2.1 Taxas de variação e limites

Cálculo Diferencial e Integral I – CDI I
Taxas de variação e limites
Luiza Amalia Pinto Cantão
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Taxas de Variação e Limites
1 Variação Média
2 Variação Instantânea
3 Taxas médias de variação e retas secantes
4 Limites dos valores das funções
Velocidade Média
Idea: A velocidade média de um corpo em movimento durante um intervalo de
tempo é obtida dividindo-se a distância percorrida pelo tempo gasto para
percorrê-la:
∆s
vm =
∆t
1¯◦ Exemplo: Uma pedra se desprende do topo de um penhasco. Qual é sua
velocidade média durante os primeiros 2s de queda ?
Note que: um objeto sólido que entrar em queda livre a partir do repouso,
próximo a superfı́cie da Terra, percorrerá uma distância proporcional ao
quadrado do tempo que levou caindo. Se y indica a distância percorrida em
metros após t segundos, então a Lei de Galileu é:
y = 4.9t2
onde 4.9 é a constante de proporcionalidade.
Velocidade Instantânea
2¯◦ Exemplo: Calcule a velocidade da pedra no instante t = 2s.
A velocidade da pedra é calculada ao longo do percurso, deste t = 2s até
qualquer tempo um pouco posterior t = (2 + h)s, h > 0, que será:
∆s 4.9(2 + h)2 − 4.9(2)2 4.9(2 + h)2 − 4.9(2)2
=
=
∆t
(2 + h) − 2
h
Note que: esta fórmula não pode ser usada para calcular a velocidade no
0
instante t = 2s, pois terı́amos de ter h = 0, obtendo vm = o que não
0
sabemos quanto vale (forma indeterminada!!!!).
Velocidade Instantânea (2)
Quando h se aproxima de zero, a velocidade média se aproxima de 19.6 m/s.
Algebricamente:
∆s 4.9(4 + 4h + h2) − 4.9(4) h(4.9h − 4.9(4)
=
=
= 4.9h + 19.6
∆t
h
h
Taxas Médias de Variação e Retas Secantas
Definição: A taxa média de variação de y = f (x) em relação a x no
intervalo [x1, x2] é:
∆y f (x2) − f (x1) f (x1 + h) − f (x1)
=
=
,
∆x
x2 − x1
h
h 6= 0
Limite dos valores da função
Definição informal do limite: seja f (x) definida num intervalo aberto em
torno de x0 (exceto talvez em x0). Se f (x) fica arbritariamente próximo de L
(tão próximo quanto quisermos) para todos os valores de x suficientemente
próximos de x0 e dizemos que f tem limite L quando x tende a x0 e
escrevemos:
lim f (x) = L
x→x0
que se lê: o limite de f (x), quando x tende a x0, é L.
3¯◦
x2 − 1
Exemplo: Como f (x) =
se comporta próximo de x = 1 ?
x−1
Continuação do 3◦¯ exemplo
O valor do limite não depende do modo como a
função é definida em x0
Limite de função identidade e função constante
4¯◦ Exemplo: As funções constante e identidade têm limites em todos os pontos
a) Se f é a função identidade f (x) = x, então para cada valor de x0:
lim f (x) = lim x = x0
x→x0
x→x0
b) Se f é a função constante f (x) = k, então para qualquer valor de x0:
lim f (x) = lim k = k
x→x0
x→x0
Situações onde o limite pode não existir
5¯◦ Exemplo: