Gabarito - MAT-PUC-RIO

MAT1310 – P1 – 2009/02 – TURMA 3ZA – Gabarito Resumido
1) a)
Para mover 2n + 2 discos, temos primeiro mover os 2n menores para um outro
pino (pois caso contrário é impossível moves os 2 maiores discos). Isso é feito da
maneira mais eficiente com T (2n) movimentos. Aí movemos os 2 maiores discos para
o pino livre, e depois movemos para aí os outros 2n discos, o que requer mais T (2n)
movimentos. Portanto a fórmula recursiva é T (2n + 2) = 2T (2n) + 2 .
b) Calculamos alguns valores:
Para n = 1, tem-se T(2) = 2 ;
Para n = 2, tem-se T(4) = 2T(1) + 2 = 6;
Para n = 3, tem-se T(6) = 2T(2) + 2=14;
Para n = 4, tem-se T(8) = 2T(3) + 2=30.
Parece ser T(2n) = 2n+1 – 2.
Prova p/ indução:
(i)
(ii)
T(0) = 20+1 – 2 = 0 (OK)
2T(2n) + 2 = 2[2n+1 – 2] + 2 = 2n+2 – 4 + 2 = 2 n+2 – 2 = T(2n+2). Assim se vale para
T(2n) então vale para T(2n+2).
2) a) a + b + c + d + e = 50 ;
a,b,c,d,e >4
Fazendo x = a – 4 ; y = b – 4 ; z = c – 4 ; w = d – 4 ; r = e – 4 tem-se:
x + y + z + w + r = 50 – 20 = 30 ;
x,y,z,w,r > 0
O número de soluções inteiras positivas desta equação é
b) a + b + c = 40 ;
a , b , c >= 0 e d + e = 10 ;
d , e >=0
Fazendo x = a + 1 ; y = b + 1 ; z = c + 1 ; w = d + 1 ; r = e + 1 tem-se:
x + y + z = 43
; x , y , z > 0 e w + r = 12
;w,r>0
O número de soluções possíveis é então dado por
3)
3k2 – k = Ak(k-1)+Bk + C = AK2 + (-A+B)k + C, logo A = 3, B = 2 e C = 0
4) Casos possíveis: Cada uma das sete pessoas pode saltar em qualquer um dos 10
andares:
107 = 10000000
Casos favoráveis: Cada uma das 7 pessoas saltar em um andar distinto entre os 10
disponíveis:
10. 9 . 8 . 7 . 6 . 5 .4 = 604800
P(E) = 0,06048