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Licenciatura Plena em Ciências Naturais e
Matemática-UFMT
Módulo VIII
Habilitação: Matemática
SEQÜÊNCIAS E SÉRIES
Professores:
Demilson, Geraldo, Gladys,
Luzia, Vinicius e William
CUIABÁ/JANEIRO/2007
SEQÜÊNCIAS
Na linguagem do dia-a-dia, o termo seqüência significa uma
sucessão de coisas em uma ordem determinada (cronológica,
de tamanho, ou lógica).
Ex. dias da semana, meses do ano, figuras semelhantes.
Em Matemática, seqüência é usada para denotar uma
sucessão de números cuja ordem é determinada por uma lei
ou função (cujo domínio é o conjunto dos números naturais).
Ex. conjunto dos nos pares, dos múltiplos de 7.
(ANTON, 2000, p. 38 e 40)
SEQÜÊNCIAS
As seqüências numéricas podem ser:
Finita
a) A seqüência dos quatro primeiros números naturais
múltiplos de 5:
(0, 5, 10, 15)
(a1, a2, a3, a4)
b) A seqüência dos números de dias dos 12 meses de
um ano bissexto:
(31, 29, 31, 30, 31, 30, 31, 31, 30, 31, 30, 31)
(a1, a2, a3, a4, a5, a6, a7, a8, a9, a10, a11, a12)
SEQÜÊNCIAS
Infinita
a) A seqüência dos números naturais ímpares:
(1, 3, 5, 7, 9, 11, ...)
(a1, a2, a3, a4, a5, a6, ..., an, ...)
b) A seqüência dos números quadrados perfeitos:
(1, 4, 9, 16, 25, 36, ...)
SEQÜÊNCIAS
Seqüência ou Progressão Aritmética (PA)
a) (2, 7, 12, 17, ...)
7 – 2 = 5;
12 – 7 = 5;
17 – 12 = 5; ...
Crescente
ou
a2 = 7 = 2 + 5; a3 = 12 = 7 + 5; a4 = 17 = 12 + 5; ...
Decrescente
b) (20, 10, 0, – 10, –20, ...)
10 – 20 = –10; 0 – 10 = –10; ...
ou
a2 = 10 = 20 + (– 10);
a4 = –10 = 0 + (– 10); ...
a3 = 0 = 10 + (– 10);
SEQÜÊNCIAS
PA é toda seqüência de números na qual:
I. a partir do segundo termo, a diferença entre
cada termo e o seu precedente (anterior) é
CONSTANTE;
ou
II. Cada um de seus termos, exceto o primeiro, é
igual ao precedente, somado a um número
CONSTANTE.
Essa constante chama-se RAZÃO (r).
SEQÜÊNCIAS
Seqüência ou Progressão Geométrica (PG)
a) Dividir um pedaço de papel sempre em 3 partes iguais.
Repetir esse processo 4 vezes.
(1, 3, 9, 27)
(a1, a2, a3, a4)
Crescente
3 9 27
= =
=3
1 3 9
SEQÜÊNCIAS
Na seqüência (1, 3, 9, 27) podemos ainda notar que:
a2 = 3 = 1 . 3; a3 = 9 = 3 . 3; a4 = 27 = 9 . 3
b) (512, 128, 32, 8, 2, ...)
128 32
8 2 1
=
=
= =
512 128 32 8 4
1
1
128 = 512 • ; 32 = 128 • ;
4
4
Decrescente
SEQÜÊNCIAS
PG é toda seqüência de números não-nulos na qual:
I. a partir do segundo termo, o quociente da divisão de
cada termo pelo seu precedente é CONSTANTE;
ou
II. Cada um de seus termos, exceto o primeiro, é igual ao
precedente, multiplicado por uma CONSTANTE.
Esse quociente ou fator é chamado de RAZÃO (q) da
progressão geométrica.
SEQÜÊNCIAS
Seqüência formada por uma lei ou função
n+1
f (n) = ( –1)
(
n
•
n +1
1 2 3 4 5
,– , ,– , , ...
2 3 4 5 6
)
SEQÜÊNCIAS: Representações

Numericamente: (2, 4, 6, ...)

Geometricamente
SEQÜÊNCIAS: Representações

y
Graficamente
6
Termo
Valor do termo
a1 = 1
2
a2 = 2
4
a3 = 3
6
(3,6)
4
2
(2,4)
(1,2)
1
2
3
x
SEQÜÊNCIAS: Representações
Algebricamente
f(n) = an = 2n, para n  lΝ/n  1


Por Chaves
+
2n
n=1
SEQÜÊNCIAS: Termo geral de uma PA
Observe as figuras abaixo formadas por palitos.
No de triângulos
a1 = 3 = 3 + 0
a2 = 5 = 3 + 2
a3 = 7 = 3 + 4
a4 = 9 = 3 + 6
No de palitos
1
2
3
5
3
7
4
..
.
?
..
.
20
..
.
n
?
..
.
an = ?
= 3 + 0.2
= 3 + 1.2
= 3 + 2.2
= 3 + 3.2
= 3 + (1–1).2
= 3 + (2–1).2
= 3 + (3–1).2
= 3 + (4–1).2
SEQÜÊNCIAS: Termo geral de uma PA
a20 = 3 + (20 – 1) . 2 = 3 + 38 = 41
..
.
an = 3 + (n – 1) . 2  termo geral dessa PA
O termo geral também pode ser expresso como função
f(n) = an = 3 + (n – 1) . 2
f(n) = 2n + 1
Generalizando – o termo geral de uma PA:
an = a1 + (n – 1) . r
SEQÜÊNCIAS: Soma dos termos de uma PA
finita
Quantos casulos são necessários para
montar o triângulo abaixo?
O número de casulos
em
cada
linha
representa um termo
de uma seqüência
aritmética.
(1, 2, 3, 4, 5, 6)
SEQÜÊNCIAS: Soma dos termos de uma PA
finita
S6=[(1 + 6).6]/2
= 21
Sn = [(a1 + an).n]/2
SEQÜÊNCIAS: Termo geral de uma PG
Voltando à divisão da folha de papel, fazendo agora inúmeras
vezes essa divisão.
Estágios da divisão
Original E0 : 0
E1 : 1
E2 : 2
E3 : 3
..
.
E12: 12
..
.
En :
an = 1 . 3n-1
a1 = 1
a2 = 3
a3 = 9
a4 = 27
n
= 1 . 30 = 1 . 30
= 1 . 30.3 = 1 . 31
= 1 . 31.3 = 1 . 32
= 1 . 32.3 = 1 . 33
No de regiões
a1 = 1
a2 = 3
a3 = 9
a4 = 27
..
.
?
..
.
an = ?
= 1 . 31-1
= 1 . 32-1
= 1 . 33-1
= 1 . 34-1
SEQÜÊNCIAS: Termo geral de uma PG
an = 1 . 3n-1  Termo geral da PG para esse exemplo dado
Generalizando:
Como nesse exemplo tínhamos a1 = 1 e q = 3, então
an = a1 . qn-1
Onde:
an = termo geral;
a1 = 1o termo da seqüência;
n = no de termos da PG (até an);
q = razão.
SEQÜÊNCIAS: Soma dos n termos de uma PG finita
Somando os termos da seqüência (1, 3, 9, 27)
S = 1 + 3 + 9 + 27 ou
3 = 1.3
9 = 3.3
27 = 9 . 3
81 = 27 . 3
Assim, 3 . S =
3 + 9 + 27 + 81
–
S = 1 + 3 + 9 + 27
3 . S – S = 81 – 1  S = 80 : 2 = 40
SEQÜÊNCIAS: Soma dos n termos de uma PG finita
Generalizando: consideremos uma PG finita (a1, a2, a3,
a4, a5, a6, ..., an) de razão q  1.
Sn = a1 + a2 + a3 + ... + an-1 + an
(I)
Multiplicamos ambos os membros por q:
Sn.q = a1q + a2q + a3q + ... + an-1q + anq
Sn.q = a2 + a3 + ... + an-1 + an + an+1
(II)
Como an+1 = a1qn, fazemos (II) – (I):
Sn.q – Sn = a1qn – a1  (q – 1)Sn = a1(qn – 1)
Sn = [a1(qn – 1)] : (q – 1), q  1