Aula: Fatorial e binomial BINOMIAIS E TRIÂNGULO DE PASCAL Professora: Adriana Massucci Fatorial e binomial Fatorial de um número inteiro e não negativo n se define como sendo a expressão: n! = n(n – 1) . (n – 2) . (n – 3) . (n – 4) ... 2 . 1 Indicação: n! (n fatorial) Exemplos: a) 2! = 2 . 1 = 2 b) 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 c) 8! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40.320 Observações: Definimos: 0! = 1 e 1! = 1 Convém notar que: 7! = 7 . 6! 9! = 9 . 8 . 7! n! = n . (n – 1)! (n + 1)! = (n + 1) . n! (n – 2)! = (n – 2) . (n – 3)! Podemos desenvolver o fatorial até que ele se torne conveniente para resolvermos um exercício. Exemplos: 1) Simplifique as expressões: 7! 7.6.5! 𝑎) = = 42 5! 5! 𝑛! 𝑛. 𝑛 − 1 . 𝑛 − 2 ! 𝑏) = = 𝑛. (𝑛 − 1) 𝑛−2 ! 𝑛−2 ! 𝑛! − 𝑛 + 1 ! 𝑛. 𝑛 − 1 ! − 𝑛 + 1 . 𝑛. 𝑛 − 1 ! 𝑐) = 𝑛−1 ! 𝑛−1 ! 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑚 𝑓𝑎𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚𝑢𝑚 𝑛 𝑛 − 1 ! − 𝑛 + 1 . 𝑛. 𝑛 − 1 ! 𝑂𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑒 𝑞𝑢𝑒: 𝑛−1 ! 𝑛 𝑛 − 1 !. 1 − (𝑛 + 1) 𝐸𝑛𝑡ã𝑜: = 𝑛. −𝑛 = −𝑛2 𝑛−1 ! Equações: Resolva as equações: 𝑎) 𝑛! = 24 Solução: 𝑛! = 4! 𝑛=4 𝑉= 4 ∎𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎𝑚𝑜𝑠: 24! 𝑒𝑚 4! Ainda em equações... 𝑏) 𝑛 − 1 ! = 10. 𝑛 − 2 ! Solução: 𝑛 − 1 . 𝑛 − 2 ! = 10 𝑛 − 2 ! 𝑛 − 1 = 10 𝑛 = 11 𝑉 = 11 Números binomiais Número binomial é todo número na forma: 𝑛! 𝑛 𝑝 = 𝑝! 𝑛 − 𝑝 ! 𝑠𝑒𝑛𝑑𝑜: 𝑛, 𝑝 ∈ 𝑁 𝑒 0 ≤ 𝑝 ≤ 𝑛) Obs.: n é o numerador do binomial e p é o denominador. 7! 7! 7.6.5.4! 7 Exemplo: = = = = 7.5 = 35 3! 7−3 ! 3!.4! 3.2.1.4! 3 Binomais importantes: 𝑛 𝑛! 𝑛! 1 = = = =1 0!.(𝑛−0)! 0!.𝑛! 1 0 𝑛 = 𝑛!. 𝑛 𝑛! 𝑛−𝑛 ! 𝑛 = 1!. 1 𝑛! 𝑛−1 ! = 𝑛! 𝑛!0! = 𝑛.(𝑛−1)! 1! 𝑛−1 ! 5 Exemplos: =1 0 =1 = 𝑛 1 =𝑛 7 =7 1 8 =1 8 Binomiais consecutivos: Dois binomiais são consecutivos se têm o mesmo numerador e denominadores consecutivos. Ou seja: 𝑛 𝑛 e ⇒ 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑒𝑐𝑢𝑡𝑖𝑣𝑜𝑠 𝑝 𝑝+1 Exemplos: 7 2 𝑒 7 3 𝑜𝑢 8 1 𝑒 8 2 . Propriedades: Relação de Stifel: a soma de dois binomiais consecutivos resulta num binomial cujo numerador é uma unidade maior que o numerador dos binomiais somados, e cujo denominador é o maior dos denominadores envolvidos na soma. 𝑛 𝑛 𝑛+1 + = 𝑝 𝑝+1 𝑝+1 Exemplo: 8 4 + 8 5 = 9 5 Ainda em propriedades... Igualdade: dois binomiais são iguais quando: 𝑛 𝑛 5 5 o São “exatamente” iguais: 𝑝 = 𝑝 . Ex: 3 e 3 o São complementares: Dois binomiais de mesmo numerador são complementares se a soma de seus denominadores resulta o numerador. Ex: 72 e 75 . Pois: 7 7! 𝟕! 7 7! 𝟕! = = 𝑒 = = 2 2!. 7 − 2 ! 𝟐!. 𝟓! 5 5!. 7 − 5 ! 𝟓!. 𝟐! Exercícios: 1. Simplifique a expressão: 15 15 16 17 + + + 4 5 6 7 16 16 17 + + 5 6 7 17 17 + 6 7 18 7 2. Calcule x nas equações: 10 9 9 𝑎) = + 𝑥 2 3 10 10 11 𝑏) + = 5 𝑥 6 R: a) x = 3 ou x = 7 b) x = 6 Triângulo de Pascal Quando expomos os 𝑛 binomiais em 𝑝 linhas e colunas, de modo que os de mesmo numerador fiquem em uma mesma linha e os de mesmo denominador fiquem em uma mesma coluna, estamos construindo o triângulo de Pascal: Analisando os valores dos binomiais no△: Substituindo-se cada elemento do triângulo pelo seu resultado, o triângulo fica assim: Propriedades do △: 𝑛 O primeiro elemento de cada linha é na forma 0 , logo é igual a 1; 𝑛 O último elemento de cada linha é na forma 𝑛 , logo é igual a 1; Em uma linha binomiais equidistantes são iguais: 5 5 5 5 5 5 0 1 2 3 4 5 ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ ↓ 1 5 10 10 5 1 Ainda em propriedades do △... A soma de dois elementos consecutivos de uma mesma linha é igual ao elemento situado imediatamente abaixo do segundo elemento somado (relação de Stifel). Teoremas... Teorema das Linhas: a soma de todos os elementos de uma mesma linha do triângulo de Pascal é igual a 2𝑛 , onde n corresponde a linha do triângulo. (linha 0, linha 1 e assim por diante). Teorema das colunas: a soma dos elementos de uma mesma coluna do triângulo de Pascal, iniciando-se com o 𝑛𝑛 , é igual ao elemento situado na linha imediatamente abaixo e na coluna imediatamente à direita do último elemento somado. Teorema das Diagonais: a soma dos elementos de uma mesma diagonal do triângulo de Pascal, iniciando-se com o 𝑛 é igual ao elemento 0 situado na mesma coluna e na linha imediatamente abaixo do último elemento somado. Números binomiais Fonte: http://produvasf.webs.com/Mat_em/BINOMIO_D E_NEWTON.pdf http://www.cci401.com.br/Util/HandlerArquivoBibl ioteca.ashx?arq=129