Trigonometria 1

PROFESSOR: Equipe
BANCO DE QUESTÕES - MATEMÁTICA - 2ª SÉRIE - ENSINO MÉDIO - PARTE 1
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TRIGONOMETRIA
01- Considere, na figura a seguir, uma circunferência trigonométrica de 1cm de raio, na qual se exibe um ângulo α e uma
medida A  OD, em que OD é a distância em cm do ponto O até o ponto D, ou, ainda, a medida do segmento
OD.
Sabe-se que a reta que contém o segmento OD tangencia a circunferência no ponto O.
 Com base nas informações apresentadas na figura, determine as medidas dos segmentos MN e MP em função da
medida A. Justifique sua resposta apresentando os cálculos realizados.
02- A figura representa a vista superior do tampo plano e horizontal de uma mesa de bilhar retangular ABCD, com
caçapas em A, B, C e D. O ponto P, localizado em AB, representa a posição de uma bola de bilhar, sendo
PB  1,5 m e PA  1,2 m. Após uma tacada na bola, ela se desloca em linha reta colidindo com BC no ponto T,
sendo a medida do ângulo PTB igual 60. Após essa colisão, a bola segue, em trajetória reta, diretamente até a
caçapa D.
 Nas condições descritas e adotando
(A) 2,42.
(C) 2,28.
(E) 2,56.
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3  1,73, a largura do tampo da mesa, em metros, é próxima de:
(B) 2,08.
(D) 2,00.
03- Os pneus de uma bicicleta têm raio R e seus centros distam 3R. Além disso, a reta t passa por P e é tangente à
circunferência do pneu, formando um ângulo α com a reta s que liga os dois centros.
 Pode-se concluir que cos α
(A)
2 3
3
(B)
3 2
2
(C)
3 3
2
(D)
2 2
3
(E)
3
3
04- Uma rampa retangular, medindo 10 m2 , faz um ângulo de 25 em relação ao piso horizontal. Exatamente embaixo
dessa rampa, foi delimitada uma área retangular A para um jardim, conforme figura.
 Considerando que cos 25  0,9, a área A tem aproximadamente:
(A) 3 m2
(B) 4 m2
(C) 6 m2
(D) 8 m2
(E) 9 m2
05- Um corredor A está sobre uma linha reta e corre sobre ela no sentido AX com velocidade constante igual à metade
do corredor B que se desloca no sentido BX.
 Sendo a partida simultânea e considerando que a reta BA faz um ângulo reto com a reta AX, o ângulo α que a
trajetória de B deve fazer com a reta BA para que seja possível o encontro é de:
(A) 30
(C) 40
(E) 60
(B) 35
(D) 45
06- Uma rampa faz um ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma pessoa que subiu 20 metros dessa rampa se encontra
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a altura de ___ do solo.
(A) 6 metros.
(C) 8 metros.
(E) 10 metros.
(B) 7 metros.
(D) 9 metros.
07- Na figura abaixo, o retângulo ABCD tem lados que medem 6 e 9.
 Se a área do paralelogramo sombreado é 6, o cosseno de α é
(A)
3
.
5
(B)
2
.
3
(C)
3
.
4
(D)
4
.
5
(E)
8
.
9
08- Um navio, que possui 20 m de altura sobre a água, passa por um canal e, em certo momento, o capitão da embarcação
avista uma ponte plana sobre o canal, a qual ele desconhece as dimensões e tem de decidir se o navio pode passar
sob a ponte. Para isso, ele inicia uma série de cálculos e medições. A primeira constatação que ele faz é a de que, a
uma certa distância, d, da projeção da base da ponte, a inclinação do segmento que une a parte retilínea inferior da
ponte e o ponto mais avançado do navio, que está a 4 m de altura sobre a água, é de 7°. Percorridos 102 m em linha
reta em direção à ponte, ele volta a medir a inclinação, obtendo um ângulo de 10°, e verifica que a distância entre a
parte retilínea inferior da ponte e o ponto mais avançado do navio é de 100 m, como ilustra a figura a seguir.
Diante do exposto, admitindo que a superfície do rio é plana, determine a altura da ponte e conclua se esta é suficiente
para que o navio passe sob ela.
Dados: tg(7)  0,12 e cos(10)  0,98
09- Sejam uma circunferência C com centro O e raio R, e uma reta r tangente a C no ponto T. Traça-se o diâmetro
AB oblíquo a r . A projeção de AB sobre r é o segmento PQ. Sabendo que a razão entre OQ e o raio R é 7 , o
2
ângulo, em radianos, entre AB e PQ é:
(A)
π
4
5π
18
7π
(E)
18
(C)
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(B)
π
6
(D)
π
3
10- Uma bola branca está posicionada no ponto Q de uma mesa de bilhar retangular, e uma bola vermelha, no ponto P,
conforme a figura abaixo.
A reta determinada por P e Q intersecta o lado L da mesa no ponto R. Além disso, Q é o ponto médio do segmento PR,
e o ângulo agudo formado por PR e L mede 60°. A bola branca atinge a vermelha, após ser refletida pelo lado L. Sua
trajetória, ao partir de Q, forma um ângulo agudo θ com o segmento PR e o mesmo ângulo agudo α com o lado L
antes e depois da reflexão. Determine a tangente de α e o seno de θ.
11- Uma cama de hospital, equipada com um ajustador hidráulico, move-se de acordo com um controle manual de subir e
descer.
 A altura y que a cama varia em função de θ é de:
(A) y  2 sen θ
(B) y  2 sen θ  2
(C) y  tg θ  2
(D) y  2 cos θ
(E) y  2 cos θ  2
12- A tirolesa é uma técnica utilizada para o transporte de carga de um ponto a outro. Nessa técnica, a carga é presa a
uma roldana que desliza por um cabo, cujas extremidades geralmente estão em alturas diferentes. A tirolesa também
é utilizada como prática esportiva, sendo considerado um esporte radical.
Em certo ecoparque, aproveitando a geografia do local, a estrutura para a prática da tirolesa foi montada de maneira
que as alturas das extremidades do cabo por onde os participantes deslizam estão a cerca de 52m e 8m, cada uma,
em relação ao nível do solo, e o ângulo de descida formado com a vertical é de 80°.
Nessas condições, considerando-se o cabo esticado e que tg 10° = 0,176, pode-se afirmar que a distância horizontal
percorrida, em metros, ao final do percurso, é aproximadamente igual a:
(A) 250
(C) 254
(E) 258
(B) 252
(D) 256
13- Uma forma pouco conhecida de arte é a de preenchimento de calçadas com pedras, como vemos na calçada
encontrada em Brazlândia – DF, conforme a figura.
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Em relação ao desenho da calçada, considere o seguinte:
- todos os triângulos são retângulos;
- cada triângulo possui um ângulo de 30°; e
- a hipotenusa de cada triângulo mede 100 cm.
 Com base nas informações acima, os catetos de cada triângulo medem, em cm,
(A) 25 e 25 3.
(B) 25 e 25 2.
(C) 25 e 50 3.
(D) 50 e 50 3.
(E) 50 e 50 2.
14- Um tenente do Exército está fazendo um levantamento topográfico da região onde será realizado um exercício de
campo. Ele quer determinar a largura do rio que corta a região e por isso adotou os seguintes procedimentos: marcou
dois pontos, A (uma árvore que ele observou na outra margem) e B (uma estaca que ele fincou no chão na margem
onde ele se encontra); marcou um ponto C distante 9 metros de B, fixou um aparelho de medir ângulo (teodolito) de tal
modo que o ângulo no ponto B seja reto e obteve uma medida de
π
ˆ
rad para o ângulo ACB.
3
 Qual foi a largura do rio que ele encontrou?
(A) 9 3 metros
9 3
metros
2
(E) 4,5 metros
(C)
(B) 3 3 metros
(D)
3 metros
15- Num dos trabalhos escritos no começo do século V d.C. na Índia, encontramos uma tabela “meias-cordas”,
representado na figura abaixo. Essas “meias-cordas” representam os nossos atuais senos. Os indianos pensavam na
meia-corda como o real segmento em um círculo com raio particular, como, por exemplo, ocorre no livro Almagest de
Claudius Ptolomeu (85 – 165), que utilizou um círculo de raio 60.
Texto adaptado do livro A Matemática através dos tempos, Editora Edgard Blücher, 2008.
 Utilizando o mesmo raio considerado por Ptolomeu, o valor da meia corda indicado na figura para um ângulo de
θ  45 é:
(A) 30 2.
(B) 15 2.
(C) 15 2 2.
(D)
(E)
2 4.
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2 2.
Gabarito
01- Como a reta OD é tangente à circunferência trigonométrica em O, tem-se que DOM  90. Assim, dado que
MO  1cm, do triângulo MOD, vem
tg α 
OD
MO
 sen α  A cos α.
Daí, lembrando que sen2 α  cos2 α  1, segue que
1
(A cos α )2  cos2 α  1  cos α 
1 A2
.
Em consequência, vem
A
sen α 
1 A2
.
Agora, sendo MNOP um retângulo, tem-se MN  OP.
Portanto, do triângulo MPO, obtemos
sen α 
OP
MO
A
 MN 
1 A2
cm
e
cos α 
MP
 MP 
MO
1
1 A2
cm.
02- [A]
Vamos supor que PTB  DTC. Assim, do triângulo BPT, vem
tgPTB 
BP
BT
 BT 
1,5
m.
1,73
Por outro lado, do triângulo CDT, encontramos
tgCTD 
CD
CT
 CT 
2,7
.
1,73
Em consequência, segue que o resultado pedido é
BT  CT 
4,2
 2,43 m.
1,73
03- [D]
Gabarito Oficial: [E]
Gabarito SuperPro®: [D]
Considere a figura.
Sabendo que AP  3R e AB  R, do Teorema de Pitágoras, vem
2
2
2
AP  AB  PB  (3R)2  R2  PB
 PB  2 2R.
 Em consequência, temos:
cos α 
PB
AP
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 cos α 
2 2R
3R
 cos α 
2 2
.
3
2
04- [E]
Tem-se que x  y  10 m2 . Logo, como z  y  cos25 e A  x  z, segue-se que
A  x  y  cos 25  10  0,9  9 m2 .
05- [A]
Sejam v A  v e vB  2v, respectivamente, as velocidades dos atletas A e B. O encontro ocorrerá se A e B
levarem o mesmo tempo para percorrer as distâncias dA  AX e dB  BX, ou seja, se
dA dB
AX BX



v A vB
v
2v

AX
BX
1
 .
2
Portanto, sendo  um ângulo agudo, devemos ter
sen  
AX
BX
 sen  
1
2
   30.
06- [E]
Considerando x altura da pessoa em relação ao solo, temos:
sen30 
x
20
1
x

 x  10m
2 20
07- [D]
Na figura acima, temos: A  6  x  6  6  x  1  DE  8.
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo ADE, temos: AE2  62  82  AE  10.
Portanto, cos α 
8
4
 .
10 5
08- Tem-se que
cos10 
d  102
d  102
 0,98 
100
100
 d  200 m.
Daí,
tg7 
h
 h  0,12  200
d
 h  24 m.
Portanto, como 24  16, segue-se que a altura da ponte é suficiente para que o navio passe sob ela.
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09- [B]
De acordo com as informações do problema temos as seguintes informações:
OQ
7
R 7

 OQ 
R
2
2
No triângulo OTQ, temos:
2
R 7 
R 3
TQ2  R2  
 TQ  MB 
 2 
2


Sendo q a medida do ângulo entre a reta que passa pelos pontos A e b e a reta r, temos:
R 3
3
π
cos θ  2 
 θ  rad.
R
2
6
10- Considere a figura, em que P' e Q ' são, respectivamente, os simétricos de P e Q em relação a RT, com T
pertencente a L.
Como Q e Q ' são os pontos médios de PR e P'R, segue-se que S é o baricentro do triângulo PRP'. Logo,
RS  2  ST e, portanto, RT  3  ST.
Do triângulo PRT, vem
tg60 
PT
RT
 PT  3 3  ST
e
sen60 
PT
PR
 PR 
3 3  ST
3
2
 PR  6  ST.
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Do triângulo PST, obtemos
tg α 
PT
ST
 tg α 
3 3  ST
ST
 tg α  3 3.
Sabendo que cossec 2 α  1  cotg2 α e que α é agudo, encontramos
2
 1 
cossec 2 α  1  
  sen α 
3 3 
 sen α 
27
28
3 21
.
14
Finalmente, aplicando a Lei dos Senos no triângulo QRS, vem
PR
QR
RS
2  ST

 2 
sen α sen θ
3 21 sen θ
14
21
 sen θ 
.
7
11- [D]
Considere a figura.
Supondo DAB  90, temos α  90  θ. Além disso, do triângulo retângulo ABC, vem
sen α 
BC
AB
 y  2sen α.
Mas sen α  sen(90  θ)  cos θ e, portanto, y  2cos θ.
12- [A]
tg10 
44
44
x
 x  250m.
x
0,176
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13- [D]
1
 50
2
3
x  100  cos30  100 
 50  3
2
y  100  sen30  100 
14- [A]
tg60 
x
 x  9  tg60  9  3m.
9
15- [A]
Se x é o valor da meia corda pedida, então x corresponde à medida dos catetos de um triângulo retângulo isósceles
de hipotenusa igual a 60, ou seja,
sen 45 
x
2
 x  60 
 30 2.
60
2
MCS/1503/BANCO DE QUESTOES/MATEMATICA/2015/MATEMATICA - 2a SERIE - ENSINO MEDIO - 1a ETAPA - 2015 – CLAUDIO DIAS - PARTE 1 - TRIGONOMETRIA.DOC
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