cem lista trigonometria

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1. Ao decolar, um avião deixa o solo com um ângulo constante de 15°. A 3,8 km da cabeceira
da pista existe um morro íngreme. A figura abaixo ilustra a decolagem, fora de escala.
Podemos concluir que o avião ultrapassa o morro a uma altura, a partir da sua base, de
a) 3,8 tan (15°) km.
b) 3,8 sen (15°) km.
c) 3,8 cos (15°) km.
d) 3,8 sec (15°) km.
2. Em uma das primeiras tentativas de determinar a medida do raio da Terra, os matemáticos
da antiguidade observavam, do alto de uma torre ou montanha de altura conhecida, o ângulo
sob o qual se avistava o horizonte, tangente à Terra, considerada esférica, conforme mostra a
figura. Segundo esse raciocínio, o raio terrestre em função do ângulo α é dado por:
a) R =
b) R =
c) R =
d) R =
e) R =
sen ( α h )
1 − sen α
h sen α
1 − sen α
hsen α
sen α – 1
1 − sen α
h sen α
1 + sen α
h sen α
3. Se tgθ = 1 e θ pertence ao primeiro quadrante, então cosθ é igual a:
a) 0
1
b)
2
2
c)
2
3
d)
2
e) 1
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4. Um esqueitista treina em três rampas planas de mesmo comprimento a, mas com
inclinações diferentes. As figuras abaixo representam as trajetórias retilíneas AB
= CD
= EF,
contidas nas retas de maior declive de cada rampa.
Sabendo que as alturas, em metros, dos pontos de partida A, C e E são, respectivamente,
h1, h2 e h3 , conclui-se que h1 + h2 é igual a:
a) h3 3
b) h3 2
c) 2h3
d) h3
5. Na figura abaixo, ABC e BDE são triângulos isósceles semelhantes de bases 2a e a,
ˆ = 30°. Portanto, o comprimento do segmento CE é:
respectivamente, e o ângulo CAB
a) a
5
3
b) a
8
3
c) a
7
3
d) a 2
6. Um satélite orbita a 6.400 km da superfície da Terra. A figura abaixo representa uma seção
plana que inclui o satélite, o centro da Terra e o arco de circunferência AB. Nos pontos desse
arco, o sinal do satélite pode ser captado. Responda às questões abaixo, considerando que o
raio da Terra também mede 6.400 km.
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a) Qual o comprimento do arco AB indicado na figura?
b) Suponha que o ponto C da figura seja tal que cos(θ) = 3 / 4. Determine a distância d entre o
ponto C e o satélite.
7. Abílio (A) e Gioconda (G) estão sobre uma superfície plana de uma mesma praia e, num
dado instante, veem sob respectivos ângulos de 30° e 45°, um pássaro (P) voando, conforme é
representado na planificação abaixo.
Considerando desprezíveis as medidas das alturas de Abílio e Gioconda e sabendo que,
naquele instante, a distância entre A e G era de 240 m, então a quantos metros de altura o
pássaro distava da superfície da praia?
a) 60 ( 3 + 1)
b) 120 ( 3 – 1)
c) 120 ( 3 + 1)
d) 180 ( 3 – 1)
e) 180 ( 3 + 1)
8. O teodolito é um instrumento de medida de ângulos bastante útil na topografia. Com ele, é
possível determinar distâncias que não poderiam ser medidas diretamente. Para calcular a
altura de um morro em relação a uma região plana no seu entorno, o topógrafo pode utilizar
esse instrumento adotando o seguinte procedimento: situa o teodolito no ponto A e, mirando o
ponto T no topo do morro, mede o ângulo de 30° com a horizontal; desloca o teodolito 160
metros em direção ao morro, colocando-o agora no ponto B, do qual, novamente mirando o
ponto T, mede o ângulo de 60° com a horizontal.
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Se a altura do teodolito é de 1,5 metros, é CORRETO afirmar que a altura do morro com
relação à região plana à qual pertencem A e B é, em metros:
a) 80 3 + 1,5
b) 80 3 − 1,5
c)
160 3
+ 1,5
3
d)
160 3
− 1,5
3
9. A figura abaixo representa um rio plano com margens retilíneas e paralelas. Um topógrafo
situado no ponto A de uma das margens almeja descobrir a largura desse rio. Ele avista dois
pontos fixos B e C na margem oposta. Os pontos B e C são visados a partir de A, segundo
ângulos de 60° e 30°, respectivamente, medidos no sentido anti-horário a partir da margem em
que se encontra o ponto A. Sabendo que a distância de B até C mede 100 m, qual é a largura
do rio?
a) 50 3 m
b) 75 3 m
c) 100 3 m
d) 150 3 m
e) 200 3 m
10. O relógio Tower Clock, localizado em Londres, Inglaterra, é muito conhecido pela sua
precisão e tamanho. O ângulo interno formado entre os ponteiros das horas e dos minutos
deste relógio, desprezando suas larguras, às 15 horas e 20 minutos é:
π
a)
12
π
b)
36
π
c)
6
π
d)
18
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e)
π
9
11. Suponha que, durante certo período do ano, a temperatura T, em graus Celsius, na superfície de um
 π 
lago possa ser descrita pela função F(t)
= 21 − 4cos  t  , sendo t o tempo em horas medido a partir
 12 
das 06h00 da manhã.
a) Qual a variação de temperatura num período de 24 horas?
b) A que horas do dia a temperatura atingirá 23ºC?
12. Assinale a(s) proposição(ões) CORRETA(S).
01) Se f:  →  é a função definida por f(x) = sen x , então f(10) > 0 .
x
02) Sejam f e g funções reais definidas por f(x) = 2 e g(x) = cos x para todo x ∈  . Então existe
uma infinidade de pontos em que os gráficos destas funções se interceptam.
04) Na figura, a reta r é tangente à circunferência λ, de centro no ponto O(0,0) e raio 1. Para
α=
 2 
π
rad as coordenadas do ponto P são 
,0  .
6
 3 
08) O valor numérico da expressão cos36° + cos72° + cos108° + cos144° é zero.
16) O menor número inteiro que satisfaz a inequação 20 – 3(2x + 15) < 0 é –5.
13. Considere A o conjunto mais amplo possível na função real f: A →  , dada por
sen x
cos x
+
.
cossec x sec x
Sobre a função f é correto afirmar que
kπ


a) A =
, k ∈  .
x ∈  | x ≠
2


b) é periódica com período igual a π.
π


c) é decrescente se x ∈  x ∈  | + 2kπ < x < π + 2kπ, k ∈   .
2


d) é ímpar.
=
f (x)
14. O número de interseções da função f(x) = sen 5x com o eixo das abscissas no intervalo
[ −2π,2π ] é
a) 10.
b) 14.
c) 21.
d) 24.
e) 27.
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15. O maior valor que o número real
10
pode assumir é
sen x
2−
3
20
3
7
b)
3
c) 10
d) 6
20
e)
7
a)
16. Se cos=
(x)
valor de tg (x) é:
a) –5/13.
b) –5/12.
c) 5/13.
d) 5/12.
e) 0,334.
−12
3π
, π<x<
e x ∈ (3º quadrante), então é CORRETO afirmar que o
13
2
17. Uma praça circular de raio R foi construída a partir da planta a seguir:
Os segmentos AB, BC e CA simbolizam ciclovias construídas no interior da praça, sendo que
AB = 80 m. De acordo com a planta e as informações dadas, é CORRETO afirmar que a
medida de R é igual a:
a)
160 3
m
3
b)
80 3
m
3
c)
16 3
m
3
d)
8 3
m
3
e)
3
m
3
18. Na figura estão posicionadas as cidades vizinhas A, B e C, que são ligadas por estradas
em linha reta. Sabe-se que, seguindo por essas estradas, a distância entre A e C é de 24 km, e
entre A e B é de 36 km.
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Nesse caso, pode-se concluir que a distância, em km, entre B e C é igual a
a) 8 17.
b) 12 19.
c) 12 23.
d) 20 15.
e) 20 13.
19. A expressão cotg(2x) + cossec(2x) pode ser escrita como:
cos(x) + sen(x)
cos(x)sen(x)
b) tg(x)
c) cotg(x)
a)
2 cos2 (2x) + sen(2x)

d) 
sen(4x)
2 cos(2x) + sen2 (2x)

e) 
sen(4x)
20. A soma de todos os valores de x ∈ [0, 2π ] que satisfazem a equação
cos2 ( 2x ) − sen2 ( x ) =
cos6 ( x ) é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
π
2π
5π
3π
4π
21. Sendo x um arco tal que 0 ≤ x < 2π e
3 ⋅ ( tg x ) =
2 ⋅ sen x, é CORRETO afirmar que
a) a soma das soluções dessa equação é igual a π.
b) as extremidades de todos os arcos x que são solução dessa equação estão no terceiro
quadrante.
c) nesse intervalo, a equação tem dois arcos distintos como soluções.
d) para qualquer solução dessa equação, tg x = sen x.
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
Arquimedes,candidato a um dos cursos da Faculdade de Engenharia, visitou a PUCRS para
colher informações. Uma das constatações que fez foi a de que existe grande proximidade
entre Engenharia e Matemática.
22. Os fenômenos gerados por movimentos oscilatórios são estudados nos cursos da
Faculdade de Engenharia. Sob certas condições, a função y = 10 cos(4t) descreve o
movimento de uma mola, onde y (medido em cm) representa o deslocamento da massa a partir
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da posição de equilíbrio no instante t (em segundos). Assim, o período e a amplitude desse
movimento valem, respectivamente,
π
a)
s — 10 cm
2
b) 2π s — 20 cm
π
s
4
π
d)
s
4
π
e)
s
2
c)
—
10 cm
—
20 cm
—
20 cm
TEXTO PARA A PRÓXIMA QUESTÃO:
As ruas e avenidas de uma cidade são um bom exemplo de aplicação de Geometria.
Um desses exemplos encontra-se na cidade de Mirassol, onde se localiza a Etec Prof. Mateus
Leite de Abreu.
A imagem apresenta algumas ruas e avenidas de Mirassol, onde percebemos que a Av. Vitório
Baccan, a Rua Romeu Zerati e a Av. Lions Clube/Rua Bálsamo formam uma figura geométrica
que se aproxima muito de um triângulo retângulo, como representado no mapa.
Considere que
– a Rua Bálsamo é continuação da Av. Lions Clube;
– o ponto A é a intersecção da Av. Vitório Baccan com a Av. Lions Clube;
– o ponto B é a intersecção da Rua Romeu Zerati com a Rua Bálsamo;
– o ponto C é a intersecção da Av. Vitório Baccan com a Rua Romeu Zerati;
– o ponto D é a intersecção da Rua Bálsamo com a Rua Vitório Genari;
– o ponto E é a intersecção da Rua Romeu Zerati com a Rua Vitório Genari;
– a medida do segmento AC é 220 m;
– a medida do segmento BC é 400 m e
– o triângulo ABC é retângulo em C.
23. Para resolver a questão, utilize a tabela abaixo.
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sen
cos
tg
26°
0,44
0,90
0,49
29°
0,48
0,87
0,55
41°
0,66
0,75
0,87
48°
0,74
0,67
1,11
62°
0,88
0,47
1,88
ˆ é, aproximadamente,
No triângulo ABC, o valor do seno do ângulo ABC
a) 0,44.
b) 0,48.
c) 0,66.
d) 0,74.
e) 0,88.
24. No dia primeiro de janeiro de 2011, ocorrerá a cerimônia de posse do(a) novo(a)
Presidente(a) da República. Um dos atos solenes desta cerimônia é a subida da rampa do
Palácio do Planalto, sede do governo brasileiro que pode ser vista na Figura.
Suponha que essa rampa possua uma elevação 15° de em relação à sua base e uma altura
de 3 2m. Então o(a) novo(a) Chefe de Estado, ao subir toda a rampa presidencial, percorrerá
uma distância de:
a) 6 3 − 1m
b) 8 3 + 8m
c) 6 3 − 2m
d) 6 3 + 6m
e) 4 3 − 2m
25. A trigonometria estuda as relações entre os lados e os ângulos de um triângulo. Em um
cat. adjacente
cat. oposto
, cos θ =
e
triângulo retângulo, sabemos que senθ =
hipotenusa
hipotenusa
cat. oposto
. Considere o triângulo abaixo e as proposições I, II e III.
tgθ =
cat.adjacente
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I. o ΔABC é retângulo em B.
II. cos  = 0,8
32
III. sen  + tg  =
15
Assinale a alternativa correta.
a) Apenas a proposição I é verdadeira.
b) Apenas as proposições II e III são verdadeiras.
c) Apenas as proposições I e III são verdadeiras.
d) Apenas a proposição II é verdadeira.
e) Todas as proposições são verdadeiras.
26. Uma baixa histórica no nível das águas no rio Amazonas em sua parte peruana deixou o
Estado do Amazonas em situação de alerta e a Região Norte na expectativa da pior seca
desde 2005. [...] Em alguns trechos, o Rio Amazonas já não tem profundidade para que balsas
com mercadorias e combustível para energia elétrica cheguem até as cidades. A Defesa Civil
já declarou situação de atenção em 16 municípios e situação de alerta – etapa imediatamente
anterior à situação de emergência – em outros nove. Porém, alguns trechos do rio Amazonas
ainda permitem plenas condições de navegabilidade.
Texto adaptado de: http://www.ecodebate.com.br/2010/09/10/com-seca-no-peru-nivel-dorioamazonasdiminuiu-e-regiao-norte-teme-pior-estiagem-desde-2005/ Acesso em: 10 nov. 2010.
Considerando que um barco parte de A para atravessar o rio Amazonas; que a direção de seu
deslocamento forma um ângulo de 120º com a margem do rio; que a largura do rio,
teoricamente constante, de 60 metros, então, podemos afirmar que a distância AB em metros
percorrida pela embarcação foi de...
Dados:
0º
Seno
Cosseno
Tangente
1
2
3
2
3
3
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45º
60º
2
2
3
2
2
2
1
2
1
3
a) 60 3 metros.
b) 40 3 metros.
c) 120 metros.
d) 20 3 metros.
e) 40 metros.
27. Suponha que a expressão P = 100 + 20 sen(2 π t) descreve de maneira aproximada a
pressão sanguínea P, em milímetros de mercúrio, de uma certa pessoa durante um teste.
Nessa expressão, t representa o tempo em segundos.
A pressão oscila entre 20 milímetros de mercúrio acima e abaixo dos 100 milímetros de
mercúrio, indicando que a pressão sanguínea da pessoa é 120 por 80. Como essa função tem
um período de 1 segundo, o coração da pessoa bate 60 vezes por minuto durante o teste.
a) Dê o valor da pressão sanguínea dessa pessoa em t = 0 s; t = 0,75 s.
b) Em que momento, durante o primeiro segundo, a pressão sanguínea atingiu seu mínimo?
28. A previsão de vendas mensais de uma empresa para 2011, em toneladas de um produto,
πx
, em que x = 1 corresponde a janeiro de 2011, x = 2
é dada por f ( x ) =100 + 0,5x + 3sen
6
corresponde a fevereiro de 2011 e assim por diante.
A previsão de vendas (em toneladas) para o primeiro trimestre de 2011 é:
(Use a aproximação decimal 3 = 1,7 )
a) 308,55
b) 309,05
c) 309,55
d) 310,05
e) 310,55
29. Com base nas assertivas abaixo, assinale o que for correto.
01) O valor mínimo da função f(x) = 2 + 5 sen 4x é –3.
02) O período e o conjunto-imagem da função f: R → R definida por f(x) = 4 senx.cosx são,
respectivamente, 2π e [– 4,4].
3π
04) Se cotg (a) . sec (a) > 0 e sen (a). cos (a) < 0 então π < a <
.
2
08) Se A = sen 430º e B = sen 700º , então A < B.
 π π
2
2
16) 16) Para todo x ∈  − ,  , o valor de (tg x + 1) . (sen x –1) é –1.
 2 2
30. Suponha que o horário do pôr do sol na cidade de Curitiba, durante o ano de 2009, possa
ser descrito pela função
 2π 
=
f(t) 18,8 − 1,3sen 
t
 365 
sendo t o tempo dado em dias e t = 0 o dia 1º de janeiro. Com base nessas informações,
considere as seguintes afirmativas:
1. O período da função acima é 2π .
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2. Foi no mês de abril o dia em que o pôr do sol ocorreu mais cedo.
3. O horário em que o pôr do sol ocorreu mais cedo foi 17h30.
Assinale a alternativa correta.
a) Somente a afirmativa 3 é verdadeira.
b) Somente as afirmativas 1 e 2 são verdadeiras.
c) Somente as afirmativas 1 e 3 são verdadeiras.
d) Somente as afirmativas 2 e 3 são verdadeiras.
e) As afirmativas 1, 2 e 3 são verdadeiras.
31. Em situação normal, observa-se que os sucessivos períodos de aspiração e expiração de
ar dos pulmões em um indivíduo são iguais em tempo, bem como na quantidade de ar inalada
e expelida. A velocidade de aspiração e expiração de ar dos pulmões de um indivíduo está
representada pela curva do gráfico, considerando apenas um ciclo do processo.
Sabendo-se que, em uma pessoa em estado de repouso, um ciclo de aspiração e expiração
completo ocorre a cada 5 segundos e que a taxa máxima de inalação e exalação, em módulo,
é 0,6 1/s, a expressão da função cujo gráfico mais se aproxima da curva representada na figura
é:
2π
3 
a) V ( t ) =
sen  t  .
5
5 
3
 5 
b) V ( t ) = sen 
t .
5
 2π 
 2π 
c) V ( t ) = 0,6cos 
t .
 5 
 2π 
d) V ( t ) = 0,6sen 
t .
 5 
5
e) V ( t ) =
cos ( 0,6t ) .
2π
π

32. O período da função definida por f(x) = sen  3x −  é
2

π
.
2
2π
b)
.
3
5π
c)
.
6
d) π.
e) 2 π.
a)
33. Um satélite de telecomunicações, t minutos após ter atingido sua órbita, está a r
quilômetros de distância do centro da Terra. Quando r assume seus valores máximo e mínimo,
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diz-se que o satélite atingiu o apogeu e o perigeu, respectivamente. Suponha que, para esse
satélite, o valor de r em função de t seja dado por
r (t) =
5865
1 + 0,15.cos ( 0,06t )
Um cientista monitora o movimento desse satélite para controlar o seu afastamento do centro
da Terra. Para isso, ele precisa calcular a soma dos valores de r, no apogeu e no perigeu,
representada por S.
O cientista deveria concluir que, periodicamente, S atinge o valor de
a) 12 765 km.
b) 12 000 km.
c) 11 730 km.
d) 10 965 km.
e) 5 865 km.
34. Assinale a(s) proposição(ões) correta(s).
01) Considere um quadrado circunscrito a uma circunferência e um triângulo equilátero inscrito
na mesma circunferência. Se o lado do triângulo equilátero mede 6 3 cm , então o lado do
quadrado mede 12 cm.
3π
26
então, cosx =
.
2
26
04) Se os lados de um triângulo retângulo estão em progressão aritmética, então o valor
3
numérico do cosseno do maior ângulo agudo é .
5
π
08) Para todo x real ≠ + 2kπ, onde k é um número inteiro qualquer, vale
2
02) Sabendo que tgx = 5 e que π < x <
1 − tg2 x
= sen2 x − cos2 x.
1 + tg2 x
16) No intervalo [0, 2 π ] o número de soluções da equação cos2x = 0 é 2.
2
35. No intervalo [0, π], a equação 8sen
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
e) 1
x
=4
senx −
1
8
admite o seguinte número de raízes:
36. Sobre um plano inclinado deverá ser construída uma escadaria.
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Sabendo que cada degrau da escada deverá ter uma altura de 20 cm e que a base do plano
inclinado mede 280 3 cm, conforme mostra a figura, então a escada deverá ter:
a) 10 degraus.
b) 28 degraus.
c) 14 degraus.
d) 54 degraus.
e) 16 degraus.
37. Se a sequência (3, x, cos θ) é uma progressão aritmética, sendo x e θ números reais,
então
a) −1,5 ≤ x ≤ 0.
b) −1 ≤ x ≤ 1.
c) 0,5 ≤ x ≤ 1,5.
d) 1 ≤ x ≤ 2.
e) 2 ≤ x ≤ 4.
38. Um menino está empinando uma pipa e sua mão se encontra a 50 centímetros do chão.
Sabendo que a linha que sustenta a pipa mede 100 m, encontra-se bem esticada e está
°
determinando com o solo plano e horizontal um ângulo de 30 , pode-se afirmar que a altura
dessa pipa em relação ao chão é:
Dados:
°
°
sen30 = 0,5; cos30 =
( 3 ) ; tg30 = ( 3 )
°
2
3
a) 200 m.
b) 50 m.
c) 200,5 m.
d) 50,5 m.
e) 50 3 m.
39. Considerando a circunferência trigonométrica, identifique as sentenças a seguir como
verdadeiras ou falsas.
No quadrante onde se localiza o arco de ( −4330°), a função seno é crescente.
No quadrante onde se localiza o arco de
34 π
rad, a função cosseno é descrente.
5
O valor da tangente do arco de 1000° é positivo.
Está(ão) CORRETA(S) a(s) afirmativa(s):
a) I e II somente.
b) II e III somente.
c) I, II, e III.
d) III somente.
e) II somente.
2
40. Traçando-se os gráficos das funções definidas por f(x) = 2 sen x e g(x) = 16 – x num
mesmo sistema de coordenadas cartesianas ortogonais, pode-se verificar que o número de
soluções da equação f ( x) = g ( x) é
a) 0.
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 4.
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41.
Em determinada cidade, a concentração diária, em gramas, de partículas de fósforo na
 πt 
 , em que t é a quantidade de horas
6
atmosfera é medida pela função C(t)= 3 + 2 sen 
para fazer essa medição.
O tempo mínimo necessário para fazer uma medição que registrou 4 gramas de fósforo é de
a) 1/2 hora.
b) 1 hora.
c) 2 horas.
d) 3 horas.
e) 4 horas.
42. Uma gráfica que confeccionou material de campanha determina o custo unitário de um de
seus produtos, em reais, de acordo com a lei C(t) = 200 + 120 . sen (ð . t)/2, com t medido em
horas de trabalho. Assim, os custos máximos e mínimo desse produto são
a) 320 e 200
b) 200 e 120
c) 200 e 80
d) 320 e 80
e) 120 e 80
43. Uma bomba de água aspira e expira água a cada três segundos. O volume de água da
bomba varia entre um mínimo de 2 litros e um máximo de 4 litros. Dentre as alternativas a
seguir, assinale a expressão algébrica para o volume (y) de água na bomba, em função do
tempo (t).
a) y = 2 + 2 sen [(ð/3) . t]
b) y = 2 + 2 sen [(2π/3) . t]
c) y = 3 + sen [(ð/3) . t]
d) y = 3 + sen [(2ð/3) . t]
e) y = - 3 + 2 sen [(ð/3) . t]
44. Sobre a função representada no gráfico, é correto afirmar:
a) O período da função é 2ð.
b) O domínio é o intervalo [-3, 3].
c) A imagem é o conjunto IR.
d) A função é par.
x
.
2
e) A função é y = 3 sen 
45. O conjunto solução da equação sen(x) - cos(x) = 0 em [0; 2ð] é
a) { }
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b) {0}
c) {- ð/4, ð/4}
d) {ð/4, 3ð/4}
e) {ð/4, 5ð/4}
46. Nos X-Games Brasil, em maio de 2004, o skatista brasileiro Sandro Dias, apelidado
"Mineirinho", conseguiu realizar a manobra denominada "900", na modalidade skate vertical,
tornando-se o segundo atleta no mundo a conseguir esse feito. A denominação "900" refere-se
ao número de graus que o atleta gira no ar em torno de seu próprio corpo, que, no caso,
corresponde a
a) uma volta completa.
b) uma volta e meia.
c) duas voltas completas.
d) duas voltas e meia.
e) cinco voltas completas.
47. A solução da equação cos [3x - (ð/4)] = 0, quando 0 ≤ x ≤ ð/2, é
a) ð/4
b) -π/4
c) 7ð/12
d) ð/2
e) 0
48. Seja x a medida de um arco em radianos. O número real a, que satisfaz as sentenças sen
(a − 2)
é tal que
x = (3 − a) e cos x =
2
a) a ≥ 7
b) 5 ≤ a < 7
c) 3 ≤ a < 5
d) 0 ≤ a < 3
e) a < 0
49. Observe o gráfico a seguir.
A função real de variável real que MELHOR corresponde a esse gráfico é
a) y = cos x
b) y = sen x
c) y = cos 2x
d) y = sen 2x
e) y = 2 sen x
50. O valor da expressão
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cos
2π
3π
5π
+ sen
+ tg
é
3
2
4
2 −3
2
1
b) −
2
a)
c) 0
d)
e)
1
2
3
2
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Gabarito:
Resposta da questão 1:
[A]
h = altura do avião ao ultrapassar o morro.
tan 15=
°
h
⇒=
h 3,8 ⋅ tg 15°
3,8
Resposta da questão 2:
[B]
Supondo que a Terra seja uma esfera, considere a figura.
Como AB é tangente à esfera, segue que OB ⊥ AB. Além disso, AO= h + R e OB = R.
Portanto, do triângulo AOB, obtemos
OB
R
sen α = ⇔ sen α =
h+R
AO
R hsen α + R sen α
⇔=
hsen α
⇔ R − R sen α =
hsen α
⇔ R(1 − sen α ) =
hsen α
.
⇔R=
1 − sen α
Resposta da questão 3:
[C]
Se θ é um arco do primeiro quadrante e tg θ = 1, temos que =
θ 45°.
Portanto,
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cos
=
θ cos=
45°
2
.
2
Resposta da questão 4:
[D]
Como
=
° sen(45° − 30°)
sen15
= sen 45° cos30° − sen30° cos 45°
2 3 1 2
⋅
− ⋅
2 2 2 2
6− 2
=
4
=
Então:
h1
a( 6 − 2)
⇔ h=
.
1
a
4
°
sen15=
Além disso,
sen 45=
°
h2
a 2
⇔ h=
2
a
2
Então:
a( 6 − 2) a 2
+
4
2
a( 6 + 2)
=
.
4
=
h1 + h2
Por outro lado,
sen75
=
° sen(45° + 30°)
= sen 45° cos30° + sen30° cos 45°
2 3 1 2
⋅
+ ⋅
2 2 2 2
6+ 2
=
4
=
Então:
sen75=
°
h3
a( 6 + 2)
⇔ h=
.
3
a
4
Portanto, h1 + h2 =
h3 .
Resposta da questão 5:
[C]
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No ΔCMB : cos30° =
a
3 a
2a
⇒
= ⇒x=
x
2
x
3
a
3
a
No ΔENB : cos30° = 2 ⇒
=
⇒y=
y
2
2y
a
3
ˆ= 180° − 30° − 30=
CBE
° 120°
Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo CBE, temos:
CE2 = x 2 + y 2 − 2.x.y.cos120°
CE2 =
4a2 a2
2a a
+
− 2⋅
⋅
3
3
3
3
CE2 =
5a2 2a2
+
3
3
CE2 =
7a2
3
CE = a.
 1
⋅− 
 2
7
3
Resposta da questão 6:
a) No triângulo assinalado:
R é a medida do raio da terra.
R
1
cos α =
= ⇒ α = 60°
R+R 2
Portanto, o arco AB mede 120° e seu comprimento será dado por:
2 ⋅ π ⋅ R 2 ⋅ π ⋅ 6400 12800 π
= =
km.
3
3
3
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b) Aplicando o teorema dos cossenos no triângulo assinalado, temos:
d2 =
R2 + (2R)2 − 2.R.2R.cos θ
d2 5R2 − 4.R2 .(3/4)
=
d = 2.R2
d=R 2
d = 6400. 2 km
Resposta da questão 7:
[B]
Considere a figura, sendo Q o pé da perpendicular baixada de P sobre AG.
Queremos calcular PQ.
 = 45°, segue que PQ = QG. Desse modo, AQ = 240 − QG = 240 − PQ.
Como PGQ
Portanto, do triângulo APQ, vem
PQ
 = PQ ⇔ 3 =
tgQAP
3
AQ
240 − PQ
240 3
⇔ (3 + 3)PQ =
240 3
⇔ PQ =
3+ 3
⇔ PQ
=
240 3 3 − 3
⋅
= 120( 3 − 1) m.
3+ 3 3− 3
Resposta da questão 8:
[A]
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H é a altura do morro em metros.
O triângulo ABT é isósceles, logo BT =160m.
No triângulo assinalado, temos:
sen60
=
°
H − 1,5
3 H − 1,5
⇒
=
=
⇒H
160
2
160
(80
)
3 + 1,5 m
Resposta da questão 9:
[A]

Considere a figura, em que H é o pé da perpendicular baixada de A sobre a reta BC.
Queremos calcular AH.
 = BAH
 = 30°. Logo, do triângulo AHB, vem
Temos que CAB
 = HB ⇔ HB = 3 ⋅ AH.
tgBAH
3
AH
Por outro lado, do triângulo AHC, obtemos
 = HB + BC ⇔ 3 ⋅ AH = 3 ⋅ AH + 100
tgCAH
3
AH
2 3
⇔
⋅ AH =
100
3
⇔ AH =
150
3
⋅
3
3
= 50 3 m.
Resposta da questão 10:
[E]
Considere a figura.
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A cada 5 minutos corresponde um ângulo de
360°
= 30°. Logo, θ + α = 30°, sendo α o
12
resultado pedido.
Por outro lado, como o ângulo θ corresponde ao deslocamento do ponteiro das horas, em 20
minutos, segue que
θ
=
20min ⋅ 30°
= 10°.
60min
Desse modo,
10° + α= 30° ⇔ α= 20°=
π
rad.
9
Resposta da questão 11:
a)

 π 
valor máximo ocorre para cos  12 t  =−1 ⇒ F(máx) =21 − 4( −1) =25°



 π 
F(t) =
21 − 4 cos  t  ⇒ 
 12 
valor mínimo ocorre para cos  π t  =+1 ⇒ F(máx) =21 − 4( +1) =17°
 12 



Portanto, a temperatura varia de 17°C a 25°C na superfície do lago.
b) Para t = ? temos F(t)
= 23° . Logo:
 π 
 π 
 π 
−2
F(t) =
21 − 4 cos  t  ⇒ 21 − 4 cos  t  =
23 ⇒ 4 cos  t  =
12
12




 12 
1
 π 
⇒ cos  t  =
−
2
 12 
Logo :
π
2π
π
4π
t =
ou
t
=
12
3
12
3
t 8h
ou
t 16h
=
=
Porém, o tempo em horas foi medido a partir das 06h da manhã, o que nos permite afirmar
que a temperatura de 23°C foi atingida às:
t1 = 6h + 8h = 14h
e
t 2 =6h + 16h =22h
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Resposta da questão 12:
02 + 04 + 08 = 14.
01) Falsa. f(10) < 0, pois 10 é aproximadamente 570°, sua extremidade se encontra no terceiro
quadrante
02) Verdadeira. Para x < 0 existe uma infinidade de pontos de intersecção.
1
3
π
=
.
=
04) Verdadeira. cos
2
2
6
3
08) Verdadeira. cos 144° = - cos36° e cos 108° = – cos 72°.
16) Falsa.
20 – 3(2x + 15)<0
20 – 6x -45 < 0
-6x – 25 < 0
-6x < 25
x> -25/6
O menor inteiro que satisfaz esta inequação é x = –4.
Resposta da questão 13:
[A]
f(x) =
senx cos x
+
= sen2 x + cos2 x = 1, para x ≠ 0 + k ⋅ π , k ∈ Z.
1
1
2
senx cos x
Portanto a única alternativa correta é a letra A
Resposta da questão 14:
[C]
f(x) = sen(5x) ⇒ Período =
2π
.
5
Total: 21 intersecções com o eixo x.
Resposta da questão 15:
[D]
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O número
10
assume o seu maior valor quando sen x for máximo, ou seja, quando
sen x
2−
3
sen x = 1.
Por conseguinte, o resultado pedido é
10
10
10
=
= = 6.
sen x
1
5
2−
2−
3
3
3
Resposta da questão 16:
[D]
No terceiro quadrante senos e cossenos são negativos. Utilizando a relação fundamental,
temos:
2
2
sen (x) + cos (x) = 1
2
144
25
5
 12 
sen2 (x) +  −  =
1 ⇒ sen2 (x) =
1−
⇒ sen(x) =
±
⇒ sen(x) =
± .
169
169
13
 13 
Como o arco x tem extremidade no terceiro quadrante, temos: sen(x) = −
5
.
13
Calculado a tangente de x.
sen(x)
=
=
tg(x)
cos(x)
5
−
5
13
=
.
12 12
−
13
Resposta da questão 17:
[B]
Pela Lei dos Senos, segue que:
AB
= 2R ⇔ 2R =
sen60°
80
3
2
⇔R=
80
3
⋅
3
3
=
80 3
m.
3
Resposta da questão 18:
[B]
Aplicando a Lei dos Cossenos, obtemos
2
2
2
 ⇔
BC= AB + AC − 2 ⋅ AB ⋅ AC ⋅ cosBAC
2
 1
BC= 362 + 242 − 2 ⋅ 36 ⋅ 24 ⋅  −  ⇔
 2
2
BC = 1296 + 576 + 864 ⇒
=
BC
=
2736 12 19 km.
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Resposta da questão 19:
[C]
Sabendo que =
cos 2x 2cos2 x − 1 e sen 2x = 2 sen x cos x, vem
cos 2x
1
cotg2x + cossec 2x =
+
sen 2x sen 2x
1 + cos 2x
=
sen 2x
1 + 2cos2 x − 1
2 sen x cos x
cos x
=
sen x
= cotg x.
=
Resposta da questão 20:
[C]
Sabendo que =
cos 2x 2cos2 x − 1 e sen2 x = 1 − cos2 x, vem
(2cos2 x − 1)2 − (1 − cos2=
x) cos6 x ⇔ cos2 x(cos4 x − 4cos2 x +=
3) 0
cos2 x = 0

⇔  ou

4
2
0
cos x − 4cos x + 3 =
cos x = 0

 ou
⇒ cos x =
±1
 ou

cos x = ± 3 (impossível)

π
3π
ou x
=
x =
2
2

.
⇒  ou
 x 0=
ou x π=
ou x 2π
=
Portanto, a soma pedida é igual a
π 3π
+
+ 0 + π + 2π =
5 π.
2 2
Resposta da questão 21:
[C]
 3

− 2  =0 ⇒ sen x =0
3 tg x =2sen x ⇒ sen x 
 cos x



ou cos x=
π
3
11π
⇒ x= 0 ou x= π ou x=
ou x=
2
6
6
Portanto a única alternativa correta é a letra [C].
Resposta da questão 22:
[A]
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Como a função y = 10cos(4t) é da forma y =
a ⋅ cos(m ⋅ t), segue que seu período é dado por
2π π
= .
4
2
A imagem da função é o intervalo 10 ⋅ [ −1, 1] = [ −10, 10]. Portanto, a amplitude do movimento é
10 cm.
Resposta da questão 23:
[B]
Pelo Teorema de Pitágoras, segue que
2
2
2
2
AB = AC + BC ⇔ AB = 2202 + 4002
2
⇔ AB =
208400
⇒ AB =
208400
⇒ AB ≅ 456,5 m.
Portanto,
AC
220
 =⇔
 =
sen ABC
sen ABC
456,5
AB
 ≅ 0,48.
⇒ sen ABC
Resposta da questão 24:
[D]
Considere a vista lateral da rampa, representada na figura abaixo.
Queremos calcular AC.
Temos que
sen15
=
° sen(45° − 30°)
= sen 45° ⋅ cos30° − sen30° ⋅ cos 45°
2 3 1 2
⋅
− ⋅
2 2 2 2
6− 2
=
.
4
=
Por conseguinte,
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sen15
=
°
3 2
AC
⇔=
AC
=
3 2
6− 2
4
12 2
6− 2
⋅
6+ 2
6+ 2
= 3 2 ⋅ ( 6 + 2)
= (6 3 + 6) m.
Resposta da questão 25:
[C]
I. (V) - Observar o desenho.
6
II. (F) - cos(Â)
= = 0,6 ;
10
8 8 4 4 32
III) (V) - sen  + tg  =
;
+ = + =
10 6 5 3 15
Resposta da questão 26:
[B]
sen60o =
60
AB
3
60
=
2
AB
120
AB =
3
AB = 40 3m
Resposta da questão 27:
a) Para t = 0 s, temos=
P 100 + 20 ⋅ sen(2π ⋅=
0) 100mm de Hg.
Para t = 0,75 s, vem=
P 100 + 20 ⋅ sen(2π ⋅ 0,75)
= 100 − 20
= 80mm de Hg.
b) A pressão sanguínea atingiu seu mínimo quando
3π
sen(2πt) =−1 ⇒ sen(2πt) =sen
2
3π
⇒ 2πt =
2
3
⇒t=
= 0,75 s.
4
Resposta da questão 28:
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[D]
Queremos calcular f(1) + f(2) + f(3).
π ⋅1
= 100,5 + 3 ⋅ 0,5= 102.
6
π⋅2
= 101 + 3 ⋅ 0,85= 103,55.
f(2)= 100 + 0,5 ⋅ 2 + 3 ⋅ sen
6
π⋅3
= 101,5 + 3 ⋅ 1= 104,5.
f(3)= 100 + 0,5 ⋅ 3 + 3 ⋅ sen
6
f(1)= 100 + 0,5 ⋅ 1 + 3 ⋅ sen
Portanto,
f(1) + f(2) + f(3) = 102 + 103,55 + 104,5 = 310,05.
Resposta da questão 29:
01 + 16 = 17.
Item (01) – Verdadeiro
Sendo f(x) =a ± bsen(cx + d) ⇒ Im =[a − b,a + b]
Logo:
f(x) =2 + 5sen(4x) ⇒ Im =
[2 − 5,2 + 5] =−
[ 3,7]
Portanto, o valor m‫ي‬nimo é – 3.
Item (02) – Falso
=
f(x) 4senx cos x ⇒
=
f(x) 2.2senx
cosx ⇒
=
f(x) 2sen2x


sen2x
Logo:
2π
2π
⇒ P=
= π rad
c
2
Imagem: ⇒ Im =
[ −2,2]
Per‫ي‬odo ⇒ P =
Item (04) – Falso
cotg (a) . sec (a) < 0
e
sen (a). cos (a) > 0
Item (08) – Falso
 A sen
=
=
430o sen 700 > 0
⇒ A >B

o
=
=
sen3400 < 0
B sen700
Item (16) – Verdadeiro
1
sec 2 x . ( − cos2 x) = .( − cos2 x) =
−1
( tg2 x + 1) (sen2 x − 1) =
cos2 x
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Resposta da questão 30:
[D]
1. P =
2π
= 365dias
2π
365
2. para que f(t) seja mínimo deveremos considerar
2π .t π
365
 2π 
= ⇔t=
≈ 91,25dias (mês de abril)
.t  = 1 ⇔
sen 
365 2
4
 365 
 365 
3. f 
 = 18,8 – 1,3.1 = 17 horas e 30 minutos
 4 
Os itens 2 e 3 são verdadeiros.
Resposta da questão 31:
[D]
2π 2π
.
O período da função é
=
5
5
Como as taxas de inalação e exalação são 6, temos a função :
 2π 
 2π 
y 0,6 ⋅ cos 
.x  , pois, se x for zero, o y
y 0,6 ⋅ sen 
.x  . A função não poderia ser =
=
5
 5 


deveria ser 0,6.
Resposta da questão 32:
[B]
P=
2π
2π
=
3
3
Resposta da questão 33:
[B]
5865
= 6900
1 + 0,15.( −1)
5865
Menor valor(cos(0,06t) ==
1) ⇒ r(t) = 5100
1 + 0,15.(1)
Somando, temos:
6900 + 5100 = 12000
Maior valor (cos (0,06t) =
= -1) ⇒ r(t)
Resposta da questão 34:
01 + 04 = 05
01) (verdadeira) R =
2 6 3. 3
.
= 6, logo o lado do quadrado é 2.6 = 12.
3
2
02 (falsa) sec x = 1 + tg x ⇔ sec x = 26 ⇔ cos x =
2
2
2
2
1
26
(terceiro quadrante)
⇔ cos x =
−
26
26
04) (verdadeira)
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(x +r) = (x – r) + x ⇔ x – 4xr = 0 ⇔ x = 0 (não convém) ou x = 4r.
x − r 3r 3
Logo, o cosseno do maior ângulo será
= =
x + r 5r 5
2
2
2
2
sen2 x
cos2 x − sen2 x
2
cos
x
cos2 x= cos2 x − sen2 x
=
2
2
sen x cos x + sen2 x
1+
cos2 x
cos2 x
1−
08) (falsa)
π
⇔x=
2
3π
⇔ x=
2x =
2
16) (falsa)
5π
⇔ x=
2x =
2
7π
⇔ x=
2x =
2
2x =
π
4
3π
4 (quatro raízes)
5π
4
7π
4
Resposta da questão 35:
[B]
8 sen
2
3
=4
x
3 sen 3 x
2
senx −
=2
1
8
2 senx −
1
8
3.sen x = 2senx –
1
(.4)
4
2
12.sen x = 8senx – 1
2
12.sen x - 8senx + 1 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau na incógnita senx, temos:
1
1
ou senx =
2
6
Observando a circunferência trigonométrica, notamos que a equação possui quatro raízes no
intervalo dado.
senx =
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Resposta da questão 36:
[C]
Seja n o número de degraus da escada.
tg 30  = 20 ⇒  = 20 3 cm

n=
280 3
= 14.
20 3
Resposta da questão 37:
[D]
Resposta da questão 38:
[D]
Resposta da questão 39:
[A]
Resposta
[C]
da
questão
40:
Resposta da questão 41:
[B]
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Resposta da questão 42:
[D]
Resposta da questão 43:
[D]
Resposta da questão 44:
[E]
Resposta da questão 45:
[E]
Resposta
[D]
da
questão
46:
Como 900° = 2 ⋅ 360° + 180°, segue que o atleta girou duas voltas e meia.
Resposta da questão 47:
[A]
Resposta da questão 48:
[D]
Resposta da questão 49:
[D]
Resposta da questão 50:
[B]
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