Aula 06_Limite de uma função

UFPA, 1º de abril de 2015
Aula 06 – Limites de uma função
Capítulo 2 - Limites e Derivadas (pág. 75 a 150 do livro texto 7ª edição)
Caro aluno,
Ao estudar limite você deve estar atento no domínio da função. Quando você calcular
o limite de uma função (imagem) esta função pode não estar definida num certo valor de x,
por exemplo para x=a (não ter imagem em a, isto é f a   ? ). Pode calcular o limite da
função em qualquer ponto “a” pertencendo ou não ao domínio da função. Principalmente
quando a  D f há necessidade de estudar o limite da função quando x  a (lê: x dente a
a) para saber o que acontece com a imagem da função para valor de x próximo de a. A
aproximação é feita sempre de ambos lados (antes e depois) deste a.
Refaçam os exemplos e resolvam os exercícios. Na dúvida procure pessoas que
possam lhe ajudar. Não esquecer as funções: potência, exponencial, logarítmica, seno e
cosseno, principalmente o domínio delas.
Consulte também outros livros de Cálculo I.
Bons estudos.
69
Limite (pág 80 livro texto 7ª edição)
Suponhamos que função f seja definida próximo ao número real a (isso significa que f
é definido em algum intervalo aberto que contenha a, exceto possivelmente no próprio a). A
notação
lim f x  L ou f x   L quando x  a
(64)
x a
Significa “o limite de f x  é igual a L quando x tende a a,” ou “ f x  tende a L quando x
tende a a L” se pudermos tornar os valores de f x  arbitrariamente próximo de L, tão
próximo de L quanto quisermos, tornando x suficientemente próximo de a (por ambos os
lados de a), mas não igual a a. Os valores de f x  tendem a ficar cada vez mais próximo do
número L à medida que x tende ao número a (por qualquer lado de a) mas x  a .
Definição de Limite. Seja f uma função definida numa vizinhança de a (a é uma constante
real). Diz –se que f tem limite L em a denotado por lim f x   L se, para todo (qualquer)
x a
  0 existir   0 tal que toda vez que x  a   então f x  L   .
A figura 33 mostra três situações para limite de uma função definida num intervalo
I  D f . Os gráficos das três funções, aparentemente “iguais” são três funções diferentes.
Observe que em (iii) f a  não está definida, e em (ii) f a   L e em (i) f a   L mas, em
todos os casos, independentemente do que acontece em x  a é verdade que lim f x  L .
x a
Figura 33. lim f x  L nos três casos.
x a
70
Limites laterais.
Notações:
(1) x  a  lê: x tende à a pelo lado direito de a ( a  não é número a positivo).
(2) x  a  lê: x tende à a pelo lado esquerdo de a ( a  não é número a negativo).
Particularmente quando a  0 :
(3) x  0 lê-se x tende à 0 pelo lado esquerdo de 0 ( 0  é negativo).
(4) x  0 lê-se x tende à a pelo lado direito de a ( 0  é positivo).
Limite à direita – Seja f função definida num intervalo aberto I  D e seja a  I . Dizemos
que L é o limite à direita de f em a denotado por
lim f x   L
(65)
x  a
se, para cada   0 existir   0 tal que toda vez que tiver
0  x  a   então f x  L   .
(66)
De modo análogo
Limite à esquerda – Seja f função definida num intervalo aberto I  D e seja a  I .
Dizemos que L é o limite à esquerda de f em a denotado por
lim f x   L
(67)
x  a
se, para cada   0 existir   0 tal que toda vez que tiver
   x  a  0 então f x  L   .
Das definições (64), (65) e (67) temos o
lim f x  L se e somente se lim f x   lim f x   L
x a
x a
x a
(68)
 x 1 
Exemplo 30. (exemplo 1 pág 81 do livro texto). Calcule lim  2  .
x 1 x  1


Resposta: A função não está definida em x  1 . O domínio da função é
D  R  1,1  x  R / x  1 mas para o estudo do limite não há problema porque o
71
limite estuda para valores de x próximo de -1 e de +1. Na tabela 2 estão os valores de f x 
calculados para os valores de x que tendem a +1 de ambos lados (antes e depois de +1).
x 1
0,5
0,9
0,99
0,999
0,9999
.
.
↓
x 1
x 2 1
0,666667
0,526316
0,502513
0,500250
0,500025
.
.
↓
f x  
x 1
x 2 1
0,400000
0,476190
0,497512
0,499750
0,499975
.
.
↓
f x  
x 1
1,5
1,1
1,01
1,001
1,0001
.
.
↓
1
0,5
1
0,5
x 1
Tabela 2. Valores de f x   2
para valores de x que tendem a 1 de ambos os lados.
x 1
Na tabela 3 estão os valores de f x  calculados para os valores de x que tendem a -1
pelos dois lados.
x  1
f x  
x 1
x 2 1
x  1
f x  
x 1
x 2 1
-0,5
2
-1,5
-2
-0,9
10
-1,1
-10
-0,99
100
-1,01
-100
-0,999
1000
-1,001
-1000
-0,9999
10000
-1,0001
-10000
-0,99999
100000
-1,00001
-100000
-0,999999
1000000
-1,000001
-1000000
↓
↓
↓
↓
-1

-1

Tabela 3. Valores de f x  
x 1
para valores de x que tendem a -1 de ambos os lados.
x2 1
A função do exemplo 30 atribuindo valores próximos de 1 e de +1, concluímos que
 x 1 
 x 1 
 x 1 
existe lim  2   0,5 porém não existe lim  2
uma vez que lim   2    e

x  1 x  1
x  1 x  1
x  1  x  1 




72
 x 1 
lim   2
   . Veremos mais adiante, maneira mais simples de calcular limite
x  1  x  1 
de uma função.
Exemplo 31. Calcule lim g x , onde:
x1
 x 1
 x 2  1 , se x  1

g x   
2,
se x  1


Neste exemplo, também temos lim g x  0,5 mas g 1  2 . Veja a diferença dos gráficos das
x 1
funções na figura
Figura 34 . As funções f x e g x  têm o mesmo limite quando x  0 porém são
funções diferentes.
Será que é necessário montar uma tabela sempre que quisermos achar o limite de uma
função quando o x aproxima de um valor a? .
Exemplo 32. Função Heaviside (exemplo 19 da nota de aula)
1, se t  0
H t   
 
0, se t  0
Sabemos que D  R . Qual a imagem dessa função quando:
73
(a) t  2 ?
Resposta Para responder basta aproximar t de ambos ao lados de 2. Nesse caso
lim H t   1 uma vez que para todo t  0 a imagem função vale 1, particularmente
t 2
próxima de 2;
(b) t  4 ? Resposta lim H t   0 , sem dificuldade.
t  4
(c) t  0 ? Observe que essa função quanto t aproxima de 0, antes do 0 é igual a 0 mas,
quando aproxima o t pelos valores depois do 0 é igual a 1.
lim H t   0 ou 1 ?????
t 0
Como lim H t   0  1  lim H t  a função Heaviside não tem limite t  0 .
t 0
t 0
Exemplo 33. Calcular lim f x onde:
x  1
1  x, se x  1
f x    2
x , se x  1
Resposta: Domínio dessa função é D  R . Esta função possui limite nos pontos x  R   1.
Vamos calcular lim f x .
x  1
Calculando os limites laterais quando x   1 temos:
  
lim 1  x   1   1  1  1  2 
x 1
e
 
lim  1
x 1
2
 1 .
Como
 
lim1 f x  lim  1  x   2   1  lim1 x 2  lim1 f x
x  1
x  1
x  1
x  1
Não existe limite lim f x  porém f  1   1  1.
2
x  1
Exemplo 34. Calcular lim g x sendo:
x 1
1  x, se x  1

g x   3, se x  1
 x 2 , se x  1

Resposta: Calculando os limites laterais temos:
74
  
lim 1  x   1   1  1  1  2 
x  1
e
   
lim  x 2   1
x  1
2
 1 .
 
Como lim1 g x   lim1 1  x   2   1  lim1 g x   lim1 x 2
x  1
x  1
x  1
x  1
Esta função também não tem lim g x . Porém, tem g  1  3 .
x  1
Veja os gráficos dos exemplos 33 e 34 na figura 35.
Figura 35. As funções diferem apenas no ponto x  1 .
Exercícios:
1) Seja:
 x  2,

f x    x 2 ,
1  x,

Calcule: (a) lim f x  ;
x  1
(b) lim f x  ;
x  1
se x  1
se  1  x  1
se  1  x
(c) lim f x ; (d) lim f x  .
x 0
x 2
2) Função maior inteiro (ou função escada) f x   [x] mostrada na pág 43 de notas de aula.
Calcule: (a) lim f x  ;
x  1
(b) lim f x 
x  1
(c) lim f x ,
x 
(d) lim f x .
x 0
 
Exemplo 35. Mostre que lim x 3  8 , usando definição do limite.
x 2
 
Por definição lim x 3  8 significa que, dado   0 , existe   0 tal que
x 2
se x  2   então x3  8   .
(69)
75
Resposta: Para ter (69) começaremos com a diferença das imagens e, usando artifício
algébrico “fazer aparecer” a diferença x  2 na expressão. Lembrando a divisão do
polinômio por monômio:
x3  8
x2
x 2  2 x  4  x  2
 x 3  2x 2
2
0  2x 2  8
 2x 2  4x
4x  8
 4x  8
0
ou seja x 3  8  x  2x  2 . Então termos:
2
x3  8  x  2x  2  x  2 x  2
2
2
(70)
Queremos x  2   porém, como x  2 podemos afirmar que :
x2 1
(71)
Observação: Na Desigualdade Triangular (pág. 15 de notas de aula) para qualquer a, b  R ,
vale
a b  a  b
(72)
substituindo a     e b   onde  ,   R obtemos
       (2ª Desigualdade Triangular)
(73)
Em (73) substituindo   x e   2 obtemos:
x  2  x2
74
(74)
71
Usando (71) em (74) temos x  2  x  2  1 , isto é x  2  1 . Passando 2 para segundo
membro:
x 3
(75)
A expressão x  2 de (70) usando Desigualdade Triângular (72) obtemos
x2  x 2
(76)
Usando (75) em (76) resulta:
x  2  x  2  33  5
(77)
Finalmente na expressão (70) substituindo (77):
76
x 3  8  25 x  2
Queremos ter
(78)
x 3 8   , de modo que em (78) basta impor a condição

25
x 3  8  25 x  2    x  2 
impor
(79)
De (71) e de (79) o valor procurado para  , como tem dois valores, deve escolher o menor
deles, e denotamos:
 
  min 1 , 
 25 
(80)
Como   0 é um dado conhecido, se:
 0,5 
(a) Se   0,5 então   min 1,   min 1, 0,02   0,02 .
 25 
 0,1
(b) Se   0,1 então   min 1,   min 1, 0,004   0,004 .
 25 
 0,01
(c) Se   0,01 então   min 1,
  min 1, 0,0004   0,0004
 25 
.
 
Significa que para provar lim x 3  8 , atribuindo valores para   0 você determina valor para
x 2
  0 . Faça como exercício lim x 3   1 , lim x 3   1 ,
x 1
x  1
 
lim x 3  0 . Você precisa usar as
x 0
desigualdades triangulares, e o fato de x a e usar (71). Mão precisa ser 1, porém é de
certeza que quando um número está próximo do outro número a distância é menor que 1.
O que foi feito acima, você faz para qualquer outra função.
 
Exemplo 36. Mostrar que lim x 2  a 2 .
x a
No exemplo 35 vimos para x  2 . Aqui vamos fazer o x  a a  D f  R .
Resposta: Começamos sempre com a diferença das imagens e reescrevendo essa expressão
que tenha x  a  .para usar desigualdade triangular. Temos:
x2  a 2
produto notável

x  ax  a 
xa xa
(81)
Como x  a podemos afirmar sempre que :
x a 1
(82)
82
Usando 2ª Desigualdade Triangular temos x  a  x  a  1 , isto é:
x  1 a
(83)
77
E, usando desigualdade triangular em x  a e de (83) temos:
x  a  x  a  1  a   a  1  2 a
(84)
Assim, (84) em (81) resulta:
x2  a 2  x  a x  a  x  a 1  2 a    1  2 a 
(85)
Para ter x2  a 2   , basta escolher
   1 2 a 
(86)

 
  min 1,

 1  2 a 
(87)
Como  é dado, basta escolher
A figura 36 abaixo mostrar interpretação geométrica da definição do limite.
Figura 36. Interpretação geométrica do limite.
Para cada   0 escolhido você pode determinar   0 em que intervalo do domínio deve
trabalhar para satisfazer a condição desejada, isto é f x  L   .
78