Definição de cônica

AIRTON LEANDRO DA SILVA
337302816067
JOÃO OSNILDO FERREIRA
342896816067
LEOMAR ZEFINO SOARES
278314216066
Definição de cônica.
Denomina-se cônica o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja razão
entre as distâncias a um ponto fixo F e a uma reta fixa "d" é igual a uma constante não
negativa “e”. O ponto fixo F é chamado de
foco, a reta fixa d de diretriz e a razão
constante ”e” de excentricidade da cônica.
- Se e = 1, a cônica é uma parábola.
- Se e < 1, a cônica é uma elipse.
- Se e > 1, a cônica é uma hipérbole.
Demonstração: Se e = 1, a
proposição acima é a própria definição da
parábola. Vamos considerar o caso em que e
> 0 e e≠1. Sem perda de generalidade
podemos considerar o foco F = (c, 0) e a diretriz como sendo a reta
d : x = . Assim, o conjunto dos pontos P = (x,y), tais que,
Pode ser calculado como:
Elevando ao quadrado e simplificando, obtemos:
Que ainda pode ser escrito como:
Comparando com a equação da elipse
E da hipérbole
Vemos que se 0 < e < 1, temos uma elipse e se e > 1, temos uma hipérbole. Observe,
também, que.
Exemplo de Gráficos das cônicas:
Relacionando os pontos da parábola a
seu foco e sua diretriz. Observemos o
ponto F e a reta I, diz-se que os mesmos
são o foco e a diretriz da parábola quando
se estabelece a relação PF=PQ.
Parábola, foco e diretriz.
Neste gráfico a distância focal
é 2e e F1P1 + F2P1 é constante para todos
os pontos do gráfico da elipse. Os
pontos S1 e S2 são os vértices da elipse,
enquanto que S3 e S4 são os pontos de
menor raio.
Os parâmetros de uma elipse.
Duas hipérboles sobrepostas no mesmo
gráfico, mostrando a alternância de
direções pelo ajuste dos valores dos seus
parâmetros.
Considerando a relação de simetria dos pontos em relação aos dois pontos,
podemos verificar que:
|F2P| - |F1P|= ±K
Note que, ao definirmos as distâncias como referência, devemos assegurar que
os seus valores sejam absolutos e depois estabelecer o sinal correto para a constante em
cada caso.
Quando estabelecemos os valores das constantes podemos fazer com que:
e2= a2 + b2
Esta relação pode ser facilmente visualizada observando-se o gráfico abaixo:
A hipérbole x2 – y2=1 com
parâmetros destacados,
mostrando a relação entre os
mesmos.
Observe que os
parâmetros: a, b e são as
distâncias origem-vértice,
vértice-assíntota e origem-foco,
respectivamente.
Elementos de uma Hipérbole
F1 e F2 → são os focos da hipérbole
O → é o centro da hipérbole
2c → distância focal
2a → medida do eixo real ou transverso
2b → medida do eixo imaginário
c/a → excentricidade
Existe uma relação entre a b e c → c2 =
a2 + b2·.
Equação reduzida da hipérbole
1º caso: Hipérbole com focos sobre o eixo x.·.
Fica claro que nesse caso os focos terão
coordenadas F1 (-c , 0) e F2( c , 0).
Assim, a equação reduzida da elipse com centro
na origem do plano cartesiano e focos sobre o
eixo x será:
2º caso: Hipérbole com focos sobre o eixo y.
Neste caso, os focos terão coordenadas F1
(0 , -c) e F2(0 , c).
Assim, a equação reduzida da elipse com centro
na origem do plano cartesiano e focos sobre o
eixo y será:
Elementos da Elipse:
F1 e F2 → são os focos
C → Centro da elipse
2c → distância focal
2a → medida do eixo maior
2b → medida do eixo menor
c/a → excentricidade
Há uma relação entre os valores a, b e c→ a2 =
b2+c2··.
Equação da Elipse.
1º caso: Elipse com focos sobre o eixo x.·.
Nesse caso, os focos têm coordenadas F1( - c , 0) e F2(c , 0). Logo, a equação reduzida
da elipse com centro na origem do sistema cartesiano e com focos sobre o eixo x será:
2º Caso: Elipse com focos sobre o eixo y.
Nesse caso, os focos apresentam coordenadas F1(0 , -c) e
F2(0 , c). Assim, a equação reduzida da elipse com centro
na origem do sistema cartesiano e com focos sobre o eixo
y será:
Elementos de uma parábola:
Os elementos da parábola são figuras geométricas mais simples que ela e que fazem
parte de sua definição e estão envolvidos em sua construção. São eles:
Foco
O ponto F da definição da parábola e da imagem anterior é chamado de foco e
determina essa figura.
Diretriz
A reta r, também presente na definição e na imagem anterior, é chamada de diretriz
da parábola. Essa reta é usada junto ao foco para a definição dessa figura.
A distância entre qualquer ponto da parábola e a sua diretriz é igual à distância entre
esse mesmo ponto da parábola e o seu foco.
Parâmetro
É a distância entre o foco e a diretriz. Esse cálculo pode ser feito por meio da distância
entre ponto e reta.
Vértice
O vértice da parábola é o ponto mais próximo de sua diretriz. Existe uma propriedade
que afirma o seguinte:
VF = p2
Em que VF é o segmento da reta que tem início no vértice da parábola e tem fim em
seu foco, e p é o parâmetro da parábola. Em outras palavras, o vértice de uma parábola
fica no meio do caminho entre seu foco e a diretriz.
Equações reduzidas da Parábola:
a. Com o eixo de simetria coincidente com o eixo dos x e o vértice na origem.
Seja P(x,y) e F(k,0) então y2 = 4kx
b. Com o eixo de simetria coincidente com o eixo dos y e o vértice na origem
Seja P(x,y) e F(0,k) então x2 = 4kx
c. Com o eixo de simetria horizontal e vértice num ponto (m,n).
Seja P(x,y) e F(m+k,n), então (y – n)2 = 4k(x – m)
d. Com eixo de simetria vertical e vértice num ponto (m,n)
Seja P(x, y) e F(m, n+k) então (x – m)2 = 4k (y – n)
Aplicações da Elipse:
A trajetória ao redor do Sol não é circular e sim elíptica (não considerando o
deslocamento do sistema solar). Foi Kepler (1571-1630) quem desenvolveu esta teoria.
No caso da Terra os semieixos são a = 153.493.000km e b = 153.454.000 km. Donde
podemos obter a excentricidade da órbita da Terra:
(quase uma circunferência)
O eixo maior apresenta dois pontos: o periélio (janeiro) e o afélio (julho), que
correspondem às distâncias mínimas e máxima da Terra ao Sol, respectivamente.
Ademais, no globo terrestre (geoide) o equador tem aproximadamente a forma de uma
circunferência e o meridiano de uma elipse.
Arcos em forma de sei elipse são muito empregados na construção de pontes de
concreto e de pedras (desde os antigos romanos)
Engenharia Civil: em Resistência dos Materiais é muito empregada a elipse de
inércia.
Engenharia Elétrica: conjuntos de elipses homo focais (elipses de mesmo foco) são
utilizadas na teoria de correntes elétricas estacionárias.
Engenharia Mecânica: são usadas engrenagens elípticas (excêntricos).
Sob uma abóboda elíptica os sons emitidos em um foco têm melhor audibilidade nos
pontos próximos ao outro foco, não obstante serem praticamente inaudíveis na região
intermediária aos dois focos.
O mais portentoso monumento arquitetônico da Roma antiga foi o Coliseu. A
planta baixa possuía a forma elíptica, cujo eixo maior tinha 188m e o menos 156m.
Começou a ser construído em 72 por Vespasiano e foi concluído em 82 por Tito. A
cobertura móvel, à altura de 85m, era sustentada por um sistema inédito de tirantes,
adicionada em caso de chuva para proteger seus 40.000 espectadores. Diante da tribuna
imperial, os garbosos gladiadores romanos desfilavam antes da luta e proferiam em alto
e bom som: “Ave, César, morituri te salutant” (Salve César, os que vão morrer te
saúdam).
Exemplo:
Uma aplicação óptica pode ser encontrada no dispositivo de iluminação dos dentistas.
Este consiste num espelho com a forma de um arco de elipse e numa lâmpada que se
coloca no foco mais próximo. A luz da lâmpada é concentrada através do espelho no
outro foco, que é ajustado pelo dentista para estar num ponto dentro da boca de seu
paciente.
Aplicações da parábola
A parábola apresenta várias aplicações, alguns exemplos são as antenas parabólicas,
faróis de veículos, fornos solares e em telescópios. Em particular, no caso dos fornos ou
coletores solares os raios de luz ao encontrarem um espelho parabólico convergem para
o foco do espelho, onde a temperatura pode chegar a 3.500°C e neste ponto é colocado
um dispositivo que irá utilizar a energia concentrada. Essa energia pode ser usada para
gerar eletricidade, derretimento de aço, fazer combustível de hidrogênio ou nano
materiais.
Referências Bibliográficas:
http://www.dmm.im.ufrj.br/projeto/rived/modulo_excentricidade/excen_teoria.html,
acesso em 30/09/2018.
https://pt.wikibooks.org/wiki/C%C3%A1lculo_(Volume_2)/C%C3%B4nicas, acesso
em 30/09/2018.
http://www.mat.uc.pt/~adsg/AM4conicas.pdf, acesso em 29/09/2018
PAIVA, Manoel. Matemática , volume 3. 2ª edição, Moderna. São Paulo, 2013.