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REVISÃO DE MATEMÁTICA DO ENSINO MEDIO
1 OPERAÇÕES FUNDAMENTAIS COM NÚMEROS INTEIROS
1.1
Adição:
343
Termos ou parcelas
343 + 57
+ 57
400
Soma ou Total
1.2
Subtração:
5407 - 258
1.3
Multiplicação:
327 . 32
fatores
1.4
5 407 Minuendo
- 258 Subtraendo
5 149 Resto, excesso ou diferença
327
x 32
1º fator: Multiplicando
2º fator: Multiplicador
654
981
10464
Produto
Divisão: 5 247 : 32
Dividendo(D)
Forma de apresentação:
327  32
327.32
(327 )(32)
5247
32 divisor(d)
- 32
163 quociente(q)
204
Forma de apresentação:
192
5247  32
127
5247 : 32
96
5247 / 32
31 resto(r)
D= d.q+r
2 DIVISIBILIDADE
2.1
Definições:
 Um número é divisível por outro, quando dividido por esse outro, não deixa resto.
Exemplo: 27 : 3 = 9 o resto é 0.
 Um número é múltiplo de outro quando é divisível por esse outro. Exemplo: 50 é
múltiplo de 5.
 Um número é divisor de outro quando o divide exatamente.
2.2
Caracteres de divisibilidade mais comuns:
Um número é divisível por:
 2 quando for par.
 3 quando a soma de seus algarismos der um número divisível por 3. Ex. 78 912
somando 7+8+9+1+2=27 que é divisível por 3
 5 quando terminar em 0 ou 5. Ex. 105 e 200
 6 quando for divisível ao mesmo tempo por 2 e 3. Ex. 18
 10 quando terminar em 0.
3 NÚMEROS PRIMOS
3.1
Definições:
Um número Primo é todo aquele que só é divisível por si e pela unidade. Ex. 5,23,43.
1
3.2
Obtem-se os nos Primos através do CRIVO DE ERATÓSTENES.
Regra para reconhecer se um nº é primo:
Divide-se o número, sucessivamente, pelos nos primos a partir do nº 2 e na ordem
crescente, até obter-se um quociente igual ou menor que o divisor. Se a divisão sempre
deixar resto, o nº é primo. Exemplo: Verificar se o nº 101 é primo.
Por 2, 3, 5 e 11 verificamos que não é divisível, pela aplicação direta dos caracteres de
divisibilidade; então, vamos dividi-lo sucessivamente por 7,13,17, etc...
3.3
3.4
101 7
101 13
07
14
mas 14>7 continua a dividir 91 7
31
10
28
3
Decomposição de um nº em fatores primos:
Exemplo: Decomponha o nº 120
como 7<13 o nº é primo
120 2
60 2
23
temos que: 120 = 23.3.5
30 2
15 3
5 5
1
Números primos entre si:
São dois ou mais números que, decompostos em fatores primos não possuem fatores
comuns.
Exemplo: Verifique se 24 e 35 são primos entre si
24
12
6
3
1
2
2
2
3
35 5
7 7
1
23
temos que: 24 = 23.3
2357 então os nos são primos entre si.
23
temos que: 35 = 5.7
4 MMC
4.1
Definições:
Mínimo Múltiplo Comum é o menor número que é divisível por dois ou mais números ao
mesmo tempo.
4.2
Obtenção do mmc:
É o produto dos fatores comuns e não comuns, com os maiores expoentes.Exemplo:
Achar o MMC(20, 30,45, 60)
2
20 2
10 2
5 5
1
20 = 22.5
30 = 2.3.5
45 = 32.5
60 = 22.3.5
30 2
15 3
5 5
1
45 3
15 3
5 5
1
60
30
15
5
1
2
2
3
5
logo o MMC é 22.32.5 = 180
OU
20,30,45,60
10,15,45,30
5,15,45,15
5, 5,15, 5
5, 5, 5, 5
1, 1, 1, 1
2
2
3
3
5
180
logo o MMC é 2.2.3.3.5 = 180
5 FRAÇÃO
5.1
Fração ordinária:
3
Ex. :
onde o 3 é o numerador e o 4 é o denominador
4
a)
Fração própria é a que tem o numerador menor que o denominador
b)
Fração imprópria é a que tem o numerador maior que o denominador
c)
Número misto é a que tem uma parte inteira e outra fracionária 2
2
5
7
6
1
5
ou 2
3
3
Observação: Se o denominador da fração é 10, 100, 1000 etc., ela é
chamada de Fração decimal
5.2
Transformação de fração imprópria em nº misto e vice-versa:
15
1
Será o denominador
2
a)
15
7
7
7
Será o número inteiro
14
2
1
Será o numerador
Divide-se o numerador (15) pelo denominador (7).
Conserva o denominador (7).
O quociente será o nº inteiro (2).
O resto será o novo numerador (1).
b) Número misto em fração imprópria: 1. Para achar o novo numerador: multiplica2 3  5  2 17
se o nº inteiro (3) pelo denominador(5) e
3 

5
5
5
soma ao numerador(2).
5.3
Operações com Frações:
2. Conserva o denominador(5)
a)
Multiplicação ( multiplica numerador com numerador e multiplica denominador com
denominador). Exemplos:
2 5 2  5 10
 

3 7 3  7 21
3
3 2 3 6
1
   1
5 1 5 5
5
3
3 5 15
1
5   
2
7
7 1 7
7
3
11 3 33
1
2 3   
8
4
4 1 4
4
2
1 5 7 35
8
1 2   
3
3
3 3 3 9
9
b)
Divisão (mantém a 1ª fração troca o sinal para multiplicação e inverte a 2ª fração
depois multiplica numerador com numerador e multiplica denominador com
denominador)
2 3 2 7 14
   
5 7 5 3 15
1 2 1 2 3 6
2       6
3 1 3 1 1 1
2
1 2 1 2 5 10
 2     
 10
1
5 1 5 1 1 1
5
2
2 3 2 1 2
3     
7
7 1 7 3 21
1
11 3 11 1 11
2 3 
   
5
5 1 5 3 15
2
3  2 5  2 1  2
5 3 1 3 5 15
c)
Soma e Subtração ( Se os denominadores são iguais executa a operação nos
numeradores. Se os denominadores são diferentes calcula o m.m.c. para assemelhar
as frações depois executa a operação nos numeradores)
3
1
2
9  1 8
2
1
5 1 4
  2





Ex.1:
Ex.2:
4
12
3
2 2 2
12
12 6
3
1
4
5.4
Simplificação de Frações:
Exemplo:
60 60  2 30 30  2 15 15  3 5






72 72  2 36 36  2 18 18  3 6
2
6 NÚMEROS DECIMAIS
6.1
Definição: é o número que tem vírgula. Ex.: 7,854
6.2
Operações com números decimais:
a) ADIÇÃO
Considere a seguinte adição:
1,28 + 2,6 + 0,038
Transformando em frações decimais, temos:
4
Método prático
1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros;
2º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula;
3º) Efetuamos a adição, colocando a vírgula na soma alinhada com as demais.
Exemplos:
1,28 + 2,6 + 0,038
35,4 + 0,75 + 47
6,14 + 1,8 + 0,007
b) SUBTRAÇÃO
Considere a seguinte subtração:
3,97 - 2,013
Transformando em fração decimais, temos:
Método prático
1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros;
2º) Colocamos vírgula debaixo de vírgula;
3º) Efetuamos a subtração, colocando a vírgula na diferença, alinhada com as demais.
Exemplos:
3,97 - 2,013 17,2 - 5,146 9 - 0,987
c) MUTIPLICAÇÃO
Considere a seguinte multiplicação: 3,49 · 2,5
Transformando em fração decimal temos
Método prático
Multiplicamos os dois números decimais como se fossem naturais.
Colocamos a vírgula no resultado de modo que o número de casas decimais
do produto seja igual à soma dos números de casas decimais do fatores.
Exemplos: 3,49 · 2,5
1,842 · 0,013
Observação:
5
1. Na multiplicação de um número natural por um número decimal, utilizamos o
método prático da multiplicação. Nesse caso o número de casas decimais do produto
é igual ao número de casas decimais do fator decimal. Exemplo:
5 · 0,423 = 2,115
2. Para se multiplicar um número decimal por 10, 100, 1.000, ..., basta deslocar a
vírgula para a direita uma, duas, três, ..., casas decimais. Exemplos:
3. Os números decimais podem ser transformados em porcentagens.
Exemplos
0,05 =
= 5% 1,17 =
= 117% 5,8 = 5,80 =
= 580%
d) DIVISÃO
1º: Divisão exata
Considere a seguinte divisão: 1,4 : 0,05
Transformando em frações decimais, temos:
Método prático
1º) Igualamos o números de casas decimais, com o acréscimo de zeros;
2º) Suprimimos as vírgulas;
3º) Efetuamos a divisão.
Exemplos:
Efetuando a divisão

1,4 : 0,05
Igualamos as casa decimais:
1,40
Suprimindo as vírgulas:
140
Logo, o quociente de 1,4 por 0,05 é 28.
: 0,05
: 5

6 : 0,015
Igualamos as casas decimais
Suprimindo as vírgulas
6,000
6.000
: 0,015
: 15
Efetuando a divisão
6
Logo, o quociente de 6 por 0,015 é 400.
Efetuando a divisão

4,096 : 1,6
Igualamos as casas decimais
Suprimindo as vírgulas
4,096
4.096
: 1,600
: 1.600
Observe que na divisão acima o quociente inteiro é 2 e o resto corresponde a 896
unidades. Podemos prosseguir a divisão determinando a parte decimal do quociente.
Para a determinação dos décimos, colocamos uma vírgula no quociente e
acrescentamos um zero resto, uma vez que 896 unidades corresponde a 8.960
décimos.
Continuamos a divisão para determinar os
centésimos acrescentando outro zero ao
novo resto, uma vez que 960 décimos
correspondem a 9600 centésimos.
O quociente 2,56 é exato, pois o resto é nulo.
Logo, o quociente de 4,096 por 1,6 é 2,56.
 0,73 : 5
Igualamos as casas decimais
Suprimindo as vírgulas
0,73
73
Efetuando a divisão
: 5,00
: 500
Podemos prosseguir a divisão, colocando uma vírgula no
quociente e acrescentamos um zero à direita do três. Assim:
Continuamos a divisão, obtemos:
Logo, o quociente de 0,73 por 5 é 0,146.
Em algumas divisões, o acréscimo de um zero ao resto ainda não torna possível a
divisão. Nesse caso, devemos colocar um zero no quociente e acrescentar mais um
zero ao resto. Exemplos:
Verifique 460 (décimos) é inferior ao divisor
 2,346 : 2,3
(2.300). Colocamos, então, um zero no quociente
e acrescentamos mais um zero ao resto.
7
Logo, o quociente de 2,346 por 2,3 é 1,02.
Observação:
Para se dividir um número decimal por 10, 100, 1.000, basta deslocar a vírgula para
a esquerda uma, duas, três, ..., casas decimais. Exemplos:

73,452 : 24 é igual a: 73452 : 24000
73452
72000
1452
73452
72000
14520
24000
3,
é menor que 24000
então acrescenta um
zero no quociente e um
zero no dividendo
73452
24000
72000
3,060
145200
144000
12000 é menor que 24000
então acrescenta um
zero no quociente e
um zero no dividendo
73452
72000
145200
144000
1200
24000
3
24000
3,0
73452
24000
72000
3,0605
145200
144000
120000
120000
0
8
6.3
Conversão de nº decimal em fração decimal e de fração decimal em nº decimal:
5
0,5 
2
10
 2 : 5  0,4
5
215
2,15 
Ex.1:
Ex.2:
14
100
 2,8
37
5
0,037 
1000
6.4 Geratriz e Dízimas periódicas:
a) Exemplo de dízima periódica simples cujo período é 3. É simples porque o período
vem logo após a vírgula. Representação:
0,333... = 0,(3) = 0,[3]=0,3
b) Exemplo de dízima periódica composta cujo período é 15 e cuja a parte não periódica
é 3. É composta porque o período não vem logo após a vírgula. Representação:
0,3151515... = 0,3(15) =0,3[15] = 0,315
Geratriz de uma dízima é a fração ordinária irredutível que dá origem à dízima.
c) Geratriz de uma dízima periódica simples é uma fração ordinária que tem para
numerador um período e para denominador, tantos noves quantos são os algarismos
do período.
7
15
5
0, 7 
0, 15 

9
99 33
d) Geratriz de uma dízima periódica composta é a fração ordinária cujo numerador é a
parte não periódica, seguida de um período, menos a parte não-periódica, e cujo
denominador é um nº formado de tantos noves quantos forem os algarismos do
período, seguidos de tantos zeros quantos forem os algarismos da parte nãoperiódica.
53  5 48 8
0,53333... 


90
90 15
7 EXPRESSÕES ARITMÉTICAS
7.1
Regras para resolução das expressões( seqüência das operações):
1º fazer as divisões
2º fazer as multiplicações
3º fazer as somas e subtrações
Ex.: 3 x 2 + 10 : 5 – 3 = 3 x 2 + 2 – 3 = 6 + 2 – 3 = 5
7.2
Regras para resolução das expressões quando houver parêntesis, colchetes e
chaves. Deve se resolver sempre de dentro para fora isto é:
1º os parêntesis
Ex.: 5  3  2  12  10  2  1  2 
2º os colchetes
5  3  2  12  5  1  2 
3º as chaves
5  3  2  8  2 
5  6  4 
5  2  3
9
8 POTÊNCIAS
8.1
Definição: Potência de um número é o produto de fatores iguais a esse número.
Exemplo:
Grau ou expoente da potência
23
=2 x 2 x 2 = 8
Base da potência
Exemplos:32 =3x3 =9 ; 53 =5x5x5 =125 ; 15 =1x1x1x1x1 =1 ; a2 =axa ; s3 =sxsxs
Obs.: 1ª Quando o expoente for 1 não se escreve. Ex.: 21 =2 ; 31 =3
2ª O expoente 2 é chamado de quadrado
3ª O expoente 3 é chamado de cubo
8.2
Expoente zero: Quando o expoente for ZERO o número será 1.
0
5
0
0
0
Ex.: 2 =1 ; 3 =1; x =1;   =1
6
8.3
Expoente negativo ( Todo nº elevado a expoente negativo é igual a uma fração que
tem para numerador a unidade e para denominador o próprio nº com expoente positivo
1
1
1
3 2  2
a 1  1 
a
3
a
1
2
1
32
9
2
Exemplos:  2   1  3


  
2
2
2
4
3
3
22
2


3
3
8.4
Operações com potências:
a) Multiplicação de potências de mesma base
Conserva-se a base e soma-se os expoentes
5 5  5
4
3
43
5
5 5  5 3  5 5 ( 3)  5 4 3  5 2
7
x 1  x 3  x 1 3  x 2
x 4  x 3  x 43  x 7
2
3
1 1 1
      
2 2 2
b)
23
1
 
2
2
1
1
   
2
2
5
3
1
 
2
 2  ( 3)
1
 
2
5
Multiplicação de potências semelhantes
Multiplicam-se as bases e dá-se ao resultado o expoente
3  5  7 2  3  5  7   1052
2
c)
2
2
Divisão de potências de mesma base
Conserva-se a base e subtraem-se os expoentes
5 5  53  55  3  5 2
x1  x 3  x13  x  2
2
3
1
1
1
      
2
2
2
2 3
1
 
2
1
2
10
55  53  55( 3)  553  58
x 1  x 3  x 13  x 4
2
3
1
1
1
      
2
2
2
d)
 2  ( 3)
1
 
2
23
1
1 1
  
2 2
Divisão de potências semelhantes
Dividem-se as bases e dá-se ao resultado o expoente
6  2  6  2  33  27
3
e)
Potência de potência
5 
2
f)
3
3
Conserva-se a base e multiplicam-se os expoentes
3
 5 23  5 6  3125
Potência de fração ordinária
Eleva-se cada termo( numerador e denominador à potência)
2
3
a2
a
   2
b
b
43
4
   3
7
7
g)
Potência de produto
5  7  3
2
a
h)
2
Eleva-se cada fator à potência
 5 7 3
2
2
2

3
 b3  c  (a 2 )3  (b3 )3  c 3  a 23  b33  c 3  a 6b9c 3
Potência de nº decimal
Transforma o nº decimal em fração decimal e eleva-se cada termo à potência
5
75
 7 
0,07      5
 100  100
5
8.5
Potência de ordem superior:
32
33
9
2
2
15
2
23
2
2
11111
23
2
1
23
2
23
 2 222  28
9 RADICAIS
9.1
Definições:
a) radical é uma operação matemática que faz o uso do seguinte sinal
chamado de radical
que é
5
Exemplo: 12
b) radicando é o nº ou a expressão algébrica que fica dentro do sinal de radical. No
exemplo é o nº12.
11
c) Índice ou grau é o nº ou a expressão algébrica que fica acima e à esquerda do sinal
de radical. No exemplo é o nº5
d) Raiz é o resultado de um radical
e) Raiz quadrada é o resultado de um radical cujo índice é dois. O índice 2 não aparece
no radical. Exemplo:
81 
2
81  9
f) Raiz cúbica é o resultado de um radical cujo índice é três. Exemplo:
3
9.2
9.3
9.4
1  1 porque 12  1
16  4
porque
4 2  16
4  2 porque 22  4
81  9
porque
9 2  81
9  3 porque 3 2  9
100  10
porque
10 2  100
Raiz quadrada de frações ordinárias:
a) 1º caso: Os dois termos são quadrados. Extraí-se a raiz do numerador e a do
denominador. Exemplo:
36
36 6 2

 
81
81 9 3
b) 2º caso: Só o denominador é quadrado.
5
5
5


49
7
49
c) 3º caso: O denominador não é quadrado. Substituir a fração por outra equivalente
cujo denominador é quadrado e recai no 2º caso. Exemplo:
5
53
15
15
15




12
12  3
36
6
36
Transformação de radicais em potência e vice-versa:
Todo radical é transformável numa potência de expoente fracionário cuja base é a
própria base do radicando; o numerador do expoente fracionário é o expoente do
radicando, e o denominador é o índice do radical. Exemplos:
3
5
4
2
9
1
2
9.5
81  3
Raiz quadrada:
Achar a raiz quadrada de um nº é obter outro nº que elevado ao quadrado, seja igual ao
primeiro. Exemplos:
7

 5
9
7
3
1
3
27  3 27  3 33  3
42
3
2
4  4 2
2  23  8  2
Passagem de um fator para fora ou para dentro do radical:
Decompomos em fatores primos o coeficiente do radicando; depois, transformamos o
radical em potências de expoentes fracionários; desdobramos os expoentes, usando as
regras da potenciação e finalmente, retransformamos as potências de expoentes
fracionários em radical. Exemplo:
12
25  81 32 
3
2
3
3
3
5 3 2
3
1
3
2
4
3
3
2
3
5
2
3
2
3
4
3
1
3
1
 5 3 2
5
3
 5  3 x3  2  2  5  3 x3  2  2
2
3
1
3
 3 x2  5  3  2
1
1
2
3
1
2
3


 3  2  3 52  3 
 6  3 25  3  6  3 75
9.6
Simplificação ou redução de radicais de mesmo índice:
Basta transformar em potência de expoente fracionário, simplificar o expoente e
retransformar em radical.
6
3
6
2 2  2 1  23  8
12
16
12

81
9.7
12
16

12
81
12
12
2
4
34
26 
2

3
4
12
4
12

2
3
64  8
1
3
1
3
1
 2 3
  
3
3
2
3
Soma e Subtração de radicais:
IMPORTANTE! SÓ PODEMOS SOMAR E SUBTRAIR RADICAIS SEMELHANTES (são
os que possuem o mesmo índice e o mesmo radicando, só diferem nos
coeficientes).Exemplos:
a)
3 2  5 2  2  2 2  4 2  7 2  3 2
243 
b)
9.8
16

12
81
22 
ou
675  2
12  3 2
3  35
3  22
3 
 9 3  15 3  4 3  2 3
Multiplicação de radicais:
IMPORTANTE! SÓ PODEMOS MULTIPLICAR RADICAIS DE MESMO ÍNDICE.
Conserva-se o índice e multiplicam-se os radicandos.
2  3 3  3 23  3 6
3
Quando os índices forem diferentes, reduzimos ao mesmo índice e recai no caso acima.
2
3

9.9
6
22  33 
3
6
1
2
2
2
6
3
4  27 
6
3
6

6
22  6 33 
108
Potenciação de radicais:
Para elevar um radical a uma potência, eleva-se somente o radicando. Exemplo:
 3
3
9.10
3 2
1
3

33  3 
3 3
3
Produtos notáveis de expressões irracionais:
REGRA: o quadrado do 1º, mais 2 vezes o 1º pelo 2º , mais o quadrado do 2º
2  2 
2
 22  2  2  2 
 2
2
 44 2 264 2
REGRA: o quadrado do 1º, menos 2 vezes o 1º pelo 2º , mais o quadrado do 2º
2  2 
2
 22  2  2  2 
 2
2
 44 2 264 2
REGRA: o quadrado do 1º menos o quadrado do 2º
13
2 
9.11
2
2 

2  22 

2

2
 42  2
Divisão de radicais:
REGRA: Só podemos dividir radicais de mesmo índice. Conserva-se o índice e dividemse os radicandos. Exemplos:
a)
15  6 3  6 15  3  6 5
6
3
2

3
b)
c)
2
2
6
22
6
6

33


6


3
2

3
2
4

27
6


3 2
3 2

4
27

2
3
2 3

3
22  3
 
2

44 3 3
74 3

74 3
43
1
Radiciação de radicais
REGRA: Conserva-se o radicando e multiplicam-se os índices. Exemplos:

9.12
4
3
9.13
2 
8
9 27  3
2
 
92  27  6 32
2
 33  6 3 4  33  6 37  3  6 3  3 6 3
Racionalização dos denominadores
1º caso: O denominador é um radical. Multiplique o numerador e o denominador pelo
radical. Exemplo:
3

2
3 2
3 2
3 2


2
2
2
2
2


2º caso: O denominador é um radical de grau superior a 2. Multiplique o numerador e
o denominador por um radical tal que tenha o índice igual ao radical dado, e cujo
radicando seja constituído da mesma base do radicando primitivo, elevado a um
expoente igual a diferença entre o índice e o expoente do radicando inicial. Exemplo:
2.5 33
5
5
5
5
3
32
32
33
3 2.33
3º caso: O denominador é uma expressão irracional. Multiplique o numerador e o
denominador pela expressão conjugada do denominador. Exemplo:
1
1
3 2
3 2
3 2
3 2





2
2
92
7
3 2
3 2 3 2
3  2
2

2

5
33

2.5 33

 
10 NÚMEROS RELATIVOS
10.1 Definições
a) Número relativo é um nº aritmético, precedido do sinal(+) ou do sinal (-).
3
 3;5; ; 5 ; 3 2; etc.
7
b) Valor absoluto ou módulo de um número relativo é o próprio número sem o sinal
 3  3;
 5  5;

3
3

;
7
7

5 
5;

3
2 
3
2
c) Números simétricos são números relativos de mesmo valor absoluto, mais sinais
diferentes
14
 3 e  3;

2
2
e 
;
7
7

8 e 
8
10.2 Regra dos sinais
1ª) Da adição ou subtração de nos relativos.
Soma-se todos os nos positivos e coloca o sinal +; soma-se todos os nos negativos e
coloca o sinal - , depois subtrai-se os resultados com o nº maior menos o nº menor,
e finalmente coloca o sinal do nº maior.
 5  2  3
 7  2  5
 8  3  1  9  3  6
 15  2  2  10  17  12  5
2ª) Da multiplicação de dois nos , da Divisão e da Fração Ordinária.
SINAIS IGUAISResultado (+)
SINAIS DIFERENTESResultado (-)
Exemplos:
 3    2   6
 3    2  6
 20    5   4
 20    5   4
 3    2   6
 3    2   6
 20    5   4
 20    5   4
 20
 5
4
 20
 5
4
 20
 5
4
 20
 5
4
3ª) Da multiplicação de vários nos relativos.
Contam-se os fatores negativos. Se a contagem der par o resultado será (+) e
se for ímpar o resultado será (-). Depois multiplicam-se os valores absolutos.
 1 2 1 5 3  30
(são 3 os nos que são negativos, e o nº3 é impar
logo o sinal será negativo e 1.2.1.5.3=30)
 1 2 1 5 3  30 (são 4 os nos que são negativos, e o nº4 é par
logo o sinal será positivo e 1.2.1.5.3=30)
4ª) Da potenciação de nos relativos
Potência de nos relativos (+)será
sempre POSITIVA se o expoente
for ÍMPAR
 23  8;  22  4
Potência de nos relativos (-) será sempre:
POSITIVA se o expoente for PAR
 2 2 
4
será sempre NEGATIVA
 2 3  8
11 EXPRESSÕES ALGÉBRICAS
11.1 Definições
a) Expressão algébrica (EA) é uma reunião de letras, ou letras e números, ligados por
sinais de operação. Exemplo: a b  ab  a b  1
2
2
2
2
b) Monômio é a EA mais simples, só possui um termo. Exemplo: a b
15
c) Soma algébrica de termos semelhantes é o nome que se dá, em álgebra às
operações de soma e subtração, feitas simultaneamente. Exemplo:
 ab  a2b2  1  2ab  8  a2b 2  ab  9
Observe que quando existir um sinal negativo antes do parêntesis o sinal dos
termos dentro do parêntesis muda.
 (ab  a2b2 )  1  2ab  8  ab  a2b2  1  2ab  8  a2b2  ab  9
d) Polinômio (P.) é a soma algébrica de 2 ou mais monômios, os quais denomina-se
termos do polinômio. Um dos termos também pode ser um número. Exemplo:
at 2
s  vt 
2  2t
s  vt ;
;
2
e) Ordenar Polinômio é dispor todos os seus termos de tal forma que os expoentes de
uma mesma letra desse polinômio cresçam ou decresçam ( ordem crescente ou
decrescente). Exemplo: Coloque em ordem crescente ( ordenatriz t)
at 2
at 2
s
 vt  s  vt 
2
2
5t  6  8t 2  6  5t  8t 2
f) Completar um polinômio. Quando as potencias de determinada letra de um
polinômio(desde a de expoente mais baixo até a de expoente mais elevado) não
seguem a ordem natural dos nos inteiros, diz-se que o polinômio está INCOMPLETO.
Exemplo:
5t 4  2t 2  2  5t 4  0t 3  2t 2  0t  2
11.2 Exemplos equações 1º grau:
a) 2t-8=0
b) 2t-8+2t=0
2t  8  0
2t  8
8
t 4
2
d) -2t+8=0
 2t  8  0
 2t  8 1
2t  8
8
t 4
2
5.2
c) 2t+2t-8-4=0
2t  2t  8  4  0
4t  12  0
4t  12
12
t 
3
4
2t  2t  8  0
4t  8
8
t 2
4
e)-2t+8-2t=0
 2t  8  2t  0
 2t  2t  8
 4t  8 1
4t  8
t
8
2
4
f) -2t+8-2t+4=0
g) 2t=0
 2t  8  2t  4  0
 2t  2t  8  4
 4t  12 1
4t  12
t
Exemplos equações 2º grau:
a) 2t2–8=0
b)
2t2–8=0
2t  0
t
0
0
2
12
3
4
c)
2t2 =0
16
2t 2  8  0
2t 2  8  0
2t t  4   0
2t 2  8
8
t2   4
2
t  4  2
2t 2  0
0
0
2
t 40t  4
2t  0  t 
t2 
0
0
2
d) t2–5t+6=0
t 2  5t  6  0
a  1, b  -5, c  6
  b 2  4ac  5 2  4  1  6  25  24  1
b 
  5  

2a
21
5 1 6
t
 3
2
2
5 1 4
t

2
2
2
t
1

5 1
2
1 – TRANSFORMAÇÕES:
1.1 - Medidas de Comprimento(no SI = MKS):
x 10³
a) Km m
b) m
x 10²
cm
X 10¯³
Km
a) 1
0,
b)
x 10¯²
hm
dam
m
0
0
0
0
0
1
1
0,
c)
1
0,
1.2 - Medidas de Área(no SI = MKS):
x106
x104
a) Km2 m2
b) m2
cm2
x10-6
x10-4
Km2 hm2 dam2
m2
x 10³
c) m
mm
x 10¯³
dm
0
0
0
0
cm
0
1
0
0
mm
0
1
c) m2
Lembre-se que:
0,01 = 1/100
e
1/100 = 1/10²
e
1/10² = 10-²
x106
mm2
x10-6
dm2 cm2 mm2
17
a)
1 0 0 0
0, 0 0 0
0
0
b)
c)
0 0
0 1
1
0,
1
0,
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
0
1
0 0 0
0 0 1
1.3 - Medidas de Volume (no SI = MKS):
x109
x103
a) Km3 m3
b) m3
dm3
x10-9
x10-3
Km3
a)
b)
c)
hm3
dam3
x109
c) m3
mm3
x10-9
m3
dm3
1 0 0 0 0 0 0 0 0 0
0, 0 0 0 0 0 0 0 0 1
1
0,
1
0,
0
0
0
0
0
0
0
0
cm3
mm3
0
1
0 0 0 0 0 0 0
0 0 0 0 0 0 1
Outras Medidas de Volume
1l (um litro) = 1 dm3 = 10-3 m3
x 10³
a) Kl
l
X 10¯³
Kl
a) 1
0,
b)
b) l
hl
0
0
dal
0
0
c)
x 10²
cl
x 10¯²
l
0
1
1
0,
1
0,
x 10³
c) l
ml
x 10¯³
dl
0
0
0
0
cl
0
1
0
0
ml
0
1
Lembre-se que:
0,01 = 1/100
e
1/100 = 1/10²
e
1/10² = 10-²
1.4 - Medidas de Massa:
x 10³
a) Kg
g
X 10¯³
b) g
x 10²
cg
x 10¯²
x 10³
c) g
mg
x 10¯³
18
Kg
1
0,
a)
hg
0
0
dag
0
0
g
0
1
1
0,
1
0,
b)
c)
dg
cg
mg
Lembre-se que:
0
0
0
0
1.5 - Medidas de Tempo
1dia
= 24h
=
1.440min =
1h
= 60min =
3.600s
1min
= 60s
x 24
x 60
a) dia
hora
b) hora min
: 24
: 60
0
1
0
0
0,01 = 1/100
e
1/100 = 1/10²
e
1/10² = 10-²
0
1
86.400s
x 60
c) min
s
: 60
O mês adotar 30 dias
O ano adotar 365 dias
2 - Conversão de Unidades (só para velocidade)
Para se passar de Km/h para m/s
divide-se por 3,6
: 3,6
Km / h
m/s
Para se passar de m/s para Km/h
mutiplica-se por 3,6
x 3,6
3 - Elementos de Trigonometria
B
Cateto oposto
Hipotenusa
C

Cateto adjacente
CB = CA2 + BA2
BA = CA tg
BA = CB sen
CA = CB cos
A
tg = BA /CA
sen = BA/CB
cos = CA/CB
4 – Áreas
Retângulo
Triângulo
Trapézio
b1
h
l1
l2
h
A= l1 x l2
b
A=
h xb
2
A=
b2
(b1 + b2 ) x h
2
19
Círculo
Quadrado
r
Losango
D
l
2
A=  . r
l
A = l x l=l2
d
A=
D. d
2
5 – Volumes
Cilindro
Cubo
r
Paralelepípedo
b
a
h
a
a
c
a
V  .r .h
2
V  a3
V  a .b . c
EXERCÍCIOS DE REVISÃO DE MATEMÁTICA
1) Efetue as operações
a) 17 : 8
b) 70 : 1,4
c) 48 : 2,4
d) 3,24 : 0,3
e) 78,92 : 1,3
f) 1,06 : 34
g) 34,7 : 3,1
h) 4,98 : 0,09
i) 34,7 : 3,1
j) 0,76 : 3,2
k) 19,44 : 5,4
l) 0,0072 : 0,18
m) 30,118 : 8,14
n) 0,0096 : 0,16
o) 16,687 : 4,51
p) 264 : 75
q) 78,92 : 1,3
r) 1,06 : 34
s) 34,7 : 3,1
2) Resolva:
5
1

2
a) 3      0,1 
9 3 9

1 2
3 3
b) 3  2    2  4 
1 1
 
12 2 
a  b  c   b
c)
a  b  c   a
2
3
2
 3  
1
2 3
d)
4
3 2
47
2
1
45
45
1
Resp.: 1
6
Resp.:
a 5b 9
Resp.: c 2
1
Resp.: 36
20
2 15840
e) 2  0 
3
8
3
f)
 2  3   23   12   2
    
 23
g) 

2 2
 
i) 2
j) 2
2
Resp.:0
3
 3  53 
2
Resp.:
396
Resp.: 2  3  5
4
 33  5  32  53  2
3
2
Resp.:
2 36
2
  23 2  3 
3
h)  
 

k)
Resp.:2
2
4
a bc
2
m) Divida o cubo de
Resp.: 5
a b c
3
3
pelo quadrado de
Resp.: t1=0 e t2=8
2
o) 5m  3m  0
Resp.: m1=0 e m2=
2
x2  2
 3x  1
p)
2
Resp.: x1=0 e x2=6
5a 2  6
 2a  2
q)
3
Resp.: a1=0 e a2= 1
x  5 x  3  0
Resp.:
1
5
Resp.: x1=5 e x2=-3
Resp.: b1=+2 e b2=-2
u) 4t  25  0
Resp.: t1= 
2
2
t2  t  6  0
c7
b
3
5
t) 5b  20  0
5
5
e t2= 
2
2
Resp.: t1=3 e t2=-2
1
1
e t2=
4
9
w) 36t  13t  1  0
Resp.: t1=
x) t  2   t  3  15
Resp.: t1= e t2=
2
2
3
1
3
2
n) t  8t  0
v)
5
0
3
3 2
21
    2
l)  4 
7
s)
6
Resp.: 2  3  5
1
Resp.:
9
30  32 15
1
2
2
21
y) 5 x  0
2
2
z) 2t  19  t 
Resp.: x1=0 e x2=0
1 t 2
2
Resp.: t1= 3 e t2=
 13
5
3) Calcule e Simplifique:
2 n 2  2 n
a) E 
3  2n1
Resp.: E 
1
2
2n 4  2  2n
b) E 
2  2n3
Resp.: E 
7
8
Resp.:
1
7
4a 2  6ab

d)
8a 2  18b 2
Resp.:
a
2a  3b
e) x  2 x  1  x  2 x  1 
Resp.:2
c)
2 1 3  2


3 2
2 1
4) Resolva:
a) 3 8a  5 2a  2 32a  128a 
b)
4a2  8ab  4b2 
Resp.:
2a
Resp.: 2a  b
5) Questões de vestibular:
a) (UFAL ) O valor da expressão ( 0,012 + 1,5 ) : 16,8 é
b) (Fac. Objetivo - SP ) O valor de 315 : 0,0045 é :
c) (UFRN ) Simplificando a expressão ( 0,012 + 1,5 ) : 16,8 , obtém-se :
0,064
é:
0,008
0,2  0,7  4  0,01
e) (MACK - SP ) O valor de
é:
0,5  0,2
d) (Fac. Oswaldo Cruz - SP ) O valor de
22