Estimação Robusta de Parâmetros usando o Problema de

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Estimação Robusta de Parâmetros usando o
Problema de Otimização de Valores Ordenados
Roberto Andreani∗
Flavio S. Yano†
Instituto de Matemática, Estatı́stica e Computação Cientı́fica, IMECC, UNICAMP,
13083-859, Campinas, SP
E-mail: [email protected]
Suponha que f1 , . . . , fm são funções reais
definidas em um conjunto arbitrário Ω. Para cada
x ∈ Ω podemos ordenar estas funções de tal forma
que
fi1 (x) ≤ fi2 (x) ≤ . . . ≤ fim (x).
[email protected]
Então definimos m funções
fi (ξ) = (yi − f (xi ))2
a fim de estimar com o problema OVO os
parâmetros que definem f (x), onde ξ é o vetor de
Para todo p ∈ {1, . . . , m}, a função f : Ω → IR parâmetros. Por exemplo, se f (x) = ax + b predenominada função de ordem p é definida por
tendemos estimar os parâmetros a e b e, neste caso,
ξ = (a, b).
f (x) = fip (x).
O problema OVO permite descartar um percentual de medições muito ruins, por exemplo, se
O problema de otimização de valores ordena- m = 100 tomando a função de ordem p = 80 estados (OVO) introduzido por Andreani, Dunder e mos desprezando 20% das piores medições.
Martı́nez em [1], consiste em minimizar ou maxiEstimamos parâmetros para funções lineares,
mizar a função de ordem p sujeito a x pertencente polinomiais, exponenciais e trigonométricas e coma algum conjunto Ω.
paramos com quadrados mı́nimos e os resultados
Esta função não é diferenciável e isto dificulta a foram promissores.
resolução do problema
Referências
min f (x)
s.a. x ∈ Ω
mas, em [1] podemos encontrar uma reformulação
deste problema que corresponde a resolver o
seguinte problema diferenciável
min z
m
X
s.a.
ri wi = 0
[2] R. Andreani, C. Dunder, and J. M. Martı́nez
[2003], Order-Value Optimization: Formulation and Solution by means of a Primal Cauchy
Method, Mathematical Methods of Operations
Research, vol 58, n.o 2.
i=1
m
X
[1] R. Andreani, C. Dunder, and J. M. Martı́nez
[2002], Order-Value Optimization and nonlinear programming reformulation, Relatório
Técnico DMA-IMECC-UNICAMP.
(1 − ri )ui = 0
i=1
ui − z + fi (x) − wi = 0, i = 1, . . . , m
m
X
ri = p
i=1
0 ≤ r ≤ e, u ≥ 0, w ≥ 0.
Neste trabalho pretendemos usar as propriedades
deste problema para estimar parâmetros de forma
robusta.
Suponha que temos m respostas yi para cada
ação xi e que a função candidata à representar esta
relação entre ação e resposta é f (x) = y.
∗ Financiado
pela
FAPESP(Proc.01/05492-1)
CNPq(Proc.301115/96-6)
† Bolsista FAPESP - Proc. 02/14203-6
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