Matriz bloco-triangular Matriz bloco

Matriz bloco-triangular
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Matriz bloco-triangular
Lema (determinante de matriz bloco-triangular)
A B
A 0
Suponha que M =
ou M =
, com A e D
0 D
C D
matrizes quadradas. Então det(M) = det(A) det(D).
Definição
Teorema Espectral:
T
A = A
Potência/Exponencial
de Matriz
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Exemplo
Autovalores e
Autovetores
Calculando
Observação
Diagonalização
Teorema Espectral:
T
A = A
A B
Considere M =
, com A, B, C e D matrizes
C D
quadradas. De forma geral,
det(M) 6= det(A) det(D) − det(B) det(C).
Álgebra Linear II 2008/2
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
Potência/Exponencial
de Matriz
1 / 33
Álgebra Linear II 2008/2
Introdução
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
T
A = A
Potência/Exponencial
de Matriz
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Exemplo
Motivando com
Geometria
Calculando
Diagonalização
Incluir Figura: relexão em torno do eixo-x
T (1, 0) =
(1, 0)
⇒ direções preservadas
T (0, 1) = −(0, 1)
T (1, 1) = (1, −1)
⇒ direções não preservadas
T (2, 3) = (2, −3)
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
Potência/Exponencial
de Matriz
T uma rotação de 90◦ =⇒ T (x, y ) = (y , −x).
Incluir Figura: rotação de 90 graus
Nenhuma direção é preservada!
Potência/Exponencial
de Matriz
Álgebra Linear II 2008/2
3 / 33
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
4 / 33
Definição Autoespaço
Se T v = λv então T v − λv = T v − (λI)v = 0.
Autovalores e
Autovetores
Seja T : V → V TL. Dizemos que
0 6= v ∈ V é autovetor associado ao autovalor λ
se T v = λv.
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Teorema Espectral:
T
A = A
2 / 33
Teorema Espectral:
T
A = A
Definição
Diagonalização
DMA / IM / UFRJ
Definição
Definição
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Prof. Paulo Goldfeld
Motivando com
Geometria
T uma reflexão em torno do eixo-x =⇒ T (x, y ) = (x, −y ).
Definição Autovalor e Autovetor
Autovalores e
Autovetores
&
Exemplo
Qual direção é preservada por T ?
Álgebra Linear II 2008/2
Prof. Marco Cabral
Exemplos
Quando v e T v são paralelos?
Autovalores e
Autovetores
Calcule
 M = 0.
 os valores de λ tais que det
2 − λ 1 3 −1
1
 1
λ 2 1
−2 


0 λ 1
1 
M=
 . Definindo
 0
 0
0 1 λ
2 
0
0 0 0 3+λ
2−λ 1
λ 1
M1 =
, M2 =
, M3 = 3 + λ,
1
λ
1 λ


M1 ∗
∗
M =  0 M2 ∗ . det(M) =
0
0 M3
det(M1 ) det(M2 ) det(M3 ) = −(λ − 1)2 (λ2 − 1)(3 + λ) = 0.
As raízes são 1, −1, −3.
Logo (T − λI)v = 0.
Portanto v ∈ Nuc(T − λI).
Definição
Calculando
Observação
Diagonalização
λ pode ser zero, mas v não!
(Se v = 0, então T v = λv ∀λ.)
Potência/Exponencial
de Matriz
Teorema Espectral:
T
A = A
O autoespaço associado a λ é Nuc(T − λI).
Observação
autoespaço assoc. a λ = {autovetores assoc. a λ} ∪ {0}
Álgebra Linear II 2008/2
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
5 / 33
Álgebra Linear II 2008/2
Dado λ, calculamos seu autoespaço: Nuc(T − λI).
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Teorema Espectral:
T
A = A
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
T v = λv, v 6= 0 ⇒ (T − λI)v = 0, v 6= 0 ⇒
Motivando com
Geometria
Nuc(T − λI)não trivial ⇒ det(T − λI) = 0
Definição
Calculando
Diagonalização
De fato, λ é autovalor de T s.s.s. det(T − λI) = 0.
Teorema Espectral:
T
A = A
Potência/Exponencial
de Matriz
Potência/Exponencial
de Matriz
Álgebra Linear II 2008/2
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
6 / 33
Exemplo
Mas como encontrar um autovalor λ?
Calculando
Diagonalização
&
Exemplo
Como calcular autovalores e autoespaços?
Autovalores e
Autovetores
Prof. Marco Cabral
7 / 33
Calcule osautovalores
de
e autoespaços
1 −1
x
T (x, y ) =
.
−1
1
y
(1 − λ)
−1
1 det(A − λI) = det
= (1 − λ)2 − 1
−1
(1 − λ)
= (λ − 0)(λ − 2).
2
Calculando autoespaço para λ = 0:
Resolvemos o sistema (A − 0I)x = 0.
3
Calculando autoespaço para λ = 2:
Resolvemos o sistema (A − 2I)x = 0.
Álgebra Linear II 2008/2
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
8 / 33
Definição Polinômio Característico
Prova: polinômio independe da base
Prova
Definição
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Autovalores e
Autovetores
p(λ) = det(T − λI) é um polinômio em λ, chamado
polinômio característico de T . O grau de p(λ) é igual à
dimensão do espaço.
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Definição
Calculando
Calculando
Diagonalização
Lema
Diagonalização
O polinômio característico independe da base escolhida:
det([T ]β − λI) = det([T ]γ − λI)
Potência/Exponencial
de Matriz
Teorema Espectral:
T
A = A
Potência/Exponencial
de Matriz
Sejam A = [T ]γ e B = [T ]β .
Se P = [I]β←γ , então PAP −1 = B. Assim,
det(B − λI) = det(PAP −1 − λI)
= det(PAP −1 − P(λI)P −1 )
Teorema Espectral:
T
A = A
= det(P(A − λI)P −1 )
= det(P) det(A − λI) det(P −1 )
= det(P) det(P −1 ) det(A − λI)
= det(A − λI)
Álgebra Linear II 2008/2
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
9 / 33
Álgebra Linear II 2008/2
Autovalores e
Autovetores
Calculando
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Determinamos os zeros do polinômio det(T − λI) = 0
para achar autovalores;
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
T
A = A
Potência/Exponencial
de Matriz
Diagonalização
Substituímos os autovalores na equação (T − λI)v = 0
para determinar os autovetores v .
Álgebra Linear II 2008/2
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
Teorema Espectral:
T
A = A
Potência/Exponencial
de Matriz
11 / 33
Potência/Exponencial
de Matriz
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
12 / 33
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Exemplo
Calculando
Calcular autovalores e autovetores de uma projeção e de
uma reflexão
Álgebra Linear II 2008/2
Exemplo
Definição
Calculando
Teorema Espectral:
T
A = A
DMA / IM / UFRJ
Calcule os autovetores
de  


3 −1
0
x
1
0   y .
T (x, y , z) =  1
1
0 −1
z
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Diagonalização
10 / 33
Exemplo
Autovalores e
Autovetores
Definição
DMA / IM / UFRJ
Exemplo
Álgebra Linear II 2008/2
Exemplo
Motivando com
Geometria
Prof. Paulo Goldfeld
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Definição
&
Exemplo
Resumo do Cálculo
Motivando com
Geometria
Prof. Marco Cabral
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
Diagonalização
Teorema Espectral:
T
A = A
Potência/Exponencial
de Matriz
Note que uma rotação não possui autovalores reais. Isto
indica que NENHUMA direção é preservada. (Exceto para
múltiplos de π radianos.)
Álgebra Linear II 2008/2
13 / 33
Exemplo
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
14 / 33
Multiplicidade
Teorema (Teorema Fundamental da Álgebra)
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Autovalores e
Autovetores
Exemplo
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
T : V → V , (V funções reais diferenciáveis) definida
por Tv = v 0 .
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
T
A = A
Potência/Exponencial
de Matriz
Diagonalização
Qual autovetor (chamada também de autofunção)
associado ao autovalor 3? Isto é, para qual função v ,
v 0 = 3v ?
Teorema Espectral:
T
A = A
Potência/Exponencial
de Matriz
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
n
X
ak λk = an (λ − λ1 )(λ − λ2 ) · · · (λ − λn ) ∀λ,
k =0
onde λk ’s são números complexos. Esta fatoração é única
(a menos da ordem).
v (t) = exp(3t) pois v 0 (t) = 3 exp(3t), isto é, v 0 = 3v .
Álgebra Linear II 2008/2
Um polinômio de grau n tem exatamente n raízes (não
necessariamente distintas) sobre o corpo dos complexos,
isto é, existem números complexos, λ1 , . . . , λn , tais que
15 / 33
Álgebra Linear II 2008/2
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
16 / 33
Multiplicidade
Diagonalização
Agrupando-se termos repetidos, temos
n
X
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
k =0
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
T
A = A
Potência/Exponencial
de Matriz
Autovalores e
Autovetores
ak λk = an (λ − λ̃1 )m1 · · · (λ − λ̃p )mp ∀λ,
onde λ̃1 , . . . , λ̃p são raízes distintas e mk é a multiplicidade
da raiz λ̃k .
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Definição
Motivando com
Geometria
Dizemos que T é diagonalizável se existe uma base β tal
que [T ]β é uma matriz diagonal.
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
T
A = A
Potência/Exponencial
de Matriz
Definição (Multiplicidade (Algébrica))
T : V → V é diagonalizável se, e somente se, V possui
uma base de autovetores de T .
Se λ1 é raiz de multiplicidade m1 do polinômio
característico de T , pcT , diz-se que λ1 é autovalor de
multiplicidade λ1 de T .
Álgebra Linear II 2008/2
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
17 / 33
Álgebra Linear II 2008/2
Diagonalização
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Diagonalização
Teorema Espectral:
T
A = A
Teorema Espectral:
T
A = A
Potência/Exponencial
de Matriz
Potência/Exponencial
de Matriz
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
T
A = A
Potência/Exponencial
de Matriz
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Diagonalização
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
T
A = A
Potência/Exponencial
de Matriz
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
20 / 33
&
Prof. Paulo Goldfeld
Calcular os autovalores
(raízes do polinômio caractertístico). Se n autovalores
distintos é diagonalizável.
2
Encontrar bases para autospaços
(resolver sistemas homogêneos)
3
Juntar os vetores de todas as bases: se forem
suficientes (n vetores LI’s), T é diagonalizável, caso
contrário, não.
Álgebra Linear II 2008/2
Autovalores e
Autovetores
Prof. Marco Cabral
1
Potência/Exponencial
de Matriz
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
22 / 33
Exemplo de Matrizes Diagonalizáveis
Se A é diagonalizável, definindo D matriz diagonal com
autovalores e P matriz com autovetores nas colunas,
AP = PD.
Prova: AP é uma matriz onde cada coluna é λi vi . PD é
também uma matriz onde cada coluna é λi vi .
Como autovetores formam base LI, P é invertível.
Assim A = PDP −1 , chamada decomposição espectral de
A.
Álgebra Linear II 2008/2
&
Para diagonalizar uma TL em dimensão n:
Teorema Espectral:
T
A = A
21 / 33
Autovalores e
Autovetores
Motivando com
Geometria
Prof. Marco Cabral
Se o espaço V possui dimensão n e existem n autovalores
distintos então T é diagonalizável.
Calculando
Decomposição Espectral
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
18 / 33
Corolário
α1 v1 + α2 (λ2 /λ1 )n v2 + α3 (λ3 /λ1 )n v3 = 0.
Passando ao limite (n → ∞), como |λ2 /λ1 | < 1, α1 v1 = 0.
Logo α1 = 0. Voltando a equação
0(λ1 )n v1 + α2 (λ2 )n v2 + α3 (λ3 )n v3 = 0, dividindo por (λ2 )n :
α2 v2 + α3 (λ3 /λ2 )n v3 = 0.
Passando ao limite (n → ∞), como |λ3 /λ2 | < 1, α2 v2 = 0.
Logo α2 = 0.
Da equação 0v1 + 0v2 + α3 v3 = 0, concluimos que: α3 = 0,
o que implica que autovetores são LIs.
É fácil generalizar para o caso geral de n autovetores (veja
o livro para outra prova).
Álgebra Linear II 2008/2
DMA / IM / UFRJ
Diagonalização
Prova
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Prof. Paulo Goldfeld
Vamos provar para três autovetores {v1 , v2 , v3 } com três
autovalores (distintos) já ordenados por módulo:
|λ1 | > |λ2 | > |λ3 |.
Se α1 v1 + α2 v2 + α3 v3 = 0, aplicando T obtemos:
T (α1 v1 + α2 v2 + α3 v3 ) = T 0 = 0.
α1 T v1 + α2 T v2 + α3 T v3 = α1 λ1 v1 + α2 λ2 v2 + α3 λ3 v3 = 0.
Aplicando T novamente: T (α1 λ1 v1 + α2 λ2 v2 + α3 λ3 v3 ) = 0.
α1 (λ1 )2 v1 + α2 (λ2 )2 v2 + α3 (λ3 )2 v3 = 0.
Aplicando T várias vezes:
α1 (λ1 )n v1 + α2 (λ2 )n v2 + α3 (λ3 )n v3 = 0.
Dividindo por (λ1 )n :
α1 v1 + α2 (λ2 /λ1 )n v2 + α3 (λ3 /λ1 )n v3 = 0.
Álgebra Linear II 2008/2
19 / 33
Diagonalização
Autovalores e
Autovetores
&
Prova
Autovalores e
Autovetores
Autovetores associados a autovalores distintos são
linearmente independentes, ou seja,
se 0 6= vk e T vk = λk vk , k = 1, . . . , p, com λk ’s distintos,
então {v1 , . . . , vp } é LI.
Álgebra Linear II 2008/2
Prof. Marco Cabral
Diagonalização
Lema
Autovalores e
Autovetores
Teorema
DMA / IM / UFRJ
23 / 33
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
T
A = A
Potência/Exponencial
de Matriz
Exemplo




3 1 −2
5
0 0
−2 2
4 . A =  1 −4 6 .
A=
.A= 0 7
0 2
0 0
2
2
0 2


1 0 1 2
 3 5 3 4 

A=
 0 0 7 3 .
0 0 02
TODAS possuem no. autovalores distintos iguais a
dimensão da matriz.
Álgebra Linear II 2008/2
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
24 / 33
Exemplo
Exemplo
Exemplo
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
T
A = A
Potência/Exponencial
de Matriz
Autovalores e
Autovetores
Encontre
a decomposição
espectral de


3 1 −2
4 .
A =  −2 0
0 0
2
Autovalores são 1 e 2. Temos que calcular autoespaços
para saber se é diagonalizável!
Base do autoespaço do 2: v1 = (2, 0, 1) e v2 = (−1, 1, 0).
Base do autoespaço do 1: w = (1, −2, 0).
Três autovetores LI’s: É diagonalizável. 

2
−1

.
2
A = PDP com P = v1 v2 w D =
1
Álgebra Linear II 2008/2
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
T
A = A
Potência/Exponencial
de Matriz
Teorema Espectral:
T
A = A
Potência/Exponencial
de Matriz
Diagonalização
Teorema Espectral:
T
A = A
Potência/Exponencial
de Matriz
2
.
2

Ou, A =
PDP −1
com P =
v1 w v2

2
1
D=
.
2
Ou, A =
PDP −1
com P =
v2 w v1
D=

2
1
.
2
25 / 33
Álgebra Linear II 2008/2
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
26 / 33
Exemplo
Exemplo
Autovalores e
Autovetores
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
T
A = A
Potência/Exponencial
de Matriz
Exemplo
T projeção ortogonal na reta r = hwi. Determine
decomposição espectral.
Se v é perpendicular à reta r , T v = 0 = 0v e T w = 1w.
São autovalores 0 e 1 com autovetores
associados w e v.

↑ ↑
0
T = PDP −1 com P =  v w  D =
.
1
↓ ↓
Álgebra Linear II 2008/2
27 / 33
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
28 / 33
Calculando potência de matrizes
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Calculando
w v1 v2

1
D=

Autovalores e
Autovetores
Definição
com P =
Diagonalização
Teorema Espectral
Motivando com
Geometria
Ou, A =
Calculando
Encontre
a decomposição
espectral de


3 −1
0
1
0 .
A= 1
1
0 −1
Autovalores são −1 e 2. Temos que calcular autoespaços
para saber se é diagonalizável!
Base do autoespaço do 2: (3, 3, 1). Base do autoespaço do
−1: (0, 0, 1).
Dois autovetores LI’s: Não é diagonalizável. Não possui
decomposição espectral.
Álgebra Linear II 2008/2

PDP −1
Definição
Exemplo
Autovalores e
Autovetores
Exemplo
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Teorema
Definição
Se A = At (dizemos que a matriz A é simétrica) então existe
uma base ortogonal de autovetores que diagonaliza A.
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
T
A = A
Potência/Exponencial
de Matriz
Se A = PDP −1 é diagonalizável podemos calcular
facilmente Ak .
por exemplo A2 = (PDP −1 )(PDP −1 ) =
PD(P −1 P)DP −1 = PDDP −1 = PD 2 P −1 .
calcular D 2 é fácil: basta calcular o quadrado dos
elementos da diagonal.
outro exemplo A3 = (PDP −1 )(PDP −1 )(PDP −1 ) =
PD(P −1 P)D(P −1 P)DP −1 = PDDDP −1 = PD 3 P −1 .
de forma geral, Ak = PD k P −1 .
Álgebra Linear II 2008/2
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
Álgebra Linear II 2008/2
29 / 33
Exemplo de potência
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
30 / 33
Raiz Quadrada de Matrizes
Exemplo
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
T
A = A
Potência/Exponencial
de Matriz
1 −3
.
−3
1
O autoespaço associado ao −1/2 é h(1, 1)i. O autoespaço
associado ao 1 é h(1, −1)i.
1
1
−1/2
Portanto, P =
com D =
.
1 −1
1
Calculando
a
inversa
de
P
determinamos
que
1
1
1/210
P −1 = 12
. Como D 10 =
,calculando
1 −1
1
o produto PD 10 P −1 obtemos que
210 + 1 1 − 210
A10 = 2111
.
10
10
1−2
2 +1
Calcule A10 para A =
Álgebra Linear II 2008/2
1
4
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
31 / 33
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
T
A = A
Potência/Exponencial
de Matriz
Podemos de forma similar calcular raiz quadrada de
matrizes diagonalizáveis.
√
√
√
Se A = PDP −1 , definimos A = P DP −1 , onde D
significa tomar raiz dos elementos da diagonal.
√ 2
√
√
√ √
( √
A) = (P DP −1 )(P DP −1 ) = P D DP −1 =
2
−1
−1
P( D) P = PDP = A.
Álgebra Linear II 2008/2
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
32 / 33
Exemplo de raíz quadrada
Autovalores e
Autovetores
Determinante de
Matriz
bloco-triangular
Motivando com
Geometria
Definição
Calculando
Diagonalização
Teorema Espectral:
T
A = A
Potência/Exponencial
de Matriz
Exemplo
√
−6 −30
.
Calcule A para A =
5
19
O autoespaço associado ao 9 é h(−2, 1)i. O autoespaço
−2 −3
associado ao 4 é h(−3, 1)i. Portanto, P =
com
1
1
9
D=
. Calculando a inversa de P determinamos
4
√
3
1
3
, calculando
que P −1 =
. Como D =
2
−1 −2
√
√
−1
o produto P DP = A obtemos que
√
0 −6
B= A=
.
1
5
Verifique diretamente que B 2 = A.
Álgebra Linear II 2008/2
Prof. Marco Cabral
&
Prof. Paulo Goldfeld
DMA / IM / UFRJ
33 / 33