Lista 05 - Unifal-MG

5a Lista de Exercı́cios de Fundamentos de Matemática Elementar
Professor: José Carlos de Souza Júnior
Curso: 1o Perı́odo - Licenciatura em Matemática
1. Se f (x) = x2 − 1 e g(x) = 1 − x, qual o valor de (f ◦ g)(1)?
2. Sendo f uma função definida em A = {1, 2, 3, 4, 5} por f (1) = 3, f (2) = 4, f (3) = 5,
f (4) = 1, f (5) = 2. Quanto vale (f ◦ f ◦ f ◦ f ◦ f )(1)?
3. Se f (x) = 2x − 1 e g(x) = 3x2 , calcule a função composta (g ◦ f )(x).
4. Se f (x) = 5x e g(x) = 3x2 , calcule f (g(x)).
5. Sabendo que f (x) = x2 + 1 e g(x) = f (x + 1) − f (x), calcular g(f (x)).
6. Se f : R → R é da forma f (x) = ax + b e verifica f (f (x)) = x + 1 para todo x real, então
determine a e b.
7. Seja k uma constante real e f e g funções definidas em R tais que f (x) = kx + 1 e
g(x) = 13x + k. Determine k sabendo que (f ◦ g)(x) = (g ◦ f )(x) para todo x real.
8. Se f (g(x)) = x2 e g(x) = x − 1, então qual o valor de f (2)?
9. Se f (x − 1) =
3x+5
2x+1
(x 6= − 12 ), qual é o domı́nio de f (x)? (Sugestão: x = (x + 1) − 1)
10. Seja a função f : R → B dada pela expressão f (x) = −3x2 + 7x + 6. Determinar B para
que f seja sobrejetora e dizer se ela é bijetora.
11. A aplicação f : N → N definida por:
½ n
, se n é par
2
f (x) =
n+1
, se n é ı́mpar
2
é:
(a) somente injetora
(b) somente sobrejetora
(c) bijetora
(d) nem injetora e nem sobrejetora
(e) nenhuma das anteriores
12. Considere a função f : A → B, dada por f (x) = x2 −4x+7 com A = [a, ∞) e B = [1, ∞).
Pergunta-se:
(a) Qual é o menor valor possı́vel para a de modo que f seja injetora?
(b) Nas condições do item (a), a função é sobrejetora? Por quê?
13. Se f (x) =
x−3
,
x+1
então defina a função inversa f −1 (x).
14. Sejam y = f (x) e x = g(y) funções inversas. Então:
(a) f (g(y)) = y
(b)
f (x)
g(x)
=1
(c) f (x) =
1
g(x)
(d) g(y) = f (x)
(e) x =
1
y
15. O gráfico de uma função f é o segmento de reta que une os pontos (−3, 4) e (3, 0). Se
f −1 é a função inversa de f , então qual o valor de f −1 (2)?
16. Dada a função f : R → R, bijetora, definida por f (x) = x3 + 1, determine sua inversa
f −1 : R → R e verifique que (f ◦ f −1 )(x) = (f −1 ◦ f )(x) = x.
17. Use o gráfico das funções abaixo para decidir quais são injetoras, quais são sobrejetoras e
quais são bijetoras. (Considere D(f ) = CD(f ) = R)
(a)
(c)
(e)
(b)
(d)