x - Páginas Pessoais

PR
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
•
FUNÇÃO QUADRÁTICA (ou polinomial do 2o grau) y = a . x2 + b . x + c, com a ≠ 0
1) Se a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c = 0 e considerando ∆ = b 2 − 4 ⋅ a ⋅ c, temos : x =
−b± ∆
2⋅a
c

x1 ⋅ x 2 =


a
2) Se a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c = 0 temos : 
x + x = − b
1
2
a

3) a ⋅ x 2 + b ⋅ x + c = a ⋅ ( x − x1 ) ⋅ ( x − x 2 )
4) Vértice da parábola: V(xv, yv), onde: x V = −
b
x + x2
= 1
2⋅a
2
e yV = f (x v ) = −
∆
4⋅a
5) Decomposição de polinômios: P( x ) = a n ⋅ ( x − r1 ) ⋅ ( x − r2 ) ⋅ ( x − r3 ) ⋅ ... ⋅ ( x − rn )
6) Fatorações especiais: x n − a n = ( x − a ) ⋅ ( x n −1 + x n −2 ⋅ a + x n −3 ⋅ a 2 + ... + x ⋅ a n −2 + a n −1 )
•
 x, se x ≥ 0
MÓDULO OU VALOR ABSOLUTO: | x | = 
− x, se x < 0
•
SOMATÓRIO:
n
∑x
i
= x1 + x 2 + ... + x n
i =1
•
GEOMETRIA ESPACIAL
♦
 Área Total = Área Lateral + 2 × Área da Base
Prisma: 
Volume = Área da Base × Altura
 Área Base = π r 2 ; Área Lateral = 2π r h

♦ Cilindro:  Área Total = 2 × Área Base + Área Lateral ;
Volume = π r 2 h


 Área Base = π r 2 ; Área Lateral = π r g

♦ Cone:  Área Total = Área Base + Área Lateral ;

1
Volume = π r 2 h
3

 Área = 4 π r 2

♦ Esfera: 
4
3
Volume = π r
3

2
•
x
FUNÇÃO EXPONENCIAL: y = a , a > 0 e a ≠ 1
•
Propriedades das potências:
1) x n = 1
x ⋅4
x2
⋅ ...4
⋅x
3
2) x m+ n = x m ⋅ x n
3) x m− n =
5) ( x m ) n = x m ⋅ n
6)
n termos
4) x − n =
1
xn
xm
xn
m
n
xm = x n
7) a 0 = 1 (a ≠ 0)
•
 y = log ax , a > 0 e a ≠ 1 e x > 0

x
FUNÇÃO LOGARÍTMICA: 
 1
x
1 +  ≅ 2,7182818...
ln x = log e , onde : e = xlim
→ +∞
 x

•
Propriedades logarítmicas:
1) log a (A ⋅ B) = log a (A ) + log a (B)
A 
2) log a   = log a (A ) − log a (B)
B
2) log a (A n ) = n ⋅ log a (A )
log a A
4) log A =
(conhecida como mudança de base)
B log a B
x
5)
a log a = x e por consequência e ln x = x
•
GEOMETRIA ANALÍTICA:
1) Duas retas não verticais r e s são paralelas se, e somente se os seus coeficientes angulares forem
iguais, isto é:
r // s ⇒ mr = m s
2) Duas retas não verticais r e s são perpendiculares se, e somente se o produto de seus coeficientes
angulares for igual a menos um, isto é:
1
r ⊥ s ⇒ mr ⋅ ms = −1 ou r ⊥ s ⇒ ms = −
mr
•
A equação de uma circunferência de centro C(xc, yc) e raio r é
dado por: ( x − xc ) 2 + ( y − yc ) 2 = r 2 .
•
Considerando a circunferência com centro
temos: ( x − 0) 2 + ( y − 0) 2 = r 2 ⇒ x 2 + y 2 = r 2 .
na
y=
origem,
3) Equação fundamental da reta: y − y p = m ⋅ (x - x p ) , em que: m = tg α =
r 2 − x2
∆y
.
∆x
3
TRIGONOMETRIA - Definições, Relação Fundamental e Algumas Consequências
(01) sen θ =
(03) tg θ =
cateto oposto co
=
hipotenusa
hip
(02) cos θ =
cateto oposto
co
sen θ
=
ou tg θ =
cateto adjacente ca
cos θ
(05) sec θ =
cateto adjacente ca
=
hipotenusa
hip
(04) cot g θ =
1
cos θ
cos θ
1
ou cot g θ =
sen θ
tg θ
(06) cossec θ =
(07) sen 2θ + cos 2θ = 1
1
sen θ
(08) 1 + tg 2θ = sec 2θ
(09) 1 + cotg 2θ = cos sec 2 θ
sen (a + b) = sen a ⋅ cos b + sen b ⋅ cos a
sen (a − b) = sen a ⋅ cos b − sen b ⋅ cos a

(10) Soma de arcos: 
cos (a + b) = cos a ⋅ cos b − sen a ⋅ sen b
cos (a − b) = cos a ⋅ cos b + sen a ⋅ sen b
cos 2θ = cos 2θ − sen 2θ
(11) Arcos duplos: 
sen 2θ = 2 ⋅ sen θ ⋅ cos θ
sen 2θ + cos 2 θ = 1 ⇒
(12) Relação fundamental trigonométrica e consequências: 
1 − sen 2θ = cos 2 θ e 1 − cos 2 θ = sen 2θ
1 1
 2
cos θ = 2 + 2 cos 2θ
(13) Consequência da relação fundamental trigonométrica e arcos duplos: 
sen 2θ = 1 − 1 cos 2θ

2 2

sen


sen

(14) Transformação de soma em produto: 
cos


cos

 p+q
 p−q
p + sen q = 2 ⋅ sen 
 ⋅ cos 

 2 
 2 
 p−q
 p+q
p − sen q = 2 ⋅ sen 
 ⋅ cos 

 2 
 2 
 p+q
 p−q
p + cos q = 2 ⋅ cos 
 ⋅ cos 

 2 
 2 
 p+q
 p−q
p − cos q = −2 ⋅ sen 
 ⋅ sen 

 2 
 2 
b
c
 a
 sen Aˆ = sen B) = sen Cˆ
(15) Lei dos Senos e Lei do Cossenos: 
 2
2
2
ˆ
a = b + c − 2 ⋅ b ⋅ c ⋅ cos A
Definição de limites: lim f ( x ) = L ⇔ ∀ε > 0, ∃δ = δ(ε) / se 0 < | x − p | < δ ⇒ 0 < | f ( x ) − L | < ε
x →p
sen x
=1;
Limites especiais: lim
x →0
x
x
x
1
 1
 1
lim 1 +  = e ⇒ lim 1 +  = e e lim(1 + x )x = e
x →0
x →+∞
x →−∞
 x
 x
CONTINUIDADE: f é contínua em x = p ⇔ lim f ( x) = f ( p) .
x→ p
4
CAPÍTULO I – LIMITES
O estudo dos limites é fundamental para o entendimento das ideias de derivadas e integrais. Neste
momento, trabalharemos apenas a ideia intuitiva e informal de limite, sem as definições rigorosas e as
demonstrações formais de suas propriedades. A ideia intuitiva de limite é trabalhada geometricamente
por meio de seqüências e pela análise do gráfico de uma função.
A noção de limite de uma função, e o uso do deste é de fundamental importância na compreensão e,
conseqüentemente, no desenvolvimento de grande quantidade de tópicos no campo das ciências que
lidam com a Matemática. O Cálculo Diferencial e Integral (CDI) é uma parte (um ramo) da
matemática, toda ela, fundamentada no conceito de limite.
O conceito de limite de uma função f é uma das ideias fundamentais que distinguem o Cálculo da
Álgebra e da Trigonometria. Suponha que um físico deseje obter quanto vale determinada medida,
quando a pressão do ar é zero. Na verdade é impossível obter o vácuo perfeito. Então um
procedimento a ser adotado é experimentalmente efetuar-se essas medidas com valores cada vez
menores de pressão, se os valores desta medida tendem para um determinado número L, admite-se que
no vácuo ela seria igual ao valor L.
Se representarmos por x a pressão e à medida que quisermos for dada por f(x), então podemos
representar esse resultado por:
lim f ( x) = L
x→ 0
Esta é uma situação em que se aplica o conceito matemático de limites. Tal conceito é de fundamental
importância para o desenvolvimento teórico de derivadas e integrais que possuem várias aplicações na
física, eletricidade, mecânica, etc.
•
Limites: Breve histórico
Uma preocupação já presente entre os gregos antigos consistia na busca de procedimentos para
encontrar áreas de figuras com diferentes formas. Por meio de transformações geométricas,
relacionando figuras com áreas equivalentes, os gregos dedicaram-se, principalmente, ao cálculo de
áreas de figuras limitadas por segmentos de reta ou arcos de círculo, pela redução a figuras conhecidas.
Quando tratamos do cálculo de áreas de figuras por curvas, é inevitável recorrer a procedimentos que
se utilizem, direta ou indiretamente, do conceito de limite. Os gregos resolveram o problema de
calcular a área do círculo pela aproximação sucessiva (método de exaustão) de polígonos inscritos com
número cada vez maior de lados, de acordo com a seqüência de figuras apresentada a seguir.
...
Calculando a área de um polígono através de sua decomposição em triângulos isósceles com vértices
no centro do círculo e bases coincidentes com seus lados, a figura convergia para o círculo circunscrito
a todos os elementos da seqüência em questão.
Deve-se a Cauchy (1789-1857), matemático francês, a formalização precisa de limite.
5
1) Tema: Limites
2) Pré-requisitos:
O acadêmico deverá apresentar domínio sobre:
• Reta numérica (reta real);
• Funções, compreendendo definição (conceito), domínio, imagem e representação gráfica;
• Polinômios, entendendo valor numérico e raízes (ou zeros) deste;
• Equações algébricas, fatorações;
• Conceito de velocidade e aceleração.
3) Objetivos instrucionais:
O acadêmico será capaz de perceber de forma intuitiva a teoria dos limites como objetivo para estudar
o comportamento de uma função quando sua variável está na proximidade de um número real,
podendo a função estar ou não definida. Inicialmente, trabalharemos com limite de funções tendendo
para um valor fixo ou para mais infinito.
4) Desenvolvimento do tema:
4.1. Introdução:
Usamos a palavra limite no nosso cotidiano para indicar, genericamente, um ponto que pode ser
eventualmente atingido, mas que jamais pode ser ultrapassado.
Exemplos:
1) Injetando ininterruptamente ar em um balão de borracha, haverá um momento em que ele estoura.
Isso porque existe o limite de elasticidade da borracha.
2) Um engenheiro ao construir um elevador, estabelece o limite de carga que este suporta.
3) No lançamento de um foguete, os cientistas devem conhecer o limite mínimo de combustível
necessário para que a aeronave entre em órbita.
4) Como os avanços na tecnologia resultam na produção de calculadoras cada vez mais potentes e
compactas, o preço das calculadoras atualmente no mercado diminui. Suponha que x meses a partir
30
de agora, o preço de certo modelo seja de P ( x) = 40 +
unidades monetárias (u. m.).
x +1
a) Qual será o preço daqui a 5 meses? Resposta: P(5) = $ 45.
b) De quanto cairá o preço durante o quinto mês? Resposta: P(5) - P(4) = 45 - 46 = $ 1.
c) Quando o preço será de $ 43 u. m. Resposta: P(x) = 43 => Daqui a 9 meses.
d) O que acontecerá com o preço a longo prazo (x→ ∞)? Resposta: P(x) → $ 40 quando x → ∞.
5) Supõe-se que a população de uma certa comunidade suburbana, daqui a t anos, será de
6
P (t ) = 20 −
milhares .
t +1
a) Daqui a 9 anos, qual será a população da comunidade?
b) De quanto a população crescerá durante o 90 ano?
c) Ao longo desse tempo, o que acontecerá ao tamanho da população?
Resposta: a) P(9) = 194/10 = 19,4 milhares.
b) P(9) – P(8) = 194/10 - 58/3 = (1/15) milhares = 67 habitantes.
c) A população aproximar-se-á de 20 mil habitantes.
Nota: É importante ter em mente que o limite pode ser um ponto que nunca é atingido, mas do qual
pode-se aproximar tanto quanto se desejar.
6
4.2. Conceito de limite:
Exemplos:
1) Inicialmente, vamos tomar a função f: ℜ→ℜ, definida por y = f(x) = x – 2 e determinar o valor de
f(x), quando os valores de x, encontram-se muito próximos de 2.
Atribuindo a x uma seqüência de valores que se aproximam cada vez mais de 2, sendo todos valores
menores que 2, é possível determinar os valores de f(x), conforme ilustra o quadro a seguir:
x
f(x)
1
-1
1,5
-0,5
1,8
-0,2
1,9
-0,1
1,99
-0,01
1,999
-0,001
1,9999
-0,0001
1,99999 -0,00001
1,999999 -0,000001
Percebe-se que conforme os valores de x aproximam-se de 2 (dois), os valores de f(x) aproximam-se de
0 (zero).
Por outro lado, atribuindo-se a x uma seqüência de valores que se aproximam cada vez mais de 2,
sendo todos maiores que 2, é possível determinar os valores de f(x), conforme observa-se no seguinte
quadro:
x
f(x)
3
1
2,5
0,5
2,3
0,3
2,1
0,1
2,01
0,01
2,001
0,001
2,0001
0,0001
2,00001 0,00001
2,000001 0,000001
Novamente, os valores de f(x) aproximam-se de 0 (zero), à medida que os valores de x aproximam-se
de 2 (dois).
Graficamente, usando o software Maple, temos:
> plot(x-2,x=-1..4,color=blue);
Neste caso, escrevemos em linguagem matemática:
lim− f ( x) = lim+ f ( x) = lim f ( x) = 0
x →2
x→2
x →2
Lê-se: Limites laterais de f(x) são iguais ao limite de f(x), quando x tende para 2 e é igual a 0.
7
x2 − 9
. Suponha que estejamos interessados em saber de que valor se
x−3
aproxima f(x) quando x se aproxima de 3.
2) Tomemos a função f ( x) =
Façamos uma tabela e atribuamos a x valores menores que 3.
x
2,5
2,8
2,9
2,99
2,999
2,9999
...
f(x)
5,5
5,8
5,9
5,99
5,999
5,9999
...
Vemos que quanto mais x se aproxima de 3, mais o valor de f(x) se aproxima de 6. Note que nos
aproximamos de x por valores menores do que 3.
Matematicamente, representamos esta situação por:
lim - f ( x) = 6
x→ 3
Lê-se: limite de f(x) quando x tende a três pela esquerda é igual a 6 (seis).
Tomemos agora valores próximos de três, mas maiores que 3.
x
3,4
3,2
3,1
3,01
3,001
3,0001
...
f(x)
6,4
6,2
6,1
6,01
6,001
6,0001
...
Note que quanto mais x se aproxima de 3 por valores maiores do que 3, mais f(x) se aproxima de 6.
Matematicamente, representamos esta situação por
lim + f ( x) = 6
x→ 3
Lê-se: limite de f(x) quando x tende a três pela direita é igual a 6 (seis).
Estes limites, são chamados limites laterais.
O limite de uma função existe se e somente se os limites laterais existirem e forem iguais.
Simbolicamente:
lim f ( x ) = L ⇔ lim− f ( x ) = lim+ f ( x ) = L
x→ a
x→ a
x→ a
Como os limites anteriores são iguais, podemos dizer que:
lim f ( x) = 6 pois, lim− f ( x ) = 6 e lim+ f ( x ) = 6
x →3
x→3
x →3
8
Limites laterais: São obtidos quando se considera os valores menores que x (limite de f(x), quando x
tende a 2 pela esquerda) e quando considera-se os valores maiores que x (limite de f(x), quando x tende
a 2 pela direita).
Antes de formalizarmos o conceito, façamos mais um exemplo:
x 2 −1
Analisar a função f: ℜ→ℜ, definida por y = f ( x) =
, quando x tende (aproxima-se) para 1.
x −1
Atribuindo valores para x, pode-se construir um quadro e em seguida, fazer um esboço de seu gráfico,
ressaltando que Dom( f ) = {x ∈ ℜ / x ≠ 1} (Dom = domínio, ou seja, valores que são possíveis de serem
atribuídos a variável independente x).
x
-1
0
0,9999
1
1,0001
2
3
y=
x2 −1
x −1
0
1
1,9999
Não existe
2,0001
3
4
Graficamente, usando o software Maple, temos
> plot((x^2-1)/(x-1),x=-2..4,color=blue);
Observe no gráfico, o que ocorre com as imagens das seqüências cujos valores se aproximam de 1. As
imagens se aproximam de 2. Portanto, neste caso, escrevemos:
lim f ( x) = lim+ f ( x) = lim f ( x) = 2
x →1−
x →1
x →1
Perceba que o limite dessa função para x tendendo a 1 existe, embora a função não esteja definida no
ponto x = 1.
De forma genérica, escrevemos: lim f ( x) = L
x →a
De acordo com os exemplos apresentados anteriormente, nota-se que a ideia de limite de uma função f,
quando x tende para a, depende somente dos valores de f em valores próximos de a, o valor de f(a) é
irrelevante.
 lim− f ( x) = L
Nota: lim f ( x) = L ⇔  x→a
, L∈ℜ
x →a
f ( x) = L
 xlim
+
→a
9
Exemplos:
1) O gráfico a seguir representa uma função f de [−6, 9] em ℜ . Determine:
a) f (2)
b) lim− f ( x)
x→ 2
c) lim+ f ( x)
x→ 2
d) lim f ( x)
x→ 2
e) f (−2) =
f) f (7) =
Solução:
a) f (2) = 3
b) lim− f ( x) = 2
x →2
c) lim+ f ( x) = 5
x →2
d) Não existe o limite pedido, pois: lim− f ( x) ≠ lim+ f ( x)
x→ 2
x→ 2
e) f (−2) = 0
f) f (7) = 0
Observe que -2 e 7 são as raízes (ou zeros) da função f.
2) Um gás (vapor d’água) é mantido à temperatura constante. A medida que o gás é comprimido, o
volume V decresce até que atinja uma certa pressão (P) crítica. Além dessa pressão, o gás assume
forma líquida. Observando a figura a seguir, determine:
a) lim − V
b) lim + V
c) lim V
p →100
p →100
p →100
Solução:
a) lim − V = 0,8
p →100
b) lim + V = 0,4
p →100
c) Não existe o limite pedido, pois: lim − V ≠ lim + V
p →100
p →100
10
5) Metodologia:
•
Exposição do conteúdo com utilização de quadros e gráficos.
•
Tomar exemplos singulares, objetivando chegar a pluralidade do assunto, representando-o na
linguagem matemática.
6) Recursos didáticos:
Quadro-de-giz, giz, retroprojetor, transparências, computador, projetor multimídia, lista de exercícios,
etc.
7) Verificação da aprendizagem:
•
Participação do acadêmico no decorrer da aula, considerando sua curiosidade, e é claro que
respeitando a sua individualidade;
•
Interesse na resolução dos exercícios;
•
Avaliação escrita e individual;
•
Utilização de software matemático de manipulação algébrica (Maple®, por exemplo).
8) Lista de Exercícios:
9) Referências Bibliográficas: Final da apostila
ATIVIDADE: PESQUISAR APLICAÇÕES DE LIMITES:
1) SOMA INFINITA DE UMA PROGRESSÃO GEOMÉTRICA (PG).
2) APLICAÇÕES À ELETRICIDADE.
3) APLICAÇÕES À ENGENHARIA.
4) REGIME DE CAPITALIZAÇÃO CONTÍNUA.
11
ALGUMAS APLICAÇÕES DE LIMITES
•
Área de um círculo
Desde os tempos mais antigos os matemáticos se preocupam com o problema de determinar a área de
uma figura plana. O procedimento mais usado foi o método da exaustão, que consiste em aproximar a
figura dada por meio de outras, cujas áreas são conhecidas.
Como exemplo, podemos citar o círculo. Para definir sua área, consideramos um polígono regular
inscrito de n lados, que denotamos por Pn, conforme ilustra a figura a seguir.
Seja An a área do polígono Pn. Então, An = n ⋅ ATn , onde ATn é a área do triângulo de base ln e altura hn,
da figura a seguir.
Como ATn =
ln ⋅ hn
é o perímetro do polígono Pn é dado por p n = n ⋅ l n , vem:
2
l ⋅h
p ⋅h
An = n ⋅ n n = n n
2
2
Fazendo n crescer cada vez mais, isto é, n → +∞ , o polígono Pn torna-se uma aproximação do círculo.
O perímetro pn aproxima-se do comprimento do círculo 2π r e a altura hn aproxima-se do raio r.
Nesta condição, temos,
lim An =
n→∞
2π r ⋅ r
= π r2
2
que á a área do círculo.
12
•
Velocidade Média e Velocidade Instantânea
Vamos utilizar uma historinha para ilustrar melhor os conceitos:
O senhor Mário mora na cidade A e, nos fins de semana, vai visitar a irmã que mora na cidade B,
distante 200 quilômetros de A, e nesse percurso ele leva duas horas e meia. Na última vez, o senhor
Mário foi multado pela polícia rodoviária por excesso de velocidade. Ele tentou argumentar que, como
percorreu 200 km em duas horas e meia, a sua velocidade é de 80 km/h e portanto não poderia ser
multado. Por que os guardas rodoviários não lhe deram ouvidos?
A velocidade a que se refere o senhor Mário é a velocidade média:
vm =
distância percorrida 200
=
= 80 km / hora
tempo decorrido
2,5
A velocidade a que se refere o guarda rodoviário é a velocidade instantânea, que provavelmente era
maior do que 80 km/h no instante em que ele passava pelo local, pois é difícil manter uma velocidade
constante num percurso tão longo.
Lembremos o que é velocidade instantânea.
Seja s = s(t) a equação horária do movimento de um ponto material na reta numérica, isto é, s(t) indica
a coordenada do ponto material no instante t. A velocidade média do ponto material no intervalo de
tempo [t , t + ∆t ] é dada pela razão (divisão) entre o espaço percorrido e o tempo decorrido.
vm =
∆s s (t + ∆t ) − s (t )
=
∆t
∆t
A velocidade instantânea do ponto material no instante t é o limite da velocidade média
∆s
quando
∆t
∆t tende para 0:
∆s
s (t + ∆t ) − s (t )
= lim
∆ t → 0 ∆t
∆t →0
∆t
v = v(t ) = lim
Exemplo:
1) Seja s (t ) = 3t 2 + 10t a equação horária de um ponto material que se move na reta numérica.
Supomos que s seja medido em metros e t, em segundos. Calcule:
a) A velocidade média do ponto material no intervalo de tempo [2, 4].
b) A velocidade instantânea no instante t = 2.
Solução:
a) Velocidade média:
s (4) − s (2) (3 ⋅ 4 2 + 10 ⋅ 4) − (3 ⋅ 2 2 + 10 ⋅ 2) 48 + 40 − 12 − 20 56
vm =
=
=
=
= 28 m / s
4−2
2
2
2
b) A velocidade instantânea no instante t = 2.
s (2 + ∆s ) − s (2)
3(2 + ∆t ) 2 + 10(2 + ∆t ) − (3 ⋅ 2 2 + 10 ⋅ 2)
v = lim
= lim
=
∆t → 0
∆t → 0
∆t
∆t
3 ⋅ 4 + 3(∆t ) 2 + 3 ⋅ 4 ⋅ ∆t + 20 + 10 ⋅ ∆t − 12 − 20
= lim
= lim [3 ⋅ ∆t + 22] = 22 m / s
∆t →0
∆t →0
∆t
No próximo tópico, diremos que a velocidade instantânea é a derivada do espaço em relação ao tempo:
v(t ) =
ds
dt
13
2) Suponha que uma partícula esteja sendo acelerada por uma força constante. As duas curvas
v = n(t) e v = e(t) da figura abaixo fornecem as curvas de velocidade instantânea versus tempo
para a partícula conforme previstas, respectivamente, pela Física clássica e pela Teoria da
Relatividade Especial. O parâmetro c representa a velocidade da luz. Usando a linguagem de
limites, descreva as diferenças nas previsões a longo prazo das duas teorias.
3) Seja T = f(t) a temperatura de uma peça t minutos depois de retirada de um forno industrial. A
figura abaixo mostra a curva da temperatura versus tempo para a peça, onde r denota a temperatura
ambiente. Pergunta-se:
a) Qual é o significado físico de lim+ f (t ) ?
t →0
b) Qual é o significado físico de lim f (t ) ?
t →∞
CONTINUIDADE EM APLICAÇÕES (Adaptado de Anton, Cálculo, vol. I, 8 ed., 2007)
Nas aplicações, as descontinuidades sinalizam, muitas vezes, a ocorrência de importantes fenômenos
físicos. Por exemplo, a Figura 1 é um gráfico da voltagem versus o tempo para um cabo subterrâneo
que é acidentalmente cortado por uma equipe de trabalho no instante t = t0 (A voltagem caiu para zero
quando a linha foi cortada.) A Figura 2 mostra o gráfico de unidades em estoque versus tempo para
uma companhia que reabastece o estoque com y1 unidades quando o estoque cai para y0 unidades. As
descontinuidades ocorrem nos momentos em que acontece o reabastecimento.
Figura 1
Figura 2
14
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
1) Seja a função f: ℜ*→ℜ, definida por f ( x) =
x
. Esboce o gráfico de f e calcule lim f ( x) .
x→0
| x|
(2 x + 1) ⋅ ( x − 2)
. Esboce o gráfico de f e calcule
( x − 2)
lim f ( x) . Dica: Inicialmente, explicite o domínio de f.
2) Seja f a função racional definida por f ( x) =
x→ 2
4 − x 2 , se x < 1

3) Dada a função f definida por: f ( x) = 2,
se x = 1 . Esboce o gráfico de f e calcule o seu limite

2
2 + x , se x > 1
quando x tende a 1.
4) Para estudar a velocidade na qual os animais aprendem, um estudante de psicologia executou um
experimento no qual um rato era enviado repetidamente através de um labirinto de laboratório.
Suponha que o tempo requerido pelo rato para atravessar o labirinto na enésima tentativa era de
12
aproximadamente f (n) = 3 +
minutos.
n
a) Para que valores de n a função f ( n ) tem significado no contexto do experimento psicológico?
Resposta: Todo inteiro positivo ( Z*+ )
b) Quanto tempo leva para que o rato atravesse o labirinto na terceira tentativa? Resposta: 7 minutos
c) Em qual tentativa o rato atravessou pela primeira vez o labirinto em 4 minutos ou menos?
Resposta: 12a tentativa
d) De acordo com a função f, o que acontecerá com o tempo requerido pelo rato para atravessar o
labirinto à medida que o número de tentativas aumenta? Será o rato um dia capaz de atravessar o
labirinto em menos de 3 minutos?
Resposta: O tempo necessário aproximar-se-á de, mas nunca será menor do que 3 minutos.
5) Um fazendeiro estabelece o preço da saca de café em função da quantidade de sacas adquiridas
200
pelo comprador por intermédio da equação P ( x) = 50 +
, em que P(x) é o preço em dólares por
x
saca e x é o número de sacas vendidas.
a) Quanto deve pagar, por saca, um comprador que adquirir 100 (cem) sacas?
b) Quanto deve pagar, por saca, um comprador que adquirir 200 (duzentas) sacas?
c) Sabendo que um comprador pagou 54 dólares por saca, quantas sacas comprou?
d) O que acontecerá com o preço de cada saca, em uma compra muito grande (x→ ∞)?
Resposta: a) 52 dólares b) 51 dólares c) 50 sacas d) P(x) → $ 50 quando x → ∞
6) O gráfico a seguir representa uma função f de [−4, 2] em ℜ . Determine:
a) f (−1) =
b) lim− f ( x) =
x → −1
c) lim+ f ( x) =
x → −1
Resposta: a) f (−1) = 5
b) 3
c) 5
15
7) Um paciente em um hospital recebe uma dose inicial de 200 miligramas de um medicamento. A
cada 4 horas recebe uma dose adicional de 100 mg. A quantidade f(t) do medicamento presente na
corrente sangüínea após t horas é exibida na figura a seguir. Determine e interprete:
a) lim− f (t )
b) lim+ f (t )
t →8
Resposta: a) 150
p →8
b) 250
Interpretação: Não existe limite.
8) O gráfico a seguir representa uma função f de [−3, 4[ em ℜ . Determine:
a) f (1) =
b) lim− f ( x) =
x →1
c) lim+ f ( x) =
x →1
Resposta: a) f (1) = 4
b) -2
c) 4
9) Se a equação horária de uma partícula é s(t ) = 16t 2 + t , determine:
a) A velocidade média no intervalo de tempo [2; 2,1].
b) A velocidade instantânea da partícula no instante t = 2.
16
10) Complete os espaços indicados, analisando cada função dada pelo gráfico:
•
Gráfico I (Maple: plot(2*x,x=-1..4,color=black);)
a) lim− f ( x) = ...
x→2
b) lim+ f ( x) = ...
x→2
c) lim f ( x) = ..., pois:
x→2
lim f ( x) ... lim+ f ( x)
x→ 2 −
•
x→ 2
Gráfico II (Maple: plot(3-x,x=-2..4,color=black);)
a) lim− f ( x) = ...
x →1
b) lim+ f ( x) = ...
x →1
c) lim f ( x) = ..., pois:
x →1
lim f ( x) ... lim+ f ( x)
x →1−
•
x →1
Gráfico III (Maple: f:=x->piecewise(x>1,6,x<=1,x+3);
plot(f(x),x=-4..4 color=black);)
a) lim− f ( x) = ...
x →1
b) lim+ f ( x) = ...
x →1
c) lim f ( x) = ..., pois:
x →1
lim f ( x) ... lim+ f ( x)
x →1−
x →1
Conclusão: O limite de f ( x), quando x tende a p, existe e é único se os limites laterais existem e são
............
17
RESPOSTAS, DICAS E SUGESTÕES
1) > plot(x/abs(x),x=-2..2,color=blue);
Resposta: Não existe o limite pedido, ou seja, não existe lim f ( x) .
x→0
2) > plot((2*x+1)*(x-2)/(x-2),x=-2..6,color=blue);
Resposta: lim f ( x) = 5 .
x→2
3) > f:=x->piecewise(x<1,4-x^2,x=1,2,x>1,2+x^2);
f := x → piecewise( x < 1, 4 − x 2, x = 1, 2, 1 < x, 2 + x2 )
x<1
 4 − x2


> f(x);  2
x=1

 2 + x 2
1<x
> plot(f(x),x=-2..2,color=blue);
Resposta: lim f ( x) = 3 .
x →1
18
• LIMITE DE UMA FUNÇÃO
A ideia precisa do limite foi formalizada pelo matemático francês Cauchy (1789-1857).
• NOÇÃO INTUITIVA DE LIMITE
Dizemos que a função f(x) têm por limite o número L quando x tende para o número p, e escrevemos:
lim f ( x ) = L
x→p
Nota: Os valores de x podem se aproximar do valor de p pela direita ou pela esquerda, estudaremos
estes casos precisamente em limites laterais.
Exemplos:
1) Seja a função f(x) = 2x+1, calcule, utilizando a ideia intuitiva de limite, lim(2 x + 1) .
x →2
Solução:
Queremos determinar o valor da função "f(x)" quando o valor de "x" se aproxima de 2, seja pela
direita(valores superiores a 2) ou pela esquerda (valores inferiores a 2)
Esquerda
x
1
1,5
1,7
1,8
1,9
1,95
1,99
...
↓
2
Direita
2x+1
2.1+1 = 3
2.1,5+1 = 4
2.1,7+1 = 4,4
2.1,8+1 = 4,6
2.1,9+1 = 4,8
2.1,95+1 = 4,9
2.1,99+1 = 4,98
...
↓
5
x
3
2,5
2,1
2,01
2,001
2,0001
2,00001
...
↓
2
2x+1
2.3+1
=7
2.2,5+1
=6
2.2,1+1
= 5,2
2.2,01+1
= 5,02
2.2,001+1 = 5,002
2.2,0001+1 = 5,0002
2.2,00001+1 = 5,00002
...
↓
5
Y = 2X + 1
8
e ixo da s ord en ad as, Y
6
4
2
0
-2
-4
-6
-3
-2
-1
0
1
e ixo d a s a b scissa s, X
2
3
Assim, substituindo estes valores no gráfico observamos que quando x se aproxima de 2 a função f(x)
se aproxima de 5.
Como o Domínio de f(x) = 2x+1 é todos os Reais temos lim(2 x + 1) = 2 ⋅ 2 + 1 = 5
x→2
2) lim( x − 4) =1 – 4 = 1 – 4 = -3, pois o domínio de f(x) = x2 – 4 é todos os Reais
2
2
x →1
19
x2 − 4
( x − 2)( x + 2)
= lim
= lim( x + 2) = 2 + 2 = 4 , pois D(f ) = ℜ − {2}
x →2 x − 2
x→2
x→2
x−2
3) lim
4x − 8
4( x − 2)
4
4
4
= lim
= lim
=
=
= −4 , pois D(f ) = ℜ − {2, 3}
x → 2 x − 5x + 6
x → 2 ( x − 2)( x − 3)
x→2 x − 3
2 − 3 −1
4) lim
2
( x − 9)( x + 3)
= lim( x + 3) = 9 + 3 = 3 + 3 = 6
x →9
( x − 9)
x −3
( x − 3)( x + 3)
6 x − 18
6 ⋅ ( x − 3)
6
6
6
6) lim
= lim
= lim
=
= =6
x →3 ( x − 2) ⋅ ( x − 3)
x →3 ( x − 2) ⋅ ( x − 3)
x →3 x − 2
3− 2 1
6 x − 30
6 ⋅ ( x − 5)
6
6
6 3
7) lim 2
= lim
= lim
=
=
=
x →5 x − 25
x →5 ( x − 5) ⋅ ( x + 5)
x →5 x + 5
5 + 5 10 5
5) lim
x −9
x →9
= lim
( x − 9)( x + 3)
x →9
= lim
x →9
8) Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule lim( x + 1)
x →1
Solução:
Esquerda
x+1
1+2
=3
1+1,5 = 2,5
1+1,1 = 2,1
1+1,01 = 2,01
1+1,001 = 2,001
...
↓
2
Direita
x
0,5
0,9
0,99
0,999
0,9999
...
↓
1
x+1
1+0,5 = 1,5
1+0,9 = 1,9
1+0,99 = 1,99
1+0,999 = 1,999
1+0,9999 = 1,9999
...
↓
2
Y = X+ 1
4
3
eixo das orde nad as, Y
x
2
1,5
1,1
1,01
1,001
...
↓
1
2
1
0
-1
-2
-3
-2
-1
0
1
e ixo das a bscissa, X
2
3
20
PROPRIEDADES OPERATÓRIAS DOS LIMITES
A seguir introduziremos propriedades que podem ser usadas para achar muitos limites sem utilizar a
pesquisa do número δ que aparece na definição de limite.
•
(P0) Se lim f ( x) = L1 e lim f ( x) = L2 , então L1 = L2 . (Teorema da Unicidade do limite)
•
(P1) Sejam a e c números reais quaisquer, então lim c = c isto é o limite de uma constante é a
x→a
x→a
x→ a
própria constante.
•
(P2) Se a, b, m são números reais, então: lim (mx + b) = ma + b
x→ a
Exemplo: lim (3 x − 5) = 3.4 − 5 = 7
x→ 4
•
(P3) Se lim f ( x) = L e lim g ( x) = M , então:
x→a
x →a
a) lim [ f ( x) + g ( x)] = L + M
x →a
b) lim [ f ( x) ⋅ g ( x)] = L ⋅ M
x→a
c) lim
x→a
f ( x) L
=
desde que M ≠ 0
g ( x) M
d) lim [ f ( x)] = Ln ( p/ ∀ inteiro positivo n)
n
x →a
e) lim n f ( x) = n L , desde que L > 0 p/ n par
x →a
f) lim ln[ f ( x)] = ln .L , desde que L > 0
x→a
g) lim cos [f(x)] = cos ( L)
x →a
h) lim sen [f(x)] = sen ( L)
x →a
i) lim e f ( x ) = e L
x →a
Exemplo: Determine o seguinte limite:
P3
P2
lim ( x 2 − 3x + 1) = ⇒ lim x 2 − lim 3x + lim 1 ⇒ 2 2 − 3.2 + 1 = −1
x →2
x→2
x→2
x→2
Vemos neste exemplo que o valor de lim f ( x) = f (a )
x→a
Isto na verdade ocorre para todos os polinômios. Enunciando então, formalmente, temos:
21
Teorema I: Se f é uma função polinomial, então: lim f ( x) = f (a ) .
x→a
Exemplos:
1) Calcule lim ( x 2 − 5 x + 1) = 2 2 − 5 ⋅ 2 + 1 = −5
x →2
3x, se x ≤ 2
2) Calcule lim f ( x) sendo  2
.
x →2
x , se x > 2
Solução: Se x < 2 ⇒ lim − f ( x) = 3 ⋅ 2 = 6 . Por outro lado, x > 2 ⇒ lim + f ( x) = 2 2 = 4 . Portanto,
x→2
x→2
não existe o limite.
Além deste, temos ainda outros teoremas que nos fornecem resultados úteis para o cálculo de limites.
Teorema II: Se f é uma função racional, e a pertence ao domínio, então:
lim q ( x) = q (a )
x→a
Exemplos:
5x 2 − 2 x + 1
x →3
6x − 7
1) Calcule lim
Solução:
5 x 2 − 2 x + 1 5 ⋅ 32 − 2 ⋅ 3 + 1 40
7
=
=
=3
x →3
6x − 7
6⋅3 − 7
11
11
lim
2) Calcular lim 3 3x 2 − 4 x + 9
x →5
Solução:
lim 3 3x 2 − 4 x + 9 = 3 lim 3x 2 − 4 x + 9 = 3 75 - 20 + 9 = 3 64 = 4
x →5
x →5
Em resumo:
•
Sejam f e g funções tais que: lim f ( x ) = L1 e lim f ( x ) = L 2 então:
x →p
x →p
1) lim [ f ( x) + g ( x)] = L1 + L 2 = lim f ( x) + lim g ( x) , ou seja, o limite da soma é igual a soma dos
x→ p
x→ p
x→ p
limites.
2) lim k ⋅ f ( x) = k . ⋅ L1 = k ⋅ lim f ( x)
x→ p
x→ p
3) lim[f ( x ) − g( x )] = L1 − L 2 = lim f ( x ) − lim g( x )
x →p
x →p
x →p
4) lim[ f ( x) ⋅ g ( x)] = L1 ⋅ L 2 = lim f ( x) ⋅ lim g ( x)
x→ p
x→ p
x→ p
f (x)
f ( x ) L1 lim
x →p
5) lim
=
=
, desde que L 2 ≠ 0
x →p g( x )
L 2 lim g( x )
x →p
n
6) lim[f ( x )] = L1
x →p
n
n
=  lim f ( x )  , n ∈ N
 x →p

22
7) lim n f ( x ) = n L1 = n lim f ( x ) , desde que L1 > 0 (no caso em que n é par)
x →p
x →p
8) lim k = k , ∀ k ∈ ℜ , ou seja, o limite de uma constante é a própria constante.
x→ p
9) lim x = p
x →p
10) lim f ( x ) g ( x ) = L1
x →p
•
L2
= lim f ( x )
 x →p

lim g ( x )
x →p
Se lim f1 (x) = L1 , lim f 2 (x) = L 2 ,..., lim f n (x) = L n , então
x →p
x →p
x →p
11) lim[f 1 ( x ) + f 2 ( x ) + ... + f n ( x )] = L1 + L 2 + ... + L n
x →p
12) lim[f 1 ( x ).f 2 ( x )...f n ( x )] = L1 .L 2 ...L n , n ∈ N, n ≥ 2
x →p
Exemplos:
1) lim(4x 3 − 8) = ... = 24
2) lim(ax 2 + bx + c) = ... = ap 2 + bp + c, (∀ a, b, c ∈ ℜ)
x3 + x2 +1
3
3) lim
= ... =
x →1
x +1
2
 x 3 + 2x 

4) lim
x →1 

x
+
2


x →2
x→p
x +4
 3

= ... = 

2


5
LIMITES INDETERMINADOS
Em alguns casos não é possível calcular o valor do limite por simples substituição. Ao adotar tal
0
∞
procedimento nos deparamos com resultados do tipo
ou .
0
∞
Exemplo:
x2 − x − 2
x→2
x2 − 4
1) Calcular o limite abaixo: lim
Solução:
Seja f(x) = x2 - x – 2 e g(x) = x2 - 4.
Então:
f(2) = 22- 2 - 2 = 0 e g(2) = 22 - 4 = 0
Assim, ao substituirmos direto teríamos uma indeterminação do tipo
0
, logo tal procedimento não
0
pode ser utilizado.
0
∞
ou
há vários métodos que podem ser aplicados de acordo
0
∞
com as funções envolvidas. Futuramente, utilizando-se de derivadas apresentaremos um método
prático para resolver tais casos, método este conhecido como regra de L’Hospital.
No caso de indeterminações do tipo
23
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS – A variável tende para um valor finito
1) lim( x 3 + x 2 + 5x + 1) =
x 5 + 32
=
x → −2 x + 2
11) lim
x →1
2) lim ( x 3 − 2x 2 − 4x + 3) =
x 4 − 8x 3 + 18x 2 − 27
=
x →3 x 4 − 10 x 3 + 36 x 2 − 54 x + 27
x → −1
3)
12) lim
lim (4x 3 − 2x 2 − 2x − 1) =
x →− 2
13) lim
x 2 + 5x − 4
4) lim
=
x →3
x2 − 5
x →2
14) lim
x 2 − 7 x + 10
=
x →2
x−2
x→4
5) lim
15) lim
2
6) lim
x → −3
x →0
x + 2x − 3
=
x+3
16) lim
3x 4 + x 3 − 5x 2 + 2x
=
7) lim
x →0
x2 − x
3
x − 4x + 3
=
x →1 x 5 − 2 x + 1
x
=
2− 4−x
x
2− 3+ x
=
x −1
18) lim
x →0
x→4
2
x −1
=
x → −1 x + 3x + 2
x−4
=
x −2
17) lim
19) lim
10) lim
=
2 − 2−x
8) lim
x − 36
9) lim
=
x →6 x − 6
2x − 4
x →0
x →1
2
x−2
2
20) lim
x
x +1 −1
01
8
02
4
03
-5- 6 2
04
5
11
80
12
2
13
0
14
4
15
4
16
2 2
=
1 + 2x − 3
=
x −2
2x 2 − 3x + 2 − 2
3x 2 − 5x − 1 − 1
x →2
Respostas:
05
06
-3
-4
=
07
-2
17
1
−
4
08
1
−
3
18
2
=
09
12
10
-2
19
4
3
20
5
14
24
LIMITES NO INFINITO
1. Introdução:
1
e analisemos, mediante uma tabela, o seu
x
comportamento quando os valores de x crescem ilimitadamente através de valores positivos.
Consideremos a função f definida por f ( x) =
x
f (x)
1
4
4
1
3
3
1
2
2
1
2
3
4
10
100
1.000 10.000 100.000
1
1
2
1
3
1
4
0,1 0,01 0,001 0,0001 0,00001
Pela tabela constatamos que quando x cresce ilimitadamente através de valores positivos, os
valores da função se aproximam cada vez mais de 0 (zero). Simbolicamente, representamos
tal fato por: lim f ( x) = 0 , que se lê: “limite de f de x , quando x tende a mais infinito, é
x →+∞
igual a zero”.
Observação: Quando uma variável independente x está crescendo ilimitadamente através de
valores positivos, escrevemos: “ x → +∞ ”. Devemos enfatizar que + ∞ não é um número real.
O símbolo + ∞ indica, portanto, o comportamento da variável independente x .
Consideremos agora, para a mesma função, uma tabela onde os valores da variável x
decrescem ilimitadamente através de valores negativos.
x
f (x)
1
4
-4
-
1
3
-3
-
1
2
-2
-
-1
-1
-2
-
1
2
-3
-
1
3
-4
-
1
4
-10
-100
-1.000 -10.000 -100.000
-0,1 -0,01 -0,001 -0,0001 -0,00001
Observando a tabela anterior verificamos que à medida em que os valores de x decrescem
ilimitadamente através de valores negativos, os valores da função se aproximam cada vez
mais de 0 (zero). Usando o simbolismo “ x → −∞ ” para indicar os valores de x que estão
decrescendo ilimitadamente, representamos simbolicamente o fato acima por um
lim f ( x) = 0 , que se lê: “limite de f de x , quando x tende a menos infinito, é igual a zero.
x →−∞
1
cujo
x
esboço é indicado pela figura ao lado,
notamos
que
quando
x
cresce
ilimitadamente através de valores positivos
( x → +∞ ), os valores da função f (x)
aproximam-se cada vez mais de 0 (zero). E,
portanto, simbolicamente podemos escrever
1
lim f ( x) = 0 ou lim = 0 .
x →+∞
x →+∞ x
Pelo gráfico da função
f ( x) =
Analogamente, observando o comportamento da função através do seu gráfico (figura
indicada acima), constatamos que quando x decresce ilimitadamente através de valores
negativos ( x → −∞ ), os valores da função f (x) aproximam-se cada vez mais de 0 (zero).
1
Simbolicamente, escrevemos: lim f ( x) = 0 ou lim = 0 .
x →−∞
x →−∞ x
25
Exemplos:
1) Observe o gráfico da função f ( x) = 1 −
1
apresentado na Figura a seguir:
x
Observando o gráfico e as tabelas, vemos que esta função tende para o valor 1, quando x tende
 1
para o infinito. Isto é, y → 1 quando x → ±∞. Denotamos por lim 1 −  = 1
x→±∞
 x
2) A função f ( x) =
2x +1
tende para 2 quando x → ±∞ como podemos observar na Figura
x −1
a seguir.
Assim,
podemos escrever:
2x + 1
=2
x→±∞ x − 1
lim
26
2. Propriedades dos Limites no Infinito
2.1. Limite de uma função Polinomial
Consideremos a função polinomial P( x) = −4 x 3 + 6 x 2 − 7 x + 13 , podemos escrevê-la na
seguinte forma:
6
7
13 

P ( x ) = −4 x 3 ⋅  1 +
− 2 + 3
4x 
 4x 4x
Portanto,
6
7
13 

lim P ( x) = lim (−4 x 3 ) ⋅ lim 1 +
− 2 + 3
x →±∞
x →±∞
x → ±∞
4x 
 4x 4x
Ora, é claro que:
6
7
13 

lim 1 +
− 2 + 3  =1
x →±∞
4x 
 4x 4x
Temos, então:
lim P( x) = lim (−4 x 3 )
x →±∞
x →±∞
Assim, temos dois casos:
lim P( x) = lim (−4 x 3 ) = −∞ e
x →+∞
x →+∞
lim P( x) = lim (−4 x 3 ) = +∞
x →−∞
x →−∞
Generalizando, sendo P ( x) = a n x n + a n−1 x n −1 + ... + a 2 x 2 + a1 x + a0 , podemos sempre escrever:
lim P( x) = lim an x n
x →±∞
x → ±∞
2.2. Limite de uma função racional
P( x)
, onde P e Q são funções polinomiais em x com:
Q( x )
P ( x) = a n x n + a n−1 x n −1 + ... + a 2 x 2 + a1 x + a0 e Q ( x) = bm x m + bm−1 x m−1 + ... + b2 x 2 + b1 x + b0
Dada a função racional f ( x) =
Sendo an ≠ 0 e bm ≠ 0. Tem-se então que:
P( x) lim an x n
a n x n an
P( x) xlim
→±∞
x →±∞
lim f ( x) = lim
=
=
= lim
= ⋅ lim x n−m
m
m
x →±∞
x →±∞ Q ( x )
x
→
±∞
lim Q( x) lim bm x
bm x→±∞
bm x
x →±∞
x →±∞
Dependendo do valor de n e m , três casos podem ser considerados:
1o) n > m ⇒ lim f ( x) = ±∞
x →±∞
2o) n < m ⇒ lim f ( x) = 0
x →±∞
3o) n = m ⇒ lim f ( x) =
x →±∞
an
bm
27
Exemplos:
10 x 3 + x 2 − 8 x + 115
10 x 3 10
=
lim
= ⋅ lim x = +∞
x →+∞
x →+∞ 9 x 2
9 x 2 − 10 x + 4
9 x→+∞
1) lim
15 x 3 − 8 x 2 + 6 x − 119
15 x 3
1
2) lim
= lim
= −15 ⋅ lim = −15 ⋅ 0 = 0
x →−∞ − x 4 + 2 x 2 − 101x + 2
x →−∞ − x 4
x →−∞ x
7 x 3 − 8 x 2 + 11x − 2
7x3 7
7
=
lim
= ⋅ lim 1 =
3
2
3
x →±∞ 5 x + 14 x − 8 x + 5
x →±∞ 5 x
5 x→±∞ 5
3) lim
4) Calcule lim
x →+∞
x
2
x −1
Solução:
Para calcularmos este limite, escrevemos x = x 2 ( x > 0, pois x → +∞) e então dividimos o
numerador e o denominador, sob o sinal do radical, por x 2 .
lim
x →+∞
x
= lim
2
x →+∞
x −1
x
x2
x2
2
2
x −1
= lim
x →+∞
2
x
1
− 2
2
x
x
= lim
x →+∞
1
1
1− 2
x
=1
5) Calcule lim x 2 + 3x + 4 − x
x →+∞
Solução: Multiplicando, numerador e denominador, por
lim
x → +∞
(x
2
)
+ 3 x + 4 − x = lim
x → +∞
(x
2
) (( xx
+ 3x + 4 − x ⋅
2
2
x 2 + 3x + 4 + x , temos:
) = lim x + 3x + 4 − x = lim
+ 3x + 4 + x )
x + 3x + 4 + x
2
+ 3x + 4 + x
x → +∞
2
2
x → +∞
3x + 4
2
x + 3x + 4 + x
Procedendo de modo análogo ao exemplo anterior, vem:
lim
x →+∞
(x
2
)
+ 3x + 4 − x = lim
x →+∞
3x 4
4
+
3+
3
3
x x
x
= lim
=
=
x 2 3x 4 x x→+∞ 1 + 3 + 4 + 1 1 + 1 2
+ +
+
x x2
x2 x2 x2 x
28
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
1) Calcule o limite das funções seguintes, quando
a) f ( x) = 3x 4 − 8 x 3 + x 2 − 6
b) f ( x) = 4 x 3 − 2 x 2 + 7 x − 5
c) f ( x) = −5 x 3 + 8 x 2 − 7 x + 29
d) f ( x) = −14 x 7 + 8 x 5 − 10 x 3 + 10
e) f ( x) = −4 x 6 + 2 x 4 + 9 x 2 − 5
f) f ( x) = 1 + 3x − 8 x 2 − 7 x 3 + 14 x 4
g) f ( x) = (3 − 8 x + 4 x 3 ) − (5 x 2 + 3x − 1)
h) f ( x) = x 8 + x 7 − x 6 + x 5 + 9
2) Calcule os limites indicados:
x2 + x − 3
a) lim
x →+∞ 3 x 2 − 4
3x − 2
b) lim 2
x →−∞ 5 x + 3
x −3
c) lim
x →+∞
2x 2 + 6
4x + 3
d) lim
x →+∞
2+ x
x → +∞ e quando x → −∞.
Resposta: + ∞ e + ∞
Resposta: + ∞ e - ∞
Resposta: - ∞ e + ∞
Resposta: - ∞ e + ∞
Resposta: - ∞ e - ∞
Resposta: + ∞ e + ∞
Resposta: + ∞ e - ∞
Resposta: + ∞ e + ∞
Resposta: 1/3
Resposta: 0
Resposta: 0
Resposta: 2
e) lim x 2 + 1 − x
Resposta: 0
f) lim x 2 + x − x
Resposta: 1
1
x
Resposta: 0
x →+∞
x →+∞
g) lim
x →+∞
h) lim 2 +
x → +∞
1
x
Resposta: 2
i) lim x + x 2 + 4
Resposta: + ∞
j) lim e x
Resposta: 0
x →+∞
x →−∞
 2
k) lim 1 + 
x →+∞
 x
2
Resposta: 1
3
 1
l) lim 1 − 
x →+∞
 x
1
− 


m) lim  3 + e x 
x →−∞


2
n) lim ln (x + 1)
x →+∞
Resposta: 1
Resposta: 4
Resposta: + ∞
o) lim ln (x 2 − 1)
Resposta: + ∞
p) lim x − x 2 − 1
Resposta: 0
x →−∞
x →+∞
29
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS – A variável tende para um valor infinito
1)
2)
3)
4)
5)
6)
7)
8)
9)
10)
11)
12)
13)
lim (5x 3 − 3x 2 − 2x − 1)
Resposta: + ∞
lim (2x 5 − x 4 + 2 x 2 − 1)
Resposta: − ∞
lim (−3x 4 + 2x 2 − 1)
Resposta: − ∞
lim (3x 4 + 5x 2 + 8)
Resposta: + ∞
lim (−5x 3 + 3x − 2)
Resposta: + ∞
lim (− x 2 + 3x − 2)
Resposta: − ∞
x → +∞
x → −∞
x → −∞
x → +∞
x → −∞
x → +∞
2 x 3 − 3x 2 + x − 1
x → +∞
x2 + x − 3
2x 2 + 1
lim
x → −∞ x 2 − 1
3x
lim 2
x → −∞ x − 3
3x 3 − 5x 2 + 2x + 1
lim
x → −∞ 9 x 3 − 5 x 2 + x − 3
2 x 3 + 5x 2 − 8
lim
x → −∞ 4 x 5 − 8x + 7
5x 3 − 2 x 2 + 1
lim
x → −∞
x+7
2
x + x +1
lim
x → −∞ ( x + 1) 3 − x 3
lim
(3x + 2)3
x → −∞ 2 x (3x + 1)( 4 x − 1)
14) lim
x2 + x + 1
x → +∞
x +1
2
x + x +1
16) lim
x → −∞
x +1
2
2x − 3x − 5
17) lim
x → +∞
x4 + 1
2 x 2 − 3x − 5
18) lim
x → −∞
x4 +1
15) lim
Resposta: + ∞
Resposta: 2
Resposta: 0
Resposta: 1/3
Resposta: 0
Resposta: + ∞
Resposta:1/3
Resposta: 9/8
Resposta: 1
Resposta:-1
Resposta: 2
Resposta: 2
30
LIMITES LATERAIS
Vimos que para determinar o limite de uma função quando x tende para a, devemos verificar o
comportamento da função para valores de x muito próximos de a, maiores ou menores que a.
O valor do qual f se aproxima quando o valor de x se aproxima de a por valores menores do que a é
denominado limite à esquerda de f. Analogamente, o valor do qual f se aproxima quando x tende para
a através de valores maiores que a é o limite à direita de f.
Estes limites, são chamados limites laterais.
•
Limite à esquerda: lim − f ( x) , teremos x < a
•
Limite à direita:
x→ a
logo x = a – h, onde h > 0 é muito pequeno.
lim f ( x ) , teremos x > a logo x = a + h, onde h > 0 é muito pequeno.
x →a +
Quando temos o gráfico de uma função ou temos esta função definida por várias sentenças fica simples
calcular os limites laterais.
Exemplos:
1) Seja a função definida pelo gráfico da Figura a seguir, calcule:
a ) lim + f ( x)
b) lim − f ( x)
x →1
x →1
Solução:
Observando o gráfico, podemos concluir que: lim + f ( x) = 5 e lim − f ( x) = 3
x →1
x →1
Logo não existe o limite desta função quando x tende a 1.
 x 2 + 1 , para x < 2

2) Seja a função: f ( x) = 2
, para x = 2

2
9 - x , para x > 2
Calcule:
(a) lim + f ( x)
x →2
(b) lim − f ( x)
x→2
(c) lim f ( x)
x →2
Solução:
+
• Quando x → 2
•
Quando x → 2
−
significa x > 2 logo f ( x) = 9 − x 2 assim lim+ 9 - x 2 = 9 - 2 2 = 5
x →2
significa x < 2 logo f ( x) = x + 1 assim lim + x 2 + 1 = 2 2 + 1 = 5
2
x →2
Como os limites laterais são iguais, concluímos que lim f ( x) = 5.
x →2
31
Quando a função não está definida por várias sentenças, ou não temos o gráfico da função, teremos
que usar um artifício que chamaremos de incremento (h) para encontrar os limites laterais.
Isto é: Simplificando: Para calcular os limites laterais, basta fazer uma substituição:
•
Quando lim+ f ( x)
fazemos x = a + h
•
Quando lim− f ( x)
fazemos x = a – h
x→ a
x→ a
Onde h é positivo e muito pequeno.
3) Calcule por mudança de variáveis os limites laterais à esquerda e à direita respectivamente, das
funções abaixo, nos pontos indicados:
a) y = 2 x + 1
em
x =1
b) y = x 2
em
x=2
c) y = 1 − 2 x + x 2
em
x = −1
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
1) Usando as propriedades e os teoremas sobre limites, calcule os limites abaixo:
a ) lim 3 x 3 − 2 x + 7
b) lim (x 2 + 3)( x − 4 )
x → −2
x→ 2
2
4x − 6x + 3
x → 2 16 x 3 + 8 x − 7
2x 2 + 5x − 3
e) lim1 2
x→ 2 6 x − 7 x − 2
c) lim1
d) lim 15
x→ 2
6s − 1
s →4 2 s − 9
f) lim
(4t 2 + 5t − 3) 3
t → −1
(6t + 5) 4
g) lim
h) lim 3
x →3
2 + 5 x − 3x 2
x2 −1
i ) lim 3x 2 + 4 + 3 3x + 2
x →2
9

j) lim f(x) sendo x 2
x → −3
4 + x
se
x < -3
se
x ≥ −3
x 3
k ) lim f ( x), sendo f(x) = 
x→2
4 - 2x
se
se
x≤2
x>2
a ) lim(2 x − 3)
2) Calcule os seguintes limites:
a ) lim
3x + 2
x -1
c) lim
2x 2 + x − 6
4x 2 − 4x − 3
x →5
x →1
x →0
d ) lim 3 x
c) lim x + 2
x →7
3) Calcule os limites:
b) lim(5 x − 4 )
x →2
x→ 8
b) lim
x →2
d) lim x - 9 - x 2
x →3
3 − x

4) Considere a função definida por: f ( x ) = 4
x2 + 1

(a ) lim− f ( x)
x →1
(b) lim+ f ( x)
x →1
5 - 2x
(2 + x )3
se
x <1
se
x = 1 , determine:
se
x >1
(c) lim f ( x)
x →1
32
5) Considerando as funções definidas nos item a, b e c, encontre os limites abaixo, se existirem:
(i ) lim− f ( x) (ii ) lim+ f ( x) (iii ) lim f ( x)
x →1
x →1
x →1
4 − x
a) f ( x) =  2
x − 1
se
x ≥1
3x − 1
b) f ( x ) = 
x <1
3 - x
se
− x 2
se x ≤ 1

c ) f ( x ) = 2
se x > 1
x - 2

se
x <1
se
se
x =1
x >1
6) Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se existir, cada item abaixo.
Caso não exista, justifique.
a) lim f(x)
b) lim f(x)
c) lim f(x)
d) lim f(x)
e) f(3)
x → 3-
x → 3+
x→ 0
x→ 3
7) Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se existir, cada item abaixo.
Caso não exista, justifique.
a) lim f(x) b) lim f(x) c) lim f(x) d) lim f(x) e) f(3) f)f(-2) g) lim f(x) h) lim f(x)
x → 3-
x → 3+
x→ 3
x→ −2-
x→ 1
x →− 2+
8) Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se existir, cada item abaixo.
Caso não exista, justifique.
a) lim− f ( x)
b) lim+ f ( x)
c) lim f ( x)
d) lim− f ( x)
e) lim+ f ( x)
x → −3
f) lim f ( x)
x→2
x → −3
g) f(2)
x → −3
h)f(1)
x →2
i) f(-3)
x →2
j) lim f ( x)
x →1
33
9) Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se existir, cada item abaixo.
Caso não exista, justifique.
a) lim− f ( x)
b) lim+ f ( x)
c) lim f ( x)
d) lim− f ( x)
e) lim+ f ( x)
x →0
f) lim f ( x)
x→4
x →0
x→4
h)f(0)
i) f(-5)
x →0
g)f(4)
x →4
j) lim f ( x)
x → −5
10) Para a função representada graficamente na Figura a seguir, determine, se existir, cada item abaixo.
Caso não exista, justifique.
a) lim− f ( x)
b) lim+ f ( x)
c) lim f ( x)
d) lim− f ( x)
e) lim+ f ( x)
x → −9
f) lim f ( x)
x → −4
x → −9
x → −9
g) f(-9)
x → −4
h)f(0)
11) Calcule os seguintes limites laterais:
x+2
x
b) lim+
a ) lim− 2
x→2 x − 4
x →2 x − 2
x+2
x+6
d ) lim+ 2
e) lim+ 2
x →2 x − 4
x →6 x − 36
 x2 − 4

12) Calcule o lim f ( x) sendo: f ( x) =  x − 2
x→ 2
5

i) f(6)
x → −4
j) lim f ( x)
x →3
x
x →4 x − 4
x
f ) lim+ 2
x →3 x − 9
c) lim−
se x ≠ 2
se x = 2
34
RESPOSTAS:
1) a)-13 b) 5( 2 − 4)
c) –1 d) 15 e) 0 f) –23 g) –64
2) a) 1 b) −4 c)3
d)2
3) a) 17/2
b) 1/64
c) 1
5
h) 3 −
4
i) 6 j) 1
k ) não existe
d)3
4) a ) lim− f ( x) = 2; lim+ f ( x) = 2 logo lim f ( x) = 2
x →1
x →1
x →1
5) a ) lim− f ( x) = 0; lim+ f ( x) = 3 logo não existe lim f ( x)
x →1
x →1
x →1
b) lim− f ( x) = 2; lim+ f ( x) = 2 logo lim f ( x) = 2
x →1
x →1
x →1
c) lim− f ( x) = −1; lim+ f ( x) = −1 logo lim f ( x) = −1
x →1
6) a) 3
7) a) 2
x →1
x →1
b) 2
b) -2
c) 4
c) não existe
d) não existe
d) 3
8) a) 1
f) não existe
b) 1
g) 1
9) a) + ∞
f) não existe
b) - ∞
g) não existe
10) a) + ∞
f) não existe
b) - ∞
c) não existe
g) não existe h) 1,5
11) a ) − ∞
b) ∞
c) - ∞
c) 1
h) 1
d) ∞
e) 1
e) 3
f) -3
d) 1
i) não existe
c) não existe
h) não existe
e) ∞
g) -1
e) 2
j) -1
d) - ∞
i) não existe
d) - ∞
i) 0
g) -1
e) - ∞
j) não existe
e) - ∞
j) não existe
f) ∞
12) lim f ( x) = 4
x→2
35
REVISÃO DE LIMITES LATERAIS
Em Símbolos: Limite pela direita: lim+ f ( x ) e Limite pela esquerda lim− f ( x )
x →p
x →p
Exemplo 1:
x 2
Seja f ( x ) = 
2x
se x < 1
se x > 1
lim f ( x ) =
e
x →1+
lim f ( x ) =
x →1−
lim x 2 = 12 = 1
lim 2x = 2.1 = 2
x →1+
x →1−
25
20
15
10
5
0
-5
-5
0
5
Definição: Dizemos que existe o limite de uma função quando os limites laterais forem iguais, isto
é:
lim+ f ( x ) = lim− f ( x )
x →p
x →p
Exemplo 2
Seja f ( x ) =
x
x
x =
- x
x
lim 1 = 1
lim − 1 = −1
x →0 +
x →0 −
se x > 0
se x < 0
x
1
=
x - 1
se x > 0
se x < 0
∴ não existe limite, pois lim+ f(x) ≠ lim− f ( x )
x →0
x →0
Exemplo 3
Seja f ( x ) =
1
1
, calcule lim
x
→
1
x −1
x −1
a) lim+
1
x −1
b) lim−
1
x −1
x →1
x →1
36
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS – LIMITES LATERAIS
1) lim− x 2 + 3x = 4 + 3.2 = 7
x →0
2) lim+ x 2 + 3x = 4 + 3.2 = 7
8) lim+
x→2
x →0
3) lim−
x →2
4) lim+
x →2
3x
x−2
1
1+ 2x
1
x →1
10) lim+ 5
1
x −1
x →1
1
x
11) lim− 3x − 6
x →2
x →0
6) lim+ 2
1
1+ 2x
4
9) lim− 5 x −1
3x
x−2
5) lim− 2
4
7) lim−
x→2
1
x
12) lim+ 3x − 6
x →0
x →2
Determine, caso exista.
3x - 10 se x > 4

13) lim f ( x) sendo f(x) = 2
se x = 4
x→4
10 − 2 x se x < 4

4x - 1 se x ≥ 3

14) lim f ( x) sendo f(x) =  1
x →3
2 x -3 se x < 3
x 2 - 5

15) lim f ( x) sendo f(x) = 2x - 3
x→2

2
5 - x
se x < 1
se 1 ≤ x < 2
se x ≥ 2
 3x 2 − 5 x − 2

16) Determine o valor de a para que exista lim f ( x) sendo f(x) = 
x−2
x→2
3 − ax − x 2

01
7
11
não existe
02
7
12
0
03
-∞
13
2
Respostas
04
05
06
0
+∞
+∞
14
15
16
não existe
1
a=-4
07
4
08
0
se x < 2
se x ≥ 2
09
0
10
+∞
37
FUNÇÕES CONTÍNUAS OU CONTINUIDADE DE FUNÇÕES
(Texto adaptado de: Devanil Antonio Francisco & Elaine Cristina Ferruzzi)
1. Introdução:
Sejam f e g funções de gráficos:
Observe que f e g se comportam de maneira diferente no ponto p. Enquanto a função g apresenta um
salto a outra não.
Ao calcular o limite da função f, observamos que o valor deste limite, quando x tende para p é igual
ao valor da função quando x é igual a p, isto é:
lim f ( x) = f ( p)
x→ p
Por exemplo, se f ( x) = x 2 − 4 e p = 2, temos que:
lim f ( x) = lim ( x 2 − 4) = 2 2 − 4 = 0 = f (2) = f ( p)
x→2
x→ p
As funções que se comportam desta forma em um ponto qualquer de seu domínio são ditas contínuas
nesse ponto.
2. Definição:
Dizemos que uma função f é contínua em um ponto p se forem verificados as três condições abaixo:
(i) ∃ f ( p )
(ii) ∃ lim f ( x), isto é : lim+ f ( x) = lim− f ( x)
x→ p
x→ p
x→ p
(iii) lim f ( x) = f(p)
x→ p
Observação: quando pelo menos uma das três condições não for verificada dizemos que f é
descontínua em x = p.
Exemplos:
1) Verifique se a função f ( x) = 2 x − 5 + 3 x é contínua em x = 4.
Solução: Analisaremos uma a uma as três condições:
•
f (4) = 2 ⋅ 4 − 5 + 3 ⋅ 4 = 3 + 12
•
lim f ( x) = lim ( 2 x − 5 + 3 x) = 2 ⋅ 4 − 5 + 3 ⋅ 4 = 3 + 12
•
lim f ( x) = f (4)
x→ p
x→4
x →4
Portanto, como lim f ( x) = f (4) a função é contínua em x = 4.
x →4
38
| x − 2|
é contínua em x = 2.
2
Solução: Primeiramente, lembramos que:
− x + 2
, se x < 2
| x − 2 |  2
=
2
 x − 2 , se x ≥ 2
 2
A seguir, analisaremos uma a uma as três condições:
2−2 0
•
f ( 2) =
= = 0.
2
2
• Para verificar a existência do limite, devemos calcular os limites laterais:
| x − 2|
− x+2 −2+2 0
= lim
=
= =0
lim− f ( x) = lim−
x →2
x →2
x →2
2
2
2
2
e
| x − 2|
x−2 2−2 0
lim+ f ( x) = lim+
= lim
=
= =0
x →2
x →2
x →2
2
2
2
2
Como lim− f ( x) = lim+ f ( x) ⇒ ∃ lim f ( x) e lim f ( x) = 0 .
2) Verifique se a função f ( x) =
x →2
•
x→2
x→2
x→2
lim f ( x) = f (2) . Portanto, como lim f ( x) = f (2) a função é contínua em x = 2.
x →2
x →2
 x 2 − 1, se x < 3

3) Verifique se a função f ( x) = 2,
se x = 3 é contínua em x = 3.
3 − x, se x > 3

Solução: Analisaremos uma a uma as três condições:
•
f (3) = 2 .
• Para verificar a existência do limite, devemos calcular os limites laterais:
lim− f ( x) = lim ( x 2 − 1) = 32 − 1 = 9 − 1 = 8 e lim+ f ( x) = lim (3 − x) = 3 − 3 = 0
x →3
x →3
x →3
x →3
Como lim− f ( x) ≠ lim+ f ( x) ⇒ não existe lim f ( x) e, portanto a função dada não é contínua em
x →3
x →3
x→3
x = 3.
se x ≤ 2
2 x,
4) Verifique se a função f ( x) =  2
é contínua em x = 2.
 x − 3x, se x > 2
Solução: Analisaremos uma a uma as três condições:
•
f ( 2) = 2 ⋅ 2 = 4 .
• Para verificar a existência do limite, devemos calcular os limites laterais:
lim− f ( x) = lim (2 x) = 2 ⋅ 2 = 4
e
lim+ f ( x) = lim ( x 2 − 3x) = 2 2 − 3 ⋅ 2 = 4 − 6 = −2
x →2
x →2
x →2
x→2
Como lim− f ( x) ≠ lim+ f ( x) ⇒ não existe lim f ( x) e, portanto a função dada é descontínua em x = 2.
x →2
x →2
x→2
Mostramos a seguir um esboço do gráfico de f e podemos constatar que o mesmo tem um “salto” em
x = 2.
39
x 2 −1
não é contínua no ponto x = 1, pois a função dada não é definida no ponto
x −1
especificado. Graficamente, temos:
5) A função f ( x) =
 x 2 −1
, se x ≠ 1

6) A função g ( x) =  x − 1
também não é contínua no ponto x = 1, pois:
1, se x = 1

• g (1) = 1 .
•
Limites laterais:
( x 2 − 1)
( x − 1) ⋅ ( x + 1)
lim− g ( x) = lim
= lim
= lim ( x + 1) = 1 + 1 = 2
x
→
1
x
→
1
x →1
x →1
x −1
( x − 1)
e
( x 2 − 1)
( x − 1) ⋅ ( x + 1)
= lim
= lim ( x + 1) = 1 + 1 = 2
x →1
x →1
x →1
x −1
( x − 1)
lim+ g ( x) = lim
x →1
Como lim− g ( x) = lim+ g ( x) ⇒ ∃ lim g ( x) e lim g ( x) = 2 .
x →1
•
x →1
x→1
x →1
lim g ( x) = 2 ≠ 1 = g (2)
x →1
Portanto, como não foi satisfeita a terceira condição, a função dada não é contínua no ponto
especificado, como confirma o gráfico a seguir:
40
41
− 4 x, se x < 0

7) Verificar os possíveis pontos de descontinuidade da função f ( x) = 2 x − x 2 , se 0 ≤ x ≤ 3 .
2 x − 9, se x > 3

Solução: Da definição de f, os prováveis pontos de descontinuidade são x = 0 e x = 3.
Pelo esboço do gráfico de f, verificamos as condições de continuidade para o ponto x = 0, assim:
• f (0) = 2 ⋅ 0 − 0 2 = 0 − 0 = 0.
• Limites laterais:
lim− f ( x) = lim (−4 x) = 0 e lim+ f ( x) = lim (2 x − x 2 ) = 0
x →0
x →0
x →0
x →0
Como lim− f ( x) = lim+ f ( x) ⇒ ∃ lim f ( x) e lim f ( x) = 0 .
x →0
•
x→0
x →0
x →0
lim f ( x) = f (0)
x →0
Logo, como lim f ( x) = f (0) a função é contínua em x = 0.
x →0
Da mesma forma, pelo esboço do gráfico de f, verificamos as condições de continuidade para o ponto
x = 3, assim:
• f (3) = 2 ⋅ 3 − 32 = 6 − 9 = −3.
• Limites laterais:
lim− f ( x) = lim (2 x − x 2 ) = 2 ⋅ 3 − 32 = 6 − 9 = 3
x →3
x →3
e
lim f ( x) = lim (2 x − 9) = 2 ⋅ 3 − 9 = 6 − 9 = −3
x →3+
x →3
Como lim− f ( x) = lim+ f ( x) ⇒ ∃ lim f ( x) e lim f ( x) = −3 .
x →3
•
x →3
x→3
x →3
lim f ( x) = f (3)
x →3
Logo, como lim f ( x) = f (3) a função é contínua em x = 3.
x →3
Portanto, uma vez que nos pontos de provável descontinuidade, verificamos que a função f é continua,
concluímos que f é contínua para todo x real, e vemos que seu gráfico não tem qualquer tipo de salto
ou interrupção.
42
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
1) Verifique se as funções são contínuas nos pontos especificados:
3− x
1
a) f ( x ) =
em x = 5
b) f ( x ) =
em x = 4
x+2
x−4
 x 2 + 3x + 2
, se x < -1

+
1
x
1

c) f ( x ) = 1 + e x em x = 0
d) f ( x) = 1,
se x = −1
3x,
se x > -1


7x - 6, se x < 2
e) f ( x) =  2
2x , se x ≥ 2
em x = - 1
f) f ( x) = 2 x 2 − 3 em x = 3
em x = 2
3x − 10 se x > 4

h) f ( x) = 2
se x = 4 em x = 4
10 - 2x se x < 4

1
g) f ( x) =
em x = 1.
x −1
2) Determine o valor de a para que as seguintes funções sejam contínuas no ponto indicado:
 x 2 − 5x + 6
,
se x ≠ 2

a) f ( x) =  x − 2
em x = 2
a,
se x = 2

b)
c)
 x −2
,

f ( x) =  x − 4
3x + a,

se x > 4
em x = 4
se x ≤ 4
 x+2− 2
,

f ( x) = 
x
3x 2 − 4 x + a,

1)
se x > 0
em x = 0
se x ≤ 0
a
sim
b
não
a
b
Respostas:
c
d
e
f
g
h
não não sim sim não Sim
c
2)
a = -1
a=−
47
4
a=
2
4
43
3) Verifique se as funções abaixo são contínuas nos pontos indicados, e justifique sua resposta.
 x + 2, se x < 2
2 x − 1, se x ≤ 1

a) f ( x) = 4, se x = 2
b) f ( x) = 
 x − 1, se x > 1
 2
 x , se x > 2
3x + 2, se x < 0
 x + 1, se x ≤ 1


c) f ( x) = 5, se x = 0
d) f(x) = 2 x, se 1 < x < 5
2, se x > 0
 x + 3, se 5 ≤ x < 6


1 − x 2 , se x ≤ 1

4) A função f ( x) =  x − 1, se 1 < x < 2 possui algum ponto de descontinuidade? Quais? Justifique.
2,
se x ≥ 2

5) Verifique se as seguintes funções possuem algum ponto de descontinuidade e justifique sua
resposta.
3 − 2x
x2 − x − 2
a) f ( x) = x + 3
b) f ( x) =
c) f ( x) =
x −1
x−2
2
x − x −2
 x 2 - 2x + 2, se x < 1
 x − 3, se x ≠ 5
, se x ≠ 2

e) f ( x) = 
f) f ( x) = 
d) f ( x) =  x − 2
2, se x = 5
se x ≥ 1

3 - x,
1,
se x = 2

6) Indique onde cada uma das funções abaixo é descontínua e justifique sua resposta.
 x2 − x − 2
1
,
se
x
≠
0
 x2 − x − 2
, se x ≠ 2


a) f ( x) = 
b) f ( x) =  x 2
c) f ( x) =  x − 2
 x−2
1, se x = 0
1,
se x = 2

7) Determine o valor de m para que cada função abaixo seja contínua no ponto dado.
 x2 − 9
 x2 − x
,
se
x
≠
3
, se x ≠ 0


a) f ( x) =  x − 3
b) f ( x) =  x − 3
em x = 3
em x = 0
m,
m,
se x = 3
se x = 0


8) Verifique se as funções abaixo são contínuas, justificando sua resposta.
 x 2 + 1, se x ≤ 1
 x 2 + 2, se x ≤ 1
a) f ( x) = 
b) f ( x) = 
2x, se x > 1
x + 2, se x > 1
9) Explique porque f(x) não é contínua em x.
−5
a) f ( x) =
em x = 3
x−3
 x2 − 4
, se x ≠ 2

b) f ( x) =  x − 2
em x = 2
5,
se x = 2

x + 2, se x < 1

c) f ( x) = 3,
se x = 1 em x = 1
− x , se x > 1

d) f ( x) =
x2 − 9
em x = 3
x−3
44
10) A figura a seguir mostra o gráfico de uma função f. Em quais valores de x a função é descontínua?
Por quê?
11) De acordo com a figura a seguir, verifique em quais pontos a função é descontínua e justifique sua
resposta.
12) Determine os intervalos de continuidade da função representada na figura a seguir:
CONTINUIDADE EM APLICAÇÕES (Adaptado de Anton, Cálculo, vol. I, 8 ed., 2007)
Nas aplicações, as descontinuidades sinalizam, muitas vezes, a ocorrência de importantes fenômenos
físicos. Por exemplo, a Figura 1 é um gráfico da voltagem versus o tempo para um cabo subterrâneo
que é acidentalmente cortado por uma equipe de trabalho no instante t = t0 (A voltagem caiu para zero
quando a linha foi cortada.) A Figura 2 mostra o gráfico de unidades em estoque versus tempo para
uma companhia que reabastece o estoque com y1 unidades quando o estoque cai para y0 unidades. As
descontinuidades ocorrem nos momentos em que acontece o reabastecimento.
Figura 1
Figura 2
45
LIMITES DE FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS
(Texto adaptado de: Devanil Antonio Francisco & Elaine Cristina Ferruzzi)
sen x
• Teorema: Limite Trigonométrico Fundamental: lim
=1
x→0
x
Uma demonstração: No círculo trigonométrico (o raio é a unidade), seja ÂM um arco de x radianos,
com 0 < x <
π
2
. Na figura a seguir: x = Aˆ M , sen x = PM e tg x = AT .
Lembre-se:
1
• A∆ = ⋅ Base ⋅ Altura
2
•
ASetor =
1
⋅ ( Raio) 2 ⋅ Arco
2
Observe que o triângulo oAM está contido no setor circular oAM , o qual por sua vez está contido no
triângulo oAT .
Assim, podemos afirmar que:
área ∆ oAM < área setor oAM < área ∆ oAT
isto é:
1
1
1
⋅ oA ⋅ PM < ⋅ (oA) 2 ⋅ x < ⋅ oA ⋅ AT
2
2
2
Mas,
oA = 1
Logo:
PM < x < AT
ou,
sen x < x < tg x
Dividindo termo a termo por sen x, temos:
sen x
tg x
x
x
1
<
<
⇒1<
<
sen x sen x sen x
sen x cos x
Tomando os inversos e invertendo a desigualdade, ficamos com:
sen x
sen x
> cos x ⇒ cos x <
<1
x
x
Sabemos que, quando x → 0, cos x → 1.
1>
Então, para x tendendo a zero,
sen x
permanece entre cos x e 1
x
E, portanto:
lim
x →0
sen x
=1
x
(c.q.d)
46
A seguir, construímos um quadro para confirmar o que acabamos de demonstrar:
x (em radianos)
sen x
f ( x) =
x
0,4546
± 2,0
0,8414
± 1,0
0,9588
± 0,5
0,9933
± 0,2
0,9983
± 0,1
0,9999
± 0,001
...
...
f(x) → 1
x→ 0
sen x
Assim, quando x→ 0 (em radianos), temos que: f(x) → 1, ou seja, lim
= 1.
x →0
x
Exemplos:
x
1) Calcule lim
.
x→0 sen x
x
1
1
1
Solução: lim
= lim
=
= =1
x →0 sen x
x →0 sen x
sen x 1
lim
x
0
→
x
x
tg x
.
2) Calcule lim
x→0
x
Solução:
sen x
 sen x 1 
 sen x
tg x
1 
sen x
1
1
cos x
 = lim
lim
= lim
= lim 
⋅  = lim 
⋅
⋅ lim
= 1⋅ = 1
x →0
x
→
0
x
→
0
x
→
0
x
→
0
x
→
0
x
x
cos x 
x
cos x
1
 cos x x 
 x
sen 3 x
sen u
= lim
= 1.
u
→
0
3x
u
Nota: u = 3 x, x → 0 ⇒ u → 0
3) lim
x →0
4)
sen kx
sen u
= lim
= 1, ∀ k ∈ ℜ* .
x →0
u
→
0
kx
u
Nota: u = kx, x → 0 ⇒ u → 0
lim
sen 2 x
sen x sen x
= lim
⋅
= 1.
2
x →0
x →0
x
x
x
5) lim
6) Calcule lim
x →0
1 − cos x
.
x
Solução:
 (1 − cos x) (1 + cos x) 
 (1 − cos 2 x) 
 sen 2 x 
1 − cos x
 = lim 
 = lim 
=
lim
= lim 
⋅
x →0
x →0
x
x
(1 + cos x)  x →0  x ⋅ (1 + cos x)  x →0  x ⋅ (1 + cos x) 

 sen x sen x 
 sen x 
sen 0
0
 sen x 
 = lim 
 = 1⋅
lim 
⋅
⋅ lim 
= 1⋅
= 1⋅ 0 = 0

x →0
x
→
0
x
→
0
1 + cos 0
1+1
 x 
 x 1 + cos x 
 1 + cos x 
sen 3 x
.
7) Calcule lim
x →0
5x
sen 3 x
3
 sen 3 x 3  3
 sen 3 x  3
Solução: lim
= lim 
⋅  = ⋅ lim 
 = ⋅1 =
x →0
x
→
0
x
→
0
5x
5
 3x 5  5
 3x  5
47
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS - CALCULE
sen 3x
2x
sen x
2) lim
x → 0 4x
tg 2 x
3) lim
x → 0 3x
sen 4 x
4) lim
x → 0 sen 3x
tg3x
5) lim
x → 0 tg 5x
1 − cos x
6) lim
x →0
x
1 − cos x
7) lim
x → 0 x. sen x
1 − sec x
8) lim
x →0
x2
tgx + sen x
9) lim
x →0
x
sen x − cos x
10) lim
π
1 − tgx
x→
tgx − sen x
sen 2 x
cos 2 x
12) lim
π
x → cos x − sen x
1) lim
11) lim
x →0
x →0
4
x →0
14)
15)
16)
17)
18)
19)
20)
4
01
3
2
11
0
02
1
4
12
2
03
2
3
13
0
x→ 0
1 - cos 2 x
x2
Resposta: a) 1
f) lim
x→ 0
b) 2
Respostas:
05
06
0
3
5
15
16
0
1
04
4
3
14
1
−
4
21) Calcule os seguintes limites:
x
sen 2x
a) lim
b) lim
x→0
x → 0 tg x
x
e) lim
x − sen x
x + sen x
x − sen 2 x
lim
x → 0 x + sen 3x
cos 5x − cos 3x
lim
x →0
sen 4 x
sen 3x − sen 2 x
lim
x →0
sen x
sen( x + a ) − sen a
lim
x →0
x
cos( x + a ) − cos a
lim
x →0
x
x
1 − sen
2
lim
x→π
π−x
1 − cos 2 x
lim
x →0
3x 2
13) lim
c) lim
sen 4x
sen 5 x
g) lim
x senx
1 − cos x
x→ 0
- x2
cos 2 x − 1
07
1
2
17
cos a
c) 4/5
x→ 0
08
1
−
2
18
− sen a
09
2
19
0
d) lim
h→0
d) 1/3
e) 1
10
2
−
2
20
2
3
sen h
3h
f) 1
g) 2
48
LIMITES DE FUNÇÕES EXPONENCIAIS
(Texto adaptado de: Devanil Antonio Francisco & Elaine Cristina Ferruzzi)
•
O Número “e”.
No estudo dos logaritmos (ensino médio ou antigo segundo grau) já nos referimos ao número e. Esse
número é a base do sistema de logaritmos naturais ou neperianos. O número e pode ser obtido por
meio de uma sucessão notável (sucessão de Euler), cujo termo geral é:
 1
a n = 1 + 
 n
n
Tomando alguns valores naturais, para exemplificar, temos:
1
 1
n = 1 ⇒ a1 = 1 +  = 2
 1
2
 1
n = 2 ⇒ a 2 = 1 +  = 2,25
 2
3
 1
n = 3 ⇒ a3 = 1 +  = 2,37037037...
 3
5
 1
n = 5 ⇒ a5 = 1 +  = 2,48832
 5
10
1

n = 10 ⇒ a10 = 1 +  = 2,59374246...
 10 
100
1 

n = 100 ⇒ a100 = 1 +

 100 
= 2,704813829...
1.000
1 

n = 1.000 ⇒ a1.000 = 1 +

 1.000 
= 2,716923932...
10.000
n = 10.000 ⇒ a10.000
1 

= 1 +

 10.000 
= 2,718145927...
100.000
n = 100.000 ⇒ a100.000
1


= 1 +

 100.000 
= 2,71818268237... , e assim por diante (and so on...).
...
n → ∞ ⇒ an → e , ou seja:
Notamos que aumentando o valor de n, infinitamente, an tende ao valor aproximado de 2,718182..., ou
ainda:
x
 1
lim 1 +  = e ≅ 2,7182818284590...
x →+∞
 x
•
Limite Exponencial Fundamental
x
 1
Teorema: lim 1 +  = e ≅ 2,718281828.......
x→+∞
 x
Lembre-se: O número “e” é irracional.
49
Dois limites podem ser obtidos como conseqüência do limite exponencial fundamental.
1
•
Primeira Conseqüência: lim (1 + x ) x = e
x →0
De fato, fazendo u =
1
1
⇒ = x , e observando que quando x → 0 ⇒ u → +∞ , ficamos com:
x
u
lim (1 + x )
1
x
x →0
u
 1
= lim 1 +  = e
u →+∞
 u
que é o próprio limite exponencial fundamental.
•
Segunda Conseqüência: lim
x →0
ex − 1
=1
x
Fazendo e x − 1 = u ⇒ e x = u + 1 ⇒ x = ln(u + 1) , e é evidente que quando x → 0, u → 0. Daí,




 e −1 


u
1

 = lim
 = lim 
 = lim
lim 
x →0
u →0
u →0  1
x
ln
(u
+
1)
 u →0




 ⋅ ln(u + 1) 
 u

x
=
1

lim  ln(1 + u)
u →0





1
u
=
1

ln lim
 u →0


 (1 + u)


1
u
=






1

1
 ln(u + 1) u



=


1 1
= =1
ln e 1
Exemplos:
1
x
1) Calcule lim (1 + kx ) , k ∈ ℜ* .
x →0
Solução: Podemos escrever:
(1 + kx )
1
x
= (1 + kx )
k
kx

kx 
= (1 + kx ) 


1
k
Fazendo kx = u , resulta que se x → 0 ⇒ u → 0 portanto, ficamos com:
lim (1 + kx )
x →0
1
x
k
1


u
= lim (1 + u )  = e k
u →0


ln x
.
x →1 x − 1
Solução: Façamos u = x − 1 ⇒ x = u + 1.
2) Calcule lim
Quando x → 1 ⇒ u → 0, logo:
1
1




 ln x 
 ln (u + 1) 
1

lim 
 = lim 
 = lim ⋅ ln (u + 1)  = lim  ln (u + 1) u  = ln  lim (u + 1) u  = ln e = 1.
x →1 x − 1
u →0
u

 u →0 
 u →0  u
 u →0 



50
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
1) Mostre que:
4
x
a) lim(1 + 3 x) = e
x →0
4
1
x
 4x  x
d) lim1 +
 = e7
x →0
7


e) lim(1 − x ) = e
−1
x →0
1
 x x
c) lim1 +  = e 3 = 3 e
x →0
 3
2
b) lim(1 + 2 x ) = e
x →0
1
1
1
x
12
1
1
 x x
f) lim1 +  = e π
x →0
 π
1
=
e
2) Calcule os seguintes limites:
 1
a) lim 1 + 
n→ ∞
 n
n+ 2
 5
d) lim 1 + 
x→ ∞
 x
Resposta: a) e
 3
b) lim 1 + 
n→ ∞
 n
x +1
n
e) lim (1 + sen x )
 x 
c) lim 

x→ ∞
 1+ x 
x
1
sen x
x→ π
3
b) e
c) e-1
x+ 1 = u )
b)
d) e5
e) e
3) Calcule os limites abaixo:
a)
lim
ln ( 2 + x )
x+1
x →−1
( Fazer
2x − 1
x
x →0
sen5x
e) lim
x → 0 tg4x
g) lim
i) lim
x →0
x+ 2 = u )
d) lim
2
ln x 3
x →1 x − 1
1 − cos x
j) lim
x →0
x2
h) lim
x
x →0
( Fazer
x+2
x →−2
esenx − 1
senx
x →0
cos x
f) lim
π π
−x
x→
2 2
c) lim
ln (1 + x )
ln ( 3 + x )
lim
(1+senx )cos sec x
( Fazer sen x = u)
1
k) lim
x3
x →0
m) lim
x →0
 1+x  x − 4
l) lim 

x →4  5 
tgx − senx
10 x − 1
5x − 1
Resposta: a) 1
h) 3
(dividir por x Num. e Den.)
n)
 2
lim
 1+ 
x →+∞  x 
b) 1
c) ln 2
d) 1
e) 5/4
i) e
j) 1/2
k) 1/2
l)
5
e
x
f) 1
g) 2
m) ln 10 / ln 5
n) e2
51
ASSÍNTOTAS HORIZONTAIS E VERTICAIS
(Texto adaptado de: Elaine Cristina Ferruzzi & Devanil Antonio Francisco)
1. INTRODUÇÃO
Em aplicações práticas, encontramos com muita freqüência gráficos que se aproximam de uma reta a
medida que x cresce ( x → + ∞ ) ou decresce (x → −∞). Veja as Figuras a seguir:
Essas retas são chamadas assíntotas.
Traçaremos com facilidade um esboço do gráfico de uma função se conhecermos as assíntotas
horizontais e verticais do gráfico, caso elas existam.
2. Assíntota Vertical
Dizemos que a reta x = a é uma assíntota vertical do gráfico de f, se pelo menos uma das afirmações
seguintes for verdadeira:
(i ) lim + f ( x) = ∞
(ii ) lim + f ( x) = −∞
x→a
x →a
(iii ) lim − f ( x) = ∞
x→a
(iv) lim − f ( x) = −∞
x →a
3. Assíntota Horizontal
Dizemos que a reta y = b é uma assíntota horizontal do gráfico de f, se pelo menos uma das
afirmações seguintes for verdadeira:
(i ) lim f ( x) = b
x →+∞
(ii ) lim f ( x) = b
x → −∞
Exemplos:
5
. Encontre a equação das assíntotas horizontais e verticais, se elas existirem.
x−3
Solução: Primeiramente devemos observar o domínio da função.
5
Verificamos, facilmente que D( f ) = ℜ − {3}. Sendo assim, vamos calcular: lim
.
x →3 ( x − 3)
Para calcular o limite da função quando x tende a 3 devemos calcular os limites laterais, assim:
Seja a função f ( x) =
Para calcular lim−
x →3
5
, fazemos x = 3 − h, com h → 0 , assim temos:
( x − 3)
lim−
x →3
5
5
5
1
= lim
= lim
= −5 ⋅ lim = −5 ⋅ ∞ = −∞
h →0 h
( x − 3) h→0 (3 − h − 3) h→0 (−h)
52
Por outro lado, para calcular lim+
x →3
lim+
x →3
5
, fazemos x = 3 + h, com h → 0 , assim temos:
( x − 3)
5
5
5
1
= lim
= lim = 5 ⋅ lim = 5 ⋅ ∞ = ∞
h →0 h
( x − 3) h→0 (3 + h − 3) h→0 h
Desta forma, temos:
lim f ( x) = ∞ e lim− f ( x) = −∞
x →3+
x →3
Logo, x = 3 é uma Assíntota Vertical da função dada, pois são válidas as afirmações (i) e (iv).
Agora, vamos determinar a assíntota horizontal, se esta existir.
Para determinar a assíntota horizontal, basta fazer:
5
5
= lim = 0
x →∞ x − 3
x →∞ x
lim f ( x) = lim
x →∞
Logo, y = 0 é a assíntota horizontal.
O gráfico da função em estudo está apresentado na figura a seguir:
Considere a função f ( x) = 3 −
4
. Encontre a equação das assíntotas horizontais e/ou verticais,
( x − 2) 2
se elas existirem.
Solução:
Primeiramente devemos observar o domínio da função. Verificamos facilmente que D( f ) = ℜ − {2}.
Sendo assim, vamos calcular lim 3 −
x →2
4
.
( x − 2) 2
Para calcular o limite da função quando x tende a 2 (dois) devemos calcular os limites laterais, assim:
4
, fazemos x = 2 − h , com h → 0, vamos a:
x →2
( x − 2) 2
4
4
4
4
4
lim − 3 −
= lim 3 −
= lim 3 −
= lim 3 − 2 = lim 3 − lim 2 = 3 − ∞ = − ∞
2
2
2
h →0
h →0
h →0
h →0
h →0 h
x →2
( x − 2)
(2 − h − 2)
( − h)
h
Para calcular lim − 3 −
53
Agora para calcular lim + 3 −
x →2
lim + 3 −
x →2
4
, fazemos x = 2 + h , com h → 0 , vamos a:
( x − 2) 2
4
4
4
4
= lim 3 −
= lim 3 − 2 = lim 3 − lim 2 = 3 − ∞ = − ∞
2
2
h →0
h →0
h →0
h →0 h
( x − 2)
(2 + h − 2)
h
Assim, temos:
lim + f ( x) = −∞ e lim − f ( x) = −∞
x →2
x →2
Logo x = 2 é uma Assíntota Vertical da função dada.
Agora vamos encontrar a assíntota horizontal, se esta existir:
Para encontrar a assíntota horizontal, basta calcular lim 3 −
x →±∞
lim 3 −
x →±∞
4
, ou seja:
( x − 2) 2
4
4
4
= lim 3 − 2
= lim 3 − lim 2 = 3 − 0 = 3
2
x
→
±∞
x
→
±∞
x
→
∞
( x − 2)
x − 4x + 4
x
Logo, y = 3 é a assíntota horizontal.
O gráfico da função em estudo está apresentado na figura a seguir:
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
1) Escreva a equação das assíntotas das funções abaixo e faça um esboço do gráfico da função dada.
5
2x + 1
2
2
3
a) y =
b) y =
c) y =
d) y =
e) y = - 1 +
2
x−2
x -1
x
(x - 1)
x-2
2) Encontre as assíntotas horizontais e verticais das funções abaixo e construa um esboço de cada
gráfico.
3x + 1
3
5 − 3x
1
a) f ( x) =
b) f ( x) = 2 + 2
c) f ( x) =
d) f ( x) = 3 +
x−2
x
x +1
x
4
−3
1
1
e) f ( x) =
f) f ( x) =
g) f ( x) =
h) f ( x) =
2
x−4
x+2
(x − 3)(. x + 4)
(x − 2)
54
3) Sabe-se que sob temperatura constante, o volume de certa massa de um gás perfeito é função da
pressão a que o mesmo está submetido. E a lei dessa função é dada pelo gráfico da figura a seguir;
K
, onde K é uma constante que depende da massa e da temperatura do gás.
P
K
a) Com respeito à função V = , P > 0 (não tem sentido físico considerar a pressão P nula ou
P
negativa), o que se pode dizer de V quando P diminuir, tendendo para zero? Resposta: Aumenta,
tendendo a mais infinito.
b) Para a mesma função, o que acontece com o volume V quando a pressão P cresce, tornando-se
muito grande, isto é, quando P tende para infinito? Resposta: Diminui, tendendo a zero.
Representada por V =
4) Considere uma lente delgada convergente de distância focal f (nas lentes convergentes, f > 0 ). Seja
e o eixo principal dessa lente. Seja P um objeto situado em e e P’ a imagem correspondente. As
abscissas p e p’ de P e P’ respectivamente, tomadas em relação ao centro ótico o da lente, se
1 1 1
f ⋅p
+ = , dessa equação tiramos que: p' =
,
relacionam através da equação de Gauss:
p p' f
p− f
onde f é uma constante que depende da lente. Construa o gráfico de p’ em função de p.
5) Seja i a corrente variando em função do tempo t, num circuito elétrico onde temos a descarga de
um capacitor C e uma resistência R.
Sabe-se que: i = I 0 ⋅ e
−
t
C⋅R
.
a) Determine a corrente inicial para t = 0.
b) Estude a variação da corrente quando t cresce indefinidamente.
c) Faça um esboço da corrente em função do tempo.
55
Solução:
Solução: Usando o software de manipulação algébrica Maple, temos:
> restart: > i:=t->I0*exp(-t/(C*R)); i := t → I0 e
> i=i(0); i = I0
 − t 
 C R 
> C:=100;R:=1/10; # SEM VALOR NUMÉRICO, NÃO CALCULA C := 100 R :=
1
10
> Limit(I0*exp(-t/(C*R)),t=infinity)=limit(I0*exp(-t/(C*R)),t=infinity);
( − 1/10 t )
lim I0 e
=0
t→∞
1
 , se x > 0
6) Faça o esboço do gráfico da função f definida por f ( x ) =  x
. A seguir determine:
| x |, se x ≤ 0
a) O domínio da função. Resposta: Dom(f) = ℜ
b) A imagem da função. Resposta: Im(f) = [0, +∞[ = {y∈ℜ / y ≥ 0}
c) A função é crescente ou decrescente? Resposta: A função é decrescente
d) A função dada possui ponto de mínimo? Qual é esse ponto? Apresente as suas coordenadas?
Resposta: Sim, a função possui 1 (um) ponto de mínimo global em (0, 0)
Solução: Usando o software de manipulação algébrica Maple, temos:
> restart:
> f:=x->piecewise(x>=0,1/x, x<0, abs(x));
1
f := x → piecewise 0 ≤ x, , x < 0, x 
x


> plot(f,-10..10,-10..10,color=blue);
56
LIMITES DE FUNÇÕES
Adaptado de: MUÑOZ RIVERA, Jaime E. Cálculo Diferencial e Integral I. Petrópolis:
Universidade Federal do Rio de Janeiro. Laboratório Nacional de Computação Científica, 2003. p.106.
1. Introdução
O conceito de limite de uma função é um conceito utilizado em todos os tópicos do cálculo diferencial
e integral. Utilizando limites de funções definimos derivadas e integrais e podemos encontrar valores
de expressões indeterminadas. Neste tópico estudaremos as principais propriedades de limites de
funções definidas sobre os números reais. Como ponto de partida analisemos a função:
f ( x) =
x2 − 4
x−2
Rapidamente percebemos que f está definida em toda a reta, exceto no ponto x = 2. Podemos expressar
esta função da seguinte forma:
f ( x ) = x + 2 se x ≠ 2
Por outro lado, geometricamente, temos:
No ponto x = 2 ela não está definida. Mas, para cada ponto bem próximo dele todos os valores estão
definidos. Quando x se aproxima a 2 sem chegar a tomar o valor de 2, a função f se aproxima para 4
sem ser igual a 4. Para entender melhor o conceito de limite façamos uma comparação com o conceito
de aproximação. Isto é, a expressão: limite de uma função quando x→ 0, quer dizer: o valor ao qual a
função se aproxima quando x está próximo de zero. No exemplo anterior, a função não está definida
no ponto x = 2 mas isto não nos impede saber a que valor ela se aproxima quando x se aproxima para
dois. Quando estudamos o limite de uma função f, por exemplo no ponto x = 2, na verdade não
interessa saber quanto será o valor de f(2), nem mesmo se a função está definida nesse ponto. Interessa
apenas saber a que valor aproxima f(x) quando x está próximo de 2.
Em geral, diremos que L é o limite da função f quando x se aproxima de x0, se tomando valores de x
próximos de x0, os valores de f(x) estão próximos de L. Em símbolos podemos expressar:
x→x0 ⇒ f(x) → L
Usando o software de manipulação algébrica Maple, temos:
> Limit((x^2-4)/(x-2),x=2)=limit((x^2-4)/(x-2),x=2);
x2 − 4
lim
=4
x→2 x − 2
Nos seguintes exemplos, aplicaremos o conceito de limite para determinar o valor de expressões
indeterminadas.
57
Exemplos:
x −2
, quando x→ 4.
x−4
Solução: A função f(x) não está definida no ponto x = 4. Como o numerador e o denominador se
anulam, existe um fator comum que se anula quando x→ 4. Fazendo uma inspeção mais cuidadosa
concluímos que f pode ser escrita como
1) Calcular o limite da função f ( x) =
x −2
x −2
=
=
x−4
( x − 2) ⋅ ( x + 2)
1
x +2
Eliminando o fator que se anula em x = 4, podemos analisar o valor da função quando x→ 4. Agora
vemos que
1
1
1
lim
=
=
x →4
x +2
4 +2 4
De onde concluímos que o limite de f, quando x→ 4 é 1/4.
Usando o software de manipulação algébrica Maple, temos:
> Limit((sqrt(x)-2)/(x-4),x=4)=limit((sqrt(x)-2)/(x-4),x=4);
x −2 1
lim
=
x
−4
4
x→4
x2 −1
.
x →1 x 3 − 1
Solução: Assim como no exemplo anterior, temos uma fração onde o numerador e denominador são
iguais a zero, o que cria uma indeterminação. Note que
2) Calcular o seguinte limite lim
x 2 − 1 = ( x − 1) ⋅ ( x + 1) e x 3 − 1 = ( x − 1) ⋅ ( x 2 + x + 1)
Substituindo estes valores na fração obtemos
x2 −1
( x − 1) ⋅ ( x + 1)
x +1
=
= 2
, ∀ x ≠ 1.
3
2
x − 1 ( x − 1) ⋅ ( x + x + 1) x + x + 1
Desta forma, tomando o limite quando x→ 1, isto é, tomando valores de x arbitrariamente próximos de
1 sem ser iguais a 1, obtemos
x2 −1
x +1
1+1
2
lim = 3
= lim = 2
= 2
=
x →1
x
→
1
x −1
x + x +1 1 +1+1 3
Portanto, podemos afirmar que quando x está arbitrariamente próximo de 1, então f(x) = (x2–1)/(x3–1)
está arbitrariamente próximo de 2/3.
Usando o software de manipulação algébrica Maple, temos:
> Limit((x^2-1)/(x^3-1),x=1)=limit((x^2-1)/(x^3-1),x=1);
x2 − 1 2
lim 3
=
3
x→1 x − 1
58
Seja f(x) definida em um intervalo aberto I, contendo a, exceto possivelmente no próprio a. Dizemos
que o limite de f(x) quando x aproxima-se de a é L, e escrevemos:
lim f ( x ) = L
x→ a
se para todo ε > 0, existe um δ > 0, tal que f ( x) − L < ε sempre que 0 < x − a < δ .
Dando a definição acima de uma forma que não contenha o símbolo de valor absoluto:
(i) 0 < x − a < δ equivale a a − δ < x < a + δ e x ≠ a .
(ii) f ( x) − L < ε equivale a L − ε < f ( x ) < L + ε .
A figura a seguir representa graficamente as desigualdades (i) e (ii) em uma reta real.
Reformulando a definição de limites, teremos:
lim f ( x) = L
x→ a
significa que, para todo ε > 0, existe um δ > 0 tal que se x está no intervalo aberto ( a − δ , a + δ ) e
x ≠ a , então f(x) está no intervalo aberto ( L − ε , L + ε ). Veja a figura a seguir.
59
2. A definição formal de Limite
A definição formal de limite é dado a seguir.
Definição: Diremos que L é o limite de uma função f, quando x→x0 se, para todo ε > 0 existe δ > 0 tal
que
0 < |x - x0| < δ ⇒ |f(x) - L| < ε
Observação: Tomamos 0 < |x - x0| < δ (|x - x0| ≠ 0) para fazer ênfase que na análise do limite o ponto
x = x0 não interessa.
Para entender a definição de Limite, façamos a seguinte interpretação: Por ε estamos denotando um
número pequeno qualquer, portanto |f(x) – L| < ε quer dizer que f(x) está próximo de L. Nestas
condições, o limite de f quando x → xo é igual a L se existe um intervalo que contenha a xo, que faça
que a imagem de todo ponto deste intervalo continue estando próximo de L, isto é que faça que
|f(x) – L| < ε. Dai o fato que deve existir um número δ > 0, pois o intervalo em questão será
]xo – δ, xo + δ[.
Exemplos:
1) Mostre que o limite da função f(x) = 3x – 1 é igual a L = 2 quando x → 1.
Solução: Neste caso é simples conferir que lim f ( x ) = 2.
x →1
Provaremos que para todo ε > 0, é possível encontrar δ > 0, satisfazendo
0 < |x - 1| < δ ⇒ |f(x) – 2| < ε
Para mostrar que existe δ > 0, satisfazendo a propriedade acima, consideramos primeiro a desigualdade
|f(x) – 2| = |3x – 1 – 2| = |3x – 3| = 3|x – 1| < ε
Por uma simples inspeção, concluímos que podemos tomar δ = ε/3, portanto
0 < |x - 1| < ε/3 ⇒ |f(x) – 2| < ε
2) Usando a definição de limite, prove que:
lim (3x − 1) = 2
x→ 1
Para esta prova devemos mostrar que, ∀ ε > 0, ∃ δ > 0, tal que:
(3x − 1) − 2 < ε sempre que 0 < x − 1 < δ
O exame da desigualdade envolvendo ε proporciona uma chave para escolha de δ.
As seguintes desigualdades são equivalentes:
(3 x − 1) − 2 < ε ⇒ (3 x − 3 < ε ⇒ 3( x − 1) < ε ⇒ 3 ⋅ x − 1 < ε ⇒ x − 1 <
A última desigualdade nos sugere a escolha do δ . Fazendo δ =
ε
3
ε
3
, vem que:
(3x − 1) − 2 < ε sempre que 0 < x − 1 < δ
Portanto,
lim (3x − 1) = 2 .
x→ 1
60
3) Usando a definição de limite, prove que:
lim x 2 = 16
x→ 4
Mostre que, dado ε > 0, ∃ δ > 0, tal que:
x 2 − 16 < ε sempre que 0 < x − 4 < δ
Da desigualdade envolvendo ε, temos.
x 2 − 16 < ε ⇒ x − 4 . x + 4 < ε
Necessitamos agora substituir x + 4 por um valor constante. Neste caso, vamos supor:
0 < δ ≤ 1, e então, de 0 < x − 4 < δ , seguem as seguintes desigualdades equivalentes:
x − 4 < 1 ⇒ −1 < x − 4 < 1 ⇒ 3 < x < 5 ⇒ 7 < x + 4 < 9
Logo,
x+4 <9
ε 
Escolhendo δ = min , 1, temos que se x − 4 < δ então:
9 
x 2 − 16 = x − 4 . x + 4 < δ ⋅ 9 ≤
ε
9
⋅9 =ε
Portanto,
lim x 2 = 16
x→ 4
x3 − 1
= 3.
x→1 x − 1
Solução: Pela definição, temos que provar que para todo ε > 0, é possível encontrar δ > 0, satisfazendo
4) Mostre que lim
0 < |x - 1| < δ ⇒ |f(x) – 3| < ε
De acordo com a definição, dado ε > 0 devemos encontrar δ > 0 que verifique a desigualdade acima.
Portanto nosso ponto de partida será a desigualdade
x 3 −1
− 3 = x 2 + x +1 − 3 = x2 + x − 2 = x −1 ⋅ x + 2
x −1
Note que para x próximo de 1, a expressão acima está próximo de zero. Para descrever isto em termos
de desigualdades, necessitamos estimar o termo |x + 2|. Para isto suporemos que |x – 1| < 1, desta
forma teremos que
|x – 1| < 1 ⇒ -1 < x – 1 < 1 ⇒ 2 < x + 2 < 4
Desta forma,
x 3 −1
− 3 = x −1 ⋅ x + 2 < 4 ⋅ x −1
x −1
Finalmente, tomando δ = ε/4, encontramos
0 < |x - 1| < ε/4 ⇒ |f(x) – 3| < ε
Como é simples verificar. Note que a igualdade acima é válida se δ = min {ε/4, 1}.
61
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
1) Prove o limite lim (− 3x + 7 ) = 10 . Utilize: ε = 0,5
x → −1
2
2) Prove o limite lim x − 1 = 2 . Utilize: ε = 0,75
x→1
x −1
3) Prove o limite lim 1 = − 1 . Utilize: ε = 0,75
x →5
2-x
3
62
ANEXO - LIMITE E CONTINUIDADE USANDO O MAPLE
Objetivo: Apresentar o conceito de limite de uma função dada, o conceito de limites laterais e as
propriedades de limites. Estender esse conceito para continuidade e evidenciar exemplos quando as
funções dadas são contínuas ou descontínuas.
Limite
Nesta seção apresentamos o conceito de limite de uma função. Este conceito é muito importante no
ensino do Cálculo Diferencial e Integral (CDI). Evidenciamos este conceito através de alguns
exemplos, esclarecendo-o através do gráfico da função.
Definição: Seja uma função f definida em um intervalo aberto I que contém o ponto p, exceto
possivelmente no próprio ponto p. O limite de f(x) quando x se aproxima de p é L. A afirmação:
lim f ( x) = L
x→ p
significa que, para todo ε > 0 existe um δ > 0 tal que | f ( x ) − L | < ε sempre que 0 < | x − p | < δ .
Observe que se f(x) tem limite quando x tende para p, então tal limite é único.
A seguir, tem-se alguns exemplos de cálculo de limite utilizando os comandos “Limit” e “limit” do
software Maple.
•
•
•
O comando “Limit” representa a expressão em forma da expressão do limite a ser calculado.
O comando “limit” calcula o valor do limite desejado.
O comando “Limit=limit” representa a expressão e calcula o limite.
Exemplos:
x 3 + x − 10
.
1) Calcular o seguinte limite: lim
x →2
x−2
Solução: Para resolver este limite damos o seguinte comandos na tela do Maple:
> Limit((x^3+x-10)/(x-2),x=2)=limit((x^3+x-10)/(x-2),x=2);
x 3 + x − 10
lim
= 13
x−2
x→2
Vamos visualizar o limite obtido anteriormente traçando o gráfico da função dada no intervalo
contendo o ponto analisado.
Observe que no gráfico dado anteriormente o valor no eixo y correspondente a x = 2 é 13.
x 3 + x − 10
= 13 .
Portanto, concluímos que: lim
x→2
x−2
63
x 3 + x − 10
.
x →2 ( x − 2) 2
Solução: Para resolver este limite e construir o gráfico damos os seguintes comandos na tela do Maple:
2) Calcular o seguinte limite: lim
> Limit((x^3+x-10)/(x-2)^2,x=2)=limit((x^3+x-10)/(x-2)^2,x=2);
x 3 + x − 10
lim
= undefined
x→2
( x − 2 )2
> plot((x^3+x-10)/(x-2)^2,x=0..4,color=black);
> # MELHORANDO A VISUALIZAÇÃO GRÁFICA, EM TORNO DO PONTO ANALISADO:
> plot((x^3+x-10)/(x-2)^2,x=0..4,y=-50..50,color=black);
Vemos no gráfico anterior que quando x tende pela direita ou pela esquerda a 2 a função tende a dois
lados diferentes, isto é, não existe o valor do limite desejado.
Portanto, concluímos que: lim
x →2
x 3 + x − 10
não existe.
( x − 2) 2
Nos dois exemplos anteriores calculamos o valor do limite quando x se aproxima de um valor finito. A
seguir apresentamos exemplos quando x tende para infinito.
64
Exemplos:
7 x 3 + 3x − 2
1) Calcular o seguinte limite: lim
.
x →∞ 4 x 3 + x − 5
Solução: > Limit((7*x^3+3*x-2)/(4*x^3+x-5),x=infinity)=
limit((7*x^3+3*x-2)/(4*x^3+x-5),x=infinity);
7 x3 + 3 x − 2 7
lim
=
4
x→∞
4 x3 + x − 5
> plot((7*x^3+3*x-2)/(4*x^3+x-5),x=1..10,y=0..10,color=black);
> plot((7*x^3+3*x-2)/(4*x^3+x-5),x=1..100,y=1..10,color=black);
> plot((7*x^3+3*x-2)/(4*x^3+x-5),x=0..10000,y=1..10,color=black);
Nos três gráficos anteriores vemos que à medida que o valor de x aumenta o valor de f(x) tende a uma
constante, o que se confirma calculando-se algebricamente o valor do seu limite que é 7/4.
7 x 3 + 3x − 2 7
= .
Portanto, concluímos que: lim
x →∞ 4 x 3 + x − 5
4
65
x2 + 5
2) Calcular o seguinte limite: lim
.
x →−∞ 2 x − 4
Solução:
> Limit(sqrt(x^2+5)/(2*x-4),x=-infinity)=limit(sqrt(x^2+5)/(2*x-4),x=-infinity);
lim
x → ( −∞ )
x 2 + 5 -1
=
2x−4
2
> plot(sqrt(x^2+5)/(2*x-4),x=-5..5,y=-5..5,color=black);
> plot(sqrt(x^2+5)/(2*x-4),x=-20..5,y=-3..3,color=black);
> plot(sqrt(x^2+5)/(2*x-4),x=-5000..0,y=-2..2,color=black);
Nos três gráficos anteriores vemos que à medida que o valor de x aumenta o valor de f(x) tende a uma
constante, o que se confirma calculando-se algebricamente o valor do seu limite que é -1/2. Também
observamos pelo gráfico que o limite da função dada no ponto x = 2 não existe.
Portanto, concluímos que: lim
x →−∞
x2 + 5
1
=− .
2x − 4
2
66
Os exemplos a seguir apresentam o limite de algumas funções especiais quando x tende a 0 ou quando
x tende a menos ou mais infinito.
•
Limites Especiais
Exemplos:
sen x
. A seguir construa o gráfico para visualizar o resultado.
x →0
x
Solução: > Limit(sin(x)/x,x=0)=limit(sin(x)/x,x=0);
sin( x )
lim
=1
x
x→0
1) Calcule o seguinte limite: lim
> plot(sin(x)/x,x=-10..10,color=black);
1
2) Calcule o seguinte limite: lim x ⋅ sen   A seguir construa o gráfico para visualizar o resultado.
x →0
 x
Solução: > Limit(x*sin(1/x),x=0)=limit(x*sin(1/x),x=0);
1
lim x sin  = 0
x→0
x
> plot(x*sin(1/x),x=-1..1,color=black);
1
. A seguir construa o gráfico para visualizar o resultado.
x →0 | x |
Solução: > Limit(1/abs(x),x=0)=limit(1/abs(x),x=0);
1
lim
=∞
x→0 x
3) Calcule o seguinte limite: lim
> plot(1/abs(x),x=-2..2,y=0..10,color=black);
67
1
4) Calcule o seguinte limite: lim(1 + x ) x . A seguir construa o gráfico para visualizar o resultado.
x →0
Solução: > Limit((1+x)^(1/x),x=0)=limit((1+x)^(1/x),x=0);
lim ( 1 + x )
x→0
 1 
 x 
=e
> plot((1+x)^(1/x),x=-2..2,y=0..4,color=black);
x
 1
5) Calcule o seguinte limite: lim1 +  . A seguir construa o gráfico para visualizar o resultado.
x →∞
 x
Solução: > Limit((1+1/x)^x,x=infinity)=limit((1+1/x)^x,x=infinity);
x
1

lim  1 +  = e
x
x→∞ 
> plot((1+1/x)^x,x=0..10,y=0..3,color=black);
> plot((1+1/x)^x,x=0..1000,y=0..3,color=black);
x
 1
6) Calcule o seguinte limite: lim 1 +  . A seguir construa o gráfico para visualizar o resultado.
x →−∞
 x
Solução: > Limit((1+1/x)^x,x=-infinity)=limit((1+1/x)^x,x=-infinity);
x
1

lim  1 +  = e
x
x → ( −∞ ) 
> plot((1+1/x)^x,x=-100..0,y=0..4,color=black);
> plot((1+1/x)^x,x=-1000..10,y=0..4,color=black);
Os exemplos a seguir calculam os limites laterais.
68
•
Limites laterais
9 − x2
.
x →3 3 − x
1) Calcule os seguintes limites laterais (à esquerda e à direita) e construa o gráfico: lim
Solução:
> Limit((9-x^2)/(3-x),x=3,left)=limit((9-x^2)/(3-x),x=3,left);
9 − x2
lim
=6
x → 3- 3 − x
> Limit((9-x^2)/(3-x),x=3,right)=limit((9-x^2)/(3-x),x=3,right);
9 − x2
lim
=6
x → 3+ 3 − x
> plot((9-x^2)/(3-x),x=-2..6,color=black);
9 − x2
9 − x2
9 − x2
Portanto, concluímos que: lim
= 6 , pois: lim−
= 6 e lim+
=6.
x →3 3 − x
x →3 3 − x
x →3 3 − x
| x−2|
.
x→2 x − 2
2) Calcule os seguintes limites laterais (à esquerda e à direita) e construa o gráfico: lim
Solução:
> Limit(abs(x-2)/(x-2),x=2,left)=limit(abs(x-2)/(x-2),x=2,left);
x−2
lim
= -1
x → 2- x − 2
> Limit(abs(x-2)/(x-2),x=2,right)=limit(abs(x-2)/(x-2),x=2,right);
x−2
lim
=1
x → 2+ x − 2
> plot(abs(x-2)/(x-2),x=-3..3,color=black);
| x−2|
| x−2|
| x−2|
não existe, pois: lim−
= −1 e lim=
= 1.
x→2 x − 2
x →2
x →2
x−2
x−2
Portanto, concluímos que: lim
69
1
3) Calcule os seguintes limites laterais (à esquerda e à direita) e construa o gráfico: lim .
x →0 x
Solução:
> Limit(1/x,x=0,left)=limit(1/x,x=0,left);
1
lim
= −∞
x → 0- x
> Limit(1/x,x=0,right)=limit(1/x,x=0,right);
1
lim
=∞
x → 0+ x
> plot(1/x,x=-5..5,y=-8..8,color=black);
1
1
1
Portanto, concluímos que: lim não existe, pois: lim− = −∞ e lim+ = ∞
x →0 x
x →0 x
x →0 x
4) Calcule os seguintes limites laterais (à esquerda e à direita) e construa o gráfico: lim
x →0
Solução:
1
.
x2
> Limit(1/x^2,x=0,left)=limit(1/x^2,x=0,left);
1
lim 2 = ∞
x → 0- x
> Limit(1/x^2,x=0,right)=limit(1/x^2,x=0,right);
1
lim 2 = ∞
x → 0+ x
> plot(1/x^2,x=-5..5,y=-8..8,color=black);
1
1
1
= ∞ , pois: lim− 2 = ∞ e lim+ 2 = ∞ . Nota: Na realidade este
2
x →0 x
x →0 x
x →0 x
limite, também não existe, pois não existe um número L, exigido pela definição.
Portanto, concluímos que: lim
70
•
Propriedades de limites
Use o Maple e suas funções: “Limit” e “expand” para verificar as seguintes propriedades de limites:
Nota: É importante lembrar que para verificar as propriedades devemos carregar antes o pacote
“with(student)”, dando o seguinte comando: >with(student):
P1) lim[ f ( x) + g ( x)] = lim f ( x) + lim g ( x)
x→ p
x→ p
x→ p
P2) lim[ f ( x) − g ( x)] = lim f ( x) − lim g ( x)
x→ p
x→ p
x→ p
P3) lim[c ⋅ f ( x)] = c ⋅ lim f ( x)
x→ p
x→ p
P4) lim[ f ( x) ⋅ g ( x)] = lim f ( x) ⋅ lim g ( x)
x→ p
x→ p
x→ p
f ( x)
 f ( x)  lim
x→ p
P5) lim 
=
, g ( x) ≠ 0
x→ p g ( x) 
g ( x)

 lim
x→ p
lim g ( x )
P6) lim f ( x) g ( x ) = lim f ( x) x → p
x→ p
x→ p
P7) lim f ( x) = lim f ( x)
x→ p
x→ p
Solução: Para facilitar, vamos combinar as duas funções: >Limit=expand
> with(student):
P1) > Limit(f(x)+g(x),x=p)=expand(Limit(f(x)+g(x),x=p));
lim f( x ) + g( x ) = ( lim f( x ) ) + ( lim g( x ) )
x→p
x→p
x→p
P2) > Limit(f(x)-g(x),x=p)=expand(Limit(f(x)-g(x),x=p));
lim f( x ) − g( x ) = ( lim f( x ) ) − ( lim g( x ) )
x→p
x→p
x→p
P3) > Limit(c*f(x),x=p)=expand(Limit(c*f(x),x=p));
lim c f( x ) = c ( lim f( x ) )
x→p
x→p
P4) > Limit(f(x)*g(x),x=p)=expand(Limit(f(x)*g(x),x=p));
lim f( x ) g( x ) = ( lim f( x ) ) ( lim g( x ) )
x→p
x→p
x→p
P5) > Limit(f(x)/g(x),x=p)=expand(Limit(f(x)/g(x),x=p));
lim f( x )
f( x ) x → p
lim
=
lim g( x )
x → p g( x )
x→p
P6) > Limit(f(x)^(g(x)),x=p)=expand(Limit(f(x)^(g(x)),x=p));
lim f( x )
x→p
g( x )
= ( lim f( x ) )
( lim g( x ) )
x→p
x→p
P7) > Limit(sqrt(f(x)),x=p)=expand(Limit(sqrt(f(x)),x=p));
lim f( x ) = lim f( x )
x→p
x→p
71
•
Continuidade
A seguir estudaremos o conceito de continuidade de uma função num certo ponto, utilizando os
recursos do software Maple. Inicialmente definimos este conceito matematicamente.
Definição: Uma função f é contínua em um valor p se satisfaz as seguintes condições:
(i) f(p) é definido, ou seja: existe f(p).
(ii) lim f ( x) existe, ou seja: lim− f ( x) = lim+ f ( x)
x→ p
x→ p
x→ p
(iii) lim f ( x) = f ( p)
x→ p
Se uma ou mais destas três condições não forem verificadas em p dizemos que a função f é
descontínua em p.
Agora consideraremos alguns exemplos de funções contínuas e descontínuas. Em cada exemplo
traçamos um esboço do gráfico, determinando os pontos onde existe um salto no gráfico, e mostramos
qual das três condições da definição dada anteriormente não é válida em cada descontinuidade.
Nota: Analisaremos a continuidade das funções esboçando os seus respectivos gráficos. Escolhemos
as variações de x e y conforme a necessidade de cada função.
Exemplo:
2 + x, se x ≤ 1
1) Analisar a continuidade da função: f ( x) = 
.
2 − x, se x > 1
Solução: Neste caso, dividimos a função dada em duas partes designando a primeira “f1” e a segunda
“f2”. Observe os comando a seguir:
> f1:=(x)->if x<=1 then 2+x else undefined fi:
> f2:=(x)->if x>1 then 2-x else undefined fi:
> plot({f1,f2},-3.5..3.5,-4..4,color=black);
Pelo gráfico anterior concluímos que a função dada não é contínua em x = 1.
72
 x2 − 4
, se x ≠ 2

2) Analisar a continuidade da função: f ( x ) =  x − 2
.
2, se x = 2

Solução: Neste caso, dividimos a função dada em três partes designando a primeira “f1”, a segunda
“f2”e a terceira de “f3”. Observe os comando a seguir:
>
>
>
>
>
restart: # COMANDO USADO PARA REINICIAR AS VARIÁVEIS
f1:=(x)->if x<2 then (x^2-4)/(x-2) else undefined fi:
f2:=(x)->if x=2 then 2 else undefined fi:
f3:=(x)->if x>2 then (x^2-4)/(x-2) else undefined fi:
plot({f1,f2,f3},-5..5,-5..5,color=black);
Observe que no ponto x = 2 seu valor 2 não aparece na tela, mas esse ponto fornece um valor vazio
conforme “f1” e “f3”. Assim, concluímos que a função dada não é contínua em x = 2.
73
 sen x
, se x ≠ 0

3) Analisar a continuidade da função: f ( x ) =  x
.
0, se x = 0
Solução: Neste caso, dividimos a função dada em três partes designando a primeira “f1”, a segunda
“f2”e a terceira de “f3”. Observe os comandos a seguir:
>
>
>
>
>
restart: # COMANDO USADO PARA REINICIAR AS VARIÁVEIS
f1:=(x)->if x<0 then sin(x)/x else undefined fi:
f2:=(x)->if x=0 then 0 else undefined fi:
f3:=(x)->if x>0 then sin(x)/x else undefined fi:
plot({f1,f2,f3},-15..15,-2..2,color=black);
Observe que no ponto x = 0 seu valor 0 não aparece na tela, mas esse ponto fornece um valor vazio
conforme “f1” e “f3”. Assim, concluímos que a função dada não é contínua em x = 0.
74
 x 2 + 5 x + 6 , se x < −3 ou x > −2
4) Analisar a continuidade da função: f ( x) = 
.
− 1,
se − 3 ≤ x ≤ −2
Solução: Neste caso dividimos a primeira parte da função dada em duas partes considerando “f1” e
“f3”, enquanto a segunda parte fica como “f2”. Observe os comandos a seguir:
>
>
>
>
>
restart: # COMANDO USADO PARA REINICIAR AS VARIÁVEIS
f1:=(x)->if x<-3 then sqrt(x^2+5*x+6) else undefined fi:
f2:=(x)->if x>=-3 and x<=-2 then -1 else undefined fi:
f3:=(x)->if x>-2 then sqrt(x^2+5*x+6) else undefined fi:
plot({f1,f2,f3},-5..5,-5..5,color=black);
Pelo gráfico anterior concluímos que a função dada não é contínua nem em x = -2 e nem em x = -3.
Nesse caso temos dois pontos de descontinuidades.
75
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
Sugestão: Use o software de manipulação algébrica Maple®, para construir o gabarito!
1) Calcule os limites finitos:
5
4
a) lim (2 x − 4x − 11x + 8)
x → -1
2) Calcule os limites laterais:
1
a) lim+
x→ 2 x − 2
x 2 − 2x + 1
b) lim 2
x → 1 x − 3x + 2
c) lim
x→ 2
x−4
x −2
1
x+4
b) lim x→ - 4
3) Calcule os limites infinitos:
a) lim (−5x 3 + 3x 2 + 1)
x→ ∞
10x 3 − 8x + 118
x → + ∞ 8x 2 − 10 x + 7
4 x 4 − 5x 2 + 1
x → −∞ 2 x 4 − 8x + 9
b) lim
4) Calcule os limites trigonométricos:
1 − cos x
a) lim
x→ 0
x2
b) lim
x→ 0
c) lim
x − tgx
x + tgx
5) Calcule os limites exponenciais:
x2 −4
a) lim e
b) lim (1 + x )
x−2
x→ 2
2
x
x→ 0
6) Calcule os limites logarítmicos:
2
a) lim log x + 3x + 2
x → -1
x 2 − 2x + 1
b) lim log 2
x→ 1
x − 2x + 2
7) Encontre o limite, das seguintes funções:
4x − 5
x 2 − 49
a) lim
b) lim
x → 3 5x − 1
x→ 7 x − 7
8) A variável tende para um valor finito:
2x − 4
a) lim 2 x 3 − x 2 + 32 b) lim 2
x →4
x →2 x − 5x + 6
x−2
x− 3
e) lim
d) lim
x →3
x
→
2
x −3
4x + 1 − 3
c) lim
x→ 0
x 2 − 2x + 5
x→ ∞ 7 x 3 + x − 1
x+2− 2
x
d) lim
2x 2 − 12x + 16
x → 2 3x 2 + 3x − 18
c) lim
9) A variável tende para um valor infinito:
a)
lim − x 5 + 2x 3 − x 2 + 8
x → −∞
d) lim
x → +∞
9x 2 + 2
4x + 3
5x 2 − x + 1
x → +∞ 2 x 2 + x + 3
b) lim
2x 2 − x + 5
x → −∞
4x 3 − 1
c) lim
e) lim ( x 2 + 5x − 3 − x )
x → +∞
76
10) Calcule os seguintes limites:
x 2 − 36
a) lim
x →6 x − 6
x 2 − 16
b) lim
x →4
x −2
1
c) lim
x → −2
x2 + 3
x 3 − x 2 − 8x + 12
d) lim
x →2
x 2 − 4x + 4
x 3 − 9x 2 + x − 9
e) lim
x →9
x 2 − 81
4+ x − 4−x
f) lim
x →0
x
11) Calcule os seguintes limites:
x 2 − 25
a) lim
x →5 x − 5
x3 − x2
b) lim
x →1
x −1
x2 − 9
c) lim
x →3 1 −
4−x
3
x − x 2 − 8x + 12
d) lim
x →2
x 2 − 4x + 4
12) calcule os seguintes limites:
x 2 − 64
a) lim
x →8 x − 8
x 3 − 9x 2 + x − 9
b) lim
x →9
x 2 − 81
x 3 − x 2 − 8x + 12
c) lim
x →2
x 2 − 4x + 4
x2 − 9
d) lim
x →3 1 −
4−x
x+3−2
e) lim
x →1
x −1
13) Calcule os seguintes limites:
sen 5x
a) lim
x →0 10 x
sen 4 x
b) lim
x →0 sen 3x
tg3x
c) lim
x →0 tg 5x
1 − cos x
d) lim
x → 0 x ⋅ senx
x2
g) lim
x4 +1
7x 6
h) lim
x → −∞ 8 x 7
i) lim 120x 3
x →∞
x → −∞
j) lim ( x 2 + 2x + 3 − x )
x →∞
9x 4 + 7 x 2 + 2
x →∞ 5 x 4 + 3x 3 + 1
x 2 − 36
l) lim
x → −∞ x − 6
k) lim
5x 4
x → −∞ 10 x 3
f) lim x 5
e) lim
x → −∞
5x 3 + 6 x 2 + x − 1
x →∞ x 4 + x 2 + x + 6
x
h) lim
x → −∞
x2 +1
g) lim
7x 6
f) lim
x → −∞ 8 x 7
x
g) lim
x → −∞
x2 +1
h) lim x 8
x → −∞
4x 5 + 2x 3 + x − 2
x → −∞
3x 5 + 4x + 3
i) lim
j) lim ( x 2 + 2x + 3 − x )
x →∞
e) limπ
x→
4
cos 2x
cos x − sen x
sen 5x − sen 4 x
sen 8x
1 − sec x
g) lim
x →0
x2
tgx + sen x
h) lim
x →0
2x
f) lim
x →0
77
14) Calcule os seguintes limites:
sen x
a) lim
x →0 15x
tg 4 x
b) lim
x →0 2 x
tg5x
c) lim
x →0 tg 3x
tgx − sen x
d) lim
x →0
sen 2 x
tgx + sen x
e) lim
x →0
x
1 − sec x
f) lim
x →0
x2
sen πx
g) lim
x →0
x
π

sen  x − 
4

h) lim
π
π
x→
x−
4
4
x
 
sen 3  
5
i) lim
x →0
x3
sen 3x
j) lim
x →0
5x
1 − cos x
k) lim
x →0
x
tgx + 2 x
l) lim
x →0
3x
78
REVISÃO DE LIMITES
Como apreender os movimentos que ocorrem em um universo infinitamente pequeno?
Quem venceria numa corrida: um atleta olímpico ou uma tartaruga? A resposta a esta pergunta,
aparentemente ridícula, abre o caminho para um importante conceito matemático, o conceito de
Limite. Imagine a corrida. Para compensar a desvantagem da tartaruga, vamos colocá-la um pouco à
frente do campeão, cerca de 10 metros ou 1.000 centímetros. Enquanto a tartaruga anda 1 centímetro
em 1 segundo, o atleta percorre os 10 metros que o separam do vagaroso animal, e também completa o
centímetro que ele caminhou. Assim, exatamente 1 segundo após o início da corrida, a 1.001
centímetros do ponto de partida do atleta, este ultrapassa a tartaruga. O filósofo grego Zenão, que
viveu no século VI a.C., pensou esta corrida de forma diferente. Segundo ele, assim que a competição
se inicia, por maior que seja a velocidade do corredor e a lerdeza da tartaruga, o animal estará sempre
um pouco à frente, pois quando o atleta chegar à posição inicial da tartaruga, esta terá avançado um
pouquinho mais. Repetindo infinitas vezes este raciocínio chega-se à conclusão de que o corredor
jamais ultrapassará a tartaruga. Sabemos, porém, que ao contrário do que sugeria Zenão, 1 segundo
após o início da corrida o atleta ultrapassa a tartaruga. Como resolver essa contradição? A solução
encontrada pelos matemáticos foi a seguinte: no instante 1 segundo temos a posição 1.001 centímetros,
na qual os dois competidores se encontram no mesmo ponto. Esta posição é o limite-ultrapassagem
para onde os dois movimentos ocorrem. Antes desse limite temos a sua vizinhança, na qual os
movimentos acontecem em intervalos de tempo infinitamente pequenos e em que são percorridos
espaços também infinitamente pequenos – infinitesimais. É no interior desta vizinhança que as
conclusões de Zenão se revelam verdadeiras.
1. Estudo dos limites de uma função
O estudo dos limites de uma função, seja ela contínua ou descontínua, permite ampliar nosso
conhecimento sobre seu comportamento. Para um bom aproveitamento é necessário conhecermos bem
as funções e sua representação gráfica. Freqüentemente, a correta interpretação do gráfico de uma
função pode nos revelar quais serão os limites dessa função. A seguir, vamos conhecer os diversos
tipos de limites, que dependem das características das funções, e aprender como calcular e efetuar
operações com alguns desses limites.
2. Limites finitos: quando x tende para um número real
Investigando um caso concreto, consideremos uma função definida para todos os números reais,
exceto para x = 2, no qual ela apresentará um ponto de descontinuidade (ponto em que o valor a de x
para a função não está definida e, portanto, no qual ela deixa de ser contínua).
Seja a função:
f ( x) =
x2 − 4
x−2
A representação gráfica dessa função é mostrada na figura a seguir:
79
A fração que define essa função pode ser simplificada sempre que x ≠ 2. Assim:
f ( x) =
x 2 − 4 ( x + 2) ⋅ ( x − 2)
=
= x+2
x−2
x−2
Isto significa que se o valor de x estiver muito próximo de 2, sem chegar a se igualar a 2, o valor de
f(x) também ficará muito próximo de 4. Assim, diremos que o limite de f(x) quando x tende para 2 é 4.
De forma abreviada, escreveremos:
lim f ( x ) = 4
x→2
Observando a figura anterior, percebemos que podemos redefinir a função f(x) de maneira que para
f(2) teremos a imagem 4. Deste modo, no gráfico da função desaparecerá o ponto de descontinuidade.
Chamamos a isto de descontinuidade evitável (quando num ponto de descontinuidade, para um valor a
de x podemos atribuir para a função o valor do limite da mesma função quando x tende para a).
Isto implica que a existência de um limite (L) de uma função descontínua num ponto significa uma
“quase continuidade” da função nesse ponto. Portanto, a definição de limite coincide quase plenamente
com a de continuidade.
Assim, dizemos que o número L é o limite da função f(x) quando x tende para x0, e o designamos
como:
L = lim f ( x)
x → x0
Para lembrar: Sempre que tomarmos valores de x muito próximos de x0, mas diferentes de x0, os
valores de f(x) também serão muito próximos de L, com a distância |f(x) – L| sendo tão pequena
quanto quisermos, com a condição de que a distância |x – x0| também seja igualmente pequena.
3. Limites laterais: quando x tende para um número real
Vamos analisar, agora, um novo conceito: o de limites laterais. Com base em um segundo caso prático,
observamos que continuamos tendo uma função f definida para todos os números reais, menos para
x = 2, que sofre uma mudança brusca. A expressão que define essa função é:
 x + 1, se x ≤ 2
f ( x) = 
− x + 8, se x > 2
Sua representação gráfica é indicada na próxima figura.
Observando o gráfico anterior, percebemos que não existe o lim f ( x ) porque, quando o valor de x se
x→2
aproxima de 2, a função f(x) não se aproxima de um valor único.
80
O fato é que o limite se aproxima de dois valores diferentes dependendo de x ser maior ou menor que
2. Em geral, diremos que o número L é o limite lateral da função f, quando x tende para x0 pela
esquerda. Seu número é definido na expressão:
L = lim f ( x ) ou equivalentemente L = lim− f ( x )
x → x0
x < x0
x → x0
Tomando-se valores de x muito próximos de x0, mas menores que x0, os valores de f(x) também ficam
muito próximos de L. De tal modo que a distância |f(x) – L| possa ser tão pequena quanto se queira,
sempre que a diferença |x – x0| for suficientemente pequena.
Assim, para definir o limite lateral pela direita de uma função, procedemos da mesma maneira.
Portanto, a mesma definição com algumas adequações pode ser usada.
Retomando nosso exemplo, vejamos quais são os limites laterais para f(x):
•
O limite lateral da função f, quando x tende para 2 pela esquerda, é 3. Em forma abreviada:
lim f ( x) = 3 ou equivalentemente lim− f ( x ) = 3
x →2
x <2
•
x →2
O limite lateral da função f, quando x tende para 2 pela direita, é 6. Isto é:
lim f ( x) = 6 ou equivalentemente lim+ f ( x ) = 6
x→2
x>2
x →2
4. Limites infinitos: quando x tende para um número real
Vamos observar, nos gráficos da figura a seguir, o que ocorre com algumas funções quando x se
aproxima de 0.
Nas funções que estudamos até agora, nos interessa os seus comportamentos nas proximidades de
x = 0. Lembramos que nenhuma das três funções é definida para x = 0, pois a divisão por 0 também
não o é. Assim, todas as funções são descontínuas neste ponto.
Para lembrar: À medida que x vai tomando valores cada vez mais próximos de 0 (figura anterior,
as funções f(x), g(x) e h(x) adquirem valores cada vez maiores (valores absolutos,
independentemente se o seu sinal é positivo ou negativo).
Além disso, o valor da função pode chegar a ser tão grande, em valor absoluto, quanto queiramos, com
condição de escolhermos um valor de x suficientemente próximo de 0.
81
É por este motivo que o eixo das ordenadas funciona como uma assíntota vertical.
Qual é o limite de todas essas funções?
•
O limite da função f quando x tende a 0 é mais infinito:
lim f ( x ) = +∞
x →0
•
O limite da função g quando x tende a 0 é menos infinito:
lim g ( x ) = −∞
x →0
•
A função h tem limites laterais distintos:
-
lim h( x) = −∞ ou equivalentemente lim− h( x ) = −∞
-
lim h( x) = +∞ ou equivalentemente lim+ h( x ) = +∞
x →0
x<0
x →0
x →0
x >0
x →0
Para lembrar: Concluímos que o limite da função f quando x tende a x0 é mais infinito. Esse
limite é expresso assim:
lim f ( x) = +∞
x → x0
Tomando valores de x muito próximos de x0, os valores de f(x) são muito grandes e positivos. Assim,
f(x) pode ser maior que qualquer outro número M pré-fixado, sempre que a distância |x – x0| for
suficientemente pequena.
5. Limites finitos: quando x tende para o infinito
Neste tipo de limites, os valores que x adquire são, em valores absolutos, muito elevados.
Por isso, falamos de limites onde x tende para o infinito ou dizemos, de outra forma, que L é o limite
da função f quando x tende para mais infinito. Sua notação é:
lim f ( x ) = L
x →+∞
quando (em razão do valor de x ser muito grande) o valor de f(x) se aproxima de L, de modo que a
distância |f(x) – L| pode tornar-se tão pequena quanto se queira, sempre e quando tomarmos um valor
de x suficientemente grande.
No exemplo da figura a seguir, comprovamos o que foi explicado até agora.
82
Na representação gráfica da função g, também indicada na figura anterior, parece que, à medida que
cresce o valor de x, g(x) se aproxima cada vez mais de 0.
Para lembrar: De fato, o eixo Ox é o que se conhece como assíntota horizontal.
Este comportamento da função g é previsível se considerarmos a fração que a define.
Como o numerador é um valor constante, se x for muito grande, o denominador também o será e,
assim, o valor da fração se aproximará muito de 0.
Dessa maneira, podemos afirmar que:
lim g ( x) = L
x →+∞
Sendo que, neste caso, L = 0.
6. Limites infinitos: quando x tende para o infinito
Também neste tipo de limites, os valores de x são muito elevados, sempre em valor absoluto.
Por isso, falamos de limites quando x tende ao infinito. Veja a função f(x) = 3x2 representada
graficamente no gráfico da figura a seguir.
83
Se observarmos atentamente este gráfico, temos a impressão de que, quando x aumenta, f(x) assume
rapidamente valores muito altos.
De fato, este comportamento da função é previsível se analisarmos a expressão que define f. Se x for
muito grande, o quadrado de x também será muito grande. Será ainda maior se o multiplicarmos por 3.
Podemos escrever que, neste caso:
lim f ( x ) = +∞
x →+∞
Em geral, desdobramos essa expressão, escrevendo que o limite da função f é +∞ quando x tende para
+∞. Isso quando, ao crescer muito a variável x, a f(x) torna-se tão grande quanto queiramos, com a
condição de tomarmos um valor de x suficientemente grande.
LISTA DE EXERCÍCIOS PROPOSTOS PARA A REVISÃO DOS CONCEITOS
x2 − 9
.
x+3
a) Ela tem alguma descontinuidade? Resposta: Sim, em x = -3.
b) Calcule o lim f ( x ) . Resposta: -6
1) Seja a função f ( x) =
x → −3
2 x + 5, x < −2
lim+ h( x ) . Existe o lim h( x ), sendo h( x) =  2
.
x → −2
x→ −2
x → −2
 x − 2 x − 1, x ≥ −2
Resposta: (i) 1 (ii) 7 (iii) Não existe o limite, pois os limites laterais são diferentes.
x 2 − 3x − 4 ( x + 1) ⋅ ( x − 4)
3) Seja f ( x) = 2
=
.
x − 2 x − 8 ( x + 2) ⋅ ( x − 4)
a) Quantos pontos de descontinuidade têm esta função? Resposta: Tem 2 pontos de descontinuidade.
b) Quais são esses pontos? Resposta: x = -2 e x = 4.
c) Calcular o lim f ( x ) e o lim f ( x ) . Resposta: (i) 5/6 (ii) 4/5
2) Calcular o
x →4
lim− h( x ) e o
x →3
4) Se o lim f ( x ) = +∞, qual será lim
x →+∞
x →+∞
f ( x ) ? Resposta: Dado que para valores muito grandes de x,
a função f(x) tem que ser positiva, porque seu limite é +∞, resulta que
evidente que também lim
x →+∞
f ( x) é definida. Assim, é
f ( x ) = +∞. .
5) Calcular os seguintes limites:
b) lim − 3x 3 + 5 x 2 − x − 1 Resposta: 0
b) lim − 3x 3 + 5 x 2 − x − 1 Resposta: -∞
x →+∞
x →+∞
3
3x 4 − 2 x 3 + 1
1
c) lim
Resposta: -1/3
d) lim  
Resposta: 0
x →+∞ − 9 x 4 + 5 x − 1
x →+∞ 5
 
6) Calcular o limite da função h(x) quando x tende a 2 e a 0. A função é definida pela expressão
polinômica seguinte: h( x) = −2 x 3 + x 2 − 4 x + 1. Resposta: (i) -19 (ii) 1
2x −1
7) Seja a função racional f ( x ) = 2
. Determinar os valores de x para os quais a função é
x − 3x + 2
descontínua. Calcular o lim f ( x ) e o lim f ( x ) . Resposta: (i) x = 1 e x = 2 (ii) 5/2 (iii) -1/2
x →3
8)
a)
b)
c)
x → −1
Calcular o limite para x → +∞
∞ e para x → -∞
∞ nas seguintes funções:
4
3
f ( x) = 3 x − x + x − 2
Resposta: (i) +∞
(ii) +∞
f ( x) = −2 x 2 − 2 x + 5
Resposta: (i) -∞
(ii) -∞
5
4
2
h( x ) = x + 2 x − x − 9
Resposta: (i) +∞
(ii) -∞
84
O número e, por quê?
Adaptado do artigo de Elon Lages Lima
A noção de logaritmo quase sempre nos é apresentada, pela primeira vez, do seguinte modo: “o
logaritmo de um número y na base a é o expoente x tal que ax = y”.
Segue-se a observação: “os números mais freqüentemente usados como base de um sistema de
logaritmos são 10, e o número
e=2,71828182...”;
o que nos deixa intrigados.
De saída, uma pergunta ingênua: esta regularidade na seqüência dos algarismos decimais desse número
e persiste? Não. Apenas uma coincidência no começo. Um valor mais preciso seria
e = 2,718281828459...
Não se trata de uma fração decimal periódica. O número e é irracional, isto é, não pode ser obtido
como quociente e = p/q de dois inteiros. Mais ainda: é um irracional transcendente. Isto significa que
não existe um polinômio P(x) com coeficientes inteiros, que se anule para x = e, ou seja, que tenha e
como raiz.
Por que então a escolha de um número tão estranho como base de logaritmos? O que faz esse número
tão importante?
Talvez a resposta mais concisa seja que o número e é importante porque é inevitável. Surge
espontaneamente em várias questões básicas.
Uma das razões pelas quais a Matemática é útil às Ciências em geral está no Cálculo (Diferencial e
Integral), que estuda a variação das grandezas. Um tipo de variação dos mais simples e comumente
encontrados é aquele em que o crescimento (ou decrescimento) da grandeza em cada instante é
proporcional ao valor da grandeza naquele instante. Este tipo de variação ocorre, por exemplo, em
questões de juros, crescimento populacional (de pessoas ou bactérias), desintegração radioativa, etc.
Em todos os fenômenos dessa natureza, o número e aparece de modo natural e insubstituível. Vejamos
um exemplo simples.
Suponhamos que eu empreste a alguém a quantia de 1 real a juros de 100% ao ano. No final do ano,
essa pessoa viria pagar-me e traria 2 reais: 1 que tomara emprestado e 1 dos juros. Isto seria justo?
Não. O justo seria que eu recebesse e reais. Vejamos por que. Há um entendimento tácito nessas
transações, de que os juros são proporcionais ao capital emprestado e ao tempo decorrido entre o
empréstimo e o pagamento.
85
Assim, se meu cliente viesse me pagar seis meses depois do empréstimo, eu receberia apenas l ½
reais. Mas isto quer dizer que, naquela ocasião, ele estava com 1/2 real meu e ficou com esse dinheiro
mais seis meses, à taxa de 100% ao ano; logo deveria pagar-me
1 ½ + ½ (1 ½ ) = 1 ½ (1 + ½) = (1 + ½)2 reais no fim do ano.
Isto me daria 2,25 reais, mas, mesmo assim, eu não acharia justo.
Eu poderia dividir o ano num número arbitrário N, de partes iguais.
Transcorrido o primeiro período de
1ano
1
, meu capital emprestado estaria valendo 1 + reais. No fim
n
n
2
1ano
 1
do segundo período de
, eu estaria 1 +  reais, e assim por diante. No fim do ano eu deveria
n
 n
n
 1
receber 1 +  reais. Mas, como posso fazer esse raciocínio para todo n , segue-se que o justo e
 n
exato valor que eu deveria receber pelo meu real emprestado seria
n
 1
lim 1 +  ,
n →+∞
 n
que aprendemos nos cursos de Cálculo ser igual ao número e. Um outro exemplo no qual o número e
aparece.
86
LISTA COMPLEMENTAR DE FUNÇÕES E LIMITES
Autor: Prof. José DONIZETTI de Lima, Dr. Eng.
•
APLICAÇÃO DE LIMITES EM CONSTRUÇÕES GRÁFICAS
1) Dada as funções:
(I) f ( x ) =
1
;
x
(IV) f ( x ) =
5
;
x −4
2
1
;
( x − 1) 2
(XIII) f ( x ) =
1
;
x −1
(III) f ( x ) =
3
;
x −1
(V) f ( x) =
1
;
( x − 1) ⋅ ( x − 1)
(VI) f ( x ) =
1
;
( x − 1) ⋅ ( x − 2)
(XI) f ( x) = 3 +
2
1
 , se x > 0
;
(IX) f ( x ) =  x
| x |, se x ≤ 0
ex
(VIII) f ( x) =
;
1+ ex
1
(VII) f ( x) = 2 +
;
( x + 1) ⋅ ( x + 2)
(X) f ( x ) =
(II) f ( x ) =
4
;
( x − 2) 2
(XII) f ( x ) = 2
x
;
x−2
x2 − x
;
x 2 −1
pede-se:
(a) O domínio dessa função. Resposta:
(b) Calcule os limites laterais que forem necessários.
(c) Escreva a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) vertical(is) da função dada.
(d) Calcule os limites da função dada para x → + ∞ e x → ∞.
(e) Escreva a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) horizontal(is) dessa função.
(f) A função f é contínua em todos os reais? Se for, justifique. Caso contrário, diga quais são os pontos
de descontinuidade e por quê.
(g) Faça um esboço do gráfico dessa função e apresente no gráfico onde foram utilizados os limites
calculados nos itens anteriores.
(h) Determine a imagem dessa função.
(i) Apresente uma informação que julgar importante sobre esta função e que não foi solicitado nos
itens anteriores.
 x 2 + 2, se x < 1

2) Dada a função f ( x) = 4, se x = 1
, pede-se:

 x + 3 , se x > 1
a) Dom(f) =
b) f (1) =
c) lim− f(x ) =
d) lim+ f(x) =
e) lim f(x ) =
f) f é contínua em x = 1? Justifique.
g) lim f ( x ) =
h) lim f(x) =
i) Gráfico de f
x →1
x→−∞
x →1
x→+∞
x→1
j) Im(f) =
87
 5 x − 10
 x 2 − 4 , se x < 2

, pede-se:
3) Dada a função f ( x) = 3, se x = 2
 10 x − 20
 2
, se x > 2
 x + 4 x − 12
a) f (2)
b) lim− f ( x )
x →2
c) lim+ f ( x )
x →2
d) lim f ( x )
x →2
e) f é contínua em x = 2 ? Justifique.
4) Dada a função f ( x ) = cot g x , pede-se:
a) Determine o domínio dessa função. Resposta: {x ∈ ℜ / x ≠ k ⋅ π , k ∈ Z }
b) Destaque cinco pontos de descontinuidade dessa função. Resposta: x = −2π , x = −π , x = 0, x = π , x = 2π
c) Calcule os limites que julgar necessário para o esboço do gráfico dessa função.
d) Faça um esboço do gráfico dessa função.
e) Determine a imagem da função. Resposta: ℜ
Solução: Usando o software de manipulação algébrica Maple, temos:
> plot(cot(x),x=-7..7,y=-5..5);
5) Dada a função f ( x ) = cot g 2 x , pede-se:
k ⋅π


a) Determine o domínio dessa função. Resposta:  x ∈ ℜ / x ≠
,k ∈ Z
2


b) Destaque 4 pontos de descontinuidade dessa função. Resposta: x = −π, x = −π / 2, x = π / 2, x = π
c) Calcule os limites necessários para o esboço do gráfico dessa função.
d) Faça um esboço do gráfico dessa função.
e) Determine a imagem da função. Resposta: ℜ
Solução: Usando o software de manipulação algébrica Maple, temos:
> plot(cot(2*x),x=-4..4,y=-10..10);
88
6) Dada a função f ( x ) = cos sec x , pede-se:
a) Determine o domínio dessa função. Resposta: {x ∈ ℜ / x ≠ k ⋅ π , k ∈ Z }
b) Destaque cinco pontos de descontinuidade dessa função. Resposta: x = −2π , x = −π , x = 0, x = π , x = 2π
c) Calcule os limites que julgar necessário para o esboço do gráfico dessa função.
d) Faça um esboço do gráfico dessa função.
e) Determine a imagem da função. Resposta: ] -∞, 1] ∪ [1, +∞[
Solução: Usando o software de manipulação algébrica Maple, temos:
> plot(csc(x),x=-10..10,y=-3..3);
7) Um capital (C) aplicado à uma taxa de juros compostos (i) durante um período de tempo (t)
produz um montante (M), dado por: M = C.(1 + i)t. Neste contexto, determine em quanto tempo
(anos, meses e dias) um capital triplica se for aplicado a uma de 1% ao mês. Resposta: 110,4096...
m = 9 anos 2 meses e 13 dias.
8) Sabendo que um capital (C) aplicado à uma taxa de juros compostos (i) durante um período de
M
tempo (n) produz um montante (M), dado por: M = C ⋅ (1 + i ) n . Mostre que: i = n
− 1 . Nesse
C
mesmo contexto, determine o tempo necessário para que um capital duplique se for aplicado a
11,50% ao ano. Resposta: 6,367653942 a = 6 anos 4 meses e 13 dias.
9) Sabendo que um capital (C) aplicado à uma taxa de juros compostos (i) durante um período de
M 
ln 
C
tempo (t) produz um montante (M), dado por: M = C ⋅ (1 + i ) t . Mostre que: t =   .
ln (1 + i )
10) Deve-se construir uma caixa de base retangular, com uma folha de cartolina de 40 cm de largura
e 52 cm de comprimento, retirando-se um quadrado de cada canto da cartolina e dobrando-se
89
perpendicularmente os lados resultantes. Determine o tamanho do lado do quadrado que
permite construir uma caixa de volume máximo. (Desprezar a espessura da cartolina.). Use duas
casas decimais, com arredondamentos. Determine também o domínio da função volume.
Solução: Usando o software de manipulação algébrica Maple, temos:
> restart:
> # Sabemos que o volume de um prisma reto é dado por: V = Abase*altura = a*b*c
> a:=50-2*x; a := 50 − 2 x > b:=76-2*x; b := 76 − 2 x > c:=x; c := x
> V=a*b*c; V = ( 50 − 2 x ) ( 76 − 2 x ) x
2
3
> V=expand(a*b*c); V = 3800 x − 252 x + 4 x
11) Dom(f) =? se f ( x) =
5x −1
−2 .
2x + 1
12) Como os avanços na tecnologia resultam na produção de calculadoras cada vez mais potentes e
compactas, o preço das calculadoras atualmente no mercado diminui. Suponha que x meses a partir
30
de agora, o preço de um certo modelo seja de P ( x ) = 40 +
unidades monetárias (u. m.).
x +1
(a) Qual será o preço daqui a 5 meses? Resposta: P(5) = $ 45.
(b) De quanto cairá o preço durante o quinto mês? Resposta: P(5) - P(4) = 45 - 46 = $ 1.
(c) Quando o preço será de $ 43 u. m. Resposta: P(x) = 43 => Daqui a 9 meses.
(d) O que acontecerá com o preço a longo prazo (x→ ∞)? Resposta: P(x) → $ 40 quando x → ∞.
13) Supõe-se que a população de uma certa comunidade suburbana, daqui a t anos, será de
6
P (t ) = 20 −
milhares .
t +1
(a) Daqui a 9 anos, qual será a população da comunidade?
(b) De quanto a população crescerá durante o 90 ano?
(c) Ao longo desse tempo, o que acontecerá ao tamanho da população?
Resposta: (a) P(9) = 194/10 = 19,4 milhares.
(b) P(9) – P(8) = 194/10 - 58/3 = (1/15) milhares = 67 habitantes.
(c) A população aproximar-se-á de 20 mil habitantes.
Nota: É importante ter em mente que o limite pode ser um ponto que nunca é atingido, mas do qual
pode-se aproximar tanto quanto se desejar.
14) Suponha que uma partícula esteja sendo acelerada por uma força constante. As duas curvas
v = n(t) e v = e(t) da figura abaixo fornecem as curvas de velocidade instantânea versus tempo
para a partícula conforme previstas, respectivamente, pela Física clássica e pela Teoria da
Relatividade Especial. O parâmetro c representa a velocidade da luz. Usando a linguagem de
limites, descreva as diferenças nas previsões a longo prazo das duas teorias.
15) Seja T = f(t) a temperatura de uma peça t minutos depois de retirada de um forno industrial. A
figura abaixo mostra a curva da temperatura versus tempo para a peça, onde r denota a temperatura
ambiente. Pergunta-se:
(a) Qual é o significado físico de lim+ f (t ) ? (b) Qual é o significado físico de lim f (t ) ?
t →0
t →∞
90
16) Sabe-se que sob temperatura constante, o volume de certa massa de um gás perfeito é função da
pressão a que o mesmo está submetido. E a lei dessa função é dada pelo gráfico da figura a seguir;
K
, onde K é uma constante que depende da massa e da temperatura do gás.
P
K
d) Com respeito à função V = , P > 0 (não tem sentido físico considerar a pressão P nula ou
P
negativa), o que se pode dizer de V quando P diminuir, tendendo para zero? Resposta: Aumenta,
tendendo a mais infinito.
e) Para a mesma função, o que acontece com o volume V quando a pressão P cresce, tornando-se
muito grande, isto é, quando P tende para infinito? Resposta: Diminui, tendendo a zero.
Representada por V =
17) Seja i a corrente variando em função do tempo t, num circuito elétrico onde temos a descarga de
um capacitor C e uma resistência R.
−
t
C⋅R
Sabe-se que: i = I 0 ⋅ e
.
(a) Determine a corrente inicial para t = 0.
(b) Estude a variação da corrente quando t cresce indefinidamente.
(c) Faça um esboço da corrente em função do tempo.
Solução:
91
Solução: Usando o software de manipulação algébrica Maple, temos:
> restart: > i:=t->I0*exp(-t/(C*R)); i := t → I0 e
> i=i(0); i = I0
 − t 
 C R 
> C:=100;R:=1/10; # SEM VALOR NUMÉRICO, NÃO CALCULA C := 100 R :=
1
10
> Limit(I0*exp(-t/(C*R)),t=infinity)=limit(I0*exp(-t/(C*R)),t=infinity);
( − 1/10 t )
lim I0 e
=0
t→∞
18) Considere uma lente delgada convergente de distância focal f (nas lentes convergentes, f > 0 ). Seja
e o eixo principal dessa lente. Seja P um objeto situado em e e P’ a imagem correspondente. As
abscissas p e p’ de P e P’ respectivamente, tomadas em relação ao centro ótico o da lente, se
1 1 1
f ⋅p
+ = , dessa equação tiramos que: p' =
,
relacionam através da equação de Gauss:
p p' f
p− f
onde f é uma constante que depende da lente. Construa o gráfico de p’ em função de p.
19) Resolva a seguinte inequação: 3 x + 2 < − x + 3 ≤ x + 4 Resposta: S = {x ∈ ℜ / − 1 / 2 ≤ x < 1 / 4}
Solução: Usando o software de manipulação algébrica Maple, versão 12, temos:
>
20) Calcule os seguintes limites:
3
x −3 7
= ... = 211 3 7
x→7
x−7
Solução: Usando o software de manipulação algébrica Maple, temos:
a) lim
> Limit((x^(1/3)-7^(1/3))/(x-7),x=7)= limit((x^(1/3)-7^(1/3))/(x-7),x=7);
lim
x
( 1/3 )
x→ 7
−7
x−7
( 1/3 )
=
1 ( 1/3 )
7
21
2
x −9
= … = 8 Dica: Utilize o conjugado
x2 + 7 − 4
Solução: Usando o software de manipulação algébrica Maple, temos:
b) lim
x→3
> Limit((x^2-9)/(sqrt(x^2+7)-4),x=3)=limit((x^2-9)/(sqrt(x^2+7)-4),x=3);
lim
x→ 3
c) lim
x→+∞
x2 − 9
x2 + 7 − 4
=8
x 6 + 5 x 3 − x 3 = … = 5/2 = 2,5 Dica: Utilize o conjugado
Solução: Usando o software de manipulação algébrica Maple, temos:
> Limit(sqrt(x^6+5*x^3)-x^3,x=infinity)=limit(sqrt(x^6+5*x^3)-x^3,x=infinity);
92
lim
x→ ∞
x6 + 5 x3 − x 3 =
5
2
1 − cos x sec x − 1
d) lim 
= ...= 1/2 + 1/2 = 1 Dica: Utilize o conjugado
+
2
x→0
x 2 
 x
Solução: Usando o software de manipulação algébrica Maple, temos:
> Limit((1-cos(x))/x^2+(sec(x)-1)/x^2,x=0)=limit((1-cos(x))/x^2+(sec(x)-1)/x^2,x=0);
1 − cos( x ) sec( x ) − 1
+
=1
x2
x2
lim
x→ 0
π x −1
Dica: Utilize mudança de variável
x
Solução: Usando o software de manipulação algébrica Maple, temos:
> Limit((Pi^x-1)/x,x=0)=limit((Pi^x-1)/x,x=0);
πx − 1
lim
= ln( π )
x
x→ 0
e) lim
x→0
f) lim 3
x→7
x−7
x −3 7
g) Mostre que: lim ( 1 + sin( x ) )
x→ 0
 1
 sin( x )


=e
> Limit((1+sin(x))^(1/sin(x)),x=0)=limit((1+sin(x))^(1/sin(x)),x=0);
e kx − 1
= k . Sugestão: use mudança de variável.
x →0
x
h) Mostre que lim
Solução: Usando o software de manipulação algébrica Maple, temos:
> Limit((exp(k*x)-1)/x,x=0)=limit((exp(k*x)-1)/x,x=0);
lim
x→0
e
(k x)
−1
x
1
=k
x
x x

 1
i) Mostre que lim+ 1 +  = π e , usando o limite fundamental exponencial lim 1 +  = e .
x → +∞
x →0 
π
 x
Sugestão: use mudança de variável.
Solução: Usando o software de manipulação algébrica Maple, temos:
> Limit((1+x/Pi)^(1/x),x=0,right)=limit((1+x/Pi)^(1/x),x=0,right);
x
lim  1 + 
π
x → 0+ 
 1 
 x 
=e
 1 
 π 
93
1) Dada a função y =
x +1
, pede-se:
x2 −1
(a) Determine o domínio dessa função. Dom(f) = ℜ - {-1, +1} => x = -1 e x = +1 são candidatos a assíntotas verticais.
(b) Calcule os limites da função dada para x → – ∞ e x → +∞.
(c) Calcule os limites laterais que forem necessários.
(d) Escreva a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) vertical(is) da função.
(e) Escreva a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) horizontal(is) da função.
(f) A função f é contínua em todos os reais? Se for, justifique. Caso contrário, diga quais são os pontos
de descontinuidade e porquê.
(g) Faça um esboço do gráfico dessa função e apresente no gráfico onde foram utilizados os limites
calculados nos itens (b) e (c).
(h) Determine a imagem dessa função.
94
2) Dada a função y =
x
, pede-se:
x −1
2
(a) Determine o domínio dessa função. Dom(f) = ℜ - {-1, +1} => x = -1 e x = +1 são candidatos a assíntotas verticais.
(b) Calcule os limites da função dada para x → – ∞ e x → +∞.
(c) Calcule os limites laterais que forem necessários.
(d) Escreva a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) vertical(is) da função.
(e) Escreva a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) horizontal(is) da função.
(f) A função f é contínua em todos os reais? Se for, justifique. Caso contrário, diga quais são os pontos
de descontinuidade e porquê.
(g) Faça um esboço do gráfico dessa função e apresente no gráfico onde foram utilizados os limites
calculados nos itens (b) e (c).
(h) Determine a imagem dessa função.
95
3) Dada a função y =
1
, pede-se:
x −1
2
(a) Determine o domínio dessa função. Dom(f) = ℜ - {-1, +1} => x = -1 e x = +1 são candidatos a assíntotas verticais.
(b) Calcule os limites da função dada para x → – ∞ e x → +∞.
(c) Calcule os limites laterais que forem necessários.
(d) Escreva a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) vertical(is) da função.
(e) Escreva a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) horizontal(is) da função.
(f) A função f é contínua em todos os reais? Se for, justifique. Caso contrário, diga quais são os pontos
de descontinuidade e porquê.
(g) Faça um esboço do gráfico dessa função e apresente no gráfico onde foram utilizados os limites
calculados nos itens (b) e (c).
(h) Determine a imagem dessa função.
96
CONTINUIDADE EM APLICAÇÕES (Adaptado de Anton, Cálculo, vol. I, 8 ed., 2007)
Nas aplicações, as descontinuidades sinalizam, muitas vezes, a ocorrência de importantes fenômenos
físicos. Por exemplo, a Figura 1 é um gráfico da voltagem versus o tempo para um cabo subterrâneo
que é acidentalmente cortado por uma equipe de trabalho no instante t = t0 (A voltagem caiu para zero
quando a linha foi cortada.). A Figura 2 mostra o gráfico de unidades em estoque versus tempo para
uma companhia que reabastece o estoque com y1 unidades quando o estoque cai para y0 unidades. As
descontinuidades ocorrem nos momentos em que acontece o reabastecimento.
Figura 1
Figura 2
PROFESSOR: ENGENHEIRO DE PRODUÇÃO DO CONHECIMENTO (LIMA, 2011).
QUESTÕES QUE NÃO QUEREM CALAR
1) O fato de uma função ser definida em um ponto de abscissa x = p é uma condição suficiente para
afirmar que essa função é contínua em x = p? Justifique sua resposta. Além disso, ilustre
geometricamente a sua conclusão.
2) O fato de uma função possuir limite para x → p é uma condição suficiente para afirmar que essa
função é contínua em x = p? Justifique sua resposta. Além disso, ilustre geometricamente a sua
conclusão.
3) O fato de uma função ser definida em um ponto de abscissa x = p e possuir limite para x → p é
uma condição suficiente para afirmar que essa função é contínua em x = p? Justifique sua
resposta. Além disso, ilustre geometricamente a sua conclusão.
4) Diante das questões anteriores, diga então quais condições devem ser satisfeitas para afirmar
que uma função é contínua em x = p.
5) Em que condições uma descontinuidade, digamos em x = p, pode ser removida?
6) Escreva com suas palavras o que significa afirmar que uma função tem limite quando x → p?
7) Dica aos professores: ao final de cada aula ou ao final de cada semana elaborar uma questão que
avalie o conteúdo trabalhado. Desta forma, ao terminar uma parte da ementa terá um conjunto
de questões que avalie todo o conteúdo desenvolvido. Por fim, faça uma seleção para evitar
questões que se repetem.
8) Dicas aos acadêmicos: (i) dormir às 22:00 h e acordar depois das 6:00 h; (ii) começar a resolução
da avaliação pelas questões que julgar mais fácil; (iii) se possível, testar numericamente os valores
algébricos obtidos;....sucesso...
Link: Visitem o site da Universidade Federal Fluminense
http://www.uff.br/webmat/Calc1_LivroOnLine/Cap01_Calc1.html
Link: Visitem o site da Universidade de Campinas/SP:
Aulas de cálculo da UNICAMP:
http://www.youtube.com/watch?v=XJCmMuZV-JA&feature=list_other&playnext=1&list=SP2D9B691A704C6F7B
97
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
DESEMPENHO
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
CÂMPUS PATO BRANCO
Atividades Práticas Supervisionadas (APS) de Cálculo Diferencial e Integral 1 – Prof. José Donizetti de Lima, Dr. Eng.
Acadêmico: _____________________________________________________ Curso: Engenharia ___________
Na APS serão consideradas somente as questões que apresentarem os cálculos e, a resposta da mesma à caneta. Data de entrega: 24/05/2013
1) O gráfico a seguir representa uma função f de [−6, 9] em R. Determine, justificando se não existe:
(a) f (2)
(b) lim− f ( x)
x→ 2
(c) lim+ f ( x)
x→ 2
(d) lim f ( x)
x→2
(e) f (−2) =
(f) f (7) =
2) Um gás (vapor d’água) é mantido à temperatura constante. A medida que o gás é comprimido, o
volume V decresce até que atinja uma certa pressão (P) crítica. Além dessa pressão, o gás assume
forma líquida. Observando a figura a seguir, determine:
(a) lim − V
p →100
(b) lim + V
p →100
(c) lim V
p →100
4 − x ², se x < 1

3) Dada a função f definida por: f ( x ) = 2, se x = 1
. Pede-se: esboce o gráfico de f e calcule o
2 + x ², se x > 1

limite quando x tende a 1.
4) O gráfico a seguir representa uma função f de [−3, 4] em R. Determine, justificando se não existe:
(a) f (1)
(b) lim− f ( x )
x →1
(c) lim+ f ( x )
x →1
(d) lim f ( x )
x →1
98
5) Para a função representada graficamente na figura a seguir, determine, se existir, cada item
abaixo. Caso não exista, justifique.
(a) lim f ( x)
x→0
(b) lim− f ( x)
x→0
(c) lim+ f ( x)
x→0
(d) lim f ( x)
x→4
(e) lim− f ( x)
x→ 4
(f) lim+ f ( x)
x→ 4
(g) f(4)
(h) f(0)
(i) f(-5)
6) Calcule os seguintes limites.
21) lim( x 3 + x 2 + 5x + 1) =
22) lim ( x 3 − 2x 2 − 4x + 3) =
x → −1
33)
23) lim (4x 3 − 2x 2 − 2x − 1) =
x →− 2
24)
25)
26)
27)
28)
29)
30)
31)
x 4 − 8x 3 + 18x 2 − 27
=
x → 3 x 4 − 10 x 3 + 36 x 2 − 54 x + 27
x−2
lim
=
x →2
2x − 4
x−4
lim
=
x→4
x −2
x
lim
=
x →0 2 −
4−x
x
lim
=
x →0
2 − 2−x
32) lim
x →1
x 2 + 5x − 4
lim
=
x →3
x2 − 5
x 2 − 7 x + 10
lim
=
x →2
x−2
x 2 + 2x − 3
lim
=
x → −3
x+3
3x 4 + x 3 − 5x 2 + 2x
lim
=
x →0
x2 − x
x 3 − 4x + 3
lim 5
=
x →1 x − 2 x + 1
x 2 − 36
lim
=
x →6 x − 6
x 2 −1
lim 2
=
x → −1 x + 3x + 2
x 5 + 32
lim
=
x → −2 x + 2
34)
35)
36)
2− 3+ x
=
x −1
x
38) lim
=
x →0
x +1 −1
37) lim
x →1
39) lim
x→4
40) lim
x →2
1 + 2x − 3
=
x −2
2x 2 − 3x + 2 − 2
3x 2 − 5x − 1 − 1
Respostas da questão 6:
a
8
b
4
k
80
l
2
c
-5-
6 2
m
0
d
5
e
-3
f
-4
g
-2
n
4
o
4
p
q
2 2
− 1/ 4
− 1/ 3
h
i
12
j
-2
r
2
s
t
4/3
5 / 14
Resposta da questão 1: (d) não existe tal limite, pois os limites laterais são diferentes.
Resposta da questão 3: O limite vale 3, pois esse é o resultado dos limites laterais.
Resposta da questão 4: (d) não existe tal limite, pois os limites laterais são diferentes.
99
100
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Acadêmico: _____________________________________________________ Curso: Engenharia ___________
Na APS serão consideradas somente as questões que apresentarem os cálculos e, a resposta da mesma à caneta. Data de entrega: 28/05/2013
1) Calcule o limite das seguintes funções, quando x → +∞ e quando x → −∞.
(a) f ( x) = 3x 4 − 8 x 3 + x 2 − 6
Resposta: + ∞ e + ∞
3
2
(b) f ( x) = 4 x − 2 x + 7 x − 5
Resposta: + ∞ e - ∞
f ( x) = −5 x 3 + 8 x 2 − 7 x + 29
f ( x) = −14 x 7 + 8 x 5 − 10 x 3 + 10
f ( x ) = −4 x 6 + 2 x 4 + 9 x 2 − 5
f ( x) = 1 + 3x − 8 x 2 − 7 x 3 + 14 x 4
(g) f ( x) = (3 − 8 x + 4 x 3 ) − (5 x 2 + 3x − 1)
(h) f ( x) = x 8 + x 7 − x 6 + x 5 + 9
(c)
(d)
(e)
(f)
Resposta:
Resposta:
Resposta:
Resposta:
Resposta: + ∞
(b) lim (2x 5 − x 4 + 2 x 2 − 1)
Resposta: − ∞
(c) lim (−3x 4 + 2x 2 − 1)
Resposta: − ∞
(d) lim (3x 4 + 5x 2 + 8)
Resposta: + ∞
(e) lim (−5x 3 + 3x − 2)
Resposta: + ∞
(f) lim (− x 2 + 3x − 2)
Resposta: − ∞
x → −∞
x → −∞
x → +∞
x → −∞
x → +∞
2 x 3 − 3x 2 + x − 1
(g) lim
x → +∞
x2 + x − 3
2x 2 + 1
(h) lim 2
x → −∞ x − 1
3x
(i) lim 2
x → −∞ x − 3
3x 3 − 5x 2 + 2x + 1
(j) lim
x → −∞ 9 x 3 − 5 x 2 + x − 3
2 x 3 + 5x 2 − 8
(k) lim
x → −∞ 4 x 5 − 8x + 7
5x 3 − 2 x 2 + 1
(l) lim
x → −∞
x+7
2
x + x +1
(m) lim
x → −∞ ( x + 1) 3 − x 3
(3x + 2)3
(n) lim
x → −∞ 2 x (3x + 1)( 4 x − 1)
-∞ e + ∞
-∞ e -∞
+∞ e +∞
Resposta: + ∞ e - ∞
Resposta: + ∞ e + ∞
2) Resolva os seguintes limites
(a) lim (5x 3 − 3x 2 − 2x − 1)
x → +∞
-∞ e + ∞
Resposta: + ∞
Resposta: 2
Resposta: 0
Resposta: 1/3
Resposta: 0
Resposta: + ∞
Resposta:1/3
Resposta: 9/8
101
x2 + x + 1
(o) lim
x → +∞
x +1
2
x + x +1
(p) lim
x → −∞
x +1
2
2x − 3x − 5
(q) lim
x → +∞
x4 + 1
2 x 2 − 3x − 5
(r) lim
x → −∞
x4 +1
3) Calcule os limites indicados:
x2 + x − 3
(a) lim
x → +∞ 3 x 2 − 4
3x − 2
(b) lim 2
x → −∞ 5 x + 3
x −3
(c) lim
x → +∞
2x2 + 6
Resposta: 1
Resposta:-1
Resposta: 2
Resposta: 2
Resposta: 1/3
Resposta: 0
Resposta: 0
(d) lim
4x + 3
2+ x
Resposta: 2
(e) lim
x2 +1 − x
Resposta: 0
(f) lim
x2 + x − x
Resposta: 1/2
(g) lim
1
x
Resposta: 0
x → +∞
x → +∞
x → +∞
x → +∞
(h) lim 2 +
x → +∞
1
x
Resposta: 2
(i) lim x + x 2 + 4
Resposta: + ∞
(j) lim x − x 2 − 1
Resposta: 0
x → +∞
x → +∞
4) Suponha que uma partícula esteja sendo acelerada por uma força constante. As duas curvas
v = n(t) e v = e(t) da figura abaixo fornecem as curvas de velocidade instantânea versus tempo
para a partícula conforme previstas, respectivamente, pela Física clássica e pela Teoria da
Relatividade Especial. O parâmetro c representa a velocidade da luz. Usando a linguagem de
limites, descreva as diferenças nas previsões a longo prazo das duas teorias.
102
5) Seja T = f(t) a temperatura de uma peça t minutos depois de retirada de um forno industrial. A
figura abaixo mostra a curva da temperatura versus tempo para a peça, onde r denota a
temperatura ambiente. Pergunta-se:
(a) Qual é o significado físico de lim+ f (t ) ? (b) Qual é o significado físico de lim f (t ) ?
t →0
t →∞
103
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Atividades Práticas Supervisionadas (APS) de Cálculo Diferencial e Integral 1 – Prof. José Donizetti de Lima, Dr. Eng.
Acadêmico(a): __________________________________________________ Curso: Engenharia ___________
Na APS serão consideradas somente as questões que apresentarem os cálculos e, a resposta da mesma à caneta. Data de entrega: 14/06/2013
1) Mostre que:
4
x
(a) lim(1 + 3 x) = e12
x →0
4
1
x
 4x  x
(d) lim1 +
 = e7
x →0
7 

(e) lim(1 − x ) = e
1
1
=
e
−1
x →0
1
 x x
(c) lim1 +  = e 3 = 3 e
x →0
 3
(b) lim(1 + 2 x ) = e 2
x →0
1
1
1
x
1
 x x
(f) lim1 +  = e π = π e
x →0
 π
2) Calcule os seguintes limites:
 1
(a) lim 1 + 
n→ ∞
 n
n+ 2
 5
(d) lim 1 + 
x→ ∞
 x
Respostas: (a) e
 3
(b) lim 1 + 
n→ ∞
 n
x +1
n
 x 
(c) lim 

x→ ∞
 1+ x 
(e) lim (1 + sen x )
x
1
sen x
x→ π
(b) e
3
(c) e-1
(d) e5
(e) e
3) Calcule os limites abaixo:
(a)
lim
ln ( 2 + x )
x →−1
( Fazer
x+1
x+ 1 = u )
2x − 1
x
x →0
(e) lim
x →0
ln ( 3 + x )
x+2
x →−2
( Fazer
x+ 2 = u )
esenx − 1
senx
x →0
(c) lim
ln (1 + x )
lim
(b)
(d) lim
2
ln x 3
x →1 x − 1
(f) lim
x
1
(g) lim
x →0
(i) lim
x →0
(1+senx )
10 x − 1
5x − 1
Respostas: (a) 1
cos sec x
( Fazer sen x = u)
(dividir por x Num. e Den.)
(b) 1
(h) e
5
 1+x  x − 4
(h) lim 

x →4  5 
(j)
 2
 1+ 
x →+∞  x 
x
lim
(c) ln 2
(d) 1
2
(i) ln 10/ln 5 (j) e
(e) 2
(f) 3
( g) e
104
4) Calcule os seguintes limites
sen 3x
2) lim
x →0
2x
sen x
3) lim
x → 0 4x
tg 2 x
4) lim
x → 0 3x
sen 4 x
5) lim
x → 0 sen 3x
tg3x
6) lim
x → 0 tg 5x
1 − cos x
7) lim
x →0
x
1 − cos x
8) lim
x → 0 x. sen x
1 − sec x
9) lim
x →0
x2
tgx + sen x
10) lim
x →0
x
sen x − cos x
11) lim
π
1 − tgx
x→
cos 2 x
π
x → cos x − sen x
13) lim
4
x →0
15)
16)
17)
18)
19)
20)
21)
22) lim
4
b
1
4
m
0
c
2
3
n
1
−
4
x→ 0
1 - cos 2 x
x2
d
4
3
o
0
(m) lim
x →0
x→ 0
(j) lim
x→
2x
2
i
2
t
2
3
j
k
0
2
2
u
1/2
−
sen 4x
sen 5 x
(d) lim
sen h
3h
(g) lim
x senx
1 − cos x
(h) lim+
sen(t)
t −π
x→ 0
sen x.(1- cos x )
h
1
−
2
s
0
(c) lim
x→ 0
- x2
cos 2 x − 1
0
sen x - sen π
(i) lim
x→ π
x−π
(f) lim
x3
Respostas:
e
f
g
3
1
0
5
2
p
q
r
−
sen
a
cos a
1
5) Calcule os seguintes limites:
x
sen 2x
(a) lim
(b) lim
x →0
x → 0 tg x
x
(e) lim
tgx − senx
x →0
tgx − sen x
x →0
sen 2 x
12) lim
a
3
2
l
2
x − sen x
x + sen x
x − sen 2 x
lim
x → 0 x + sen 3x
cos 5x − cos 3x
lim
x →0
sen 4 x
sen 3x − sen 2 x
lim
x →0
sen x
sen( x + a ) − sen a
lim
x →0
x
cos( x + a ) − cos a
lim
x →0
x
x
1 − sen
2
lim
x→π
π−x
1 − cos 2 x
lim
x →0
3x 2
14) lim
h →0
t→ π
sen5x
x → 0 tg4x
(l) lim
(k) lim
x→
π
2
cos x
π
−x
2
1 − cos x
x2
Respostas: (a) 1
(h)-1
(b) 2
( i)-1
(c) 4/5
(j) 0
(d) 1/3
(k) 5/4
(e) 1
(l) 1
(f) 1
(m)1/2
(g) 2
105
MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
DESEMPENHO
UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DO PARANÁ
CÂMPUS PATO BRANCO
Atividades Práticas Supervisionadas (APS) de Cálculo Diferencial e Integral 1 – Prof. José Donizetti de Lima, Dr. Eng.
Acadêmico (a): __________________________________________________ Curso: Engenharia ___________
Na APS serão consideradas somente as questões que apresentarem os cálculos e, a resposta da mesma à caneta. Data de entrega: 14/06/2013
1) Dada as funções y = f ( x ) , pede-se:
(a) Determine o domínio da função.
(b) Identifique o(s) ponto(s) de descontinuidade da função, caso exista(m) e justifique.
(c) Calcule os limites da função dada para x → – ∞ e x → ∞.
(d) Escreva a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) horizontal(is) da função.
(e) Calcule os limites laterais que forem necessários.
(f) Escreva a(s) equação(ões) da(s) assíntota(s) vertical(is) da função.
(g) Faça um esboço do gráfico da função e apresentando os resultados encontrados anteriormente.
(h) Determine a imagem da função.
2
1
1
x +1
(I) f ( x ) = 1 +
; (II) f ( x ) = 2
;
(III) f ( x ) = 1 + 2
;
(IV) f ( x ) = 2
;
x −3
x −1
x −9
x −1
x 2 + 4, se x <1
x−2

;
(VI) f ( x ) = 10, se x =1
(V) f ( x ) = 2
x −4
− 2 x , se x > 1

2) Verifique se as funções abaixo são contínuas nos pontos especificados:
3− x
1
b) f ( x ) =
em x = 5
b) f ( x ) =
em x = 4
x+2
x−4
 x 2 + 3x + 2
, se x < -1

1
 x + 1
c) f ( x ) = 1 + e x em x = 0
d) f ( x) = 1,
se x = −1
3x,
se x > -1


7x - 6, se x < 2
e) f ( x) =  2
2x , se x ≥ 2
1
g) f ( x) =
em x = 1.
x −1
em x = 2
em x = - 1
f) f ( x) = 2 x 2 − 3 em x = 3
3x − 10 se x > 4

h) f ( x) = 2
se x = 4 em x = 4
10 - 2x se x < 4

3) Determine o valor de a para que as seguintes funções sejam contínuas no ponto indicado:
 x 2 − 5x + 6
,
se x ≠ 2

d) f ( x) =  x − 2
em x = 2
a,
se x = 2

106
e)
f)
 x −2
,

f ( x) =  x − 4
3x + a,

se x > 4
em x = 4
se x ≤ 4
 x+2− 2
,

f ( x) = 
x
3x 2 − 4 x + a,

se x > 0
em x = 0
se x ≤ 0
4) Determine os valores de a e b que tornam a função abaixo contínua em toda parte.
 x² − 4
 x − 2 , se
x<2

f ( x ) = ax ² − bx + 3, se 2 ≤ x < 3
2x − a + b, se x ≥ 3


Respostas:
a
b
c
d
e
f
g
h
2)
sim
não
não não sim sim não Sim
a
b
c
3)
a = -1
4)
a=b=
a=−
47
4
a=
2
4
1
2
5) Mostre, utilizando a definição formal de limites, que:
(a) lim (3x − 1) = 2 .
x→ 1
(b) lim (− 3x + 7 ) = 10 .
x → −1
(c) lim(2 x + 4) = 10
x →3
(d) lim( x + 2) = 5
x →3
(e) lim (3x − 1) = −7
x → −2
(f) lim(5x − 3) = 2
x →1
(g) lim(4 x − 5) = 3
x →2
(h) lim (3 − 4 x ) = 7
x → −1
MATERIAL DE APOIO SOBRE FUNÇÕES E LIMITES
Disponível em: http://paginapessoal.utfpr.edu.br/donizetti/
Disponível em: http://pb.utfpr.edu.br/daysebatistus
SUGESTÃO DE ATIVIDADES COMPLEMENTARES: RESOLVA AS PROVAS DE LIMITES DE 2011 E 2012.
Disponível em: http://pb.utfpr.edu.br/daysebatistus
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