Licenciatura Plena em Ciências Naturais e Matemática-UFMT Módulo VIII Habilitação: Matemática SEQÜÊNCIAS E SÉRIES Professores: Demilson, Geraldo, Gladys, Luzia, Vinicius e William CUIABÁ/JANEIRO/2007 SEQÜÊNCIAS Na linguagem do dia-a-dia, o termo seqüência significa uma sucessão de coisas em uma ordem determinada (cronológica, de tamanho, ou lógica). Ex. dias da semana, meses do ano, figuras semelhantes. Em Matemática, seqüência é usada para denotar uma sucessão de números cuja ordem é determinada por uma lei ou função (cujo domínio é o conjunto dos números naturais). Ex. conjunto dos nos pares, dos múltiplos de 7. (ANTON, 2000, p. 38 e 40) SEQÜÊNCIAS As seqüências numéricas podem ser: Finita a) A seqüência dos quatro primeiros números naturais múltiplos de 5: (0, 5, 10, 15) (a1, a2, a3, a4) b) A seqüência dos números de dias dos 12 meses de um ano bissexto: (31, 29, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31) (a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10, a11, a12) SEQÜÊNCIAS Infinita a) A seqüência dos números naturais ímpares: (1, 3, 5, 7, 9, 11, ...) (a1, a2, a3, a4, a5, a6, ..., an, ...) b) A seqüência dos números quadrados perfeitos: (1, 4, 9, 16, 25, 36, ...) SEQÜÊNCIAS Seqüência ou Progressão Aritmética (PA) a) (2, 7, 12, 17, ...) 7 – 2 = 5; 12 – 7 = 5; 17 – 12 = 5; ... Crescente ou a2 = 7 = 2 + 5; a3 = 12 = 7 + 5; a4 = 17 = 12 + 5; ... Decrescente b) (20, 10, 0, – 10, –20, ...) 10 – 20 = –10; 0 – 10 = –10; ... ou a2 = 10 = 20 + (– 10); a4 = –10 = 0 + (– 10); ... a3 = 0 = 10 + (– 10); SEQÜÊNCIAS PA é toda seqüência de números na qual: I. a partir do segundo termo, a diferença entre cada termo e o seu precedente (anterior) é CONSTANTE; ou II. Cada um de seus termos, exceto o primeiro, é igual ao precedente, somado a um número CONSTANTE. Essa constante chama-se RAZÃO (r). SEQÜÊNCIAS Seqüência ou Progressão Geométrica (PG) a) Dividir um pedaço de papel sempre em 3 partes iguais. Repetir esse processo 4 vezes. (1, 3, 9, 27) (a1, a2, a3, a4) Crescente 3 9 27 = = =3 1 3 9 SEQÜÊNCIAS Na seqüência (1, 3, 9, 27) podemos ainda notar que: a2 = 3 = 1 . 3; a3 = 9 = 3 . 3; a4 = 27 = 9 . 3 b) (512, 128, 32, 8, 2, ...) 128 32 8 2 1 = = = = 512 128 32 8 4 1 1 128 = 512 • ; 32 = 128 • ; 4 4 Decrescente SEQÜÊNCIAS PG é toda seqüência de números não-nulos na qual: I. a partir do segundo termo, o quociente da divisão de cada termo pelo seu precedente é CONSTANTE; ou II. Cada um de seus termos, exceto o primeiro, é igual ao precedente, multiplicado por uma CONSTANTE. Esse quociente ou fator é chamado de RAZÃO (q) da progressão geométrica. SEQÜÊNCIAS Seqüência formada por uma lei ou função n+1 f (n) = ( –1) ( n • n +1 1 2 3 4 5 ,– , ,– , , ... 2 3 4 5 6 ) SEQÜÊNCIAS: Representações ⚫ Numericamente: (2, 4, 6, ...) ⚫ Geometricamente SEQÜÊNCIAS: Representações ⚫ y Graficamente 6 Termo Valor do termo a1 = 1 2 a2 = 2 4 a3 = 3 6 (3,6) 4 2 (2,4) (1,2) 1 2 3 x SEQÜÊNCIAS: Representações Algebricamente f(n) = an = 2n, para n lΝ/n 1 ⚫ ⚫ Por Chaves + 2n n=1 SEQÜÊNCIAS: Termo geral de uma PA Observe as figuras abaixo formadas por palitos. No de triângulos a1 = 3 = 3 + 0 a2 = 5 = 3 + 2 a3 = 7 = 3 + 4 a4 = 9 = 3 + 6 No de palitos 1 2 3 5 3 7 4 .. . ? .. . 20 .. . ? .. . n an = ? = 3 + 0.2 = 3 + 1.2 = 3 + 2.2 = 3 + 3.2 = 3 + (1–1).2 = 3 + (2–1).2 = 3 + (3–1).2 = 3 + (4–1).2 SEQÜÊNCIAS: Termo geral de uma PA a20 = 3 + (20 – 1) . 2 = 3 + 38 = 41 .. . an = 3 + (n – 1) . 2 → termo geral dessa PA O termo geral também pode ser expresso como função f(n) = an = 3 + (n – 1) . 2 f(n) = 2n + 1 Generalizando – o termo geral de uma PA: an = a1 + (n – 1) . r SEQÜÊNCIAS: Soma dos termos de uma PA finita Quantos casulos são necessários para montar o triângulo abaixo? O número de casulos em cada linha representa um termo de uma seqüência aritmética. (1, 2, 3, 4, 5, 6) SEQÜÊNCIAS: Soma dos termos de uma PA finita S6=[(1 + 6).6]/2 = 21 Sn = [(a1 + an).n]/2 SEQÜÊNCIAS: Termo geral de uma PG Voltando à divisão da folha de papel, fazendo agora inúmeras vezes essa divisão. Estágios da divisão Original E0 : 0 E1 : 1 E2 : 2 E3 : 3 .. . E12: 12 .. . En : an = 1 . 3n-1 a1 = 1 a2 = 3 a3 = 9 a4 = 27 n = 1 . 30 = 1 . 30 = 1 . 30.3 = 1 . 31 = 1 . 31.3 = 1 . 32 = 1 . 32.3 = 1 . 33 No de regiões a1 = 1 a2 = 3 a3 = 9 a4 = 27 .. . ? .. . an = ? = 1 . 31-1 = 1 . 32-1 = 1 . 33-1 = 1 . 34-1 SEQÜÊNCIAS: Termo geral de uma PG an = 1 . 3n-1 → Termo geral da PG para esse exemplo dado Generalizando: Como nesse exemplo tínhamos a1 = 1 e q = 3, então an = a1 . qn-1 Onde: an = termo geral; a1 = 1o termo da seqüência; n = no de termos da PG (até an); q = razão. SEQÜÊNCIAS: Soma dos n termos de uma PG finita Somando os termos da seqüência (1, 3, 9, 27) S = 1 + 3 + 9 + 27 ou 3 = 1.3 9 = 3.3 27 = 9 . 3 81 = 27 . 3 Assim, 3 . S = 3 + 9 + 27 + 81 – S = 1 + 3 + 9 + 27 3 . S – S = 81 – 1 S = 80 : 2 = 40 SEQÜÊNCIAS: Soma dos n termos de uma PG finita Generalizando: consideremos uma PG finita (a1, a2, a3, a4, a5, a6, ..., an) de razão q 1. Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an (I) Multiplicamos ambos os membros por q: Sn.q = a1q + a2q + a3q + ... + an-1q + anq Sn.q = a2 + a3 + ... + an-1 + an + an+1 (II) Como an+1 = a1qn, fazemos (II) – (I): Sn.q – Sn = a1qn – a1 (q – 1)Sn = a1(qn – 1) Sn = [a1(qn – 1)] : (q – 1), q 1
