâmide constrói-se um cubo de modo
que a face oposta à base do cubo corte a pirâmide
em um quadrado de lado igual a 5 cm. O volume
do cubo nessas condições é:
a) 1000
b) 1728
c) 2197
d) 3375
18) ( Fuvest – SP ) Um copo tem a forma de um cone
com 8 cm de altura e 3 cm de raio da base.
Queremos enchê-lo com quantidades de água e
suco iguais. Para que isso seja possível a altura h
atingida pelo primeiro líquido colocado deve ser:
a) 8/3
b) 6
c) 4
HAMILTON E ALEX
como mostra a figura. Supondo que em cada
minuto a quantidade de areia que passa do cone de
cima para o de baixo é constante, em quanto tempo
mais toda a areia terá passado para a parte de
baixo?
a) 5 minutos
b) 10 minutos
c) 15 minutos
d) 20 minutos
e) 30 minutos
20) ( Cesgranrio – RJ ) Um recipiente cônico, com
altura igual a 2, contém água até a metade de sua
altura ( Fig. I ). Invente-se a posição do recipiente,
como mostra a figura II. A distância do nível da
água ao vértice, na situação da figura II é :
a)
b)
3
2
3
2
c)
3
d)
3
7
e)
3
6
Figura I
Figura II
21) ( Fuvest – SP ) As bases de um tronco de cone
circular reto são círculos de raios 6 cm e 3 cm.
Sabendo que a área lateral do tronco é igual à
soma das áreas das bases, calcule:
a) a altura do tronco de cone
d) 4 3
e) 4
3
4
b) o volume do tronco de cone
19) ( Cesgranrio – RJ ) Uma ampulheta é formada por
dois cones de revolução iguais, com eixos verticais
e justapostos pelo vértice, o qual tem um pequeno
orifício que permite a passagem de areia da parte
de cima para a parte de baixo. Ao ser colocada
para marcar um intervalo de tempo, toda a areia
está na parte de cima e, 35 minutos após, a altura
da areia na parte de cima reduziu-se à metade,
22. Um cone oco, fechado e com 12 cm de altura,
contém água até a metade dessa altura (figura 1). Se
138
CURSO DE MATEMÁTICA
HAMILTON E ALEX
esse cone for colocado de forma invertida (figura 2), o
valor da altura da parte sem água é :
A) 6.3 7
B) 7.3 6
h=?
C) 6.3 4
12
D) 4.3 6
FIGURA 1
FIGURA 2
GABARITO
1) B
2) E
3) E
4) A
7) B
8) C
9) B
10) E
11) D
12) 76 cm3
13) A
14) C
15) C
16) B
17) A
21) a) k = 4 cm
18) E
5) E
19) A
03. (UFSJ) O código Morse, inventado por Samuel
Morse em 1834, usa dois símbolos, ponto e traço, para
representar letras e sinais de pontuação da linguagem
escrita, combinando, para tal efeito, de um a quarto
desses símbolos. Considerando-se essa informação, é
CORRETO afirmar que o número total de letras e sinais
de pontuação possíveis representados dessa forma pelo
código Morse é igual a:
A) 30
B) 24
C) 28
D) 36
6) C
20) D
b) 84 cm3
22) A
04. (FUVEST) Um lotação possui três bancos para
passageiros, cada um com três lugares, e deve
transportar os três membros da família Sousa, o casal
Lúcia e Mauro e mais quatro pessoas. Além disso:
1 - A família Sousa quer ocupar um mesmo banco;
2 - Lúcia e Mauro querem sentar-se lado a lado.
Nessas condições, o número de maneiras distintas
de dispor os nove passageiros no lotação é igual a
a) 1152
b) 1828
c) 2412
d) 3456
e) 3654
05. (UFPE) Na figura a seguir temos um esboço de
parte do centro da cidade do Recife com suas pontes.
As setas indicam o sentido do fluxo de tráfego de
veículos. De quantas maneiras, utilizando apenas o
esboço, poderá uma pessoa ir de carro do ponto A ao
ponto B (marco zero) e retornar ao ponto de partida
passando exatamente por três pontes distintas?
ANÁLISE COMBINATÓRIA
01. ( PAES – 2009 ) Numa festa de aniversário com 25
crianças, podemos afirmar:
A) pelo menos 3 crianças nasceram num mesmo mês.
B) pelo menos 4 crianças nasceram num mesmo mês.
C) pelo menos 5 crianças nasceram num mesmo mês.
D) no máximo, 3 crianças nasceram num mesmo mês.
02. (Esaf-MPU) Ana guarda suas blusas em uma única
gaveta em seu quarto. Nela encontram-se sete blusas
azuis, nove amarelas, uma preta, três verdes e três
vermelhas. Uma noite, no escuro, Ana abre a gaveta e
pega algumas blusas. O número mínimo de blusas que
Ana deve pegar para ter certeza de ter pegado ao
menos duas blusas da mesma cor é
A) 6.
B) 4.
C) 2.
D) 8.
E) 10.
A) 8
B) 13
C) 17
D) 18
E) 20
06. (UFMG) Observe o diagrama.
139
CURSO DE MATEMÁTICA
R
X
Y
Z
HAMILTON E ALEX
ocupado pelo mesmo vigilante; caso contrário, são ditas
distintas.
a) 35
b) 80
c) 480
d) 840
S
O número de ligações distintas entre X e Z é :
a) 39
b) 35
c) 45
d) 41
07. ( UNIRIO ) Nos anos de 1987 e 1988, discutiu-se na
Assembleia Nacional Constituinte a criação de um novo
estado na Região Sudeste. Resultante da divisão do
Estado de Minas Gerais, este receberia o nome de
Estado do Triângulo e o novo mapa da região Sudeste
seria como na figura a seguir:
Suponha que um cartógrafo pretenda colorir o novo
mapa da região Sudeste, de acordo com as seguintes
regras:
(i) Cada Estado será colorido com uma cor.
(ii) Estados com fronteira comum não podem ter a
mesma cor.
De quantos modos distintos este mapa pode ser
colorido, usando, no máximo, 5 cores ?
08. ( UFRN ) Em virtude de uma crise financeira, uma
fábrica dispõe de apenas quatro vigilantes para
ocuparem sete postos de vigilância.
Considerando que, em cada posto, fica, no máximo, um
vigilante e que o posto da entrada principal não pode
ficar desguarnecido, indique a opção correspondente ao
número de maneiras distintas de que o chefe de
segurança pode dispor para distribuir os vigilantes.
Obs.: Duas maneiras são ditas idênticas se, em ambas,
os vigilantes ocupam os mesmos postos e cada posto é
09. (UNIMONTES) O número de inteiros positivos,
pares, que se escrevem com três algarismos distintos é:
a) 320
b) 360
c) 328
d) 405
10. (ESAF) Ana possui em seu closed 90 pares de
sapatos, todos devidamente acondicionados em caixas
numeradas de 1 a 90. Beatriz pede emprestado à Ana
quatro pares de sapatos. Atendendo ao pedido da
amiga, Ana retira do closed quatro caixas de sapatos. O
número de retiradas possíveis que Ana pode realizar de
modo que a terceira caixa retirada seja a de número 20
é igual a:
A) 681.384
B) 382.426
C) 43.262
D) 7.488
E) 2.120
11. (ESAF) Em uma cidade, os números dos telefones
têm 7 algarismos e não podem começar por zero. Os
três primeiros números constituem o prefixo. Sabendose que, em todas as farmácias, os quatro últimos dígitos
são zero e o prefixo não tem dígitos repetidos, então o
número de telefones que podem ser instalados nas
farmácias é igual a:
a) 540
b) 720
c) 684
d) 648
e) 842
12. ( ENEM – 2004 ) No Nordeste brasileiro, é comum
encontrarmos peças de artesanato constituídas por
garrafas preenchidas com areia de diferentes cores,
formando desenhos. Um artesão deseja fazer peças
com areia de cores cinza, azul, verde e amarela,
mantendo o mesmo desenho, mas variando as cores da
paisagem (casa, palmeira e fundo), conforme a figura
140
CURSO DE MATEMÁTICA
HAMILTON E ALEX
a) 115
b) 120
c) 150
d) 200
e) 249
16. (FIP-MOC) Considere a figura abaixo
O fundo pode ser representado nas cores azul ou cinza;
a casa, nas cores azul, verde ou amarela; e a palmeira,
nas cores cinza ou verde. Se o fundo não pode ter a
mesma cor nem da casa nem da palmeira, por uma
questão de contraste, então o número de variações que
podem ser obtidas para a paisagem é
a) 6.
b) 7.
c) 8.
d) 9.
e) 10.
13. (ESAF) A senha para um programa de
computador consiste em uma sequência LLNNN, onde
“L” representa uma letra qualquer do alfabeto normal de
26 letras e “N” é um algarismo de 0 a 9. Tanto letras
como algarismos podem ou não ser repetidos, mas é
essencial que as letras sejam introduzidas em primeiro
lugar, antes dos algarismos. Sabendo que o programa
não faz distinção entre letras maiúsculas e minúsculas,
o número total de diferentes senhas possíveis é dado
por:
a) 226 . 310
b) 262 . 103
c) 226 . 210
d) 26! . 10!
e) C26,2 . C10,3
14. ( FGV ) Uma pessoa vai retirar dinheiro de um caixa
eletrônico de um banco mas, na hora de digitar a senha,
esquece o número. Lembra que o número tem 5
algarismos, começa com 6, não tem algarismos
repetidos e tem o algarismo 7 em alguma posição. O
número máximo de tentativas para acertar a senha é:
a) 1680
b) 1344
c) 720
d) 224
e) 136
15. (ESAF) Para ter acesso a um arquivo, um operador
de computador precisa digitar uma sequência de 5
símbolos distintos, formados de duas letras e três
algarismos. Ele se lembra dos símbolos, mas não da
sequência em que aparecem. O maior número de
tentativas diferentes que o operador pode fazer para
acessar o arquivo é:
A sequência de pontos forma a letra A de nosso
alfabeto. Existem n triângulos distintos com vértices
nos pontos dessa figura. Qual é o valor de n?
A) 286
B) 5
C) 242
D) 728
17. (Ueg 2005) A UEG realiza seu Processo Seletivo em
dois dias. As oito disciplinas, Língua Portuguesa,
Literatura Brasileira, Língua Estrangeira Moderna,
Biologia, Matemática, História, Geografia, Química e
Física, são distribuídas em duas provas objetivas, com
quatro disciplinas por dia. No Processo Seletivo 2005/2,
a distribuição é a seguinte: - primeiro dia: Língua
Portuguesa - Literatura Brasileira, Língua Estrangeira
Moderna, Biologia e Matemática; - segundo dia:
História, Geografia, Química e Física. A UEG poderia
distribuir as disciplinas para as duas provas objetivas,
com quatro por dia, de
a) 1.680 modos diferentes.
b) 256 modos diferentes.
c) 140 modos diferentes.
d) 128 modos diferentes.
e) 70 modos diferentes.
18. (Uel 2006) Na formação de uma Comissão
Parlamentar de Inquérito (CPI), cada partido indica um
certo número de membros, de acordo com o tamanho
de sua representação no Congresso Nacional. Faltam
apenas dois partidos para indicar seus membros. O
partido A tem 40 deputados e deve indicar 3 membros,
enquanto o partido B tem 15 deputados e deve indicar 1
membro. Assinale a alternativa que apresenta o número
de possibilidades diferentes para a composição dos
membros desses dois partidos nessa CPI.
a) 55
b) (40 - 3) . (15-1)
c) [40!/(37! . 3!)]. 15
d) 40 . 39 . 38 . 15
e) 40! . 37! . 15!
141
CURSO DE MATEMÁTICA
19. (Ufmg 2006) A partir de um grupo de oito pessoas,
quer-se formar uma comissão constituída de quatro
integrantes. Nesse grupo, incluem-se Gustavo e Danilo,
que, sabe-se, não se relacionam um com o outro.
Portanto, para evitar problemas, decidiu-se que esses
dois, juntos, não deveriam participar da comissão a ser
formada. Nessas condições, de quantas maneiras
distintas se pode formar essa comissão?
a) 70
b) 35
c) 45
d) 55
20. (Ufv 2004) Um farmacêutico dispõe de 4 tipos de
vitaminas e 3 tipos de sais minerais e deseja combinar 3
desses nutrientes para obter um composto químico. O
número de compostos que poderão ser preparados
usando-se, no máximo, 2 tipos de sais minerais é:
a) 32
b) 28
c) 34
d) 26
e) 30
21. ( FIP – 2014 ) Numa fábrica, dentre os diretores há
um casal. Oito deles serão selecionados para participar
de um treinamento na área de gestão de projetos que
será realizado no exterior. O casal, no entanto, só
participará do treinamento se ambos forem convocados.
O número de escolhas distintas que incluem o casal é
igual ao número de escolhas que o excluem.
O número de diretores existentes nessa fábrica é:
A) 6
B) 8
C) 16
D) 17
E) 18
22. ( IFAP ) Considerando-se que uma sala de aula
tenha trinta alunos, incluindo Roberto e Tatiana, e que a
comissão para organizar a festa de formatura deva ser
composta por cinco desses alunos, incluindo Roberto e
Tatiana, a quantidade de maneiras distintas de se
formar essa comissão será igual a
A) 3.272.
B) 3.274.
C) 3.276.
D) 3.278.
E) 3.280.
23. (FIP – 2015) Do corpo clínico de um hospital,
participam 12 cardiologistas e 8 endocrinologistas. Para
HAMILTON E ALEX
atender às demandas, será criado um comitê de ética
composto por 4 médicos do corpo clínico.
O número de comitês de ética distintos que podem ser
formados que contenham pelo menos um cardiologista
é:
A) 4845.
B) 4325.
C) 4565.
D) 4635.
E) 4775.
24. ( UFSM ) A reforma agrária ainda é um ponto crucial
para se estabelecer uma melhor distribuição de renda
no Brasil. Uma comunidade de sem-terra, após se alojar
numa fazenda comprovadamente improdutiva, recebe
informação de que o INCRA irá receber uma comissão
para negociações. Em assembléia democrática, os semterra decidem que tal comissão será composta por um
presidente geral, um porta-voz que repassará as
notícias à comunidade e aos representantes e um
agente que cuidará da parte burocrática das
negociações. Além desses com cargos específicos,
participarão dessa comissão mais 6 conselheiros que
auxiliarão indistintamente em todas as fases da
negociação.
Se, dentre toda a comunidade, apenas 15 pessoas
forem consideradas aptas aos cargos, o número de
comissões distintas que poderão ser formadas com
essas 15 pessoas é obtido pelo produto
a) 13. 11. 7. 52. 32. 24
b) 13. 11. 7. 5. 3. 2
c) 13. 11. 72. 52. 33. 26
d) 13. 72. 52. 33. 26
e) 13. 11. 72. 5. 32. 23
25. (UFMG) Um teste é composto por 15 afirmações.
Para cada uma delas, deve-se assinalar, na folha de
respostas, uma das letras V ou F, caso a afirmação
seja, respectivamente, verdadeira ou falsa. A fim de se
obter, pelo menos, 80% de acertos, o número de
maneiras diferentes de se marcar a folha de respostas é
a) 455
b) 576
c) 560
d) 620
26. ( Fuvest ) O jogo da sena consiste no sorteio de 6
números distintos, escolhidos ao acaso, entre os
números 1, 2, 3, ..., até 50. Uma aposta consiste na
escolha (pelo apostador) de 6 números distintos entre
os 50 possíveis, sendo premiadas aquelas que
acertarem 4(quadra), 5(quina) ou todos os 6(sena)
números sorteados.
Um apostador, que dispõe de muito dinheiro para jogar,
escolhe 20 números e faz todos os 38760 jogos
142
CURSO DE MATEMÁTICA
possíveis de serem realizados com esses 20 números.
Realizado o sorteio, ele verifica que TODOS os 6
números sorteados estão entre os 20 que ele escolheu.
Além de uma aposta premiada com a sena.
a) Quantas apostas premiadas com a quina este
apostador conseguiu?
b) Quantas apostas premiadas com a quadra ele
conseguiu?
27. (UFPA) No cartão da mega-sena existe a opção de
aposta em que o apostador marca oito números inteiros
de 1 a 60. Suponha que o apostador conheça um pouco
de Análise Combinatória e que ele percebeu que é mais
vantajoso marcar um determinado número de cartões,
usando apenas os oito números, de modo que, se os
seis números sorteados estiverem entre os oito
números escolhidos, ele ganha, além da sena, algumas
quinas e algumas quadras. Supondo que cada aposta
seja feita usando apenas seis números, a quantidade de
cartões que o apostador deve apostar é
(A) 8
(B) 25
(C) 28
(D) 19
(E) 17
28. (Ufc 2003) O número de maneiras segundo as quais
podemos dispor 3 homens e 3 mulheres em três bancos
fixos, de tal forma que em cada banco fique um casal,
sem levar em conta a posição do casal no banco, é:
a) 9
b) 18
c) 24
d) 32
e) 36
29. (Cesgranrio 2002) Um brinquedo comum em
parques de diversões é o "bicho-da-seda", que consiste
em um carro com cinco bancos para duas pessoas cada
e que descreve sobre trilhos, em alta velocidade, uma
trajetória circular. Suponha que haja cinco adultos, cada
um deles acompanhado de uma criança, e que, em
cada banco do carro, devam acomodar-se uma criança
e o seu responsável. De quantos modos podem as dez
pessoas ocupar os cinco bancos?
a) 14 400
b) 3 840
c) 1 680
d) 240
e) 120
HAMILTON E ALEX
30. (Diamantina 2003) Considere a seguinte situação:
Cinco meninos e cinco meninas terão aula de
computação em um mesmo laboratório de informática,
onde existem apenas cinco computadores.
Em frente de cada computador, há um banco de dois
lugares.
O professor exige que, em cada banco, haja um menino
e uma menina.
Considerando os dados acima, é CORRETO afirmar
que a quantidade total de modos diferentes de atender à
exigência do professor é igual a
a) 480.600
b) 350.400
c) 460.800
d) 340.500
31. ( Puc – mg ) Um bufê produz 6 tipos de salgadinhos
e 3 tipos de doces para oferecer em festas de
aniversário. Se em certa festa devem ser servidos 3
tipos desses salgados e 2 tipos desses doces, o bufê
tem x maneiras diferentes de organizar esse serviço. O
valor de x é:
a) 180
b) 360
c) 440
d) 720
32. (UFSJ) O código Morse, inventado por Samuel
Morse em 1834, usa dois símbolos, ponto e traço, para
representar letras e sinais de pontuação da linguagem
escrita, combinando, para tal efeito, de um a quarto
desses símbolos. Considerando-se essa informação, é
CORRETO afirmar que o número total de letras e sinais
de pontuação possíveis representados dessa forma pelo
código Morse é igual a
A) 30
B) 24
C) 28
D) 36
33. ( MACK – SP ) Uma prova de atletismo é disputada
por 9 atletas, dos quais apenas 4 são brasileiros. Os
resultados possíveis para a prova, de modo que pelo
menos um brasileiro fique numa das três primeiras
colocações, são em número de:
a) 426
b) 444
c) 468
d) 480
e) 504
34. ( UERJ ) Ana dispunha de papéis com cores
diferentes. Para enfeitar sua loja, cortou fitas desses
143
CURSO DE MATEMÁTICA
papéis e embalou 30 caixinhas de modo a não usar a
mesma cor no papel e na fita, em nenhuma das 30
embalagens.
A menor quantidade de cores diferentes que ela
necessitou utilizar para a confecção de todas as
embalagens foi igual a:
a) 30
b) 18
c) 6
d) 3
35. ( UNESP ) Nove times de futebol vão ser divididos
em 3 chaves, todas com o mesmo número de times,
para a disputa da primeira fase de um torneio. Cada
uma das chaves já tem um cabeça de chave definido.
Nessas condições, o número de maneiras possíveis e
diferentes de se completarem as chaves é:
a) 21.
b) 30.
c) 60.
d) 90.
e) 120.
36. (Fuvest 2004) Três empresas devem ser
contratadas para realizar quatro trabalhos distintos em
um condomínio. Cada trabalho será atribuído a uma
única empresa e todas elas devem ser contratadas. De
quantas maneiras distintas podem ser distribuídos os
trabalhos?
a) 12
b) 18
c) 36
d) 72
e) 108
37. (UFMG) Para montar a programação de uma
emissora de rádio, o programador musical conta com 10
músicas distintas, de diferentes estilos, assim
agrupadas: 4 de MPB, 3 de Rock e 3 de Pop. Sem
tempo para fazer essa programação, ele decide que, em
cada um dos programas da emissora, serão tocadas, de
forma aleatória, todas as 10 músicas. Assim sendo, é
CORRETO afirmar que o número de programas
distintos em que as músicas vão ser tocadas
agrupadas por estilo é dado por
a) 4! . 3! . 3! . 3!
b) 10! / 7!
c) 4! . 3! . 3!
d) 10! / (7! . 3! )
38. ( Ufrs ) No desenho a seguir, as linhas horizontais e
verticais representam ruas, e os quadrados representam
quarteirões. A quantidade de trajetos de comprimento
mínimo ligando A e B que passam por C é
a) 12
b) 13
c) 15
HAMILTON E ALEX
d) 24
e) 30
39. ( Uff ) Três ingleses, quatro americanos e cinco
franceses serão dispostos em fila (dispostos em linha
reta) de modo que as pessoas de mesma nacionalidade
estejam sempre juntas. De quantas maneiras distintas a
fila poderá ser formada de modo que o primeiro da fila
seja um francês?
a) 34.560 maneiras
b) 30.240 maneiras
c) 28.720 maneiras
d) 26.430 maneiras
e) 24.210 maneiras
40. (ENEM - 2011) O setor de Recursos Humanos de
uma empresa vai realizar uma entrevista com 120
candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles
pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar
a lista de números em ordem numérica crescente e usála para convocar os interessados. Acontece que, por um
defeito do computador, foram gerados números com 5
algarismos distintos e em nenhum deles apareceram
dígitos pares.
Em razão disso, a ordem de chamada do candidato que
tiver recebido o número 75.913 é
a) 24
b) 31
c) 32
d) 88
e) 89
41. (FIP-2010) Os professores de Educação Física de
uma escola, animados com o sucesso da Copa do
Mundo, organizaram um torneio de futebol. Segundo o
regulamento do torneio, todas as equipes deveriam
enfrentar-se apenas uma vez, e a equipe com maior
número de vitórias seria a campeã. Se durante toda a
competição foram realizados 190 jogos, quantas
equipes participaram do torneio?
A) 40
B) 10
C) 20
D) 30
42. (FIP-2011) A dengue é considerada, na atualidade,
um dos principais problemas de saúde pública de todo o
mundo. Ela é uma doença infecciosa febril aguda,
causada por um vírus da família Flaviridaee é
transmitida através do mosquito Aedes aegypti, também
infectado pelo vírus.
Pensando nesse grave problema, um professor das FIPMoc deseja realizar um trabalho sobre o combate à
144
CURSO DE MATEMÁTICA
dengue. A turma que fará a pesquisa é constituída por
20 alunos, sendo 15 homens e 5 mulheres. Antes de
iniciar as atividades, o professor solicitou a formação de
duplas, de modo que as mulheres não ficassem juntas.
O número de maneiras diferentes de formar as duplas
na sala, atendendo à regra do professor, é igual a
A) 180.
B) 190.
C) 200.
D) 240.
43. (FIP-2012) Os anéis olímpicos são o emblema
dos Jogos Olímpicos. Eles são compostos de cinco
anéis entrelaçados, nas cores azul, amarelo, preto,
verde e vermelho.
Um artista plástico deseja construir um conjunto de
anéis olímpicos e pintá-los, seguindo as seguintes
regras:
• O anel central, e somente ele, deverá ser pintado de
preto;
• Os demais anéis poderão ser pintados com as
quatro cores restantes, podendo-se repetir a mesma
cor, desde que dois anéis que se entrelacem não sejam
pintados da mesma cor.
Assim, pode-se afirmar que o artista plástico poderá
pintar os anéis olímpicos de k maneiras distintas, sendo
k igual a:
A) 288
B) 72
C) 144
D) 256
44. (FIP-2013) 20 horas e 02 minutos de 20 de fevereiro
de 2002 foi um momento que entrou para a história.
Durante um minuto, houve uma formação numérica que
somente
ocorre
duas
vezes
por
milênio:
20h0220/02/2002
Esta é uma simetria que na matemática recebe o nome
de capicua (números inteiros que lidos da esquerda
para a direita ou da direita para a esquerda não se
alteram).
A próxima vez que ocorrerá outra capicua será às
21horas e 12 minutos de 21 de dezembro de 2112:
21h12 21/12/2112
Depois,nunca mais haverá outra capicua, pois em
30 de março de 3003 não ocorrerá essa
coincidência matemática, uma vez que não existe a
hora 30.
Quantas capicuas é possível formar com cinco
algarismos?
A) 720
B) 900
C) 1200
D) 360
HAMILTON E ALEX
45. (Cesgranrio) Um mágico se apresenta em público
vestindo calça e paletó de cores diferentes. Para
que ele possa apresentar-se em 24 sessões com
conjuntos diferentes, o número mínimo de peças
(número de paletós mais número de calças) de que ele
precisa é
a) 24
b) 13
c) 12
d) 10
e) 11
46. ( FGV – SP ) De um grupo de seis senadores e
cinco deputados, pretende-se formar uma CPI com
dois senadores e três deputados. O número de
formas diferentes de se formar essa comissão é
a) 60
b) 120
c) 150
d) 360
e) 380
47. (FESP) Numa classe existem 10 alunas, das quais
uma se chama Maria, e 6 alunos, sendo João o nome
de um deles. Formaram-se comissões constituídas
por 4 alunas e 3 alunos. Quantas são as comissões
das quais participaram, simultaneamente, João e Maria?
a) 840
b) 1.800
c) 4.200
d) 2.100
e) 10.080
48. (UNIFESP) As permutações das letras da palavra
PROVA foram listadas em ordem alfabética, como
se fossem palavras de cinco letras em um
dicionário. A 73ª palavra nessa lista é
a) VAPOR
b) RAPOV
c) ROVAP
d) RAOPV
49. (Fgv 2008) O número de permutações da palavra
ECONOMIA que não começam nem terminam com a
letra O é
a) 9.400.
b) 9.600.
c) 9.800.
d) 10.200.
e) 10.800.
145
CURSO DE MATEMÁTICA
HAMILTON E ALEX
GABARITO
1) A
2) B
8) C
9) C
3) A
4) D
10) A
5) C
11) D
6) D
12) B
14) B
15) B
16) C
17) E
18) C
20) C
21) C
22) C
23) E
24) E
26) a)84
b)1365
31) D (60)
37) A 38) E
27) C
32) A
39) A
28) E
33) B
40) E
34) C
7) 642
13) B
29) B
35) D
19) D
25) B
30) C
O jogo consiste em chegar a um determinado ponto
sem passar por cima dos pontos pretos já indicados.
36) C
41)
Respeitando-se o movimento da peça Torre e as regras
de movimentação no jogo, qual é o menor número de
movimentos possíveis e necessários para que a Torre
chegue à casa C1?
(A) 2
(B) 3
(C) 4
(D) 5
(E) 7
QUESTÕES DO ENEM
01. (ENEM-2009) O xadrez é jogado por duas pessoas.
Um jogador joga com as peças brancas, o outro, com as
peças pretas. Neste jogo, vamos utilizar somente a
Torre, uma das peças do xadrez. Ela pode mover-se
para qualquer caso ao longo da coluna ou linha que
ocupa, para frente ou ara trás, conforme indicado na
figura a seguir.
02. (ENEM-2009) Uma pessoa decidiu depositar
moedas de 1, 5, 10, 25 e 50 centavos em um cifre
durante certo tempo. Todo dia da semana ela
depositava uma única moeda, sempre nesta ordem: 1,
5, 10, 25, 50, e, novamente, 1, 5, 10, 25, 50, assim
sucessivamente.
Se a primeira moeda foi depositada em uma segundafeira, então essa pessoa conseguiu a quantia exata de
R$95,05 após depositar a moeda de
(A) 1 centavo no 679º dia, que caiu numa segunda feira.
(B) 5 centavos no 186º dia, que caiu numa quinta feira.
(C) 10 centavos no 188º dia, que caiu numa quinta feira.
(D) 25 centavos no 524º dia, que caiu num sábado.
(E) 50 centavos no 535º dia, que caiu numa quinta feira.
03. (ENEM-2010) João mora na cidade A e precisa
visitar cinco clientes, localizados em cidades diferentes
da sua. Cada trajeto possível pode ser representado por
uma sequência de 7 letras. Por exemplo, o trajeto
ABCDEFA, informa que ele sairá da cidade A, visitando
as cidades B, C, D, E e F nesta ordem, voltando para a
cidade A. Além disso, o número indicado entre as letras
informa o custo do deslocamento entre as cidades. a
figura mostra o custo de deslocamento entre cada uma
das cidades.
146
CURSO DE MATEMÁTICA
HAMILTON E ALEX
minúscula. Além disso, era proibido o uso de outros
tipos de caracteres.
Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de
senhas é a verificação do coeficiente de melhora, que é
a razão do novo número de possibilidades de senhas
em relação ao antigo.
O coeficiente de melhora da alteração recomendada é
Como João quer economizar, ele precisa determinar
qual o trajeto de menor custo para visitar os cinco
clientes. Examinando a figura, percebe que precisa
considerar somente parte das sequências, pois os
trajetos ABCDEFA e AFEDCBA têm o mesmo custo. Ele
gasta 1min30s para examinar uma sequência e
descartar sua simétrica, conforme apresentado.
O tempo mínimo necessário para João verificar todas as
sequências possíveis no problema é de
A) 60 min.
B) 90 min.
C) 120 min.
D) 180 min.
E) 360 min.
04. (ENEM-2009) Doze times se inscreveram em um
torneio de futebol amador. O jogo de abertura do torneio
foi escolhido da seguinte forma: primeiro foram
sorteados 4 times para compor o Grupo A. Em seguida,
entre os times do Grupo A, foram sorteados 2 times
para realizar o jogo de abertura do torneio, sendo que o
primeiro deles jogaria em seu próprio campo, e o
segundo seria o time visitante. A quantidade total de
escolhas possíveis para o Grupo A e a quantidade total
de escolhas dos times do jogo de abertura podem ser
calculadas através de
A) uma combinação e um arranjo, respectivamente.
B) um arranjo e uma combinação, respectivamente.
C) um arranjo e uma permutação, respectivamente.
D) duas combinações.
E) dois arranjos.
05. (ENEM-2013) Um banco solicitou aos seus clientes
a criação de uma senha pessoal de seis dígitos,
formada somente por algarismos de 0 a 9, para acesso
à conta corrente pela internet.
Entretanto, um especialista em sistemas de segurança
eletrônica recomendou à direção do banco recadastrar
seus usuários, solicitando, para cada um deles, a
criação de uma nova senha com seis dígitos, permitindo
agora o uso das 26 letras do alfabeto, além dos
algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra
maiúscula era considerada distinta de sua versão
06. (ENEM-2013) Um artesão de joias tem à sua
disposição pedras brasileiras de três cores: vermelhas,
azuis e verdes. Ele pretende produzir joias constituídas
por uma liga metálica, a partir de um molde no formato
de um losango não quadrado com pedras nos seus
vértices, de modo que dois vértices consecutivos
tenham sempre pedras de cores diferentes.
A figura ilustra uma joia, produzida por esse artesão,
cujos vértices A, B, C e D correspondem às posições
ocupadas pelas pedras.
Com base nas informações fornecidas, quantas joias
diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter?
A) 6
B) 12
C) 18
D) 24
E) 36
07. (ENEM – 2014) Um cliente de uma videolocadora
tem o hábito de sempre alugar dois filmes por vez.
Quando os devolve, sempre pega outros dois filmes e
assim sucessivamente. Ele soube que a videolocadora
recebeu alguns lançamentos, sendo 8 filmes de ação, 5
de comédia e 3 de drama e, por isso, estabeleceu uma
estratégia para ver todos esses 16 lançamentos.
Inicialmente alugará, em cada vez, um filme de ação e
um de comédia. Quando se esgotarem as
possibilidades de comédia, o cliente alugará um filme de
ação e um de drama, até que todos os lançamentos
sejam visto e sem que nenhum filme seja repetido.
A) 20 x 8! + (3!)2
B) 8! x 5! x 3!
8! x5! x3!
C)
28
8! x5! x3!
D)
22
147
CURSO DE MATEMÁTICA
E)
16!
2
8
08. (ENEM – 2009 ) A população brasileira sabe, pelo
menos intuitivamente, que a probabilidade de acertar as
seis dezenas da mega sena não é zero, mas é quase.
Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por
essa loteria, especialmente quando o prêmio se
acumula em valores altos. Até junho de 2009, cada
aposta de seis dezenas, pertencentes ao conjunto {01,
02, 03, ..., 59, 60}, custava R$ 1,50.
Disponível em: www.caixa.gov.br. Acesso em: 7 jul.
2009.
Considere que uma pessoa decida apostar exatamente
R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar
apenas cinco das seis dezenas da mega sena,
justamente pela dificuldade desta última. Nesse caso, é
melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis
dezenas diferentes, que não tenham cinco números em
comum, do que uma única aposta com nove dezenas,
porque a probabilidade de acertar a quina no segundo
caso em relação ao primeiro é, aproximadamente:
1
vezes menor
2
1
B) 2
vezes menor
2
A) 1
C) 4 vezes menor
D) 9 vezes menor
E) 14 vezes menor
09. (ENEM – 2011) O setor de recursos humanos de
uma empresa vai realizar uma entrevista com 120
candidatos a uma vaga de contador. Por sorteio, eles
pretendem atribuir a cada candidato um número, colocar
a lista de números em ordem numérica crescente e usála para convocar os interessados. Acontece que, por um
defeito do computador, foram gerados números com 5
algarismos distintos e, em nenhum deles, apareceram
dígitos pares. Em razão disso, a ordem de chamada do
candidato que tiver recebido o número 75.913 é:
A) 24.
B) 31.
C) 32.
D) 88.
E) 89.
10. (ENEM – 2012) O diretor de uma escola convidou os
280 alunos de terceiro ano a participarem de uma
brincadeira. Suponha que existem 5 objetos e 6
personagens numa casa de 9 cômodos; um dos
personagens esconde um dos objetos em um dos
cômodos da casa. O objetivo da brincadeira é adivinhar
qual objeto foi escondido por qual personagem e em
qual cômodo da casa o objeto foi escondido. Todos os
alunos decidiram participar. A cada vez um aluno e
sorteado e da a sua resposta. As respostas devem ser
HAMILTON E ALEX
sempre distintas das anteriores, e um mesmo aluno não
pode ser sorteado mais de uma vez. Se a resposta do
aluno estiver correta, ele e declarado vencedor e a
brincadeira e encerrada.
O diretor sabe que algum aluno acertara a resposta
porque há:
a) 10 alunos a mais do que possíveis respostas
distintas.
b) 20 alunos a mais do que possíveis respostas
distintas.
c) 119 alunos a mais do que possíveis respostas
distintas.
d) 260 alunos a mais do que possíveis respostas
distintas.
e) 270 alunos a mais do que possíveis respostas
distintas.
11. (ENEM-2012) O designer português Miguel Neiva
criou um sistema de símbolos que permite que pessoas
daltônicas identifiquem cores. O sistema consiste na
utilização de símbolos que identificam as cores
primarias (azul, amarelo e vermelho), Além disso, a
justaposição de dois desses símbolos permite identificar
cores secundarias (como o verde, que é o amarelo
combinado com o azul). O preto e o branco são
identificados por pequenos quadrados: o que simboliza
o preto é cheio, enquanto o que simboliza o branco é
vazio. Os símbolos que representam preto e branco
também podem ser associados aos símbolos que
identificam cores, significando se estas são claras ou
escuras.
Folha
de
São
Paulo.
Disponível
em:
www1.folha.uol.com.br.
Acesso em: 18 fev. 2012 (adaptado)
De acordo com o texto, quantas cores podem ser
representadas pelo sistema proposto?
a) 14
b) 18
c) 20
d) 21
e) 23
GABARITO
01.
02.
03.
04.
05.
06.
07.
08.
C
D
B
A
A
B
B
C
148
CURSO DE MATEMÁTICA
09. E
10. A
11. C
HAMILTON E ALEX
que sua soma será igual a 4 e Antônio acredita que sua
soma será igual a 8.
Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de
acertar sua respectiva soma é
A) Antônio, já que sua soma é a maior de todas as
escolhidas.
B) José e Antônio, já que há 6 possibilidades tanto para
escolha de José quanto para a escolha de Antônio, e há
apenas 4 possibilidades para a escolha de Paulo.
C) José e Antônio, já que há 3 possibilidades tanto para
a escolha de José quanto para a escolha de Antônio, e
há apenas 2 possibilidades para a escolha de Paulo.
D) José, já que há 6 possibilidades para formar sua
soma, 5 possibilidades para formar a soma de Antônio e
apenas 3 possibilidades para formar a soma de Paulo.
E) Paulo, já que sua soma é a menor de todas.
02. (CEF) A tabela abaixo apresenta dados sobre a
folha de pagamente de um banco.
Um desses empregados foi sorteado para receber um
prêmio. A probabilidade de esse empregado ter seu
salário na faixa de R$ 300,00 a R$ 500,00 é de:
A) 7/10
B) 3/5
C) 1/2
D) 2/5
E) 1/3
03. (ENEM – 2012) Em um blog de variedades,
músicas, mantras e informações diversas, foram
postados ”Contos de Halloween“. Após a leitura, os
visitantes poderiam opinar, assinalando suas relações
em: ”Divertido“, ”Assustador“ ou ”Chato“. Ao final de
uma semana, o blog registrou que 500 visitantes
distintos acessaram esta postagem.
O gráfico a seguir apresenta o resultado da enquete.
PROBABILIDADE
01. (ENEM – 2012) José, Paulo e Antônio estão jogando
dados não viciados, nos quais, em cada uma das seis
faces, há um número de 1 a 6. Cada um deles jogará
dois dados simultaneamente. José acredita que, após
jogar seus dados, os números das faces voltadas para
cima lhe darão uma soma igual a 7. Já Paulo acredita
149
CURSO DE MATEMÁTICA
O administrador do blog irá sortear um livro entre os
visitantes que opinaram na postagem ”Contos de
Halloween“.
Sabendo que nenhum visitante votou mais de uma vez,
a probabilidade de uma pessoa escolhida ao acaso
entre as que opinaram ter assinalado que o conto
”Contos de Halloween“ é ”Chato“ é mais aproximada por
A) 0,09.
B) 0,12.
C) 0,14.
D) 0,15.
E) 0,18.
04. ( ENEM – 2015 ) Em uma escola, a probabilidade de
um aluno compreender e falar inglês é de 30%. Três
alunos dessa escola, que estão em fase final de seleção
de intercâmbio, aguardam, em uma sala, serem
chamados para uma entrevista. Mas, ao invés de
chamá-los um a um, o entrevistador entra na sala e faz,
oralmente, uma pergunta em inglês que pode ser
respondida por qualquer um dos alunos.
A probabilidade de o entrevistador ser entendido e ter
sua pergunta oralmente respondida em inglês é
A) 23,7%
B) 30,0%
C) 44,1%
D) 65,7%
E) 90,0%
05. (UFJF) Um soldado de esquadrão anti-bombas tenta
desativar um certo artefato explosivo que possui 5 fios
expostos. Para desativá-lo, o soldado precisa cortar 2
fios específicos, um de cada vez, em uma determinada
ordem. Se o soldado escolher aleatoriamente 2 fios para
cortar, numa determinada ordem, a probabilidade do
artefato não explodir ao cortá-lo é igual a:
2
25
1
b)
20
2
c)
5
1
d)
10
a)
06. (ENEM – 2013) Numa escola com 1 200 alunos foi
realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses
em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol.
Nessa pesquisa constatou-se que 600 alunos falam
inglês, 500 falam espanhol e 300 não falam qualquer
um desses idiomas.
Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e
sabendo-se que ele não fala inglês qual a probabilidade
de que esse aluno fale espanhol?
A) 1/2
HAMILTON E ALEX
B)
C)
D)
E)
5/8
1/4
5/6
5/14
07. (MPU) Maria ganhou de João nove pulseiras, quatro
delas de prata e cinco delas de ouro. Maria ganhou de
Pedro onze pulseiras, oito delas de prata e três delas de
ouro. Maria guarda todas essas pulseiras – e apenas
essas- em sua pequena caixa de joias. Uma noite,
arrumando-se apressadamente para ir ao cinema com
João, Maria, retira, ao acaso, uma pulseira de sua
pequena caixa de joias. Ela vê, então, que retirou uma
pulseira de prata. Levando em conta tais informações, a
probabilidade de que a pulseira de prata que Maria
retirou seja uma das pulseira que ganhou de João é
igual a:
A) 1/3
B) 1/5
C) 9/20
D) 4/5
E) 3/5
08 .(UFU) De uma urna que contém bolas numeradas
de 1 a 100 será retirada uma bola. Sabendo-se que
qualquer uma das bolas tem a mesma chance de ser
retirada, qual é a probabilidade de se retirar uma bola,
cujo número é um quadrado perfeito ou um cubo
perfeito?
A) 0,14
B) 0,1
C) 0,12
D) 0,16
09. (UNIMONTES) Na tabela abaixo, estão dispostos
números de votos válidos para a categoria prefeito,
obtidos pelos partidos A, B e C, nas cidades M, N e
P, no processo eleitoral de setembro/2000.
Selecionando-se o acaso uma pessoa que votou nessa
categoria, qual a possibilidade de ela ser eleitora do
partido A ou C?
134
187
120
B)
187
53
C)
187
67
D)
187
A)
150
CURSO DE MATEMÁTICA
10. (TCE – RN) A probabilidade de um gato estar vivo
daqui a 5 anos é de 3/5. A probabilidade de um cão
estar vivo daqui a 5 anos é de 4/5. Considerando os
eventos independentes, a probabilidade de somente o
cão estar vivo daqui a 5 anos é de:
A) 2/25
B) 8/25
C) 2/5
D) 3/25
E) 4/5
11. ( UNESP ) Dois dados perfeitos e distinguíveis são
lançados ao acaso. A probabilidade de que a soma dos
resultados obtidos seja 3 ou 6 é:
a) 7/18
b) 1/18
c) 7/36
d) 7/12
e) 4/9
12. (Auditor – CE) Um número é sorteado ao acaso
entre os inteiros 1, 2, ..., 300. Se o número sorteado for
um múltiplo de 3, então a probabilidade de que seja o
número 30 é de:
A) 1/99
B) 2/101
C) 1/100
D) 1/50
13. ( UFES ) Um dado é lançado duas vezes e todos os
resultados possíveis para cada lançamento são
equiprováveis. Sabendo que pelo menos um dos
resultados destes dois lançamentos foi um número par,
a probabilidade de que ambos os resultados sejam
pares é:
a) 1/2
b) 2/3
c) 3/4
d) 4/9
e) 1/3
14. ( PUCC ) Considere um lançamento de dois dados
iguais. A probabilidade de a soma das faces obtidas ser
um valor x tal que 6 x 8 é:
a) 4/9
b) 1/2
c) 1/6
d) 5/6
e) 6/13
HAMILTON E ALEX
15. ( Unesp ) Numa gaiola estão nove camundongos
rotulados
1, 2, 3, . . ., 9. Selecionando-se
conjuntamente dois camundongos ao acaso, a
probabilidade de que na seleção ambos os
camundongos tenham rótulo ímpar é :
a) 0,3777...
b) 0,47
c) 0,17
d) 0,2777...
e) 0,1333...
16. ( UFMG ) Dois jovens partiram do acampamento em
que estavam em direção à Cachoeira Grande e à
Cachoeira Pequena, localizadas na região, seguindo a
trilha indicada nesse esquema:
Em cada bifurcação encontrada na trilha, eles
escolhiam, com igual probabilidade, qualquer um dos
caminhos e seguiam adiante. Então, é CORRETO
afirmar que a probabilidade de eles chegarem a
Cachoeira Pequena é:
a) 1/2
Cachoeira Grande
b)2/3
c) 3/4
d) 5/6
Cachoeira Pequena
Acampamento
17. Pedro e João se encontram diante de uma urna com
duas bolas azuis e uma bola verde. Eles, confiando na
sorte, apostam em quem consegue tirar a bola verde
primeiro, sendo que, os apostadores irão repor as bolas
tiradas até a bola verde sair. Se Pedro começar o jogo,
qual a probabilidade dele vencer ?
a) 1/3
b) 2/3
c) 2/5
d) 3/5
e) 4/5
18. (IFAC – 2012 ) Paulo e Ana resolvem fazer um jogo
usando uma moeda honesta. Paulo inicia o jogo
lançando a moeda e, se obtiver cara ele ganha, caso
contrario, Ana joga a moeda e se der cara ela vence.
Portanto, o jogo será vencido pelo primeiro que obtiver
cara num arremesso. Qual a probabilidade de Paulo
vencer?
A) 50%
B) 55%
C) 57,75%
D) 60%
E) 66,67%
19. ( Unirio ) Em uma fábrica de parafusos, a
probabilidade de um parafuso ser perfeito é de 96%. Se
151
CURSO DE MATEMÁTICA
HAMILTON E ALEX
retirarmos da produção, aleatoriamente, três parafusos,
a probabilidade de todos eles serem defeituosos é igual
a:
–2
a) 5
b) 5 –3
c) 5 –4
d) 5–5
e) 5 –6
24. ( Mack – SP ) A probabilidade de um casal ter um
filho do sexo masculino é 0,25. Então a probabilidade do
casal ter dois filhos de sexos diferentes é:
a) 1/16
b) 3/8
c) 9/16
d) 3/16
e) 3/4
20. ( FGV ) Uma urna contém 6 bolas vermelhas e 4
brancas. Três bolas são sucessivamente sorteadas,
sem reposição. A probabilidade de observarmos 3 bolas
brancas é:
a) 1/15
b) 1/20
c) 1/25
d) 1/30
e) 1/35
25. A probabilidade de que um atirador acerte o alvo em
21. ( FEI – SP ) Uma caixa contém 3 bolas verdes, 4
bolas amarelas e 2 bolas pretas. Duas bolas são
retiradas ao acaso e sem reposição. A probabilidade de
ambas serem da mesma cor é:
a) 13/72
b) 1/18
c) 5/18
d) 1/9
e) 1/4
22. ( PUC – RJ ) As cartas de um baralho são
amontoadas aleatoriamente. Qual é a probabilidade de
a carta de cima ser de copas e a de baixo também ? O
baralho é formado por 52 cartas de 4 naipes
diferentes, sendo 13 cartas de cada naipe.
a) 1/17
b) 1/25
c) 1/27
d) 1/36
e) 1/45
23. ( UNAERP ) Em um campeonato de tiro ao alvo,
dois finalistas atiram num alvo com probabilidade de
60% e 70%, respectivamente, de acertar. Nessas
condições, a probabilidade de ambos errarem o alvo é:
a) 30 %
b) 42 %
c) 50 %
d) 12 %
e) 25 %
cada tiro é 2 . Em três tiros, qual é a probabilidade de
5
que esse atirador :
a) Acerte os dois primeiros tiros e erre o terceiro tiro ?
b) Acerte apenas dois tiros ?
26. ( Cesgranrio ) Três moedas não viciadas são
lançadas simultaneamente. A probabilidade de se obter
duas caras e uma coroa é:
a) 1/8
b) 1/4
c) 5/16
d) 3/8
e) 1/2
27. ( UEL – PR ) Um juiz de futebol tem três cartões no
bolso. Um é todo amarelo, outro é todo vermelho e o
terceiro é amarelo de um lado e vermelho do outro. Num
determinado lance, o juiz retira, ao acaso, um cartão do
bolso e mostra ao jogador. A probabilidade de a face
que o juiz vê ser vermelha e de a outra face, mostrada
ao jogador ser amarela é:
a) 1/2
b) 2/5
c) 1/5
d) 2/3
e) 1/6
28. ( FMTM ) Uma urna contém 2 bolas azuis e 4
vermelhas, dela é retirada uma bola escolhida ao acaso.
Essa bola é colocada em uma 2ª urna que já continha
1 bola azul e 3 vermelhas. Depois, retira-se uma bola
dessa 2ª urna. A probabilidade de essa bola ser azul é:
a) 4/15
b) 11/15
c) 7/12
d) 5/12
e) 17/30
152
CURSO DE MATEMÁTICA
29. (AFC) Em uma sala de aula, estão 4 meninas e 6
meninos. Três das crianças são sorteadas para
constituírem um grupo de dança. A probabilidade de as
três crianças escolhidas serem do mesmo sexo é de:
a) 0,10
d) 0,20
b) 0,12
c) 0,15
e) 0,24
30. ( Unimontes ) Considere a seguinte distribuição da
dieta diária de um grupo de 360 pessoas.
Escolhe-se uma pessoa ao acaso. Sabendo-se que
essa pessoa come verduras e legumes, qual é a
probabilidade de que ela seja homem?
47
360
47
b)
99
99
c)
360
52
d)
99
HAMILTON E ALEX
de o escolhido ser do sexo feminino sabendo que optou
por Biomédicas, pode-se concluir que:
a) p1 = 0,6 e p2= 0,375
b) p1 = 0, 6 e p2= 0,15
c) p1 = 0,15 e p2= 0,15
d) p1 = 0,15 e p2= 0,375
e) p1= 0,375 e p2= 0,15
33. ( Vunesp – SP ) Um baralho de 12 cartas tem 4
ases. Retiram-se
2
cartas, uma após a outra.
Determine a probabilidade de a segunda ser um ás,
sabendo que a primeira foi um ás.
34. ( Mauá – SP ) Uma caixa contém 11 bolas
numeradas de 1 a 11. Retirando-se uma delas ao
acaso, observa-se que ela tem um número ímpar.
Determine a probabilidade de esse número ser menor
que 5.
a)
31. ( FEI – SP ) Numa urna existem 20 bolas
numeradas de 1 a 20, todas indistinguíveis ao tato.
Retirando uma bola ao acaso, qual a probabilidade de
ocorrer múltiplos de 2 ou múltiplos de 3 ?
a) 11/20
b) 13/20
c) 3/5
d) 4/5
e) 7/10
32. ( UMC ) A tabela a seguir fornece, por sexo e área
escolhida, o número de inscritos em um Vestibular para
ingresso no curso superior:
Escolhido, ao acaso, um dos inscritos e representando
por p1 a probabilidade de o escolhido ser do sexo
masculino e ter optado por Exatas e p2, a probabilidade
35. (ANEEL) Todos os alunos de uma escola estão
matriculados no curso de Matemática e no curso de
História. Do total dos alunos da escola, 6% têm sérias
dificuldades em Matemática e 4% têm sérias
dificuldades em História. Ainda com referência ao total
dos alunos da escola, 1% tem sérias dificuldades em
Matemática e em História. Você conhece, ao acaso, um
dos alunos desta escola, que lhe diz estar tendo sérias
dificuldades em História. Então, a probabilidade de que
este aluno esteja tendo sérias dificuldades também em
Matemática é, em termos percentuais, igual a:
a) 50%
b) 25%
c) 1%
d) 33%
e) 20%
36. ( UFSCar – SP ) Dois dados usuais e não viciados
são lançados. Sabe-se que os números observados são
ímpares. Então a probabilidade de que a soma deles
seja 8 é :
a) 2/36
b) 1/6
c) 2/9
d) 1/4
e) 2/18
153
CURSO DE MATEMÁTICA
37. ( Fatec – SP ) Considere todos os números de cinco
algarismos distintos obtidos pela permutação dos
algarismos 4, 5, 6, 7 e 8. Escolhendo-se um desses
números, ao acaso, a probabilidade dele ser um número
ímpar é
a) 1
b) 1/2
c) 2/5
d) 1/4
38. (VUNESP) Dois jogadores, A e B, vão lançar um
par de dados. Eles combinam que, se a soma dos
números dos dados for 5, A ganha, e se essa soma for
8, B é quem ganha. Os dados são lançados. Sabe-se
que A não ganhou. Qual a probabilidade de B ter
ganhado?
10
36
5
b)
32
5
c)
36
5
d)
35
a)
e) Não se pode calcular sem saber os números
sorteados.
39. ( PUC – RJ ) Uma doença congênita afeta 1 em
cada 700 homens. Numa população de um milhão de
homens, a probabilidade de que um homem, tomado ao
acaso, não seja afetado é:
a) superior a 0,99
b) igual a 0,99
c) menor que 0,98
d) igual a
e)
1
700
HAMILTON E ALEX
30 a um clube C, 20 pertencem aos clubes A e B,
22 aos clubes A e C, 18 aos clubes B e C e 10
pertencem aos 3 clubes. Escolhida ao acaso uma das
pessoas presentes, a probabilidade de ela :
a) pertencer aos três clubes é 3/5.
b) pertencer somente ao clube C é zero.
c) Pertencer a pelo menos a dois clubes é de 60%.
d) Não pertencer ao clube B é 40%.
42. ( Unesp ) Num grupo de 100 pessoas da zona
rural, 25 estão afetadas por uma parasitose intestinal A
e 11 por outra parasitose intestinal B, não se
verificando nenhum caso de incidência conjunta de A e
B. Duas pessoas desse grupo são escolhidas,
aleatoriamente, uma após a outra. Determine a
probabilidade de que, dessa dupla, a primeira pessoa
esteja afetada por A e a segunda por B.
43. ( FEI – SP ) Em uma pesquisa realizada em uma
Faculdade foram feitas duas perguntas aos alunos.
Cento e vinte responderam "sim" a ambas; 300
responderam "sim" à primeira; 250 responderam "sim" à
segunda e 200 responderam "não" a ambas. Se um
aluno for escolhido ao acaso, qual é a probabilidade de
ele ter respondido "não" à primeira pergunta?
a) 1/7
b) 1/2
c) 3/8
d) 11/21
e) 4/25
1
ou 50%
2
40. ( Fuvest – SP ) A probabilidade de que a população
atual de um país seja de 110 milhões ou mais é de
95%. A probabilidade de ser 110 milhões ou menos é
de 8%. Calcule a probabilidade de ser 110 milhões .
41. ( PUCCAMP – SP ) Num grupo, 50 pessoas
pertencem a um clube A, 70 pertencem a um clube B,
44. ( PAES ) No concurso do “Banco Moc”,
compareceram 360 candidatos, sendo que 120 foram
reprovados na prova escrita; 90, na entrevista, e 48, na
prova escrita e na entrevista. Qual a probabilidade de
um dos participantes, escolhido ao acaso, ter sido
reprovado na prova escrita e aprovado na entrevista ?
A) 1/5
B) 4/9
C) 4/11
D) 4/5
45. ( UEL – PR ) Considere todos os anagramas da
palavra LONDRINA que começam e terminam pela letra
N. A probabilidade de escolher-se ao acaso um desses
anagramas e ele ter as vogais juntas é:
154
CURSO DE MATEMÁTICA
a) 1/5
b) 1/4
c) 2/5
d) 1/2
e) 3/5
46. ( Mack – SP ) Num grupo de 12 professores,
somente 5 são de matemática. Escolhidos ao acaso 3
professores do grupo, a probabilidade de no máximo um
deles ser de matemática é:
a) 3/11.
b) 5/11.
c) 7/11.
d) 8/11.
e) 9/11.
47. ( Fuvest – SP ) Ao lançar um dado muitas vezes,
uma pessoa percebeu que a face 6 saía com o dobro
de freqüência da face 1, e que as outras faces saíam
com a freqüência esperada em um dado não viciado.
Qual a freqüência da face 1?
a) 1/3.
b) 2/3.
c) 1/9.
d) 2/9.
e) 1/12.
48. ( PUC – SP ) Uma urna contém bolas numeradas de
1 a 5. Sorteia-se uma bola, verifica-se o seu número e
ela é reposta na urna.
Num segundo sorteio, procede-se da mesma forma que
no primeiro sorteio. A probabilidade de que o número da
segunda bola seja estritamente maior que o da primeira
é
a) 4/5
b) 2/5
c) 1/5
d) 1/25
e) 15/25
49. ( Fatec – SP ) Considere todos os números de cinco
algarismos distintos obtidos pela permutação dos
algarismos 4, 5, 6, 7 e 8. Escolhendo-se um desses
números, ao acaso, a probabilidade dele ser um número
ímpar é
a) 1
b) 1/2
c) 2/5
d) 1/4
50. ( UFMG ) Considere uma prova de Matemática
constituída de quatro questões de múltipla escolha, com
HAMILTON E ALEX
quatro alternativas cada uma, das quais apenas uma é
correta.
Um candidato decide fazer essa prova escolhendo,
aleatoriamente, uma alternativa em cada questão.
Então, é correto afirmar que a probabilidade de esse
candidato acertar, nessa prova, exatamente uma
questão é:
a) 27/64
b) 27/256
c) 9/64
d) 9/256
51. (Enem) Em um determinado semáforo, as luzes
completam um ciclo de verde, amarelo e vermelho em 1
minuto e 40 segundos. Desse tempo, 25 segundos são
para a luz verde, 5 segundos para a amarela e 70
segundos para a vermelha. Ao se aproximar do
semáforo, um veículo tem uma determinada
probabilidade de encontrá-lo na luz verde, amarela ou
vermelha. Se essa aproximação for de forma aleatória,
pode-se admitir que a probabilidade de encontrá-lo com
uma dessas cores é diretamente proporcional ao tempo
em que cada uma delas fica acesa.
Suponha que um motorista passa por um semáforo
duas vezes ao dia, de maneira aleatória e independente
uma da outra. Qual é a probabilidade de o motorista
encontrar esse semáforo com a luz verde acesa nas
duas vezes em que passar?
A) 1/25
B) 1/16
C) 1/9
D) 1/3
E) 1/2
52. (FIP-2013) Sobre o lançamento de um dado com 20
lados, com as faces numeradas de 1 a 20, os alunos de
um colégio fizeram as seguintes afirmativas:
Aluno X: A probabilidade de sair um número par no
lançamento desse dado é menor que a probabilidade de
sair um número maior ou igual a 10.
Aluno Y: A probabilidade de sair um número quadrado
perfeito no lançamento desse dado é de 10%.
Aluno Z: A probabilidade de sair um número primo no
lançamento desse dado excede a probabilidade de sair
um número ímpar maior que 11 em 20%.
Fizeram afirmativas corretas:
A) Somente os alunos X e Y.
B) Somente os alunos X e Z.
C) Os alunos X, Y e Z.
D) Somente os alunos Y e Z.
53. (ENEM – 2012) Em um jogo há duas urnas com 10
bolas de mesmo tamanho em cada urna. A tabela a
seguir indica as quantidades de bolas de cada cor em
cada urna.
155
CURSO DE MATEMÁTICA
HAMILTON E ALEX
quatro filhos, sendo dois homens e duas mulheres, qual
a probabilidade de que todos sejam saudáveis?
A) 16,44%
B) 19,44%
C) 23,57%
D) 44,32%
Uma jogada consiste em:
1º) o jogador apresenta um palpite sobre a cor da bola
que será retirada por ele da urna 2;
2º) ele retira, aleatoriamente, uma bola da urna 1 e a
coloca na urna 2, misturando-a com as que lá estão;
3º) em seguida ele retira, também aleatoriamente, uma
bola da urna 2;
4º) se a cor da última bola retirada for a mesma do
palpite inicial, ele ganha o jogo.
Qual cor deve ser escolhida pelo jogador para que ele
tenha a maior probabilidade de ganhar?
A) Azul.
B) Amarela.
C) Branca.
D) Verde.
E) Vermelha
54. (ENEM – 2013) Uma loja acompanhou o número de
compradores de dois produtos, A e B, durante os meses
de janeiro, fevereiro e março de 2012. Com isso, obteve
este gráfico:
56. Um cubo maciço, confeccionado em plástico branco,
foi totalmente coberto por uma tinta cinza e após secar,
teve todas as suas arestas cortadas em três partes
idênticas, dando origem a cubos com arestas menores
(figura). Se uma pessoa desmontar esse cubo e
escolher um cubo menor ao acaso, qual a probabilidade
de esse cubo ter exatamente quatro faces brancas?
A) 8/27
B) 4/9
C) 2/9
D) 16/27
GABARITO
1) D
2) E
9) A
10) B 11) C
16) C
17) D
18) E
23) D
24) B
25) a)12/125
27) E
33) 3/11
A loja sorteará um brinde entre os compradores do
produto A e outro brinde entre os compradores do
produto B. Qual a probabilidade de que os dois
sorteados tenham feito suas compras em fevereiro de
2012?
A) 1/20
B) 3/242
C) 5/22
D) 6/25
E) 7/15
55. A probabilidade de um casal ter um filho homem
com certa doença congênita é de 10% e se for mulher, a
probabilidade aumenta para 20%. Se esse casal tiver
3) D
28) A
40) 3%
45) A
46) C
51) B
52) B
5) B
12) E
35) B
41) B
47) D
53) E
6) A
13) E
19) E
29) D
34) 1/3
39) A
4) D
20) D
7) A
14) A
15) D
21) C 22) A
b)36/125
30) B
8) C
31) B
36) C
37) C
42) 1/36
43) D
26) D
32) D
38) B
44) A
48) B
49) C
50) A
54)A
55) B
56) B
QUESTÕES DO ENEM
01. (ENEM-2009) Dados do Instituto de Pesquisas
Econômicas Aplicadas (IPEA) revelaram que no biênio
2004/2005, nas rodovias federais, os atropelamentos
com morte ocuparam o segundo lugar no ranking de
mortalidade por acidente. A cada 34 atropelamentos,
ocorreram
10
mortes.
Cerca
de
4
mil
atropelamentos/ano, um a cada duas horas,
aproximadamente.
Disponível em: http://www.ipea.gov.br. Acesso em: 6
jan. 2009.
156
CURSO DE MATEMÁTICA
De acordo com os dados, se for escolhido
aleatoriamente para investigação mais detalhada um
dos atropelamentos ocorridos no biênio 2004/2005, a
probabilidade de ter sido um atropelamento sem morte é
A) 2/17
B) 5/17
C) 2/5
D) 3/5
E) 12/17
02. (ENEM-2009) Em um concurso realizado em uma
lanchonete, apresentavam-se ao consumidor quatro
cartas voltadas para baixo, em ordem aleatória,
diferenciadas pelos algarismos 0, 1, 2 e 5. O
consumidor selecionava uma nova ordem ainda com as
cartas voltadas para baixo. Ao desvirá-las, verificava-se
quais delas continham o algarismo na posição correta
dos algarismos do número 12,50 que era o valor, em
reais, do trio-promoção. Para cada algarismo na posição
acertada, ganhava-se R$1,00 de desconto. Por
exemplo, se a segunda carta da sequência escolhida
pelo consumidor fosse 2 e a terceira fosse 5, ele
ganharia R$2,00 de desconto.
Qual é a probabilidade de um consumidor não ganhar
qualquer desconto?
A) 1/24
B) 3/24
C) 1/3
D) 1/4
E) 1/2
03. (ENEM-2009) Um casal decidiu que vai ter 3 filhos.
Contudo, que exatamente 2 filhos homens e decide que,
se a probabilidade fosse inferior a 50%, iria procurar
uma clínica para fazer um tratamento específico para
garantir que teria os dois filhos homens.
Após os cálculos, o casal conclui que a probabilidade de
ter exatamente 2 filhos homens é
A) 66,7%, assim ele não precisará fazer um tratamento.
B) 50%, assim ele não precisará fazer um tratamento.
C) 7,5%, assim ele não precisará fazer um tratamento.
D) 25%, assim ele precisará procurar uma clínica para
fazer um tratamento.
E) 37,5%, assim ele precisará procurar uma clínica para
fazer um tratamento.
04. (ENEM-2010) A figura I abaixo mostra um esquema
das principais vias que interligam a cidade A com a
cidade B. Cada número indicado na figura II representa
a probabilidade de pegar um engarrafamento quando se
passa na via indicada. Assim, há uma probabilidade de
30% de se pegar engarrafamento no deslocamento do
ponto C ao ponto B, passando pela estrada E4, e de
50%, quando se passa por E3. Essas probabilidades
são independentes umas das outras.
HAMILTON E ALEX
Paula deseja se deslocar da cidade A para a cidade B
usando exatamente duas das vias indicadas,
percorrendo um trajeto com a menor probabilidade de
engarrafamento possível. O melhor trajeto para Paula é
A) E1 E3
B) E1 E4
C) E2 E4
D) E2 E5.
E) E2 E6.
05. (ENEM-2010) O diretor de um colégio leu numa
revista que os pés das mulheres estavam aumentando.
Há alguns anos, a média do tamanho dos calçados das
mulheres era de 35,5 e, hoje, é de 37,0. Embora não
fosse uma informação científica, ele ficou curioso e fez
uma pesquisa com as funcionárias do seu colégio,
obtendo o quadro a seguir:
Escolhendo uma funcionária ao acaso e sabendo que
ela tem calçado maior que 36,0, a probabilidade de ela
calçar 38,0 é
A) 1/3
B) 1/5
C) 2/5
D) 5/7
E) 5/14
06. (ENEM-2013) Numa escola com 1200 alunos foi
realizada uma pesquisa sobre o conhecimento desses
em duas línguas estrangeiras, inglês e espanhol. Nessa
pesquisa constatou-se que 600 alunos falam inglês, 500
falam espanhol e 300 não falam qualquer um desses
idiomas.
Escolhendo-se um aluno dessa escola ao acaso e
sabendo-se que ele não fala inglês, qual a probabilidade
de que esse aluno fale espanhol?
157
CURSO DE MATEMÁTICA
07. (ENEM-2013) Uma fábrica de parafusos possui duas
máquinas, I e II, para a produção de certo tipo de
parafuso. Em setembro, a máquina I produziu 54/100 do
total de parafusos produzidos pela fábrica. Dos
parafusos produzidos por essa máquina, 25/1000 eram
defeituosos.
Por sua vez, 38/1000 dos parafusos produzidos no
mesmo mês pela máquina II eram defeituosos.
O desempenho conjunto das duas máquinas é
classificado conforme o quadro, em que P indica a
probabilidade de um parafuso escolhido ao acaso ser
defeituoso.
O desempenho conjunto dessas
setembro, pode ser classificado como
A) excelente.
B) bom.
C) regular.
D) ruim.
E) péssimo.
máquinas,
HAMILTON E ALEX
10 cartelas com 6 números escolhidos;
Douglas:4 cartelas com 9 números escolhidos;
Eduardo:2 cartelas com 10 números escolhidos.
Os dois apostadores com maiores probabilidades de
serem premiados são
A) Caio e Eduardo.
B) Arthur e Eduardo.
C) Bruno e Caio.
D) Arthur e Bruno.
E) Douglas e Eduardo.
09. (ENEM/2009) A população mundial está ficando
mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a
expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são
apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela
Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da
quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o
mundo. Os números da coluna da direita representam
as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95
milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos países
desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população
total nos países desenvolvidos.
em
08. (ENEM-2013) Considere o seguinte jogo de apostas:
Numa cartela com 60 números disponíveis, um
apostador escolhe de 6 a 10 números. Dentre os
números disponíveis, serão sorteados apenas 6. O
apostador será premiado caso os 6 números sorteados
estejam entre os números escolhidos por ele numa
mesma cartela.
O quadro apresenta o preço de cada cartela, de acordo
com a quantidade de números escolhidos.
Fonte: “Perspectivas da População Mundial”, ONU, 2009
Disponível em: www.economist.com.
Acesso em: 9 jul. 2009 (adaptado).
Em 2050, a probabilidade de se escolher,
aleatoriamente, uma pessoa com 60 anos ou mais de
idade, na população dos países desenvolvidos, será um
número mais próximo de
A)
B)
C)
D)
E)
Cinco apostadores, cada um com R$ 500,00 para
apostar, fizeram as seguintes opções:
Arthur: 250 cartelas com 6 números escolhidos;
Bruno: 41 cartelas com 7 números escolhidos e 4
cartelas com 6 números escolhidos;
Caio: 12 cartelas com 8 números escolhidos e
1
.
2
7
.
20
8
.
25
1
.
5
3
.
25
10. (ENEM/2009) O controle de qualidade de uma
empresa fabricante de telefones celulares aponta que a
probabilidade de um aparelho de determinado modelo
apresentar defeito de fabricação é de 0,2%. Se uma loja
158
CURSO DE MATEMÁTICA
acaba de vender 4 aparelhos desse modelo para um
cliente, qual é a probabilidade de esse cliente sair da
loja com exatamente dois aparelhos defeituosos?
A) 2 (0,2%)4.
2
B) 4 (0,2%) .
C) 6 (0,2%)2 (99,8%)2.
D) 4 (0,2%).
E) 6 (0,2%) (99,8%).
11. (ENEM/2009) A população brasileira sabe, pelo
menos intuitivamente, que a probabilidade de acertar as
seis dezenas da mega sena não é zero, mas é quase.
Mesmo assim, milhões de pessoas são atraídas por
essa loteria, especialmente quando o prêmio se
acumula em valores altos. Até junho de 2009, cada
aposta de seis dezenas, pertencentes ao conjunto {01,
02, 03, ..., 59, 60}, custava R$ 1,50.
Disponível em: www.caixa.gov.br. Acesso em: 7 jul. 2009 .
Considere que uma pessoa decida apostar exatamente
R$ 126,00 e que esteja mais interessada em acertar
apenas cinco das seis dezenas da mega sena,
justamente pela dificuldade desta última. Nesse caso, é
melhor que essa pessoa faça 84 apostas de seis
dezenas diferentes, que não tenham cinco números em
comum, do que uma única aposta com nove dezenas,
porque a probabilidade de acertar a quina no segundo
caso em relação ao primeiro é, aproximadamente,
HAMILTON E ALEX
13. (ENEM – 2012) José, Paulo e Antônio estão jogando
dados não viciados, nos quais, em cada uma das seis
faces, há um número de 1 a 6. Cada um deles jogará
dois dados simultaneamente. José acredita que, após
jogar seus dados, os números das faces voltadas para
cima lhe darão uma soma igual a 7. Já Paulo acredita
que sua soma será igual a 4 e Antônio acredita que sua
soma será igual a 8.
Com essa escolha, quem tem a maior probabilidade de
acertar sua respectiva soma é:
a) Antônio, já que sua soma e a maior de todas as
escolhidas.
b) José e Antônio, já que há 6 possibilidades tanto para
a escolha de José quanto para a escolha de Antônio, e
há apenas 4 possibilidades para a escolha de Paulo.
c) José e Antônio, já que há 3 possibilidades tanto para
a escolha de José quanto para a escolha de Antônio, e
há apenas 2 possibilidades para a escolha de Paulo.
d) José, já que há 6 possibilidades para formar sua
soma, 5 possibilidades para formar a soma de Antônio e
apenas 3 possibilidades para formar a soma de Paulo.
e) Paulo, já que sua soma é a menor de todas.
GABARITO
1. E
2. D
3. E
4. D
5. D
6. A
7. B
8. A
9. C
10. C
11. C
12. B
13. D
1
A) 1 vezes menor .
2
1
B) 2 vezes menor .
2
C) 4 vezes menor.
D) 9 vezes menor.
E) 14 vezes menor.
12. (ENEM – 2009) Um médico está estudando um novo
medicamento que combate um tipo de câncer em
estágios avançados. Porém, devido ao forte efeito dos
seus componentes, a cada dose administrada há uma
chance de 10% de que o paciente sofra algum dos
efeitos colaterais observados no estudo, tais como
dores de cabeça, vômitos ou mesmo agravamento dos
sintomas da doença. O médico oferece tratamentos
compostos por 3, 4, 6, 8 ou 10 doses do medicamento,
de acordo com o risco que o paciente pretende assumir.
Se um paciente considera aceitável um risco de até
35% de chances de que ocorra algum dos efeitos
colaterais durante o tratamento, qual é o maior número
admissível de doses para esse paciente?
a) 3 doses.
b) 4 doses.
c) 6 doses.
d) 8 doses.
e) 10 doses.
ESTATÍSTICA
01. (UFSCar – SP ) Num curso de iniciação à
informática, a distribuição das idades dos alunos,
segundo o sexo, é dado pelo gráfico seguinte:
Número de Alunos
4
Legenda
Meninos
Meninas
3
2
1
14
15
16
17
18
Idade ( Anos )
159
CURSO DE MATEMÁTICA
Com base nos dados do gráfico, pode-se afirmar
que :
a) o número de meninas com, no máximo, 16 anos
é maior que o número de meninos nesse
mesmo intervalo de idades.
b) O número total de alunos é 19
Há exatamente 10 alunos com mais de 16
anos.
c) O número de meninos é igual ao número de
meninas
d) O número de meninos com idade maior que 15
anos é maior que o número de meninas nesse
mesmo intervalo de idades.
HAMILTON E ALEX
um setor circular. O ângulo do maior desses setores
mediria
a) 80°.
b) 120°.
c) 157°.
d) 168°.
e) 172°.
02. (UNIMONTES) No ano de 2005, foram
disponibilizados pelo Banco Moc mais de 6 milhões de
reais em financiamentos de curto e longo prazos,
conforme os valores indicados na figura a seguir.
05. (UNIMONTES – PAES) O gráfico de setor, abaixo,
foi construído após uma pesquisa feita junto a 450
alunos do ensino médio do Colégio Alfa que
responderam à seguinte pergunta: Qual a disciplina de
que você mais gosta?
Com base nas informações acima, é CORRETO
afirmar que o crescimento dos financiamentos em 2005,
com relação ao ano de 2004, foi
A) igual a 34%.
B) superior a 33%.
C) inferior a 33%.
D) igual a 32%.
03. (COTEC) No gráfico abaixo, observamos o número
de alunos em cada turma de 5ª série da Escola Banzé.
O ângulo do setor que indica o número de alunos que
gostam da disciplina Física mede
a) 86º 24’.
b) 86º 40’.
c) 86º 4’.
d) 88º 4’.
06. ( ENEM -2012 ) O dono de uma farmácia resolveu
colocar à vista do público o gráfico mostrado a seguir,
que apresenta a evolução do total de vendas (em Reais)
de certo medicamento ao longo do ano de 2011.
Analisando esse gráfico, percebemos que o total de
as
alunos de todas as 5 séries e a turma menos
numerosa são, respectivamente:
A) total de alunos: 150; 5ª série C.
B) total de alunos: 140; 5ª série C.
C) total de alunos: 150; 5ª série A.
D) total de alunos: 160; 5ª série D.
04. ( UFRS ) As questões de Matemática do Concurso
Vestibular da UFRGS de 2004 foram classificadas em
categorias quanto ao índice de facilidade, como mostra
o gráfico de barras a seguir.
Se esta classificação fosse apresentada em um gráfico
de setores circulares, a cada categoria corresponderia
De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram,
respectivamente, a maior e a menor venda absolutas
em
2011 foram
A) março e abril.
B) março e agosto.
C) agosto e setembro.
D) junho e setembro.
E) junho e agosto.
160
CURSO DE MATEMÁTICA
07. (Ufpe 2005) Em cinco pesquisas sobre as intenções
de voto para as próximas eleições, os candidatos J e C
obtiveram os resultados percentuais ilustrados no
gráfico a seguir.
Analise as afirmações a seguir, de acordo com os dados
acima.
( ) As intenções de voto no candidato J sempre
foram superiores às do candidato C.
( ) As intenções de voto no candidato C sempre
decresceram, a partir da segunda pesquisa.
( ) O crescimento percentual das intenções de voto no
candidato J, entre a primeira e a quinta pesquisa, foi
igual ao decrescimento percentual do candidato C no
mesmo período.
( ) A média de intenções de voto no candidato J, nas
cinco pesquisas, foi superior a 38%.
( ) Da segunda à quinta pesquisa, as intenções de
voto no candidato J cresceram linearmente.
08. (Ufmg 2006) Este gráfico representa o resultado de
uma pesquisa realizada com 1 000 famílias com filhos
em idade escolar:
Considere estas afirmativas referentes às famílias
pesquisadas:
I) O pai participa da renda familiar em menos de 850
dessas famílias.
II) O pai e a mãe participam, juntos, da renda familiar
em mais de 500 dessas famílias.
Então, é CORRETO afirmar que
a) nenhuma das afirmativas é verdadeira.
b) apenas a afirmativa I é verdadeira.
c) apenas a afirmativa II é verdadeira.
d) ambas as afirmativas são verdadeiras.
HAMILTON E ALEX
09. (Ufg 2008) O gráfico a seguir mostra a prevalência
de obesidade da população dos EUA, na faixa etária de
20 a 74 anos, para mulheres e homens, e de 12 a 19
anos, para meninas e meninos.
De acordo com os dados apresentados neste gráfico,
A) de 1960 a 2002, em média, 30% dos homens
estavam obesos.
B) a porcentagem de meninas obesas, no período 19992002, era o dobro da porcentagem de meninas obesas
no período 1988-1994.
C) no período 1999-2002, mais de 20% dos meninos
estavam obesos.
D) no período 1999-2002, mais de 50% da população
pesquisada estava obesa.
E) a porcentagem de mulheres obesas no período19881994 era superior à porcentagem de mulheres obesas
no período 1976-1980
10. ( ENEM ) As empresas querem a metade das
pessoas trabalhando o dobro para produzir o triplo.
(Revista "Você S/A", 2004)
Preocupado em otimizar seus ganhos, um empresário
encomendou um estudo sobre a produtividade de seus
funcionários nos últimos quatro anos, entendida por ele,
de forma simplificada, como a relação direta entre seu
lucro anual (L) e o número de operários envolvidos na
produção (n). Do estudo, resultou o gráfico a seguir.
Ao procurar, no gráfico, uma relação entre seu lucro,
produtividade e número de operários, o empresário
concluiu que a maior produtividade ocorreu em 2002, e
o maior lucro
a) em 2000, indicando que, quanto maior o número de
operários trabalhando, maior é o seu lucro.
b) em 2001, indicando que a redução do número de
operários não significa necessariamente o aumento dos
lucros.
161
CURSO DE MATEMÁTICA
c) também em 2002, indicando que lucro e
produtividade mantêm uma relação direta que
independe do número de operários.
d) em 2003, devido à significativa redução de despesas
com salários e encargos trabalhistas de seus operários.
e) tanto em 2001, como em 2003, o que indica não
haver relação significativa entre lucro, produtividade e
número de operários.
11. (Bnb) Um servidor federal recebeu o seu salário
referente ao mês de janeiro de 2007 e planejou seus
gastos de acordo com a planilha a seguir:
HAMILTON E ALEX
Qual foi o número médio de gols, por partida, marcados
por essa equipe?
A) 1
B) 1,25
C) 1,5
D) 1,75
E) 2
14. (UNIMONTES – PAES)
Os funcionários da
empresa ZETA são classificados em quatro níveis, e os
salários são de acordo com os mesmos. Abaixo temos
descrita a tabela dos salários.
Sendo R$ 1.800,00 o salário líquido recebido por esse
servidor, a quantia gasta por ele no carnaval foi:
a) R$ 441,00
b) R$ 270,00
c) R$ 288,00
d) R$ 108,00
e) R$ 252,00
12. (UNIMONTES – PAES) A primeira etapa da prova
da 3ª Olimpíada Brasileira de Matemática das Escolas
Públicas foi aplicada na Escola Delta. A freqüência
registrada dos alunos foi a seguinte:
O número de alunos do Nível 1 que compareceram à
realização da prova foi de
a) 375.
b) 450.
c) 350.
d) 1250.
13. (BNDES) A tabela a seguir mostra o número de gols
marcados pela equipe X nas partidas do último torneio
que disputou.
O salário médio mensal dos funcionários dessa
empresa é, aproximadamente,
a) 585.
b) 595.
c) 580.
d) 590.
15. (Enem) Brasil e França têm relações comerciais há
mais de 200 anos. Enquanto a França é a 5.ª nação
mais rica do planeta, o Brasil é a 10.ª, e ambas se
destacam na economia mundial. No entanto, devido a
uma série de restrições, o comércio entre esses dois
países ainda não é adequadamente explorado, como
mostra a tabela seguinte, referente ao período 20032007.
Os dados da tabela mostram que, no período
considerado, os valores médios dos investimentos da
França no Brasil foram maiores que os investimentos do
Brasil na França em um valor
A) inferior a 300 milhões de dólares.
B) superior a 300 milhões de dólares, mas inferior a
400 milhões de dólares.
C) superior a 400 milhões de dólares, mas inferior a
500 milhões de dólares.
162
CURSO DE MATEMÁTICA
D) superior a 500 milhões de dólares, mas inferior a
600 milhões de dólares.
E) superior a 600 milhões de dólares.
HAMILTON E ALEX
19. ( FGV – SP ) A tabela abaixo representa a
distribuição de frequências dos salários de um grupo de
50 empregados de uma empresa, em certo mês.
16. (Bnb) A tabela a seguir indica a distribuição de
freqüência das estaturas das crianças de um
acampamento infantil.
O salário médio desses empregados, nesse
mês, foi de
a)
b)
c)
d)
e)
A altura média das crianças desse acampamento é
145 cm
143 cm
147 cm
153 cm
138 cm
17. ( ENEM – 2012 ) A tabela a seguir mostra a
evolução da receita bruta anual nos três últimos anos de
cinco microempresas (ME) que se encontram à venda.
A) R$ 2637,00
B) R$ 2520,00
C) R$ 2500,00
D) R$ 2420,00
E) R$ 2400,00
20. ( PUC – SP ) O histograma abaixo apresenta a
distribuição de freqüência das faixas salariais numa
pequena empresa. Com os dados disponíveis, pode-se
concluir
que
a
média
desses
salários
é,
aproximadamente:
a) R$ 420,00
Nº de funcionários
b) R$ 536,00
14
c) R$ 562,00
d) R$ 640,00
e) R$ 708,00
4
2
Um investidor deseja comprar duas das empresas
listadas na tabela. Para tal, ele calcula a média da
receita bruta anual dos últimos três anos (de 2009 até
2011) e escolhe as duas empresas de maior média
anual. As empresas que este investidor escolhe
comprar são
A) Balas W e Pizzaria Y.
B) Chocolates X e Tecelagem Z.
C) Pizzaria Y e Alfinetes V.
D) Pizzaria Y e Chocolates X.
E) Tecelagem Z e Alfinetes V.
salários
0
500
1000 1500
2000 2500
21. ( Fuvest – SP ) A distribuição das idades dos
alunos de uma sala de aula é dada pelo seguinte
gráfico:
Nº de alunos
23
20
10
5
2
18. (UNIMONTES-2010) Em um conjunto de 10
números, se cada um deles for aumentado de 20
unidades, a média aritmética dos dez números originais
A) é aumentada de 200 unidades.
B) permanece a mesma.
C) é aumentada de 2 unidades.
D) é aumentada de 20 unidades.
16 17 18 19 20
Idade ( anos )
Qual das alternativas representa melhor a média das
idades dos alunos ?
a) 16 anos e 10 meses
b) 17 anos e 1 mês
c) 17 anos e 5 meses
d) 18 anos e 6 meses
e) 19 anos e 2 meses
163
CURSO DE MATEMÁTICA
22. ( FGV – SP ) Numa pesquisa em determinada
cidade foram obtidos os seguintes dados, relativos ao
número de crianças por família :
Nº de crianças
por família
Porcentagem de
famílias na cidade
0
5
1
25
2
30
3
20
4
10
5 ou mais
23. ( PUCCAMP ) A tabela abaixo mostra os resultados
de uma pesquisa sobre a faixa salarial dos funcionários
de uma empresa que usam bicicleta para ir ao trabalho.
O salário médio desses trabalhadores é
A) R$ 425,00
B) R$ 480,00
C) R$ 521,00
D) R$ 565,00
24. ( Unimontes – 2006 ) Em uma escola de ensino
médio, para ser aprovado, é necessário ter média 5. Os
alunos fazem 4 provas durante o ano. A primeira tem
peso 1; a segunda e a terceira, peso 2; a quarta, peso 3.
Na tabela abaixo, temos as notas obtidas por quatro
colegas
PROVAS
BENTO
JORGE
MARIA
PEDRO
25. (ENEM) Depois de jogar um dado em forma de cubo
e de faces numeradas de 1 a 6, por 10 vezes
consecutivas, e anotar o número obtido em cada
jogada, construiu-se a seguinte tabela de distribuição de
frequências.
10
O número médio de crianças nas famílias com 5 ou
mais filhos é 5,8. O número médio de crianças por
família nesta cidade é, então, igual a :
a) 2,00
b) 2,30
c) 2,43
d) 2,55
e) 3,00
ALUNOS
HAMILTON E ALEX
1ª
2ª
4
8
5
7
5
7
6
6
3ª
5
5
7
6
4ª
6
3
8
5
As médias finais de Bento, Jorge, Maria e Pedro
foram, respectivamente :
a) 5,25 ; 6,125 ; 6,875 ; 5,75
b) 5,25 ; 5,125 ; 6,875 ; 5,75
c) 5,25 ; 5,125 ; 6,125 ; 5,75
d) 5,25 ; 5,125 ; 6,875 ; 6,75
A média, mediana e moda dessa distribuição de
frequências são, respectivamente
A) 3, 2 e 1
B) 3, 3 e 1
C) 3, 4 e 2
D) 5, 4 e 2
E) 6, 2 e 4
26. (ENEM) Na tabela, são apresentados dados da cotação
mensal do ovo extra branco vendido no atacado, em Brasília,
em reais, por caixa de 30 dúzias de ovos, em alguns meses
dos anos 2007 e 2008.
De acordo com esses dados, o valor da mediana das cotações
mensais do ovo extra branco nesse período era igual a
a) R$ 73,10.
b) R$ 81,50.
c) R$ 82,00.
d) R$ 83,00
e) R$ 85,30
27. (ENEM/2009) Suponha que a etapa final de uma
gincana escolar consista em um desafio de
conhecimentos. Cada equipe escolheria 10 alunos
para realizar uma prova objetiva, e a pontuação da
equipe seria dada pela mediana das notas obtidas
pelos alunos. As provas valiam, no máximo, 10
pontos cada. Ao final, a vencedora foi a equipe
Ômega, com 7,8 pontos, seguida pela equipe Delta,
com 7,6 pontos. Um dos alunos da equipe Gama, a
qual ficou na terceira e última colocação, não pôde
comparecer, tendo recebido nota zero na prova. As
notas obtidas pelos 10 alunos da equipe Gama foram
10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0.
Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse
comparecido, essa equipe
A) teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0.
B) seria a vencedora se ele obtivesse nota 10.
C) seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8.
D)
permaneceria
na
terceira
posição,
independentemente da nota obtida pelo aluno.
164
CURSO DE MATEMÁTICA
E) empataria com a equipe Ômega na primeira
colocação se o aluno obtivesse nota 9.
28. (COTEC) A distribuição dada pela tabela abaixo
apresenta os pares de calçados numa loja, em
determinado dia, de acordo com o numero usado de
certa marca.
Número
Frequência
usado
36
2
37
2
38
3
39
3
40
2
41
4
42
1
43
2
A mediana para essa distribuição é igual a
A) 40
B) 41
C) 38
D) 39
29. (FGV-SP) Quatro amigos calcularam a média e
a mediana de suas alturas, tendo encontrado como
resultados 1,72 m e
1,70 m , respectivamente. A
média entre as alturas do mais alto e do mais baixo, em
metros, é igual a:
A)1,71
B)1,72
C)1,73
D)1,74
30. (FGV-SP) Sejam os números 7, 8, 3, 5, 9 e 5
seis números de uma lista de nove números inteiros.
O maior valor possível para a mediana dos nove
números da lista é:
a) 5
b) 6
c) 7
d) 8
e) 9
31. (UFU-MG) As 10 medidas colhidas por um cientista
num determinado experimento, todas na mesma
unidade, foram os seguintes: 1,2; 1,2; 1,4; 1,5; 1,5;
2,0; 2,0; 2,0; 2,0; 2,2
Ao trabalhar na análise estatística dos dados, o
cientista esqueceu-se, por descuido, de considerar
uma dessas medidas. Dessa forma, comparando os
resultados obtidos pelo cientista em sua análise
estatística com os resultados corretos para amostra,
podemos afirmar que:
a) a moda e a média foram afetadas.
b) a moda não foi afetada, mas a média foi.
HAMILTON E ALEX
c) a moda foi afetada, mas a média não foi.
d) a moda e a média não foram afetadas.
32. (ENEM) A classificação de um país no quadro de
medalhas nos Jogos Olímpicos depende do número de
medalhas de ouro que obteve na competição, tendo
como critérios de desempate o número de medalhas de
prata seguido do número de medalhas de bronze
conquistados. Nas Olimpíadas de 2004, o Brasil foi o
décimo sexto colocado no quadro de medalhas, tendo
obtido 5 medalhas de ouro, 2 de prata e 3 de bronze.
Parte desse quadro de medalhas é reproduzida a seguir
Se o Brasil tivesse obtido mais 4 medalhas de ouro, 4
de prata e 10 de bronze, sem alteração no número de
medalhas dos demais países mostrados no quadro, qual
teria sido a classificação brasileira no quadro de
medalhas das Olimpíadas de 2004?
A) 13º
B) 12º
C) 11º
D) 10º
E) 9º
33. (ENEM) Os dados do gráfico seguinte foram
gerados a partir de dados colhidos no conjunto de seis
regiões metropolitanas pelo Departamento Intersindical
de Estatística e Estudos Socioeconômicos (Dieese).
Supondo que o total de pessoas pesquisadas na região
metropolitana de Porto Alegre equivale a 250000, o
número de desempregados em março de 2010, nessa
região, foi de
A) 24500.
165
CURSO DE MATEMÁTICA
HAMILTON E ALEX
B) 25000.
C) 220500.
D) 223000.
E) 227500.
34. (UNIMONTES – PAES) A tabela abaixo indica a
quantidade de salários mínimos (SM) mensais pagos a
200 empregados da Empresa Delta.
Determine :
a) A média anual das vendas dessa empresa
b) O desvio médio da arrecadação dessa empresa
O gráfico que indica a porcentagem de funcionários de
cada faixa salarial em relação ao total dos funcionários
é
c) A variância da arrecadação dessa empresa
36. (UfPR 2008) Considere as seguintes medidas
descritivas das notas finais dos alunos de três turmas:
Com base nesses dados, considere as seguintes
afirmativas:
1. Apesar de as médias serem iguais nas três turmas,
as notas dos alunos da turma B foram as que se
apresentaram mais heterogêneas.
2. As três turmas tiveram a mesma média, mas com
variação diferente.
3. As notas da turma A se apresentaram mais
dispersas em torno da média.
Assinale a alternativa correta.
A) Somente a afirmativa 2 é verdadeira.
B) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
C) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
D) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
37. (Fgv 2003) Um conjunto de dados numéricos tem
variância igual a zero. Podemos concluir que:
a) a média também vale zero.
b) a mediana também vale zero.
c) a moda também vale zero.
d) o desvio padrão também vale zero.
e) todos os valores desse conjunto são iguais a zero.
35. ( UERJ ) O gráfico a seguir representa, em reais, as
vendas anuais de uma empresa no período de 1996 a
2001.
38. ( ENEM – 2012 ) Um produtor de café irrigado em
Minas Gerais recebeu um relatório de consultoria
estatística, constando, entre outras informações, o
desvio padrão das produções de uma safra dos talhões
de sua propriedade. Os talhões têm a mesma área de
30 000 m2 e o valor obtido para o desvio padrão foi de
90 kg/talhão. O produtor deve apresentar as
166
CURSO DE MATEMÁTICA
informações sobre a produção e a variância dessas
produções em sacas de 60 kg por hectare (10 000 m 2).
A variância das produções dos talhões expressa em
2
(sacas/hectare) é
A) 20,25.
B) 4,50.
C) 0,71.
D) 0,50.
E) 0,25.
HAMILTON E ALEX
42. ( PAES / UNIMONTES – 2003 ) Considere a
seguinte definição:
Desvio médio é a média aritmética das diferenças, em
módulo, entre os valores de uma seqüência de dados e
a média aritmética dessa seqüência.
Dois grupos de cinco alunos, grupo A e grupo B, foram
submetidos a um teste com 100 questões, obtendo as
notas conforme os histogramas abaixo.
GRUPO A
Nº de questões acertadas
39. ( FGV – SP ) Dois atiradores, A e B, numa série
de 20 tiros num alvo com a forma indicada na figura
seguinte obtiveram os resultados que estão anotados no
quadro ao lado da figura.
90
70
50
30
10
0
10
20
30
ATIRADORES
50
A
4
B
6
PONTOS
50 30
Aluno 1 Aluno 2 Aluno 3 Aluno 4 Aluno 5
20
10
0
6
5
4
1
3
5
3
3
Observando o quadro acima pode-se afirmar que :
a) Em relação ao atirador
A, a “Moda” em sua
seqüência de tiros foi de 50 pontos.
b) Em relação ao atirador B, a “Moda” em sua
seqüência de tiros foi de 30 pontos.
c) O atirador A teve, em média, a melhor pontuação;
d) O atirador B teve, em média, a melhor pontuação;
e) Os dois atiradores tiveram a mesma pontuação
média;
40. ( Unimontes / PAES – 2002 ) Em um relatório
acerca do resultado final do balanço de uma empresa
que havia obtido prejuízo, o contador apresentou
cálculo, mostrando que o lucro tinha média “ – 1000 ” (
em reais ) e desvio padrão “ – 150 ” ( em reais ). O
diretor da empresa devolveu o mesmo, alegando
incorreções.
Com respeito à situação descrita, podemos afirmar que :
a) tanto a média quanto o desvio padrão estavam
errados;
b) o contador está certo;
c) o diretor de empresa tinha razão e havia erro na
média;
d) o diretor de empresa tinha razão e havia erro no
desvio padrão;
41. ( Unimontes – 2006 ) Os números abaixo
correspondem às alturas ( em cm ) dos jogadores da
seleção de futebol de um certo país.
169 159 166 168 169 166 164 159 161 166
162
A moda desse conjunto de dados é
A) 165
B) 159
C) 166
D) 169
GRUPO B
Nº de questões acertadas
70
60
50
40
30
Aluno 1 Aluno 2 Aluno 3 Aluno 4 Aluno 5
O desvio médio das notas de cada
respectivamente :
a) 50 e 30
b) 24 e 10
c) 5 e 10
d) 24 e 12
grupo
é,
43. Em um supermercado, a reposição de pacotes de
arroz por dia, permitiu a construção da seguinte tabela
de dados :
Marca do Arroz
A
B
C
D
Nº de Pacotes
80
20
60
40
Pode-se afirmar que o desvio médio existente nas
quantidades de pacotes de arroz das marcas A, B,
C e D é:
a) 16
b) 17
c) 18
d) 19
e) 20
44. (Unicamp – SP ) A média aritmética de um grupo
de 120 pessoas é de 40 anos. Se a média aritmética
das idades das mulheres é de 35 anos e a dos homens
é de 50 anos, qual o número de pessoas de cada sexo
no grupo ?
167
CURSO DE MATEMÁTICA
HAMILTON E ALEX
D) Todos os segmentos de reta apresentados no gráfico
têm inclinação positiva, indicando, portanto, um
crescimento constante a cada nova edição do Enem.
45. ( Fuvest – SP ) Sabe-se que a média aritmética de
cinco números inteiros distintos, estritamente positivos,
é 16. O maior valor que um desses inteiros pode
assumir é de :
a) 16
b) 20
c) 50
d) 70
e) 100
47. (FIP-2012) Muito mais motos, ainda muito mais
mortos.
Analise o quadro abaixo sobre a Evolução da frota de
veículos, das vítimas e das taxas de vítimas (por 100 mil
veículos) em acidentes de trânsito.
46. (FIP-2012) ENEM: uma evolução do número de
participantes
Em 1998, apenas 157.200 inscritos participaram da
primeira edição. Em 2001, com a concessão de isenção
da taxa de inscrição aos alunos da rede pública de todo
país pelo MEC, Ministério da Educação, o número de
inscritos saltou para um valor expressivo de 1.600.000
participantes. O ano de 2004 foi marcado pela criação
do Programa Universidade para Todos (ProUni), com
concessões de bolsas em IES privadas agregadas às
notas obtidas no Exame. No ano seguinte ao
lançamento do ProUni, o Enem alcançou a histórica
marca de 3 milhões de inscritos. No ano de 2008, o
Exame teve mais de 4 milhões de inscritos. A evolução
do número de inscritos é apresentada no gráfico abaixo.
Com base nas informações e no gráfico, observa-se que
a ÚNICA alternativa INCORRETA é:
A) O número de participantes dobrou no período de
2004 para 2005.
B) O ano de 2008 teve mais de 4 milhões de inscritos,
um valor entre 25 e 30 vezes mais do que a primeira
edição.
C) Nos anos de 2001 e 2005, aconteceram aumentos
expressivos no número de participantes.
De acordo com os dados acima, é correto inferir que:
A) A frota de motocicletas cresceu 369% nessa década,
enquanto as mortes de motociclistas cresceram 417%.
B) A frota de automóveis aumentou 24%, e as vítimas
de acidentes com automóvel, 57%.
C) Nessa década, o número de vítimas de automóvel
oscilou de um mínimo de 32,5 até um máximo de 41,5,
com média decenal de 38 mortes por grupo de cada 100
mil automóveis registrados. Isto é, a mortalidade
envolvendo motocicletas por veículo foi quase 2,5 vezes
maior que a dos automóveis.
D) Em 1998, havia 2,8 milhões de motos, representando
11,5% da frota total do país. Em 2008, o número salta
168
CURSO DE MATEMÁTICA
para 13,1 milhões, representando 32% do total nacional
de veículos.
GABARITO
01. C
02. B
03. A
04. D
05. A
06. E
07. F F F V F
08. C
09. E
10. B
11. E
12. B
13. B
14. C
15. D
16. B
17. D
18. D
19. E
20. E
21. C
22. C
23. D
24. B
25. B
26. D
27. D
28. D
29. D
30. D
31. B
32. B
33. A
34. A
35. a) 3 milhões b) 1.333.333,33
36. C
37. D
38. E
39. E
40. D
41. C
42. D
43. E
44. 40 homens e 80 mulheres
45. D
46. D
47. C
HAMILTON E ALEX
gastos das famílias residentes nas áreas urbanas, com
rendimentos mensais compreendidos entre um e
quarenta salários mínimos. O gráfico a seguir mostra as
variações do IPCA de quatro capitais brasileiras no mês
de maio de 2008.
Com base no gráfico, qual item foi determinante para a
inflação de maio de 2008?
A) Alimentação e bebidas.
B) Artigos de residência.
C) Habitação.
D) Vestuário.
E) Transportes.
c) 2,67
QUESTÕES DO ENEM
01. (ENEM-2009) Para o cálculo da inflação, utiliza-se,
entre outros, o Índice Nacional de Preços ao
Consumidor Amplo (IPCA), que toma como base os
02.(ENEM-2009) A importância do desenvolvimento da
atividade turística no Brasil relaciona-se especialmente
com os possíveis efeitos na redução da pobreza e das
desigualdades por meio da geração de novos postos de
trabalho e da contribuição para o desenvolvimento
sustentável regional.
No gráfico são mostrados três cenários – pessimista,
previsível, otimista – a respeito da geração de empregos
pelo desenvolvimento de atividades turísticas.
De acordo com o gráfico, em 2009, o número de
empregos gerados pelo turismo será superior a
A) 602.900 no cenário previsível.
B) 660.000 no cenário otimista.
C) 316.000 e inferior a 416.000 no cenário previsível.
D) 235.700 e inferior a 353.800 no cenário pessimista.
E) 516.000 e inferior a 616.000 no cenário otimista.
169
CURSO DE MATEMÁTICA
HAMILTON E ALEX
03. (ENEM-2009) Nos últimos anos, o aumento da
população, aliado ao crescente consumo de água, tem
gerado inúmeras preocupações, incluindo o uso desta
na produção de alimentos. O gráfico mostra a
quantidade de litros de água necessária para a
produção de 1 kg de alguns alimentos.
Na região Norte, a frequência relativa de eleição dos
prefeitos no 2º turno foi, aproximadamente,
A) 42,86%
B) 44,44%
C) 50,00%
D) 57,14%
E) 57,69%
Com base no gráfico, para a produção de 100 kg de
milho, 100 kg de trigo, 100 kg de arroz,100 kg de carne
de porco e 600 kg de carne de boi,a quantidade média
necessária de água, por quilograma de alimento
produzido, é aproximadamente igual a
A) 415 litros por quilograma.
B) 11.200 litros por quilograma.
C) 27.000 litros por quilograma.
D) 2.240.000 litros por quilograma.
E) 2.700.000 litros por quilograma.
04. (ENEM-2009) No quadro seguinte, são informados
os turnos em que foram eleitos os prefeitos das capitais
de todos os estados brasileiros em 2004.
05. (ENEM-2009) Cinco equipes A, B, C, D e E
disputaram uma prova de gincana na qual as
pontuações recebidas podiam ser 0, 1, 2 ou 3. A
mediadas cinco equipes foi de 2 pontos.
As notas das equipes foram colocadas no gráfico a
seguir, entretanto, esqueceram de representar as notas
da equipe D e da equipe E.
Mesmo sem aparecer as notas das equipes D e E,
pode-se concluir que os valores da moda e da mediana
são, respectivamente,
A) 1,5 e 2,0.
B) 2,0 e 1,5.
C) 2,0 e 2,0.
D) 2,0 e 3,0.
E) 3,0 e 2,0.
06. (ENEM-2009) Considere que as médias finais dos
alunos de um curso foram representadas no gráfico a
seguir.
170
CURSO DE MATEMÁTICA
Sabendo que a média para aprovação nesse curso era
maior ou igual a 6,0, qual foi a porcentagem de alunos
aprovados?
A) 18%
B) 21%
C) 36%
D) 50%
E) 72%
07. (ENEM-2009) Depois de jogar um dado em forma de
cubo e de faces numeradas de 1 a 6, por 10 vezes
consecutivas,e anotar o número obtido em cada jogada,
construí-se a seguinte tabela de distribuição de
freqüências.
A média, mediana e moda dessa distribuição de
frequências são respectivamente:
A) 3, 2 e 1
B) 3, 3 e 1
C) 3, 4 e 2
D) 5, 4 e 2
E) 6, 2 e 4
08. (ENEM-2010) Em sete de abril de 2004, um jornal
publicou o ranking de desmatamento, conforme o
gráfico, da chamada Amazônia Legal, integrada por
nove estados.
HAMILTON E ALEX
Considerando-se que até 2009 o desmatamento
cresceu 10,5% em relação aos dados de 2004, o
desmatamento médio por estado em 2009 está entre
A.100 km² e 900 km².
B. 1 000 km² e 2 700 km².
C. 2 800 km² e 3 200 km².
D. 3 300 km² e 4 000 km².
E. 4 100 km² e 5 800 km².
09. (ENEM-2010)Os dados do gráfico foram coletados
por meio da Pesquisa Nacional por Amostra de
Domicílios.
Supondo-se que, no Sudeste, 14 900 estudantes foram
entrevistados nessa pesquisa, quantos deles possuíam
telefone móvel celular?
A) 5 513
B) 6 556
C) 7 450
D) 8 344
E) 9 536
10. (ENEM-2010) O gráfico a seguir representa o gasto
militar dos Estados Unidos, no período de 1988 a 2006.
171
CURSO DE MATEMÁTICA
Com base no gráfico, o gasto militar no início da guerra
no Iraque foi de
A. U$ 4.174.000,00.
B. U$ 41.740.000,00.
C. U$ 417.400.000,00.
D. U$ 41.740.000.000,00.
E. U$ 417.400.000.000,00.
11. (ENEM-2010) A classificação de um país no quadro
de medalhas nos Jogos Olímpicos depende do número
de medalhas de ouro que obteve na competição, tendo
como critérios de desempate o número de medalhas de
prata seguido do número de medalhas de bronze
conquistados. Nas Olimpíadas de 2004, o Brasil foi o
décimo sexto colocado no quadro de medalhas, tendo
obtido 5 medalhas de ouro, 2 de prata e 3 de bronze.
Parte desse quadro de medalhas é reproduzida a
seguir.
Se o Brasil tivesse obtido mais 4 medalhas de ouro, 4
de prata e 10 de bronze, sem alteração no número de
medalhas dos demais países mostrados no quadro, qual
teria sido a classificação brasileira no quadro de
medalhas das Olimpíadas de 2004?
A)13º
B) 12º
C) 11º
D) 10º
E) 9º
12. (ENEM-2010) Os dados do gráfico seguinte foram
gerados a partir de dados colhidos no conjunto de seis
regiões metropolitanas pelo Departamento Intersindical
de Estatística e Estudos Socioeconômicos (DIEESE).
HAMILTON E ALEX
Supondo que o total de pessoas pesquisadas na região
metropolitana de Porto Alegre equivale a 250000, o
número de desempregados em março de 2010, nessa
região, foi de
A) 24 500.
B) 25 000.
C) 220 500.
D) 223 000.
E) 227 500.
13. (ENEM-2010) O gráfico mostra o número de favelas
no município do Rio de Janeiro entre 1980 e 2004,
considerando que a variação nesse número entre os
anos considerados é linear.
Se o padrão na variação do período 2004/2010 se
mantiver nos próximos 6 anos, e sabendo que o número
de favelas em 2010 é 968, então o número de favelas
em 2016 será
A. menor que 1 150.
B. 218 unidades maior que em 2004.
C. maior que 1 150 e menor que 1 200.
D. 177 unidades maior que em 2010.
E. maior que 1 200.
14. (ENEM-2010) O gráfico apresenta a quantidade de
gols marcados pelos artilheiros das Copas do Mundo
desde a Copa de 1930 até a de 2006.
172
CURSO DE MATEMÁTICA
HAMILTON E ALEX
Se X, Y e Z são, respectivamente, a média, a mediana e
a moda desta distribuição, então
A. X = Y < Z.
B. Z < X = Y.
C. Y < Z < X.
D. Z < X < Y.
E. Z < Y < X.
A partir dos dados apresentados, qual a mediana das
quantidades de gols marcados pelos artilheiros das
Copas do Mundo?
A) 6 gols
B) 6,5 gols
C) 7 gols
D) 7,3 gols
E) 8,5 gols
16. (ENEM-2010) Para conseguir chegar a um número
recorde de produção de ovos de Páscoa, as empresas
brasileiras começam a se planejar para esse período
com um ano de antecedência. O gráfico a seguir mostra
o número de ovos de Páscoa produzidos no Brasil no
período de 2005 a 2009.
15. (ENEM-2010) Marco e Paulo foram classificados em
um concurso. Para classificação no concurso o
candidato deveria obter média aritmética na pontuação
igual ou superior a 14. Em caso de empate na média, o
desempate seria em favor da pontuação mais regular.
No quadro a seguir são apresentados os pontos obtidos
nas provas de Matemática, Português e Conhecimentos
Gerais, a média, a mediana e o desvio padrão dos dois
candidatos.
Dados dos candidatos no concurso
O candidato com pontuação mais regular, portanto mais
bem classificado no concurso, é
A. Marco, pois a média e a mediana são iguais.
B. Marco, pois obteve menor desvio padrão.
C. Paulo, pois obteve a maior pontuação da tabela, 19
em Português.
D. Paulo, pois obteve maior mediana.
E. Paulo, pois obteve maior desvio padrão.
15. (ENEM-2010) O quadro seguinte mostra o
desempenho de um time de futebol no último
campeonato. A coluna da esquerda mostra o número de
gols marcados e a coluna da direita informa em quantos
jogos o time marcou aquele número de gols.
De acordo com o gráfico, o biênio que apresentou maior
produção acumulada foi
A. 2004-2005.
B. 2005-2006.
C. 2006-2007.
D. 2007-2008.
E. 2008-2009.
17. (ENEM-2013) A cidade de Guarulhos (SP) tem o 8º
PIB municipal do Brasil, além do maior aeroporto da
América do Sul. Em proporção, possui a economia que
mais cresce em indústrias, conforme mostra o gráfico.
173
CURSO DE MATEMÁTICA
Analisando os dados percentuais do gráfico, qual a
diferença entre o maior e o menor centro em
crescimento no pólo das indústrias?
A) 75,28
B) 64,09
C) 56,95
D) 45,76
E) 30,07
18. (ENEM-2013) Cinco empresas de gêneros
alimentícios encontram-se à venda. Um empresário,
almejando ampliar os seus investimentos, deseja
comprar uma dessas empresas. Para escolher qual
delas irá comprar, analisa o lucro (em milhões de reais)
de cada uma delas, em função de seus tempos (em
anos) de existência, decidindo comprar a empresa que
apresente o maior lucro médio anual.
O quadro apresenta o lucro (em milhões de reais)
acumulado ao longo do tempo (em anos) de existência
de cada empresa.
O empresário decidiu comprar a empresa
A) F.
B) G.
C) H.
D) M.
E) P.
19. (ENEM-2013) Deseja-se postar cartas não
comerciais, sendo duas de 100 g, três de 200 g e uma
de 350 g. O gráfico mostra o custo para enviar uma
carta não comercial pelos Correios:
HAMILTON E ALEX
O valor total gasto, em reais, para postar essas cartas é
de
A) 8,35.
B) 12,50.
C) 14,40.
D) 15,35.
E) 18,05.
20. (ENEM-2013) Foi realizado um levantamento nos
200 hotéis de uma cidade, no qual foram anotados os
valores, em reais, das diárias para um quarto padrão de
casal e a quantidade de hotéis para cada valor da diária.
Os valores das diárias foram: A = R$ 200,00; B = R$
300,00; C = R$ 400,00 e D = R$ 600,00. No gráfico, as
áreas representam as quantidades de hotéis
pesquisados, em porcentagem, para cada valor da
diária.
O valor mediano da diária, em reais, para o quarto
padrão de casal nessa cidade, é
A) 300,00.
B) 345,00.
C) 350,00.
D) 375,00.
E)400,00.
21. (ENEM-2013)As projeções para a produção de arroz
no período de 2012 - 2021, em uma determinada região
produtora, apontam para uma perspectiva de
crescimento constante da produção anual. O quadro
apresenta a quantidade de arroz, em toneladas, que
será produzida nos primeiros anos desse período, de
acordo com essa projeção.
174
CURSO DE MATEMÁTICA
HAMILTON E ALEX
A quantidade total de arroz, em toneladas, que deverá
ser produzida no período de 2012 a 2021 será de
A) 497,25.
B) 500,85.
C) 502,87.
D) 558,75.
E)563,25.
22. (ENEM-2013) As notas de um professor que
participou de um processo seletivo, em que a banca
avaliadora era composta por cinco membros, são
apresentadas no gráfico. Sabe-se que cada membro da
banca atribuiu duas notas ao professor, uma relativa
aos conhecimentos específicos da área de atuação e
outra, aos conhecimentos pedagógicos, e que a média
final do professor foi dada pela média aritmética de
todas as notas atribuídas pela banca avaliadora.
Utilizando um novo critério, essa banca avaliadora
resolveu descartar a maior e a menor notas atribuídas
ao professor.
A nova média, em relação à média anterior, é
A) 0,25 ponto maior.
B) 1,00 ponto maior.
C) 1,00 ponto menor.
D) 1,25 ponto maior.
E) 2,00 pontos menor.
23. (ENEM-2013)Uma falsa relação
O cruzamento da quantidade de horas estudadas como
desempenho no Programa Internacional de Avaliação
de Estudantes (Pisa) mostra que mais tempo na escola
não é garantia de nota acima da média.
Dos países com notas abaixo da média nesse exame,
aquele que apresenta maior quantidade de horas de
estudo é
A) Finlândia.
B) Holanda.
C) Israel.
D) México.
E) Rússia.
24. (ENEM-2013) O índice de eficiência utilizado por um
produtor de leite para qualificar suas vacas é dado pelo
produto do tempo de lactação (em dias) pela produção
média diária de leite(em kg), dividido pelo intervalo entre
partos (em meses).
Para esse produtor, a vaca é qualificada como eficiente
quando esse índice é, no mínimo, 281 quilogramas por
mês, mantendo sempre as mesmas condições de
manejo(alimentação,
vacinação
e
outros).
Na
comparação de duas ou mais vacas, a mais eficiente é
a que tem maior índice.
A tabela apresenta os dados coletados de cinco vacas:
Após a análise dos dados, o produtor avaliou que a
vaca mais eficiente é a
A) Malhada.
B) Mamona.
C) Maravilha.
D) Mateira.
E) Mimosa.
175
CURSO DE MATEMÁTICA
25. (ENEM-2009)Dados da Associação Nacional de
Empresas de Transportes Urbanos (ANTU) mostram
que o número de passageiros transportados
mensalmente nas principais regiões metropolitanas do
país vem caindo sistematicamente. Eram 476,7 milhões
de passageiros em 1995, e esse número caiu para
321,9 milhões em abril de 2001. Nesse período, o
tamanho da frota de veículos mudou pouco, tendo no
final de 2008 praticamente o mesmo tamanho que tinha
em 2001.
O gráfico a seguir mostra um índice de produtividade
utilizado pelas empresas do setor, que é a razão entre o
total de passageiros transportados por dia e o tamanho
da frota de veículos.
HAMILTON E ALEX
A) o consumo diário de cigarros e o número de casos de
câncer de pulmão são grandezas inversamente
proporcionais.
B) o consumo diário de cigarros e o número de casos de
câncer de pulmão são grandezas que não se
relacionam.
C) o consumo diário de cigarros e o número de casos
de câncer de pulmão são grandezas diretamente
proporcionais.
D) uma pessoa não fumante certamente nunca será
diagnosticada com câncer de pulmão.
E) o consumo diário de cigarros e o número de casos de
câncer de pulmão são grandezas que estão
relacionadas, mas sem proporcionalidade.
27.(ENEM-2009) Brasil e França têm relações
comerciais há mais de 200 anos. Enquanto a França é a
5ª nação mais rica do planeta, o Brasil é a 10ª, e ambas
se destacam na economia mundial. No entanto, devido
a uma série de restrições, o comércio entre esses dois
países ainda não é adequadamente explorado, como
mostra a tabela seguinte, referente ao período 20032007.
Disponível em: http://www.ntu.org.br.
Acesso em 16 jul. 2009 (adaptado).
Supondo que as frotas totais de veículos naquelas
regiões metropolitanas em abril de 2001 e em outubro
de 2008 eram do mesmo tamanho, os dados do gráfico
permitem inferir que o total de passageiros
transportados no mês de outubro de 2008 foi
aproximadamente igual a
A) 355 milhões.
B) 400 milhões.
C) 426 milhões.
D) 441 milhões.
E) 477 milhões.
26.(ENEM-2009) A suspeita de que haveria uma relação
causal entre tabagismo e câncer de pulmão foi
levantada pela primeira vez a partir de observações
clínicas. Para testar essa possível associação, foram
conduzidos inúmeros estudos epidemiológicos. Dentre
esses, houve o estudo do número de casos de câncer
em relação ao número de cigarros consumidos por dia,
cujos resultados são mostrados no gráfico a seguir.
Investimen tos Bilaterais
(em milhões de dólares)
Ano Brasil na França França no Brasil
2003
367
825
2004
357
485
2005
354
1.458
2006
539
744
2007
280
1.214
Disponível em: www.cartacapital.com.br.
Acesso em: 7 jul. 2009.
Os dados da tabela mostram que, no período
considerado, os valores médios dos investimentos da
França no Brasil foram maiores que os investimentos do
Brasil na França em um valor
A) inferior a 300 milhões de dólares.
B) superior a 300 milhões de dólares, mas inferior a 400
milhões de dólares.
C) superior a 400 milhões de dólares, mas inferior a 500
milhões de dólares.
D) superior a 500 milhões de dólares, mas inferior a 600
milhões de dólares.
E) superior a 600 milhões de dólares.
28.(ENEM/2009) A tabela mostra alguns dados da
emissão de dióxido de carbono de uma fábrica, em
função do número de toneladas produzidas.
Centers for Disease Control and Prevention CDC-EIS
Summer Course – 1992 (adaptado).
De acordo com as informações do gráfico,
176
CURSO DE MATEMÁTICA
Produção
Emissão de dióxido de carbono
(em toneladas)
(em partes por milhão - ppm)
1,1
2,14
1,2
2,30
1,3
2,46
1,4
2,64
1,5
2,83
1,6
3,03
1,7
3,25
1,8
3,48
1,9
3,73
2,0
4,00
Cadernos do Gestar II, Matemática TP3.
Disponível em: www.mec.gov.br. Acesso em: 14 jul. 2009.
Os dados na tabela indicam que a taxa média de
variação entre a emissão de dióxido de carbono (em
ppm) e a produção (em toneladas) é
A) inferior a 0,18.
B) superior a 0,18 e inferior a 0,50.
C) superior a 0,50 e inferior a 1,50.
D) superior a 1,50 e inferior a 2,80.
E)superior a 2,80.
29.(ENEM/2009) Suponha que a etapa final de uma
gincana escolar consista em um desafio de
conhecimentos. Cada equipe escolheria 10 alunos para
realizar uma prova objetiva, e a pontuação da equipe
seria dada pela mediana das notas obtidas pelos
alunos. As provas valiam, no máximo, 10 pontos cada.
Ao final, a vencedora foi a equipe Ômega, com 7,8
pontos, seguida pela equipe Delta, com 7,6 pontos. Um
dos alunos da equipe Gama, a qual ficou na terceira e
última colocação, não pôde comparecer, tendo recebido
nota zero na prova. As notas obtidas pelos 10 alunos da
equipe Gama foram 10; 6,5; 8; 10; 7; 6,5; 7; 8; 6; 0.
Se o aluno da equipe Gama que faltou tivesse
comparecido, essa equipe
A) teria a pontuação igual a 6,5 se ele obtivesse nota 0.
B) seria a vencedora se ele obtivesse nota 10.
C) seria a segunda colocada se ele obtivesse nota 8.
D)
permaneceria
na
terceira
posição,
independentemente da nota obtida pelo aluno.
E) empataria com a equipe Ômega na primeira
colocação se o aluno obtivesse nota 9.
HAMILTON E ALEX
De acordo com esses dados, o valor da mediana das
cotações mensais do ovo extra branco nesse período
era igual a
A) R$ 73,10.
B) R$ 81,50.
C) R$ 82,00.
D) R$ 83,00.
E) R$ 85,30.
GABARITO
01. A
02. E
03. B
04. A
05. C
06. E
07. B
08. C
09. D
10. E
11. B
12. A
13. C
14. B
15. B
16. E
17. C
18. B
19. D
20. C
21. D
22. B
23. C
24. D
25. A
26. E
27. D
28. D
29. D
30. D
30.(ENEM/2009) Na tabela, são apresentados dados da
cotação mensal do ovo extra branco vendido no
atacado, em Brasília, em reais, por caixa de 30 dúzias
de ovos, em alguns meses dos anos 2007 e 2008.
Mês
Outubro
Novembro
Dezembro
Janeiro
Fevereiro
Março
Abril
Cotação
R$ 83,00
R$ 73,10
R$ 81,60
R$ 82,00
R$ 85,30
R$ 84,00
R$ 84,60
Ano
2007
2007
2007
2008
2008
2008
2008
177
CURSO DE MATEMÁTICA
HAMILTON E ALEX
d) (0, 2)
e) (4, 0)
GEOMETRIA ANALÍTICA
Exercício 1
1) ( Cesgranrio ) A distância entre os pontos M(4, – 5)
e N(–1, 7) do plano xoy vale:
a)
b)
c)
d)
e)
14
13
12
9
8
2) ( UFF – RJ ) Os valores que r deve assumir para
que o ponto P(r, 2) diste 5 unidades do ponto K(0,
–2) são:
a) r = 2 e r = – 2
b) r = 3 e r = – 3
c) r = 1 e r = – 1
d) r = 4 e r = – 4
e) r = 5 e r = – 5
3) ( UFPR ) Suponha que duas partículas P e Q se
movem no plano cartesiano, de modo que em cada
instante t a partícula P está no ponto (2t, 3 – t)
e a partícula Q está no ponto (4t, 3t – 2). Com
base nessas informações, avalie as seguintes
afirmativas:
I. As partículas colidem uma com a outra no
instante t = 5/4
II. Ambas as partículas passam pelo ponto (4, 1)
III. No instante t = 1, a distância entre as partículas
é 5
Determine a alternativa correta
A) somente as afirmativas II e III são verdadeiras
B) somente a afirmativa II é verdadeira
C) somente a afirmativa III é verdadeira
D) somente a afirmativa I e II são verdadeiras
E) as três afirmativas são verdadeiras
4) ( U.C. Salvador ) Os vértices de um triângulo são
dados pelos pontos no plano cartesiano: A(–3, 4),
B(3, 12) e C(18, 4). O menor lado desse triângulo
mede:
a) 7
b) 9
c) 10
d) 13
5) ( Fuvest – SP ) O ponto do eixo das abscissas,
eqüidistante aos pontos P(–2, 2) e Q(2, 6) é:
a) (2, 0)
b) (5, 0)
c) (3, 0)
6) Um grande vale é cortado por duas estradas
retilíneas
E1
e
E2, que se cruzam
perpendicularmente,
dividindo-o
em
quatro
quadrantes. Duas árvores que estão num mesmo
quadrante têm a seguinte localização: a primeira
dista 300 metros da estrada E1 e 100 metros da
estrada E2, enquanto a segunda se encontra a 600
metros de E1 e a 500 metros de E2. A distância
entre as duas árvores é:
A) 200 metros
B) 300 metros
C) 400 metros
D) 500 metros
E) 600 metros
7) ( UFES ) As coordenadas do ponto médio de um
segmento AB são (–1, 2). Sabendo-se que as
coordenadas do ponto A são (2, 5), então as
coordenadas de B são:
a) (4, 1)
b) (4, – 1)
c) (– 4, 1)
d) (– 1, – 4)
e) n.d.a
8)
(UFMG) Considere A(2, 1) e B(4, 0) dois pontos no
plano coordenado. As coordenadas do ponto C,
simétrico do ponto A em relação ao ponto B, são:
a) (6, –1)
b) (3, 1)
c) (2, –1)
d) (3, 1/2)
e) (1, 0)
9) (Cesgranrio – RJ) Os pontos M, N, P e Q do R2 são
vértices de um paralelogramo situado no primeiro
quadrante. Se M(3, 5), N(1, 2) e P(5, 1) então o
vértice Q é:
a) (7, 4)
b) (6, 5)
c) (9, 8)
d) (8, 6)
e) (6, 3)
10) ( Unimontes – PAES ) Considere o triângulo com
vértices nos pontos A(–1, 1), B(3, 2) e C(0, 5). Se M
e N são os pontos médios dos lados AC e BC,
respectivamente, então a medida do segmento MN
é igual a:
15
17
a)
b)
2
2
178
CURSO DE MATEMÁTICA
c)
3
2
d)
5
2
11) ( PUC – SP ) O triângulo
B(6, –2) e C(–11, –3) é:
a) eqüilátero
b) isósceles
c) acutângulo
d) obtusângulo
e) retângulo
de
vértices
A(4, 3),
12) ( UFMT ) Os vértices de um triângulo são os pontos
A( 1, 4 ) , B( 4, 9 ) e C( 10, 15 ) . O comprimento
da mediana AM relativa ao lado BC é :
a) 17
b) 13
c) 10
d) 9
e) 8
13) ( MACK – SP ) No triângulo ABC, A(1, 1) é um
dos vértices, N(5, 4) é o ponto médio de BC e
M(4, 2) é o ponto médio de AB. Calcule as
coordenadas dos vértices B e C e o baricentro do
triângulo.
14) ( Mack – SP ) Sabendo que os pontos A(6, 0),
B(0,6) e C(0, 0) são vértices do triângulo ABC,
que M é ponto médio do lado BC e que G é o
baricentro do triângulo, a área do triângulo GMB
vale:
a) 6
b) 3
c) 3/2
d) 18
e) 12
15) ( FMU – SP ) Dados os pontos A(–1, 1), B(1, –1),
C(2, 1) e D(1, 2), a área do quadrilátero ABCD é
igual a:
a) 12
b) 10
c) 8
d) 9/2
e) 4
HAMILTON E ALEX
16) ( Unimontes – 2006 ) A área do pentágono, cujos
vértices são A( 0, 0 ), B( 3, 0 ), C( 5, 2 ), D( 5, 5 ) e
E( 0, 3 ), é igual a :
a) 18
b) 36
c) 17
d) 35
25
e
2
seus vértices são ( 0, 1 ), ( 2, 4 ) e ( – 7, k ). Um
possível valor de k é :
a) 3
b) 2,5
c) 2
d) 4
e) 5
17) ( Mack – SP ) A área de um triângulo é
18) ( MACK – SP ) Dados os pontos A(2, 3), B(3, 4),
C(4, 6), D(2, 4), E(3, 8) e F(k, 1), se os triângulos
ABC e DEF têm mesma área, então um dos
valores de k é :
a) 0
b) 1
c) 2
d) 3
e) 4
19) ( PAES 2005 / Unimontes ) O gráfico abaixo nos
fornece o valor a ser pago pelo consumo de água,
em certa residência. Conforme o gráfico, para o
consumo de 28 m3, o valor a ser pago é de
a) R$ 36,80
Preço em R$
b) R$ 28,80 24
c) R$ 12,80
16
d) R$ 44,80
8
3
Consumo em m
10
20
30
20) (Fatec – SP) Os pontos A(1, 4), B e C(5, –2)
estão numa mesma reta. Determine o ponto B,
sabendo que o mesmo é do eixo x.
179
CURSO DE MATEMÁTICA
21) ( FGV – SP ) Uma reta passa pelos pontos ( 3, 5 )
e ( 4, 8 ). Portanto, o valor da ordenada de um
ponto dessa reta cuja abscissa vale 10 é:
a) 17
b) –19
c) 19
d) – 26
e) 26
HAMILTON E ALEX
24) ( Unimontes – PAES / 2008 ) Um raio luminoso
parte do ponto A(3, 10) e reflete-se no ponto B(7,
0), conforme a figura abaixo. A equação da reta
suporte do raio refletido é y
A) 2x – 5y – 35 = 0.
A
B) 5x – 2y + 35 = 0.
10
C) 5x – 2y – 35 = 0.
D) 5x + 2y + 35 = 0.
3
22) ( Unimontes – 2004 ) Considere, no plano
cartesiano, os pontos A(1, 4), B(6, 2) e P(x, y)
como indicado na figura abaixo. Determine as
coordenadas do ponto P, onde deve ocorrer a
reflexão de um raio de luz que vai do ponto A ao
ponto B.
x
B
25) ( Cesgranrio ) Uma barra de ferro com temperatura
inicial de –10°C foi aquecida até 30°C. O gráfico
anterior representa a variação da temperatura da
barra em função do tempo gasto nessa experiência.
Calcule em quanto tempo, após o início da
experiência, a temperatura da barra atingiu 0°C.
a) 1 min
Temperatura (ºC )
b) 1 min 5 seg
30
c) 1 min e 10 seg
d) 1 min e 15 seg
e) 1 min e 20 seg
Tempo (Min.)
5
–10
23) ( PAES 2003 / Unimontes ) No jogo de bilhar, é
comum um jogador usar a tabela para atingir uma
bola. Nessas ocasiões, seu parceiro pode auxiliá-lo,
indicando o simétrico da bola que será atingida em
relação à tabela. Para isso, o parceiro mede a
distância dessa bola até a tabela e a repete da
tabela para fora da mesa, conforme figura abaixo.
26) (Unimontes – PAES 2009 ) Na figura abaixo, MNOP
é um quadrado de lado 4 e OQRS é um quadrado
de lado 3. A abscissa do ponto T onde a reta
intercepta o eixo das abscissas é:
y
a) – 24/7
b) – 12
M
P
R
c) – 24
Q
d) – 32/7
S
O jogador mira, então, o ponto indicado pelo parceiro e,
por tabela, acerta a bola que deseja.
O
MR
x
N
EXERCÍCIOS EXTRAS
1) ( FEEQ – CE ) A distância entre os pontos A(cos a,
sen a) e B(sen a, – cos a) é:
a) 1
b)
2
Agora, suponha que, colocando sobre a mesa um
sistema cartesiano, conforme a figura acima, e que
nesse sistema as coordenadas da bola lançada sejam
(10,40) e as da bola que se pretende atingir sejam
(100,20), as coordenadas do ponto onde a bola lançada
deve bater na tabela para depois acertar a bola que se
quer atingir são
A) (60,0).
B) (70,0).
C) (90,0).
D) (80,0).
c)
3
d) 2
2) ( ITA – SP ) Três pontos de coordenadas,
respectivamente (0, 0), (b, 2b) e (5b, 0), com b >
0, são vértices de um retângulo. As coordenadas do
quarto vértice são dadas por
a) ( – b, – b )
b) ( 2b, – b )
c) ( 4b, – 2b )
d) ( 3b, – 2b )
e) ( 2b, – 2b )
180
CURSO DE MATEMÁTICA
3) ( UFMG ) Sejam A e B dois pontos da reta de
equação y = 2x + 2, que distam duas unidades da
origem.
Nesse caso, a soma das abscissas de A e B é:
a)
5
8
b)
c)
d)
8
5
5
8
8
5
4) ( Mack – SP ) A figura mostra os gráficos de y = x2
e y = – x2 + P. A distância do ponto A até o ponto
B é:
y
a) 2 5
6
2
d) 3 6
B
x
0
e) 5 2
1) B
2) B
3) A
4) C
7) E
8) A
9) A
10) B
13) B(7, 3); C(3, 5); G(
17) A
22) P(
25) D
26) C
13
, 0)
3
5) E
6) D
11) E
11
, 3)
3
18) B
21) E
1) ( MACK – SP ) A equação da reta que passa pelos
pontos A( 3, 1 ) e B( – 2, 0 ) é:
a) – 5y + x – 2 = 0
b) 5y – x – 2 = 0
c) – x – 5y + 2 = 0
d) – 5y – x – 2 = 0
2) (UCS – RS) A figura contém a representação
y
gráfica da reta:
a) 2x – 3y + 6 = 0
4
b) 2x + 3y – 6 = 0
c) 3x – 2y + 6 = 0
2
d) 2x – 3y – 2 = 0
3
x
–2
GABARITO
16) A
EXERCÍCIO 2
3) ( MACK – SP ) A equação da reta r é dada por:
a) y – 2x – 2 = 0
y
r
b) y – x – 2 = 0
c) y + 2x + 2 = 0
x
d) y – 2x – 2 = 0
–1
e) y – 2x + 2 = 0
A
b) 4 5
c)
HAMILTON E ALEX
19) A
23) B
14) B
12) C
15) D
20) B(11/3, 0)
24)C
4) ( PUC – SP ) Na figura a seguir tem-se
representada, em um sistema de eixos cartesianos
ortogonais, a rota de uma aeronave, de uma cidade
M a uma cidade N, passando sobre as pequenas
cidades A e B.
Se os quatro pontos pertencem à reta de
equação 4x – 3y + 1200 = 0, a distância entre as
cidades A e B, em quilômetros, é de
aproximadamente:
A) 50
B) 500
C) 800
D) 5000
E) 8000
Extras
1) B
2) C
3) B
4) A
5) (UFES) O valor de K para que a equação Kx
– y – 3K + 6 = 0 represente a reta que passa pelo
ponto P(5, 0) é:
a) 3
b) – 9
c) 9
d) –3
e) – 6
181
CURSO DE MATEMÁTICA
6) (PUC – SP) A equação geral da reta pelo ponto
P( –3, 2 ) e coeficiente angular m é:
a) mx + y + 3m = 0
b) mx – y + 2 + 3m = 0
c) x + my + 2 = 0
d) x – my + 3m = 0
7) ( UFRN ) O comandante de um barco resolveu
acompanhar a procissão fluvial do Círio – 2002,
fazendo o percurso em linha reta. Para tanto, fez
uso do sistema de eixos cartesianos para melhor
orientação. O barco seguiu a direção que forma 45º
com o sentido positivo do eixo x, passando pelo
ponto de coordenadas (3, 5). Este trajeto ficou bem
definido através da equação:
A) y = 2x – 1
B) y = – 3x + 14
C) y = x + 2
D) y = – x + 8
E) y = 3x – 4
8) ( UnB )
3y 5
2
5x 5
a) 3/5
b) 1
c) 3
d) 5
e) 10/3
O
Coeficiente
angular
da
reta
é:
9) ( UnB ) A reta que passa pelos pontos ( 1, 3 )
e ( 5, –1 ) intercepta o eixo y no ponto:
a) (0, 1)
b) (0, 2)
c) (0, 3)
d) (0, 4)
e) (0, 5)
10) ( UFRN ) Em termologia existem várias escalas
termométricas, isto é, escalas nas quais se
pode indicar a temperatura de um corpo ou
ambiente. Às vezes é necessário converter as
unidades indicadas nessas várias escalas. Sendo
C os valores das temperaturas dadas em graus
Celsius e F os valores das temperaturas dadas
em graus Fahrenheit. Sabendo que o ponto de
fusão da água é 0ºC ou 32ºF sendo representado
pelo ponto A(0, 32) e o ponto de ebulição é 100ºC
ou 212ºF sendo representado pelo ponto B(100,
212), encontre a equação de conversão de
unidades Fahrenheit e Celsius de temperatura, ou
seja, a equação da reta que passa pelos pontos A
e B.
HAMILTON E ALEX
A)
B)
C)
D)
E)
9C – 5F + 160 = 0
5C – 9F + 160 = 0
9C – 9F – 160 = 0
5C – 9F – 160 = 0
5C + 9F – 160 = 0
11) ( Unimontes – PAES ) Duas formigas, F1e F2,
deslocam-se, no plano cartesiano, sobre as curvas
de equações y = 3x – 2 e y = x2 – 2x + 4,
respectivamente. Sabendo-se que essas formigas
se encontram em dois pontos dessas curvas, é
correto afirmar que esses pontos são
a) ( 2, 4 ) e ( 3, 4 )
b) ( 4, 2 ) e ( 3, 7 )
c) ( 2, 4 ) e ( 3, 7 )
d) ( 4, 2 ) e ( 7, 3 )
12) (UFRGS) As retas r e s da figura interceptam-se
no ponto de ordenada:
y
r
a) 3/2
s
3
b) 5/3
c) 7/4
1
d) 9/5
1
–
2
e) 11/6
x
13) ( UFBA ) Na figura, a distância de P ao eixo das
y
ordenadas é:
a) 1,5
6
b) 2,5
P
c) 3,5
d) 4
x
e) 5
1
6
–1
14) ( FMJ – SP ) Na figura, as retas r e s
interceptam-se no ponto A, sendo os pontos B e
C as interseções da reta t com os semi-eixos OY
e OX, respectivamente. Encontre o valor da área do
r
y
triângulo ABC.
s
A
a) 1
b) 1,5
c) 2
B
1
d) 2,5
C
e) 3
x
–2
1
–2
t
15) ( Esam – RN ) A equação da reta que tem
coeficientes angular e linear, respectivamente,
2
iguais a
e –1 é:
3
a) x + 3y – 5 = 0
b) 2x – 3y – 3 = 0
182
CURSO DE MATEMÁTICA
c) 2x – 3y + 3 = 0
2
d) y = – x +
3
2
e) y = x
3
16) ( ESPM ) Até o ano de 2000, a inflação num
certo país manteve-se em 4% ao ano,
aproximadamente. A partir daí sofreu aumentos
sucessivos de 2% ao ano, até 2002, declinando
novamente em 2003, conforme mostra o gráfico
abaixo. Segundo previsões otimistas de que
esse declínio se manterá constante pelos
próximos anos, pode-se esperar que a inflação volte
ao patamar de 4% no ano de:
A) 2008
B) 2009
C) 2011
D) 2012
E) 2010
17) ( UCB ) São dadas as retas r: 2x – 4y – 5 = 0, s:
– x + 2y – 3 = 0 e t:4x + 2y – 1 = 0, é correto
afirmar que :
a) r // s e s // t
b) r // s e s t
c) s // t e r s
d) r s e s t
e) r // t e r s
18) ( PAES 2006 / Unimontes ) Ao traçar o mapa do
bairro da escola Delta, os alunos da 3ª série do
ensino médio nomearam as ruas com equações,
conforme suas posições. Qual a posição das ruas
representadas pelas equações r1 e r2, sendo r1:
3x + 2y – 1 = 0 e r2: 2x + 3y + 4 = 0 ?
a) Concorrentes
b) Paralelas
c) Reversas
d) coincidentes
19) ( UFRGS ) Dada a reta ( r ) = 2x – y + 1 = 0, a
equação da reta paralela a r pelo ponto P(1, 1)
será:
a) 2x – y = 0
b) 2x – y + 2 = 0
c) 2x + y + 1 = 0
d) 2x + y – 1 = 0
e) 2x – y – 1 = 0
HAMILTON E ALEX
20) ( FEI – SP ) A equação da reta que passa pelo
ponto ( 1, 2 ) e é perpendicular a reta 3x – 2y + 2 =
0 é:
a) 2x – 3y + 5 = 0
b) 2x – 3y – 5 = 0
c) 2x – 3y – 4 = 0
d) 2x – 3y + 4 = 0
e) 2x + 3y – 8 = 0
21) ( Fuvest – SP ) No Plano cartesiano, são dados
os pontos A( –1, 2 ), B( 1, 3 ) e C( 2, –1).
Determine a equação da reta que passa por C e é
perpendicular a AB.
a) 2x + y – 3 = 0
b) 2x – y – 3 = 0
c) 2x – y – 7 = 0
d) x + 2y – 3 = 0
e) x – 2y – 3 = 0
22) ( MACK – SP ) A reta r, determinada por A(2, –5)
e B(3, k), tem coeficiente angular 2k. A equação
da reta s paralela a r e que passa pela origem é:
a) 10x + y = 0
b) x – 10y = 0
c)10x – y – 25 = 0
d) y = 10x
e) y = x
23) ( UFES ) A equação da reta que passa pelo ponto
de intersecção das retas x + y – 1 = 0 e 2x – y =
0 e é paralela à bissetriz dos quadrantes ímpares
é:
a) 3x – 3y – 3 = 0
b) 3x – 3y + 1 = 0
c) 3x – 3y – 1 = 0
d) 3x + 3y + 1 = 0
e) 3x – 3y + 3 = 0
24) ( PUC – RS ) Os pontos (2, 3) e (6, 7) são os
extremos da diagonal de um quadrado. A reta
suporte da outra diagonal é:
a) x – y + 9 = 0
b) x + y + 9 = 0
c) x – y – 9 = 0
d) x + y – 9 = 0
e) x – y + 1 = 0
25) ( Fuvest – SP ) Em relação a um sistema cartesiano
ortogonal, são dados os pontos A(3, 0) e B(1, 2). A
mediatriz do segmento AB é o conjunto dos pontos
P(x, y) cujas coordenadas satisfazem a equação:
a) x + y = 3
183
CURSO DE MATEMÁTICA
b)
c)
d)
e)
HAMILTON E ALEX
DESAFIO
x+y=0
x–y=2
x+y=2
x–y=1
1) ( Unimontes – PAES / 2007 ) Na figura abaixo,
temos esboço do gráfico da função logarítmica y
=logax e da reta r.
y
26) ( Unesp – 2001 ) Dada a reta r de equação 4x +
2y + 5 = 0 e o ponto P = (2, –1), determine :
a) O coeficiente angular de r ;
r
y =loga x
1
2
B
A
1
C
x
5
3
Se a inclinação da reta
b) A equação da reta s que é perpendicular a r
e passa pelo ponto P.
r é
7
, a medida do
10
8
e B está entre A e C, então
21
o valor de “a” é:
a) 2
segmento AB é
b)
2
25
c)
9
d) 4
27) ( FEI – SP ) No gráfico abaixo, sabe-se que t r e
t // s. Determine a equação da reta s e a equação
da reta t.
y
GABARITO
1) B 2) A 3) C 4) B 5) D 6) B 7) C 8) E 9) D
10) A 11) C 12) D 13) C 14) B 15) B 16) E
t
s
17) B 18) A 19) E 20) E 21) A 22) D 23) B
4
24) D
x
6
25) E
26) a) m = – 2; b) x – 2y – 4 = 0
r
27) (s) 3x – 2y = 18 e (t) 3x – 2y = 0
28) D
Desafios
1) D
28) ( UFMG – 99 ) Observe a figura.
Nessa figura, ABCD é um paralelogramo, as
coordenadas do ponto C são (6, 10) e os lados AB e
AD estão contidos, respectivamente, nas retas de
x
equações y 14 e y = 4x – 2 .
2
Nesse caso, as coordenadas do ponto B são:
a) (10, 19)
35
b) (7,
)
2
37
c)(9,
)
2
d) (8, 18
y
B
A
C
D
x
184
CURSO DE MATEMÁTICA
EXERCÍCIO 3
1) ( Unimontes – 2005 ) Entre as regiões assinaladas nos
gráficos abaixo, marque a que melhor representa a
y4
solução do sistema de inequações
x3
3x 4 y 37
a)
7
x≥0
x≥0
x≥0
x≥0
x≤0
;
;
;
;
;
x – 2y + 3 ≥ 0
x – 2y + 3 ≤ 0
x + 2y – 3 ≤ 0
x – 2y + 3 ≤ 0
x – 2y + 3 ≥ 0
;
;
;
;
;
2x + 3y ≥ 12
2x + 3y ≤ 12
2x – 3y ≤ 12
2x – 3y ≥ 12
2x + 3y ≤ 12
y
B
4
y
A
7
4
r
C
1
–1
3
D
5 6
x
s
4
3
c)
a)
b)
c)
d)
e)
2
b)
y
HAMILTON E ALEX
7
x
3
d)
y
7
4
4
7
x
x
GABARITO
1) C
y
7
3
7
3
7
2) A
3) D
4) B
x
2) ( PUC – SP ) O semi-plano hachurado é o conjunto
dos pontos ( x, y ) tais que :
y
a) x ≥ 2y – 2
b) x ≥ – 2y – 2
c) y ≤ x + 2
1
d) x ≤ 2y + 2
x
e) y ≥ + 1
–2
x
2
3) A região sombreada no gráfico abaixo pode ser
representada pelo conjunto de inequações :
a) y 0 ; x 0 ; x 4 ; 3x + 2y 18
b) y 0 ; x 0 ; x 4 ; 3x + 2y 18
c) y 0 ; 2x 3x ; 3x + 2y 18
d) y 0 ; x 0 ; x 4 ; 3x + 2y 18
e) y 0 ; x 0 ; x 4 ; 3x + 5y 18
y
(4, 3)
0
4
6
x
4) ( FCMSC – SP ) Considere os pontos A, B, C e D
que definem as retas r e s, conforme a figura.
Assinale a alternativa cujo conjunto de
desigualdades descreve a região indicada :
185
CURSO DE MATEMÁTICA
EXERCÍCIO 4
1) ( UFPA ) Qual é a distância da origem do sistema
de coordenadas à reta y = – x + 2 ?
a) 1
b)
2
c)
a)
b)
3
HAMILTON E ALEX
6) ( Mack – SP ) A equação da bissetriz de um dos
ângulos formados pelas retas r: x – y + 2 = 0 e
s: x + y – 2 = 0 é :
a) x = y
b) x = – y
c) x = 2
d) y = 2
e) y = 0
2
3
7) ( PUC – SP ) As equações das retas que contêm os
2) ( Cesgranrio ) O ponto A(–1, –2) é um vértice de
um triângulo eqüilátero ABC, cujo lado BC está
sobre a reta de equação x + 2y – 5 = 0. Determine
a medida h da altura desse triângulo.
3) ( Fuvest – SP ) Seja r a reta que passa pelo ponto
P( 3, 2 ) e é perpendicular à reta s, de equação y
= – x+ 1. Qual é a distância entre o ponto A( 3, 0 )
e a reta r ?
4) ( Mack – SP ) A equação da reta paralela a y = x ,
com distância 2 do ponto P( 1, 2 ) e que passa
pelo 2º quadrante é :
a) x – y + 3 = 0
b) x – y – 1 = 0
c) x – y – 2 = 0
d) x – y + 1 = 0
e) x – y + 2 = 0
5) ( Ufac ) A distância entre as retas paralelas r e s
representadas no gráfico é :
lados de um triângulo ABC são AB :x + y – 5 = 0,
BC :x + 7y – 7 = 0 e CA : 7x + y + 14 = 0.
A equação da bissetriz do ângulo interno em B é :
a) 3x + 6y – 4 = 0
b) 3x + 6y – 10 = 0
c) 3x + 6y – 16 = 0
d) 3x + 6y – 18 = 0
e) 3x + 6y – 20 = 0
8) ( UFPR ) A distância entre as retas paralelas 4x –
3y – 4 = 0 e 4x – 3y – 14 = 0 é:
a) 2
b) 4
c) 5
d) 10
e) 18
9) ( Fuvest – SP ) Calcule a distância entre a retar1,
de equação 3y = 4x – 2, e a reta r2, de equação
3y = 4x + 8, sabendo que r1 // r2.
10) A área de um quadrado de lado AB na reta r: x +
y + 1 = 0 e lado CD na reta s: x + y + 3 = 0 é :
a) 2
b) 3
c) 4
d) 5
e) 6
y
r
s
8
GABARITO
–6
1) B
2) h = 2 5
6) D
7) C
3)
2
4) A
5) 5,6
x
7
8) A
9) 2 u.c
10) 2 u.A
EXERCÍCIO 5
186
CURSO DE MATEMÁTICA
1) Faça
a
representação
geométrica
circunferências cujas equações são:
a) ( x – 1 )2 + ( y + 4 )2 = 1
b)
HAMILTON E ALEX
das
( x + 1 ) 2 + ( y – 3 )2 = 9
a)
b)
c)
d)
e)
7)
–14 e 20
–20 e 14
8e2
–7 e 1
7 e –1
( UFMG ) Determine a equação da circunferência
na qual os pontos A(2, 3 ) e B(0,
diametralmente opostos.
2
3 ) são
2
c) x + ( y – 2 ) = 4
8) ( Mack – SP ) Determine o centro e o raio da
circunferência x2 + y2 – 6x – 16 = 0 .
2) ( Unifor – CE ) O centro e o raio de uma
2
2
circunferência de equação (x – 2) + (y – 3) = 4
são, respectivamente:
a) ( 4, 9 ) e 2
b) (–2, –3 ) e 2
c) ( 2, 3 ) e 4
d) (–2, –3 ) e 4
e) ( 2, 3 ) e 2
3) ( UFBA ) Sendo M(–5, 0) e N(1, 0), a equação da
circunferência abaixo é:
y
a) (x + 2)2 + y2 = 9
2
2
b) (x – 2) + y = 9
c) x + (y – 2)2 = 9
d) (x – 2)2 + y2 = 4
x
M
N
C
e) x2 + y2 = 4
2
4) ( PUC – SP ) O ponto da circunferência (x – 2) + (y
2
+ 4) = 4 que tem ordenada máxima é:
a) (2, – 4)
b) (2, – 2)
c) (2, – 6)
d) (– 4, 2)
e) (– 4, 4)
5) ( Cesgranrio – RJ ) Uma equação da circunferência
de centro (– 3, 4) e que tangencia o eixo x é:
2
2
a) ( x – 3 ) + ( y – 4 ) = 16
2
2
b) ( x – 3 ) + ( y – 4 ) = 9
2
c) ( x + 3 ) + ( y + 4 )2 = 16
2
2
d) ( x + 3 ) + ( y – 4 ) = 9
2
2
e) ( x + 3 ) + ( y – 4 ) = 16
6) ( PUC – RS ) O ponto P(–3, b) pertence à
circunferência de centro C(0, 3) e raio r = 5.
Quais os valores de b ?
9) ( Fuvest – SP ) O segmento AB é diâmetro da
circunferência de equação x2 + y2 – 10y = 0. Se A
é o ponto (3, 1), então B é o ponto:
a) (– 3, 9)
b) (3, 9)
c) (0, 10)
d) (– 3, 1)
e) (1, 3)
10) ( UFPA ) O raio da circunferência x2 + y2 –
2x = 3 é:
a) 2
d) 3
b) 3
e) 4
c) 2
11) ( FEI – SP ) Qual é o centro e o raio da
circunferência de equação x2 + y2 = 2( x – y ) + 1
?
12) ( OSEC – SP ) Qual é a equação da
circunferência que passa pela origem e tem o
ponto C( – 1, – 5 ) como centro ?
a) x2 + y2 + 2x + 10y + 2 = 0
b) x2 + y2 – 2x – 10y = 0
c) x2 + y2 – 26 = 0
187
CURSO DE MATEMÁTICA
HAMILTON E ALEX
d) x2 + y2 + 2x + 10y = 0
e) n.d.a
13) ( FGV – SP ) Dado o ponto P(5, 4) e a
2
2
circunferência de equação x + y – 2x – 2y – 1 = 0.
A equação da circunferência concêntrica com a
circunferência dada que passa por P é:
a) x2 + y2 – 2x – 2y – 20 = 0
2
2
b) x + y – 2x – 2y – 21 = 0
2
2
c) x + y – 2x – 2y – 22 = 0
2
2
d) x + y – 2x – 2y – 23 = 0
2
e) x + y2 – 2x – 2y – 24 = 0
19) ( Unimontes – 2005 ) Sejam os conjuntos A ={(x,
y) IR × IR | x2 + y2 ≥ 1} e B ={(x, y) IR × IR | (x
−1)2 + y2 < 1}. A região hachurada, no plano
cartesiano, que melhor representa A∩B é :
y
y
a)
b)
1
–1
1
0
1
2
x
–1
–1
14) ( UECE ) A distância do ponto
P(–3, 8) à
2
2
circunferência x + y – 10x – 4y + 13 = 0 está
compreendida entre:
a) 7 e 9
b) 5 e 7
c) 3 e 5
d) 1 e 3
15) ( UFPA ) Qual das equações abaixo é equação de
uma circunferência ?
a) x2 + y2 + 1 = 0
b) x2 + y2 + 2x + 2y + 4 = 0
c) x2 + y2 + 2xy + 2x + 4y = 64
d) x2 + y2 + 2x – 4y = – 4
e) x2 +2xy + y2 = 32
16) ( UFPA ) O maior valor inteiro de P para que a
equação x2 + y2 – 6x + 4y + P = 0 represente uma
circunferência é :
a) 8
b) 10
c) 11
d) 12
e) 15
2
2
0
2
1
2
x
–1
y
y
c)
d)
1
1
–1
1
0
1
2
–1
x
–1
0
x
–1
20) ( Unimontes – 2004 ) O esboço que melhor
representa a região do plano complexo dada por 1
≤ |z −i | < 2, onde z = x + y i, com x e y em R, é
b)
a)
i
i
d)
c)
i
i
17) ( UFU – MG ) A condição para que x + y – 6x +
4y + 17 – m2 = 0 represente uma circunferência é:
a) m – 2 ou m 2
b) m < – 2 ou m > 2
c) – 2 < m < 2
d) – 2 ≤ m ≤ 2
e) A equação não pode representar uma
circunferência
21) ( PUC – Campinas ) Sejam o ponto P(–3, 0), a reta
r de equação y = x + 6 e a circunferência C de
equação x2 + y2 – 4y = 0. É verdade que:
a) P pertence ao interior de C
b) P pertence a r
c) r e C não têm pontos em comuns
d) r e C interceptam-se em um único ponto
e) r e C interceptam-se em dois pontos
18) Represente no plano cartesiano a solução da
inequação x2 + y2 – 6x + 5 < 0.
22) ( UGF – RJ ) Qual deve ser o valor de K de modo
que o ponto P( 1, 0 ) pertença ao interior da
circunferência cuja equação é x2 + y2 – 2x – 2y – k
=0 ?
188
CURSO DE MATEMÁTICA
a)
b)
c)
d)
e)
K=–2
K>–1
K<1
K>3
K=5
23) ( F. Eng. Lorena ) O ponto P( 2 , 1 ), em relação à
circunferência 4x2 + 4y2 = 9, é:
a) Externo
b) Pertencente
c) Interno
d) Centro
e) N.d.a
24) ( FEI – SP ) A reta x + y = 2 , em relação à
2
2
circunferência x + y = 1, é:
a) Secante sem possuir o centro
b) Secante passando pelo centro
c) Tangente
d) Exterior
e) nda
25) ( Uece – CE ) A equação da reta tangente à
circunferência x2 + y2 – 6x + 10y + 29 = 0 no ponto
( 2, – 3 ) é:
a) x – 3y – 11 = 0
b) 2x + y – 1 = 0
c) x – 2y – 8 = 0
d) x + y + 1 = 0
e) nra.
26) ( Mackenzie – SP ) A curva x2 + y2 – 2x – 2y + 1 =
0 tem um único ponto comum com a reta x + y = k,
k R. A soma dos possíveis valores de k é:
a) 4
b) – 2
c) – 4
d) 2
e) 0
27) ( UFPA ) As circunferências x2 + y2 – 4x + 3 = 0 e
2
2
x + y – 8x + 12 = 0, são:
a) exteriores
b) tangentes exteriores
c) tangentes interiores
d) concêntricas
e) secantes
2
2
28) ( Cesgranrio – RJ ) As circunferências x + y + 8x
+ 6y = 0 e x2 + y2 – 16x – 12y = 0, são:
a) exteriores
b) secantes
c) tangentes internamente
d) tangentes externamente
e) concêntricas
HAMILTON E ALEX
29) Na figura abaixo, a reta r intercepta os eixos
coordenados nos pontos ( 2, 0 ) e ( 0, 4 ).
Encontre a equação da circunferência indicada
sabendo que ela possui centro na origem e que é
tangente à reta r no ponto P.
y
4
P
2
x
r
EXERCÍCIOS EXTRAS
1) ( FGV – SP ) A equação da circunferência que
passa pelos pontos (3, 3) e (–1, 3) e cujo centro
está no eixo das abscissas é:
a) x2 + y2 = 1
b) x2 + y2 + 4x = 46
c) (x – 1)2 + y2 = 25
2
2
d) x + y – 2y = 10
2
e) x + y2 – 2x = 12
2) ( UFBA ) A intersecção da reta y + x – 1 = 0 com a
circunferência x2 + y2 + 2x+ 2y – 3 = 0, determina
uma corda cujo comprimento é:
a) 3 2
b) 2 3
c) 2 2
d)
2
3) ( UFJF – MG ) A corda determinada pelo eixo das
abscissas sobre a circunferência de equação x2 +
y2 – 5x – 7y + 6 = 0 tem como medida:
a) 1 u.c
b) 3 u.c
c) 5 u.c
d) 9 u.c
e) 18 u.c
4) ( Unifor – CE ) Uma circunferência é tangente
aos eixos coordenados e à reta de equação x
= 3. Se o centro de pertence ao quarto
quadrante, a equação de é :
2
2
a) 4 x + 4 y – 12x – 12y – 9 = 0
2
b) 4 x + 4 y2 + 12x – 12y – 9 = 0
2
2
c) 4 x + 4 y – 12x + 12y – 9 = 0
2
2
d) 4 x + 4 y + 12x – 12y + 9 = 0
2
e) 4 x + 4 y2 – 12x + 12y + 9 = 0
189
CURSO DE MATEMÁTICA
5) (ITA – SP)
Num sistema de coordenadas
cartesianas ortogonais, considere a circunferência
de equação 2x2 + 2y2 – 11x + 6y – 8 = 0. Qual é a
equação da circunferência tangente ao eixo das
abscissas e com o mesmo centro da circunferência
dada ?
HAMILTON E ALEX
Equação da Circunferência
y
y
1) a)
1
b)
x
3
–4
x
–1
y
c)
2
x
2) E
3) A
2
4) B
5) E
2
7) ( x – 1 ) + y = 4
6) ( Fuvest – SP ) Qual a equação da circunferência
tangente ao eixo dos x na origem e que passa pelo
ponto (3, 4) ?
9) A
8) C( 3, 0 ) e R = 5
11) C( 1, – 1 ) e R =
10) C
12) D
6) E
13) D
14) B
15) D
3
16) D
17) B
y
18)
19) B
1
7) ( Cesgranrio – RJ ) Faça o gráfico, no plano
complexo, do conjunto dos pontos z = x + yi, tais
que | z | ≤ 1 e y 0 .
5
20) A
x
21) C
22) B
23) A
24) C
25) C
26) A
27) E
28) D
29) 5x 2 + 5y2 – 16 = 0
Exercícios Extras
1) E
2) D
3) A
2
4) E
2
11
3
9
5) x y
4
2
4
8) ( Mack – SP ) Encontre as equações das retas que
passam pelo ponto P(2, 3) e que são tangentes à
circunferência de centro C( 0, 0 ) e raio 2.
2
2
6) 4x + 4y – 25y = 0
1
7)
–1
1
8) 5x – 12y + 26 = 0
e
x–2=0
QUESTÕES DO ENEM
GABARITO
01. (ENEM-2011) Um bairro de uma cidade foi
planejado em uma região plana, com ruas paralelas
190
CURSO DE MATEMÁTICA
HAMILTON E ALEX
e perpendiculares, delimitando quadras de mesmo
tamanho. No plano de coordenadas cartesianas
seguinte,
esse
bairro localiza-se no segundo
quadrante, e as distâncias nos eixos são dadas em
quilômetros.
A reta de equação y = x + 4 representa o planejamento
do percurso da linha do metrô subterrâneo que
atravessará o bairro e outras regiões da cidade. No
ponto P = (-5, 5), localiza-se um hospital público. A
comunidade solicitou ao comitê de planejamento que
fosse prevista uma estação do metrô de modo que sua
distância ao hospital, medida em linha reta, não fosse
maior que 5 km.
Atendendo ao pedido da comunidade, o comitê
argumentou
corretamente
que
isso
seria
automaticamente satisfeito, pois já estava prevista a
construção de uma estação no ponto
A) (–5, 0).
B) (–3, 1).
C) (–2, 1).
D) (0, 4).
E) (2, 6).
02. (ENEM-2013)Durante uma aula de Matemática, o
professor sugere aos alunos que seja fixado um sistema
de coordenadas cartesianas (x, y) e representa na lousa
a descrição de cinco conjuntos algébricos, I, II, III, IV e
V, como se segue:
2
2
I — é a circunferência de equação x + y = 9;
II — é a parábola de equação y = − x2 − 1, com x
variando de −1 a 1;
III — é o quadrado formado pelos vértices (−2, 1), (−1,
1), (−1, 2) e (−2, 2);
IV — é o quadrado formado pelos vértices (1, 1), (2,1),
(2, 2) e (1, 2);
V — é o ponto (0, 0).
A seguir, o professor representa corretamente os cinco
conjuntos sobre uma mesma malha quadriculada,
composta de quadrados com lados medindo uma
unidade de comprimento, cada, obtendo uma figura.
Qual destas figuras foi desenhada pelo professor?
191
CURSO DE MATEMÁTICA
HAMILTON E ALEX
BINÔMIO DE NEWTON
01. Encontre o(s) valor(es) de
abaixo.
11 11
a)
x 1 2x 3
x
em cada equação
b)
8 8 9
3 4 x
c)
x x x
x
...
2046
1 2 3
x 1
n
02. Se representa um número binomial, encontre o
p
valor das operações abaixo.
8 8 8 8 8 8 8 8
a) =
0 1 2 3 4 6 7 8
03. (ENEM-2013) Nos últimos anos, a televisão tem
passado por uma verdadeira revolução, em termos de
qualidade de imagem, som e interatividade com o
telespectador. Essa transformação se deve à conversão
do sinal analógico para o sinal digital. Entretanto, muitas
cidades ainda não contam com essa nova tecnologia.
Buscando levar esses benefícios a três cidades, uma
emissora de televisão pretende construir uma nova torre
de transmissão, que envie sinal às antenas A, B e C, já
existentes nessas cidades. As localizações das antenas
estão representadas no plano cartesiano:
A torre deve estar situada em um local equidistante das
três antenas.
O local adequado para a construção dessa torre
corresponde ao ponto de coordenadas
A) (65 ; 35).
B) (53 ; 30).
C) (45 ; 35).
D) (50 ; 20).
E) (50 ; 30).
7 7 7 7
7 7
b) ... =
0 1 2 3
6 7
6 6 6 6
c) =
2 3 3 4
2 3 4 5 6
28 29 30
d) ... =
2 2 2 2 2
2 2 2
8
e)
9
p
p 1
GABARITO
01. B
02. E
03. E
20
f)
n
4
n 4
7
03. ( UFRN ) A expressão +
3
a:
7
– 35 é igual
4
a) 30
b) 35
c) 40
d) 45
192
CURSO DE MATEMÁTICA
e) 50
n
n
04. ( UFPR ) O valor de n de modo que + +
0
1
n
n
+ . . . + = 1024é :
2
n
a)
b)
c)
d)
e)
5
8
10
11
12
a) x = 2
b) x = 3
c) x = 1
d) x = 0
e) x = 4
e
e
e
e
e
x=6
x=5
x=7
x=8
x=4
09. ( UFPR ) Os números reais x e y são tais que:
5
5
5
5
x 5 + x4y + x3y2 + x2y3 +
1
2
3
4
x
xy4 + y5 = 243. O quociente
vale :
y
x–y=1
05. ( PUC – RS ) A soma dos valores que m pode
17 17
=
é:
m 1 2m 6
assumir na igualdade
a) 1
b) 8
c) 13
d) 15
e) 17
n
06. ( FGV – SP ) O símbolo , { n, p } N e p n
p
representa um número binomial. Os valores de p de
8 8 9
modo que + = são:
3 4 p
a)
b)
c)
d)
e)
HAMILTON E ALEX
P=4
P = 4 ou p = 6
P = 4 ou p = 5
P = 3 ou p = 5
P=5
07. ( PUC – RJ ) A soma alternada
10 10 10 10
10
... de coeficientes
0 1 2 3
10
binomiais vale:
10
a) 2
b) 20.
c) 10.
d) 10!.
e) 0.
08. ( UFSM ) As
6 6 7 8
são:
3 4 5 x
soluções
da
a)
b)
c)
d)
e)
e
1
1/2
3
2
1/3
m 1
m
10 e
55 , então
10. ( PUC – SP ) Se
p 1
m p
m 1
é igual a:
o valor de
p
a) 40
b) 45
c) 50
d) 55
e) 60
11. (PUC) Um colecionador possui determinado número
de selos raros e diferentes entre si. Agrupando-os 4
a 4, obteve o mesmo número de grupos que se os
juntasse 6 a 6. Quantos, pois são os selos raros que o
colecionador possuía?
A) 10.
B) 16.
C) 36.
D) 20.
E) 45.
12. ( UEL – PR ) Para qualquer valor natural de n,
o número de termos do desenvolvimento do
binômio ( x + a )n é:
A) n + 1.
B) n.
C) n – 1.
D) par.
E) ímpar.
equação
193
CURSO DE MATEMÁTICA
13. (CEFET) O 4º termo do desenvolvimento de ( x +2)
é:
A) 80x3
4
B) 80x
C) 40x5
D) 320x3
E) 160x3
HAMILTON E ALEX
6
–3
19. O coeficiente do termo em x
no desenvolvimento
6
1
de x é:
x
A) 1.
B) 6.
C) 10.
D) 15
E) inexistente.
14.( FEI – SP ) A soma de todos os coeficientes do
237
desenvolvimento de (14x – 13y)
é:
a) 0
b) 1
c) – 1
d) 331.237
e) 1.973.747
15. (UFV) A soma dos coeficientes do desenvolvimento
de (2x + 3y)m é 625. O valor de m é:
A) 5.
B) 6.
C)10.
D) 3.
E) 4.
16. Sabendo-se que a soma dos coeficientes no
desenvolvimento do binômio (a + b)m é igual a 256,
calcule (m/2).
17. ( UFPI ) Se a e b são números reais tais que (a +
b)10 = 1024 e se o 6º termo do desenvolvimento
binomial é igual a 252, então:
a) a = 1/2 e b = 3/2
b) a = 3 e b = -1
c) a = 2/3 e b = 4/3
d) a = 1/3 e b = 5/3
e) a = 1 e b = 1
18. ( UEL – PR ) Se um dos termos do desenvolvimento
do binômio (x + a)5, com a IR, é 80x2, então o valor
de a é
a) 6
b) 5
c) 4
d) 3
e) 2
20. ( EMF – PR ) Se o desenvolvimento de ( 2x + y )6
é ( 2x + y )6 = 64x6 + 192x5y + ax4y2 + ...+ bxy5 + y6,
então a razão a/b vale:
a) 5
b) 20
c) 2
d) 1
e) 10
21. (MACK) No desenvolvimento de ( 2x – y )5 . ( 2x + y
)5, a soma dos coeficientes numéricos vale:
a) 3
b) 9
c) 27
d) 81
e) 243
22. (FGV-SP) Sabendo-se que a soma dos coeficientes
do desenvolvimento de ( x + a )p é igual a 512, p
vale:
a) 8
b) 6
c) 9
d) 12
e) 15
23. (UFCE) O coeficiente de x15 no desenvolvimento
2
-3 15
de ( x + x ) é:
a) 455
b) 500
c) 555
d) 643
e) 545
24.
(UNESP)
O
termo
independente
de
x
no
6
1
desenvolvimento de x 2 é igual a:
x
a) 30
b) 15
c) 4
194
CURSO DE MATEMÁTICA
HAMILTON E ALEX
d) 0
e) 1
A) não existe.
B) é 1.
C) é 5.
D) é 1/5
25. (FGV) O sexto termo do desenvolvimento de
10
1
2x é:
x
a) 8064
b) 13440x2
c) 3360x-2
-2
d) 13440x
2
e) 8064x
GABARITO
6
26. ( UFES ) Qual é o termo central de ( x – 3 ) ?
a) – 540x3
b) – 3240x3
c) 3240x3
d) 540x3
4
e) 540x
1) a) x = 2 ou x = 5
2) a) 200
3) B
10) B
27. (MACK) No desenvolvimento de ( x + 3 )6, o número
de termos com coeficiente par é:
a) 3
b) 4
c) 5
d) 6
e) 2
16) 24
b) 0
4) C
11) A
17) E
b) x = 4 ou x = 5
c) 70
5) C
d) 4495
6) C
12) A
7) E
13) E
e) 510
8) B
14) B
c) x = 11
f) 20349
9) D
15) E
18) E
19) D
20) B
21) E
25) A
26) A
27) A
22) C
23) A
24) B
28) B
29) D
30) A
28. (PUC-SP) O desenvolvimento de ( y – 2 )7 possui :
a) 7 termos
b) 560 por coeficiente de y3
c) coeficiente negativo se o expoente de y for ímpar
d) coeficiente de y6 igual ao coeficiente de y
e) 6 termos
29. ( MACK ) O 4º termo do desenvolvimento de
(
6
5
10
a + b ) é 540. Se ( a + b ) = 2 então | a - b | vale:
a) -3
b) 3
c) 4
d) 2
e) 7
30.(UNIMONTES-PAES)
1
binômio x
x
No
desenvolvimento
do
15
, o termo independente de x
195
PROVA DO ENEM - 2015
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
PROVA DO ENEM APLICADA NAS UNIDADES PRISIONAIS E SOCIOEDUCATIVAS ( 2015 )
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
GABARITO - ENEM 2015
GABARITO - ENEM 2015 (UNIDADES PRISIONAIS)
221
