28 a 36 - Matematica

COMENTÁRIO DA PROVA DE MATEMÁTICA
Comparando com a prova do ano anterior é possível observar uma melhora. Para analisar a prova, utilizamos alguns critérios
que julgamos necessários numa avaliação de conhecimento. Veja a análise dos critérios a seguir:
Correção
( ) Adequado
( x ) Adequado parcialmente
( ) Inadequado
Abrangência
( ) Adequado
( ) Adequado parcialmente
( x ) Inadequado
Justificativa: Da 9 questões observa-se a existência de duas questões de Geometria dos Sólidos e de duas outras
envolvendo assuntos do Ensino Fundamental.
Gradação
( ) Adequado
( x ) Adequado parcialmente
( ) Inadequado
Justificativa: predominância de questões de nível fácil e médio e ausência de questões difíceis.
Contexto
( x ) Adequado
( ) Adequado parcialmente
( ) Inadequado
Pertinência
( ) Adequado
( ) Adequado parcialmente
( x ) Inadequado
Justificativa: Em Geometria Analítica, por exemplo, a questão 2 cobra um “detalhe” diante de assuntos muito mais relevantes;
a questão 3 aborda assunto não pertinente ao Ensino Médio, (é considerado do Ensino Fundamental).
EQUIPE DE MATEMÁTICA DO CURSO POSITIVO
1
MATEMÁTICA
Resolução:
Sendo M o valor da média aritmética da quantidade de animais adotados nos cinco anos, tem-se:
500 + 450 + 400 + 400 + 300 2050
M=
=
= 410
5
5
Logo, a média aritmética anual de animais adotados é igual a 410.
Resposta: d
Resolução:
Da figura, a ordenada (y) do ponto P é igual a 3. Logo, para obter o valor da abscissa (x), basta substituir y = 3 na equação da
reta r e encontrar o valor de x:
2.y–x+2=0
y=3→2.3–x+2=0
6+2=x
x=8
Logo, as coordenadas do ponto P são (8; 3).
Resposta: c
2
MATEMÁTICA
Resolução:
A pena mínima será dois terços menor que 5 anos, ou seja, será um terço de 5 anos:
1
1
. 5 anos = . 5. 12 meses = 20 meses = 1 ano e 8 meses
3
3
A pena máxima será um sexto menor que 15 anos, ou seja, será cinco sextos de 15 anos:
5
5
. 15 anos = . 15 . 12 meses = 150 meses = 12 anos e 6 meses
6
6
Resposta: a
Resolução:
Exatamente 3 cores seriam suficientes. Bastaria, para tanto, pintar as faces opostas do cubo com cores distintas, de modo a
utilizar 3 cores. A seguir, é possível visualizar uma disposição possível com 3 cores utilizadas:
Resposta: b
3
MATEMÁTICA
4
MATEMÁTICA
Resolução:
Pode-se considerar o formato do recipiente como sendo a justaposição de um cilindro (parte superior) e um cone invertido (parte
inferior) de base comum.
Na parte inferior, é possível relacionar-se a medida da altura alcançada pelo líquido com o correspondente volume despejado
do líquido por meio de dois triângulos semelhantes:
Semelhança de triângulos:
R.h
r h
= ⇒r =
R l
l
Para se calcular o volume do líquido quando se atinge uma determinada altura h, 0 ≤ h ≤ l, basta calcular-se o volume de um
cone de altura h e raio r:
1
2
V= .π.r .h
3
R.h
Substituindo r =
, tem-se:
l
2
V=
V=
1
 R . h
.π.
 .h
 l 
3
πR2
3l
2
3
.h
Como R e l são constantes, pode-se considerar
πR2
3l 2
= k1, ou seja:
3
V = k1 . h
A relação anterior indica que, na parte inferior (cone), a medida do volume (V) é diretamente proporcional ao cubo da medida da
altura (h), em que k1 é a constante de proporcionalidade que depende de R e l.
5
MATEMÁTICA
Nessa parte inferior do sólido, a relação entre a altura (h) e o respectivo volume (V) do líquido pode ser representada por um
arco de parábola cúbica pertencente ao 1º quadrante, já que V e h são não negativos:
Na parte superior (cilindro) a medida do volume (V) pode ser calculada pelo volume de um cilindro de altura h e raio R:
2
V = πR . h
2
2
Como R é constante, pois R é constante, pode-se considerar R = k2, ou seja:
V = k2 . h
A relação indica que o volume (V) é diretamente proporcional à medida da altura do líquido (h), sendo k2 a constante de
proporcionalidade que depende exclusivamente de R.
Nessa parte superior, o gráfico é uma semirreta com origem na extremidade de ordenada l do arco de parábola cúbica
destacado anteriormente.
Desta forma, o gráfico que melhor descreve a altura h, do nível do líquido, em termos do volume total V, do líquido despejado no
recipiente está representado a seguir:
Resposta: d
6
MATEMÁTICA
Resolução:
Para determinarmos a quantidade do nutriente 2 presente na mistura das rações, podemos calcular o elemento a21 do produto
das matrizes:
 35%
 210 370 450 290  

 340 520 305 485   25%.

  30%
145 225 190 260  

10% 
a21 =
340.35 + 520.25 + 305.30 + 485.10
= 389
100
Portanto, 389 mg do nutriente 2 estão presentes na mistura das quatro rações.
Resposta: a
7
MATEMÁTICA
Resolução:
Em 1 hora, o primeiro navio teria percorrido 16 km, enquanto o segundo navio, teria percorrido 6 km. Na próxima ilustração, de
acordo com as trajetórias destacadas no enunciado, vamos considerar que, após uma hora, o primeiro navio situe-se no ponto
A, enquanto o segundo navio esteja no ponto B e que ambos tenham partido do porto localizado no ponto O.
Aplicando a lei dos cossenos no lado de medida AB do triângulo ABO, tem-se:
2
2
2
o
(AB) = (AO) + (BO) – 2 . (AO) . (BO) . cos 60
1
2
2
2
(AB) = 16 + 6 – 2 . 16 . 6 .
2
2
(AB) = 196
2
(AB) = 14
2
AB = 14, pois AB > 0
Portanto, a distância entre os navios após uma hora é igual a 14 km.
Resposta: b
8
MATEMÁTICA
Resolução:
o
Se somente é possível segurar o pedaço da pizza com as mãos nuas quando a temperatura for igual a 65 C, então:
–0,8 x t
T = 160 x 2
–0,8t
65 = 160 . 2
+ 25
+ 25
–0,8 x t
65 – 25 = 160 . 2
–0,8t
40 = 160 x 2
Dividindo ambos os membros por 160, tem-se:
–2
2
=2
–0,8t
–2 = –0,8 . t
Dividindo membro a membro por (–0,8), tem-se:
t = 2,5
Logo, o tempo necessário é igual a 2,5 minutos.
Resposta: c
Resolução:
Considerando o triângulo retângulo da figura, com o vértice no centro da esfera (o que deveria estar explícito no enunciado),
temos:
O volume V de um cilindro de raio r e altura h é dado por:
2
V = πr . h
Se o volume é igual a 72π, então:
2
72π = πr . h
2
72 = r . h
9
MATEMÁTICA
Da figura, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo em destaque, tem-se:
2
2
5 =r +x
2
2
2
r = 25 – x
Substituindo na relação do volume, tem-se:
2
72 = (25 – x ) . h
Observando que h = 2x, tem-se:
2
72 = (25 – x ) . 2x
72 = 50x – 2x
3
3
2x – 50x + 72 = 0
3
x – 25x + 36 = 0
Escrevendo os divisores de 36, tem-se {±1, ±2, ±3, ± 4, ±6, ±9, ±12, ±18, ±36}. Podemos observar que 4 é uma das raízes da
equação, pois
3
4 – 25.4 + 36 = 64 – 100 + 36 = 0.
Aplicando o método de Briot-Rufini, temos:
4
1
0
– 25
36
1
4
–9
0
que resulta na equação:
2
x + 4x – 9 = 0
2
∆ = 4 – 4.1. (– 9) = 52
x=
–4 ± 2 13
⇒ x = –2 ± 13
2
x = – 2 + 13 ou x = –2 – 13
Se 0 < x < 5, então x = 4 ou x = –2 + 13.
Portanto, o maior valor de x é igual a 4.
Resposta: e
10
MATEMÁTICA