z - mit - universia

8.07 Tarefa de Casa 11
Problema 1. Potenciais Retardados.
O plano z = 0 está eletrizado com densidade superficial de cargas σ , de modo que
ρ = σδ ( z ) .
(i) Qual é o campo elétrico presente na região?
Em t = 0 , o plano começa a se mover na direção y com velocidade constante v, de forma
que para t > 0, j y = σvδ ( z ), jx = jz = 0 .
(ii) Calcule o valor de Ay ( z , t ) diretamente da fórmula para os potenciais retardados. Trace
o gráfico deste valor em função de t para z fixo (positivo e negativo) e como função de z
para t fixo t > 0 .
(iii) Obtenha os valores de Bx e E y e trace seus gráficos como função de t para z fixo
(positivo e negativo) e como função de z para um tempo fixo t > 0 .
Problema 2. Leis de Conservação no contexto do Problema 1.
Considere uma caixa limitada pelos planos z = ± h, x = 0, x = 1, y = 0, y = 1 . Esta caixa se
estende acima e abaixo dos planos de corrente, a uma distância h um do outro. Explique
quantitativamente como as leis de conservação se aplicam para o volume considerado nos
seguintes casos:
(i) Conservação da Energia para 0 < t < h / c .
(ii) Conservação da Energia para t > h / c .
(iii) Conservação da componente y do momento para 0 < t < h / c .
(iv) Conservação da componente y do momento para t > h / c .
A sentença matemática que expressa a lei de conservação da energia, por exemplo, é dada
por:
d
(Emec + Ecampo ) = −∫ S ⋅ d a, com dEmec = ∫ j ⋅Ed 3 x
dt
dt
Problema 3. Uma onda plana que se propaga na direção positiva de z, incide normalmente
sobre um material uniforme que preenche presente no semi-espaço z ≥ 0 . O material possui
uma condutividade constante σ > 0 J = σ E e ε / ε 0 = µ / µ0 = 1 . O campo incidente (para
z < 0 ) é da forma:
E inc r , t = Re E0ei (kz −ωt ) e x ,
(1)
(
)
( )
{
1
}
com k = ω / c e E0 é uma constante real. Considere o ansatz simples para a onda no
condutor ( z > 0 ) e para a onda refletida:
( )
{ () }
E con r , t = Re E c r e −iωt .
( )
{
}
E ref r , t = Re Er ei (− kz −ωt ) e x ,
(2)
(3)
()
Onde os vetores complexos E c r e Er são funções a determinar.
()
(i) Mostre que E c r satisfaz a equação diferencial
()
⎧ 2
σ ⎞⎫
2⎛
⎟⎬ E c r = 0
⎨∇ + k ⎜⎜1 + i
ωε 0 ⎟⎠⎭
⎝
⎩
(4)
(ii) Assuma agora que os campos no condutor são dados por:
()
()
E c r = Ec eiβz e x e B c r = Bc eiβz e y .
(5)
Qual é o valor de β em termos de k ,σ , ω ? Encontre Bc em termos de Ec .
(iii) Usando as condições de contorno relevantes para E e B na fronteira dos meios, monte
e resolva o sistema de equações que determinam Ec e Er em termos de E0 , k e β .
(iv) Encontre a pressão sobre a parede condutora. Apresente sua resposta em termos de
Ec , k e β . [Dica: use o tensor campo.]
Problema 4. Calcule o campo elétrico exato para a radiação do dipolo elétrico. Mostre que
o campo procurado é dado por:
E=
1 ⎧ 2
eikr
⎛ 1 ik ⎞ ⎫
+ (3n(n ⋅ p ) − p )⎜ 3 − 2 ⎟eikr ⎬
⎨k (n × p ) × n
4πε 0 ⎩
r
r ⎠ ⎭
⎝r
Problema 5. (Jackson 9.3). Duas metades de uma casca esférica metálica de raio R e
condutividade infinita estão separadas por uma abertura isolante muito pequena. Aplica-se
um potencial alternado entre as duas metades da esfera de forma que os potenciais são
dados por ± V cos ωt . Encontre os campos de radiação, a distribuição angular da potência
irradiada e a potência total irradiada pela esfera, no limite para grandes comprimentos de
onda.
2
Problema 6. Griffiths 4.2 (pág. 163).
Problema 7. Griffiths 4.10 (pág. 169).
Problema 8. Griffiths 4.26 (pág. 193).
Problema 9. Griffiths 4.32 (pág. 198).
Problema 10. Griffiths 6.4 (pág. 259).
Problema 11. Griffiths 6.5 (pág. 260).
Problema 12. Imã. (baseado no Jackson 5.19 e Griffiths 6.9).
Um imã é da forma de um cilindro circular reto de comprimento L e raio a. O cilindro
possui magnetização uniforme e permanente M 0 , por toda a parte de seu volume, paralela
ao seu eixo.
(a) Calcule H e B em todos os pontos sobre o eixo do cilindro, dentro e fora do imã.
(b) Esboce em um gráfico as razões B / µ0 M 0 e H / M 0 para L / a = 5 .
(c) Encontre a corrente ligada.
(d) Por que o campo B, distante do imã, é aproximadamente igual ao campo de um dipolo
magnético? O que é o momento de dipolo efetivo?
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