x - Uesc

UNIVERSIDADE ESTADUAL DE SANTA CRUZ - UESC
DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS - DCET
INTRODUÇÃO AO CÁLCULO
FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA ELEMENTAR I
FUNÇÕES COMPOSTA E INJETORA
1. Considere a função em R definida por f (x) = x3 − 3x2 + 2x − 1. Qual é a lei que define f ( x1 )?
f (−x)? f (x − 1)?
2. Dadas as funções reais definidas por f (x) = 3x + 2 e g(x) = 2x + a, determine o valor de a de modo
que se tenha f ◦ g = g ◦ f .
3. Julgue os itens abaixo:
(a) A figura abaixo é gráfico de uma função definida para y = f(x).
(b) Se f (x) = x2 − 2x + 1, então f (a − 1) = f (−a + 1).
(c) Se A = {1, 2, 3} e B = {1, 4, 7}, pode-se afirmar que o número de funções de A para B é igual
a 3.
(d) A representação gráfica de
f:
R →
R
definida por f (x) = |x − 1| − (x − 1) é o gráfico abaixo.
1
(e) Para todo x > 0 temos que, se f (x) = x1 , então f (x) < 1.
(f) Se f é uma função definida para todo inteiro tal que f (0) = 1,
f (n + 1) = f (n) + 3, então f (300) = 901.
4. Sejam f e g funções de R em R, definidas por f (x) = 2x + k e g(x) = −x + t. Sabendo que
f (f (x)) = 4x − 3 e f(g(x)) = g(f(x)) determine:
(a) os valores de k e t;
(b) os números reais x, tais que
f (x)
g(x)
≤ 0.
5. Dada a função
f: A
→
B
(a) Prove que se tem f (X − Y ) ⊃ (f (X) − f (Y )), ∀X, Y subconjuntos de A e B.
(b) Mostre que se f é injetiva tem-se f (X − Y ) = f (X) − f (Y ), ∀X, Y subconjuntos de A.
(c) Mostre que se f é injetiva tem-se f (X ∩ Y ) = f (X) ∩ f (Y ), ∀X, Y subconjuntos de A e B.
RESPOSTAS
1. (a) f ( x1 ) =
1
x3
−
3
x2
+
2
x
−1=
1−3x+2x2 −x3
.
x3
(b) f (−x) = −x3 − 3x2 − 2x − 1.
(c) f (x − 1) = x3 − 6x2 + 11x − 7.
2. a = 1. Conclusão: A composição de funções NÃO É NECESSARIAMENTE comutativa, ou
seja, NÃO É SEMPRE VERDADE que f ◦ g = g ◦ f .
3. (a) Falso. y = f (x) define uma relação que não é função pois o elemento 0 está relacionado com
dois elementos distintos.Ver gráfico.
(b) Verdadeiro. Observe que f (x) = x2 − 2x + 1 = (x − 1)2 , ou seja, f é uma função par.
2
(c) Falso. O número de funções que podem ser definidas de A para B é 9.
(d) Verdadeiro. Observe que
f (x) =
(e) Falso. Observe que 0 < x < 1 ⇔
1
x
8
<
0; se x > 1
: −2x + 2; se x ≤ 1
> 1.
(f) Verdadeiro. Observe que f (n) = 3n + 1.
4. (a) k = −1 e t = 2
(b) S = {x ∈ R | x ≤
1
2
ou x > 2}
5. Sejam X e Y subsonjuntos quaisquer de A.
(a) Seja b ∈ (f (X) − f (Y )) ⇔ ∃x ∈ X tal que b = f (x)
e @y ∈ Y tal que b = f (y) ⇒ ∃x ∈
(X − Y ) tal que b = f (x), ou seja, b ∈ f (X − Y ).
(b) Devemos mostar que:
i. f (X − Y ) ⊃ (f (X) − f (Y ))
ii. f (X − Y ) ⊂ (f (X) − f (Y )) se f é injetiva.
O item i) foi mostrado em 5.a). Portanto, resta-nos mostrar que:
f (X − Y ) ⊂ (f (X) − f (Y )).
Suponha que f (X − Y ) ) (f (X) − f (Y )). Seja b ∈ (f (X − Y ) − (f (X) − f (Y ))) ⇒ b ∈
f (X − Y ) e b ∈
/ (f (X) − f (Y )) ⇒ ∃y ∈ (Y − X) e ∃x ∈ (X − Y ) tal que b = f (y) =
f (x), o que é um absurdo pois f é injetiva. Logo, f (X − Y ) ⊂ (f (X) − f (Y )).
(c) Observe que a inclusão f (X ∩ Y ) ⊂ (f (X) ∩ f (Y )) é imediata.
Resta-nos mostrar que: f (X ∩ Y ) ⊃ (f (X) ∩ f (Y )) se f é injetiva.
Suponha que ∃b ∈ (f (X) ∩ f (Y )) tal que b ∈
/ f (X ∩ Y ), ou seja, ∃x ∈ (X − Y ) e y ∈
(Y − X) tal que b = f (x) = f (y), o que é um absurdo pois, f é injetiva. Logo
f (X ∩ Y ) ⊃
(f (X) ∩ f (Y )).
BIBLIOGRAFIA
• IEZZI, Gelson. DOLCE, Osvaldo. MURAKAMI, Carlos. Fundamentos de Matemática Elementar -Conjuntos e Funções. 7a edição. Vol 1. Editora: Atual.
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