gabarito - Walter Tadeu

COLÉGIO PEDRO II - UNIDADE SÃO CRISTÓVÃO III
1ª SÉRIE – MATEMÁTICA II – PROFº WALTER TADEU
www.professorwaltertadeu.mat.br
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS - GABARITO
1) Simplifique as expressões ao máximo.
a)
sen 2 x
senx. cos 2 x  sen 3 x
b)
cos x  cos xsen 2 x
cos 3 x  sen 2 x cos x
c)
tg 2 x  sen 2 x
sen 2 x. cos 2 x  sen 4 x
Solução. Utilizando a fatoração e relações trigonométricas, temos:
a)
sen 2 x
sen 2 x
sen 2 x


 senx .
senx. cos 2 x  sen 3 x senx cos 2 x  sen 2 x  senx1
b)
cos x  cos xsen2 x
cos x1  sen 2 x 
cos xcos 2 x  cos 3 x



 cos 2 x .
cos x1
cos x
cos 3 x  sen 2 x cos x cos xcos 2 x  sen 2 x 

c)

sen 2 x
sen 2 x  cos 2 x.sen 2 x sen 2 x 1  cos 2 x
2
 sen x
tg 2 x  sen 2 x
cos 2 x
cos 2 x
cos 2 x




2
2
4
2
2
2
2
sen x. cos x  sen x sen x cos x  sen x
sen x1
sen 2 x
2

2



.
sen x sen x
sen 4 x
1
sen 2 x
cos 2 x


.

 tg 2 x
sen 2 x
cos 2 x sen 2 x cos 2 x
2) (UFBA) As expressões E1 
1
1  tg 4 x
e E2 
são equivalentes. Justifique.
4
4
cos 4 x
cos x  sen x
Solução. Para a verificação, desenvolve-se E1 até que obter a igual em E2. Utilizando a fatoração, temos:
sen 4 x
cos 4 x  sen 4 x
1
1  tg 4 x
cos 4 x  sen 4 x
1
1
cos 4 x 
cos 4 x
E1 


.

 E2
4
4
4
4
4
4
4
4
4
cos x  sen x cos x  sen x cos x  sen x
cos x
cos x  sen x cos 4 x
3) Verifique as identidades trigonométricas.
a)
sen x. cos x  cos
sec x. tg x
2
sen 2 x
 senx
cos x.tgx
b)
2
7
2
x
c)
cot g 2 x
 sen 3 x. cos x
5
cos sec x.cos x
cot g x  1
senx
e)

cos sec x.cos x1  cos x cos x
2
sen 2 x
cos x
d)

3
5
2
1  cos x .tgx sen x

3

5
2
Solução. Utilizando a fatoração desenvolvemos o 1º membro até encontrar a expressão do 2º membro.
a)
sen 2 x
sen 2 x
sen 2 x


 senx
cos x.tgx cos x.senx
senx
cos x
sen x . cos x   sen x . cos x   sen x . cos x   sen x . cos x . cos
sec x . tg x   1 . sen x 
sen
 sen x 


2
b)
3
2
3
2
3
4
2
2
2
2
2
2


 cos x   cos x 
2
 cos 4 x 


cos 2 x
cot g 2 x
cos 2 x sen 5 x
sen 2 x


.
 sen 3 x. cos x
c)
cos sec 5 x .cos x   1 
sen 2 x cos x
.cos x 

5 
 sen x 


3
2
x
 cos 7 x
x
d)
sen 2 x

sen 2 x
sen 2 x
sen 2 x
cos x
cos x


 sen 2 x.

7
7
3 senx
senx
sen x
sen x sen 5 x
sen 2 x .
sen 6 x .
cos x
cos x
cos x
1  cos x .tgx 
2
3



cot g x  1
cos sec x 
1


cos sec x .cos x 1  cos x cos sec x .cos x sen x  cos sec x .cos x sen x  
2
2
5
e)

2
1

 1 
.cos x  sen 2 x

3 
sen
x




5
2
3
2
1
senx

 cos x  cos x


 senx 
4) (FUVEST) Na figura a seguir, a reta r passa pelo ponto T = (0,1) e é
paralela ao eixo OX. A semi-reta Ot forma um ângulo  com o semi-eixo
OX 0º    90º  e intercepta a circunferência trigonométrica e a reta r nos
pontos A e B, respectivamente. Marque a opção que calcula a área do
triângulo TAB, em função de  .
a)
1  sen
2. cos 
b)
1  sen
2.sen
c)
1  sen
2.tg
d)
1  sen
2. cot g
Solução. A fórmula da área do triângulo é dada por A 
e)
1  sen
2. sec 
base  altura
. Observe na figura a identificação
2
dos elementos da fórmula. O raio da circunferência vale 1. A altura vale a diferença entre o raio e o seno do
ângulo assinalado. Isto é, h  1  sen . A base é por definição a cotangente do ângulo. Substituindo na
 1 

  (1  sen )
(cot g )  (1  sen )  tg 
(1  sen )


fórmula, temos: A 
.
2
2
2.tg
5) (UA-AM) A expressão
1
 cos sec x.1  cos x  é igual a:
cos sec x.1  cos x 
a) 2senx
b) 2 cos x
d) 2tgx
c) 2 cos sec x
e) 2 sec x
Solução. Desenvolvendo e escrevendo a cossecante em função do seno, temos:
1  cos x   senx  1  cos x  
1
1
 cos sec x.1  cos x  

1  cos x 
1  cos x 
cos sec x.1  cos x 
senx
senx
senx
2
2
2
sen x  1  cos x 
sen x  1  2 cos x  cos 2 x
sen 2 x  1  2 cos x  cos 2 x




senx 1  cos x 
senx 1  cos x 
senx 1  cos x 





2  2 cos x
21  cos x 
2
 1 


 2.
  2 cos sec x
senx 1  cos x  senx 1  cos x  senx
 senx 
1  sen 2 x
6) (UF-PA) Qual das expressões abaixo é idêntica a
?
cot gx.senx
a) senx
b) cos x
c) tgx
Solução. Utilizando as relações trigonométricas, temos:
1  sen 2 x
cos 2 x
cos 2 x


 cos x
cot gx.senx  cos x 
cos x

.senx
 senx 
d) cos sec x
e) cot gx
7) (UA-AM) Para todo x  IR , tal que senx  cos x , a expressão
b) sen 2 x  cos 2 x
a) tgx
c) 1
sen 3 x  cos 3 x
é idêntica a:
senx  cos x
e) senx  cos x 
d) 1 senx. cos x

3
3
2
2
Solução. A fatoração a ser utilizada será do tipo: a  b  (a  b). a  ab  b

2


sen 3 x  cos 3 x senx  cos x  sen 2 x  senx cos x  cos 2 x

 sen 2 x  senx cos x  cos 2 x  1  senx cos x
senx  cos x
senx  cos x
8) (UFOP-MG) Se cos x 
a)
2n  1
b)
n  12
n 1
tg 2 x  1
, então
é igual a:
n
cot g 2 x  1
2n  1
n2
c)
n 1
n  12
d)
n  12
2n  1
e)
n  12
2n  1
Solução. Aplicando as relações trigonométricas e substituindo ao final, temos:
sen 2 x  cos 2 x  1
2
n 2  n 2  2n  1 2n  1

 n 1
2
2
 sen x  1  cos x  1  

i) 
 
n 1
n2
n2
 n 
cos x 
n

1
2n  1
2
2
2
tg x  1
sec x
1
sen x
2n  1 n 2
2n  1
2
cos
x
n



.sen x 


.

ii)
2
2
2
2
2
2
2
1
cot g x  1 cos sec x
cos x
cos x n  1
n
n  1 n  12
sen 2 x
n2
2
2
9) (UFRJ) Sejam O = (0,0) , P = (5,2) e P' (2,5) . Girando em torno de O, no sentido trigonométrico (anti-horário),
o segmento OP de certo ângulo q, o ponto P transforma-se no ponto P’. Determine cos q .
Solução. A figura ilustra a situação. Calculando as medidas, temos:
2
2
i) OP  OP'  2  5  29
2
2
ii) PP'  3  3  18
Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo OPP’, temos:
  
18  29  29  2 29 
. 29 cos q
2
2
2
PP'  OP  OP '  2 OP . OP ' cos q
18  58  229. cos q
18  58
 40
20
cos q 


 229  229 29
10) Mostre, exibindo um contra-exemplo, que a igualdade cos x  senx  2senx não é uma identidade.
Solução. Basta escolher arcos conhecidos ou qualquer outro de verificação imediata.
x

6



3 1
3 1
 
cos x  senx  cos  sen 
3 1

6
6
2 2
2

1

2

1


2senx  2sen  2   1

6
2
Conclusão. Se não valeu para este arco, não é uma identidade trigonométrica.