Física II Beatriz Domingues Lodi Jéssica Pereira Heloísa

Física II
Beatriz Domingues Lodi
Jéssica Pereira
Heloísa Caes Lahr
Questão 55: Velocidade de Escape
Mostrar que entre a velocidade de escape de um planeta Ve, e a velocidade de um satélite em
órbita circular quase na superfície do planeta, Vc, há a relação Ve = √ Vc.
Resolução:
Para resolver a questão proposta é necessário que saibamos que a energia total de um satélite
em órbita circular em torno de um planeta é igual a metade da respectiva energia potencial.
Esse fato é facilmente mostrado quando se segue o seguinte raciocínio: Como a energia do
satélite em questão é igual a soma entre as energias potencial gravitacional e cinética e
sabendo que a última depende da velocidade do mesmo que pode ser determinada através da
combinação entre a força gravitacional e centrípeta que provoca a órbita circular.
Admitindo que a massa do planeta é muito maior do que a do satélite temos uma situação
onde o centro de massa do sistema é o centro do planeta.
A energia potencial (U) do satélite levando em conta a distância r como sendo a distância do
mesmo até o centro do planeta, é evidenciada pela fórmula:
(1)
Mp = massa do planeta
m = massa do satélite
Já a energia cinética (K) levando em consideração a massa do satélite e sua velocidade é da
forma:
(2)
Pela terceira lei de Newton sabemos que:
(aceleração centrípeta)
Logo
(3)
Porém a força atuante no sistema é a gravitacional dada pela seguinte fórmula:
(4)
Agora igualando (3) a (4) obtemos:
Substituindo (
) na fórmula da energia cinética chegamos que:
A energia total do sistema é dada por E = K+U podendo ser escrita em função de r e
comparada com a energia U determinada pela equação (1):
(
(
)
)
Para que um corpo escape do campo gravitacional de um planeta sua energia total E deve ser
maior ou igual a zero, como a energia mínima é zero então usaremos esse valor:
Ve = Velocidade de escape
Usando esse resultado para o problema em questão temos que:
(
)


Com esses dados chegamos a conclusão pedida no exercício através de uma substituição de
fórmulas:
(
)
√