Aula 04

CÁLCULO I
Prof. Edilson Neri Júnior | Prof. André Almeida
Aula no 04: Limites, Propriedades de Limites, Limtes Laterais
Objetivos da Aula
• Definir limite de funções;
• Calcular o limite de uma função;
• Utilizar as propriedades operatórias do limite para calcular o limite de uma função;
• Definir Limites laterais e utilizá-los para discutir a existência de um determinado limite.
1
Velocidade Instantânea
Considere o seguinte problema:
Exemplo 1. Uma bola é solta a partir do ponto de observação no alto da Torre CN, em Toronto, 450m
acima do solo. Desprezando a resistência do ar, encontre a velocidade da bola após 5 segundos.
Solução: De acordo com a Lei de Galileu, temos que a posição da bola s(t), medida em metros, e em
função do tempo t, medido em segundos, é dado pela equação:
s(t) = 4, 9t2
A dificuldade encontrada em determinar a velocidade após 5 segundos, está em tratarmos de um único
instante, t = 5, e não de um intervalo de tempo. Com isso, tentaremos aproximar a quantidade desejada
pelas velocidades médias calculados em intervalos de tempo cada vez menores e iniciando em t = 5.
Dessa forma, fazendo alguns cálculos, obtemos a seguinte tabela:
Intervalo de Tempo(t) Velocidade Média(m/s)
5≤t≤6
53, 9
5 ≤ t ≤ 5, 1
49, 49
5 ≤ t ≤ 5, 05
49, 245
5 ≤ t ≤ 5, 01
49, 049
5 ≤ t ≤ 5, 001
49, 0049
E a partir desses dados, conseguimos notar que sempre que os intervalos de tempo iniciam em t = 5 e
ficam cada vez menores, as velocidades médias se aproximam de velocidade 49m/s. Então, esperamos que
exatamente em t = 5 segundos, a velocidade seja cerca de 49m/s. Dito isto, definimos a velocidade
instantânea no instante t0 , como sendo a velocidade para a qual as velocidades médias se aproximam,
sendo essas calculadas em intervalos de tempo cada vez menores, começando em t0 . No caso do nosso
exemplo, a velocidade instantânea da bola, no instante t = 5, é de 49m/s.
Dizer que tomamos intervalos de tempo cada vez menores e próximos de um instante t0 , pode ser
escrito como t → t0 (Lê-se: t tende a t0 ). Na próxima seção, utilizaremos as noções discutidas aqui para
determinar o limite de uma função.
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Limite de Uma Função
Conforme visto na seção anterior, podemos conjecturar sobre o valor da velocidade instantânea de um
objeto, verificando para qual valor as velocidades médias tendem em intervalos de tempo cada vez menores.
Podemos também aplicar esse raciocínio para encontrar um número real L para o qual uma função f (x) se
aproxima, quando x tende a um número a.
Dito isso, vamos considerar o seguinte exemplo:
Exemplo 2. Analise o comportamento da função f (x) = x2 − 5x + 6 quando x se aproxima de 1.
Utilizando as seguintes tabelas
x
f (x)
0, 5
3, 75
0, 75
2, 81
0, 9
2, 31
0, 99
2, 0301
0, 998
2, 006004
0, 99999 2, 0000300001
x
f (x)
1, 1
1, 71
1, 01
1, 9701
1, 005
1, 985025
1, 00001
1, 9999700001
1, 000005
1, 999985
1, 00000001 1, 99999997
podemos observar que sempre que x se aproxima de 1, f (x) assume valores muito próximos de 2. Dessa
forma podemos utilizar a notação de limite e escrever
lim (x2 − 5x + 6) = 2
x→1
Desse modo, podemos determinar uma definição intuitiva de limite, como segue:
Definição 1 (Definição Intuitiva de Limite). Suponha que f (x) esteja definido quando está próximo de
a (Isso significa que f está definido em algum intervalo aberto que contenha a, exceto possivelmente no
próprio a). Então escrevemos:
lim f (x) = L
x→a
e dizemos
”o limite de f (x) quando x tende a a é L”
se pudermos tornar os valores de f (x) arbitrariamente próximos de L (tão próximos de L quanto quisermos),
tornando x suficientemente próximo de a (por ambos os lados de a), mas não igual a a.
Podemos utilizar a notação
f (x) → L se x → a
para representar que L = lim f (x).
x→a
Um fato importante a ser destacado na definição é a frase: x está próximo de a, mas não igual a
a, pois f nem sequer precisa estar definida em a para que se tenha o limite L, pois o que importa é o
comportamento de f próximo ao ponto a. As figuras abaixo, ilustram esse fato.
Figura 1: A função f está definida em a e f (a) = L
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Figura 2: A função f está definida em a, mas f (a) 6= L
Figura 3: A função f não está definida em a
Vamos utilizar a definição 1 para determinar os limites dados nos seguinte exemplos.
x−1
.
x→1 x2 − 1
Exemplo 3. Estime o valor de lim
x−1
não está definida em x = 1. Então, como fizemos antes,
x2 − 1
vamos considerar pontos próximos de 1. E assim, obtemos as seguintes tabelas:
Solução: Observe que a função f (x) =
x<1
0, 5
0, 9
0, 99
0, 999
0, 9999
f (x)
0, 666667
0, 526316
0, 502513
0, 500250
0, 500025
x>1
1, 5
1, 1
1, 01
1, 001
1, 0001
f (x)
0, 400000
0, 476190
0, 497512
0, 499750
0, 499975
e, através dela podemos observar que
lim
x→1
1
x−1
=
x2 − 1
2
E esse fato pode ser confirmado pelo gráfico da função f .
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Figura 4: Gráfico da função f (x) =
x−1
x2 − 1
senx
Exemplo 4. Faça uma estimativa para lim
.
x→0 x
senx
Solução: Primeiramente, note que f (x) =
é par, pois
x
f (−x) =
sen(−x)
−senx
senx
=
=
= f (x)
−x
−x
x
Logo, utilizando o fato de f (x) ser par, construimos a seguinte tabela:
x
±1, 0
±0, 5
±0, 4
±0, 3
±0, 2
±0, 1
±0, 05
±0, 01
±0, 005
±0, 001
f (x)
0, 84147098
0, 95885108
0, 97354586
0, 98506736
0, 99334665
0, 99833417
0, 99958339
0, 99998333
0, 99999583
0, 99999983
Desse modo, podemos inferir que
senx
=1
x
E essa afirmação pode ser vista pelo gráfico de f
lim
x→0
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Figura 5: Gráfico da função f (x) =
Exemplo 5. Analise lim sen
x→0
π x
Solução: Note que f (x) = sen
utilizamos a seguinte tabela
senx
x
.
π x
não está definida em x = 0. Então, procedendo como anteriormente,
x
f (x)
1
0
0, 5
0
0, 25
0
0, 2
0
0, 1
0
0, 01
0
0, 001
0
0, 0001
0
0, 0000001
0
0, 00000000000000001
0
π Dessa forma, somos levados a acreditar que lim sen
= 0. Mas isso não é verdade, pois observando a
x→0
x
tabela a seguir:
x
f (x)
2/101
1
2/105
1
2/109
1
2/113
1
2/117
1
2/121
1
2/125
1
2/129
1
2/133
1
2/137
1
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x
f (x)
2/103 −1
2/107 −1
2/111 −1
2/115 −1
2/119 −1
2/123 −1
2/127 −1
2/131 −1
2/135 −1
2/139 −1
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A nossa conjectura de que
lim sen
π =0
x
não é verdade, pois encontramos até infinitos ponto próximos de 0 cujas imagens não se aproximam de 0.
Pensando nisso, devemos encontrar uma definição mais precisa de limite de uma função. Sendo assim,
considere o seguinte exemplo:
x→0
Exemplo 6. Seja
f (x) =
2x − 1 se x 6= 3
6
se x = 3
Determine lim f (x).
x→3
Solução: Para deteminarmos o limite pedido, notamos intuitivamente que se tomarmos x próximo de 3, mas
x 6= 3, temos que lim f (x) = 5. Porém, buscamos um modo de verificar que essa afirmação é verdadeira
x→3
sem recorrer ao uso de tabelas. Sendo assim devemos tornar mais precisas as frases x suficientemente
próximo de a e f (x) arbitrariamente próximo de L contidas na definição 1.
Sendo assim,devemos nos fazer a seguinte pergunta:
” Quão próximo de a, x dever estar para que f (x) difira de L por menos uma quantidade
pré-fixada?”
Ou utilizando o nosso exemplo,
”Quão próximo de 3, x dever estar para que f (x) difira de 5 por menos uma quantidade
pré-fixada?”
Essa quantidade pré-fixada será representada pela letra grega ε (épsilon).
Quando falamos de proximidade de dois números, falamos de distância entre eles, que é justamente o
módulo da diferença entre os mesmos, ou seja, nossa indagação pode ser reescrita como o seguinte problema:
É possível encontrar um número δ > 0 tal que
0 < |x − a| < δ garanta que |f (x) − L| < ε
para todo ε > 0
Ou para o nosso exemplo:
É possível encontrar um número δ > 0 tal que
0 < |x − 3| < δ garanta que |f (x) − 5| < ε
para todo ε > 0
A partir desse momento, vamos analisar o exemplo dado. Suponha que ε = 0, 1. Ou seja nosso
questionamento agora é: encontrar δ > 0 tal que
0 < |x − 3| < δ ⇒ |f (x) − 5| < 0, 1
Para encontrar esse δ > 0, podemos utilizar o seguinte procedimento:
(i) Conjecturar sobre o valor de δ > 0;
(ii) Verificar se o o valor de δ encontrado no passo anterior é válido.
Agora, vamos utilizar esse procedimento no nosso exemplo.
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(i) Conjecturar sobre o valor de δ. Vamos imaginar que existe δ > 0 tal que se tomarmos x 6= 3, mas
a uma distância δ de 3, obtemos que
|f (x) − 5| < 0, 1
Desse modo,
|(2x − 1) − 5| < 0, 1 ⇒ |2x − 6| < 0, 1
⇒ |2(x − 3)| < 0, 1
⇒ |2|.|x − 3| < 0, 1
⇒ 2|x − 3| < 0, 1
⇒ |x − 3| < 0, 05
Agora, note que para que |f (x) − 5| < 0, 1, um candidato a δ é 0, 05.
(ii) Verificar se o δ encontrado é válido. Para isso, fazemos 0 < |x − 3| < 0, 05, e obtemos pelas
propriedades de módulo e das desigualdades que
0 < |x − 3| < 0, 05 ⇒ −0, 05 < x − 3 < 0, 05
⇒ −0, 1 < 2(x − 3) < 0, 1
⇒ −0, 1 < (2x − 1) − 5 < 0, 1
⇒ |(2x − 1) − 5| < 0, 1.
Mas se tomarmos ε = 0, 01? Procedemos a mesma forma e obtemos δ = 0, 005. E se ε = 0, 0001?
Utilizamos o mesmo procedimento e garantimos que δ = 0, 0005. Então,e se considerarmos qualquer ε > 0,
qual o valor de δ? Utilizando o mesmo procedimento anterior, temos:
(i) Conjecturar sobre o valor de δ. Considere que existe δ > 0 tal que se tomarmos 0 < |x − 3| < δ,
obtemos que |f (x) − 5| < ε. Dessa forma,
|(2x − 1) − 5| < ε ⇒ |2x − 6| < ε
⇒ |2|.|x − 3| < ε
ε
⇒ |x − 3| <
2
Então
ε
é um candidato a δ.
2
ε
(ii) Verificar se o valor de δ é válido. Tomando δ = , obtemos que 0 < |x − 3| < 2ε . Logo,
2
ε
ε
ε
0 < |x − 3| <
⇒ − <x−3<
2
2
2
⇒ −ε < 2x − 6 < ε
⇒ |(2x − 1) − 5| < ε
Desse modo, podemos definir limite mais precisamente através da seguinte definição:
Definição 2 (Limite de Uma Função). Seja f uma função definida em um intervalo aberto que contenha
o número a, exceto possivelmente no próprio a. Então, dizemos que o limite de f quando x tende a a
é L e escrevemos
lim f (x) = L
x→a
se para todo número ε > 0 existe um número δ > 0 tal que
Se 0 < |x − a| < δ então |f (x) − L| < ε
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Podemos também reformular a definição 2 em notação de intervalos, pois
0 < |x − a| < δ ⇔ −δ < x − a < δ ⇔ a − δ < x < a + δ
Mostrando que x pertence ao intervalo aberto (a − δ, a + δ). E
|f (x) − L| < ε ⇔ −ε < f (x) − L < ε ⇔ L − ε < f (x) < L + ε
Mostrando que f (x) pertence ao intervalo aberto (L − ε, L + ε). E assim, lim f (x) = L significa que
x→a
para todo ε > 0 podemos encontrar δ > 0 tal que se x ∈ (a − δ, a + δ) então f (x) ∈ (L − ε, L + ε).
Uma interpretação geométrica do limite de uma função é dada em termos do seu gráfico. Para isso,
considere o seguinte gráfico de uma função f , tal que lim f (x) = L.
x→a
Figura 6: Representação Geométrica do Limite (1)
Agora, representaremos o limite L por uma reta tracejada paralela ao eixo x.
Figura 7: Representação Geométrica do Limite(2)
Sendo assim, considerando ε1 > 0, representamos o intervalo (L − ε1 , L + ε1 ), e desenhamos uma faixa
de amplitude ε1 e que contenha a reta que representa L
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Figura 8: Representação Geométrica do Limite(3)
Feito isso, podemos determinar um intervalo (a − δ1 , a + δ1 ), com δ1 > 0, no domínio tal que o gráfico
da função f nos pontos desse intervalo fica totalmente contido na faixa y = L − ε1 a y = L + ε1 .
Figura 9: Representação Geométrica do Limite(4)
Note que se tomarmos ε2 > 0, menor que ε1 , estamos encurtando a faixa que contém L, mas mesmo
assim, conseguimos achar outro δ2 tal que o ocorrido no passo anterior aconteça novamente.
Figura 10: Representação Geométrica do Limite(5)
Se isso sempre ocorrer, ou seja, se toda vez que determinarmos um ε > 0 (faixa em torno de L),
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conseguirmos encontrar pelo menos um δ > 0 (faixa em torno de a), tal que as imagens dos pontos da faixa
(a − δ, a + δ) pela função f , estão sempre contidas na faixa (L − ε, L + ε), então lim f (x) = L.
x→a
Sendo assim, vamos a alguns exemplos:
Exemplo 7. Vamos mostrar que lim c = c (O Limite da função constante é a própria constante).
x→a
Solução: Vamos utilizar o procedimento.
(i) Conjecturar sobre o valor de δ. Suponha que existe δ > 0 tal que se 0 < |x − a| < δ então
|f (x) − c| < ε. Mas note que
|f (x) − c| = |c − c| = 0 < ε
Logo, δ pode ser qualquer valor positivo. A verificação é imediata.
Exemplo 8. Vamos mostrar que lim x = a.
x→a
Solução: Mais uma vez, fazendo uso do procedimento, temos que
(i) Conjecturar sobre o valor de δ. Suponha que existe δ tal que se 0 < |x−a| < δ então |f (x)−a| < ε.
Sendo assim,
|f (x) − a| < ε ⇔ |x − a| < ε
Assim, ε é um candidato a δ.
(ii) Verificar se o Valor de δ é válido. Se δ = ε, então 0 < |x − a| < ε. Logo,
0 < |x − a| < ε ⇒ −ε < x − a < ε
⇒ −ε < f (x) − a < ε
⇒ |f (x) − a| < ε
Exemplo 9. Prove que lim (4x − 5) = 3
x→2
Solução:
(i) Conjecturar sobre o valor de δ. Queremos determinar δ > 0 tal que se 0 < |x − 2| < δ então
|f (x) − 5| < ε, para todo ε > 0. Porém, note que
|f (x) − 3| = |(4x − 5) − 3| = |4x − 8| = |4(x − 2)| = 4|x − 2| < ε ⇒ |x − 2| <
Logo,
ε
4
ε
é um candidato a δ.
4
ε
(ii) Verificar se o valor de δ é válido. Se tomarmos δ = , então
4
ε
ε
ε
0 < |x − 2| <
⇒ − <x−2<
4
4
4
⇒ −ε < 4x − 8 < ε
⇒ |(4x − 5) − 3| < ε
Exemplo 10. Verifique que lim x2 = 9.
x→3
Solução:
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(i) Conjecturar sobre o valor de δ. Vamos determinar o valor de δ > 0 tal que se 0 < |x − 3| < δ
então |f (x) − 9| < ε. Logo, notamos que
|f (x) − 9| = |x2 − 9| = |(x − 3)(x + 3)| = |x − 3||x + 3|
Agora, queremos estimar |x + 3|, ou seja, encontrar uma constante C > 0 tal que |x + 3| < C, pois
assim,
|x + 3||x − 3| < C|x − 3|
E assim, podemos fazer
C|x − 3| < ε ⇒ |x − 3| <
ε
=δ
C
Como queremos números x bem próximos de 3, não é absurdo supor que
|x − 3| < 1
(1)
|x − 3| < 1 ⇒ −1 < x − 3 < 1 ⇒ 2 < x < 4
(2)
Então,
Utilizando as propriedades das desigualdades em (2) temos que
5 < x + 3 < 7 ⇒ −7 < 5 < x + 3 < 7 ⇒ −7 < x + 3 < 7 ⇒ |x + 3| < 7
(3)
Logo a constante procurada é C = 7. Mas observe que agora temos duas restrições para δ.
|x − 3| < 1 e |x − 3| <
ε
7
n εo
como candidato a δ.
Então escolheremos min 1,
7
n εo
(ii) Verificar se o valor de δ é válido. Seja δ = min 1,
e que 0 < |x − 3| < δ. Note que
7
|f (x) − 9| = |x2 − 9| = |x + 3||x − 3| < 7δ
Agora, se δ =
ε
então,
7
ε
|f (x) − 9| = |x2 − 9| = |x + 3||x − 3| < 7δ = 7 = ε
7
ε
Se δ = 1, então 1 < . Logo,
7
ε
|f (x) − 9| = |x2 − 9| = |x + 3||x − 3| < 7δ = 7.1 < 7 = ε
7
Em todos os casos, obtemos que |f (x) − 9| < ε
Note que para a função quadrática, mostrar um limite pela definição apresenta certa dificuldade, imagine
se tivermos a função:
x3 − 4x7 + 6x11
f (x) = √
x4 − x2 + 1
Por isso, na próxima seção utilizaremos alguns resultados que nos permite calcular o limite de outras
funções utilizando apenas as funções elementares.
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Propriedades de Limites
Teorema 1. Supondo c uma constante e que os limites
lim f (x) e lim g(x)
x→a
x→a
existem, então:
1. lim [f (x) + g(x)] = lim f (x) + lim g(x) (O limite da soma é a soma dos limites);
x→a
x→a
x→a
2. lim [f (x) − g(x)] = lim f (x) − lim g(x) (O limite da diferença é a diferença dos limites);
x→a
x→a
x→a
3. lim [cf (x)] = c lim f (x) (O limite do produto por uma constante é a constante vez o limite da
x→a
x→a
função);
4. lim [f (x).g(x)] = lim f (x) · lim g(x) (O limite do produto é o produto dos limites);
x→a
x→a
x→a
lim f (x)
f (x)
= x→a
(O limite do quiciente é o quociente dos
x→a g(x)
lim g(x)
5. Se g(x) 6= 0 e lim g(x) 6= 0 então lim
x→a
x→a
limites).
Vamos analisar alguns exemplos:
Exemplo 11. Verifique que lim x2 = a2 , para qualquer a ∈ R.
x→a
Solução:
Sabemos pelo exemplo 8 que lim x = a. Logo, tomando f (x) = x e g(x) = x, segue da
x→a
propriedade (4) que
lim x2 = lim x.x = lim x. lim x = a.a = a2
x→a
x→a
x→a
x→a
Exemplo 12. Verifique que lim (−3x2 + 2x + 10) = 2.
x→2
Solução: Sabemos que
lim x2 = 22 = 4
x→2
lim x = 2
x→2
lim 10 = 10
x→2
Então, segue do teorema 1 que
lim (−3x2 + 2x + 10) =
lim (−3x2 ) + lim 2x + lim 10 (Propriedade 1)
x→2
x→2
2
= −3 lim x + 2 lim + lim 10 (Propriedade 3)
x→2
x→2
x→2
x→2
x→2
= −3.4 + 2.2 + 10
= 2
Mediante os dois últimos exemplos podemos enunciar o seguinte resultado.
Teorema 2. Seja f uma função polinomial dada por
f (x) = cn xn + cn−1 xn−1 + ... + c1 x + c0
Então
lim f (x) = cn an + cn−1 an−1 + ... + c1 a + c0
x→a
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O teorema acima pode ser provado utilizando o teorema 1. Em posse desse resultado, podemos resolver
o seguinte exemplo:
Exemplo 13. Calcule lim (x5 + 7x4 − 12x3 + 6x2 − 10x + 1).
x→−1
Pelo teorema 2, obtemos que
lim (x5 + 7x4 − 12x3 + 6x2 − 10x + 1) = (−1)5 + 7.(−1)4 − 12.(−1)3 + 6.(−1)2 − 10.(−1) + 1
x→−1
= −1 + 7 + 12 + 6 + 10 + 1
= 35
x2 − 1
.
x→−5 x2 + 1
Exemplo 14. Calcule lim
Solução: Note que g(x) = x2 + 2 6= 0 para todo x ∈ Dg . Observe também que
lim x2 − 1 = (−5)2 − 1 = 25 − 1 = 24
x→−5
E que,
lim x2 + 2 = (−5)2 + 2 = 25 + 2 = 27 6= 0
x→−5
Então, pela propriedade (5), obtemos que
lim x2 − 1
x2 − 1
24
8
x→−5
lim
=
=
=
2
x→−5 x2 + 1
27
9
lim x + 2
x→−5
A proposição seguinte será enunciada sem demonstração.
√
√
Proposição 1. lim n x = n x, para todo a > 0.
x→a
A ideia da sua demonstração será dada nas aulas seguintes. O próximo resultado será de grande utilidade
para nossos cálculos e reforça a ideia de que para existir o limite lim f (x), f não precisa estar definida em
x→a
a.
Teorema 3. Sejam f e g duas funções. Se existir δ > 0 tal que f (x) = g(x) para a − δ < x < a + δ,
x 6= a e se lim g(x) existir, então lim f (x) também existirá e
x→a
x→a
lim f (x) = lim g(x).
x→a
x→a
Exemplo 15. Calcule:
x2 − 1
;
x→1 x − 1
√
√
x− 3
(b) lim
;
x→3
x−3
√
√
3
x− 32
(c) lim
;
x→2
x−2
√
x−1
√ .
(d) lim √
x→1
2x + 3 − 5
(a) lim
Solução:
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Cálculo I
(a) Note que não podemos utilizar o teorema 1, pois
lim x − 1 = 0
x→1
Então vamos tentar utilizar o teorema 3. Desse modo, devemos encontrar uma função g(x) tal que
f (x) = g(x) em todo ponto próximo de 1, tal que lim g(x) exista. Notando pela definição da função
x→1
f (x), notamos que
x2 − 1
(x − 1)(x + 1)
=
x−1
x−1
Como consideramos pontos x próximos de 1, mas que x 6= 1, então temos que x − 1 6= 0. Dessa
forma, podemos fazer:
f (x) =
f (x) =
+ 1)
x2 − 1 (x
−1)(x
=
= x + 1 = g(x)
x−
1
x−1
Logo, considerando g(x) = x + 1, temos que f (x) = g(x) para todos os pontos próximos de 1, exceto
o 1. E sabemos que lim x + 1 = 2. Então, pelo teorema 3, temos que
x→1
lim f (x) = lim x + 1 = 2
x→1
x→1
Observação 1. Nos próximos exemplos, não detalharemos tanto as contas, porém, os detalhes omitidos são análogos aos do item (a).
(b) Nossa intenção é utilizar o teorema 3, pois
lim x − 3 = 0
x→3
Logo, para pontos x próximos de 3, mas x 6= 3, temos
√
√
√
√
x− 3
x− 3
√
= √
f (x) =
x−3
( x)2 − ( 3)2
√ √
x− 3
= √
√ √ √
( x + 3)
( x
− 3)
1
√
= √
x+ 3
Logo,
√
lim
x→3
√
x− 3
1
1
√ = √
= lim √
x→3
x−3
x+ 3
2 3
(c) Utilizaremos o teorema 3. Sendo assim,
√
√
√
√
3
3
x− 32
x− 32
√
lim
= lim √
x→2
x→2 ( 3 x)3 − ( 3 2)3
x−2
√
√
3
3
x−
2
= lim √ √
√
√
√
√
3
3
3
3
x→2 ( − 2)(( x)2 + x 3 2 + ( 3 2)2 ))
x
1
√
= lim √
√ √
x→2 ( 3 x)2 + 3 x 3 2 + ( 3 2)2
1
√
=
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Cálculo I
(d) Utilizando o teorema 3 e o teorema 1, obtemos que
√
√
√
√
√
( x − 1)( 2x + 3 + 5)
x− 1
√
√
lim √
= lim
√
x→1
x→1
2x + 3 − 5
( 2x + 3)2 − ( 5)2
√
√
√
( x − 1)( 2x + 3 + 5)
= lim
x→1
2x + 3 − 5
√
√
√
( x − 1)( 2x + 3 + 5)
= lim
x→1
2x − 2
√
√
√
( x − 1)( 2x + 3 + 5)
= lim
x→1
2(x − 1)
√
√
√
x−1
2x + 3 + 5
= lim
lim
x→1 x − 1 x→1
2
Agora, note que
√
√
x−1
lim
x→1 x − 1
x−1
√
lim √
x→1 ( x)2 − ( 1)2
√ x−1
= lim √ √
x→1 ( x − 1)( x + 1)
1
= lim √
x→1
x+1
1
=
2
=
E note também que
√
lim
x→1
2x + 3 +
2
Logo,
4
√
5
√
√
√
2.1 + 3 + 5
2 5 √
=
=
= 5
2
2
√
√
x− 1
5
√ =
lim √
x→1
2
2x + 3 − 5
√
Limites Laterais
Ao discutirmos a ideia intuitiva de limite na seção 2, fizemos questão de sempre exibirmos uma tabela de
valores tomando valores maiores que a (à direita de a) e menores que a (à esquerda de a). Essa preocupação
pode ser exemplificada no seguinte exemplo:
Exemplo 16. Considere a função de Heaviside, definida por
1 se t ≥ 0
H(t) =
0 se t < 0
Utilizando o gráfico da função H(t)
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Figura 11: Gráfico de Função de Heaviside
Considerar pontos x à direita de um número real a, significa que estamos nos aproximando de a por
valores maiores que ele. Sempre que fizermos isso, utilizaremos a notação x → a+ . Analogamente, se
considerarmos pontos x à esquerda de um número real a, siginifica que estamos nos aproximando de a por
números menores que ele, e isso será denotado por x → a− .
No caso da função de H(t), notamos que H(t) → 1 se x → 0+ e H(t) → 0 se x → 0− . Formalizando,
Definição 3. Dizemos que L é o limite à direita da função f (x) quando x → a+ e escrevemos
lim f (x) = L
x→a+
se para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que se 0 < x − a < δ então |f (x) − L| < ε.
Definição 4. Dizemos que L é o limite à esquerda da função f (x) quando x → a− e escrevemos
lim f (x) = L
x→a−
se para todo ε > 0, existe δ > 0 tal que se 0 < a − x < δ então |f (x) − L| < ε.
Então, pelo nosso exemplo, temos que lim H(t) = 1 e lim H(t) = 0. Como não existe um único
t→0−
t→0+
número real para o qual a função H(t) se aproxima quando t → 0, dizemos que lim H(t) não existe e esse
t→0
fato é enunciando no nosso próximo teorema, que compara a definição de limite com as definições de limite
à esquerda e à direita:
Teorema 4. lim f (x) = L se, e somente se lim f (x) = L = lim f (x)
x→a
x→a−
x→a+
Portanto, o teorema acima é um bom critério para sabermos se o limite de uma função existe ou não,
como podemos observar nos seguinte exemplos:
Exemplo 17. Calcule o valor de lim |x|, se existir.
x→0
Solução: Por definição, f (x) é dada por
f (x) =
x se x ≥ 0
x se x < 0
Observemos que f (x) = x se x → 0+ e f (x) = −x se x → 0− . Logo, calculando os limites laterais, temos
que
lim f (x) = lim x = 0
x→0+
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x→0+
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E
lim f (x) = lim −x = 0
x→0−
x→0+
Logo, pelo teorema 4, lim |x| = 0
x→0
Exemplo 18. Vamos verificar que o limite lim
x→0
|x|
não existe.
x
Note que
x
|x|
= lim
= lim 1 = 1
+
x
x→0 x
x→0+
|x|
−x
lim
= lim
= lim −1 = −1
−
−
x
x
x→0
x→0
x→0−
lim
x→0+
|x|
não existe.
x→0 x
Como lim f (x) 6= lim f (x) então, pelo teorema 3, temos que lim
x→0+
x→0−
Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as definições dadas.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas 78 − 107 do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios das páginas 79, 80, 88 − 91, 98 − 100 e 107 − 109 do livro texto.
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