Aula 23 - Potenciais Retardados - professor Daniel Orquiza de

Prof.DanielOrquiza
EletromagnetismoII
EletromagnetismoII
Prof.DanielOrquizadeCarvalho
SJBV
Potenciais Retardados
Potenciais retardados e dipolo de Hertz (Introdução)
(Capítulo 11– Páginas 395a 400)
(Capítulo 14– Páginas 511 a 517)
• 
Potenciais vetorial e escalar retardados
• 
Campos de um dipolo infinitesimal
EletromagnetismoI
9
Prof.DanielOrquiza
SJBV
Potenciais Retardados
Dipolo Hertziano
•  Qualquer corrente variável no tempo ou carga sendo acelerada irradia ondas
eletromagnéticas.
•  O Dipolo de Hertz consiste em um fio de comprimento
infinitesimal conduzindo uma corrente senoidal:
I = I 0 cos (ω t )
•  Consideremos, que este dipolo está imerso num meio
dielétrico infinito (ar).
•  Trata-se de um dipolo porque a corrente levaria à existência de cargas de
amplitudes opostas com magnitudes instantâneas opostas nas extremidades do fio.
•  O Dipolo Hertziano é útil para compreender como a radiação eletromagnética ‘se
comporta’ na região próxima e distante de uma antena.
1
1
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Potenciais Retardados
Potenciais Retardados
•  É possível mostrar que o potencial magnético A e o potencial elétrico V (escalar)
também satisfazem Eqs. de Onda.
•  Para isso, partimos das Eqs. de Maxwell no domínio do tempo:
(1)
(2)
(3)
(4)
!
! ∂B
∇ × E= ∂t !
! ! ∂D
∇ × H = J+
∂t
!
∇ ⋅ D= ρv
!
∇ ⋅ B= 0
(Lei de Faraday)
(Lei de Ampère)
(Lei de Gauss Elétrica)
(Lei de Gauss Magnética)
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Potenciais Retardados
Potenciais Retardados
•  O potencial V não pode ser utilizado por si só para calcular o campo elétrico
!
usando E= -∇V, pois o campo não é mais conservativo:
•  O potencial vetorial A é definido por:
!
!
B = ∇ × A,
e substituindo na L.F (1):
!
! ∂B
∇ × E= ∂t
•  O Campo
!
E
(5)
!
⎛ ! ∂A ⎞
!
!
∂⎡
⎤
⇒ ∇ × E= - ⎣∇ × A⎦ ⇒ ∇ × ⎜ E + ⎟ = 0
∂t ⎠
∂t
⎝
pode ser calculado a partir de A e V:
!
!
! ∂A
!
∂A
E+
= −∇V ⇒ E = −∇V −
∂t
∂t
(6)
2
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Potenciais Retardados
Potenciais Retardados
•  Considerando um meio homogêneo e isotrópico, e substituindo (6) na L.G.E:
!
! ρv
∂
2
∇ ⋅ E = = −∇ V −
∇⋅ A
ε
∂t
(
!
∂
ρ
⇔∇ V +
∇⋅ A = − v
∂t
ε
)
2
(
)
(7)
•  Substituindo (5) e (6) em (2) (Lei de Ampère):
!
!
⎛
!
∂
∂A ⎞
∇ × ∇ × A = µ J + µε ⎜ −∇V − ⎟
∂t ⎝
∂t ⎠
!
2
!
⎛ ∂V ⎞
∂A
= µ J − µε∇ ⎜ ⎟ − µε 2
⎝ ∂t ⎠
∂t
•  Podemos aplicar a seguinte identidade vetorial no lado esquerdo da Eq. Acima:
!
!
!
2
∇×∇× A = ∇ ∇⋅ A −∇ A
(
)
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Potenciais Retardados
Potenciais Retardados
•  Com isso, chegamos na seguinte Equação:
!
2
!
!
!
⎛ ∂V ⎞
∂A
2
∇ A − ∇ ∇ ⋅ A = −µ J + µε∇ ⎜ ⎟ + µε 2
⎝ ∂t ⎠
∂t
(
)
(8)
•  Um campo vetorial é unicamente definido quando seu divergente e seu rotacional
são especificados.
•  O potencial A foi definido através de seu rotacional. O divergente pode ser escolhido
através de qualquer função. É interessante escolher:
!
∂V
∇ ⋅ A = −µε
∂t
(9)
•  Utilizando as eqs. De Maxwell e a definição de A, chegamos à Eq. de Onda vetorial:
!
2
!
!
∂A
2
∇ A − µε 2 = −µ J
∂t
(10)
3
Potenciais Retardados
SJBV
Potenciais Retardados
•  Além disso, substituindo (9) em (7), chegamos à seguinte Eq. Para V:
2
∂
V
ρ
∇ 2V − µε 2 = − v
∂t
ε
(11)
•  As equações (10) e (11) são um conjunto de quatro Eqs. de Onda com fontes (quais)
bastante usadas para calcular os campos eletromagnéticos em problemas de antenas.
•  No caso da magnetostática e da eletrostática, as seguintes equações permitiam
calcular o potencial gerado por distribuições de cargas ρv e correntes J:
e
ρv dv
V=∫
V 4πε R
!
!
µ Jdv
A= ∫
V 4π R
(12)
4
COLOCAR FIGURA INDICANDO POTENCIAIS RETARDADOS
DE CORRENTE OU ANTENA
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Potenciais Retardados
Potenciais Retardados
•  Como os potenciais se comportam como ondas, é possível, calcular os potenciais
retardados em um ponto distante da fonte usando:
V=
e
∫
V
!
A=
∫
V
ρv (t ') dv
4πε R
!
µ J (t ') dv
4π R
•  Onde:
t' = t −
R
v
(12)
•  Ou seja, os potenciais são calculados da mesma forma que na estática, mas a fase
do potencial no tempo t’ é retardada (igual a fase da fonte no tempo t – R/v).
5
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DE CORRENTE OU ANTENA
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Potenciais Retardados
Dipolo Hertziano
•  Para densidades de correntes variáveis no tempo, podemos calcular os campos EM
usando a equação de onda para o potencial A:
!
!
!
∂A
2
∇ A − µε 2 = −µ J
∂t
2
•  A densidade de corrente é a fonte de potencial (e de campo) e esta equação
corresponde a 3 eqs. escalares. Em coordenadas cartesianas:
∇ 2 Ax + β 2 Ax = −µ J x
∇ 2 Ay + β 2 Ay = −µ J y
Ax, Ay e Az são
fasores
∇ 2 Az + β 2 Az = −µ J z
•  Onde β, como sabemos, expressa a mudança de fase por unidade de distância:
β=
2π
= ω µε
λ
2
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DE CORRENTE OU ANTENA
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Dipolo Hertziano
•  Se considerarmos uma fonte pontual infinitesimal de corrente orientada na direção de
z, a equação de Helmholtz para A fica:
∇ 2 Az + β 2 Az = −µ J zδ ( x ) δ ( y) δ ( z ) •  Se soubermos a solução para esta equação, podemos encontrar a solução para
qualquer distribuição de corrente.
•  Como a fonte só existe na origem, fora da origem a equação fica:
∇ 2 Az + β 2 Az = 0
•  Considerando a simetria do problema, é interessante usar coordenadas esféricas,
onde o operador Laplaciano fica:
∂Az ⎞
1 ∂ ⎛ 2 ∂Az ⎞
1 ∂2 Az
1
∂ ⎛
∇ Az = 2 ⎜ r
+ 2
⎟+ 2
⎜ senφ
⎟
2
r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r senφ ∂θ
r senφ ∂φ ⎝
∂φ ⎠
2
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DE CORRENTE OU ANTENA
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Dipolo Hertziano
•  Não pode haver variação de Az com φ nem θ, pois a fonte é pontual.
•  A equação de onda de onda em coordenadas esféricas fica:
1 ∂ ⎛ 2 ∂Az ⎞ 2
⎜r
⎟ + β Az = 0
2
r ∂r ⎝ ∂r ⎠
•  A solução geral desta equação diferencial é uma onda esférica, que tem a forma:
Ce− jβ r
Az =
4π r
•  Onde C é uma constante. Trata-se de uma onda plana cuja amplitude cai com 1/r
conforme nos afastamos da fonte.
•  No caso da equação com fonte, a solução geral fica:
e− jβ r
Az = µ J z
4π r
4
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DE CORRENTE OU ANTENA
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Dipolo Hertziano
•  A onda esférica em um outro sistema de coordenadas pode ser expressa usando a
magnitude do vetor distância R:
e− jβ R
Az = µ J z
4π R
•  A expressão anterior representa a contribuição para Az de uma fonte pontual (Jz só
existe num ponto).
•  Se considerarmos uma distribuição contínua de corrente existente em um volume
V, temos que integrar o resultado anterior sobre todo o volume
e− jβ R
Az = ∫ µ J z (t ')
dv'
4π R
V
⎛
R⎞
t
'
=
t
−
•  Onde t’ é o tempo retardado discutido anteriormente ⎜
⎟.
⎝
v⎠
•  Pergunta: E se J tiver outros componentes (Jx e Jy)? Usar equações similares para
Ax e Az e fazer a sobreposição dos resultados.
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DE CORRENTE OU ANTENA
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•  Voltando ao problema do dipolo de Hertz de comprimento infinitesimal ‘d’, o
potencial vetorial pode ser encontrado integrando a corrente ao longo do fio:
!
A = âz µ I 0
d/2
e− jβ R
∫ 4π R dz'
−d/2
•  Onde vamos deixar o tempo retardado implícito em I.
•  Como a distribuição de corrente é uniforme ao longo do fio, e considerando que o
comprimento do fio é infinitesimal:
!
e− jβ r
A = µ I0d
âz
4π r
•  Tendo A, podemos encontrar os campos eletromagnéticos.
! 1
! 1
H = ∇ × A = ∇ × ( Az âz )
µ
µ
6
6
COLOCAR FIGURA INDICANDO POTENCIAIS RETARDADOS
DE CORRENTE OU ANTENA
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Potenciais Retardados
Dipolo Hertziano
•  Em grande parte dos problemas de antenas, é interessante usar Coord. Esféricas.
•  Convertendo A para coordenadas esféricas,
teremos compontentes em θ e em r.
e− jβ r
Ar = Az cosθ = µ I 0 d
cosθ e
4π r
e− jβ r
Aθ = −Az senθ = −µ I 0 d
senθ
4π r
•  Note que não há Aφ e que os campos não variam
com φ.
•  Com isso alguns termos do rotacional são nulos.
7
7
COLOCAR FIGURA INDICANDO POTENCIAIS RETARDADOS
DE CORRENTE OU ANTENA
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Dipolo Hertziano
•  O rotacional em coordenadas esféricas é escrito:
!
∇× A =
1 ⎛ ∂ ( Aφ senθ ) ∂Aθ ⎞
1 ⎛ 1 ∂Ar ∂ ( rAφ ) ⎞
1 ⎛ ∂ rA
∂A ⎞
⎜
⎟ âr + ⎜
⎟ âθ + ⎜ ( θ ) − r ⎟ âφ
−
−
rsenθ ⎜⎝
∂θ
∂φ ⎟⎠
r ⎜⎝ senθ ∂φ
∂r ⎟⎠
r ⎝ ∂r
∂θ ⎠
0
0
0
0
•  Assim, H só tem componente φ. Isto é coerente? Lembrar da magnetostática.
! 1 ⎛ ∂ ( rAθ ) ∂A ⎞
! 1
H = ∇× A = ⎜
− r ⎟ âφ
µ
µ r ⎝ ∂r
∂θ ⎠
•  O campo magnético fica:
!
⎛ j β e− jβ r e− jβ r ⎞
I0d
1⎞
− jβ r ⎛ j β
H = I 0 dsenθ ⎜
+
â =
senθ e ⎜ + 2 ⎟ âφ
2⎟ φ
⎝ r r ⎠
4π r ⎠
4π
⎝ 4π r
(1)
•  Note que o campo possui um termo que cai com o inverso da distância e um termo
que cai com o quadrado do inverso da distância.
8
8
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DE CORRENTE OU ANTENA
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Dipolo Hertziano
•  Pergunta: Tendo H, como podemos encontrar E? Lei de Ampère.
!
! ! ∂D
!
∇×H = J +
= jωε E ∂t
•  O rotacional de H em coordenadas esféricas é:
!
∇×H =
1 ⎛ ∂ ( H φ senθ ) ∂Hθ ⎞
1 ⎛ 1 ∂H r ∂ ( rH φ ) ⎞
1 ⎛ ∂ ( rHθ ) ∂H r ⎞
⎜
⎟ âr + ⎜
⎟ âθ + ⎜
−
−
−
⎟ âφ
⎜
⎟
⎜
⎟
rsenθ ⎝
∂θ
∂φ ⎠
r ⎝ senθ ∂φ
∂r ⎠
r ⎝ ∂r
∂θ ⎠
0
0
•  Como Hr e Hθ são nulos, a Lei de Ampère resulta em:
0
0
!
1 ⎡ 1 ∂ ( H φ senθ )
1 ∂ ( rH φ ) ⎤
⎢
E=
âr −
âθ ⎥
jωε ⎢⎣ rsenθ
∂θ
r ∂r
⎥⎦
•  Vamos considerar Er e Hθ separadamente.
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•  O componente radial do campo elétrico fica:
1
1 I 0 d − jβ r ⎛ j β 1 ⎞ ∂ ( sen θ )
Er =
e ⎜ + 2⎟
⎝ r r ⎠ ∂θ
jωε rsenθ 4π
2
I0d 1
1⎞
− jβ r ⎛ j β
Er =
cosθ e ⎜ 2 + 3 ⎟
⎝r
2π jωε
r ⎠
•  Note que podemos reescrever esta expressão usando o fato de que no ar:
β 1
= = µε
ω c
β
⇒
= η = η0
ωε
•  Re-screvendo Er em termos de η:
⎛
I0d
1 ⎞
− jβ r 1
Er =
η cosθ e ⎜ 2 +
3⎟
2π
jβ r ⎠
⎝r
(2)
10
9
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•  O componente θ do campo elétrico fica:
Eθ = −
1 I0d
1 ∂ ⎡ ⎛ j β 1 ⎞ − jβ r ⎤
senθ
⎢r ⎜ + ⎟ e ⎥
jωε 4π
r ∂r ⎣ ⎝ r r 2 ⎠
⎦
Eθ =
⎤
j I0d
1⎡
1
jβ
senθ ⎢β 2 e− jβ r − 2 e− jβ r − e− jβ r ⎥
⎦
ωε 4π
r⎣
r
r
•  Novamente, usando o fato de que no ar:
• 
β
⇒
= η = η0
ωε
Re-escrevendo Eθ em termos de η:
⎛
I0d
1
1 ⎞
− jβ r j β
Eθ =
ηsenθ e ⎜ + 2 +
3⎟
4π
jβ r ⎠
⎝ r r
(3)
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DE CORRENTE OU ANTENA
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Potenciais Retardados
Dipolo Hertziano
•  Podemos reescrever os campos na forma polar. O campo magnético fica:
I βd
H φ = 0 senθ e− jβ r
4π r
•  Onde:
⎛
⎞
1
− j ( β r−δ Eφ )
⎜1+
⎟
sen
θ
e
2⎟
⎜
β
r
⎝ ( ) ⎠
(4)
δ Eφ = tan −1 ( β r )
•  O componente radial do campo elétrico fica:
Id
Er = 0 2 η
2π r
•  Onde:
⎛
⎞
1
− j ( β r−δ Er )
⎜1+
⎟
cos
θ
e
2⎟
⎜
β
r
(
)
⎝
⎠
δ Eφ = tan −1 ( β r ) −
π
2
(5)
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DE CORRENTE OU ANTENA
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Dipolo Hertziano
•  O componente Eθ do campo elétrico fica:
Id
Eθ = 0 ηβ
4π r
•  Onde:
δ Eθ
⎛
⎞
1
1
− j ( β r−δ Eθ )
⎜1−
⎟
+
sen
θ
e
2
4⎟
⎜
β
r
β
r
(
)
(
)
⎝
⎠
(6)
⎡ ⎛
⎞⎤
1
⎟⎥
= tan ⎢β r ⎜⎜1−
2⎟
⎢⎣ ⎝ ( β r ) ⎠⎥⎦
−1
•  Note que:
•  Como cada uma das fases δ é função de r, o período de oscilação vai variar conforma
‘r’ aumenta.
•  Para distâncias radiais da ordem de λ, o comportamento da onda não é senoidal.
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COLOCAR FIGURA INDICANDO POTENCIAIS RETARDADOS
DE CORRENTE OU ANTENA
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Potenciais Retardados
Dipolo Hertziano
•  Nos pontos em que r é pequeno com relação a λ:
•  O termo que cai com 1/r3 (e 1/r2 para o campo magnético) são dominantes, ou seja,
são muito maiores que os outros termos.
•  Neste caso, campo elétrico se assemelha ao campos de um dipolo eletrostático (só
que aqui variando no tempo).
•  Este campos estão associadas a energia armazenada em campos reativos (capacitivo e
indutivo) no dipolo hertziano (que não é irradiada).
•  Este campo é comumente denominado de Campo Próximo.
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