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Autor: Alfredo Dimas Moreira Garcia.
E-mail: [email protected]
Resumo
A Teoria da Relatividade Especial conduz a dois resultados, considerados incompreensíveis por vários
renomados físicos, que são a dilatação do tempo e a denominada contração espacial de Lorentz. A solução
desses paradoxos me conduziu ao desenvolvimento da Relatividade Ondulatória onde a variação temporal
é devida à diferença nos percursos de propagação da luz e o espaço é constante entre os observadores.
Da análise do desenvolvimento da Relatividade Ondulatória podemos sintetizar as seguintes conclusões:
-é uma teoria com princípios totalmente físicos,
-as transformações são lineares,
-matem intactos os princípios Euclidianos,
-considera a transformação de Galileu distinta em cada referencial,
-une a velocidade da luz e o tempo em um único fenômeno,
-desenvolve uma translação real entre os referenciais.
A Relatividade Ondulatória (RO) fornece um conjunto de transformações entre dois referenciais em
movimento relativo uniforme, diferentes das obtidas com as transformações de Lorents, para: Espaço
r
r
r
r
(x,y,z), Tempo (t), Velocidade ( u ), Aceleração ( a ), Energia ( E ), Momento ( p ), Força ( F ), Campo elétrico
r
r
r
( E ), Campo magnético ( B ), Freqüência da luz ( y ), Corrente Elétrica ( J ) e Densidade de Carga Elétrica (
ρ ).
Tanto a Relatividade ondulatória quanto a Relatividade Especial de Albert Einstein explicam, a experiência
de Michel-Morley, o efeito Doppler longitudinal e transversal e fornecem fórmulas exatamente idênticas
para:
v
v2
/ 1− 2 .
c
c
c
1
Fórmula de Fresnel ⇒ c' = + v(1 − 2 ) .
n
n
Aberração do zênite
⇒ tangα =
u2
Massa ( m ) com velocidade ( u ) = [massa de repouso ( mo )]/ 1 − 2 .
c
2
Energia ⇒ E = m.c .
r
r
mo .u
Momento ⇒ p =
.
u2
1− 2
c
⇒ E = c. mo 2 .c 2 + p 2 .
r vr r
r
r
Relação entre os Campos Elétrico ( E ) e Magnético ( B ) ⇒ B = 2 × E .
c
r µ o .I r
Fórmula de Biot-Savart ⇒ B =
u
2πR
Relação entre Momento (p) e Energia (E)
Equação da onda de Louis De Broglie
  x 
c2
⇒ψ(x,t)=a.sen 2πγ t −  onde u = .
v
  u 
1/120
Com as equações de transformações entre dois referenciais da RO, obtêm-se a invariância de forma para
as equações de Maxwell, seguintes:
r ρ
r
⇒ divE = ; ⇒ divE = 0.
εο
r
⇒ divB = 0.
r
r −∂B
⇒ RotE =
.
∂t
r
r
r
r
r
∂E
∂E
⇒ RotB = µο . j + εο . µο .
; ⇒ RotB = εο . µο .
.
∂t
∂t
Obtêm-se inclusive a invariância de forma para a equação da onda e equação de continuidade sob forma
diferencial:
∂2
∂2
∂2
1 ∂2
+
+
−
=0
∂ x2 ∂ y2 ∂ z2 c2 ∂t 2
r
∂ρ
⇒
+ ∇. J = 0 .
∂t
⇒
Outros trabalhos:
§9 O Efeito Sagnac.
§10 A experiência de Ives-Stilwell.
§11 Transformação entre dois referenciais da potencia dos raios luminosos de uma fonte na Teoria da
Relatividade Especial.
§12 Linearidade.
§13 Richard C. Tolman.
§14 Composição de Velocidade.
§15 Invariância.
§16 Tempo e freqüência.
§17 Transformação de H. Lorentz
§18 A Experiência de Michelson & Morley
§19 Retrocesso do periélio de Mercúrio de –7,13”
§§19 Avanço do periélio de Mercúrio de 42,79”
§20 Inércia
§21 Avanço do Periélio de Mercúrio de 42,79” calculado com a Relatividade Ondulatória
§22 Deformação espacial
§23 Curvatura do Espaço e Tempo
§24 Princípio Variacional
2/120
Relatividade Ondulatória
§1 Transformações para Espaço e Tempo
A Relatividade Ondulatória (RO) mantém o princípio da relatividade (a) e o princípio da Constancia da
velocidade da luz (b), exatamente iguais a Teoria da Relatividade Especial (TRE), que Albert Einstein assim
definiu:
a) As leis segundo as quais se modificam os estados dos sistemas físicos são as mesmas, quer sejam
referidas a um determinado sistema de coordenadas, quer o sejam a qualquer outro que tenha movimento
de translação uniforme em relação ao primeiro.
b) Qualquer raio de luz move-se no sistema de coordenadas “em repouso” com velocidade determinada c,
que é a mesma, quer esse raio seja emitido por um corpo em repouso, quer o seja por um corpo em
movimento (que explica a experiência de Michel-Morley).
Imaginemos inicialmente dois observadores O e O’ (no vácuo), movendo-se um em relação ao outro em
movimento uniforme de translação, isto é, os observadores não giram relativamente um ao outro. Assim o
Observador O, solidário aos eixos x, y e z de um sistema de coordenadas Cartesianas retangulares, vê o
observador O’ mover-se com velocidade v, no sentido positivo do eixo x, com os respectivos eixos paralelos
e deslizando ao longo do eixo x, enquanto que O’, solidário aos eixos x’, y’ e z’ de um sistema de
coordenadas Cartesianas retangulares, vê O mover-se com velocidade –v’, no sentido negativo do eixo x’,
com os respectivos eixos paralelos e deslizando ao longo do eixo x’. O observador O mede o tempo t e o
observador O’ mede o tempo t’ (t ≠ t’). Admitamos que, ambos os observadores acertem seus relógios de
modo que, quando ocorrer à coincidência das origens dos sistemas de coordenadas t = t’ = zero.
No instante que t = t’ = 0, um raio de luz é projetado a partir da origem comum aos dois observadores.
Decorrido o intervalo de tempo t o observador O notará que seu raio de luz atingiu simultaneamente com o
de O’ o ponto A de coordenadas (x,y,z) com velocidade c e que a origem do sistema do observador O’
percorreu a distância v t ao longo do sentido positivo do eixo x , concluindo que:
2
2
2
2 2
x +y +z –c t =0
1.1
x’ = x – v t.
1.2
Semelhantemente, decorrido o intervalo de tempo t’ o observador O’ notará que seu raio de luz atingiu
simultaneamente com o de O o ponto A de coordenadas (x’,y’,z’) com velocidade c e que a origem do
sistema do observador O percorreu a distância v’ t’ ao longo do sentido negativo do eixo x’, concluindo que:
2
2
2
2
2
x’ + y’ + z’ – c t’ = 0
1.3
x = x’ + v’ t’.
1.4
Igualando 1.1 com 1.3 temos
2
2
2
2 2
2
2
2
2
2
x + y + z – c t = x’ + y’ + z’ – c t’ .
1.5
Devido à simetria y = y’ e z = z’, que simplificam 1.5 em
2
2 2
2
2
2
x – c t = x’ – c t’ .
1.6
Para o observador O x’ = x – v t (1.2) que aplicado em 1.6 fornece
2
2 2
2
2
2
x – c t = (x – v t) – c t’ de onde:
t' = t 1 +
v 2 2vx
−
.
c 2 c 2t
1.7
Para o observador O’ x = x’ + v’ t’ (1.4) que aplicado em 1.6 fornece
2
2 2
2
2
2
(x’ + v’ t’) – c t = x’ – c t’ de onde:
t = t' 1+
v ' 2 2v ' x '
+ 2 .
c2
c t'
1.8
3/120
Quadro I, transformações para o espaço e tempo
x’ = x – v t
1.2
x = x’ + v’ t’
y’ = y
1.2.1
y = y’
z’ = z
1.2.2
z = z’
t' = t 1 +
v 2 2vx
−
c 2 c 2t
1.7
t = t' 1+
v ' 2 2v ' x '
+ 2
c2
c t'
1.4
1.4.1
1.4.2
1.8
Do sistema de equações formado por 1.2 e 1.4 encontramos
v t = v’ t’ ou
v t = v' t ' (considerando t>o e t’>0)
1.9
o que demonstra a invariância do espaço na relatividade ondulatória.
Do sistema de equações formado por 1.7 e 1.8 encontramos
1+
v 2 2vx
v ' 2 2v ' x '
−
.
+
+ 2 = 1.
1
c 2 c 2t
c2
c t'
1.10
Se em 1.2 x’ = 0 então x = v t, que aplicadas em 1.10 fornece,
1−
v2
v' 2
.
+
= 1.
1
c2
c2
1.11
Se em 1.10 x = ct e x’ = c t’ então
v
v' 

 1 − . 1 +  = 1 .
c
c

1.12
Para o observador O, o principio da Constância da velocidade da luz, garante que as componentes ux, uy e
uz da velocidade da luz, também são constantes ao longo de seus eixos, por isso
x dx
y dy
z dz
=
= ux, =
= uy, =
= uz
t dt
t dt
t dt
1.13
e com isso podemos escrever
1+
v 2 2vx
v 2 2vux
−
=
1
+
− 2 .
c 2 c 2t
c2
c
1.14
Com a utilização de 1.7 e 1.9 e 1.14 podemos escrever
t'
v 2 2vx
v 2 2vux
= = 1+ 2 − 2 = 1+ 2 − 2 .
v' t
c
c t
c
c
v
1.15
Diferenciando 1.9 com v e v’ constantes, ou seja, somente o tempo variando temos
v dt = v' dt ' ou
v
v'
=
dt '
,
dt
1.16
v 2 2vux
v 2 2vux
= 1 + 2 − 2 então dt ' = dt 1 + 2 − 2 .
mas de 1.15
v'
c
c
c
c
v
Sendo v e v’ constantes as razões
de
1+
v
v'
e
1.17
t'
em 1.15 também devem ser constantes, por isso o diferencial
t
v 2 2vx
x dx
− 2 deve ser igual a zero, de onde deduz-se =
= ux , que é exatamente igual a 1.13.
2
c
c t
t dt
4/120
Para o observador O’, o principio da Constância da velocidade da luz, garante que as componentes, u’x’,
u’y’ e u’z’ da velocidade da luz, também são constantes ao longo de seus eixos, por isso
x' dx'
y ' dy '
z ' dz '
=
= u ' x' , =
= u ' y' , =
= u' z' ,
t ' dt '
t ' dt '
t ' dt '
1.18
e com isso podemos escrever,
1+
v ' 2 2v ' x '
v ' 2 2v ' u ' x '
+
=
+
+
.
1
c2
c 2t '
c2
c2
1.19
Com a utilização de 1.8, 1.9 e 1.19 podemos escrever
t
v ' 2 2v ' x '
v ' 2 2v ' u ' x '
= = 1+ 2 + 2 = 1+ 2 +
.
v t'
c
c t'
c
c2
v'
1.20
Diferenciando 1.9 com v’ e v constantes, ou seja, somente o tempo variando temos
v' dt ' = v dt ou
v'
v
=
dt
,
dt '
1.21
v'2 2v' u' x'
v ' 2 2v ' u ' x '
= 1+ 2 +
mas de 1.20
então
dt
=
dt
+
+
.
'
1
v
c
c2
c2
c2
v'
Sendo v’ e v constante as razões
1+
v'
v
e
1.22
t
em 1.20 também deve ser constante, por isso o diferencial de
t'
v ' 2 2v ' x '
x' dx'
+ 2 deve ser igual à zero, de onde se deduz =
= u ' x' , que é exatamente igual a 1.18.
2
c
c t'
t ' dt '
Substituindo 1.14 e 1.19 em 1.10 obtemos,
1+
v 2 2vux
v ' 2 2v ' u ' x '
−
.
1
+
+
= 1.
c2
c2
c2
c2
1.23
Para o observador O, o vetor posição do ponto A de coordenadas (x,y,z) é
r
r
r r
R = xi + yj + zk
1.24
e o vetor posição da origem do sistema do observador O’ é
r
r
r
r
r
r
Ro' = vti + 0 j + 0k ⇒ Ro' = vti .
1.25
Para o observador O’, o vetor posição do ponto A de coordenadas (x’,y’,z’) é
r
r
r
r
R ' = x' i + y ' j + z ' k ,
1.26
e o vetor posição da origem do sistema do observador O é
r
r
r
r
r
r
R' o = −v' t' i + 0 j + 0 k ⇒ R ' o = −v' t ' i .
r
1.27
r
Devido a 1.9, 1.25 e 1.27 temos, Ro' = − R ' o .
1.28
Como 1.24 é igual a 1.25 mais 1.26 temos
r r
r
r r r
R = Ro'+ R ' ⇒ R' = R − Ro' .
1.29
r r r
Aplicando 1.28 em 1.29 temos, R = R '− R' o .
1.30
Para o observador O o vetor velocidade da origem do sistema do observador O’ é
r
r r r
r
r dRo' r
v=
= vi + 0 j + 0k ⇒ v = vi .
dt
1.31
5/120
Para o observador O’ o vetor velocidade da origem do sistema do observador O é
r
r r
r
r
r
r dR' o
v'=
= −v' i + 0 j + 0k ⇒ v ' = −v' i .
dt '
1.32
De 1.15, 1.20, 1.31 e 1.32 encontramos as seguintes relações entre
r
− v'
r
v=
v ' 2 2v ' u ' x '
1+ 2 +
c
c2
r
−v
r
v'=
v 2 2vux
1+ 2 − 2
c
c
r r
v e v'
,
1.33
.
1.34
Observação: no quadro I as fórmulas 1.2, 1.2.1 e 1.2.2 são os componentes do vetor 1.29 e as fórmulas 1.4,
1.4.1 e 1.4.2 são os componentes do vetor 1.30.
§2 Lei das Transformações das Velocidades
r r
u e u'
Diferenciando 1.29 e dividindo por 1.17 temos
r
dR '
=
dt '
r
r
dR − dRo'
v 2 2vux
dt 1 + 2 − 2
c
c
r
⇒ u'=
r r
u −v
r r
u −v
=
.
K
v 2 2vux
1+ 2 − 2
c
c
2.1
Diferenciando 1.30 e dividindo por 1.22 temos
r
dR
=
dt
r r
dR'−dR ' o
v'2 2v' u ' x'
dt ' 1 + 2 +
c
c2
r r
u '−v '
r r
u '−v '
=
.
K'
v'2 2v' u ' x'
1+ 2 +
c
c2
r
⇒u =
Quadro 2, lei das transformações das velocidades
r r
r u −v
u'=
K
ux − v
u ' x' =
K
uy
u' y' =
K
uz
u' z' =
K
v
v' =
K
K = 1+
v 2 2vux
− 2
c2
c
2.1
2.3
2.3.1
2.3.2
1.15
r r
r u '−v '
u=
K'
u ' x'+v'
ux =
K'
u ' y'
uy =
K'
u' z '
uz =
K'
v'
v=
K'
2.5
K' = 1+
2.2
r r
u e u'
2.2
2.4
2.4.1
2.4.2
1.20
v' 2 2v' u ' x'
+
c2
c2
2.6
Multiplicando 2.1 por si mesma temos:
v 2 2vux
− 2
u2
u .
2
v
2vux
1+ 2 − 2
c
c
u 1+
u' =
2.7
Se em 2.7 fizermos u = c então u’ = c conforme exige o princípio da constância da velocidade da luz.
6/120
Multiplicando 2.2 por si mesma temos:
v ' 2 2v ' u ' x '
+
u '2
u '2 .
v ' 2 2v ' u ' x '
1+ 2 +
c
c2
u' 1 +
u=
2.8
Se em 2.8 fizermos u’ = c então u = c conforme exige o princípio da constância da velocidade da luz.
c−v
Se em 2.3 fizermos ux = c então u ' x' =
v 2 2vc
1+ 2 − 2
c
c
= c conforme exige o princípio da constância da
velocidade da luz.
c + v'
Se em 2.4 fizermos u’x’ = c então ux =
v' 2 2v' c
1+ 2 + 2
c
c
= c conforme exige o princípio da constância da
velocidade da luz.
Remodelando 2.7 e 2.8 temos:
u2
v
2vux
c2 .
1+ 2 − 2 =
c
c
u '2
1− 2
c
2.9
u '2
1− 2
v ' 2 2v ' u ' x '
c .
1+ 2 +
=
2
c
c
u2
1− 2
c
2.10
1−
2
As relações diretas entre os tempos e as velocidades de dois pontos no espaço, podem ser obtidas, com as
r
igualdades u ' = 0 ⇒ u ' x' = 0 ⇒ ux = v provenientes de 2.1, que aplicadas em 1.17, 1.22, 1.20 e 1.15
fornecem
v 2 2vv
dt ' = dt 1 + 2 − 2 ⇒ dt =
c
c
dt '
v2
1− 2
c
v' 2 2v' 0
dt = dt' 1 + 2 + 2 ⇒ dt' =
c
c
v =
v'
⇒v =
,
dt
v' 2
1+ 2
c
v'
v' 2 2v' 0
v' 2
1+ 2 + 2
1+ 2
c
c
c
v
v
.
v' =
⇒ v' =
v 2 2vv
v2
1+ 2 − 2
1− 2
c
c
c
2.11
,
2.12
,
2.13
2.14
7/120
Aberração do zênite.
Para o observador O’ solidário com a estrela, u’x’ = 0, u’y’ = c e u’z’ = 0, e para o observador O solidário
com a Terra temos do conjunto 2.3
0=
uy
v2
ux − v
⇒
ux
=
v
⇒
uy
=
c
1
−
,c =
, uz = 0,
2
2
c2
v
2
vux
v
2
vv
1+ 2 − 2
1+ 2 − 2
c
c
c
c
2

v2 
u = ux 2 + uy 2 + uz 2 = v 2 +  c 1 − 2  + 0 2 = c exatamente como prevê o principio da relatividade

c 

Para o observador O a luz se propaga em uma direção que faz um ângulo com o eixo y vertical dado por
tangα =
ux
=
uy
v
v/c
=
v2
c. 1− 2
c
2,15
v2
1− 2
c
que é a fórmula de aberração do Zênite na relatividade especial.
Se invertêssemos os observadores obteríamos do conjunto 2.4
0=
u' x' + v'
⇒ u' x' = − v' , c =
v' 2 2 v' u' x'
1+ 2 +
c
c2
2
2
2
u' = u' x' + u' y' + u' z' =
tangα =
u'x'
=
u'y'
− v'
=
2
v'
c. 1 − 2
c
(− v' )
2
u'y'
v' 2 2v' (− v' )
1+ 2 +
c
c2

v' 2
+ c 1 − 2

c

⇒ u'y' = c 1 −
v' 2
, u’z’=0,
c2
2

 + 02 = c


− v'/c
2.16
v' 2
1− 2
c
que é igual a 2.15, indicando o sinal negativo o sentido contrário dos ângulos.
Fórmula de Fresnel
Considerando em 2.4, u ' x' = c / n a velocidade da luz relativa à água, v ' = v a velocidade da água em
relação ao aparelho, então ux = c' será a velocidade da luz relativa ao laboratório portanto
v 2 2v 
c

c' =
=
=  + v  1 + 2 + 
nc 
c

v 2 2vc / n
v 2 2v  n
+
+
1+ 2 +
1
c
c2
c 2 nc
c/ n+v
c/ n+v
2
−
1
2
2
2v 
c
 1  v
≅  + v  1 −  2 + 
nc 
n
 2  c
2
desprezando o termo v / c temos
v  c
v v2
c

c ' ≅  + v  1 −  ≅ + v − 2 −
nc
n
n
 nc  n
2
e desprezando o termo v / nc temos a fórmula de Fresnel
c' =
1 
c
v
c

+ v − 2 = + v1 − 2  .
n
n  n 
n
2.17
8/120
Efeito Doppler
r 2 = x 2 + y 2 + z 2 e r' 2 = x' 2 + y' 2 + z' 2 em 1.5 temos r 2 − c 2 t 2 = r' 2 −c 2 t' 2 ou
(r − ct ) = (r' −ct' ) (r' +ct' ) substituindo então r = ct , r ' = ct ' e 1.7 encontramos
(r + ct )
Fazendo
(r − ct ) = (r' −ct' )
w w'
v 2 2vx
1
1
v 2 2vx
(kr − wt ) = (k' r' − w' t' ) 1 + 2 − 2
1 + 2 − 2 como c = =
então
c
ct
k k'
k
k'
c
ct
onde para atender o princípio da relatividade definiremos
k' = k 1 +
v 2 2vx
−
c 2 c 2t
2.18
resultando na expressão (kr − wt ) = (k' r' − w' t' ) simétrica e invariável entre os observadores.
Para o observador O uma expressão na forma de ψ (r,t ) = f (kr − wt )
2.19
ψ' (r' ,t' ) = f' (k' r' − w' t' )
2.20
r
representa uma curva que se propaga na direção de R . Para o observador O’ uma expressão na forma de
r
representa uma curva que se propaga na direção de R ' .
Aplicando em 2.18
k=
2π
2π
, k' =
, 1.14, 1.19, 1.23, 2.5 e 2.6 temos
λ
λ'
λ
λ'
e λ=
,
K
K'
que aplicadas em c = yλ = y' λ' fornece, y' = y K e y = y' K' .
λ' =
2.21
2.22
Considerando a relação de Planck-Einstein entre energia ( E ) e freqüência ( y ), temos para o observador O
E = hy e para o observador O’ E' = hy' que substituídas em 2.22 fornecem
E' = E K e E = E' K ' .
2.23
Se o observador O, que vê o observador O’ se deslocar com velocidade v no sentido positivo do eixo x,
emite ondas de freqüência y e velocidade c no sentido positivo do eixo x, então de acordo com 2.22 e
 v
ux = c o observado O’ medirá as ondas com velocidade c e freqüência y' = y 1 − 
 c
2.24
que é exatamente a fórmula clássica do efeito Doppler longitudinal.
Se o observador O’, que vê o observador O se deslocar com velocidade –v’ no sentido negativo do eixo x’,
emite ondas de freqüência y' e velocidade c, então o observador O de acordo com 2.22 e u' x' = −v'
medirá ondas de freqüência y e velocidade c em um plano perpendicular ao deslocamento de O’ dadas por
γ = γ' 1 −
v' 2
,
c2
2.25
que é exatamente a fórmula do efeito Doppler transversal na relatividade especial.
9/120
§3 Transformações das Acelerações
r r
a e a'
Diferenciando 2.1 e dividindo por 1.17 temos
r
r
r
r r v dux / K K
r a
r r v ax
du' du / K
=
+ (u − v ) 2
⇒ a' = + (u − v ) 2 2 .
dt'
K
c
c K
dt K
dt K
3.1
Diferenciando 2.2 e dividindo por 1.22 temos
r
r
r
du du' / K'
r r v' du' x' / K' K'
r a'
r r v' a' x'
=
− (u' −v' ) 2
⇒a=
− (u' −v' ) 2
.
dt
K'
c
c K' 2
dt' K'
dt' K'
r r
a e a'
v
r a'
r v v' a' x'
a=
− (u' −v' ) 2
K'
c K' 2
a' x'
v' a' x'
ax =
− (u' x' +v' ) 2
K'
c K' 2
a' y'
v' a' x'
ay =
− u' y' 2
K'
c K' 2
a' z'
v' a' x'
az =
− u' z' 2
K'
c K' 2
a'
a=
K'
v' 2 2v' u' x'
K' = 1 + 2 +
c
c2
3.2
Quadro 3, transformações das acelerações
v
r a
r v v ax
a' = + (u − v ) 2 2
K
c K
ax
v ax
a' x' =
+ (ux − v ) 2 2
K
c K
ay
v ax
a' y' =
+ uy 2 2
K
c K
az
v ax
a' z' =
+ uz 2 2
K
c K
a
a' =
K
v 2 2vux
K = 1+ 2 − 2
c
c
3.1
3.3
3.3.1
3.3.2
3.8
3.5
3.2
3.4
3.4.1
3.4.2
3.9
3.6
rr
u .a = zero e c 2 = ux 2 + uy 2 + uz 2 ,
r r
r
2
2
2
2
então também para o observador O’ u'.a' = zero e c = u' x' +u' y' +u' z' , portanto u é perpendicular
r r
r
a a e u' é perpendicular a a' conforme exige a teoria dos vetores.
Dos quadros 2 e 3 podemos concluir que se para o observador O
Diferenciando 1.9 com as velocidades e os tempos variando temos,
considerando 1.16 temos:
vdt = v' dt' ⇒ tdv = t' dv'
tdv + vdt = t' dv' +v' dt' , mas
3.7
onde substituindo 1.15 e dividindo por 1.17 obtemos,
dv'
dv
a
=
ou a' =
.
dt' dtK
K
3.8
Podemos também substituir 1.20 em 3.7 e dividir por 1.22 deduzindo
dv
dv'
a'
=
ou a =
.
dt dt' K'
K'
3.9
As relações diretas entre os módulos das acelerações a e a’ de dois pontos no espaço podem ser obtidas,
r
r r
com as igualdades u' = 0 ⇒ u' x' = 0 ⇒ a' x' = 0 ⇒ u = v ⇒ ux = v provenientes de 2.1, que aplicadas
em 3.8 e 3.9 fornecem
a' =
a
2
v
2vv
1+ 2 − 2
c
c
=
a
a'
a'
e a=
.
=
2
2
v
v'
2v' 0
v' 2
1− 2
1+ 2 + 2
1+ 2
c
c
c
c
Que
3.10
também podem ser deduzidas de 3.1 e 3.2 se utilizarmos as mesmas igualdades
r
r r
u' = 0 ⇒ u' x' = 0 ⇒ a' x' = 0 ⇒ u = v ⇒ ux = v provenientes de 2.1.
10/120
r
r
§4 Transformações dos Momentos p e p'
r
r
r
r
Definidos como p = m(u )u e p' = m' (u' )u ' ,
4.1
r
r
onde m(u ) e m' (u' ) simbolizam as massas funções dos módulos das velocidades u = u e u' = u' .
Obteremos as relações entre m(u ) e m' (u' ) e a massa em repouso mo, analisando o choque elástico em
um plano entre a esfera s que para o observador O se desloca ao longo do eixo y com velocidade uy = w e
a esfera s’ que para o observador O’ se desloca ao longo do eixo y’ com velocidade u’y’ = -w. As esferas
quando observadas em repouso relativo são idênticas e têm massa mo. O choque considerado é simétrico
em relação a uma linha paralela aos eixos y e y’ que passe no centro das esferas no momento da colisão.
Antes e após o choque as esferas têm velocidades observadas por O e O’ de acordo com a seguinte tabela
obtida do quadro 2
Esfera
Observador O
Observador O’
Antes
do
choque
Após
o
choque
v' 2
c2
s
uxs = zero , uys = w
u' x' s = −v' , u' y' s = w 1 −
s’
v2
uxs' = v , uys' = − w 1 − 2
c
u' x' s' = zero , u' y' s' = − w
s
uxs = zero , uys = −w
v' 2
u' x' s = −v' , u' y' s = − w 1 − 2
c
s’
uxs' = v , uys' = w 1 −
v2
c2
u' x' s' = zero , u' y' s' = w
Para o observador O, o princípio de conservação dos momentos, estabelece que os momentos
px = m(u )ux e py = m(u ) uy , das esferas s e s’ em relação aos eixos x e y, permanecem constantes
antes e após o choque, por isso para o eixo x
(
)
(
)
(
)
(
)
m uxs 2 + uys2 uxs+ m uxs' 2 +uys' 2 uxs' = m uxs2 + uys2 uxs+ m uxs' 2 +uys' 2 uxs' ,
onde substituindo os valores da tabela obtemos
2 
2 


 2 
 2 
v 2  
v 2  
m v +  − w 1 − 2   v = m v +  w 1 − 2   v de onde concluímos que w = w ,
c  
c  








e para o eixo y
(
)
(
)
(
)
(
)
m uxs 2 + uys 2 uys + m uxs' 2 + uys' 2 uys' = m uxs 2 + uys 2 uys + m uxs' 2 + uys' 2 uys' ,
onde substituindo os valores da tabela obtemos
2 
2 


 2 
 2 
v 2  
v2
v 2  
v2
m(w)w− m v +  − w 1 − 2   w 1 − 2 = − m(w )w + m v +  w 1 − 2   w 1 − 2 ,
c  
c
c  
c








simplificando encontramos

 v2  
v2
m(w) = m v 2 + w 2  1 − 2   1 − 2 , onde quando w → 0 se torna

c
 c  


m(0 )
v2
v2
 v2  
m(0 ) = m v 2 + 0 2  1 − 2   1 − 2 ⇒ m(0 ) = m(v ) 1 − 2 ⇒ m(v ) =
,

c
c
 c  
v2

1− 2
c
mais m(0 ) é igual a massa mo em repouso portanto
m0
m0
, no caso da velocidade ser relativa v = u ⇒ m(u ) =
m(v ) =
2
v
u2
1− 2
1− 2
c
c
11/120
4.2
r
r
que aplicada em 4.1 fornece p = m(u ) u =
r
m0 u
u2
1− 2
c
.
4.1
Com os mesmos procedimentos obteríamos para o observador O’
m0
m' (u' ) =
u' 2
1− 2
c
r
r
e p' = m' (u' )u ' =
4.3
r
m0 u '
u' 2
1− 2
c
.
4.1
Simplificando a simbologia adotaremos
e
m' = m' (u' ) =
m = m(u ) =
m0
4,2
u2
1− 2
c
m0
4.3
u' 2
1− 2
c
r
r
r
r
que simplificam os momentos em p = m u e p' = m' u ' .
4.1
Aplicando 4.2 e 4.3 em 2.9 e 2.10 obtemos
m = m' 1 +
v' 2 2v' u' x'
v 2 2vux
+
⇒
m
=
m
'
K
'
e
m
'
=
m
1
+
− 2 ⇒ m' = m K .
c2
c
c2
c2
4.4
r dpr d (mur )
r dpr ' d (m' ur' )
Definindo força como Newton temos F =
=
e F' =
=
, com isso podemos então
dt
dt
dt'
dt'
definir a energia cinética como
u
r v u d (mur ) r u
r r
E k = ∫ F . dR = ∫
. dR = ∫ d (mu ).u = ∫ (u 2 dm+ mudu ) ,
dt
0
0
0
0
r
u' r
u'
u'
u'
v
r r
d (m' u ' ) r
. dR' = ∫ d (m' u' ).u' = ∫ (u' 2 dm' + m' u' du' ) .
e E' k = ∫ F'. dR' = ∫
dt'
0
0
0
0
u
Remodelando 4.2 e 4.3 e diferenciando temos
m 2 c 2 − m 2 u 2 = m0 c 2 ⇒ u 2 dm+ mudu = c 2 dm e
2
m' 2 c 2 − m' 2 u' 2 = m0 c 2 ⇒ u' 2 dm' + m' u' du' = c 2 dm' , que aplicadas nas fórmulas da energia cinética
2
fornece
m'
m
Ek = ∫ c 2 dm = mc 2 − m0 c 2 = E − E0 e E' k = ∫ c 2 dm' = m' c 2 − m0 c 2 = E' − E0 ,
m0
4.5
m0
2
onde E = mc e E' = m' c
2
4.6
são as energias totais como na relatividade especial e
E o = mo c 2
4.7
a energia de repouso.
Aplicando 4.6 em 4.4 obtemos exatamente 2.23.
De 4.6, 4.2, 4.3 e 4.1 encontramos:
2
2
E = c mo c 2 + p 2 e E' = c mo c 2 + p' 2 ,
4.8
Relações idênticas as da relatividade especial.
12/120
Multiplicando 2.1 e 2.2 por mo obtemos:
r
mo u '
2
e
r
mo u
=
2
u'
1− 2
c
u
1− 2
c
r
mo u
r
mo u '
2
=
u
1− 2
c
r
mo v
r
r
r r r Er
⇒ m' u' = mu − mv ⇒ p' = p − 2 v
c
u
1− 2
c
−
2
2
r
mo v '
r
r
r
r r E' r
⇒ mu = m' u' − m' v' ⇒ p = p' − 2 v ' .
c
u'
1− 2
c
−
2
u'
1− 2
c
r
r
Quadro 4, transformações dos momentos p e p'
r r E r
p' = p − 2 v
c
E
p' x' = px − 2 v
c
p' y' = py
p' z' = pz
2.23
E = E' K'
4.11
4.11.1
E' = E K
m = m(u ) =
4.11.2
r r E' r
p = p' − 2 v '
c
E'
px = p' x' + 2 v'
c
py = p' y'
pz = p' z'
4.9
m0
m' = m' (u' ) =
2
1−
u
c2
4.2
m' = m K
Ek = E − Eo
4.4
E = mc 2
Eo = mo c 2
4.6
2
4.12
4.12.1
4.12.2
2.23
m0
1−
u' 2
c2
4.3
4.4
m = m' K'
E' k = E' − Eo
4.5
E = c mo c 2 + p 2
4.10
4.5
4.6
4.7
E' = m' c 2
Eo = mo c 2
4.8
E' = c mo c 2 + p' 2
4.7
2
4.8
Equação de onda de Louis de Broglie
O observador O’ associa a uma partícula em repouso em sua origem as seguintes propriedades:
-massa de repouso mo
-tempo t' = t o
-Energia de repouso
Eo = mo c 2
Eo mo c 2
=
-Freqüência γo =
h
h
-Função de onda ψ o = asen 2 πγo t o com a = constante.
O observador O associa a uma partícula com velocidade v as seguintes propriedades:
-massa m = m(v ) =
to
mo
v2
1− 2
c
(de 4.2 onde
u = v)
to
(de 1.7 com ux = v e t' = t o )
v 2vv
v2
1+ 2 − 2
1− 2
c
c
c
2
Eo
mo c
=
-Energia E =
(de 2.23 com ux = v e E' = Eo )
v2
v2
1− 2
1− 2
c
c
-tempo
t=
2
=
13/120
4.9
4.10
-Freqüência
γ=
γo
v2
1− 2
c
=
mo c 2 /h
v2
1− 2
c
= E / h (de 2.22 com ux = v e γ' = γo )
-distância x = vt (de 1.2 com x’ = 0)
2
v2
v2
 t − x  com u = c
t
1
−
=
asen
2
πγ


v
c2
c2
 u
2
r
r
c E γh
h
= = ⇒ λ = (de 4.9 com p' = po = 0 )
-Comprimento de onda u = γλ =
v p p
p
r
Para voltarmos ao referencial do observador O’ onde u ' = 0 ⇒ u' x' = 0 , consideraremos as seguintes
-Função de onda ψ = asen 2 πγ o t o = asen 2 πγ 1 −
variáveis:
-distância x = v’t’ (de 1.4 com x’ = 0)
-tempo
t = t' 1 +
-freqüência
v' 2 2v'0
v' 2
+ 2 = t' 1 + 2 (de 1.8 com u' x' = 0 )
2
c
c
c
γ = γ' 1 +
-velocidade v =
v' 2
(de 2.22 com u' x' = 0 )
c2
v'
v' 2
1+ 2
c
(de 2.13)
que aplicadas a função de onda fornece


vx 
v' 
v' 2
v' 2 t'

ψ' = asen 2 πγ t − 2  = asen 2 πγ' 1 + 2 t' 1 + 2 −
c 
c
 c 
v' 2
c2 1+ 2

c

mas como t' = t o e γ' = γo então ψ' = ψ o .
2


 = asen 2π y' t' ,



r
r
§5 Transformações das Forças F e F '
Diferenciando 4.9 e dividindo por 1.17 temos
r
r
r
r
r
r
dp'
dp
dE v
1  r dE v  r
1 r r r v 
=
−
⇒
F
'
=
F
−
⇒
F
'
=
F
−
F
.
u
.
dt' dt K dt K c 2
dt c 2 
c 2 
K 
K 
( )
5.1
Diferenciando 4.10 e dividindo por 1.22 temos
r
r
r
r
r
r
dp
dp'
dE' v '
1  r dE' v '  r
1  r r r v' 
=
−
⇒
F
=
F
'
−
⇒
F
=
F
'
−
F
'.
u
'
.
dt dt' K' dt' K' c 2
dt' c 2 
c 2 
K' 
K' 
(
)
5.2
Do sistema formado por 5.1 e 5.2 obtemos
r r r r
dE dE'
=
ou F .u = F'.u ' ,
dt
dt'
5.3
que é um invariante entre os observadores na relatividade ondulatória.
14/120
r
r
Quadro 5, transformações das Forças F e F '
r
r
1 r r r v 
F' =
F − F .u 2 
c 
K 
r
r v
1 
F' x' =
Fx − F .u 2 

c 
K 
F' y' = Fy/ K
( )
5.1
( )
(
)
(
5.4
5.4.1
5.4.2
F' z' = Fz/ K
dE' dE
=
dt'
dt
r
1  r r r v' 
F' − F'.u ' 2 
c 
K' 
r
r v' 
1 
Fx =
F' x' + F'.u ' 2 

c 
K' 
Fy = F' y' / K'
r
F=
Fz = F' z' /
)
5.5
5.5.1
5.5.2
K'
r r r r
F .u = F'.u '
5.3
5.2
5.3
§6 Transformações das densidades de carga ρ , ρ'
r
r
e densidades de corrente J e J '
Multiplicando 2.1 e 2.2 pela densidade de carga elétrica em repouso definida como ρo =
r
ρo u '
e
u' 2
1− 2
c
r
ρo u
r
ρo u
=
u2
1− 2
c
=
u2
1− 2
c
r
ρo u '
r
ρo v
−
u' 2
1− 2
c
−
u2
1− 2
c
r
ρo v '
r r r
r
r r
⇒ ρ'u ' = ρu − ρv ⇒ J' = J − ρv
u' 2
1− 2
c
dq
temos
dv o
6.1
r r
r
r
r
r
⇒ ρu = ρ' u ' − ρ' v ' ⇒ J = J' − ρ' v ' .
6.2
r
r
Quadro 6, transformações das densidades de carga ρ , ρ' e densidades de corrente J e J '
r r
r r
r
r
6.1
6.2
J' = J − ρv
J = J' − ρ'v '
J' x' = Jx − ρv
J ' y' = Jy
J ' z' = Jz
r
r
J = ρu
ρo
ρ=
u2
1− 2
c
6.3
Jx = J'x' + ρ'v'
Jy = J ' y'
Jz = J' z'
r
r
J' = ρ' u'
ρo
ρ' =
u' 2
1− 2
c
6.3.1
6.3.2
6.5
6.7
6.9
ρ' = ρ K
6.4
6.4.1
6.4.2
6.6
6.8
6.10
ρ = ρ' Κ'
Do sistema formado por 6.1 e 6.2 obtivemos 6.9 e 6.10.
r
r
r
r
§7 Transformações dos campos elétricos E , E' e magnéticos B , B'
r
r r r
r
r r r
F = q E + u × B e F' = q E' + u ' × B' em 5.1 e 5.2 temos
r r r
r r r r vr 
1  r r r
q E' + u ' × B' =
q
E
+
u
×
B
−
q
E
+ u × B .u 2 
c 
K 
r
r r r
r
r
r
r
r
r
r v' 
1 
e q E + u× B =
q E' + u ' × B' − q E' + u ' × B' .u ' 2  , que simplificadas se tornam
c 
K' 
r
r r r
r r v 
r r r
r r vr' 
1  r r r
1  r r r
E' + u ' × B' =
E + u × B − E .u 2  e E + u × B =
E' + u ' × B' − E'.u ' 2  de onde
c 
c 
K 
K' 
r r r r
obtemos a invariância de E .u = E' u ' entre os observadores como conseqüência de 5.3 e as seguintes
(
Aplicando as forças de Lorentz
(
(
(
)
)
(
)
(
(
) [(
)
)
) ]
) [(
) ( )
(
) ]
(
componentes de cada eixo
15/120
)
(
) (
)
1 
Exuxv Eyuyv Ezuzv 
Ex + uyBz − uzBy −
−
−

c2
c2
c 2 
K 
(E' y' + u' z' B' x' − u' x' B' z' ) = 1 [Ey+ uzBx− uxBz]
K
(E' z' + u' x' B' y' − u' y' B' x' ) = 1 [Ez + uxBy− uyBx]
K
(Ex + uyBz − uzBy ) = 1  E' x' + u' y' B' z' −u' z' B' y' + E' x' u'2 x' v' + E' y' u'2 y' v' + E' z' u'2 z' v' 
c
c
c
K' 

(Ey+ uzBx− uxBz) = 1 [E' y' + u' z' B' x' − u' x' B' z' ]
K'
(Ez+ uxBy− uyBx) = 1 [E' z' + u' x' B' y' − u' y' B' x' ]
K'
(E' x' + u' y' B' z' − u' z' B' y' ) =
Para o conjunto 7.1 e 7.2 obtemos duas soluções descritas nos quadros 7 e 8.
r
r
r
r
Quadro 7, transformações dos campos elétricos E , E' e magnéticos B e B'
Ex 
vux 
1 − 2 
c 
K
Ey 
v 2 vux  vBz
 1 + 2 − 2  −
E' y' =
c
c 
K
K
E' x' =
Ez 
v 2 vux  vBy

E' z' =
1 + 2 − 2  +
c
c 
K 
K
B' x' = Bx
v
B' y' = By + 2 Ez
c
v
B' z' = Bz − 2 Ey
c
E' y' = Ey K
7.3.1
7.3.2
7.5
7.5.1
7.5.2
7.7
7.7.1
E' z' = Ez K
ux
By = − 2 Ez
c
ux
Bz = 2 Ey
c
E' x' 
v' u' x' 
1 +

c2 
K' 
E' y' 
v' 2 v' u' x'  v' B' z'
 1 + 2 +
+
Ey =
c
c 2 
K' 
K'
Ex =
7.3
7.9
7.9.1
E' z' 
v' 2 v' u' x'  v' B' y'

−
Ez =
1+ 2 +
c
c 2 
K' 
K'
Bx = B' x'
v'
By = B' y' − 2 E' z'
c
v'
Bz = B' z' + 2 E' y'
c
Ey = E' y' K'
r r v
1 
Ex
−
E
.u 2 
c 
K 
1
E' y' =
[Ey− vBz]
K
1
E' z' =
[Ez+ vBy]
K
B' x' = Bx
B' y' = By
B' z' = Bz
( )
7.11
r
7.11.1
7.11.2
7.13
7.13.1
7.13.2
r r v' 
1 
E'
x'
+
E
'.u ' 2 
c 
K' 
1
Ey =
(E' y' + v' B' z' )
K'
1
Ez =
(E' z' − v' B' y' )
K'
Bx = B' x'
By = B' y'
Bz = B' z'
(
16/120
7.6
7.6.1
7.6.2
7.8
7.10.1
r
Ex =
7.4.2
7.10
r
Quadro 8, transformações dos campos elétricos E , E' e magnéticos B e B'
E' x' =
7.4.1
7.8.1
Ez = E' z' K'
u' x'
B' y' = − 2 E' z'
c
u' x'
B' z' = 2 E' y'
c
r
7.4
)
7.12
7.12.1
7.12.2
7.14
7.14.1
7.14.2
7.1
7.1.1
7.1.2
7.2
7.2.1
7.2.2
Relação entre o campo elétrico e o campo magnético
r
Se um campo eletromagnético tem para o observador O’ a componente magnética nula B' = zero e a
r
componente elétrica E' . Para o observador O este campo se apresenta com ambas as componentes,
sendo o campo magnético descrito pelo conjunto 7.5 e tem como componentes:
vEz
vEy
, Bz = 2 ,
2
c
c
r 1 r r
que são equivalentes a B = 2 v × E .
c
Bx = zero , By = −
7.15
7.16
Fórmula de Biot-Savart
O observador O’ associa a uma carga elétrica, em repouso, distribuída uniformemente ao longo de seu eixo
x’ as propriedades eletromagnéticas seguintes:
-densidade linear de carga elétrica em repouso
ρo =
dq
dx'
-corrente elétrica nula
I' = zero
r
r
-campo magnético nulo B' = zero ⇒ u' = zero
-campo
R=
elétrico
radial
de
módulo
E' = E' y' 2 + E' z' 2 =
ρo
2 πε o R
em
qualquer
ponto
de
raio
y' 2 + z' 2 com a componente E' x' = zero .
Para o observador O trata-se de uma carga elétrica distribuída uniformemente ao longo de seu eixo x com
velocidade ux = v a qual associa as propriedades eletromagnéticas seguintes:
-densidade linear de carga elétrica
-corrente elétrica I = ρv =
ρ=
ρo
ρo v
1−
v2
c2
-campo elétrico radial de módulo
E=
r
r
B' = zero ⇒ u' = zero e ux = v )
-campo
B=
magnético
vE
v
= 2
2
c
c
E'
1−
v2
c2
de
=
v
c2
(de 6.7 com u = v)
v2
1− 2
c
componentes
E'
v2
1− 2
c
(de acordo com os conjuntos 7.3 e 7.5 com
Bx = zero ,
By = −
vEz
,
c2
Bz =
vEy
c2
e
módulo
ρo
µ I
1
= o onde µ o =
, sendo na forma vetorial
2
2 2 πε R
2
π
R
ε
c
v
o
o
1− 2
c
1
r µ I r
B= o u
7.17
2 πR
r
r
onde u é um vetor unitário perpendicular ao campo elétrico E e tangente a circunferência que passa pelo
r r
2
2
ponto de raio R = y + z porque do conjunto 7.4 e 7.6 E .B = zero .
17/120
§8 Transformações dos operadores diferenciais
Quadro 9, operadores diferenciais
∂
∂
v ∂
=
+ 2
∂ x' ∂ x c ∂ t
∂
∂
=
∂ y' ∂ y
∂
∂
=
∂ z' ∂ z
v ∂
1
∂
=
+
∂ t'
K ∂x
K
∂
∂
v' ∂
=
− 2
∂ x ∂ x' c ∂ t'
∂
∂
=
∂ y ∂ y'
∂
∂
=
∂ z ∂ z'
∂
v' ∂
1 
v' 2 v' x'  ∂
 1 + 2 + 2 
=−
+
∂t
c
c t'  ∂ t'
K' ∂ x'
K' 
8.1
8.1.1
8.1.2
 v 2 vx  ∂
 1 + 2 − 2 
c t  ∂t
 c
8.3
8.2
8.2.1
8.2.2
8.4
Do sistema formado por 8.1, 8.2, 8.3 e 8.4 e com 1.15 e 1.20 encontramos somente as soluções
∂ x/t ∂
∂
x' /t' ∂
+ 2
=o e
+ 2
=o
∂ x c ∂t
∂ x'
c ∂ t'
8.5
Do que concluímos que somente as funções ψ (2.19) e ψ' (2.20) que atenderem as condições
∂ ψ x/t ∂ ψ
∂ ψ' x' /t' ∂ ψ'
+ 2
=o e
+ 2
=o,
∂ x c ∂t
∂ x'
c ∂ t'
8.6
∂ ψ y /t ∂ ψ
∂ ψ' y' /t' ∂ ψ'
∂ ψ z /t ∂ ψ
∂ ψ' z' /t' ∂ ψ'
+ 2
=o,
+ 2
=o e
+ 2
=o,
+ 2
= o.
∂y c ∂ t
∂y'
c ∂ t'
∂z c ∂ t
∂z'
c ∂ t'
8.7
podem representar a propagação com velocidade c na relatividade ondulatória, indicando que o campo
propaga com velocidade definida e sem distorção atendendo a 1.13 e 1.18. Devido à simetria, também
podemos escrever para os demais eixos
Das transformações de espaço e tempo da relatividade ondulatória obtemos para o teorema de Jacob
J=
∂ ( x' , y' , z' ,t' )
=
∂ ( x, y, z,t )
1−
v' u' x'
vux
1+
2
c2 ,
c e J' = ∂ ( x, y, z,t ) =
∂ ( x' , y' , z' ,t' )
K
K'
8.8
variáveis com ux e u’x’ conseqüência do princípio da constância da velocidade da luz, mas são iguais
J = J' e serão iguais a um J = J' = 1 quando ux = u' x' = c .
Invariância da Equação de Onda
A equação de onda para o observador O’ é
∂2
∂2
∂2
1 ∂2
+
+
−
= zero
∂ x' 2 ∂ y' 2 ∂ z' 2 c 2 ∂ t' 2
onde aplicando às fórmulas do quadro 9 e 1.13 obtemos
2
v ∂
∂2
∂2
1  v ∂
1
 ∂
+ 2
+

 + 2+ 2− 2
∂z
c  K ∂x
K
 ∂ x c ∂ t  ∂y
2
 v2 vu x  ∂ 
 1 + 2 − 2   = zero
c  ∂t 
 c
de onde encontramos
K
∂2
∂2
∂2
1 ∂ 2 2v ∂ 2
2v 3 ∂ 2
4 v 2 ux ∂ 2
v 2 ∂ 2 v 4 ∂ 2 2v 3 ux ∂ 2
+
K
+
K
−
+
+
−
+
+
− 6
−
∂x 2
∂y 2
∂z 2 c 2 ∂t 2 c 2 ∂x∂t c 4 ∂x∂t
c 4 ∂x∂t c 4 ∂t 2 c 6 ∂t 2
c
∂t 2
−
v 2 ∂ 2 2v ∂ 2
2v 3 ∂ 2
2v 2 ux ∂ 2
2v 2 ∂ 2 2vux ∂ 2 2v 3 ux ∂ 2 v 2 ux 2 ∂ 2 v 4 ∂ 2
−
−
+
−
+ 4
+
− 6
−
= zero
c 2 ∂x 2 c 2 ∂x∂t c 4 ∂x∂t
c 4 ∂x∂t c 4 ∂t 2
c ∂t 2
c 6 ∂t 2
c
∂t 2 c 6 ∂t 2
que simplificando fornece
K
∂2
∂2
∂2
1 ∂ 2 2v 2 ux ∂ 2
v 2 ∂ 2 v 2 ∂ 2 2vux ∂ 2 v 2 ux 2 ∂ 2
+
K
+
K
−
−
−
−
+ 4
− 6
= zero
∂x 2
∂y 2
∂z 2 c 2 ∂t 2
c 4 ∂x∂t c 2 ∂x 2 c 4 ∂t 2
c ∂t 2
c ∂t 2
onde reordenando os termos encontramos
K
∂2
∂2
∂2 
v 2 2vux  1 ∂ 2 v 2  ∂ 2 2ux ∂ 2
ux 2 ∂ 2 



 = zero
+
K
+
K
−
1
+
−
−
+
+
∂x 2
∂y 2
∂z 2 
c2
c 2  c 2 ∂t 2 c 2  ∂x 2
c 2 ∂x∂t c 4 ∂t 2 
18/120
8.9
2
∂ x/t ∂
∂ 2 2ux ∂ 2
ux 2 ∂ 2
 ∂ ux ∂ 
mais de 8.5 e 1.13 temos
+ 2
=o⇒
+ 2
+ 4
= zero
 = 2 + 2
∂ x c ∂t
∂x
c ∂x∂t c ∂t 2
 ∂ x c ∂t 
que aplicada em 8.9 fornece a equação de onda para o observador O
∂2
∂2
∂2
1 ∂2
+
+
−
= zero .
∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 c 2 ∂t 2
8.10
Para retornar ao referencial do observador O’ aplicaremos em 8.10 às fórmulas do quadro 9 e 1.18, obtendo
2
2
v' ∂ 
∂2
∂2
1  v' ∂
1  v' 2 v' u' x'  ∂ 
 ∂
1 + 2 +
  = zero
− 2
+

 + 2 + 2 − 2 −
∂z'
c 
c
c 2  ∂ t' 
K' ∂ x'
K ' 
 ∂ x' c ∂ t'  ∂y'
de onde encontramos
K'
∂2
∂2
∂2
1 ∂2
2v' ∂ 2
2v' 3 ∂ 2
4v' 2 u' x' ∂ 2
v' 2 ∂ 2
v' 4 ∂ 2
+
K
'
+
K
'
−
−
−
−
+
+
+
∂x' ∂t' c 4 ∂t' 2 c 6 ∂t' 2
∂x' 2
∂y' 2
∂z' 2 c 2 ∂t' 2 c 2 ∂x' ∂t'
c 4 ∂x' ∂t'
c4
2v' 3 u' x' ∂ 2 v' 2 ∂ 2
2v' ∂ 2
2v' 3 ∂ 2
2v' 2 u' x' ∂ 2
2v' 2 ∂ 2
2v' u' x' ∂ 2
−
+
+
+
−
−
−
∂x' ∂t'
c6
∂t' 2 c 2 ∂x' 2 c 2 ∂x' ∂t'
c 4 ∂x' ∂t'
c4
c 4 ∂t' 2
c 4 ∂t' 2
v' 3 u' x' ∂ 2 v' 2 u' x' 2 ∂ 2 v' 4 ∂ 2
= zero
−
−
−
c 6 ∂t' 2
c6
∂t' 2 c 6 ∂t' 2
+
que simplificando fornece
K'
∂2
∂2
∂2
1 ∂2
2v' 2 u' x' ∂ 2
v' 2 ∂ 2
v' 2 ∂ 2
2v' u' x' ∂ 2 v' 2 u' x' 2 ∂ 2
+
K
'
+
K
'
−
−
−
−
−
−
= zero
∂x' ∂t' c 2 ∂x' 2 c 4 ∂t' 2
∂x' 2
∂y' 2
∂z' 2 c 2 ∂t' 2
c4
c 4 ∂t' 2
c6
∂t' 2
onde reordenando os termos encontramos
K'
∂2
∂2
∂2 
v' 2 2v' u' x'  1 ∂ 2 v' 2  ∂ 2
2u' x' ∂ 2
u' x' 2 ∂ 2 



 = zero
+
K
'
+
K
'
−
1
+
+
−
+
+
∂x' 2
∂y' 2
∂z' 2 
c2
c 2  c 2 ∂t' 2 c 2  ∂x' 2
c 2 ∂x' ∂t'
c 4 ∂t' 2 
mais de 8.5 e 1.18 temos
2
∂
x' /t' ∂
u' x' ∂ 
∂2
2u' x' ∂ 2
u' x' 2 ∂ 2
 ∂
+ 2
=o⇒
+ 2
=
+
+
= zero

∂ x'
c ∂ t'
c ∂ t' 
∂x' 2
c 2 ∂x' ∂t'
c 4 ∂t' 2
 ∂ x'
que substituída na equação reordenada fornece a equação de onda para o observador O’.
Invariância da Equação de continuidade
A equação de continuidade na forma diferencial para o observador O’ é
∂ρ' r r
∂ρ' ∂Jx' ∂Jy' ∂Jz'
+ ∇.J' = zero ⇒
+
+
+
= zero
∂t'
∂t' ∂x'
∂y'
∂z'
8.11
onde substituindo as fórmulas do quadro 6, 9 e 1.13 obtemos
 v ∂
1 
v 2 vux  ∂ 
v ∂ 
∂ Jy ∂ Jz
 ∂

 1 + 2 − 2   ρ K + 
(
)
+
+
Jx
−
ρ
v
+
+
= zero

2
 K ∂x

∂
t
∂
x
∂
t
∂
y
∂
z
c
c
c
K






fazendo as operações encontramos
v ∂ ρ ∂ ρ v 2 ∂ ρ vux ∂ ρ ∂ Jx v ∂ Jx v ∂ ρ v 2 ∂ ρ ∂ Jy ∂ Jz
+
+
−
+
+
−
−
+
+
= zero
∂x
∂ t c2 ∂ t c2 ∂ t
∂ x c2 ∂ t
∂ x c2 ∂ t ∂ y
∂z
que simplificando fornece
∂ ρ vux ∂ ρ ∂ Jx v ∂ Jx ∂ Jy ∂ Jz
−
+
+
+
+
= zero
∂ t c2 ∂ t ∂ x c2 ∂ t
∂y ∂z
onde aplicando Jx = ρux com ux constante obtemos
∂ ρ vux ∂ ρ ∂ Jx v ∂(ρux) ∂ Jy ∂ Jz
∂ ρ ∂ Jx ∂ Jy ∂ Jz
− 2
+
+ 2
+
+
= zero ⇒
+
+
+
= zero
∂t c ∂t ∂ x c
∂t
∂y ∂z
∂t ∂ x ∂ y ∂ z
que é a equação de continuidade na forma diferencial para o observador O.
Para obtermos novamente a equação de continuidade na forma diferencial para o observador O’.
Substituiremos as fórmulas do quadro 6, 9 e 1.18 em 8.12 obtendo:
19/120
8.12
 v' ∂
∂
∂ J' y' ∂ J' z'
1 
v' 2 v' u' x'  ∂ 
v' ∂ 
−
 ρ' K' + 
 1 + 2 +

+
− 2
+
= zero
( J' x' + ρ' v' ) +
2


∂ y'
∂ z'
c
c  ∂ t' 
K ' ∂ x'
K' 
 ∂ x' c ∂ t' 

fazendo as operações encontramos
−
v' ∂ ρ' ∂ ρ' v' 2 ∂ ρ' v' u' x' ∂ ρ' ∂ J' x' v' ∂ J' x' v' ∂ ρ' v' 2 ∂ ρ' ∂ J' y' ∂ J' z'
+
+
+
+
− 2
+
− 2
+
+
= zero
∂ x'
∂ t' c 2 ∂ t'
∂ x'
∂ x'
∂ y'
∂ z'
c 2 ∂ t'
c ∂ t'
c ∂ t'
que simplificando fornece
∂ ρ' v' u' x' ∂ ρ' ∂ J' x' v' ∂ J' x' ∂ J' y' ∂ J' z'
+
+
− 2
+
+
= zero
∂ t'
∂ x'
∂ y'
∂ z'
c 2 ∂ t'
c ∂ t'
onde aplicando J' x' = ρ' u' x' com u’x’ constante obtemos
∂ ρ' v' u' x' ∂ ρ' ∂ J' x' v' ∂(ρ' u' x' ) ∂ J' y' ∂ J' z'
∂ ρ' ∂ J' x' ∂ J' y' ∂ J' z'
+
+
− 2
+
+
= zero ⇒
+
+
+
= zero
2
∂ t'
∂ t'
∂ x'
∂ t'
∂ y'
∂ z'
∂ t'
∂ x'
∂ y'
∂ z'
c
c
que é a equação de continuidade na forma diferencial para o observador O’.
Invariância das Equações de Maxwell
Que na forma diferencial são escritas na seguinte forma
Com carga elétrica
Para o observador O
Para o observador O’
∂Ex ∂Ey ∂Ez ρ
+
+
=
εo
∂x
∂y
∂z
∂Bx ∂By ∂Bz
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
∂Ey ∂Ex
∂Bz
−
=−
∂x
∂y
∂t
∂Ez ∂Ey
∂Bx
−
=−
∂y
∂z
∂t
∂Ex ∂Ez
∂By
−
=−
∂z
∂x
∂t
∂By ∂Bx
−
= µ o Jz + ε o µ o
∂x
∂y
∂Bz ∂By
−
= µ o Jx + ε o µ o
∂y
∂z
∂Bx ∂Bz
−
= µ o Jy + ε o µ o
∂z
∂x
∂E' x' ∂E' y' ∂E' z' ρ'
+
+
=
εo
∂x'
∂y'
∂z'
∂B' x' ∂B' y' ∂B' z'
+
+
=0
∂x'
∂y'
∂z'
∂E' y' ∂E' x'
∂B' z'
−
=−
∂x'
∂y'
∂t'
∂E' z' ∂E' y'
∂B' x'
−
=−
∂t'
∂y'
∂z'
∂E' x' ∂E' z'
∂B' y'
−
=−
∂z'
∂x'
∂t'
∂B' y' ∂B' x'
∂E' z'
−
= µ o J' z' +ε o µ o
∂x'
∂y'
∂t'
∂B' z' ∂B' y'
∂E' x'
−
= µ o J' x' +ε o µ o
∂y'
∂z'
∂t'
∂B' x' ∂B' z'
∂E' y'
−
= µ o J ' y' +ε o µ o
∂z'
∂x'
∂t'
8.13
8.15
8.17
8.19
8.21
∂Ez
∂t
∂Ex
∂t
∂Ey
∂t
8.23
8.25
8.27
r
8.14
8.16
8.18
8.20
8.22
8.24
8.26
8.28
r
Sem carga elétrica ρ = ρ' = zero e J = J ' = zero
Para o observador O
Para o observador O’
∂Ex ∂Ey ∂Ez
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
∂Bx ∂By ∂Bz
+
+
=0
∂x
∂y
∂z
∂Ey ∂Ex
∂Bz
−
=−
∂x
∂y
∂t
∂Ez ∂Ey
∂Bx
−
=−
∂y
∂z
∂t
∂Ex ∂Ez
∂By
−
=−
∂t
∂z
∂x
8.29
8.31
8.33
8.35
8.37
∂E' x' ∂E' y' ∂E' z'
+
+
=0
∂x'
∂y'
∂z'
∂B' x' ∂B' y' ∂B' z'
+
+
=0
∂x'
∂y'
∂z'
∂E' y' ∂E' x'
∂B' z'
−
=−
∂x'
∂y'
∂t'
∂E' z' ∂E' y'
∂B' x'
−
=−
∂y'
∂z'
∂t'
∂E' x' ∂E' z'
∂B' y'
−
=−
∂t'
∂z'
∂x'
20/120
8.30
8.32
8.34
8.36
8.38
∂By ∂Bx
∂Ez
−
= εoµo
∂x
∂y
∂t
∂Bz ∂By
∂Ex
−
= εoµo
∂y
∂z
∂t
∂Bx ∂Bz
∂Ey
−
= ε oµ o
∂z
∂x
∂t
1
εoµo = 2
c
8.39
8.41
8.43
∂B' y' ∂B' x'
∂E' z'
−
= εoµo
∂x'
∂y'
∂t'
∂B' z' ∂B' y'
∂E' x'
−
= εoµo
∂y'
∂z'
∂t'
∂B' x' ∂B' z'
∂E' y'
−
= ε oµ o
∂z'
∂x'
∂t'
8.40
8.42
8.44
8.45
Demonstremos a invariância da lei de Gauss na forma diferencial, que para o observador O’ é
∂E' x' ∂E' y' ∂E' z' ρ'
+
+
=
∂x'
∂y'
∂z'
εo
8.14
onde substituindo as fórmulas dos quadros 6, 7, 9 e 1.13, e considerando ux constante, obtemos
v ∂  Ex  vux  ∂  Ey  v 2 vux  vBz 
∂
+
 ∂x c 2 ∂t  K  1 − c 2  + ∂y  K  1 + c 2 − c 2  − K  +




+
∂  Ez  v 2 vux  vBy  ρ Κ
1 + −
+

=
∂z  K  c 2 c 2 
εo
K
v 2 ∂Ex
, encontramos
fazendo os produtos, somando e subtraindo o termo 2
c ∂x
∂Ex v ∂Ex vux ∂Ex v 2 ux ∂Ex ∂Ey v 2 ∂Ey vux ∂Ey v∂Bz
+
− 2
− 4
+
+
− 2
−
+
∂x c 2 ∂t
∂t
∂y c 2 ∂y
∂y
c ∂x
c
c ∂y
+
∂Ez v 2 ∂Ez vux ∂Ez v∂By v 2 ∂Ex v 2 ∂Ex ρK
+
− 2
+
+ 2
−
=
∂z c 2 ∂z
∂z
εo
c ∂z
c ∂x c 2 ∂x
que reordenando resulta em
−
v 2  ∂Ex ux ∂Ex   ∂ Bz ∂ By 1 ∂Ex   ∂Ex ∂Ey ∂Ez 
v 2 vux  ρK

=




+
−
v
−
−
+
+
+
1
+
−


∂z
∂y
∂z 
c 2  ∂x c 2 ∂ t   ∂y
c 2 ∂ t   ∂ x
c 2 c 2  ε o
onde o primeiro parêntese é 8.5 e por isso igual a zero, o segundo parêntese é igual a
− v (µ o Jx ) = −vµ o ρux = −
vρux
obtido de 8.25 e 8.45 resultando então em
εoc 2
 ∂Ex ∂Ey ∂Ez  v 2 vux  ρ  v 2 vux  ρ vux ρ vux
 = 1 + −
−

 1 + −
+
+
+
∂y
∂z  c 2 c 2  ε o  c 2 c 2  ε o c 2 ε o c 2
 ∂x
∂Ex ∂Ey ∂Ez ρ
de onde obtemos
+
+
=
∂x
∂y
∂z
εo
8.13
que é a lei de Gauss na forma diferencial para o observador O.
Para fazer o inverso substituiremos em 8.13 as fórmulas dos quadros 6, 7, 9 e 1.18, e considerando u’x’
constante, obtemos:
v' ∂  E' x'  v' u' x'  ∂  E' y'  v' 2 v' u' x'  v' B' z' 
∂
 ∂x' − c 2 ∂t'  K'  1 + c 2  + ∂y'  K'  1 + c 2 + c 2  + K'  +




+
∂  E' z'  v' 2 v' u' x'  v' B' y'  ρ' Κ'
 1 + 2 + 2  −
=

∂z'  K' 
εo
c
c 
K' 
fazendo os produtos, somando e subtraindo o termo
v' 2 ∂E' x'
, obtemos
c 2 ∂x'
21/120
∂E' x' v' ∂E' x' v' u' x' ∂E' x' v' 2 u' x' ∂E' x' ∂E' y' v' 2 ∂E' y' v' u' x' ∂E' y'
− 2
+
−
+
+ 2
+
+
∂x'
∂x'
∂ t'
∂y'
∂y'
c ∂ t'
c2
c4
c ∂y'
c2
+
v' ∂ B' z' ∂E' z' v' 2 ∂E' z' v' u' x' ∂E' z' v' ∂ B' y' v' 2 ∂E' x' v' 2 ∂E' x' ρ' K'
+
+ 2
+
−
+ 2
− 2
=
∂y'
∂z'
∂z'
∂z'
εo
c ∂z'
c2
c ∂x'
c ∂x'
que reordenando resulta em
−
 ∂ B' z' ∂ B' y' 1 ∂E' x' 
v' 2  ∂E' x' u' x' ∂E' x' 
+
+ 2
−
− 2
 + v' 
2 
∂ t' 
∂z'
c  ∂x'
c
c ∂ t' 
 ∂y'
 ∂E' x' ∂E' y' ∂E' z' ' 
v' 2 v' u' x'  ρ' K'
=
 1 + 2 +
+ 
+
+
∂y'
∂z' 
εo
c
c 2 
 ∂ x'
onde o primeiro parêntese é 8.5 e por isso igual a zero o segundo parêntese é igual a
v' (µ o J ' x' ) = v' µ o ρ' u' x' =
v' ρ' u' x'
obtido de 8.26 e 8.45 resultando então em
εoc 2
 ∂E' x' ∂E' y' ∂E' z' 
v' 2 v' u' x'  ρ'
=

 1 + 2 +
+
+
∂y'
∂z' 
c
c 2  ε o
 ∂ x'
∂E' ' x' ∂E' y' ∂E' z' ρ'
de onde obtemos
+
+
=
∂x'
∂y'
∂z'
εo

v' 2 v' u' x'  ρ v' u' x' ρ' v' u' x'
 1 + 2 +
+
−
εo c2
c
c 2  ε o c 2

que é a lei de Gauss na forma diferencial para o
observador O’.
Procedendo desta forma podemos provar a invariância de forma para todas as demais equações de
Maxwell.
§9 Explicando o Efeito Sagnac com a Relatividade Ondulatória
Transformemos o movimento retilíneo dos observadores O e O’ utilizado na dedução da Relatividade
Ondulatória em um movimento circular plano de raio constante. Imaginemos que o observador O vê o
observador O’ girar com velocidade tangencial v no sentido horário(C) (igual ao sentido positivo do eixo x da
RO) e que o observador O’ vê o observador O girar com velocidade tangencial v’ no sentido anti-horário (U)
(igual ao sentido negativo do eixo x da RO).
No instante t = t’ = zero o observador O emitirá dois raios de luz a partir da origem comum aos dois
observadores, um no sentido anti-horário de arco ctU e outro no sentido horário de arco ctC, portanto ctU =
ctC e tU = tC, porque c é a velocidade da luz constante, tU e tC o tempo. No instante t = t’ = zero também o
observador O’ emitirá dois raios de luz a partir da origem comum aos dois observadores, um no sentido antihorário (inútil) de arco ct’U e outro no sentido horário de arco ct’C, portanto ct’U = ct’C e t’U = t’C porque c é a
velocidade da luz constante, t’U e t’C o tempo.
Reescrevamos as equações 1.15 e 1.20 da Relatividade Ondulatória (RO):
v
v'
v'
v
=
t'
v 2 2vux
= 1+ 2 −
.
t
c
c2
1.15
=
t
v ' 2 2v ' u ' x '
= 1+ 2 +
.
t'
c
c2
1.20
Fazendo ux = u’x’ = c (raio de luz projetado ao longo do eixo x positivo) e desmembrando as equações
obtemos:
 v
t' = t  1 − 
 c
v' =
v
 v
1 − 
 c
9.1
v' 

t = t'  1 + 
c

9.3
v=
v'
 v' 
1 + 
c

22/120
9.2
9.4
Quando a origem do observador O’ detectar o raio anti-horário do observador O, estará a distância
vtC = v' t'U do observador O e simultaneamente detectará o seu raio horário no mesmo ponto que o raio
horário do observador O, em uma posição simétrica ao diâmetro que passa pelo observador O porque
ctU = ctC ⇒ tU = tC e ct'U = ct'C ⇒ t'U = t'C , obedecendo as quatro equações acima, encontramos:
ctU + vt C = 2πR ⇒ t C =
2πR
c+v
ct' C +2v' t'U = 2πR ⇒ t' C =
9.5
2πR
c + 2v'
9.6
2πR
c−v
9.7
Quando a origem do observador O’ detectar o raio horário do observador O, simultaneamente detectará seu
próprio raio horário e estará a distância vt2 C = v' t' 2 U do observador O, então obedecendo a equações
1,2,3 e 4 acima, teremos:
ct 2C = 2πR + vt 2 C ⇒ t 2 C =
ct' 2 C = 2πR ⇒ t' 2 C =
2 πR
c
9.8
A diferença de tempo para o observador O é:
∆t = t 2C − t C =
2πR
−
c−v
2πR
c+v
=
4πRv
9.9
c2 − v2
A diferença de tempo para o observador O’ é:
∆t' = t' 2 C − t' C =
2πR 2πR
4 πRv'
−
=
c
c + 2v' (c + 2v' )c
9.10
Substituindo as equações 5 a 10 em 1 a 4 comprovamos que elas cumprem as transformações da
Relatividade Ondulatória.
§10 Explicando a experiência de Ives-Stilwell com a Relatividade Ondulatória
Reescrevamos as equações (2.21) para o comprimento de onda na Relatividade Ondulatória (RO):
λ' =
λ
v 2 2vux
1+ 2 − 2
c
c
e
λ'
λ=
v' 2 2v' u' x'
1+ 2 +
c
c2
,
2.21
Fazendo ux = u’x’ = c (raio de luz projetado ao longo do eixo x positivo), obtemos as equações:
λ' =
λ
 v
1 − 
 c
e
λ=
λ'
v' 

1 + 
c

,
10.1
Se o observador O, que vê o observador O’ se distanciando com velocidade v no sentido positivo do eixo x,
emite ondas, provenientes de uma fonte estacionada em sua origem com velocidade c e comprimento de
onda λ F no sentido positivo do eixo x, então de acordo com 10.1 o observador O’ medirá as ondas com
velocidade c e comprimento de onda
λ' D de acordo com as fórmulas:
23/120
λ' D =
λF
λ' D
e λF =
,
1− v 
 1 + v' 




 c
 c
10.2
Se o observador O’, que vê o observador O se aproximando com velocidade v’ no sentido negativo do eixo
x, emite ondas, provenientes de uma fonte estacionada em sua origem com velocidade c e comprimento de
onda λ' F no sentido positivo do eixo x, então de acordo com 10.1 o observador O medirá as ondas com
velocidade c e comprimento de onda
λ' F =
λ A de acordo com as fórmulas:
λA
λ' F
e λA =
,
1− v 
 1 + v' 




 c
 c
10.3
As fontes estacionadas nas origens dos Observadores O e O’ são idênticas portanto
Achemos o comprimento de onda médio λ das ondas medidas
10.3, lado esquerdo:
(λ A ,λ' D )
λ F = λ' F .
utilizando as fórmulas 10.2 e


λ' D + λ A 1  λ F

λ' + λ
λ F   v 2 
λ=
= 
+ λ' F  1 − v  ⇒ λ = D A =
1 +  1 − c  
 c
2
2 1− v 
2
v



2
1
−





 c
 c 

Achemos a diferença entre o comprimento de onda médio λ e o comprimento de onda emitido pelas fontes
∆λ = λ − λ F :
  v 2 
1 +  1 − c   − λ F
v



2 1 −  
 c
2 1 − v 
λ F   v 2 
∆λ =
1+ 1−   − λ F  c 

2 1 − v    c  
2 1 − v 
 c
 c
2
λF   v 

∆λ =
1 +  1 −  − 2 1 − v 

 c 
2 1 − v    c 
 c
2
λF 
∆λ =
1+ 1− 2 v + v 2 − 2 + 2 v 

c c
c 
2 1 − v  
 c
λF v2
∆λ = 1
 1 − v  2 c 2
 c
∆λ = λ − λ F =
λF
10.4
http://www.wbabin.net/physics/faraj7.htm
§10 Ives-Stilwell (continuação)
O efeito Doppler transversal para a Relatividade Ondulatória foi obtido no §2 do seguinte modo:
Se o observador O’, que vê o observador O se deslocar com velocidade –v’ no sentido negativo do eixo x’,
emite ondas de freqüência y' e velocidade c, então o observador O de acordo com 2.22 e u' x' = −v'
medirá ondas de freqüência y e velocidade c em um plano perpendicular ao deslocamento de O’ dadas por
2
y = y' 1 − v' 2
c
2.25
24/120
2
u' x' = −v' teremos ux = zero e
1 − v' 2
c
2
1 + v 2 = 1 com isso podemos escrever a relação entre a
c
freqüência transversal y = y t e a freqüência da fonte y' = y' F na forma
y' F
10.5
yt =
2
v
1+ 2
c
Com c = yt λ t = y' F λ' F obtemos a relação entre o comprimento de onda transversal λ t e o comprimento de
onda da fonte λ' F
Para
2
λ t = λ' F 1 + v 2
c
10.6
A variação do comprimento de onda transversal em relação ao comprimento de onda da fonte é:
2
2
2
λ' 2


∆λ t = λ t − λ' F = λ' F 1 + v 2 − λ' F = λ' F  1 + v 2 − 1  ≅ λ' F  1 + v 2 − 1  ≅ F v 2
 2c
 2 c
c
c


10.7
que é o mesmo valor obtido na Teoria Especial da Relatividade.
Aplicando 10.7 em 10.4 obtemos
∆λ =
∆λ t
 1 − v 
 c
10.8
Com as equações 10.2 e 10.3 podemos obter as relações 10.9, 10.10, e 10.11 a seguir descritas
λ A = λ' D  1 − v 
 c
2
10.9
E desta obtemos a fórmula da velocidade
v =1− λ A
c
λ' D
10.10
10.11
λ F = λ' F = λ A λ' D
Aplicando 10.10 e 10.11 em 10.6 obtemos
λ t = λ A λ' D
λA 

1 +  1 −

λ' D 

2
De 10.8 e 10.12 concluímos que
Assim com os valores de
10.12
λ A ≤ λ F ≤ λ t ≤ λ ≤ λ' D .
10.13
λ A e λ' D obtidos da experiência de Ives-Stiwell poderemos avaliar λ t , λ F , v e
c
concluir se existe ou não a deformação espacial prevista na Teoria Especial Da Relatividade.
§11 Transformação entre dois referenciais da potencia dos raios luminosos de uma fonte na Teoria
da Relatividade Especial
A relação entre dois referenciais da potencia desenvolvida por uma força é escrita na Teoria Especial da
Relatividade na seguinte forma:
rr
r r
F .u − vFx
F'.u' =
v 

 1 − ux 2 
c 

11.1
A definição da componente da força ao longo do eixo x é:
25/120
Fx =
dpx d (mux ) dm
dux
=
=
ux + m
dt
dt
dt
dt
11.2
Para um raio luminoso o principio da constância da velocidade da luz, garante que a componente ux da
velocidade da luz, também é constante ao longo do eixo x, por isso:
x dx
dux
dm
=
= ux = constante, demonstrando que em dois
ux
= zero e Fx =
t dt
dt
dt
2
A fórmula de energia é E = mc de onde obtemos
Da definição de energia temos
dm 1 dE
=
dt c 2 dt
r r ux
dE r r
= F .u que aplicando em 11.4 e 11.3 obtemos Fx = F .u 2
dt
c
11.3
11.4
11.5
Aplicando 11.5 em 11.1 temos:
rr
r r ux
r r F .u − v F .u c 2
F'.u' =
v 

 1 − ux 2 
c 

( )
De onde encontramos que
r r rr
dE' dE
F'.u' = F .u ou
=
dt'
dt
11.6
Resultado igual a 5.3 da Relatividade Ondulatória que pode ser comprovado experimentalmente,
considerando o Sol como fonte.
§12 Linearidade
A Teoria da Relatividade Ondulatória tem como axioma fundamental à exigência de que os referenciais
inerciais sejam denominados exclusivamente como aqueles em que um raio de luz emitido em qualquer
direção a partir da sua origem propague em linha reta, o que matematicamente é descrito pelas formulas
(1.13, 1.18, 8.6 e 8.7) da Relatividade Ondulatória:
x dx
y dy
z dz
=
= ux, =
= uy, =
= uz
t dt
t dt
t dt
1.13
x' dx'
y' dy'
z' dz'
=
= u' x' , =
= u' y' , =
= u' z'
t' dt'
t'
dt'
t' dt'
1.18
Woldemar Voigt em 1.887 escreveu a transformação linear entre os referenciais dos observadores O e O’
na forma seguinte:
x = Ax' + Bt'
12.1
t = Ex' + Ft'
12.2
Com as respectivas equações inversas:
x' =
F
−B
x+
t
AF − BE
AF − BE
12.3
t' =
−E
A
x+
t
AF − BE
AF − BE
12.4
Onde A, B, E e F são constantes e devido á simetria não consideramos os termos com y, z e y’, z’.
Sabemos que x e x’ são as projeções de dois raios luminosos ct e ct’ que propagam com velocidade
constante c (devido o princípio da constância da velocidade da luz), emitidos em qualquer direção a partir
26/120
da origem dos respectivos referenciais inerciais no instante em que as origens são coincidentes e no
momento em que:
t = t’ = zero
12.5
por isso na equação 12.2 no instante em que t’ = zero devemos ter E = zero para termos também t = zero,
não podemos exigir que quando t’ = zero, seja também x’ = zero, porque no caso da propagação ocorrer no
plano y’z’ teremos x’ = zero mais t' ≠ zero .
Reescrevamos as equações corrigidas (E = zero):
x = Ax' + Bt'
12.6
t = Ft'
12.7
Com as respectivas equações inversas:
x' =
x Bt
−
A AF
t' =
t
F
12.8
12.9
Para o caso da propagação ocorrer no plano y’ z’ temos x’ = zero e dividindo 12.6 por 12.7 temos:
x B
= =v
t F
12.10
onde v é o módulo da velocidade que o observador O vê o referencial do observador O’ se deslocar ao
longo do eixo x no sentido positivo porque o sinal da equação é positivo.
Para o caso da propagação ocorrer no plano y z teremos x = zero e dividindo 12.8 por 12.9 temos:
x'
B
B
= − = −v' ou = v'
t'
A
A
12.11
onde v’ é o módulo da velocidade que o observador O’ vê o referencial do observador O se deslocar ao
longo do eixo x’ no sentido negativo porque o sinal da equação é negativo.
A equação 1.6 descreve o princípio da constância da velocidade da luz, que deve ser atendido pelas
equações 12.6 a 12.9:
x 2 − c 2 t 2 = x' 2 −c 2 t' 2
1.6
Aplicando 12.6 e 12.7 em 1.6 temos:
( Ax' + Bt' )2 − c 2 F 2 t' 2 = x' 2 −c 2 t' 2
De onde obtemos:
(A x' ) − c t'
2
2
2
2
 2 B 2 2 ABx' 
2
2 2
 F − 2 − 2  = x' −c t'
c
c t' 

2
onde fazendo A = 1 no parêntese em arco e
 2 B 2 2 ABx' 
 F − 2 − 2  = 1 no parêntese quadrado obtemos a
c
c t' 

igualdade entre ambos os lados do sinal de igual da equação.
27/120
 2 B 2 2 ABx' 
B 2 2 Bx'
2
Aplicando A = 1 em  F − 2 −
 = 1 temos F = 1 + 2 + 2
c
c t'
c
c 2 t' 

Aplicando A = 1 em 12.11 temos
B B
= = B = v'
A 1
12.12
12.11
Que aplicada em 12.12 fornece:
v' 2 2v' x'
F = 1 + 2 + 2 = F ( x' ,t' )
c
c t'
12.12
sendo F(x’, t’) igual à função F dependente das variáveis x’ e t’.
Aplicando 12.8 e 12.9 em 1.6 temos:
2
 x Bt 
2 t
x −c t = −
 −c
F2
 A AF 
2
2
2 2
De onde obtemos:
 x2
x − c t =  2
A
 2 2 1
B2
2 Bx 
 − c t  2 − 2 2 2 + 2 2 
A c F
A c Ft 

F
 1
B2
2 Bx 
2
onde fazendo A = 1 no parêntese em arco e  2 − 2 2 2 + 2 2  = 1 no parêntese quadrado
Ac F
A c Ft 
F
2
2 2
obtemos a igualdade entre ambos os lados do sinal de igual da equação.
Aplicando A = 1 e 12.10 em
1
F=
v 2 2vx
1+ 2 − 2
c
c t
 1
B2
2 Bx 
−
+ 2 2  = 1 obtemos:
 2
2 2
2
Ac F
A c Ft 
F
= F ( x ,t )
12.13
sendo F(x, t) igual a função F dependente das variáveis x e t.
Façamos as seguintes denominações de acordo com 2.5 e 2.6:
K' = 1 +
v' 2 2v' x'
+ 2 ⇒ F = K'
c2
c t'
12.14
K = 1+
v 2 2vx
1
− 2 ⇒F=
2
c
c t
K
12.15
Como a equação para F(x’, t’) de 12.12 e F(x, t) de 12.13 devem ser iguais temos:
F = 1+
v' 2 2v' x'
+ 2 =
c2
c t'
1
12.16
v 2 2vx
1+ 2 − 2
c
c t
Então:
1+
v 2 2vx
v' 2 2v' x'
−
⋅
1
+
+ 2 = 1 ou
c 2 c 2t
c2
c t'
K ⋅ K' = 1
28/120
12.17
Exatamente igual a 1.10.
Reescrevendo as equações 12.6, 12.7, 12.8 e 12.9 em função de v, v’ e F temos:
x = x' +v' t'
12.6
t = Ft'
12.7
Com as respectivas equações inversas:
x' = x − vt
12.8
t
F
12.9
t' =
Obteremos as equações 12.6, 12.7, 12.8 e 12.9 finais substituindo F pelas formulas correspondentes:
12.6
x = x' +v' t'
t = t' 1 +
v' 2 2v' x'
+ 2
c2
c t'
12.7
Com as respectivas equações inversas:
12.8
x' = x − vt
t' = t 1 +
v 2 2vx
−
c 2 c 2t
12.9
Que são exatamente as equações do quadro I.
Como
v=
B
v'
e v' = B então as relação entre v e v’ são v =
ou v' = v .F
F
F
12.18
Vamos transformar F (12.12) função dos elementos v’, x’, e t’ para F (12.13) função dos elementos v, x e t
substituindo em 12.12 as equações 12.8, 12.9 e 12.18:
(vF ) 2vF (x − vt )
v' 2 2v' x'
F = 1+ 2 + 2 = 1+ 2 +
t
c
c t'
c
c2
F
2
F = 1+
v 2 F 2 2vxF 2 2v 2 F 2
2vxF 2 v 2 F 2
+
−
=
1
+
− 2
c2
c 2t
c2
c 2t
c
2vxF 2 v 2 F 2
v 2 F 2 2vxF 2
2
F = 1+ 2 − 2 ⇒ F + 2 − 2 = 1 ⇒ F =
c
c t
ct
c
2
1
v 2 2vx
1+ 2 − 2
c
c t
Que é exatamente a equação 12.13.
Vamos transformar F (12.13) função dos elementos v, x, e t para F (12.12) função dos elementos v’, x’ e t’
substituindo em 12.13 as equações 12.6, 12.7 e 12.18:
1
F=
1+
v 2 2vx
−
c 2 c 2t
1
=
2
1+
1  v'  2v' ( x' +v' t' )
  −
c2  F 
c 2 FFt'
1
=
29/120
1+
v' 2
2v' x'
2v' 2
−
−
c 2 F 2 c 2 t' F 2 c 2 F 2
1
F=
1−
v' 2
2v' x'
− 2
2
2
c F'
c t' F' 2

v' 2
2v' x'
⇒ F 2  1 − 2
− 2
2
 c F 2 c t' F

v' 2 2v' x'
 = 1 ⇒ F = 1 + 2 + 2
c
c t'

Que é exatamente a equação 12.12.
Calculemos o diferencial total de F(x’, t’) (12.12):
dF =
∂F
∂F
dx' +
dt'
∂x'
∂t'
como:
1 v' x'
∂F
1 v'
∂F
=
=−
e
2
2
∂x'
∂t'
K' c t' t'
K' c t'
12.19
temos:
1 v'
1 v' x'
dx' −
dt'
2
2
K' c t'
K' c t' t'
dF =
12.20
onde aplicando 1.18 encontramos:
1 v'
1 v' dx'
dx' −
dt' = o
2
2
K' c t'
K' c t' dt'
dF =
De onde concluímos que F função de x’ e t’ é uma constante.
Calculemos o diferencial total de F(x, t) (12.13):
dF =
∂F
∂F
dt
dx +
∂x
∂t
como:
∂F
1 v
∂F
1 v x
= 3 2 e
=− 3 2
∂x
c t
∂t
c t t
K2
K2
12.21
temos:
dF =
1
v
1 v x
dx − 3 2 dt
2
c t
c tt
K
K2
12.22
3
2
onde aplicando 1.13 encontramos:
dF =
1
v
1 v dx
dx − 3 2
dt = o
2
c t
c t dt
2
K
K
3
2
De onde concluímos que F função de x e t é uma constante.
As equações 1.13 e 1.18 representam para os observadores O e O’ o princípio da constância da velocidade
da luz, validas do infinitamente pequeno ao infinitamente grande e significam que na Relatividade
Ondulatória o espaço e o tempo são simultaneamente medidos. Não devem ser interpretadas como uma
dependência entre espaço e tempo.
30/120
O tempo tem uma interpretação própria que pode ser compreendida se analisarmos para um determinado
observador a emissão de dois raios de luz a partir do instante t = zero. Se somarmos os tempos obtidos,
para cada raio de luz obtemos um resultado sem qualquer utilidade para a física.
Se no instante t = t’ = zero o observador O’ emite dois raios de luz, um ao longo do eixo x e outro ao longo
do eixo y, transcorrido o intervalo de tempo t’ os raios atingem para o observador O’ simultaneamente, os
pontos Ax e Ay à distância ct’ da origem, no entanto para o observador O os pontos não serão atingidos
simultaneamente. Para que ambos os raios de luz sejam simultâneo aos observadores eles deverão atingir
os pontos que possuam o mesmo raio em relação ao eixo x e que forneça os mesmos tempos para ambos
os observadores (t1 = t2 e t’1 = t’2), o que significa que realmente somente um raio de luz é necessário para
aferir o tempo entre os referenciais.
Conforme o § 1, ambos os referenciais dos observadores O e O’ são inercial, sendo assim neles a luz
propaga em linha reta conforme exige o axioma fundamental da Relatividade Ondulatória § 12, por isso a
diferença entre as velocidades v e v’ é devida somente a diferença de tempo entre os referenciais.
v = x − x'
t
1.2
v' = x − x'
t'
1.4
Também podemos relacionar um referencial inercial para o qual a luz propaga em linha reta conforme exige
o axioma fundamental da Relatividade Ondulatória, com um referencial em movimento acelerado para o
qual a luz propaga em linha curva, sendo que neste caso a diferença entre v e v’ não é devida somente a
diferença de tempo entre os referenciais.
Conforme o § 1, se o observador O no instante t = t’ = zero emite um raio de luz a partir da origem do seu
referencial, depois de transcorrido o intervalo de tempo t1 o raio de luz atinge o ponto A1 de coordenadas
(x1, y1, z1, t1) à distância ct1 da origem do observador O, então temos:
v 2 2vx1
−
c 2 c 2t1
Após atingir o ponto A1 o raio de luz continua a propagar na mesma direção e no mesmo sentido, tendo
transcorrido o intervalo de tempo t2 o raio de luz atinge o ponto A2 de coordenadas (x1 + x2, y1 + y2, z1 + z2, t1
+ t2) à distância ct2 do ponto A1, então temos:
t'1 = t1 1+
x x
x dx
v 2 2vx
v 2 2vx
v 2 2vux
= = ux ⇒ 1 = 2 = ux ⇒ 1+ 2 − 2 1 = 1+ 2 − 2 2 = 1+ 2 − 2
t dt
t1 t 2
c c t1
c c t2
c
c
e com isso obtemos:
t' 2 = t 2 1+
v 2 2vx2
v 2 2vux
− 2 = t 2 1+ 2 − 2
2
c c t2
c
c
t'1 +t' 2 = t1 1+
v 2 2vx1
v 2 2vux
v 2 2vux
v 2 2v(x1 + x2 )
−
+
t
1
+
−
=
(
t
+
t
)
1
+
−
=
(
t
+
t
)
1
+
−
2
1
2
1
2
c 2 c 2t1
c2 c2
c2 c2
c 2 c 2 (t1 +t 2 )
A geometria do espaço e tempo da Relatividade Ondulatória está resumida na figura abaixo que pode ser
expandida para An pontos e vários observadores.
31/120
Na figura os ângulos têm a relação ψ = φ' − φ e são iguais os seguintes segmentos:
O1 a
O ≡ O' é igual a O ≡ O' a O’1 (O1 ↔ O' 1 = vt1 = v' t' 1 )
O2 a O1 é igual a O’1 a O’2
(O2 ↔ O' 2 = v(t1 + t 2 ) = v' (t'1 +t' 2 ) → vt 2 = v' t' 2 = O2 ↔ O1 + O'1 ↔ O' 2 )
E são paralelos os seguintes seguimentos:
O2 a A2 é paralelo a O1 a A1
O’2 a A2 é paralelo a O’1 a A1
X ≡ X ' é paralelo a X 1 ≡ X ' 1
O cosseno dos ângulos φ e φ' de inclinação dos raios para os observadores O e O’ de acordo com 2.3 e
2.4 são:
ux v
−
cosφ − v / c
ux − v
u' x'
c c
u' x' =
⇒
=
⇒ cosφ' =
2
2
c
v 2vux
v 2vux
v 2 2v
1+ 2 − 2
1+ 2 − 2
1+ 2 − cosφ
c
c
c
c
c
c
cosφ' =
cosφ − v / c
K
E com isso temos:
senφ' =
12.23
senφ
K
12.24
u' x' v'
+
cosφ' +v' / c
u' x' +v'
ux
c
c
ux =
⇒ =
⇒ cosφ =
2
2
c
v' 2v' u' x'
v' 2v' u' x'
v' 2 2v'
1+ 2 +
1
+
+
1
+
+ cosφ'
c
c2
c2
c2
c2 c
32/120
cosφ =
cosφ' +v' / c
K'
E com isso temos:
12.25
senφ =
senφ'
K'
12.26
O cosseno do ângulo ψ de interseção dos raios é igual a:
1−
cosψ =
vux
v' u' x'
v
v'
1+ 2
1 − cosφ 1 + cosφ'
c2 =
c = c
c
=
K
K'
K
K'
E com isso temos:
senψ = v
c
12.27
senφ v' senφ'
=
K c K'
12.28
A invariância do cos ψ demonstra a harmonia de todas as hipóteses adotadas para o espaço e tempo na
Relatividade Ondulatória.
O cos ψ é igual ao Jacobiano da transformação para o espaço e tempo do quadro I, onde os radicais
K = 1+
v 2 2vx
−
e
c 2 c 2t
K' = 1+
v' 2 2v' x'
+
são considerados variáveis e por isso derivados.
c 2 c 2 t'
1
0
∂x' ∂(x' , y' ,z' ,' t' )
cosψ = J = j =
= 0 2
∂( x , y ,z ,t )
∂x
−v / c
K
i
1
0
∂( x , y ,z ,t )
∂x
cosψ = J' = l =
= 0
∂x' ∂(x' , y' ,z' ,t' ) v' / c 2
K'
k
−v
vx
vux
0
1− 2 1− 2
0
= c t= c
K
K
1  v 2 vx 
00
1+ 2 − 2 
c
c
t
K

00
10
01
8.8
00
10
01
v'
v' x'
v' u' x'
0
1+ 2 1+ 2
c
0
= c t' =
K'
K'
1  v' 2 v' x' 
00
1+ 2 + 2 
K '  c c t' 
8.8
§13 Richard C. Tolman
O §4 Transformações dos Momentos da Relatividade Ondulatória, foi desenvolvido baseado na experiência
idealizada por Lewis e Tolman, conforme referência [3]. Onde a colisão de duas esferas preservando o
princípio de conservação da energia e o princípio de conservação dos momentos demonstra que a massa é
função da própria velocidade de acordo com:
m=
mo
2
(
u)
1−
c2
onde
mo
é a massa da esfera quando em repouso e
r
rr
u = u = uu
o módulo da sua velocidade.
Analisemos a colisão entre duas esferas idênticas quando em repouso relativo, que para o observador O’ se
denominam S’1 e S’2 e se deslocam ao longo do eixo x’ em sentido contrário com as seguintes velocidades
antes da colisão:
Tabela 1
Esfera S’1
Esfera S’2
u' x' 1 = v'
u' y'1 = zero
u' z' 1 = zero
u' x 2 ' = −v'
u' y' 2 = zero
u' z' 2 = zero
33/120
Para o observador O as mesmas esferas se denominam S1 e S2 e têm as velocidades
(ux1 , ux2 , uyi = uzi = zero) antes da colisão calculadas de acordo com o Quadro 2 da seguinte forma:
A velocidade
ux1 =
ux 1 da esfera S1 é igual a:
u' x'1 +v'
v' +v'
2v'
.
=
=
2
2
2
2v' u' x'1
v
'
2
v
'
v
'
3
v
'
v
'
1+ 2 + 2
1+ 2
1+ 2 +
c
c
c
c
c2
A transformação de v’ para v de acordo com 1.20 do Quadro 2 é:
v'
v=
2
1 + v' 2 +
c
2v' u' x' 1
c2
Que aplicada em
ux2 =
2
1 + v' 2 + 2v'2v'
c
c
=
v'
.
2
3
v
'
1+ 2
c
ux 1 fornece:


v'
ux1 = 2

3v' 2
1
+

c2

A velocidade
v'
=


 = 2v



ux 2 da esfera S2 é igual a:
u' x' 2 + v'
− v' + v'
=
= zero
2
2
2
v
'
u
'
x
'
2v' (− v' )
v
'
v
'
2
1+ 2 +
1+ 2 +
c
c2
c
c2
Tabela 2
Esfera S1
ux1 = 2v' = 2v
1 + 3v2'
c
uy 1 = zero
uz 1 = zero
Esfera S2
ux 2 = zero
uy 2 = zero
uz 2 = zero
Para os observadores O e O’ as duas esferas possuem a mesma massa quando em repouso relativo.
Sendo que para o observador O’ as duas esferas colidem com velocidades de módulo igual e sentido
oposto por isso os momentos ( p' 1 = p' 2 ) se anulam durante a colisão formando por um instante (∆t' ) um
único corpo de massa
m0 = m' 1 +m' 2 .
De acordo com o princípio de conservação dos momentos para o observador O teremos que impor que os
momentos antes da colisão são iguais aos momentos após a colisão, portanto:
m1ux1 + m 2 ux 2 = (m1 + m 2 )w
Onde para o observador O, w é a velocidade arbitrária que supostamente por um instante
verá as massas unidas
(m = m1 + m2 )
se deslocando. Como as massas
mi
(∆ t )
também
possuem velocidades
diferentes e as massas variam de acordo com as próprias velocidades esta equação não pode ser
simplificada algebricamente, sendo as variações das massas da seguinte forma:
Para o lado esquerdo do sinal de igual da equação temos:
u = ux1 = 2v
34/120
mo
m1 =
1−
mo
=
(u )2
1−
c2
mo
=
(ux1 )2
1−
c2
(2 v ) 2
=
mo
2
1 − 4 v2
c
c2
u = ux2 = zero
mo
mo
mo
m2 =
=
=
= m0
2
2
2
(
u)
(
ux2 )
(
zero)
1− 2
1−
1− 2
c
c2
c
Para o lado direito do sinal de igual da equação temos:
u=w
mo
m1 =
1−
(u )
1−
c2
mo
m2 =
1−
mo
=
2
1−
c2
=
(w )2
mo
2
1 − w2
c
c2
mo
=
(u )2
( w)
2
=
mo
2
1 − w2
c
c2
Aplicando na equação de conservação dos momentos temos:
m1ux1 + m2 ux 2 = (m1 + m2 )w = m1 w + m2 w
m0
2
1 − 4v2
c
2v + m0 .0 =
m0
2
1 − w2
c
w+
m0
2
1 − w2
c
w
De onde obtemos:
2m0 v
2
=
2m0 w
2
⇒
v
= w 2
2
1 − 4 v2
1 − w2
c
c
1 − 4 v2
1 − w2
c
c
v
w=
2
1 − 3v2
c
Como w ≠ v para o observador O as massas unidas
(m = m1 + m2 ) não se deslocariam
momentaneamente solidárias ao observador O’ o que é concebível se considerarmos que são diferentes os
instantes ∆t ≠ ∆t' que supostamente as massas ficariam em repouso do ponto de vista de cada observador
e que a massa incidente com velocidade 2v é maior do que a massa em repouso.
Se operássemos com as variáveis com linha teríamos:
m1ux1 + m2 ux 2 = (m1 + m2 )w = m1 w + m2 w
m0


1  2v'
1− 2
c 
3v'
 1+ 2
c







2
m0
m0
2m0 w
2v'
+ m0 .0 =
w+
w=
2
2
3v'
w
w
w2
1+ 2
1− 2
1− 2
1− 2
c
c
c
c
35/120
2m0 v'






2
1+ 3v' 1− 1  4v'  


 c 2  c 2  1+ 3v'   


2  
  c  

2m0 v'
3v' 4v'
−
c2 c2
1+
2m0 v'
2
1−
=
v'
c2
2
=
2m0 w
1−
w2
c2
2 m0 w
=
1−
w2
c2
2m0 w
1−
w2
c2
De onde concluímos que
v
w = v' =
3v 2
1− 2
c
w= v' o qual deve ser igual ao valor anterior de w ou seja:
Relação entre v e v’ que se obtém do Quadro 2 quando ux1 = 2v que corresponde para o observador O a
velocidade da esfera incidente sobre a esfera em repouso.
§14 Composição de velocidades
Referência – Millennium Relativity
URL: http://www.mrelativity.net/MBriefs/VComp_Sci_Estab_Way.htm
Escrevamos as transformações de Hendrik A. Lorentz para espaço e tempo da Teoria Especial da
Relatividade:
x' =
x − vt
2
1−
v
c2
y' = y
z' = z
vx
2
c
t' =
v2
1− 2
c
14.1a
x=
x' +vt'
1−
v2
c2
14.3a
14.1b
14.1c
y = y'
z = z'
14.3b
14.3c
14.2
vx'
c2
t=
v2
1− 2
c
14.4
t−
t' +
Destas obtemos as equações de transformação de velocidade:
u' x' =
ux − v
vux
1− 2
c
v2
c2
u' y' =
vux
1− 2
c
u' x' +v
vu' x'
1+ 2
c
14.6a
14.5b
v2
c2
uy =
vu' x'
1+ 2
c
14.6b
14.5c
v2
c2
uz =
vu' x'
1+ 2
c
14.6c
14.5a
uy 1−
v2
c2
u' z' =
vux
1− 2
c
ux =
u' y' 1−
uz 1−
u' z' 1−
Consideremos que em relação ao observador O’ um objeto se move com velocidade:
36/120
u' x' = 1,5.10 5 km / s (= 0 ,50c ) .
E que a velocidade do observador O’ em relação ao observador O é:
v = 1,5.10 5 km / s (= 0 ,50c ) .
A velocidade
ux =
ux
do objeto em relação ao observador O deve ser calculada pela fórmula 14.6a:
u' x' +v 1,5.105 +1,5.105
=
= 2,4.105 km / s(=0,80c ) .
vu' x'
5
5
1,5.10 .1,5.10
1+
1+
c2
2
 3,0.105 


Onde usamos c = 3,0.10 5 km / s (= 1,00c ) .
Considerando que o objeto se movimentou durante um segundo em relação ao observador O (t = 1,00s )
podemos então com 14.2 calcular o tempo transcorrido para o observador O’:
t' =
vx
t−
c2
1−

5
5 

 vux  1,001−1,5.10 .2,4.10 

t 1−
2 


3,0.10 5
 c2 

 0 ,60
=
=
=
⇒ t' = 0,693s .
2
2
0
,
75
v
1,5.10 5
1−
1−
2
c
2
3,0.10 5
)
(
v2
c2
)
)
(
(
Para o observador O o observador O’ está à distância d dada pela fórmula:
d = vt = 1,5.10 5 .1,00 = 1,5.10 5 km .
Para o observador O’ o observador O está à distância d’ dada pela fórmula:
0,60
=1,03923.105 km .
0,75
d' = vt' =1,5.105.
À distância do objeto (d O , d' O ) em relação aos observadores O e O’ é dada pelas fórmulas:
d O = uxt = 2 ,4.10 5 .1,00 = 2 ,4.10 5 km .
d o = uxt =
(u' x' +v )t' = (1,5.10 5 +1,5.10 5 ) 0,60
2
1−
v
c2
d' O = u' x' t' =1,5.105 .
d' o = u'x't' =
(1,5.10 )
(3,0.10 )
5 2
1−
= 2,40.10 5 km .
0,75
5 2
0,60
=1,03923.105 km .
0,75
(ux − v )t = (2 ,4.10 5 −1,5.10 5 )1,00 =1,03923.10 5 km .
1−
v2
c2
(1,5.10 )
(3,0.10 )
5 2
1−
5 2
Para o observador O à distância entre o objeto e o Observador O’ é dada pela fórmula:
∆d = d O − d = 2 ,4.10 5 −1,5.10 5 = 0 ,90.10 5 km .
Para o observador O a velocidade do objeto em relação ao observador O’ é dada por:
37/120
∆d 0 ,90.10 5 km
=
= 0 ,90.10 5 km / s (= 0 ,30c ) .
t
1,00 s
v2
só e possível única e exclusivamente quando
c2
ux = v e u' x' = zero o que não é o caso acima, para entendermos isso escreva as equações 14.2 e 14.4 na
forma abaixo:
Relacionar os tempos t e t’ utilizando a fórmula t' = t 1−
v
t 1− cosφ 
c


t' =
2
v
1− 2
c
Onde cosφ =
14.2
v
t' 1+ cosφ' 
c


t=
1−
v2
c2
14.4
x
x'
e cosφ' = .
ct
ct'
As equações acima podem ser escritas como:
t' = f (t ,φ ) e t = f ' (t' ,φ' )
14.7
Em cada referencial dos observadores O e O’ a propagação da luz gera uma esfera de raio ct e ct' que se
interceptam formando uma circunferência que propaga com velocidade c. Os raio ct e ct' e o sentido
positivo dos eixos x e x' formam os ângulos φ e φ' constantes entre os referenciais. Se para o mesmo
par de referencial os ângulos fossem variáveis os tempos seriam aleatórios e se tornaria inútil para a física.
Na equação t' = f (t ,φ ) temos t’ função igualmente de t e φ , se nesta tivermos φ constante e t’ variar
devido a t obtemos a relação comum entre os tempos t e t’ entre dois referenciais, entretanto se tivermos t
constante e t’ variar devido a φ teremos para cada valor de φ um valor de t’ e t entre dois diferentes
referenciais, esta analise também vale para t = f ' (t' ,φ' ) .
Dividindo 14.5a por c obtemos:
ux v
v
−
cosφ −
u' x' c c
c .
=
⇒ cosφ' =
c
vux
v
1− 2
1− cosφ
c
c
Onde cosφ =
14.8
x ux
x' u' x'
=
e cosφ' = =
.
ct c
ct' c
Isolando a velocidade obtemos:
v (cosφ − cosφ' )
=
c (1− cosφ cosφ' )
ou
v=
ux − u' x'
uxu' x'
1− 2
c
14.9
De onde concluímos que devemos ter os ângulos
entre os referenciais.
φ
e
φ'
constantes para obtermos a mesma velocidade
A exigência dos ângulos constantes entre os referenciais deve resolver as controvérsias de Herbert Dingle.
§15 Invariância
As transformações para o espaço e tempo do quadro I, conjunto 1.2 mais 1.7, na forma matricial se escreve:
 x'  1 0 0
 y'  0 1 0
 z'  = 0 0 1
 t'  0 0 0

− v  x
0  y
0  z 
K   t 
15.1
Que escritas na forma abaixo representam as mesmas transformações de coordenadas:
38/120
 x'  1 0 0 − v / c   x 
 y'  0 1 0 0   y 
 z'  = 0 0 1 0   z 
ct'  0 0 0 K  ct 


15.2
Que denominaremos como:
 x'   x' 1 
 x   x1 
1 0 0 − v / c 
2 

 y' 
 y  2 
0 1 0 0 
x' = x' i =   =  x' 3  , α =α ij = 0 0 1 0  , x = x j =   =  x 3 
z'
z
x'
x
0 0 0 K 
ct'  cx' 4 
ct  cx 4 




 
( )
Que são as funções x 'i = x 'i x j = x 'i
Que na forma simbólica se escreve:
15.3
(x1 , x 2 , x 3 , cx 4 )= x'i (x, y, z,ct )
15.4
4
x ' = α . x ou na forma indexada x' i = ∑ α ij x j ⇒ x' i = α ij x j
15.5
j =1
Onde utilizamos a convenção da soma de Einstein.
As transformações para o espaço e tempo do quadro I, conjunto 1.4 mais 1.8, na forma matricial se escreve:
 x  1 0 0
 y  0 1 0
 z  = 0 0 1
 t  0 0 0

v'   x' 
0   y' 
0   z' 
K'   t' 
15.6
Que escritas na forma abaixo representam as mesmas transformações de coordenadas:
 x  1 0 0 v' / c   x' 
 y  0 1 0 0   y' 
 z  = 0 0 1 0   z' 
ct  0 0 0 K'  ct' 


15.7
Que denominaremos como:
 x   x1 
 x'   x' 1 
1 0 0 v' / c 
2
 y  
 y'   2 
0 1 0 0 
x = x k =   =  x 3  , α' = α' kl = 0 0 1 0  , x' = x' l =   =  x' 3 
z
z'
x
x'
0 0 0 K ' 
ct  cx 4 
ct'  cx' 4 


 


Que são as funções
15.8
x k = x k (x'l )= x k (x'1 , x' 2 , x'3 , cx' 4 )= x k ( x', y ', z ', ct ')
15.9
Que na forma simbólica se escreve:
4
x = α '. x ' ou na forma indexada x k = ∑ α' kl x' l ⇒ x k = α' kl x' l
15.10
l =1
Sendo
K = 1+
v 2 2vx1
−
(1.7),
c2 c2 x4
As matrizes de transformação
K' = 1+
α = α ij
e
v' 2 2v' x' 1
+
(1.8) e
c 2 c 2 x' 4
α ' = α ' kl
K . K' =1 (1.10).
têm as propriedades:
1 0 0 − v / c  1 0 0 v' / c  1 0 0 0
0 1 0 0  0 1 0 0 
α .α ' = α ijα ' kl = ∑α ijα' jl = 0 0 1 0  0 0 1 0  = 00 10 10 00 = I = δ li
j =1
0 0 0 K  0 0 0 K'  0 0 0 1



4
39/120
15.11
 1 00
 0 10
α α ' = α jiα 'lk = ∑α jiα 'ik =  0 0 1
i =1
− v / c 0 0

4
t
t
Onde
α t = α ji
0  1 0 0
0  0 1 0
0  0 0 1
K  v' / c 0 0
é a matriz transposta de
0  1 0 0 0 
0  0 1 0 0 
j
0  = 0 0 1 0  = I = δ k
K '  0 0 0 1 
α = α ij
e
α 't = α 'lk
é a matriz transposta de
15.12
α ' = α ' kl
e
δ
éo
Delta de Kronecker.
1 0 0 v' / c  1 0 0 − v / c  1 0 0 0
0 1 0 0   0 1 0 0 
α '.α = α ' kl α ij = ∑α ' kl α lj = 0 0 1 0  0 0 1 0  = 00 10 10 00 = I = δ kj
l =1
0 0 0 K '  0 0 0 K  0 0 0 1 



15.13
 1 00
 0 10
α' α = α 'lk α ji = ∑α 'lk α ki =  0 0 1
k =1
v' / c 0 0

15.14
4
0  1 0 0
0  0 1 0
0  0 0 1
K'  − v / c 0 0
4
t
t
Onde
α 't = α 'lk
é a matriz transposta de
0  1 0 0 0 
0  0 1 0 0 
l
0  = 0 0 1 0  = I = δ i
K  0 0 0 1
α ' = α ' kl
α t = α ji
e
é a matriz transposta de
α = α ij
e
δ
éo
Delta de Kronecker.
Observação as matrizes
e
α ij e α' kl são inversas uma da outra, mas não são ortogonais, ou seja: α ji ≠ α ' kl
α ij ≠ α 'lk .
i
dx' i = ∂x' j dx j das componentes das coordenadas que se
∂x
∂x
relacionam de acordo com x 'i = x 'i (x j ) , onde na matriz de transformação α = α ij o radical
K é
i
As derivadas parciais ∂x 'j do diferencial total
considerado constante é igual a:
Quadro 10, derivadas parciais das componentes das coordenadas:
∂x'i = ∂x'1 =
∂x j ∂x j
∂x' i = ∂x' 2 =
∂x j ∂x j
∂x' 1 = 1
∂x 1
∂x' 2 = 0
∂x 1
∂x' i = ∂x' 3 = ∂x' 3 = 0
∂x j ∂x j
∂x 1
∂x' i = ∂x' 4 = ∂x' 4 = 0
∂x1
∂x j ∂x j
∂x' 1 = 0 ∂x' 1 = 0
∂x 2
∂x 3
∂x' 2 = 1 ∂x' 2
=0
∂x 2
∂x 3
∂x' 3 = 0 ∂x' 3 = 1
∂x 2
∂x 3
∂x' 4 = 0 ∂x' 4 = 0
∂x 2
∂x 3
∂x '1 = − v
c
∂x 4
∂x' 2 = 0
∂x 4
∂x' 3 = 0
∂x 4
∂x'4 = K
∂x 4
O diferencial total das coordenadas na forma de matriz é igual a:
 dx' 1  1 0 0 −v / c  dx1 
 dx' 2  0 1 0 0   dx 2 
 dx' 3  = 0 0 1 0   dx 3 
cdx' 4  0 0 0 K  cdx 4 


 

15.15
Que denominaremos como:
 dx' 1 
i
 2
dx' = dx' i =  dx' 3  , A = Aij = ∂x' j
dx'
∂x
cdx' 4 


 dx1 
1 0 0 − v / c 
 dx 2 
0 1 0 0 
j
= 0 0 1 0  , dx = dx =  3 
dx
cdx 4 
0 0 0 K 




Então temos dx ' = Adx ⇒ dx 'i =
4
∑ A dx
i
j
j =1
j
⇒ dx'i = ∂x'j dx j
∂x
i
40/120
15.16
15.17
k
∂x k dx'l das componentes das coordenadas que se
As derivadas parciais ∂x l do diferencial total dx k =
l
∂x '
∂x'
( )
relacionam de acordo com x k = x k x 'l , onde na matriz de transformação
α ' = α ' kl
o radical
K' é
considerado constante é igual a:
Quadro 11 derivadas parciais das componentes das coordenadas:
∂x k
∂x' l
∂x k
∂x' l
∂x k
∂x' l
∂x k
∂x' l
1
= ∂x l
∂x'
2
= ∂x l
∂x'
3
= ∂x l
∂x'
4
= ∂x l
∂x'
∂x 1 = 1
∂x' 1
∂x 2 = 0
∂x' 1
∂x 3 = 0
∂x' 1
∂x 4 = 0
∂x'1
=
=
=
=
∂x 1
∂x' 2
∂x 2
∂x' 2
∂x 3
∂x' 2
∂x 4
∂x' 2
1
= 0 ∂x 3
∂x'
2
= 1 ∂x 3
∂x'
3
= 0 ∂x 3
∂x'
4
= 0 ∂x 3
∂x'
∂x1 v'
= 0 ∂x' 4 = c
∂x 2 = 0
∂x' 4
3
= 1 ∂x 4 = 0
∂x'
∂x 4
= 0 ∂x' 4 = K '
=0
O diferencial total das coordenadas na forma de matriz é igual a:
 dx1  1 0 0 v' / c   dx' 1 
 dx 2  0 1 0 0   dx' 2 
 dx 3  = 0 0 1 0   dx' 3 
cdx 4  0 0 0 K'  cdx' 4 


 

15.18
Que denominaremos como:
 dx1 
k
 2
dx = dx =  dx 3  , A' = A'lk = ∂x l
dx
∂x'
cdx 4 


k
 dx' 1 
1 0 0 v' / c 
 dx' 2 
0 1 0 0 
l
= 0 0 1 0  , dx' = dx' =  3 
dx'
cdx' 4 
0 0 0 K ' 




4
Então temos:
dx = A'dx'⇒ dx k = ∑ A'lk dx'l ⇒ dx k = ∂x l dx'l
∂x'
l =1
k
15.19
15.20
Os Jacobianos das transformações 15.15 e 15.18 são:
1 0 0 −v / c
1
2
3
4
010 0
∂x' i ∂ x' ,x' , x' , x'
J= j =
=001 0 = K
1
2
3
4
∂x
∂ x ,x ,x ,x
000 K
15.21
1 0 0 v' / c
∂ x 1 , x 2 , x 3 ,x 4
010 0
∂x k
J' = l =
= 0 0 1 0 = K'
1
2
3
4
∂x' ∂ x' ,x' , x' ,x'
0 0 0 K'
15.22
(
(
(
(
)
)
)
)
v 2 2vux1
v' 2 2v' u' x' 1
−
(2.5),
K
'
=
1
+
+
(2.6) e K . K' =1 (1.23).
c2
c2
c2
c2
As matrizes de transformação A e A' também possuem as propriedades 15.11, 15.12, 15.13 e 15.14 das
matrizes α e α ' .
Onde
K = 1+
Da função
φ = φ (x k )= φ '= φ '[x k (x'l )] onde as coordenadas se relacionam na forma x k = x k (x'l ) temos
∂φ ∂φ ∂x k
=
descrito como:
∂x'l ∂x k ∂x'l
41/120
∂φ ∂φ
=
∂x'1 ∂x k
∂φ ∂φ
=
∂x' 2 ∂x k
∂φ ' ∂φ
=
∂x'3 ∂x k
∂φ ∂φ
=
∂x' 4 ∂x k
∂x k = ∂φ ∂x1 + ∂φ ∂x 2 + ∂φ ∂x 3 + ∂φ ∂x 4
∂x'1 ∂x1 ∂x'1 ∂x 2 ∂x'1 ∂x 3 ∂x'1 ∂x 4 ∂x'1
∂x k = ∂φ ∂x1 + ∂φ ∂x 2 + ∂φ ∂x 3 + ∂φ ∂x 4
∂x' 2 ∂x1 ∂x' 2 ∂x 2 ∂x' 2 ∂x 3 ∂x' 2 ∂x 4 ∂x' 2
∂x k = ∂φ ∂x1 + ∂φ ∂x 2 + ∂φ ∂x 3 + ∂φ ∂x 4
∂x'3 ∂x1 ∂x'3 ∂x 2 ∂x'3 ∂x 3 ∂x'3 ∂x 4 ∂x' 3
∂x k = ∂φ ∂x1 + ∂φ ∂x 2 + ∂φ ∂x 3 + ∂φ ' ∂x 4
∂x' 4 ∂x1 ∂x' 4 ∂x 2 ∂x' 4 ∂x 3 ∂x' 4 ∂x 4 ∂x' 4
Que na forma matricial e sem apresentar a função
φ
se torna:
 ∂x 1
 1 =1
 ∂x'
 ∂x 2
=0

∂φ  ∂ ∂ ∂ ∂   ∂ ∂ ∂ ∂   ∂x' 1
=
=

3
∂x' l  ∂x' 1 ∂x' 2 ∂x' 3 ∂x' 4   ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 ∂x 4   ∂x = 0
 1
 ∂x'
 ∂x 4
= v'

1
 ∂x'
c 2 K'
∂x 1 = 0 ∂x 1
∂x' 2
∂x' 3
2
∂x = 1 ∂x 2
∂x' 2
∂x' 3
3
∂x = 0 ∂x 3
∂x' 2
∂x' 3
4
∂x = 0 ∂x 4
∂x' 2
∂x' 3
1
= 0 ∂x
∂x' 4
2
= 0 ∂x
∂x' 4
3
= 1 ∂x
∂x' 4
4
= 0 ∂x
∂x' 4




=0



=0


 v' 2 v' u' x' 1 
1
 1+

=
+

K '  c 2
c 2 
= v'
Onde substituindo os itens abaixo:
∂x 4 = v' = v
∂x' 1 c 2 K' c 2
∂x 1 = v' = v
∂x' 4
K
∂x 4 = 1
∂x' 4
K'
 v' 2 v' u' x' 1  ∂x' 4
1+ 2 +
 = 4 = 1
2
c
K
 c
 ∂x
 v 2 vux 1 
1+ 2 − 2 
c 
 c
Observação: está ultima relação demonstra que o tempo varia de forma igual entre os referenciais.
Obtemos:
 ∂x 1
 1 =1
 ∂x'
 ∂x 2
=0
∂φ  ∂ ∂ ∂ ∂   ∂ ∂ ∂ ∂   ∂x' 1
=
=
 

3
∂x' l  ∂x' 1 ∂x' 2 ∂x' 3 ∂x' 4   ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 ∂x 4   ∂x = 0
 1
 ∂x'4
 ∂x = v
 ∂x' 1 c 2

∂x 1
∂x' 2
∂x 2
∂x' 2
∂x 3
∂x' 2
∂x 4
∂x' 2
1
= 0 ∂x
∂x' 3
2
= 1 ∂x
∂x' 3
3
= 0 ∂x
∂x' 3
4
= 0 ∂x
∂x' 3
1
= 0 ∂x
∂x' 4
2
= 0 ∂x
∂x' 4
3
= 1 ∂x
∂x' 4
4
= 0 ∂x
∂x' 4




=0



=0


2
1

= 1  1+ v − vux 
K  c 2 c 2 
= v
K
Que é o conjunto 8.1 mais 8.3 do quadro 9, operadores diferenciais, na forma de matriz.
Da função
φ '= φ '(x'i )= φ = φ [x 'i (x j )] onde as coordenadas se relacionam na forma x'i = x'i (x j ) temos:
∂φ ' ∂φ ' ∂x'i
=
descrito como:
∂x j ∂x'i ∂x j
42/120
∂φ ' ∂φ ' ∂x' i ∂φ ' ∂x'1 ∂φ ' ∂x' 2 ∂φ ' ∂x'3 ∂φ ' ∂x' 4
=
=
+
+
+
∂x1 ∂x' i ∂x1 ∂x'1 ∂x1 ∂x' 2 ∂x1 ∂x'3 ∂x1 ∂x' 4 ∂x1
∂φ ' ∂φ ' ∂x' i ∂φ ' ∂x'1 ∂φ ' ∂x' 2 ∂φ ' ∂x' 3 ∂φ ' ∂x' 4
=
=
+
+
+
∂x 2 ∂x'i ∂x 2 ∂x'1 ∂x 2 ∂x' 2 ∂x 2 ∂x' 3 ∂x 2 ∂x' 4 ∂x 2
∂φ ' ∂φ ' ∂x'i ∂φ ' ∂x'1 ∂φ ' ∂x' 2 ∂φ ' ∂x'3 ∂φ ' ∂x' 4
=
=
+
+
+
∂x 3 ∂x'i ∂x 3 ∂x'1 ∂x 3 ∂x' 2 ∂x 3 ∂x'3 ∂x 3 ∂x' 4 ∂x 3
∂φ ' ∂φ ' ∂x' i ∂φ ' ∂x'1 ∂φ ' ∂x' 2 ∂φ ' ∂x' 3 ∂φ ' ∂x' 4
=
=
+
+
+
∂x 4 ∂x'i ∂x 4 ∂x'1 ∂x 4 ∂x' 2 ∂x 4 ∂x' 3 ∂x 4 ∂x' 4 ∂x 4
Que na forma matricial e sem apresentar a função
φ
se torna:
 ∂x' 1
 1 =1
 ∂x
 ∂x' 2
=0
∂φ'  ∂ ∂ ∂ ∂   ∂ ∂ ∂ ∂   ∂x 1
=
=

3
∂x j  ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 ∂x 4   ∂x' 1 ∂x' 2 ∂x' 3 ∂x' 4   ∂x' = 0
 ∂x 1
 4
 ∂x' = −v
 ∂x 1 c 2 K

Onde substituindo os itens abaixo:
∂x' 1 = 0
∂x 2
∂x' 2 = 1
∂x 2
∂x' 3 = 0
∂x 2
∂x' 4 = 0
∂x 2
∂x' 1 = 0
∂x 3
∂x' 2 = 0
∂x 3
∂x' 3 = 1
∂x 3
∂x' 4 = 0
∂x 3

∂x' 1 = −v

∂x 4


∂x' 2 = 0

4
∂x

∂x' 3 = 0


∂x 4

∂x' 4 = 1  1+ v 2 − vux 1 


K  c 2 c 2 
∂x 4
∂x' 1
− v'
= −v =
∂x 4
K'
∂x' 4
−v
− v'
=
=
∂x1 c 2 K c 2
∂x' 4 1  v 2 vux1  ∂x 4
1  v' 2 v' u' x' 1 
=
1+ 2 − 2  = 4 =
1+ 2 + 2 
4
∂x
c  ∂x'
c 
K c
K'  c
Observação: está ultima relação demonstra que o tempo varia de forma igual entre os referenciais.
Obtemos:
 ∂x' 1
 1 =1
 ∂x
 ∂x' 2
=0
  ∂x 1
∂φ'  ∂ ∂ ∂ ∂   ∂ ∂
∂
∂

=
=

3
∂x j  ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 ∂x 4   ∂x' 1 ∂x' 2 ∂x' 3 ∂x' 4   ∂x' = 0
 1
 ∂x 4
 ∂x' = −v'
 1
c2
 ∂x
∂x' 1 = 0
∂x 2
∂x' 2 = 1
∂x 2
∂x' 3 = 0
∂x 2
∂x' 4 = 0
∂x 2
∂x' 1 = 0
∂x 3
∂x' 2 = 0
∂x 3
∂x' 3 = 1
∂x 3
∂x' 4 = 0
∂x 3

∂x' 1 = − v'

4
K'
∂x


∂x' 2 = 0

4
∂x

∂x' 3 = 0


∂x 4

∂x' 4 = 1  1+ v' 2 + v' u' x' 1  


K'  c 2
∂x 4
c 2 
Que é o conjunto 8.2 mais 8.4 do quadro 9, operadores diferenciais, na forma de matriz.
Aplicando 8.5 em 8.3 e em 8.4 simplificamos estás equações na forma seguinte:
43/120
Quadro 9B, operadores diferenciais com as equações 8.3 e 8.4 simplificadas:
v ∂
∂
∂
=
+
∂ x' 1 ∂ x1 c 2 ∂x 4
∂ = ∂
∂x' 2 ∂x 2
∂ = ∂
∂x' 3 ∂x 3
−∂ = K −∂
c∂x' 4
c∂x 4
∂ ux1 ∂
+
= zero
∂ x1 c 2 ∂x 4
8.1
8.1.1
8.1.2
8.3B
8.5
v' ∂
∂
∂
=
−
∂ x1 ∂ x' 1 c 2 ∂x' 4
∂ = ∂
∂x 2 ∂x' 2
∂ = ∂
∂x 3 ∂x' 3
−∂ = K ' −∂
c∂x 4
c∂x' 4
∂ u' x' 1 ∂
+
= zero
∂ x' 1 c 2 ∂x' 4
8.2
8.2.1
8.2.2
8.4B
8.5
O quadro 9B, na forma matricial fica:
 1 00
 ∂ ∂ ∂ −∂   ∂ ∂ ∂ −∂  0 1 0
 ∂x' 1 ∂x' 2 ∂x' 3 c∂x' 4  =  ∂x1 ∂x 2 ∂x 3 c∂x 4   0 0 1
− v / c 0 0

0 
0 
0 
K 
15.23
 1 00
 ∂ ∂ ∂ −∂   ∂ ∂ ∂ −∂  0 1 0
 ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 c∂x 4  =  ∂x' 1 ∂x' 2 ∂x' 3 c∂x' 4   0 0 1
v' / c 0 0

0 
0 
0 
K' 
15.24
As matrizes quadradas das transformações acima são as transpostas das matrizes A e A’.
Invariância do Diferencial Total
No referencial do observador O o diferencial total de uma função
φ (x k ) é igual a:
 dx1 
∂φ
∂φ
∂φ
∂φ
∂φ
 ∂φ ∂φ ∂φ ∂φ   dx 2 
dφ x k = k dx k = 1 dx1 + 2 dx 2 + 3 dx 3 + 4 dx 4 =  1 2 3
3 
4 
∂x
∂x
∂x
∂x
∂x
 ∂x ∂x ∂x c∂x   dx 4 
cdx 
( )
15.25
( )
Onde as coordenadas se relacionam com as do referencial do observador O’ de acordo com x k = x k x 'l ,
substituindo as transformações 15.24 e 15.18 e sem apresentar a função
 1 00
∂φ k  ∂ ∂ ∂ ∂   0 1 0
dφ = k dx =  1 2 3
∂x
 ∂x' ∂x' ∂x' c∂x' 4   0 0 1
− v' / c 0 0
0  1 0 0 v' / c   dx' 1 
0  0 1 0 0   dx' 2 
0  0 0 1 0   dx' 3 
K'  0 0 0 K'  cdx' 4 
φ
obtemos:
15.26
O produto das matrizes do meio fornece:
1 0 0 v' / c 
0  1 0 0 v' / c   0 1 0
0


0  0 1 0 0   0 0 1

0
=
0  0 0 1 0  
1
2
v
'
dx
'
K'  0 0 0 K '  − v' / c 0 0 1+ 2 4 
c dx' 

Resultado que pode ser dividido em duas matrizes:
 1 00
 0 10
 0 01
− v' / c 0 0

 1 0 0 v' / c 
 0 0 0 v' / c 
 0 10
0
 1 0 0 0  0 0 0 0 
 0 01
 = 0 1 0 0  +  0 0 0 0 
0
1  0 0 1 0  

2v' dx'
2v' dx' 1 


0
0
0
1
−
v
'
/
c
0
0
1
+
−
v
'
/
c
0
0
 


 
c 2 dx' 4 
c 2 dx' 4 


Que aplicadas no diferencial total fornece:
15.27
15.28
44/120

 0 0 0 v' / c  
1
 1 0 0 0  0 0 0 0    dx' 2 
∂φ
 ∂ ∂ ∂ ∂   0 1 0 0  0 0 0 0    dx' 
dφ = k dx k =  1 2 3
+
 3
∂x
 ∂x' ∂x' ∂x' c∂x' 4   0 0 1 0 
2v' dx' 1    dx' 4 


0
0
0
1
−
v
'
/
c
0
0

 
  cdx' 
c 2 dx' 4   


15.29
Efetuando as operações do segundo termo encontramos:
 0 0 0 v' / c   dx' 1 
 0 00 0 
∂   0 0 0 0   dx' 2 
v' ∂
∂
2v' dx' 1 ∂
 ∂ ∂ ∂
=− 2
dx' 1 + v' 1 dx' 4 + 2
dx' 4
3
4
4
4
 ∂x' 1 ∂x' 2 ∂x' 3 c∂x' 4  
1   dx' 
c
∂
x
'
∂
x
'
c
dx
'
∂
x
'
2v' dx' 
4
− v' / c 0 0 2 4  cdx' 
c dx' 

Onde aplicando 8.5 obtemos:
−
 1 dx' 1 ∂  4 2v' dx' 1 ∂
v' ∂
1
dx
'
+
v
'
dx' 4 = zero
− 2
dx' + 2
4
4
c 2 ∂x' 4
c dx' 4 ∂x' 4
 c dx' ∂x' 
Então temos:
 0 0 0 v' / c   dx' 1 
 0 00 0 
∂   0 0 0 0   dx' 2 
 ∂ ∂ ∂
 3  = zero
1
2
3
4
 ∂x' ∂x' ∂x' c∂x'  
2v' dx' 1   dx' 4 
0
0
−
v
'
/
c

 cdx' 
c 2 dx' 4  

15.30
Com esse resultado obtemos em 15.29 a invariância do diferencial total:
1
1 0 0 0  dx' 
∂φ k  ∂ ∂ ∂
∂  0 1 0 0  dx' 2  ∂φ'
dφ = k dx =  1 2
dx' l = dφ'
 3 =
∂x
 ∂x' ∂x' ∂x' 3 c∂x' 4  0 0 1 0  dx' 4  ∂x' l
0 0 0 1 cdx'


No referencial do observador O’ o diferencial total de uma função
15.31
φ (x'i ) é igual a:
 dx' 1 
∂φ'
∂φ'
∂φ'
∂φ'
∂φ'
 ∂φ' ∂φ' ∂φ' ∂φ'   dx' 2 
dφ' x' i = i dx' i = 1 dx' 1 + 2 dx' 2 + 3 dx' 3 + 4 dx' 4 =  1 2 3
3 
4 
∂x'
∂x'
∂x'
∂x'
∂x'
 ∂x' ∂x' ∂x' c∂x'   dx' 4 
cdx' 
( )
15.32
( )
Onde as coordenadas se relacionam com as do referencial do observador O de acordo com x 'i = x 'i x j ,
Substituindo as transformações 15.23 e 15.15 e sem apresentar a função
 1 0 0 0  1 0 0 − v / c   dx1 
∂φ'
 ∂ ∂ ∂ ∂   0 1 0 0  0 1 0 0   dx 2 
dφ' = i dx' i =  1 2 3
 3
∂x'
 ∂x ∂x ∂x c∂x 4   0 0 1 0  0 0 1 0   dx 4 
v
/
c
0
0
K
0
0
0
K


 cdx 
O produto das matrizes do meio fornece:
1 0 0 −v / c 
0  1 0 0 − v / c   0 1 0
0

0  0 1 0 0   0 0 1

0
=
0  0 0 1 0  
1
2
vdx
K  0 0 0 K  v / c 0 0 1− 2 4 
c dx 

Resultado que pode ser dividido em duas matrizes:
φ
obtemos:
15.33
 1 00
 0 10
 0 01
v / c 0 0

15.34
 1 0 0 −v / c 
 0 0 0 −v / c 
 0 10
0
 1 0 0 0  0 0 0
0 
 0 01
 = 0 1 0 0  +  0 0 0
0
0 



2vdx1  0 0 1 0 
2vdx1 
v / c 0 0 1− 2 4  0 0 0 1 v / c 0 0 − 2 4 
c dx 
c dx 


15.35
45/120
Que aplicadas no diferencial total fornece:

 0 0 0 − v / c    dx1 
 1 0 0 0  0 0 0
0   2 
∂φ'
 ∂ ∂ ∂ ∂   0 1 0 0  0 0 0
0    dx 3 
dφ' = i dx' i =  1 2 3
+
∂x'
 ∂x ∂x ∂x c∂x 4   0 0 1 0 
2vdx1   dx
 0 0 0 1 v / c 0 0 − 2 4   cdx 4 
c dx  


15.36
Efetuando as operações do segundo termo encontramos:
 0 0 0 − v / c   dx 1 
 0 00
0  2 
1
 ∂ ∂ ∂ ∂  0 0 0
dx = v ∂ dx1 − v ∂ dx 4 − 2v dx ∂ dx 4

0
3


2
4
 ∂x1 ∂x 2 ∂x 3 c∂x 4  
∂x1
c 2 dx 4 ∂x 4
2vdx1   dx 4  c ∂x
v / c 0 0 − 2 4  cdx 
c dx 

Onde aplicando 8.5 obtemos:
 1 dx1 ∂ 
v ∂
2v dx 1 ∂
dx1 − v − 2 4 4 dx 4 − 2 4 4 dx 4 = zero
2
4
c ∂x
c dx ∂x
 c dx ∂x 
Então temos:
 0 0 0 − v / c   dx1 
 0 00
0  2 
 ∂ ∂ ∂ ∂  0 0 0
0   dx 3  = zero
 ∂x1 ∂x 2 ∂x 3 c∂x 4  
2vdx1   dx 4 
v / c 0 0 − 2 4  cdx 
c dx 

15.37
Com esse resultado obtemos em 15.36 a invariância do diferencial total:
1
1 0 0 0  dx 
∂φ'
 ∂ ∂ ∂ ∂  0 1 0 0  dx 2  ∂φ
i
dφ' = i dx' =  1 2 3
= j dx j = dφ
4  0 0 1 0   dx 3 
∂x'
∂
∂
∂
∂
x
x
x
c
x
∂x


0 0 0 1  cdx 4 


15.38
Invariância da Equação de Onda
A equação de onda para o observador O é igual a:
 ∂1 
 ∂x1 


1 0 0 0   ∂ 
2
2
2
2
2
∂φ
∂φ
∂ φ
1 ∂ φ
1 ∂ φ  ∂ ∂ ∂ ∂  0 1 0 0   ∂x 2 
∇ 2φ − 2
=
+
+
− 2
=
=0
2
2
2
2
4
1
2
3
c ∂x
c ∂ x 4 2  ∂x1 ∂x 2 ∂x 3 c∂x 4  0 0 1 0   ∂ 
∂x
∂x
∂x
0 0 0 −1  3 
∂x
 ∂ 
 4
 c∂x 
Onde aplicando 15.24 e a transposta de 15.24 temos:
 ∂ 
 ∂x' 1 
 1 0 0 0  1 0 0 0  1 0 0 − v'   ∂ 

2
c  2 
1 ∂ φ  ∂ ∂ ∂
∂   0 1 0 0  0 1 0 0  
  ∂x'  = 0
∇ 2φ − 2
=


0
1
0
0
0
0
1
0
c ∂ x 4 2  ∂x' 1 ∂x' 2 ∂x' 3 c∂x' 4   − v'
 0 0 1 0  0 0 1 0   ∂ 
0 0 K'  0 0 0 −1 
 3 
 c

0 0 0 K'   ∂x∂' 


 c∂x' 4 
O produto das três matrizes do meio fornece:
( )
( )
( )
( )
( )
( )
46/120
15.39
15.40
 1
 0
 0
 − v'
 c
00
10
01
00
0  1 0 0 0 1 0 0
0  0 1 0 0  
0  0 0 1 0  0 1 0
0 0 1

K'  0 0 0 −1 

0 0 0
− v'   1

c   0
0 =
0
0  
− v'

K'  
 c
− v'


c

10
0

01
0
− 2v' u' x' 1 
0 0 −1

c2

00
15.41
Resultado que pode ser dividido em duas matrizes:
 1

 0
 0
 − v'

 c
− v'


 1 0 0 0   0
c
 0 1 0 0   0
10
0
 = 0 0 1 0  +  0
01
0
− 2v' u' x' 1  0 0 0 −1  − v'
0 0 −1


c2

 c
00
− v' 

c

00
0

00
0
− 2v' u' x' 1 
00

c2

00
15.42
Que aplicadas na equação de onda fornece:
 ∂ 
− v'    ∂x' 1 
00
  ∂ 
c
   ∂x' 2 
00
0
  ∂  = 0
00
0


1 
− 2v' u' x'   ∂x' 3 
00

c2
   ∂ 


 c∂x' 4 
Efetuando as operações do segundo termo encontramos:


 1 0 0 0   0
2
∂   0 1 0 0   0
1 ∂ φ  ∂ ∂ ∂
∇ 2φ − 2
= 1
+

2
2
3
4
c ∂x
 ∂x' ∂x' ∂x' c∂x' 4   0 0 1 0   0
0 0 0 −1 − v'



 c
15.43
( )
 ∂ 
− v'   ∂x' 1 
00
 ∂ 
c
1
  ∂x' 2 
∂2
00
0

 = − v'2 ∂ 1 ∂ 4 − v'2 ∂ 1 ∂ 4 − 2v2' u' x2'

00
0
c ∂x' ∂x' c ∂x' ∂x' c c ∂ x' 4
 ∂ 
− 2v' u' x' 1   ∂x' 3 
00

c2
 ∂ 


 c∂x' 4 
Fazendo as operações obtemos:
 0

∂  0
 ∂ ∂ ∂
 ∂x' 1 ∂x' 2 ∂x' 3 c∂x' 4   0
 − v'

 c
−
( )
2v' ∂ ∂ 2v' u' x' 1 ∂ 2
−
c 2 ∂x' 1 ∂x' 4 c 2 c 2 ∂ x' 4
2
( )
2
Onde aplicando 8.5 temos:
−
2v'  u' x' 1 ∂  ∂ 2v' u' x' 1 ∂ 2
−
−

c 2  c 2 ∂x' 4  ∂x' 4 c 2 c 2 ∂ x' 4
( )
2
= zero
Então temos:
 0

 ∂ ∂ ∂
∂  0
 ∂x' 1 ∂x' 2 ∂x' 3 c∂x' 4   0
 − v'

 c
 ∂ 
− v'   ∂x' 1 
00
 ∂ 
c
  ∂x' 2 
00
0
  ∂  = zero
00
0


1
− 2v' u' x'  ∂x' 3 
00

c2
 ∂ 


 c∂x' 4 
15.44
Com esse resultado obtemos em 15.43 a invariância da equação de onda:
47/120
 ∂ 
 ∂x' 1 


1 0 0 0   ∂ 
2
2
2
∂
φ
1

∂
∂
∂
∂


0
1
0
0

 ∂x'  = ∇ 2φ' − 1 ∂ φ' = 0
∇ 2φ − 2
=
c ∂ x 4 2  ∂x' 1 ∂x' 2 ∂x' 3 c∂x' 4  0 0 1 0   ∂ 
c 2 ∂ x' 4 2
0 0 0 −1 
3 
∂x'
 ∂ 


 c∂x' 4 
( )
( )
15.45
A equação de onda para o observador O’ é igual a:
 ∂ 
 ∂x' 1 


1 0 0 0   ∂ 
2
2
2
2
2
∂ φ'
∂ φ'
∂ φ'
1 ∂ φ'
1 ∂ φ'  ∂ ∂ ∂
∂  0 1 0 0   ∂x' 2 
∇ 2φ' − 2
=
+
+
− 2
= 1
=0
2
2
2
2
2
2
3
4
1
2
3
4
c ∂ x'
c ∂ x'
 ∂x' ∂x' ∂x' c∂x' 4  0 0 1 0   ∂ 
∂ x'
∂ x'
∂ x'
0 0 0 −1 
3 
∂x'
 ∂ 


 c∂x' 4 
( )
( )
( )
( )
( )
15.46
Onde aplicando 15.23 e a transposta de 15.23 temos:
1 0 0
1 ∂ φ'  ∂ ∂ ∂ ∂   0 1 0
2
∇ φ' − 2
=
0 0 1
c ∂ x' 4 2  ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 c∂x 4   v
 c 0 0
2
( )
0  1 0 0 0 1 0 0
0  0 1 0 0  
0  0 0 1 0  0 1 0
0 0 1

K  0 0 0 −1 

0 0 0
 ∂ 
 1 
v   ∂∂x 
c  2 
0   ∂x  = 0
0  ∂ 
3

K   ∂x 
 ∂ 


 c∂x 4 
15.47
O produto das três matrizes do meio fornece:
1 0 0
0 1 0
0 0 1
v
 c 0 0
0  1 0 0 0 1 0 0
0  0 1 0 0  
0  0 0 1 0  0 1 0
0 0 1

K  0 0 0 −1 

0 0 0
v

v  1 0 0


c

c
0 1 0

0
0 =

001
0

0
v
2vux 1 

K   0 0 −1+ 2 
c 
c
15.48
Resultado que pode ser dividido em duas matrizes:
v
v 
1 0 0



 1 0 0 0   0 0 0 c 
c
0 1 0
 0 1 0 0   0 0 0 0 
0
0 0 1
 = 0 0 1 0  +  0 0 0 0 
0
1
v
0 0 0 −1  v
2vux
2vux1 
 0 0 −1+ 2  
 00 2 
c 
c 
c
c
Que aplicadas na equação de onda fornece:
15.49
 ∂ 

 0 0 0 v    ∂x 1 


 1 0 0 0  
c  ∂ 
2


2


∂
'
φ
 ∂ ∂ ∂ ∂  0 1 0 0  0 0 0 0
1
∂x  = 0
∇ 2 φ' − 2
=
+


c ∂ x' 4 2  ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 c∂x 4   0 0 1 0   0 0 0 0 1    ∂ 


3
 0 0 0 −1  v 0 0 2vux
   ∂x 
c 2    ∂ 
c



 c∂x 4 
( )
Efetuando as operações do segundo termo encontramos:
48/120
15.50
 ∂ 
 0 0 0 v   ∂x 1 



c  ∂ 
v ∂ ∂ 2v ux 1 ∂ 2
 ∂ ∂ ∂ ∂   0 0 0 0   ∂x 2  v ∂ ∂
=
+


 ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 c∂x 4  0 0 0 0  ∂  c 2 ∂x 1 ∂x 4 c 2 ∂x 1 ∂x 4 + c 2 c 2
∂ x4
v
2vux 1   ∂x 3 
 00 2 
c  ∂ 
c
 4
 ∂x 
( )
2
Fazendo as operações obtemos:
2v ∂ ∂ 2v ux1 ∂ 2
+
c 2 ∂x1 ∂x 4 c 2 c 2 ∂ x 4
( )
2
Onde aplicando 8.5 temos:
2v  − ux1 ∂  ∂ 2v ux 1 ∂ 2
+


c 2  c 2 ∂x 4  ∂x 4 c 2 c 2 ∂ x 4
( )
2
= zero
Então temos:
 ∂ 
 0 0 0 v   ∂x 1 



c  ∂ 
 ∂ ∂ ∂ ∂   0 0 0 0   ∂x 2 
 ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 c∂x 4   0 0 0 0   ∂  = zero
v
3
2vux 1 
 0 0 2   ∂x 

c
c  ∂ 

 4
 ∂x 
15.51
Então em 15.50 temos a invariância da equação de onda:
 ∂ 
 ∂x 1 


1 0 0 0   ∂ 
2
2
2
1 ∂ φ'  ∂ ∂ ∂ ∂  0 1 0 0   ∂x 
1 ∂ φ
∇ 2 φ' − 2
= 1 2 3
= ∇ 2φ − 2
=0
2
4



0
0
1
0
 ∂ 
c ∂ x' 4
c ∂ x4 2
 ∂x ∂x ∂x c∂x 
0 0 0 −1  3 
∂x
 ∂ 


 c∂x 4 
( )
( )
Invariância das equações 8.5 de propagação linear
Substituindo 2.4, 8.2, 8.4B em 8.5 obtemos:
∂ ux1 ∂
∂
v' ∂
1 (u' x' 1 +v' )
∂
+
=
−
+
K' 4 = zero
1
2
4
1
2
4
2
∂x c ∂x ∂x' c ∂x' c
∂x'
K'
Fazendo as operações obtemos:
∂ ux1 ∂
∂
v' ∂ u' x' 1 ∂
v' ∂
+
=
−
+ 2
+ 2
= zero
1
2
4
1
2
4
4
∂x c ∂x ∂x' c ∂x'
c ∂x' c ∂x' 4
Que simplificada fornece a invariância da equação 8.5:
∂ ux1 ∂
∂ u' x' 1 ∂
+
=
+
= zero
∂x1 c 2 ∂x 4 ∂x' 1 c 2 ∂x' 4
Substituindo 2.3, 8.1, 8.3B em 8.5 obtemos:
∂ u' x' 1 ∂
∂
v ∂
1 (ux1 − v )
∂
+
=
+
+
K 4 = zero
1
2
4
1
2
4
2
∂x'
c ∂x' ∂x c ∂x c
∂x
K
49/120
15.52
Fazendo as operações obtemos:
v ∂ ux1 ∂
v ∂
∂ u' x' 1 ∂
∂
+
=
+
+
−
= zero
∂x' 1 c 2 ∂x' 4 ∂x1 c 2 ∂x 4 c 2 ∂x 4 c 2 ∂x 4
Que simplificada fornece a invariância da equação 8.5:
∂ u' x' 1 ∂
∂ ux1 ∂
+ 2
= 1 + 2 4 = zero
1
4
∂x'
c ∂x' ∂x c ∂x
O quadro 4 em forma de matrizes se torna:
 px' 1  1 0 0 − v / c   px1 
 px' 2  0 1 0 0   px 2 
 3  = 0 0 1 0   3 
px 
 px'  

 E' / c  0 0 0 K   E / c 
15.53
 px 1  1 0 0 v' / c   px' 1 
 px 2  0 1 0 0   px' 2 
 3  = 0 0 1 0   3 
 px  
 px' 
0 0 0 K'   E' / c 
 E / c  


15.54
O quadro 6 em forma de matrizes se torna:
 J' x' 1  1 0 0 − v / c   Jx1 
 J ' x' 2  0 1 0 0   Jx 2 
 J ' x' 3  = 0 0 1 0   Jx 3 
 cρ'  0 0 0 K   cρ 
 

 
15.55
 Jx1  1 0 0 v' / c   J ' x' 1 
 Jx 2  0 1 0 0   J' x' 2 
 Jx 3  = 0 0 1 0   J ' x' 3 
 cρ  0 0 0 K'   cρ' 

  

15.56
Invariância da Equação de continuidade
A equação de continuidade para o observador O é igual a:
 Jx1 
r r ∂ρ ∂Jx1 ∂Jx 2 ∂Jx 3 ∂ρ  ∂ ∂ ∂ ∂   Jx 2 
∇.J + 4 = 1 + 2 + 3 + 4 =  1 2 3
3 = zero
∂x
∂x
∂x
∂x ∂x  ∂x ∂x ∂x c∂x 4   Jx 
 cρ 
15.57
Onde substituindo 15.24 e 15.56 obtemos:
 1 00
r r ∂ρ  ∂ ∂ ∂ ∂   0 1 0
∇.J + 4 =  1 2 3
∂x  ∂x' ∂x' ∂x' c∂x' 4   0 0 1
− v' / c 0 0

0  1 0 0 v' / c   J' x' 1 
0  0 1 0 0   J ' x' 2 
0  0 0 1 0   J' x' 3  = zero
K'  0 0 0 K'   cρ' 
15.58
O produto das matrizes de transformação já foi obtido em 15.27 e 15.28 com isso:

 0 0 0 v' / c   
1

1 0 0 0
0    J ' x' 2 
r r ∂ρ  ∂ ∂ ∂ ∂   0 1 0 0  0 0 0
J
'
x
'

0 
∇.J + 4 =  1 2 3
+ 0 0 0
3
∂x  ∂x' ∂x' ∂x' c∂x' 4   0 0 1 0 
v
'
u
' x' 1    J ' x' 
2
 0 0 0 1 − v' / c 0 0

c
'
ρ


c 2 


Efetuando as operações do segundo termo obtemos:
50/120
15.59
 0 0 0 v' / c  
1
 0 00
0   J ' x' 2 
1
v' ∂ρ' 2v' u' x' 1 ∂ρ'
∂  0 0 0
 ∂ ∂ ∂
0   J ' x' 3  = − v'2 ∂Jx'4 +
+
 ∂x' 1 ∂x' 2 ∂x' 3 c∂x' 4  
1  J ' x'
c ∂x'
∂x' 1
c 2 ∂x' 4
2v' u' x' 

c
'
ρ
− v' / c 0 0


c 2 

Aonde substituindo Jx' 1 = ρ' u' x' 1 e 8.5 obtemos:
−
 u' x' 1 ∂ 
v' u' x' 1 ∂ρ'
2v' u' x' 1 ∂ρ'
+ v'  − 2
= zero
 ρ' +
2
4
4
c
∂x'
c 2 ∂x' 4
 c ∂x' 
Então temos:
 0 0 0 v' / c  
1
 0 00
0   J ' x' 2 
 ∂ ∂ ∂
∂  0 0 0
0   J ' x' 3  = zero
 ∂x' 1 ∂x' 2 ∂x' 3 c∂x' 4  
2v' u' x' 1   J ' x' 
 − v' / c 0 0
 cρ' 
c 2 

15.60
Com esse resultado obtemos em 15.59 a invariância da equação de continuidade:
1
1 0 0 0  J ' x' 
r r ∂ρ  ∂ ∂ ∂
∂  0 1 0 0  J ' x' 2  r r ∂ρ'
∇ .J + 4 =  1 2
3 = ∇.J ' +
3
∂x  ∂x' ∂x' ∂x' c∂x' 4  0 0 1 0  J ' x' 
∂x' 4
0 0 0 1 cρ'


15.61
A equação de continuidade para o observador O’ é igual a:
 J' x' 1 
∂
∂   J' x' 2 
 ∂ ∂
= 1
3  = zero

 ∂x' ∂x' 2 ∂x' 3 c∂x' 4   J ' x' 
 cρ' 
Onde substituindo 15.23 e 15.55 temos:
r r ∂ρ' ∂J' x' 1 ∂J' x' 2 ∂J ' x' 3 ∂ρ'
∇.J' + 4 =
+
+
+
∂x'
∂x' 1
∂x' 2
∂x' 3 ∂x' 4
 1 00
r r ∂ρ'  ∂ ∂ ∂ ∂   0 1 0
∇.J' + 4 =  1 2 3
∂x'  ∂x ∂x ∂x c∂x 4   0 0 1
v / c 0 0

0  1 0 0 − v / c  Jx1 
0  0 1 0 0   Jx 2 
0  0 0 1 0   Jx 3  = zero
K  0 0 0 K   cρ 
15.62
15.63
O produto das matrizes de transformação já foi obtido em 15.34 e 15.35 por isso temos:

 0 0 0 −v / c   1 
Jx
1 0 0 0
r r ∂ρ'  ∂ ∂ ∂ ∂   0 1 0 0  0 0 0 0    Jx 2 


∇.J' + 4 =  1 2 3
+ 0 0 0 0   3 
∂x'  ∂x ∂x ∂x c∂x 4   0 0 1 0 
2vux1   Jx
 0 0 0 1 v / c 0 0 − 2    cρ 
c 


Efetuando as operações do segundo termo obtemos:
 0 0 0 −v / c  1 
 0 00
0   Jx 2 
1
1
∂ρ
 ∂ ∂ ∂ ∂  0 0 0
  Jx 3  = v2 ∂Jx4 − v∂ρ1 − 2vux
0
1
2
3
4
2
 ∂x ∂x ∂x c∂x  
1  Jx
c ∂x
∂x
c ∂x 4
2vux 

v
/
c
0
0
−

 cρ 
c 2 

Aonde substituindo Jx 1 = ρux 1 e 8.5 obtemos:
vux1 ∂ρ  ux1 ∂  2vux1 ∂ρ
− v −
= zero
ρ − 2
c 2 ∂x 4  c 2 ∂x 4 
c ∂x 4
Então temos:
51/120
15.64
 0 0 0 −v / c  1 
 0 00
0   Jx 2 
 ∂ ∂ ∂ ∂  0 0 0
0   Jx 3  = zero
 ∂x 1 ∂x 2 ∂x 3 c∂x 4  
2vux 1   Jx 
v / c 0 0 − 2   cρ 
c 

15.65
Com esse resultado obtemos em 15.64 a invariância da equação de continuidade:
1
1 0 0 0  Jx 
r r ∂ρ'  ∂ ∂ ∂ ∂  0 1 0 0  Jx 2  r r ∂ρ
∇.J' + 4 =  1 2 3
3 = ∇ .J +
∂x'  ∂x ∂x ∂x c∂x 4  0 0 1 0  Jx 
∂x 4
0 0 0 1 cρ


15.66
Invariância do elemento diferencial de linha:
Que para o observador O se escreve como:
(ds )2 = (dx1 )2 + (dx 2 )2 + (dx 3 )2 − (cdx 4 )2 = [dx1 dx 2 dx 3 cdx 4 ]
1 0 0 0 
0 1 0 0 
0 0 1 0 
0 0 0 −1
 dx1 
 dx 2 
 dx 3 
cdx 4 


15.67
Onde substituindo 15.18 e a transposta de 15.18 temos:
1
0
(ds )2 = dx' 1 dx' 2 dx' 3 cdx' 4  0
 v'
 c
[
]
00
10
01
00
0  1 0 0 0 1 0 0
0  0 1 0 0  
0  0 0 1 0  0 1 0
0 0 1

K'  0 0 0 −1 

0 0 0
v' 
 dx' 1 
c   dx' 2 
0  3 
0   dx' 4 
K'  cdx' 
15.68
O produto das três matrizes central fornece:
1
0
0
 v'
 c
0  1 0 0 0 1 0 0
0  0 1 0 0  
0  0 0 1 0  0 1 0
0 0 1

K'  0 0 0 −1 

0 0 0
00
10
01
00
v'   1
c  0
0 =0
0  
v'
K '  
c
v'


c

10
0

01
0
− 2v' dx' 1 
0 0 −1 2 4 
c dx' 
00
15.69
Resultado que pode ser dividido em duas matrizes:
1

0
0
 v'

c
v'


 1 0 0 0   0
c
 0 1 0 0   0
10
0
 = 0 0 1 0  +  0
01
0
1
0 0 0 −1  v'
− 2v' dx'
0 0 −1 2 4  

c dx' 
c
00
v'


c

00
0

00
0
− 2v' dx' 1 
00 2 4 
c dx' 
00
15.70
Que aplicadas no elemento diferencial de linha fornece:


 1 0 0 0   0


(ds )2 = dx' 1 dx' 2 dx' 3 cdx' 4  00 10 10 00  +  00
 0 0 0 −1  v'
 

c

[
]
v'

   dx' 1 
c
   dx' 2 
00
0
   dx' 3 
00
0
1 
4
− 2v' dx'
0 0 2 4   cdx' 
c dx'  
00
Efetuando as operações do segundo termo encontramos:
0

1
2
3
4 0
dx' dx' dx' cdx'  0
 v'

c
[
]
v'

  dx' 1 
c
  dx' 2  v' dx' 1 cdx' 4
 v'

2v' dx' 1
00
0
+ cdx' 4  dx' 1 − 2
cdx' 4  = zero
  dx' 3  =
4
00
0
c
c
c
dx
'


− 2v' dx' 1  cdx' 4 
00 2

c dx' 4 
00
52/120
15.71
0

1
2
3
4 0
Então temos: dx' dx' dx' cdx' 
0
 v'

c
[
]
v'

  dx' 1 
c
  dx' 2 
00
0
  dx' 3  = zero
00
0
1 
− 2v' ' dx' cdx' 4 
00 2

c dx' 4 
00
15.72
Com esse resultado obtemos em 15.71 a invariância do elemento diferencial de linha:
1
1 0 0 0   dx' 
' 2  = dx' 1 2 + dx' 2 2 + dx' 3 2 − cdx' 4 2 = (ds' )2
(ds )2 = dx' 1 dx' 2 dx' 3 cdx' 4 00 10 10 00   dx
dx' 3 
0 0 0 −1 cdx' 4 


Para o observador O’ o elemento diferencial de linha se escreve como:
[
]
(ds' )2 = (dx'
( ) ( ) ( ) (
) + (dx' ) + (dx' ) − (cdx' ) = [dx'
1 2
2 2
3 2
4 2
1
dx' 2 dx' 3 cdx' 4
]
1 0 0 0 
0 1 0 0 
0 0 1 0 
0 0 0 −1
)
15.73
 dx' 1 
 dx' 2 
 dx' 3 
cdx' 4 


15.74
Onde substituindo 15.15 e a transposta de 15.15 temos:
 1 00
 0 10
2
1
2
3
4
(ds' ) = dx dx dx cdx  0 0 1
−v
 c 0 0
[
]
0  1 0 0 0 1 0 0
0  0 1 0 0  
0  0 0 1 0  0 1 0
0 0 1

K  0 0 0 −1 

0 0 0
−v 
 dx1 
c   dx 2 
0  3 
0   dx 4 
K  cdx 
15.75
O produto das três matrizes central fornece:
 1 00
 0 10
 0 01
−v
 c 0 0
0  1 0 0 0 1 0 0
0  0 1 0 0  
0  0 0 1 0  0 1 0
0 0 1

K  0 0 0 −1 

0 0 0
−v

−v   1 0 0


c
c   0 10

0

0 =

0 01
0

0
1
−v
2
vdx
K   0 0 −1+ 2 4 
c dx 
c
15.76
Resultado que pode ser dividido em duas matrizes:
−v
 1 00



 1 0 0 0   0
c
 0 10
 0 1 0 0   0
0
 0 01
 = 0 0 1 0  +  0
0
1
−v
0 0 0 −1  − v
2vdx
 0 0 −1+ 2 4  

c
c dx 

c
−v 
c 
00 0 
00 0 
2vdx 1 
00 2 4
c dx 
00
15.77
Que aplicadas no elemento diferencial de linha fornece:

−v 

 1 0 0 0   0 0 0 c    dx 1 
2 



(ds' )2 = dx1dx 2 dx 3 cdx 4  00 10 10 00  +  00 00 00 00    dx
dx 3 
 0 0 0 −1  − v
1  
4
  0 0 2vdx   cdx 

2
4

c dx  
c
[
]
Efetuando as operações do segundo termo encontramos:
0

1
2
3
4  0
dx dx dx cdx  0
−v

c
Então temos:
[
]
−v 
1
c   dx 
4
1

0 0 0   dx 2  − vdx 1cdx
4  −v
1 2v dx
=
+
cdx
dx
+
cdx 4  = zero

3 


2
4
00 0
dx
c
c
c
dx


4
2v dx 1  
0 0 2 4  cdx 
c dx 
00
53/120
15.78
0

1
2
3
4  0
dx dx dx cdx  0
 −v

c
[
]
−v 
1
c   dx 
0 0 0   dx 2 
0 0 0   dx 3  = zero
4
2v dx1  
0 0 2 4  cdx 
c dx 
00
15.79
Com esse resultado obtemos em 15.78 a invariância do elemento diferencial de linha:
1
1 0 0 0   dx 
2 

2
2
1 2
(ds' )2 = dx1 dx 2 dx 3 cdx 4 00 10 10 00   dx
+ dx 2 + dx 3 − cdx 4
3  = dx
dx

4
0 0 0 −1 cdx 
[
]
( ) ( ) ( ) (
) = (ds )
2
15.80
2
rr r r
No §7 como conseqüência de 5.3 obtivemos a invariância de E .u = E'.u' onde agora aplicando 7.3.1, 7.3.2,
7.4.1, 7.4.2 e as fórmulas de transformação de velocidade do quadro 2 obtemos novas relações entre Ex e
E' x' distintas de 7.3 e 7.4 e com elas reescrevemos o quadro 7 na forma abaixo:
Quadro 7B
E 'x'=
Ex K
1− v 


 ux 
Ex =
7.3B
E 'x ' K '
1+ v' 


 u 'x' 
7.4B
E' y' = Ey K
7.3.1
Ey = E' y' K'
7.4.1
E' z' = Ez K
B' x' = Bx
v
B' y' = By + 2 Ez
c
v
B' z' = Bz − 2 Ey
c
ux
By = − 2 Ez
c
ux
Bz = 2 Ey
c
1− v 1+ v'  =1



 ux  u 'x' 
7.3.2
7.5
Ez = E' z' K'
Bx = B' x'
v'
By = B' y' − 2 E' z'
c
v'
Bz = B' z' + 2 E' y'
c
u' x'
B' y' = − 2 E' z'
c
u' x'
B' z' = 2 E' y'
c
7.4.2
7.6
7.5.1
7.5.2
7.9
7.9.1
7.6.1
7.6.2
7.10
7.10.1
Com os quadros 7B e 9B podemos obter a invariância de todas as equações de Maxwell.
Invariância da lei de Gauss para o campo elétrico:
∂E' x' ∂E' y' ∂E' z' ρ'
+
+
=
∂x'
∂y'
∂z'
ε0
8.14
Onde aplicando os quadros 6, 7B e 9B obtemos:
v ∂  Ex K
∂Ey K Ez K ρ K
 ∂
+
+
=
 + 2 
∂y
∂z
ε0
 ∂x c ∂t  (1 − v / ux )
Onde simplificando e substituindo 8.5 obtemos:
∂
Ex
∂Ey Ez ρ
 − 1 ∂ 
 ∂x + v ux ∂x  (1 − v / ux ) + ∂y + ∂z = ε



0
Que reordenada fornece:
54/120
∂ 
v 
Ex
∂Ey Ez ρ
 ∂x 1 − ux  (1 − v / ux ) + ∂y + ∂z = ε .

 
0
Que simplificada fornece a invariância da lei de Gauss para o campo elétrico.
Invariância da lei de Gauss para o campo magnético:
∂B' x' ∂B' y' ∂B' z'
+
+
= zero
∂x'
∂y'
∂z'
8.16
Onde aplicando os quadros 7B e 9B obtemos:
v ∂
∂ 
v
v
 ∂
 ∂ 

 + 2  Bx +  By + 2 Ez  +  Bz − 2 Ey  = 0
∂y 
c
c
 ∂x c ∂t 
 ∂z 

Que reordenada fornece:
∂Bx ∂By ∂Bz v
+
+
+
∂x
∂y
∂z c 2
 ∂Ez ∂Ey ∂Bx 

=0
−
+
∂z
∂t 
 ∂y
Onde o termo entre parêntese é a lei de Faraday – Henry (8.19) que é igual a zero por isso obtemos a
invariância da lei de Gauss para o campo magnético.
Invariância da lei de Faraday - Henry:
∂E' y' ∂E' x'
∂B' z'
−
=−
∂x'
∂y'
∂t'
8.18
Onde aplicando os quadros 7B e 9B obtemos:
v ∂
∂ Ex K
∂
v
∂

= − K  Bz − 2 Ey 
 + 2  Ey K −
(
)
∂
x
c
∂
t
∂
y
1
−
v
/
ux
∂
t
c




Que simplificada e multiplicada por (1 − v / ux ) obtemos:
∂Ey 
v  ∂Ex
∂Bz 
v 
=−
1 −  −
1 − 
∂x  ux  ∂y
∂t  ux 
Onde fazendo os produtos e substituindo 7.9.1 obtemos:
∂Ey ∂Ex
∂Bz v  ∂Ey ux ∂Ey 
−
=−
+ 
+

∂x
∂y
∂t
ux  ∂x c 2 ∂t 
Como o termo dentro do parêntese é a equação 8.5 que é igual a zero então obtemos a invariância da lei de
Faraday – Henry.
Invariância da lei de Faraday - Henry:
∂E' z' ∂E' y'
∂B' x'
−
=−
∂y'
∂z'
∂t'
8.20
Onde aplicando os quadros 7B e 9B obtemos:
∂Ez
∂Ey
∂Bx
K−
K =− K
∂y
∂z
∂t
Que simplificada fornece a invariância da lei de Faraday – Henry.
55/120
Invariância da lei de Faraday - Henry:
∂E' x' ∂E' z'
∂B' y'
−
=−
∂t'
∂z'
∂x'
8.22
Onde aplicando os quadros 7B e 9B obtemos:
∂ Ex K
v ∂
∂
v
∂

−  + 2  Ez K = − K  By + 2 Ez 
∂z (1 − v / ux )  ∂x c ∂t 
∂t 
c

Que simplificada e multiplicada por (1−v / ux ) obtemos:
∂By 
∂Ex ∂Ez 
v  v ∂Ez 
v 
v  v ∂Ez 
v 
−
1 −  − 2
1 −  = −
1 −  − 2
1 − 
∂z
∂x  ux  c ∂t  ux 
∂t  ux  c ∂t  ux 
Que simplificando e fazendo as operações obtemos:
∂Ex ∂Ez
∂By v  ∂Ez ∂By 
−
=−
− 
−

∂z
∂x
∂t
ux  ∂x
∂t 
Onde aplicando 7.9 obtemos:
∂Ex ∂Ez
∂By v  ∂Ez ux ∂Ez 
−
=−
− 
+
.
∂z
∂x
∂t
ux  ∂x c 2 ∂t 
Como o termo dentro do parêntese é a equação 8.5 que é igual a zero então obtemos a invariância da lei
de Faraday – Henry.
Invariância da lei de Ampère - Maxwell:
∂B' y' ∂B' x'
∂E' z'
−
= µ o J ' z' +ε o µ o
∂x'
∂y'
∂t'
8.24
Onde aplicando os quadros 6, 7B e 9B obtemos:
v ∂ 
v
∂
∂
 ∂Bx
= µ 0 Jz + ε 0 µ 0 K Ez K
 + 2  By + 2 Ez  −
∂t
c
 ∂x c ∂t 
 ∂y
Que simplificando e fazendo as operações obtemos:
∂By ∂Bx
∂Ez 1 v 2 ∂Ez 1 2vux ∂Ez v ∂Ez v ∂By 1 v 2 ∂Ez
−
= µ 0 Jz + ε 0 µ 0
+ 2 2
− 2 2
− 2
−
− 2 2
∂x
∂y
∂t
∂t
c c ∂t
c c
c ∂x c 2 ∂t
c c ∂t
Onde simplificando e aplicando 7.9 obtemos:
∂By ∂Bx
∂Ez 1 2vux ∂Ez v ∂Ez v  − ux ∂Ez 
−
= µ 0 Jz + ε 0 µ 0
− 2 2
− 2
− 

∂x
∂y
∂t
∂t
c c
c ∂x c 2  c 2 ∂t 
Que reordenada fornece
∂By ∂Bx
∂Ez v  ux ∂Ez ∂Ez 
−
= µ 0 Jz + ε 0 µ 0
− 2 2
+

∂x
∂y
∂t
∂x 
c  c ∂t
Como o termo dentro do parêntese é a equação 8.5 que é igual a zero então obtemos a invariância da lei
de Ampère - Maxwell:
56/120
Invariância da lei de Ampère - Maxwell:
∂B' z' ∂B' y'
∂E' x'
−
= µ o J' x' +ε o µ o
∂y'
∂z'
∂t'
8.26
Onde aplicando os quadros 6, 7B e 9B obtemos:
∂ 
v
v
∂ Ex K
 ∂ 

 Bz − 2 Ey  −  By + 2 Ez  = µ 0 ( Jx − ρv ) + ε 0 µ 0 K
∂y 
∂t (1 − v / ux )
c
c
 ∂z 

Fazendo as operações obtemos:
∂Bz ∂By
v
−
= µ 0 Jx + 2
∂y
∂z
c
 v 2 2vux  ∂Ex
 ∂Ey ∂Ez

1

+
− µ 0 c 2 ρ  + ε 0 µ 0 1 + 2 − 2 
∂z
c  ∂t (1 − v / ux )
 ∂y

 c
Substituindo no primeiro parêntese a lei Gauss e multiplicando por
1− v  obtemos:


 ux 
∂Bz ∂By
∂Ex v  ∂Bz ∂By
 v ∂Ex v 2  1 ∂Ex  1 v 2 ∂Ex 1 2vux ∂Ex
−
= µ 0 Jx + ε 0 µ 0
+ 
−
− µ 0 Jx  − 2
+ 
−
+
∂y ∂z
∂t ux  ∂y ∂z
 c ∂x c 2  ux ∂x  c 2 c 2 ∂t c 2 c 2 ∂t
Onde substituindo Jx =
ρux , 7.9.1, 7.9 e 8.5 obtemos:
∂Bz ∂By
∂Ex v  ux ∂Ey ux ∂Ez
 v ∂Ex v 2  −1 ∂Ex  1 v 2 ∂Ex 1 2vux ∂Ex
−
= µ 0 Jx + ε 0 µ 0
+  2
+ 2
− µ 0 ρux  − 2
+ 2 2
− 2 2
+ 2 2
∂y ∂z
∂t ux  c ∂y c ∂z
∂t
 c ∂x c  c ∂t  c c ∂t c c
Que simplificada fornece:
∂Bz ∂By
∂Ex v
−
= µ 0 Jx + ε 0 µ 0
+ 2
∂y
∂z
∂t
c
 ∂Ey ∂Ez
 v ∂Ex 1 2vux ∂Ex

+
− µ 0 c 2 ρ  − 2
− 2 2
∂z
∂t
 ∂y
 c ∂x c c
Substituindo no primeiro parêntese a lei Gauss obtemos:
∂Bz ∂By
∂Ex v ∂Ex v ∂Ex 1 2vux ∂Ex
−
= µ 0 Jx + ε 0 µ 0
−
−
−
∂y ∂z
∂t c 2 ∂x c 2 ∂x c 2 c 2 ∂t
Que reordenada fica:
∂Bz ∂By
∂Ex 2v  ∂Ex ux ∂Ex 
−
= µ 0 Jx + ε 0 µ 0
− 2
+

∂y
∂z
∂t
c  ∂x c 2 ∂t 
Como o termo dentro do parêntese é a equação 8.5 que é igual a zero então obtemos a invariância da lei
de Ampère - Maxwell:
Invariância da lei de Ampère - Maxwell:
∂B' x' ∂B' z'
∂E' y'
−
= µ o J ' y' +ε o µ o
∂t'
∂z'
∂x'
8.28
Onde aplicando os quadros 6, 7B e 9B obtemos:
∂Bx  ∂
v ∂ 
v
∂

−  + 2  Bz − 2 Ey  = µ 0 Jy + ε 0 µ 0 K Ey K
∂z  ∂x c ∂t 
∂t
c

57/120
Fazendo as operações obtemos:
∂Bx ∂Bz
∂Ey 1 v 2 ∂Ey 1 2vux ∂Ey v ∂Ey v ∂Bz 1 v 2 ∂Ey
−
= µ 0 Jy + ε 0 µ 0
+ 2 2
−
−
+
−
∂z
∂x
∂t
c c ∂t c 2 c 2 ∂t c 2 ∂x c 2 ∂t c 2 c 2 ∂t
Onde simplificando e aplicando 7.9.1 obtemos:
∂Bx ∂Bz
∂Ey 1 2vux ∂Ey v ∂Ey v  ux ∂Ey 
−
= µ 0 Jy + ε 0 µ 0
− 2 2
− 2
+ 

∂z
∂x
∂t
∂t
c c
c ∂x c 2  c 2 ∂t 
Que reordenada fica:
∂Bx ∂Bz
∂Ey v  ux ∂Ey ∂Ey 
−
= µ 0 Jy + ε 0 µ 0
− 2 2
+

∂z
∂x
∂t
∂x 
c  c ∂t
Como o termo dentro do parêntese é a equação 8.5 que é igual a zero então obtemos a invariância da lei
de Ampère - Maxwell:
Invariância da lei de Gauss para o campo elétrico sem carga elétrica:
∂E' x' ∂E' y' ∂E' z'
+
+
= zero
∂x'
∂y'
∂z'
8.30
Onde aplicando os quadros 7B e 9B obtemos:
v ∂  Ex K
∂Ey K Ez K
∂
+
+
= zero
 + 2 
∂y
∂z
 ∂x c ∂t  (1 − v / ux )
Onde simplificando e substituindo 8.5 obtemos:
∂Ey Ez
∂
Ex
 − 1 ∂ 
 ∂x + v ux ∂x  (1 − v / ux ) + ∂y + ∂z = zero



Que reordenada fornece:
∂ 
∂Ey Ez
v 
Ex
 ∂x 1 − ux  (1 − v / ux ) + ∂y + ∂z = zero .

 
Que simplificada fornece a lei de Gauss para o campo elétrico sem carga elétrica.
Invariância da lei de Ampère – Maxwell sem carga elétrica:
∂B' y' ∂B' x'
∂E' z'
−
= ε o µo
∂x'
∂y'
∂t'
8.40
Onde aplicando os quadros 7B e 9B obtemos:
v ∂ 
v
∂
∂
 ∂Bx
= ε 0 µ 0 K Ez K
 + 2  By + 2 Ez  −
∂t
c
 ∂x c ∂t 
 ∂y
Fazendo as operações obtemos:
∂By ∂Bx
∂Ez 1 v 2 ∂Ez 1 2vux ∂Ez v ∂Ez v ∂By 1 v 2 ∂Ez
−
= ε 0 µ0
+ 2 2
− 2 2
− 2
−
− 2 2
∂x
∂y
∂t
∂t
c c ∂t
c c
c ∂x c 2 ∂t
c c ∂t
58/120
Onde simplificando e aplicando 7.9 obtemos:
∂By ∂Bx
∂Ez 1 2vux ∂Ez v ∂Ez v  − ux ∂Ez 
−
= ε 0 µ0
− 2 2
− 2
− 

∂x
∂y
∂t
∂t
c c
c ∂x c 2  c 2 ∂t 
Que reordenada fica:
∂By ∂Bx
∂Ez v  ux ∂Ez ∂Ez 
−
= ε 0 µ0
− 2 2
+

∂x
∂y
∂t
∂x 
c  c ∂t
Como o termo dentro do parêntese é a equação 8.5 que é igual a zero então obtemos a invariância da lei
de Ampère – Maxwell sem carga elétrica:
Invariância da lei de Ampère – Maxwell sem carga elétrica:
∂B' z' ∂B' y'
∂E' x'
−
= ε o µo
∂t'
∂y'
∂z'
8.42
Onde aplicando os quadros 7B e 9B obtemos:
∂ 
v
v
∂ Ex K
 ∂ 

 Bz − 2 Ey  −  By + 2 Ez  = ε 0 µ 0 K
∂y 
∂t (1 − v / ux )
c
c
 ∂z 

Fazendo as operações obtemos:
 v 2 2vux  ∂Ex
∂Bz ∂By v  ∂Ey ∂Ez 
1
 + ε 0 µ 0 1 + 2 − 2 
−
= 2 
+
∂y
∂z
∂z 
c  ∂y
c  ∂t (1 − v / ux )
 c
Substituindo no primeiro parêntese a lei Gauss sem carga elétrica e multiplicando por (1− v / ux ) obtemos:
∂Bz ∂By
∂Ex v  ∂Bz ∂By  v ∂Ex v 2  1 ∂Ex  1 v 2 ∂Ex 1 2vux ∂Ex
−
−
= ε 0 µ0
+ 
−
+ 
− 2 2
+
∂y
∂z
∂t
ux  ∂y
∂z  c 2 ∂x c 2  ux ∂x  c 2 c 2 ∂t
∂t
c c
Onde substituindo 7.9, 7.9.1 e 8.5 obtemos:
∂Bz ∂By
∂Ex v  ux ∂Ey ux ∂Ez  v ∂Ex v 2  − 1 ∂Ex  1 v 2 ∂Ex 1 2vux ∂Ex
−
−
= ε 0µ0
+  2
+
+ 
− 2 2
+
∂y
∂z
∂t
ux  c ∂y c 2 ∂z  c 2 ∂x c 2  c 2 ∂t  c 2 c 2 ∂t
∂t
c c
Que simplificada fornece:
∂Bz ∂By
∂Ex v
−
= ε 0 µ0
+ 2
∂y
∂z
∂t
c
 ∂Ey ∂Ez  v ∂Ex 1 2vux ∂Ex

−
+
−
∂z  c 2 ∂x c 2 c 2 ∂t
 ∂y
Substituindo no primeiro parêntese a lei Gauss sem carga elétrica obtemos:
∂Bz ∂By
∂Ex v ∂Ex v ∂Ex 1 2vux ∂Ex
−
= ε 0 µ0
− 2
−
−
∂y
∂z
∂t
c ∂x c 2 ∂x c 2 c 2 ∂t
Que reordenada fica:
∂Bz ∂By
∂Ex 2v  ∂Ex ux ∂Ex 
−
= µ 0 Jx + ε 0 µ 0
− 2
+

∂y
∂z
∂t
c  ∂x c 2 ∂t 
Como o termo dentro do parêntese é a equação 8.5 que é igual a zero então obtemos a invariância da lei
de Ampère – Maxwell sem carga elétrica:
59/120
Invariância da lei de Ampère – Maxwell sem carga elétrica:
∂B' x' ∂B' z'
∂E' y'
−
= ε o µo
∂z'
∂x'
∂t'
8.44
Onde aplicando os quadros 7B e 9B obtemos:
∂Bx  ∂
v ∂ 
v
∂

−  + 2  Bz − 2 Ey  = ε 0 µ 0 K Ey K
∂z  ∂x c ∂t 
∂t
c

Fazendo as operações obtemos:
∂Bx ∂Bz
∂Ey 1 v 2 ∂Ey 1 2vux ∂Ey v ∂Ey v ∂Bz 1 v 2 ∂Ey
−
= ε 0 µ0
+ 2 2
−
−
+
−
∂z
∂x
∂t
c c ∂t c 2 c 2 ∂t c 2 ∂x c 2 ∂t c 2 c 2 ∂t
Onde simplificando e aplicando 7.9.1 obtemos:
∂Bx ∂Bz
∂Ey 1 2vux ∂Ey v ∂Ey v  ux ∂Ey 
−
= ε 0µ0
− 2 2
− 2
+ 

∂z
∂x
∂t
∂t
c c
c ∂x c 2  c 2 ∂t 
Que reordenada fica:
∂Bx ∂Bz
∂Ey v  ux ∂Ey ∂Ey 
−
= ε 0 µ0
− 2 2
+

∂t
∂x 
∂z
∂x
c  c ∂t
Como o termo dentro do parêntese é a equação 8.5 que é igual a zero então obtemos a invariância da lei
de Ampère – Maxwell sem carga elétrica:
§15 Invariância (continuação)
Uma função f (θ ) = f (kr − wt )
Onde a fase é igual a
2.19
θ = (kr − wt )
15.81
Para representar um movimento ondulatório que propaga em uma direção arbitrária deve satisfazer a
equação de onda por isso temos:
(
)
2
2
k 
x 2 + y 2 + z 2  ∂f (θ ) k 2 2
2
2 ∂ f (θ )
2 ∂ f (θ )
+ 2 x +y +z
−k
= zero
3r −

r
r2 
r
∂θ 2
∂θ 2
 ∂θ
(
)
15.82
Que não atende a equação de onda porque os dois últimos termos se anulam mais o primeiro não.
Para contornar este problema reformulemos a fase
θ
da função da forma seguinte.
Um vetor unitário como
r
r
r
r
n = cos φi + cos αj + cos βk
onde
15.83
x x
y y
z z
cosφ = = , cosα = = , cos β = =
r ct
r ct
r ct
tem o módulo igual a
15.84
r
rr
n = n = n .n = cos 2 φ + cos 2 α + cos 2 β = 1 .
Fazendo o produto
60/120
15.85
r r r r
r
r
r r
x2 + y2 + z 2 r 2
n .R = cosφi + cosαj + cosβk . xi + yj + zk = cosφx + cosαy + cosβz =
= =r
r
r
r r
obtemos r = n .R = cos φx + cos αy + cos βz que aplicado na fase θ fornece uma nova fase
(
)(
)
r r
Φ = (kr − wt ) = kn .R − wt = (k cos φx + k cos αy + k cos βz − wt )
(
)
15.86
15.87
θ =Φ .
r r
w
na fase θ multiplicada por –1 obtemos também
Substituindo r = n .R = cos φx + cos αy + cos βz e k =
c
com o mesmo significado da fase anterior
uma outra fase na forma
  r    cos φx + cos αy + cos β z 
Φ = (− 1)(kr − wt ) = (wt − kr ) = w t −  =  w t −

c

  c   
15.88
com o mesmo significado da fase anterior (− 1)θ = Φ .
E assim podemos escrever uma nova função como:
  cosφx + cosαy + cos β z 
f (Φ )= f  w t −

c

 
15.89
Que substituída na equação de onda com os co-senos diretores considerados constantes fornece:
∂ 2 f (Φ ) w 2
∂ 2 f (Φ ) w2
∂ 2 f (Φ ) w2
∂ 2 f (Φ ) w2
2
2
2
cos φ +
cos α +
cos β −
= zero
∂Φ 2 c 2
∂Φ 2 c 2
∂Φ 2 c 2
∂Φ 2 c 2
15.90
que simplificada atende a equação de onda.
O resultado positivo da fase Φ na equação de onda é conseqüência exclusiva dos co-senos diretores
serem constantes nas derivadas parciais, demonstrando que a equação de onda exige que a propagação
tenha uma direção fixa no espaço (onda plana).
Para o observador O uma fonte situada na origem do seu referencial, produz em um ponto A aleatório
situado à distância r = ct =
r
x 2 + y 2 + z 2 da origem, um campo elétrico E descrito por:
r
r
r
r
E = Exi + Eyj + Ezk
15.91
Onde as componentes são descritas como:
Ex = E xo . f (Φ )
Ey = E yo . f (Φ )
15.92
Ez = E zo . f (Φ )
r
Que aplicadas em E fornece:
r
r
r
r
r
r
r
E = E xo f (Φ )i + E yo f (Φ ) j + E zo f (Φ)k = E xo i + E yo j + E zo f (Φ) = Eo f (Φ ) .
[
com módulo igual a
r
r
E=
r
]
(E xo )2 + (E yo )2 + (E zo )2 . f (Φ )⇒ E = Eo . f (Φ )
15.93
15.94
r
Sendo E o = E xo i + E yo j + E zo k
15.95
o vetor amplitude máxima constante de componentes Exo, Eyo, Ezo
61/120
15.96
e módulo
Eo =
(E xo )2 + (E yo )2 + (E zo )2
15.97
Sendo f (Φ ) uma função com a fase Φ igual a 15.87 ou 15.88.
Derivando a componente Ex em relação à x e t obtemos:
∂Ex
∂f (Φ ) ∂Φ
∂f (Φ ) ∂ (kr − wt )
∂f (Φ ) kx
∂f (Φ ) kx
= E xo
= E xo
= E xo
= E xo
∂x
∂x
∂Φ r
∂Φ ∂x
∂Φ
∂Φ ct
15.98
∂Ex
∂f (Φ ) ∂Φ
∂f (Φ ) ∂ (kr − wt )
∂f (Φ )
(− w)
= E xo
= E xo
= E xo
∂t
∂t
∂Φ
∂Φ ∂t
∂Φ
15.99
que aplicadas em 8.5 fornece
∂Ex x / t ∂Ex
∂f (Φ ) ∂Φ x / t
∂f (Φ ) ∂Φ
∂f (Φ ) ∂Φ x / t ∂Φ 
+ 2
= zero ⇒ E xo
+ 2 E xo
= zero ⇒ E xo
+

 = zero
∂x c ∂t
∂Φ ∂x c
∂Φ ∂t
∂Φ  ∂x c 2 ∂t 
E xo
∂f (Φ ) ∂Φ x / t ∂Φ 
∂Φ x / t ∂Φ
+ 2
+
= zero

 = zero ⇒
∂Φ  ∂x c ∂t 
∂x c 2 ∂t
15.100
demonstrando que é a fase Φ que deve atender a 8.5.
∂Φ x / t ∂Φ
∂ (kr − wt ) x / t ∂ (kr − wt )
kx x / t
x
w
+ 2
= zero ⇒
+ 2
= zero ⇒ + 2 (− w) = zero ⇒  k −  = zero
∂x c ∂t
∂x
∂t
ct c
ct 
c
c
como
k=
w
então Ex atende a 8.5.
c
Como a fase é a mesma para as componentes Ey e Ez então elas também atendem a 8.5.
Como as fase para os observador O e O’ são iguais
observador O’ também atendem a 8.5.
(kr − wt )= (k' r' − w' t' )
∂(kr − wt ) x / t ∂(kr − wt ) ∂(k' r' − w' t' ) x' / t' ∂(k' r' − w' t' )
= zero
+ 2
=
+ 2
∂t'
∂x
∂t
∂x'
c
c
então as componentes do
15.101
As componentes relativas ao observador O do campo elétrico se transformam para o referencial do
observador O’ de acordo com os quadros 7, 7B e 8.
Uma função na forma:
Ψ = e i (kx− wt ) = e iΦ = cos(kx − wt ) + i sen(kx − wt ) = cos Φ + i sen Φ
onde i =
15.102
−1
Tem as seguintes derivadas:
∂Ψ
∂Ψ
= −k sen Φ + ki cos Φ e
= w sen Φ − wi cos Φ
∂x
∂t
ou
∂Ψ
∂Ψ
= ke iΦ e
= − we iΦ
∂x
∂t
15.103
15.104
Que aplicadas em 8.5 fornece:
62/120
∂Ψ x / t ∂Ψ
x/t
+ 2
= zero ⇒ (− k sen Φ + ki cos Φ ) + 2 (w sen Φ − wi cos Φ ) = zero
∂x
c ∂t
c
que simplificada fica igual a:
xw 
xwi 


 − k + 2  sen Φ +  ki − 2  cos Φ = zero
c t
c t


∂Ψ x / t ∂Ψ
x/t
+ 2
= zero ⇒ keiΦ + 2 − we iΦ = zero
∂x
c ∂t
c
( )
ou
(
)
para obtermos uma identidade devemos ter os coeficientes iguais a zero por isso:
xw
xw
= zero ⇒ k = 2
2
c t
c t
xwi
xw
ki − 2 = zero ⇒ k = 2
c t
c t
−k +
(ke ) + xc/ t (− we ) = zero ⇒ k = cxwt
iΦ
iΦ
2
onde aplicando
k=
2
w = ck obtemos:
xck
x
⇒ =c
2
t
ct
Então para atendermos a equação 8.5 devemos ter uma propagação ao longo do eixo x à velocidade c.
Se aplicarmos
k=
w = uk e v =
x
obtemos:
t
xw vuk
c2
.
=
⇒
u
=
v
c 2t c 2
Resultado também obtido da equação de onda de Louis de Broglie.
§16 Tempo e Freqüência
Elevemos o efeito Doppler a categoria de uma lei da física.
Podemos definir relógio como qualquer aparelho que produza uma freqüência de eventos idênticos em série
que possam ser enumerados e somados, de tal forma que um evento aleatório n de um aparelho, seja
exatamente igual, a qualquer evento da série de eventos produzidos por outra réplica desse aparelho
quando os eventos são comparados em repouso relativo.
O movimento cíclico do ponteiro de um relógio em repouso no referencial do observador O marca o tempo
neste referencial e o movimento cíclico do ponteiro de um relógio em repouso no referencial do observador
O’ marca o tempo neste referencial. As fórmulas de transformação de tempo 1.7 e 1.8 relacionam os tempos
entre os referenciais em movimento relativo, ou seja, relacionam movimentos em movimento relativo.
O movimento relativo entre os referenciais inerciais produz o efeito Doppler que prova que a freqüência
varia com a velocidade e como a freqüência pode ser interpretada como a freqüência do movimento cíclico
do ponteiro de um relógio, então o tempo varia na mesma proporção que varia a freqüência com o
movimento relativo, isto é, basta substituir o tempo t e t’ nas fórmulas 1.7 e 1.8 pelas freqüências y e y’ para
obtermos as fórmulas de transformação de freqüência, assim:
t' = t K ⇒ y' = y K
1.7 se transforma em 2.22
63/120
t = t' K' ⇒ y = y' K'
1.8 se transforma em 2.22
r
r
r
A transformação de Galileu u' = u − v de velocidades entre dois referenciais inerciais possui
intrinsecamente três defeitos assim descritos:
a) A transformação de Galileu de velocidade para o eixo x é u' x' = ux − v . Nesta se tivermos ux = c então
u' x' = c − v e se tivermos u' x' = c então ux = c + v . Como ambos os resultados simultaneamente não são
permitidos ou teremos ux = c ou u' x' = c então a transformação não permiti que um raio de luz seja
simultaneamente observado pelos observadores O e O’ o que demonstra o privilégio de um observador em
relação ao outro porque cada observador só pode observar o raio propagando em seu próprio referencial
(defeito intrínseco a análise clássica do efeito de Sagnac).
b) Também não atende a primeira lei de Newton a lei da inércia porque um raio de luz emitido paralelo ao
eixo x a partir da origem dos respectivos referenciais inerciais no instante em que as origens são
coincidentes e no momento em que t = t’ = zero terá pela transformação de Galileu a velocidade c da luz
alterada por ± v para os referenciais, contrariando a lei da inércia, que não permitiria que houvesse
variação na velocidade porque não existe nenhuma ação externa atuando sobre o raio de luz e por isso
ambos os observadores deveriam observar o raio de luz com velocidade c.
c) Como considera o tempo constante entre os referenciais não produz a variação temporal entre os
referenciais em movimento como exigido pelo efeito Doppler.
O princípio da constância da velocidade da luz nada mais é do que uma exigência da primeira lei de Newton
a lei da inércia.
A primeira lei de Newton a lei da inércia é introduzida na transformação de Galileu, quando o princípio da
constância da velocidade da luz é aplicado na transformação de Galileu obtendo as equações dos Quadros
1 e 2 da Relatividade Ondulatória que não possuem os três defeitos descritos.
As equações para o tempo e a velocidade dos quadros 1 e 2 podem ser escritas como:
v2
t' = t 1 +
c2
−
2v
cos φ
c
1.7
v
v' =
1.15
2
2v
1+ 2 −
cos φ
c
c
v
t = t' 1 +
v' 2
c
2
+
2v'
cos φ'
c
1.8
v'
v=
1+
v'
2
c2
1.20
2v'
+
cosφ'
c
À distância d entre os referenciais é igual ao produto da velocidade pelo tempo assim:
1.9
d = vt = v' t'
Que não depende do ângulo de propagação do raio de luz, sendo exclusivamente função da velocidade e
do tempo, ou seja, o ângulo de propagação do raio de luz só altera entre os referenciais inercial a proporção
entre o tempo e a velocidade mantendo constante à distância em cada instante para qualquer ângulo de
propagação,
As equações acima na forma de função se escrevem como:
d = e(v ,t ) = e' (v' ,t' )
1.9
t' = f (v , t ,φ )
1.7
64/120
v' = g (v ,φ )
1.15
t = f ' (v' ,t' ,φ' )
1.8
v = g' (v' ,φ' )
1.20
Então temos que a distância é função de duas variáveis o tempo função de três variáveis e a velocidade
função de duas variáveis.
Da definição de momento 4.1 e energia 4.6 obtemos:
r E r
p= 2u
c
16.1
Que elevada ao quadrado fornece:
u2 = c2 p2
c2 E 2
16.2
Elevando ao quadrado a fórmula da energia obtemos:
2



2 
2
m
c
E 2 =  0 2  ⇒ E 2 − E 2 u 2 = m02 c 4

c
u 
 1− 2 
c 

Onde aplicando 16.2 obtemos:
2
2
E 2 − E 2 u 2 = m02 c 4 ⇒ E 2 − E 2 c 2 p 2 = m02 c 4 ⇒ E = c p 2 + m02 c 2
c
E
De onde concluímos que se a massa de repouso de uma partícula é nula
4.8
mo = zero
a energia da partícula
é igual a E = c p .
16.3
Que aplicada em 16.2 fornece:
u 2 = c2 p2 ⇒ u2 = c2 p2 ⇒u = c
c2 E 2
c 2 (cp )2
16.4
De onde concluímos que o movimento de uma partícula com massa de repouso nula
sempre á velocidade da luz
mo = zero
será
u = c.
Aplicando em E = c p as relações E = yh e c = yλ obtemos:
h
yh = yλp ⇒ p = h e da mesma forma p' =
λ
λ'
16.5
Equação que relaciona o momento de uma partícula de massa de repouso nula com seu comprimento de
onda.
Elevando ao quadrado a fórmula de transformação de momento (4.9) obtemos:
2
r r
r
p' = p − E2 v ⇒ p' 2 = p 2 + E4 v 2 − 2 E2 vpx
c
c
c
65/120
Onde aplicando E = c p e px = p cos φ = p ux encontramos:
c
p' 2 = p 2 +
(cp )2 v 2 − 2 cp vp ux ⇒ p' = p
c4
c2
1+
c
v 2 2vux
− 2 ⇒ p' = p K
c2
c
16.6
Onde aplicando 16.5 resulta em:
p' = p K ⇒
h h
λ
λ'
=
K ⇒ λ' =
ou invertida λ =
λ' λ
K
K'
2.21
Onde aplicando c = yλ e c = y ' λ ' obtemos:
y' = y K
ou invertida
2.22
y = y' K'
No § 2 obtemos as equações 2.21 e 2.22 aplicando o princípio da relatividade à fase da onda.
§17 Transformação de H. Lorentz
Para dois observadores em movimento relativo a equação que representa o princípio da constância da
velocidade da luz para um ponto aleatório A é:
x'2 +y'2 +z'2 −c 2t'2 = x 2 + y 2 + z 2 −c 2t 2
17.01
Nesta cancelando os termos simétricos obtemos:
x'2 −c 2t'2 = x 2 −c 2t 2
17.02
Que podemos escrever na forma:
(x'−ct')(x'+ct') = (x −ct )(x + ct )
17.03
Se nesta definirmos os fatores de proporção
(x'−ct') = η (x −ct)

(x'+ct') = µ (x +ct)
η e µ como:
A
17.04
B
onde teremos que ter η.µ = 1 para atendermos a 17.03.
As equações 17.04 foram obtidas originalmente por Albert Einstein.
Quando para o observador O’ um raio de luz propaga no plano y’z’ teremos x’ = zero e x = vt condições que
aplicadas na equação 17.02 fornece:
2
0 −c 2t'2 = (vt)2 −c 2t 2 ⇒t'=t 1 − v 2
c
17.05
Resultado que as equações A e B do conjunto 17.04 sob as mesmas condições também devem fornecer:

v2 
 0 −ct 1 − 2  = η (vt −ct)
c 



v 2  = µ (vt +ct)

0
+
ct
1
−

c 2 

A
17.06
B
66/120
Destas obtemos:
1+ v
1− v
c
c
η=
e µ=
v
v
1−
1+
c
c
17.07
Onde comprovamos que η.µ = 1 .
Do conjunto 17.04 obtemos as Transformações de H. Lorentz:
x'=
(η + µ )x + (µ −η )ct
17.08
2
2
(
µ −η ) (η + µ )
ct'=
x+
ct
2
2
(η + µ ) x'+ (η − µ )ct'
x=
2
2
(
η −µ)
(
η + µ)
ct =
x'+
ct'
2
2
η + µ µ −η η − µ
Calculo dos coeficientes
,
e
:
2
2
2
17.09
17.10
17.11
1+ v
1− v
1+ v + 1− v
η+µ
2
1
c
c
c
c =
η+µ =
+
=
⇒
=
2
v
v
2
v
v2
1−
1+
1− v 1+ v
1
−
1
−
c
c
c
c
c2
c2
17.12
1− v
1+ v
1− v − 1− v
− 2v
−v
µ
−
η
c −
c =
c
c =
c ⇒
c
µ −η =
=
2
2
v
v
v
v
v
v2
1+
1−
1+
1−
1
−
1
−
c
c
c
c
c2
c2
17.13
v
1+ v
1− v
1+ v − 1+ v
2v
η
µ
−
c −
c =
c
c =
c ⇒
c
η−µ =
=
2
2
v
v
2
v
v
1−
1+
1−
1+
1− v 2
1− v 2
c
c
c
c
c
c
17.14
Efeito de Sagnac
No instante em que as origens dos dois observadores coincidem o tempo é zerado (t = t’ = zero) em ambos
os referenciais e dois raios de luz são emitidos a partir da origem comum, um no sentido positivo (horário
índice c) dos eixos x e x’ com frente de onda Ac e outro no sentido negativo (anti-horário índice u) dos eixos
x e x’ com frente de onda Au.
As condições de propagação acima aplicada nas equações de Lorentz fornecem os quadros A e B abaixo:
Quadro A
Equação
Raio horário (c)
Resultado
Equação
Raio anti-horário (u)
Resultado
Condição
xc = ctc
x'c = µctc
x'c = µxc
ct'c = µctc
x'c = ct'c
Condição
xu = −ctu
x'u = −ηctu
x'u = ηxu
ct'u = ηctu
x'u = −ct'u
17.08
17.09
17.08
17.09
67/120
Soma dos raios
x'c +x'u = µxc +ηxu
ct'c +ct'u = µctc +ηctu
Quadro B
Equação
Raio horário (c)
Resultado
Equação
Raio anti-horário (u)
Resultado
Condição
x'c = ct'c
xc = ηct'c
xc = ηx'c
ctc = ηct'c
xc = ctc
Condição
x'u = −ct'u
xu = − µct'u
xu = µx'u
ctu = µct'u
xu = −ctu
17.10
17.11
17.10
17.11
Soma dos raios
xc + xu = ηx'c + µx'u
ctc + ctu = ηct'c + µct'u
Observemos que os quadros A e B são inversos um do outro.
Formemos o conjunto das equações de soma dos raios dos quadros A e B:
D'= ct'c +ct'u = µctc +ηctu

D = ctc +ctu = ηct'c + µct'u
Onde para o observador O’
observador O
A
17.15
B
D'= Au ↔ Ac é a distância entre as frentes de onda Au e Ac e onde para o
D = Au ↔ Ac é a distância entre as frentes de onda Au e Ac.
Nas equações acima 17.15 devido à isotropia do espaço e tempo e as frentes de onda
Au ↔ Ac dos dois
raios de luz ser as mesmas para ambos os observadores, a soma dos raios de luz e dos tempos deve ser
invariável entre os observadores o que expressamos por:
D'= D ⇒ ct'c +ct'u = ctc + ctu ⇒ ∑t'= ∑t
17.16
Este resultado que equaciona a isotropia do espaço e tempo pode ser denominado como o princípio de
conservação do espaço e do tempo.
As três hipóteses de propagações definidas a seguir serão aplicadas em 17.15 e testadas para ver se
cumpre o princípio de conservação do espaço e tempo dado por 17.16:
Hipótese A:
Se o espaço e o tempo são isotrópicos e não existi nenhum movimento privilegiado de qualquer um dos
observadores sobre o outro no espaço vazio, então a geometria de propagação dos raios luminosos se
equaciona por:
ctc = ct'u e ctu = ct'c
17.17
Hipótese que aplicada na equação A ou B do conjunto 17.15 atende o princípio de conservação do espaço
e tempo dado por 17.16.
A hipótese 17.17 aplicada nos quadros A e B resulta em:
ct'c = µct'u
Quadro A 
ct'u = ηct'c
ctc = ηctu
Quadro B 
ctu = µctc
A
B
17.18
C
D
68/120
Hipótese B:
Se o espaço e o tempo são isotrópicos porem o observador O está em repouso absoluto no espaço vazio,
então a geometria de propagação dos raios luminosos se equaciona por:
17.19
ctc = ctu = ct
Que aplicada no quadro A e B resulta em:
ct'c = µct
Quadro A 
ct'u = ηct
ct = ηct'c
Quadro B 
ct = µct'u
ct'c = µ 2ct'u

ct'u = η 2ct'c
A
B
17.20
C
D
A
17.21
B
Somando A e B em 17.20 obtemos:
η +µ 
η + µ 
ct'c +ct'u = 2ct
 ⇒ D'= D  2  ⇒ D'=
2




D
2
⇒ ∑t' =
1− v 2
c
∑t
2
1− v 2
c
17.22
Resultado que não concorda como o princípio de conservação do espaço e do tempo dado por 17.16 e
como D'≠ D é como se existissem quatro raios de luz, dois para cada observador, cada raio com sua
respectiva frente de onda independente dos outros.
Hipótese C:
Se o espaço e o tempo são isotrópicos porem o observador O’ está em repouso absoluto no espaço vazio,
então a geometria de propagação dos raios luminosos se equaciona por:
17.23
ct'c = ct'u = ct'
Que aplicadas nos quadros A e B resulta em:
ct'= µctc
Quadro A 
ct'= ηctu
ctc = ηct'
Quadro B 
ctu = µct'
ctc = η 2ctu

ctu = µ 2ctc
A
B
17.24
C
D
A
17.25
B
Somando C e D em 17.24 obtemos:
η +µ 
η+µ 
⇒ D = D'
ctc +ctu = 2ct'

 ⇒D =
 2 
 2 
D'
2
1− v 2
c
69/120
⇒ ∑t =
∑t'
2
1− v 2
c
17.26
Resultado que exatamente como na hipótese B não concorda como o princípio de conservação do espaço e
do tempo dado por 17.16 e como D'≠ D é como se existissem quatro raios de luz, dois para cada
observador, com cada raio com sua respectiva frente de onda independente dos outros.
Conclusão
As hipóteses A, B e C são completamente compatíveis com a exigência de isotropia do espaço e tempo
como se pode concluir da geometria das propagações.
O resultado da hipótese A contradiz o resultado das hipóteses B e C apesar do movimento relativo dos
observadores não alterar o movimento da frente de onda Au relativo à frente de onda Ac porque as frentes
de onda têm movimento independente uma da outra e dos observadores.
A hipótese A aplicada nas transformações de H. Lorentz atende o princípio de conservação do espaço e do
tempo dado por 17.16 demonstrando a compatibilidade das transformações de H. Lorentz com a hipótese A.
A aplicação das hipóteses B e C nas transformações de H. Lorentz fornece as deformações do espaço e do
tempo dadas por 17.22 e 17.26 porque as transformações de H. Lorentz não são compatíveis com as
hipóteses B e C.
Para obtermos o efeito de Sagnac consideremos que o observador O’ está em repouso absoluto, hipótese C
acima e que o percurso dos raios seja de 2πR :
ct'c = ct'u = ct'= 2πR
17.27
Para o observador O o efeito de Sagnac é dado pela diferença de tempo entre o raio horário e anti-horário
∆t =tc −tu que pode ser obtido utilizando 17.24 (C-D), 17.27 e 17.14:

 2v

2
π
R
c
∆t =tc −tu =t'(η − µ ) =
2
c 
 1 − v 2
c



 = 4πRv

2
2
 c c − v

17.28
§9 O Efeito de Sagnac (continuação)
No instante em que as origens coincidem o tempo é zerado (t = t’ = zero) em ambos os referenciais e dois
raios de luz são emitidos a partir da origem comum, um no sentido positivo (horário índice c) dos eixos x e x’
com frente de onda Ac e outro no sentido negativo (anti-horário índice u) dos eixos x e x’ com frente de onda
Au.
O raio projetado no sentido positivo (horário índice c) dos eixos x e x’ é equacionado por
xc = ctc e
x'c = ct'c que aplicadas no Quadro I fornece:
 v 
 v' 
ct'c = ctc  1 − c  ⇒ ct'c = ctc K c (1.7) ctc = ct'c  1 + c  ⇒ ctc = ct'c K'c (1.8)
c
c 



v'c =
vc
 vc
1−
c




⇒ v'c =
vc
(1.15)
Kc
vc =
v'c
 v'c
1+
c




⇒vc =
v'c
(1.20)
K'c
9.11
9.12
Destas deduzimos que à distância entre os observadores é dada por:
9.13
d c = v ctc = v'c t'c
Onde temos:
 v c  v'c 
 1 −  1 +
 = K c K'c = 1
c 
c 

9.14
70/120
O raio projetado no sentido negativo (anti-horário índice u) dos eixos x e x’ é equacionado por
xu = −ctu e
x'u = −ct'u : que aplicadas no Quadro I fornece:
 v 
ct'u = ctu  1 + u  ⇒ ct'u = ctuK u (1.7)
c 

v'u =
vu
 vu
1+
c




⇒ v'u =
 v' 
ctu = ct'u  1 − u  ⇒ ctu = ct'u K'u (1.8)
c 

vu
(1.15)
Ku
vu =
v'u
 v'u
1−
c




⇒ vu =
v'u
(1.20)
K'u
9.15
9.16
Destas deduzimos que à distância entre os observadores é dada por:
9.17
du = v utu = v'u t'u
Onde temos:
 v u  v'u 
1 +
 1 −
 = K K' = 1
c 
c  u u

9.18
Devemos observar que a princípio não existe nenhuma relação entra as equações 9.11 a 9.14 com as
equações 9.15 a 9.18.
Com as condições de propagação descritas formamos os quadros A e B seguintes:
Quadro A
Equação
Raio horário (c)
Resultado
Equação
Raio anti-horário (u)
Resultado
Condição
xc = ctc
x'c = ctcK c
x'c = xc K c
ct'c = ctc K c
x'c = ct'c
Condição
xu = −ctu
x'u = −ctuK u
x'u = xuK u
ct'u = ctuK u
x'u = −ct'u
Equação
Raio horário (c)
Resultado
Equação
Raio anti-horário (u)
Resultado
Condição
x'c = ct'c
xc = ct'c K'c
xc = x'c K'c
ctc = ct'c K'c
xc = ctc
Condição
x'u = −ct'u
xu = −ct'u K'u
xu = x'u K'u
ctu = ct'u K'u
xu = −ctu
1.2
1.7
1.2
1.7
Soma dos raios
x'c +x'u = xcK c + xuK u
ct'c +ct'u = ctc K c + ctuK u
Quadro B
1.4
1.8
1.4
1.8
Soma dos raios
xc + xu = x'c K'c +x'u K'u
ctc +ctu = ct'c K'c +ct'u K'u
Observemos que para os raios de mesmo sentido os quadros A e B são inversos um do outro.
Formemos o conjunto das equações de soma dos raios dos quadros A e B:
D'= ct'c +ct'u = ctc K c +ctuK u

D = ctc +ctu = ct'c K'c +ct'u K'u
Onde para o observador O’
observador O
A
9.19
B
D'= Au ↔ Ac é a distância entre as frentes de onda Au e Ac e onde para o
D = Au ↔ Ac é a distância entre as frentes de onda Au e Ac.
71/120
Nas equações acima 9.19 devido à isotropia do espaço e tempo e as frentes de onda
Au ↔ Ac dos dois
raios de luz ser as mesmas para ambos os observadores, a soma dos raios de luz e dos tempos deve ser
invariável entre os observadores o que se expressa por:
D'= D ⇒ ct'c +ct'u = ctc + ctu ⇒ ∑t'= ∑t
9.20
Este resultado que equaciona a isotropia do espaço e tempo pode ser denominado como o princípio de
conservação do espaço e do tempo.
As três hipóteses de propagações definidas a seguir serão aplicadas em 9.19 e testadas para ver se
cumpre o princípio de conservação do espaço e tempo dado por 9.20. Com estas hipóteses criaremos
vínculos entre as equações 9.11 a 9.14 com as equações 9.15 a 9.18.
Hipótese A:
Se o espaço e o tempo são isotrópicos e não existi nenhum movimento privilegiado de qualquer um dos
dois observadores sobre o outro no espaço vazio, então a geometria de propagação dos raios luminosos se
equaciona por:
ctc = ct'u ⇒tc =t'u ⇒ vc = v'u ⇒ K c = K'u

ctu = ct'c ⇒tu =t'c ⇒ vu = v'c ⇒ K u = K'c
A
B
9.21
Com estas deduzimos que à distância entre os observadores é dada por:
9.22
d c = du = v ctc = v'c t'c = v utu = v'u t'u
Resultados que aplicados nas equações A ou B do conjunto 9.19 atende o princípio de conservação do
espaço e tempo dado por 9.20. Demonstrando que o efeito Doppler nos raios horário e anti-horário se
compensam nos referenciais.
Hipótese B:
Se o espaço e o tempo são isotrópicos porem o observador O está em repouso absoluto no espaço vazio,
então a geometria de propagação dos raios luminosos se equaciona por:
ctc = ctu = ct

v c = v u = v
v t = v t = vt
u u
 c c
A
9.23
B
C
Com estas deduzimos que à distância entre os observadores é dada por:
9.24
dc = du = vt = v'c t'c = v'u t'u
Resultados que aplicados nas equações A ou B do conjunto 9.19 atende o princípio de conservação do
espaço e tempo dado por 9.20. Demonstrando que o efeito Doppler nos raios horário e anti-horário se
compensam nos referenciais.
Hipótese C:
Se o espaço e o tempo são isotrópicos porem o observador O’ está em repouso absoluto no espaço vazio,
então a geometria de propagação dos raios luminosos se equaciona por:
ct'c = ct'u = ct'

v'c = v'u = v'
v' t' = v' t' = v't'
u u
 c c
A
9.25
B
C
Com estas deduzimos que à distância entre os observadores é dada por:
72/120
9.26
dc = du = v't'= v ctc = v utu
Resultados que aplicados nas equações A ou B do conjunto 9.19 atende o princípio de conservação do
espaço e tempo dado por 9.20. Demonstrando que os efeitos Doppler nos raios horário e anti-horário se
compensam nos referenciais.
Para obtermos o efeito de Sagnac consideremos que o observador O’ está em repouso absoluto, hipótese C
acima e que o percurso dos raios seja de 2πR :
ct'c = ct'u = ct'= 2πR
9.27
Aplicando a hipótese C em 9.11 e 9.15 obtemos:
tc =t'c K'c ⇒tc =t' 1 + v' 
 c
9.28
tu =t'u K'u ⇒tu =t' 1 − v' 
 c
9.29
Para o observador O o efeito de Sagnac é dado pela diferença de tempo entre o percurso do raio horário e
percurso do raio anti-horário ∆t = tc −tu que pode ser obtido fazendo (9.28 – 9.29) e aplicando 9.27
obtendo:
'
∆t = tc −tu =t' 1 + v'  −t' 1 − v'  = 2v't' = 4πRv
2

A equação
c
∆t = 2v't' =
c

c
c
9.30
c
2v ctc 2v utu
=
é exatamente o resultado que se obtém da analise da geometria
c
c
de propagação dois raios horário e anti-horário em uma circunferência demonstrando a coerência das
hipóteses adotadas na Relatividade Ondulatória.
Em 9.30 aplicando 9.12 e 9.16 obtemos o resultado final em função de vc e vu:
'=
∆t =tc −tu = 2v't' = 4πRv
2
c
c
4πRv c
2
=
4πRvu
9.31
c −cvc c 2 +cvu
A fórmula clássica do efeito de Sagnac é escrita como:
∆t=tc −tu = 42πRv2
9.32
c −v
Da geometria de propagação temos obrigatoriamente que:
∆t = 2vt
9.33
c
Os tempos clássicos seriam dados por:
t = 2πR
c
9.34
tc = 2πR
c −v
9.35
tu = 2πR
c +v
9.36
Aplicando 9.34, 9.35 e 9.36 em 9.33 obtemos:
73/120
∆t= 2v 2πR = 4πRv
2
9.37
c c
c
∆tc = 2v 2πR = 42πRv
c (c −v ) c −cv
9.38
∆tu = 2v 2πR = 42πRv
9.39
c (c +v ) c +cv
Os resultados 9.37, 9.38 e 9.39 são completamente diferentes de 9.32.
§18 A Experiência de Michelson & Morley
A analise tradicional que fornece a solução para o resultado nulo desta experiência considera em repouso
no referencial do observador O’ um aparelho que emite dois raios de luz um horizontal na direção x’ (horário
índice c) e outro vertical na direção y’. O raio horizontal (horário índice c) propaga até um espelho colocado
em x’ = L neste o raio reflete (anti-horário índice u) e retorna a origem do referencial onde x’ = zero. O raio
vertical propaga até um espelho colocado em y’ = L reflete e retorna a origem do referencial onde y’ = zero.
Na analise tradicional de acordo com o principio de constância da velocidade da luz para o observador O’ o
percurso dois raios é dado por:
18.01
ct'c = ct'u = L
Para o observador O’ a soma dos tempos de percurso dois raios ao longo do eixo x’ é:
L L 2L
∑t'x' =t'c +t'u = + =
c c c
18.02
Na analise tradicional para o observador O’ a soma dos tempos de percurso dois raios ao longo do eixo y’ é:
L L 2L
∑t'y' =t'+ +t'− = + =
c c c
Como temos
18.03
2L
não existe franja de interferência e está explicado o resultado nulo da
∑t'x' = ∑t'y' =
c
experiência de Michelson & Morley.
Nesta analise tradicional o percurso idêntico dos raios horários e anti-horários contido na equação 18.01
que da origem ao resultado nulo da experiência de Michelson & Morley contraria o efeito de Sagnac que é
exatamente a diferença de tempo existente entre o percurso do raio horário e o percurso do raio antihorário.
Com base na Relatividade Ondulatória façamos uma analise mais profunda da experiência de Michelson &
Morley obtendo um resultado que está completamente de acordo com o efeito de Sagnac.
Observemos que a equação 18.01 corresponde à hipótese C do parágrafo §9.
Aplicando 18.01 em 9.19 obtemos:
D'= ct'c +ct'u = ctc K c +ctu K u ⇒ D'= L + L = ctc K c +ctu K u

D = ctc +ctu = ct'c K'c +ct'u K'u ⇒ D = ctc +ctu = LK'c +LK'u = L(K'c +K'u )
A
B
18.04
De 18.04 A obtemos:
 v 
 v 
D'= 2L = ctc  1 − c  + ctu  1 + u  ⇒ D'= 2L = ctc − v ctc +ctu + vutu
c 
c 


74/120
18.05
Onde aplicando 9.26 obtemos:
D'= 2L = ctc +ctu ⇒ ∑tx =tc +tu = 2L
c
18.06
Em 18.04 B temos:
 v'   v'
D = ctc + ctu = L  1 + c  +  1 − u
c  
c




18.07
Onde aplicando 9.25 B obtemos:
D = ctc +ctu = 2L ⇒ ∑tx =tc +tu = 2L
c
18.08
As equações 18.06 e 18.08 demonstram que o efeito Doppler nos raios horário e anti-horário se compensa
no referencial do observado O resultando em:
2L
∑t'y' =∑t'x' = ∑tx =
c
18.09
Por isso de acordo com a Relatividade Ondulatória na experiência de Michelson & Morley podemos supor
que o raio de luz horário tem percurso diferente do raio de luz anti-horário de acordo com a fórmula 18.08
obtendo também resultado nulo para a experiência e concordando então com o efeito de Sagnac. Esta
suposição não pode ser feita com base na Relatividade Especial porque conforme 17.26 temos:
∑t'x' ≠ ∑tx
18.10
75/120
§19 Retrocesso do periélio de Mercúrio de -7,13”
Imaginemos o Sol situado no foco de uma elipse que coincide com a origem de um sistema de coordenadas
(x,y,z) imóvel em relação às denominadas estrelas fixas e que o planeta Mercúrio em um movimento
governado pela força de atração gravitacional com o Sol descreve uma órbita elíptica no plano (x,y) de
acordo com as leis de Kepler e de acordo com a fórmula da lei da atração gravitacional de Newton:
(
)(
)(
)
r −GM omo − 6 ,67.10−11 1,98.1030 3,28.1023 − k
F=
r̂ =
r̂ = 2 r̂
r2
r2
r
19.01
O sub índice “o” indicando massa em repouso relativo ao observador.
Para descrever o movimento utilizaremos as fórmulas conhecidas:
r
r = rr̂
r
r dr d (rr̂ ) dr
dφ
u= =
= r̂ + r φˆ
dt dt dt
dt
2
r r  dr   dφ 
u 2 = u .u =   +  r 
 dt   dt 
19.02
19.03
2
19.04
r
r
2
r du d 2r d 2 (rr̂ ) d 2r  dφ    dr dφ d 2φ  ˆ
+ r 2 φ
a = = 2 = 2 =  2 − r  r̂ + 2
dt dt
dt
dt 
 dt    dt dt
 dt
19.05
A fórmula da força relativista é dada por:




r
r d  mou 
 u 2  r  r dur  ur 
mo r
mo u du r
mo
F=
a+
u=
=
 1− 2 a +  u  2 
3 2
2 3/ 2 
dt 
u2 
u2
2 2 c dt


u
 c   dt  c 
 u 
 1− 2  1− 2


1
−
1− 2 
 c2 
c 
c



 c 
19.06
Nesta o primeiro termo corresponde à variação da massa com a velocidade e o segundo como logo
veremos em 19.22 corresponde à variação da energia com o tempo.
Com esta e as fórmulas anteriores obtemos:
2


2  2
2  

1− u d r − r dφ  r̂ +  2 dr dφ + r d φ φˆ  +

2 
 c 2   dt 2  dt    dt dt


dt
r

 
 
mo


F=


3/ 2
 u 2   dr  d 2 r  dφ 2  dφ  dr dφ d 2φ  1  dr

d
φ

 1−  +  
− r   + r  2
+ r 2  2  r̂ + r φˆ 
 c2 
2
dt 
dt c  dt
 dt   dt  dt dt

   dt  dt


19.07


2   2
2

2  2
2 

1− u d r − r dφ   + dr d r − r dφ   + r dφ  2 dr dφ + r d φ  1 dr r̂ + 
 c 2  dt 2  dt    dt  dt 2  dt   dt  dt dt

dt 2  c 2 dt 
r

  


mo



F=


2 2 3/ 2
1− u / c
  u 2  dr dφ d 2φ  dr  d 2r  dφ 2  dφ  dr dφ d 2φ  r dφ  
+ r 2  2 φˆ 
+ r 2  +   2 − r   + r  2
+  1− 2  2
dt   dt  dt dt
dt   dt  dt
dt  c dt  

  c  dt dt


 
 
19.08
(
)
76/120
r
Nesta temos a componente transversal Fφ̂ e radial
r
Fr̂ =
r
Fφˆ =
r
Fr̂ dadas por:
2
2


2
2
2
2
 u d r  dφ   dr  d r  dφ   dφ  dr dφ d φ  1 dr 
1
−
−
r
+
−
r
+
r
2
+
r










r̂
3 / 2 
2
2
2
dt 2 c 2 dt 
 dt    dt  dt
 dt   dt  dt dt
1− u 2 / c2
 c  dt


19.09
2


2
2
2
2
 u  dr dφ d φ  dr d r  dφ   dφ  dr dφ d φ  r dφ  ˆ
1
2
r
r
2
−
+
+
−
+r
+ r 2  2 φ






3
/
2
2
2
2


dt   dt  dt
dt c dt 
 dt   dt  dt dt
1− u 2 / c2
 c  dt dt



19.10
(
(
mo
mo
)
)
r
Como a força gravitacional é central devemos ter a componente transversal nula Fφˆ = zero assim temos:
r
Fφˆ =
2


2
2
2
2
 u  dr dφ d φ  dr  d r  dφ   dφ  dr dφ d φ  r dφ  ˆ
1
−
2
+
r
+
−
r
+
r
2
+
r







φ = zero
3/ 2 
2 
dt 2   dt  dt 2  dt   dt  dt dt
dt 2  c 2 dt 
1− u 2 / c2
 c  dt dt



(
mo
)
19.11
Desta obtemos:
 dr dφ d 2φ 
− r dr dφ
 2
+ r 2 
dt 
 dt dt
c 2 dt dt
=
d 2r  dφ 2   1  dr 2 
 2 − r   1− 2   
 dt    c  dt  
 dt
Da componente radial
2
2
 dr dφ 2 d 2φ  −1 dr d r  dφ  
 2r
+ r 2  2  2 − r  
 dt  
dt  c dt  dt
 dt dt
=
dφ
 1  dr 2 
r2
1− 2   
dt
 c  dt  
r
Fr̂ obtemos:



dφ  dr dφ d 2φ 






+
r
2
r
r
d 2r  dφ 2  u 2  dr dt  dt dt
dt 2  1 dr 
mo
Fr̂ =
− r  1− 2  +  +
r̂

3/ 2 
2
d 2r  dφ 2  c 2 dt 
 dt   c   dt
1− u 2 / c2  dt
 2 − r   



 dt   
 dt



(
19.12
)
19.13
Nesta aplicando 19.12 temos:




dφ  r dr dφ 



r
d 2r  dφ 2  u 2  dr r dt  c 2 dt dt  1 dr 
mo
Fr̂ =
− r  1− 2  +  −
r̂
3/ 2 
2
2  2
 dt   c   dt  1  dr   c dt 
1− u 2 / c2  dt
1− 2    



 c  dt   



(
)
19.14
Que simplificada resulta em:
 d 2 r  dφ  2 
 2 − r  
r
 dt  
mo  dt
Fr̂ =
r̂
u 2  1  dr 2 
1− 2 1− 2   
c  c  dt  


19.15
Esta igualada à força gravitacional de Newton resulta na força gravitacional relativística:
d 2r  dφ 2 
 2 − r  
r
 dt   −GM omo − k
mo  dt
Fr̂ =
r̂ =
r̂ = 2 r̂
r2
r
u 2  1  dr 2 
1− 2 1− 2   
c  c  dt  


19.16
77/120
Como a força gravitacional é central deve atender a teoria de conservação da energia (E) que é escrita
como:
E = Ek + E p = constante.
19.17
Onde a energia cinética (Ek) é dada por:




Ek = mc 2 − mo c 2 = mo c 2  1 2 −1


u
 1− 2 
c


19.18
E a energia potencial (Ep) gravitacional por:
Ep =
−GM o mo −k
=
r
r
19.19
Resultando em:




E = mo c 2  1 2 −1 − k = constante.
 1− u
 r
2

c

19.20
Como a energia total (E) é constante devemos ter:
dE dEk dE p
=
+
= zero .
dt dt dt
19.21
Então temos:
dEk
=
dt
mou
 u 
 1− 2 
 c 
2
3
2
du
dt
19.22
dE p k dr
=
dt r 2 dt
19.23
Resultando em:
dE dEk dE p
=
+
= zero ⇒
dt dt dt
mou
3
2 2
 u 
1− 2 
 c 
du k dr
+
= zero ⇒
dt r 2 dt
mou
 u 
1− 2 
 c 
2
3
2
du − k dr
=
dt r 2 dt
19.24
Esta aplicada na força relativista 19.06 e igualada a força gravitacional 19.01 resulta em:
r
mo r 1 k dr r − k
F=
a − 2 2 u = 2 r̂
c r dt
r
u2
1− 2
c
19.25
Nesta substituindo as variáveis anteriores obtemos:
78/120
2
r
mo d 2r  dφ    dr dφ d 2φ  ˆ  1 k dr  dr
dφ ˆ  − k


F=
−
r
r̂
+
2
+
r
φ
−
r̂
+
r
φ  = r̂







2
2
2
2

dt   c r dt  dt
dt  r 2
u 2  dt
 dt    dt dt
1− 2
c
Desta obtemos a componente radial
19.26
r
Fr̂ igual a:
2
2
r
mo d 2r  dφ   1 k  dr  − k
Fr̂ =
 2 − r   − 2 2   = 2
u 2  dt
 dt   c r  dt  r
1− 2
c
19.27
Que facilmente se transforma na força gravitacional relativista 19.16.
De 19.26 obtemos a componente transversal
r
Fφ̂ igual a:
r
mo  dr dφ d 2φ  1 k dr dφ
2
Fφˆ =
+ r 2  − 2
= zero
dt  c r dt dt
u 2  dt dt
1− 2
c
19.28
Desta última obtemos:
2r
dr dφ 2 d 2φ
+ r 2 1 k dr
u2
dt dt
dt =
1
−
dφ
mo c2r 2 dt
c2
r2
dt
19.29
Como a força gravitacional é central também deve atender a teoria de conservação do momento angula que
é escrito como:
r r r
L = r × p = constante.
19.30
r r r r mour
mo  dr
dφ 
mo 2 dφ ˆ
mo 2 dφ
L =r × p =r ×
= rr̂ ×
r
r̂ ×φ =
r
k̂
 r̂ + r φˆ  =
2
2
2
dt 
dt
u
u  dt
u
u 2 dt
1− 2
1− 2
1− 2
1− 2
c
c
c
c
( )
r
mo 2 dφ r
L=
r
k = Lk̂ = constante.
u 2 dt
1− 2
c
19.32
r
dL d Lk̂ d (L)k̂ Ld k̂ d (L)k̂
d (L)
=
=
+
=
= zero⇒
= zero
dt
dt
dt
dt
dt
dt
( )
()
Resulta então que L é constante.
Em 19.33 fizemos
19.31
dk̂
= zero porque o movimento é no plano (x,y).
dt
79/120
19.33
Derivando L encontramos:




dL d  mo 2 dφ  1 mou du 2 dφ
mo  dr dφ 2 d 2φ 
 2r
r
r
+
+ r 2  = zero
=
=
3
2
2
dt dt 
dt
dt
dt
dt 
u 2 dt  c 
u
2 2 dt
u 
1− 2 
 1− 2



c
c


1− c2 


19.34
Desta obtemos:
 dr dφ 2 d 2φ 
 2r
+ r 2 
dt
dt
dt 
− u du 1

=
dφ
 u 2  dt c2
r2
1− 2 
dt
 c 
19.35
Igualando 19.12 proveniente da teoria da força central com 19.29 proveniente da teoria de conservação da
energia e 19.35 proveniente da teoria de conservação do momento angular obtemos:
2
2
 dr dφ 2 d 2φ  −1 dr d r  dφ  
 2r
+ r 2  2  2 − r  
 dt  
dt  c dt  dt
k dr
u2
−u du 1
 dt dt
=
=
1
−
=
2 2
2
2
φ
d
 1  dr  
moc r dt
c  u 2  dt c2
r2
 1− 2 
1− 2   
dt
 c 
 c  dt  
19.36
Das duas últimas igualdade obtemos 19.24 e das duas do meio obtemos 19.16.
Para solução das equações diferencias utilizaremos o mesmo método utilizado na teoria Newtoniana.
Façamos
w=
1
r
19.37
O diferencial total desta é
Desta obtemos
dw=
∂w
−1
dr ⇒ dw= 2 dr
∂r
r
dw −1 dr dw −1 dr
=
e
=
dφ r 2 dφ
dt r 2 dt
Do módulo do momento angular temos
Desta obtemos
19.38
19.39
dφ L
u2
=
1
−
dt mo r 2
c2
dr L dr
u2
=
1
−
dt mor 2 dφ
c2
Nesta aplicando 19.39 obtemos
Que derivada fornece
19.40
19.41
dr − L dw
u2
=
1− 2
dt mo dφ
c
d 2r dφ dt d  − L dw
u 2 
=
1
−
dt 2 dt dφ dt  mo dφ
c2 
Onde aplicando 19.40 e derivando obtemos:
80/120
19.42
19.43
d 2r L
u 2 d  − L dw
u 2  − L2
u 2 d 2 w
u 2 dw d 
u 2 
1
1
1
1
1
=
−
−
=
−
−
+
−


dt 2 mor 2
c2 dφ  mo dφ
c2  mo2r 2
c2  dφ 2
c2 dφ dφ 
c2 
19.44
Nesta com 19.36 a derivada do radical é assim obtida:
−1
d 
u2 
u du
k dr  u 2  − k dw  u 2 
 1−  =
 1− 
1− 2  =
=
dt 
c  1− u 2 / c2 c2 dt moc2r 2 dt  c2  moc2 dt  c2 
19.45
−1
d 
u2 
u du
k dr  u 2  − k dw  u 2 
 1−  =
 1− 
1− 2  =
=
dφ 
c  1− u 2 / c2 c2 dφ moc2r 2 dφ  c2  moc2 dφ  c2 
19.46
Que aplicada em 19.44 fornece:
2
d 2r − L2
u 2 d 2 w
u 2 k  dw   u 2 
   1− 
1− 2  2 1− 2 −
=
dt 2 mo2r 2
c  dφ
c moc2  dφ   c2 
19.47
Simplificada resulta:
3
2
d 2r L2k  u 2 2  dw 
L2  u 2  d 2w


1− 
1
=
−


−
dt 2 mo3c2r 2  c2   dφ  mo2r 2  c2  dφ 2
19.48
Encontremos a derivada segunda do ângulo derivando 19.40:
d 2φ d  L
u 2  − 2L dr
u2
L d 
u 2 
=
1
−
=
1
−
+
1
−
dt 2 dt  mor 2
c2  mor 3 dt
c2 mor 2 dt 
c2 
19.49
Nesta aplicando 19.42 e 19.45 e simplificando obtemos:
3
d φ 2L dw u 2  L2k dw u 2 2
1−  −
1− 
=
dt 2 mo2r 3 dφ  c2  mo3c2r 4 dφ  c2 
2
2
19.50
Aplicando em 19.04 as equações 19.40 e 19.42 e simplificando obtemos:
2
L2  u 2  dw  1 
u = 2 1− 2   + 2 
mo  c  dφ  r 
2
19.51
A equação da força gravitacional relativística 19.16 remodelada fica:
2
2
d 2 r  dφ 
u 2  1  dr   − k
− r   = 1− 2 1− 2   
dt 2  dt 
c  c  dt   mo r 2


19.52
Nesta aplicando as fórmulas acima obtemos:
3
2
2
2
u 2 
u 2  1  − L dw
u 2   − k
L2k  u 2  2  dw 
L2  u 2  d 2 w  L
 1−    −
1− 
−r
1− 2 = 1− 2 1− 2
1− 2
mo3c2r 2  c2   dφ  mo2r 2  c2  dφ 2  mor 2
c 
c  c  mo dφ
c   mor 2


81/120
2
2
L2k  u 2  dw 
L2
u 2 d 2 w L2
u 2  1  − L dw
u 2   − k
1−   −
1− 2 2 − 2 3 1− 2 = 1− 2
1− 2
mo3c2r 2  c2  dφ  mo2r 2
c dφ mo r
c  c  mo dφ
c   mor 2


2
L2k  u 2  dw 
L2
u 2 d 2 w L2
u 2 − k L2k 1  u 2  dw 


1−  
1
−


−
1
−
−
1
−
=
+
mo3c2r 2  c2  dφ  mo2r 2
c2 dφ 2 mo2r 3
c2 mor 2 mo3r 2 c2  c2  dφ 
−
L2
u 2 d 2 w L2
u2 −k
1
−
−
1
−
=
mo2r 2
c 2 dφ 2 mo2r 3
c 2 mo r 2
d 2w 1
+ =
dφ 2 r
mok
L2 1−
u2
c2
d 2w 1
mok
+ =
2
2
dφ r 



2
 mo r 2 dφ  1− u

c2
u 2 dt 
 1− 2

c


u2
d 2w 1
c2
+
=
2
dφ 2 r
 dφ 
mo2r 4  
 dt 
mok 1−

u2 
2  k 1−

2
 d w 1 
c2 
 2 +  =
2
 dφ r  m r 4  dφ  
 o  
 dt  

 d 2w 
 2 
 dφ 
 d 2w 
 2 
 dφ 
2
2
2
u2 
2

k
1
−
 c2 
2 d 2w 1

+
+ 2= 
4
2
r dφ r
2 8  dφ 
mo r  
 dt 
k2 2
u
2 d 2w 1
k2
c2
+
+
=
−
4
4
r dφ 2 r 2
2 8  dφ 
2 8  dφ 
mo r   mo r  
 dt 
 dt 
k 2  dr   dφ 
  +  r 
c2  dt   dt 
2
2
 d 2w  2 d 2w 1
k2
 2  +
+
=
4−
2
2
 dφ  r dφ r m2r 8  dφ 

o 
 dt 
2



4
 dφ 
mo2r 8  
 dt 
82/120
2
2
2
k 2  dr 
k 2  dφ 
2
 
r 
 d 2w  2 d 2w 1
k2
c 2  dt 
c2  dt 
 2  +
+ 2=
4−
4−
4
2
 dφ  r d φ r m 2 r 8  dφ  m 2 r 8  dφ  m 2 r 8  d φ 



o 
o 
o 
 dt 
 dt 
 dt 
k 2  dr 
 
c2  dφ 
2
2
 d 2w  2 d 2w 1
k2
k2
 2  +
+
=
−
−
4
2
2
2
2
 dφ  r dφ r m 2 r 8  dφ  m 2 r 8  d φ  m 2 c 2 r 6  dφ 


 
o 
o 
o
 dt 
 dt 
 dt 
k 2  2 dw 
 −r

c2 
dφ 
2
2
 d 2w  2 d 2w 1
k2
k2
 2  +
+
=
−
−
4
2
2
2
2
 dφ  r dφ r m 2 r 8  dφ  m 2 r 8  dφ  m 2 c 2 r 6  dφ 


 
o 
o 
o
 dt 
 dt 
 dt 
k 2  dw 
 
c2  dφ 
2
2
 d 2w  2 d 2w 1
k2
k2
 2  +
+
=
−
−
4
2
2
2
2
 dφ  r dφ r m 2 r 8  dφ  m 2 r 4  dφ  m 2 c 2 r 6  dφ 


 
o 
o 
o
 dt 
 dt 
 dt 
Nesta consideraremos constante o momento angular Newtoniano na forma:
L=r2
dφ
dt
19.53
Que é realmente o momento angular teórico conhecido.
2
2
 d 2w  2 d 2w 1 k 2
k 2  dw 
k2
 2  +
+
=
−


−
2
2
2 4
2 2 2
2 2 2 2

 dφ  r dφ r mo L mo c L  dφ  mo c r L
2
2
 d 2w 
d 2w
k2
k 2  dw 
k2
 2  + 2 2 2w + w2 = 2 4 − 2 2 2   − 2 2 2 w2
dφ
mo L mo c L  dφ  mo c L
 dφ 
2
2
 d 2w 
 dw 
d 2w
 2  + 2 2 w + w2 = B − A  − Aw2
dφ
 dφ 
 dφ 
2
2
 d 2w 
 dw 
d 2w
 2  + 2 2 w + A  + ( A +1)w2 − B = zero
dφ
 dφ 
 dφ 
19.54
Onde temos:
k2
A= 2 2 2
mo c L
B=
19.55
k2
mo2 L4
19.56
83/120
A equação 19.54 tem como solução:
w=
1
1
1−ε cos(φ 1+ A +φo ) ⇒ w = [1−ε cos(φQ)]
εD
εD
[
]
Onde consideramos
19.57
φo = zero .
Está denominado em 19.57
Q2 =1+ A .
19.58
A equação 19.58 é função somente de A demonstrando a união intrínseca entre a variação da massa com a
variação da energia no tempo, pois ambas como já descrito participam da força relativística 19.06 nisto está
a essencial diferença entre a massa e a carga elétrica que é invariável e indivisível na teoria
eletromagnética.
De 19.57 obtemos o raio de uma cônica:
εD
εD
1
r= =
⇒r =
w 1−ε cos φ 1+ A
1−ε cos(φQ)
(
Onde
ε
19.59
)
é a excentricidade e D a distância do foco a diretriz.
Derivando 19.57 obtemos
dw Q sen(φQ)
=
dφ
D
19.60
Que derivada resulta em
d 2 w Q 2 cos(φQ )
=
dφ 2
D
19.61
Aplicando em 19.54 as variáveis obtemos:
2
2
2

 2 

 d w  + 2 d w w + A dw  + ( A + 1)w 2 − B = zero .
2
 dφ 2 
 dφ 
dφ




Q cos (φQ )
4
2
2
D
2
Q cos (φQ )
4
+2
2
D
2
2
D
Q cos(φQ )
2
+2
εD
Q cos (φQ )
4
2
2
2
 1− ε cos(φQ )
Q cos(φQ ) 1− ε cos(φQ ) Q sen (φQ )
A
+
+ (A + 1)


 − B = zero
2
D
εD
εD
D




2
2
Q cos(φQ )
εD
2
2
D
2
+2
Q cos (φQ )
2
−2
Q cos (φQ )
2
−2
2
+A
Q
D
2
D
2
2
+A
2
Q
D
Q cos (φQ )
2
−A
D
2
2
2
2
2
 1−ε cos(φQ )
+ (A + 1)
 − B = zero
εD


Q cos (φQ )
2
−A
2
D
2
19.62
+
(A+1) − 2 (A+1)cos(φQ) + (A+1)cos 2 (φQ) − B = zero
2
ε D
2
εD
2
D
2
2
2
 2

 Q 4 − 2Q 2 − AQ 2 + A +1 cos (φQ ) +  2Q − 2 A − 2  cos(φQ ) + AQ + (A +1) − B = zero


2
2 2
 εD εD εD  D

 D2
D
ε D


Nesta aplicando no primeiro parêntese
19.63
Q2 =1+ A obtemos:
(Q − 2Q − AQ + A+1)=[(1+ A) − 2(1+ A)− A(1+ A)+ A+1]=(1+ 2 A+ A − 2 − 2 A− A− A + A+1)= zero
4
2
2
2
2
84/120
2
Em 19.63 aplicando no segundo parêntese
Q2 =1+ A obtemos:
 2Q2 2 A 2   2(1+ A) 2 A 2 

− −  = 
− −  = zero
εD εD 
 εD εD εD   εD
O resto da equação 19.63 é portanto:
AQ 2 ( A+1)
+
− B = zero
D2 ε 2 D2
19.64
Os dados da órbita elíptica do planeta Mercúrio são [3]:
Excentricidade da órbita
ε =0,206 .
10
Semi-eixo maior = a = 5,79.10 m.
Semi-eixo menor
b = a 1−ε 2 =5 ,79.1010 1−0 ,206 2 = 56.658.160.305,80m .
εD = a(1−ε 2 )= 5 ,79.1010 (1−0 ,206 2 )= 55.442.955.600,00m .
a (1−ε 2 ) 5 ,79.10 10 (1−0 ,206 2 )
D=
=
= 269.140.561.165 ,00 m .
ε
0 ,206
O período orbital da Terra (PT) e Mercúrio (PM) em torno do Sol em segundos são:
PT = 3,16.10 7 s.
PM = 7,60.10 6 s.
O número de voltas que Mercúrio (mo) da em torno do Sol (Mo) em um século é, portanto:
N = 100
3,16.10 7
= 415,79 .
7,60.10 6
19.65
Momento angular teórico de Mercúrio:
2
2  2 dφ 
2
−11
30
10
2
30
L = r
 = GM o a 1− ε = 6 ,67.10 1,98.10 5,79.10 1− 0,206 =7 ,32212937427.10 .
dt


A=
B=
(
(GM 0 m o )2 (GM 0 )2
m o2 c 2 L2
=
2 2
c L
(GM 0 mo )2 (GM 0 )2
m o2 L4
=
4
L
)
(
)
19.66
(6 ,67.10 ) (1,98.10 )
=
(3,0.10 ) (7 ,32.10 )
= 2 ,65.10 −8 .
19.67
(6 ,67.10 ) (1,98.10 )
=
(7 ,32.10 )
= 3 ,25.10 − 22
19.68
−11 2
30 2
8 2
30
−11 2
30 2
30 2
Q = 1+ A = 1+ 2 ,63.10 −8 =1,000.000.013.23
19.69
Aplicando os dados numéricos com várias casas decimais ao resto da equação 19.63 obtemos:
AQ 2
D2
+
( A+1) − B = 2,65.10 −8 (1,000.000.013.23)2 + 2,65.10 −8 +1 − 3,25.10 −22 = 8,976.10 −30
ε 2D2
(269.140.561.165,00)2
(55.442.955.600,00)2
Resultado que podemos considerar nulo.
85/120
19.70
Vamos obter o momento angula relativístico do resto da equação 19.63 nesta aplicando as variáveis
obtemos:
(GM )
AQ 2 ( A + 1)
+ 2 2 − B= 2 2 0 2
2
ε D
D
c LD
2

ε 2 L2 (GM 0 )2 1+

2
2
 (GM 0 )2 
1  (GM 0 )  (GM 0 )
1
+
+
1
+
−
= zero

 2 2

2 2
2 2
4
ε
c
L
D
c
L
L




19.71
(GM 0 )2  + L4 c 2 1+ (GM 0 )2  − c 2ε 2 D 2 (GM )2 = zero



0
2 2
2 2
c L

c L


2
2
(
GM 0 )
2
4 2
4 2 (GM 0 )
ε L (GM 0 ) + ε L (GM 0 )
+L c +L c
− c 2ε 2 D 2 (GM 0 ) = zero
2 2
2 2
2
2
2
2
2
2
c L
ε 2 L2 (GM 0 )2 + ε 2
(
(GM 0 )4 + L4 c 2 + L2 (GM )2 − c 2ε 2 D 2 (GM )2 = zero
0
0
2
c
(GM 0 )4
)
c 2 L4 + 1+ ε 2 (GM 0 )2 L2 + ε 2
(
c L
)
− 1+ ε 2 (GM 0 ) ±
2
c2
− c 2 ε 2 D 2 (GM 0 )2 = zero
[(1+ε )(GM ) ] − 4c
2 2
2
0
2
L =
 2 (GM 0 )4 2 2 2
2
− c ε D (GM 0 ) 
ε
2
c


2c 2
− (1+ε 2 )(GM 0 ) ± (1+ε 2 ) (GM 0 ) −4ε 2 (GM 0 ) + 4c 4ε 2 D 2 (GM 0 )
2
2
2
L =
4
4
2
2c 2
(
)
(
)
− 1+ ε 2 (GM 0 ) ± 1+ 2ε 2 + ε 4 (GM 0 ) − 4ε 2 (GM 0 ) + 4 c 4 ε 2 D 2 (GM 0 )
2
L =
2
4
4
2
2c 2
(
)
− 1+ ε 2 (GM 0 ) ±
2
L =
(GM 0 )4 + 2ε 2 (GM 0 )4 + ε 4 (GM 0 )4 − 4ε 2 (GM 0 )4 + 4 c 4 ε 2 D 2 (GM 0 )2
2
2c 2
− (1+ ε 2 )(GM 0 ) ±
2
L2 =
L2 =
2
19.72
(GM 0 )4 + ε 4 (GM 0 )4 − 2ε 2 (GM 0 )4 + 4c 4 ε 2 D 2 (GM 0 )2
2c 2
(
)
(
)
2
− 1+ ε 2 (GM 0 ) + 1− ε 2 (GM 0 ) + 4c4ε 2 D 2 (GM 0 )
=7 ,32212927328.10 30 .
2
2c
2
4
2
19.73
Esta última equação tem a exclusiva propriedade de relacionar a velocidade c ao denominado momento
angular relativístico que é menor que o momento angular teórico 19.66.
A variação do momento angula relativístico em relação ao momento angular teórico é muito pequena e dada
por:
7 ,3221292732 8.10 30 −7 ,3221293742 7.10 30
−1
.
∆L =
= −1,38.10 − 8 =
30
72.503 .509 ,00
7 ,3221293742 7.10
O que demonstra a exatidão do principio de constância da velocidade da luz.
86/120
19.74
Na realidade a fórmula 19.06 prevê um retrocesso secular do periélio de Mercúrio que é dado por:

1
Q
∆φ = 2π 415,79 −1 = 2π 415,79(−0,000.000.013.23)= −3,46.10−5 rad .

19.75
Convertendo para segundo obtemos:
∆φ =
−3,46.10−5.180,00.3.600,00
π
= −7 ,13" .
19.76
Este retrocesso não previsto na teoria Newtoniana é devido à variação relativística da massa e energia e
está encoberto pela precessão total observada de 5599”.
87/120
§§19 Avanço do periélio de Mercúrio de 42,79”
Escrevamos a fórmula para energia relativística ER gravitacional contendo os termos para a energia cinética,
a energia potencial Ep e a energia de repouso:




m oc2
1

2
ER = m oc 
− 1  + Ep + m oc2 =
+ Ep .
2
2
u
u
 1 −

1− 2
2
c
c


19.77
Sendo a força gravitacional conservativa sua energia é constante. Supondo então que em 19.77 quando o
raio tende ao infinito a velocidade e a energia potencial tende a zero, resulta então:
ER =
m oc2
2
u
1− 2
c
+ Ep = m oc2
19.78
Escrevamos a fórmula para energia EN gravitacional Newtoniana contendo os termos Newtonianos
correspondentes a 19.77:
EN =
Onde
m o u2 k
− + m oc2 = m oc2
2
r
19.79
m ou 2
−k
2
é a energia cinética,
a energia potencial e m oc a energia de repouso ou melhor
2
r
dizendo energia inercial.
Desta 19.79 obtemos:
m ou2 k
m u2 k
2GM o
2k 2GM o m o
− + m oc2 = m oc2 ⇒ o = ⇒ u2 =
=
⇒ u2 =
2
r
2
r
m or
m or
r
19.80
Derivando 19.79 obtemos:

dEN
d  m ou 2 k

=
− + m oc2  = zero
dt dt  2
r

m o 2u du k dr
+
= zero
2 dt r2 dt
− GM o dr
u du = − k dr =
2
dt mor dt
r 2 dt
− GM o dr
u du =
dt
r 2 dt
u
du − GMo
=
dr
r2
19.81
88/120
Igualando a energia relativística 19.78 a energia Newtoniana 19.79 obtemos:
m oc2
ER = E N ⇒
u2
1− 2
c
m oc2
mo
2
1− u
c2
+
Ep
=
+ Ep =
m ou 2 k
− + m oc2
2
r
m ou2
GMo m o
mo
−
m o2
+
m or
19.82
m oc2
19.83
mo
Nesta denominando o potencial relativístico ( ϕ ) como:
ϕ=
Ep
19.84
mo
Obtemos:
c2 + ϕ = u2 − GMo + c2
2
2
r
1− u
2
c
2 GM
ϕ = u − o + c2 −
2
r
c2
2
1− u
c2
19.85
Nesta substituindo a aproximação:
u2
≈1+ 2
2c
u2
1− 2
c
1
19.86
Temos:
2 GM
2 

ϕ = u − o + c2 − c2 1 + u 
2
r
 2c2 
Que simplificada resulta no potencial Newtoniano:
ϕ=
u2 GMo
u2 − GMo
−
+ c2 − c2 −
=
2
r
2
r
19.87
Substituindo 19.84 e o potencial relativístico 19.85 na energia relativística 19.78:


 2

2
m oc
c
 u GM o

2
ER =
+ mo  −
+c −

2
2
2
r
u
u

1− 2
1 − 2 
c
c 

2
19.88
Obtemos a energia Newtoniana 19.79:
m ou2 GMo m o
EN =
−
+ m oc2
2
r
89/120
Derivando o potencial relativístico 19.85 obtemos o módulo da aceleração gravitacional relativística
exatamente como na teoria newtoniana:
a=
− dϕ
dr


 2

2
− dϕ − d  u GM o
c

2
=
−
+c −
a=
2 
dr
dr  2
r
u

1 − 2 
c 



− d  u GM o
d 
c2
2
 −
+ c  −
−
a=

dr  2
r
u2
 dr 
1
−

c2

2






Onde temos:
 − d  EN 
− d  u2 GMo

 = zero . Porque o termo a derivar é a energia Newtoniana dividida por
 −
+ c2  =
dr  2
r
 dr  m o 
mo ou seja
E N u 2 GM o
=
−
+ c2 que é constante, resulta então:
mo
2
r


d 
c2
a = − −
dr
u2

1− 2
c












u
du 
a = − −

3
2 2 dr 
 
u 
 1 − 2 

c 
 

Nesta aplicando 19.81 obtemos:
a=
−1

u 
1 − 2 
c 

2
3
2
GM o
r2
19.89
A aceleração vetorial e dada por 19.05:
2

 dφ  
r  d 2r
dφ
d 2φ  ˆ
a=
− r   rˆ + 2 dr
+r
φ
 dt2
dt2 
 dt  
 dt dt
90/120
O módulo da aceleração gravitacional relativística 19.89 é igual a componente do raio vetor ( r̂ ) por isso
temos:
 d 2r  dφ 2 
GMo
−1
a =  2 − r
 =
3
r2
 dt  
 dt
 u2  2
1 − 2 
 c 
19.90
Sendo nula a aceleração transversal temos:
 dr dφ
d 2φ  ˆ
2
+
r
φ = zero
 dt dt
dt2 

19.91
dr dφ
d 2φ
2
+ r 2 = zero
dt dt
dt
Que é igual à derivada do momento angular constante L = r
2
dφ
dt
2
dL d  2 dφ 
dr dφ
2 d φ
=
r
=
2
r
+
r
= zero


dt dt  dt 
dt dt
dt2
19.92
19.93
Reescrevendo algumas equações já descritas temos:
w=
1
r
dw =
∂w
−1
dr ⇒ dw = 2 dr
∂r
r
dw − 1 dr
dr
dw dw − 1 dr
= 2
= −r2
ou
e
=
dφ r dφ
dφ
dφ dt r2 dt
dr dφ dt dr L dr − L 2 dw dr
dw
=
= 2
= 2r
⇒
= −L
dt dt dφ dt r dφ r
dφ
dt
dφ
d 2r d  dr  dφ dt d 
dw  L d 
dw  − L2 d 2w
=
−L
=
−L
=

=
dt2 dt  dt  dt dφ dt 
dφ  r2 dφ 
dφ  r2 dφ 2
De 19.90 obtemos:
2
 3u 2   d 2r
dφ   − GM o

1 − 2   2 − r
 =
2c   dt
r2
 dt  

Nesta com 19.94 a velocidade de 19.80 e o momento angular obtemos:
2
GM o
3  2GM o   − L2 d 2w

L 
1
−
r
−
 2 =− 2
 2c2  r   r2 dφ 2
r
r  

 

2
 3GM o 1  d w 1  GM o
+ =
1 − 2

c r  dφ 2 r  L2

91/120
19.94
2
 3GM o 1  d w  3Gm o 1  1 GM o
1 − 2
 2 + 1 − 2
 =
c r  dφ 
c r  r L2

d 2w 3GM o d 2w 1 1 3GM o 1 GM o
− 2
+ − 2 2 − 2 = zero
dφ 2
c dφ 2 r r
c r
L
d 2w
d 2w 1 1
1
−
A
+ − A 2 − B = zero
2
2
dφ
dφ r r
r
d 2w
d 2w
−
A
w + w − Aw2 − B = zero
dφ 2
dφ 2
d 2w
d 2w
−
A
w − Aw2 + w − B = zero
2
2
dφ
dφ
19.95
Onde temos:
A=
3GM o
c2
B=
GM o
19.96
L2
A solução da equação diferencial 19.95 é:
w = 1 [1 − ε cos(φQ + φo )] ⇒ w = 1 [1 − ε cos(φQ )] .
εD
εD
Onde consideramos
19.97
φo = zero
Portanto o raio é dado por:
r=
εD
εD
1
=
⇒r =
w 1 − ε cos(φQ)
1 − ε cos(φQ)
Onde
ε
19.98
é a excentricidade e D a distância do foco a diretriz.
dw Qsen(φQ)
d 2w Q 2 cos(φQ )
=
Derivando 19.97 obtemos
e
=
dφ
D
dφ 2
D
19.99
Aplicando as derivadas em 19.95 obtemos:
d 2w
d 2w
− A 2 w − Aw2 + w − B = zero
2
dφ
dφ
Q2 cos(φQ) AQ2 cos(φQ) 1
[1 − ε cos(φQ)] − 2A 2 [1 − ε cos(φQ)]2 + 1 [1 − ε cos(φQ)] − B = zero
−
D
D
εD
ε D
εD
Q2 cos(φQ) AQ2 cos(φQ)
−
[1 − ε cos(φQ)] − 2A 2 1 − 2ε cos(φQ) + ε 2 cos2 (φQ) +  1 − 1 ε cos(φQ) − B = zero
2
D
 εD εD

εD
ε D
[
]
Q2 cos(φQ ) AQ2 cos(φQ) AQ2 cos(φQ )
ε cos(φQ) −
−
+
εD2
εD 2
D
A
A
A
1 1
− 2 2 + 2 2 2ε cos(φQ) − 2 2 ε 2 cos2 (φQ) + − ε cos(φQ ) − B = zero
ε D ε D
ε D
εD εD
92/120
 AQ2 cos2 (φQ) A cos2 (φQ)
cos(φQ )  2 AQ2 2A
A
1
 Q −
+
− 1  +
−
− 2 2+
− B = zero
2
2
D
εD εD 
D
D
ε D εD

 AQ2 cos2 (φQ ) A cos2 (φQ )
cos(φQ)  2 AQ2 2A
A
1
B
 Q −
+
− 1  +
−
− 2 2+
− = zero
2
2
AD 
εD εD 
AD
AD
Aε D
AεD A
cos(φQ)  Q2 Q2 2 1  Q2 cos2 (φQ ) cos2 (φQ)
1
1
B
 −
+ −  +
−
− 2 2+
− = zero
2
2
D
D
D
ε D AεD A
 A εD εD A 
cos(φQ)  Q2 Q2 2 1 
1
1
B
cos2 (φQ ) 2
 −
(
Q
−
1
)
+
+ −  − 2 2 +
− = zero
2
D
D
AεD A
 A εD εD A  ε D
O coeficiente do co-seno ao quadrado, pode ser considerado nulo porque
grande:
19.100
Q ≈ 1 e D2 é um número muito
cos2 (φQ) 2
(Q − 1) = zero
D2
19.101
Resultando da equação 19.100:
cos(φQ)  Q2 Q2 2 1 
1
1
B
 −
+ −  − 2 2 +
− = zero
D
AεD A
 A εD εD A  ε D
19.102
Devido à unicidade desta equação 19.102 devemos ter uma única solução que anule simultaneamente o
parêntese e o resto da equação, ou seja, devemos ter uma solução única para ambas às equações
seguintes:
Q2 Q2 2 1
−
+ − = zero
A εD εD A
e
−
1
1
B
+
− = zero
ε D AεD A
2 2
19.103
Estás equações podem ser escritas como:
[a = b] ⇒ 1 −
1
1 1 2 
= 2 − 
εD Q  A εD 
19.104
[a = c] ⇒ 1 −
1 εDB
=
εD
A
19.105
A
A
Nestas o termo comum
[b = c] ⇒
a=
1 1
−
deve ter uma única solução por isso temos:
A εD
1  1 2  εDB
 − =
Q2  A εD 
A
19.106
Com 19.96 e o momento teórico obtemos:
A=
3GM o
c2
B=
GM o
L2
L2 = εDGM o
εDB =
93/120
εDGMo
L2
=1
19.107
Está aplicada em 19.105 e 19.106 resulta em:
[a = c] ⇒ 1 −
A
[b = c] ⇒
1 1
=
εD A
19.108
1 1 2  1
 − =
Q 2  A εD  A
19.109
De 19.108 obtemos o erro cometido em 19.105:
1 1 1
1
−
= ⇒ − ≈ zero
A εD A
εD
−
19.110
−1
1
=
= −1,80.10−11 ≈ zero
εD 55.442.955.600,00
19.111
De 19.109 obtemos Q:
1 1 2  1
2A
2 3GM o
−  = ⇒ Q2 = 1 −
⇒ Q2 = 1 −
2 
Q  A εD  A
εD
εD c2
19.112
Está aplicada em 19.104 resulta em 19.110:
1 1
1 1 2  1 1
1
1
1 2  1 1 1
−
= 2 − ⇒ −
=
= ⇒ − ≈ zero
 − ⇒ −
A εD Q  A εD  A εD  2A   A εD  A εD A
εD
1 −

εD 

De 19.112 temos:
Q = 1−
6GM o
6(6,67.10−11 )(1,98.1030 )
=
1
−
= 0,999.999.920.599
2
εDc2
(55.442.955.600,00)(3.108 )
19.113
Que corresponde a um avanço do periélio de Mercúrio em um século de:




∑ ∆φ = ∆φ.415,79 =  1Q − 1.1.296.000,00.415,79 = 42,79”
Calculado dessa forma:
Em uma volta trigonométrica temos
O ângulo
φ
360×60×60=1.296.000,00" segundos.
em segundos percorrido pelo planeta em uma volta trigonométrica é dado por:
φQ = 1.296.000,00 ⇒ φ = 1.296.000,00 .
Q
Se
Q > 1,00 temos retrocesso. φ < 1.296.000,00 .
Se
Q < 1,00 temos avanço. φ > 1.296.000,00 .
94/120
19.114
A variação angular em segundos em uma volta é dada por:
∆φ =
1.296.000,00
Q


− 1.296.000,00 =  1 − 1 1.296.000,00 .
Q

Se ∆φ < zero temos retrocesso.
Se ∆φ > zero temos avanço.
Em um século temos 415,79 voltas que fornecem uma variação angular total de:




∑ ∆φ = ∆φ.415,79 =  1Q − 1.1.296.000,00.415,79 = 42,79”
Se
∑ ∆φ < zero temos retrocesso.
Se
∑ ∆φ > zero temos avanço.
§20 Inércia
Imagine em um universo totalmente vazio, um ponto O’ que seja a origem do referencial do
observador O’. Na hipótese de o referencial estar em repouso ou em movimento retilíneo uniforme as ondas
eletromagnéticas esféricas emitidas com velocidade c por uma fonte situada em O’ será observada por O’
devido à lei de inércia exatamente esférica e com velocidade c portanto, o movimento retilíneo uniforme e o
repouso são indistinguível um do outro permanecendo em ambos os casos valida a lei de inércia. Para o
observador O’ as equações da teoria eletromagnética descreverão a propagação exatamente como uma
onda esférica. A imagem de um objeto situado em O’ será sempre centrada no próprio objeto e um raio de
luz emitido de O’ permanecerá sempre retilíneo e perpendicular às ondas esféricas.
Imagine agora um outro ponto O que seja a origem do referencial do observador O que possui todas
as propriedades inerciais descritas para o observador O’.
Obviamente dois pontos imaginários sem nenhuma forma de interação entre eles permanecerão
individualmente e no conjunto atendendo perfeitamente a lei de inércia mesmo existindo um movimento
retilíneo uniforme entre eles, só observável, devido à presença de ambos os referenciais que
individualmente se observarão em repouso estando em movimento o outro referencial.
As propriedades destes dois observadores são descritas pelas equações de transformações
relativísticas.
Observação: um universo infinito é aquele em que qualquer ponto pode ser considerado o ponto
central deste universo.
95/120
§21 Avanço do Periélio de Mercúrio de 42,79” calculado com a Relatividade Ondulatória
Supondo
(2.3)
ux = v
ux −v
v −v
=
⇒u'x'= zero
2
2
v
2
vux
v
2
vv
1+ 2 − 2
1+ 2 − 2
c
c
c
c
u'x'=
u'x'=zero
ux = v
(1.17) dt'= dt 1 +
21.01
v 2 − 2vux = dt 1+ v 2 − 2vv ⇒ dt'= dt 1− v 2
c2 c2
c2 c2
c2
(1.22) dt = dt' 1 +
v'2 + 2v'u'x' = dt' 1+ v'2 + 2v'(0) ⇒ dt = dt' 1 + v'2
c2
c2
c2
c2
c2
2
2
dt'= dt 1− v2
c
dt = dt' 1 + v'2
c
21.02
2
2
1− v2 1+ v'2 =1
c
c
v=
v'
2
1+ v'2
c
v'=
r
(1.33) v =
21.04
2
1− v2
c
vdt = v'dt'
21.05
r
r
r
r
−v'
−v'
=
⇒ v = −v'
2
2
2
2v'(0)
1+ v'2 + 2v'u2'x' 1+ v'2 + 2
1+ v'2
c
c
c
c
c
r
−v
r
v'=
2
1+ v2 − 2vux
c
c2
r
v=
v
v < v'
dt > dt'
(1.34)
21.03
=
r
r
r
−v
⇒ v'= −v
2
v2
1+ v2 − 2vv
1
−
c
c2
c2
r
−v'
2
1+ v'2
c
r
r
r = rrˆ = −r'
r
−v'=
r
v
21.06
2
1− v2
c
r r
r = r'= r
r
r
r'= −rrˆ = −r
21.07
r
r
dr = drrˆ+rdrˆ = −dr'
r
r
dr'= −drrˆ−rdrˆ = −dr
21.08
r
rˆdr = drrˆrˆ+ rrˆdrˆ = dr
r
rˆdr'= −drrˆrˆ−rrˆdrˆ = −dr
21.09
r
r
d(rrˆ) dr ˆ dφ ˆ
v = dr =
= r +r φ
dt dt dt
dt
rr
dφ
v2 = vv =  dr  + r 
 dt   dt 
21.10
r
r
d(−rrˆ)  dr ˆ dφ ˆ
v'= dr'=
= − r +r φ 
dt' dt'
dt' 
 dt'
2
2
rr
dφ 
v'2 = v'v'=  dr  + r

 dt'  dt'
21.11
2
96/120
2
2
r
2r
r
d 2φ  ˆ
d 2(rrˆ) d 2r  dφ  ˆ  dr dφ
a = dv = d r2 =
=
−
r
r
+
+
r
2

φ




dt dt
dt2 dt2  dt    dt dt dt2 
21.12
r dvr' d 2rr' d 2(−rrˆ)  d 2r  dφ 2  dr dφ
d 2φ  ˆ
ˆ
a'=
= 2=
=
−
−
r
r
−
2
+
r
φ





2
2
dt' dt'
dt'2
dt'  dt'   dt'dt' dt' 
21.13
r
−v'=
r
v
21.06
2
1− v2
c






 r 
 r 


r
r
2
r d (−v') d  v  dt d  v 
v
'
d
v


− a'=
=
=
= 1+ 2
2
2
2





dt' dt'
dt'dt
c dt
v
v
v 
 1− 2 
 1− 2 
 1− 2 
c 
c 
c 



r
r
2
r
1  1− v 2 dv −vr d  1− v 2 
− a'= − dv'= 1 + v'2


dt'
c 1 − v 2  
c2 dt
dt 
c2 

2
 c 
1 2 −1


r
r r
2
2
2 2− 2= 2
r


 − 2v dv 
d
v
'
v
'
1
v
d
v
1
v
 1− 2
v
1
− a'= −
= 1+ 2
−
−


 2

dt'
c 1− v 2  
c dt
2 c2 
 c dt 



2 
 c 




r
r
r
2
2
r
d
v
'
v
'
1
v
d
v
1
dv
v


1− 2
v
−a'= −
= 1+ 2
+
2 dt c2 
dt'
c 1− v 2  
c dt
v
1− 2

2

 c 
c





r
r
r
2
2
2
r
d
v
'
v
'
1
1
v
v
d
v
1
dv
v


− a'= −
= 1+ 2
1 − 2 1− 2
+
v
2
2 dt c2 
dt'
c 1− v 2  
c
c
dt
v
1 − v2

2   1− 2

 c 
c
c

r
r
2
r
 v 2  dvr
1
dv v 
1
v
− a'= − dv'= 1+ v'2
−
+


3
dt'
c 
c2  dt
dt c2
2 2 

v
1− 2 
 c 
r
r
r − moa'
 v 2  dvr
− mo dvr'
mo
dv v 
− m'a'=
=
=
1
−
+
v


3
2
2
2 dt'
dt c2
1− v 2 2  c  dt
1+ v'2
1+ v'2

2
c
c
 c 
97/120
21.14
r
r
r − moa'
− mo dvr'
=
F'= −m'a'=
2
2 dt'
1+ v'2
1+ v'2
c
c
r
F=
r
 v 2  dvr
dv v 
1
−
+
v
3 
2
dt c2
1− v2 2  c  dt

2
 c 
mo
21.15
(= 19.06)
21.16
r
r
r
r
− moa'
− mo dvr' r
mo
 v 2  dvr
dv v 
F'= −m'a'=
=
=
F
=
1
−
+
v
3 
2
2
2 dt'
dt c2 
1 − v 2 2  c  dt
1 + v'2
1 + v'2

2
c
c
 c 
21.17
r
r r
r
r
ˆ
Ek = ∫ F'(− dr') = ∫ F.dr = ∫ − k
2 rdr
r
r
r r
r
Ek = F'.(−dr') = F.dr =
∫
Ek = ∫
Ek = ∫
Ek = ∫
∫
∫
21.18
r
r r
 v 2  dvr
r
mo
dv'(−drr') =
+v dv v2 dr = −k
rˆ.dr
1− 2 

3
2
2 dt'
dt
dt
c
c
r


 v 2 2 
1+ v'2
1− 2 
c
 c 
− mo
∫
∫
21.19
r r
r drr'
mo  v2  r drr
d
r
v = − k rˆ.drr
dv' = ∫
+vdv
3 1− 2 dv
2
dt' 
c  dt
dt c2  ∫ r2
2 2 

v
1+ v'2
1− 2 
c
 c 
mo
rr
modv'v'
r r
 v2  r r
−k ˆ r
v
v
=∫
3 1− 2 dvv +vdv 2  = ∫ 2 r.dr
2
c 
r
1− v 2 2  c 
1+ v'2


2
c
 c 
mov'dv'
2
1+ v'2
c
Ek = ∫
mov'dv'
Ek = ∫
mov'dv'
2
1+ v'2
c
2
1+ v'2
c
mo
=∫
mo
3
1− v 2 2

2

=∫
=∫
c 
movdv  v2 v 2  − k
3 1− 2 + 2  = ∫ 2 dr
c c  r
2 2
1− v 

2
 c 
movdv
3
1− v 2 2

2

c 
Ek = moc2 1+ v'2 =
c
moc2
2
 v2 
v 2  = − k dr
1
−
vdv
+
vdv


2
 c 
c2  ∫ r2

= ∫ −k
dr
r2
mov'dv'
2
1+ v'2
c
=
movdv
3
1− v 2 2

2

= −k
dr
r2
21.20
c 
= k +constante
r
1 − v2
c
21.21
2
2
ER = moc 1 + v'2 − k = constante
c r
2
dEk =
ER =
98/120
moc2
− k =constante
r
1− v2
c
2
21.22
moc2
m v2
− k = moc2 + o − k
2 r
2 r
1− v2
c
ER =
ER =
1 = ER + k 1
2
moc2 moc2 r
1− v2
c
H=
moc2
− k = moc2
(0) ∞
1− 2
c
21.23
2
GM m GM
A = k 2 = o 2o = 2o
moc
moc
c
ER
moc2
3

1
3 = H + A 
r
1− v2 2 


2
 c 
1 =H +A 1
2
r
1− v2
c
1
21.25
r r r
dφ
dφ
dφ
L = r ×v = rrˆ×  dr rˆ+r φˆ = r2 rˆ×φˆ = r2 kˆ
dt 
dt
dt
 dt
( )
21.26
r
r r r r
dφ
dφ
dφ
L = r ×v = r × −v' 2 = rrˆ× −1 2  − dr rˆ+r φˆ = 1 2 r2
rˆ×φˆ = r2 kˆ
dt
'
dt
'
dt
'
dt
v
'
v
'


v
'
 1+
1+ 2
1+ 2 
c
c
c2
(
r
dφ r
L = r2 k = Lkˆ = constante
dt
dEk =
mov'dv'
2
1+ v'2
c
=
movdv
3
1− v 2 2

2

21.24
L = r2
dφ
dt
r
= −k
dr = − k
rˆ.dr
2
2
r
r
)
21.26
21.27
21.20
c 
r dvr − k drr − k r
mo
dEk r r
= 2 rˆ. = 2 rˆ.v
= Fv =
v
3
dt
r
dt r
2 2 dt
1 − v 


2
 c 
r
F=
r
moa
3
1− v 2 2

2

r
F=
= −k
rˆ
r2
21.28
c 
d2r  dφ 2  dr dφ
d 2φ  ˆ − k ˆ
ˆ
−
r
r
+
2
+
r
φ = 2r

 
3 
2
2 
dt
dt
dt
dt
dt


2 2
 r




1− v  

2
 c 
mo
r
Fφˆ =
 dr dφ
d 2φ  ˆ
2
+
r

3
2 φ = zero
dt
2 2  dt dt

1− v 

2
 c 
r
Frˆ =
d2r  dφ 2 − k
−r  rˆ = 2 rˆ
3
2
 dt   r
2 2 dt
1− v 


2
 c 
mo
21.29
21.30
mo
21.31
99/120
dφ L
=
dt r2
d 2φ 2L2 dw
=
dt2 r3 dφ
d 2r = − L2 d2w
dt2 r2 dφ2
dr = −L dw
dt
dφ
21.32
 − L2 d 2w  L 2 − k
−r 2  rˆ = 2 rˆ
3 2
2
r
r  
2 2  r dφ
1− v 


 c2 
r
Frˆ =
mo
1
21.33
 − L2 d2w L2  −GMo
− =
r2 dφ2 r3  r2
3

2 2
1− v 

2

c 
1
 d2w 1  − L2  −GMo
=
r2  r2
3
 2 + r 
2 2  dφ

1− v 

2

c 
1
 d 2w 1  GMo
L2
3
 2 + r  =
2 2  dφ

1− v 


2

21.34
c 
3
H + A 1   d 2w + 1  = GM o


r   dφ2 r  L2

21.35
H + 3A 1  d 2w + 1  = GMo


r  dφ2 r  L2

2
2
GM
H d w2 + H 1 +3A d w2 1 +3A 12 = 2o
dφ
r
dφ r
r
L
2
2
GM
H d w2 + Hw +3A d w2 w +3Aw2 − 2o = zero
dφ
dφ
L
H=
GM m GM
A = k 2 = o 2o = 2o
moc
moc
c
ER
moc2
2
B=
GMo
L2
21.36
2
H d w2 + Hw +3A d w2 w +3Aw2 − B =zero
dφ
dφ
w = 1 = 1 [1 + ε cos(φQ )]
r εD
21.37
2
d2w = −Q cos(φQ)
dφ2
D
dw = −Qsen(φQ)
dφ
D
21.38
2
H
−Q2cos(φQ)
−Q2cos(φQ ) 1
[1+ ε cos(φQ)]+3A 1 [1+ ε cos(φQ)] − B =zero
+ H 1 [1+ ε cos(φQ)]+3A
εD
D
D
εD
εD

− Q2H
[
]
21.39
2 cos(φQ)
cos(φQ)
[1+ ε cos(φQ)]+ 32A2 1 + 2ε cos(φQ) + ε 2cos2(φQ) − B = zero
+ H 1 + H 1 ε cos(φQ) − 3Q A
D
D
εD
εD
εD
εD
100/120
cos(φQ )
cos(φQ ) 3Q2A cos(φQ ) 3Q2A cos(φQ )
ε cos(φQ ) +
+H 1 +H
−
−
D
D
D
D
εD
εD
εD
+ 32A2 + 32A2 2ε cos(φQ ) + 32A2 ε 2cos2(φQ ) − B = zero
εD εD
εD
−Q2H
cos(φQ)
cos(φQ) 3Q2A cos(φQ)
cos2(φQ)
+H 1 +H
−
−3Q2A
+
D
D
D
D2
εD
εD
cos(φQ)
cos2(φQ)
+ 32A2 + 6A
+3A
− B = zero
D2
ε D εD D
−Q2H
cos(φQ )
cos(φQ ) 3Q2A cos(φQ ) 6A cos(φQ )
+H
−
+
−
D
D
D
εD
εD D
cos2(φQ)
cos2(φQ)
−3Q2A
+ 3A
+ H 1 + 32A2 − B = zero
2
2
D
D
εD ε D
−Q2H
2
 2
3Q2A + 6A  cos(φQ ) + −3Q2A + 3A cos (φQ ) + H 1 + 3A − B = zero
−
Q
H
+
H
−


D2
εD εD  D
εD ε 2D2

(
)
(φQ) +  −Q H + H − 3Q A + 6A  cos(φQ) + H 1 + 3A
(−3Q A +3A)cos


εD εD 3AD
3AD
3AεD 3Aε D
2
2
2
2
2

2 2

(1−Q2)cos 2(φQ) +  −Q H + H
Q2 ≈1
2
2
D
 3A
− B = zero
3A
2
cos(φQ)
− Q + 2 
+ H + 21 2 − B = zero
3A εD εD  D
3AεD ε D 3A
(1−Q )cosD (φQ) =zero
21.40
2
2
2
 −Q2H + H − Q2 + 2  cos(φQ) + H + 1 − B = zero


3AεD ε 2D2 3A
 3A 3A εD εD  D
cos(φQ )
= zero ⇒ H + 21 2 − B = zero
D
3AεD ε D 3A
2
2
cos(φQ)
≠ zero ⇒ −Q H + H − Q + 2 = zero
D
3A 3A εD εD
101/120
21.41
21.42
−Q2H + H − Q2 + 2 = zero
3A 3A εD εD
H + 1 − B = zero
3AεD ε 2D2 3A
+ 1 = 12  H + 2 
3A εD Q  3A εD 
+ 1 = εDB
3A εD 3A
[a = b]⇒ H
H=
Q2 = 1
[a =c]⇒ H
ER moc2
=
=1
moc2 moc2
εDB =
+ 1 = 1  H + 2  ⇒ 1 = zero
3A εD 1  3A εD  εD
[a = b]⇒ H
21.44
εDGMo εDGMo
=
=1
2
L
εDGMo
[a =c]⇒ 1
+ 1 = 1 ⇒ 1 = zero
3A εD 3A εD
[b =c]⇒ 12  H
+ 2  = εDB
Q  3A εD  3A
εDB =
21.43
21.45
εDGMo εDGMo
=
=1
2
L
εDGMo
21.46
[b =c]⇒ 12  H
+ 2  = 1
Q  3A εD  3A
Q2 = H + 6A
εD
21.47
Q = Q(H ) O retrocesso é função da energia positiva que governa o movimento.
H=
ER moc2
=
=1
moc2 moc2
[a = b]⇒
Q2 = 1 + 6A Retrocesso
εD
1 + 1 =
1  1 + 2  ⇒ 1 = zero


3A εD 1+ 6A   3A εD  εD


 εD 
2
2
3AεD −Q H + H − Q + 2  = zero
 3A 3A εD εD 
H=
ER
moc2
A=
21.49
3Aε 2D2 H + 21 2 − B  = zero
 3AεD ε D 3A 
GMo
c2
− Q2HεD + HεD − Q23A +6A = zero
B=
GMo
L2
HεD + 3A − εD(εDB ) = zero
−Q2(−3A + εD ) −3A + εD −Q23A +6A = zero
HεD = −3A + εD
Q23A − Q2εD + εD − Q23A + 3A = zero
Q2 = 1 + 3A
εD
− Q2εD + εD + 3A = zero
21.48
Este retrocesso não é governado pela energia positiva.
102/120
21.43
r
v=
r
−v'
2
1+ v'2
c
21.06












r
r
r
r
2
r dv d  −v'  dt' d  −v' 
−
v
d
v
'


a=
=
=
= 1− 2
2  dt dt'
2
2
dt dt 
c dt'
v
'
v
'
v
'
 1+ 2 
 1+ 2 
 1+ 2 
c 
c 
c 



21.50
r
r r
2
2
2 


r
a = dv = 1− v2 −1 2  1+ v'2 dv'−v' d  1+ v'2 
dt
c 1+ v'  
c dt' dt'
c 

2
 c 
1 2 −1


r r
2
2
2 2− 2= 2
r dvr


 2v'dv'
a=
= 1− v2 −1 2  1+ v'2 dv'−v'1 1+ v'2 
 2

dt
c 1+ v'  
c dt' 2  c 
 c dt'


2 
 c 




r
r
r
2
2
r dv
−
v
1
v
'
d
v
'
1
dv
'
v
'


a=
= 1− 2
1+ 2
−
v'
2
2

dt
c 1+ v'2  
c dt'
dt
'
c
1+ v'2

2 

 c 
c





r
r
r
2
2
2
r dv
−
v
1
1
v
'
d
v
'
v
'
1
dv
'
v
'


= 1− 2
1+ 2 −
a=
1+ 2
v'
2
2
dt
c 1+ v'2  
c dt'
c
dt'c2 
v
'
v
'
1+ 2

2   1+ 2

 c 
c
c

r
r
r
2
r
−1 1+ v'2  dv'−v'dv'v'
a = dv = 1− v2

3 
dt
c 
c2  dt' dt'c2
2 2 

v'
1+ 2 
 c 
r
r
moa
mo dvr
− mo  v'2  dvr' dv'vr'
ma =
=
=
−v'
3 1+ 2 
2
2 dt
c
dt
'
dt'c2

2 2 
v
v
1+ v' 
1− 2
1− 2

2
c
c
 c 
r
r
r
ma
mo dvr
F = ma = o =
2
2 dt
1− v2
1− v2
c
c
r
F'=
21.51
 v'2  dvr' dv'vr'
−v'
3 1+ 2 
c
dt
'
dt'c2 

2 2 
1+ v' 

2
 c 
− mo
21.52
r
r
r
ma
mo dvr r
− mo  v'2  dvr' dv'vr'
F = ma = o =
= F'=
−v'
3 1+ 2 
2
2 dt
c
dt
'
dt'c2

2 2 
v
v


v
'
1− 2
1− 2
1+ 2 
c
c
 c 
103/120
21.53
r r
r
r
r
ˆ(
)
Ek = ∫F.dr = ∫ F'.(− dr') = ∫ − k
2 r − dr'
r
r r
r
r
Ek = F.dr = F'.(−dr') =
∫
∫
Ek = ∫
Ek = ∫
∫
21.54
r
r
r
− mo  v'2  dvr' dv' vr'
dv drr =
−k
−v'
1+ 2 
(−dr') = 2 rˆ(−dr')
3 
2
2 dt
dt'c 
c  dt'
r
 v'2 2 
1− v2
1
+


c
2
 c 
mo
∫
∫
r r
r r
 v'2  r drr'
mo
dr'v' = k rˆdrr'
dv dr = ∫
+
d
v
−
v
dv
1
'
'
'

3 
2
dt 
c2  dt'
dt'c2 ∫ r2
2 2 
v

v
'
1− 2
1+ 2 
c
 c 
mo
mo
2
1− v2
c
Ek = ∫
movdv
Ek = ∫
movdv
Ek = ∫
movdv
2
1− v2
c
2
1− v2
c
2
1− v2
c
rr
dvv = ∫
=∫
=∫
rr
 v'2  r r
v'v' = − k dr
1
+
d
v
'
v
'
−
v
'
dv
'


3
2
c2  ∫ r2
1+ v'2 2  c 

2
 c 
mo
 v'2  r r
v'2 = −k dr
1
+
d
v
'
v
'
−
v
'
dv
'
3 
2
c2  ∫ r2
1+ v'2 2  c 

2
 c 
mo
=∫
mov'dv'  v'2 v'2  − k
3 1+ 2 − 2  = ∫ 2 dr
c c  r
2 2
1+ v' 

2
 c 
mov'dv'
3
1+ v'2 2

2

2
Ek = −moc2 1− v2 =
c
= ∫ −k
dr
r2
movdv
dEk =
2
1− v2
c
c 
mov'dv'
3
1+ v'2 2

2

= −k
dr
r2
21.57
2
ER =
2
m v'
ER =
− k = −moc2 + o − k
2 r
2 r
1+ v'2
c
21.56
c 
= k +constante
r
1+ v'2
c
− moc2
ER =
− moc2
− k =constante
r
1+ v'2
c
2
− moc2
− k = −moc2
(0) ∞
1+ 2
c
−1 = ER + k 1
2
moc2 moc2 r
1+ v'2
c
ER
moc2
=
− moc2
2
ER = −moc2 1− v2 − k = constante
c r
H=
21.55
2
21.58
21.59
21.60
GM m GM
A = k 2 = o 2o = 2o
moc
moc
c
104/120
21.61
3

1
3 = −H + A 
r
1+ v'2 2 

2
 c 
−1 = H + A 1
2
r
1+ v'2
c
1
21.62
r r r
dφ ˆ 2 dφ ˆ ˆ 2 dφ ˆ

L'= r'×v'= −rrˆ× −  dr rˆ+r
r ×φ = r
k
φ  =r
dt' 
dt'
dt'
  dt'
( )
21.63
r
r r r
r
dφ
dφ
dφ
L'= r'×v'= −r × −v 2 = rrˆ× 1 2  dr rˆ+r φˆ = 1 2 r2 rˆ×φˆ = r2 kˆ
dt  1− v
dt
dt'
1− v 2
1− v2  dt
c
c
c2
(
r
dφ r
L'= r2 k = L'kˆ
dt'
dEk =
movdv
2
1− v2
c
=
L'= r2
mov'dv'
3
1+ v'2 2

2

)
dφ
dt'
21.63
21.64
kˆ r
= −k
2 dr = 2 rdr'
r
r
21.56
c 
r
r
mo
dEk r r
dv
'
k
d
r
ˆ
= F'v'=
= 2 r '= k2rˆv'
3 v'
dt'
1+ v'2 2 dt' r dt' r

2
 c 
r
F'=
r
moa'
3
1 + v'2 2

2

r
F'=
= k2 rˆ
r
21.65
c 
  d 2r  dφ 2  dr dφ
d 2φ  ˆ k ˆ
ˆ
−
−
r
r
−
+
r
φ = 2r
2






3
2
2 
1+ v'2 2  dt'  dt'   dt'dt' dt'   r

2
 c 
mo
r
F'φˆ=
 dr dφ
d 2φ  ˆ
2
+
r

3
2 φ = zero
1+ v'2 2  dt'dt' dt' 

2
 c 
r
F'rˆ =
 d 2r  dφ 2
k
−r
 rˆ = 2 rˆ
3
2
dt
'
dt
'
r



1+ v'2 2 

2
 c 
21.66
− mo
21.67
− mo
21.68
 d 2r  dφ 2 −GMo
−r
 rˆ = 2 rˆ
3
2
dt
'
r


2 2 dt'
1+ v' 


2
 c 
1
dφ L'
=
dt' r2
dr = −L'dw
dt'
dφ
d2r = − L'2 d2w
dt'2 r2 dφ2
105/120
d 2φ 2L'2 dw
=
dt'2 r3 dφ
21.69
 − L'2 d 2w  L'2 −GMo
−r 2   = 2
3 2
2
r
r  
2 2  r dφ
1+ v' 

2
 c 
1
 − L'2 d 2w L'2  −GMo
3
2− 3
 2
 = r2
r
2 2  r dφ

1+ v' 

2
 c 
1
 d2w 1  −L'2  −GMo
3
 2 + r  r2  = r2

2 2  dφ

1+ v' 

2
 c 
1
 d2w 1  GMo
3
 2 + r  = L'2
2 2  dφ

1+ v' 

2
 c 
1
21.70
 d 2w 1  GM o
 2 +  = 2
 dφ r  L'
3
− H + A 1 
r

21.71
H + 3A 1  d 2w + 1  = −GMo



r  dφ2 r  L'2
2
2
−GM
H d w2 + H 1 +3A d w2 1 +3A 12 = 2 o
dφ
r
dφ r
r
L'
2
2
GM
H d w2 + Hw +3A d w2 w +3Aw2 + 2o =zero
dφ
dφ
L'
H=
ER
moc2
2
A=
GMo
c2
B=
GMo
L'2
21.72
2
H d w2 + Hw +3A d w2 w +3Aw2 + B =zero
dφ
dφ
w = 1 = 1 [1+ ε cos(φQ )]
r εD
21.73
2
d2w = −Q cos(φQ)
dφ2
D
dw = −Qsen(φQ)
dφ
D
21.38
2
H
−Q2cos(φQ)
−Q2cos(φQ) 1
[1+ ε cos(φQ)]+ 3A 1 [1+ ε cos(φQ)] + B =zero
+ H 1 [1+ ε cos(φQ)]+ 3A
D
D
εD
εD
εD

− Q2H
[
]
21.74
2 cos(φQ )
cos(φQ )
[1 + ε cos(φQ )]+ 32A2 1 + 2ε cos(φQ ) + ε 2cos2(φQ ) + B =zero
+ H 1 + H 1 ε cos(φQ ) − 3Q A
D
D
εD
εD
εD
εD
cos(φQ )
cos(φQ ) 3Q2A cos(φQ ) 3Q2A cos(φQ )
ε cos(φQ )+
+H 1 +H
−
−
εD
εD
εD
D
D
D
D
+ 32A2 + 32A2 2ε cos(φQ )+ 32A2 ε 2cos2(φQ )+ B = zero
εD εD
εD
−Q2H
106/120
cos(φQ)
cos(φQ) 3Q2A cos(φQ)
cos2(φQ)
+H 1 +H
−
−3Q2A
+
D
D
D
D2
εD
εD
cos(φQ)
cos2(φQ)
+ 32A2 + 6A
+3A
+ B =zero
D2
ε D εD D
−Q2H
cos(φQ )
cos(φQ ) 3Q2A cos(φQ ) 6A cos(φQ )
+H
−
+
−
D
D
D
εD
εD D
cos2(φQ )
cos2(φQ )
3
−3Q2A
+
A
+ H 1 + 32A2 + B = zero
2
2
D
D
εD ε D
−Q2H
2
 2
3Q2A + 6A  cos(φQ ) + −3Q2A +3A cos (φQ ) + H 1 + 3A + B = zero
 −Q H + H −

εD εD  D
D2
εD ε 2D2

(
)
(φQ) +  −Q H + H − 3Q A + 6A  cos(φQ) + H 1 + 3A
(−3Q A +3A)cos


3AD
εD εD 3AD
3AεD 3Aε D
2
2
2
2
2

2 2

(1−Q )cosD (φQ) +  −3QAH + 3HA − εQD + ε2D  cosD(φQ) + 3AHεD + ε 1D
2
2
2
2
2

2 2

+ B = zero
3A
+ B = zero
3A
(1−Q )cosD (φQ) =zero
21.75
2
Q2 ≈1
2
2
 −Q2H H Q2 2  cos(φQ )
+ − + 
+ H + 21 2 + B = zero

3AεD ε D 3A
 3A 3A εD εD  D
21.76
21.77
cos(φQ )
= zero ⇒ H + 21 2 + B = zero
D
3AεD ε D 3A
2
2
cos(φQ)
≠ zero ⇒ −Q H + H − Q + 2 = zero
D
3A 3A εD εD
−Q2H + H − Q2 + 2 = zero
3A 3A εD εD
H + 1 + B = zero
3AεD ε 2D2 3A
+ 1 = 12  H + 2 
3A εD Q  3A εD 
+ 1 = − εDB
3A εD
3A
[a = b]⇒ H
Q2 = 1
H=
ER − moc2
=
= −1
moc2 moc2
+ 1 = 1  H + 2  ⇒ 1 = zero
3A εD 1  3A εD  εD
[a = b]⇒ H
[a =c]⇒ H
εDB =
[a =c]⇒ −1 +
1 = − 1 ⇒ 1 = zero
3A εD
3A εD
+ 2  = − εDB
Q  3A εD 
3A
21.80
εDGMo εDGMo
=
=1
L'2
εDGMo
[b =c]⇒ 12  H
+ 2  = − 1
Q  3A εD  3A
21.79
εDGMo εDGMo
=
=1
L'2
εDGMo
[b =c]⇒ 12  H
εDB =
21.78
21.81
Q2 = −H − 6A
εD
107/120
21.82
Q = Q(H ) O avanço é função da energia negativa que governa o movimento.
H=
ER − moc2
=
= −1
moc2 moc2
Q2 = −(−1) − 6A ⇒ Q2 = 1− 6A Avanço
εD
εD
21.83
1 =
1  −1 + 2  ⇒ 1 = zero



3A εD 1− 6A   3A εD  εD


 εD 
[a = b]⇒ −1 +
H=
ER
moc2
A=
GMo
c2
−Q2H + H − Q2 + 2 = zero
3A 3A εD εD
B=
− Q2HεD + HεD − Q23A +6A = zero
εDGM o εDGM o
=
=1
L'2
εDGM o
GMo
L'2
H + 1 + B = zero
3AεD ε 2D2 3A
2
2
3AεD −Q H + H − Q + 2  = zero
 3A 3A εD εD 
εDB =
21.84
21.78
3Aε 2D2 H + 21 2 + B  = zero
 3AεD ε D 3A 
HεD + 3A + εD(εDB ) = zero
21.85
HεD = −3A − εD
21.86
−Q2(−3A − εD ) −3A − εD −Q23A +6A =zero
21.87
Q23A + Q2εD − εD − Q23A + 3A = zero
Q2 = 1− 3A
εD
Q2εD − εD + 3A = zero
21.88
Este avanço não é governado pela energia negativa.
− Q2HεD + HεD − Q23A +6A = zero
21.85
−Q2(−3A − εD ) + HεD −Q23A +6A =zero
21.89
Q23A + Q2εD + HεD − Q23A +6A = zero
Q2 = −H − 6A
εD
Q2εD + HεD +6A = zero
21.90
 −Q2H + H − Q2 + 2  cos(φQ) + H + 1 + B = zero


3AεD ε 2D2 3A
 3A 3A εD εD  D
21.77
2
2
cos(φQ )


3Aε 2D2 −Q H + H − Q + 2 
+ H + 21 2 + B  = zero
3AεD ε D 3A 
 3A 3A εD εD  D
( )
εD −Q H3AεD + H3AεD − Q 3AεD + 2.3AεD  cos φQ + H3Aε D + 3A2ε D2 + B3Aε D = zero
3A
3A
3AεD
3A
εD
εD
εD  D

2
2
2 2
cos(φQ)
εD(−Q2HεD + HεD −Q23A +6A)
+ HεD + 3A + εD(εDB) = zero
D
108/120
2 2
2 2
εDB =
εDGMo εDGMo
=
=1
L'2
εDGMo
H=
ER − moc2
=
= −1
moc2 moc2
cos(φQ)
εD(−Q2HεD + HεD −Q23A +6A)
− εD + 3A + εD = zero
D
(−Q2HεD + HεD −Q23A +6A)cos(φQ) + 3A =zero
D
εD
21.91
Q2 = 1− 3A
εD
  3A 
 cos(φQ ) 3A
 3A 
+ = zero
− 1− εD HεD + HεD − 1− εD 3A +6A D
εD
 − HεD + HεD 3A + HεD −3A +3A 3A +6A  cos(φQ) + 3A = zero


εD
εD
εD

 D
 − HεD + H3A + HεD −3A + 9A2 +6A  cos(φQ) + 3A = zero


εD
εD

 D
H3A + 9A2 +3A  cos(φQ) + 3A = zero


εD
εD

 D
H=
ER − moc2
=
= −1
moc2 moc2
 −3A + 9A2 + 3A  cos(φQ ) + 3A = zero


εD
εD

 D
cos(φQ) 1
+ = zero
D
3A
9A2 cos(φQ) + 3A = zero
εD
D
εD
(−Q2HεD + HεD −Q23A +6A)cos(φQ) + 3A =zero
D
εD
Q2 = 1− 6A
εD
  6A 
 cos(φQ ) 3A
 6A 
+ = zero
− 1− εD HεD + HεD − 1− εD 3A +6A D
εD
 − HεD + HεD 6A + HεD −3A +3A 6A +6A  cos(φQ) + 3A = zero


εD
εD
εD

 D
 − HεD + H6A + HεD −3A + 18A2 +6A  cos(φQ) + 3A = zero


εD
εD

 D
H6A + 18A2 +3A  cos(φQ) + 3A = zero


εD
εD

 D
109/120
21.92
21.91
H=
ER − moc2
=
= −1
moc2 moc2
 −6A + 18A2 +3A  cos(φQ) + 3A = zero


εD
εD

 D
1  − 3A + 18A2  cos(φQ ) + 3A  = zero


3A 
εD  D
εD 
 −1+ 6A  cos(φQ ) + 1 = zero


εD  D
εD

− 1− 6A 
 εD 
cos(φQ) 1
+ = zero
D
εD
−Q2
cos(φQ) 1
+ = zero
D
εD
(−Q2HεD + HεD −Q23A +6A)cos(φQ) + 3A =zero
D
H=
Q2 = 1
21.93
21.91
εD
ER − moc2
=
= −1
moc2 moc2
(εD − εD −3A +6A)cos(φQ) + 3A =zero
εD
D
(3A)cos(φQ) + 3A = zero
D
Q2 = 1− 6A
εD
−Q2
εD
Q2 = 1
cos(φQ) 1
+ = zero
D
εD
21.94
Q2 = 1− 3A
εD
cos(φQ) 1
cos(φQ) 1
cos(φQ) 1
+
<<
+
<<<<<<
+
D
D
D
3A
εD
εD
110/120
21.95
Energia Newtoniana (EN)
mou2 k
−
EN =
2 r
2
2
2
2
dφ
u2 =  dr  + r  =  dr  + L2
 dt   dt   dt  r
EN =
mo  dr  2 L2  k
 + −

2  dt  r 2  r
2EN  dr  2 L2 2k 1
=
 + −
mo  dt  r 2 mo r
2
 dr  + L2 − 2k 1 − 2EN = zero


 dt  r 2 mo r mo
dφ L
=
dt r2
d 2r = − L2 d2w
dt2 r2 dφ2
dr = −L dw
dt
dφ
d 2φ 2L2 dw
=
dt2 r3 dφ
2
 dw  L2 2k 1 2EN
−
=zero
 −L  + 2 −
 dφ  r mo r mo
2
2E
 dw 

 + 12 − 2k2 1 − N2 = zero
 dφ  r moL r moL
2
2E
 dw 

 + 12 − 2k2 1 − N2 = zero
 dφ  r moL r moL
2
2E
 dw 

 +w 2 − 2k2 w − N2 = zero
moL
moL
 dφ 
x = 2k2
moL
y=
2EN
moL2
2
 dw 

 +w 2 − xw − y = zero
 dφ 
dw = −Qsen(φQ)
dφ
D
w = 1 = 1 [1+ ε cos(φQ )]
r εD
2
d2w = −Q2cos(φQ)
dφ2
D
2
 −Qsen(φQ) +  1 [1+ ε cos(φQ)] − x 1 [1+ ε cos(φQ)]− y = zero


 εD
D
εD

Q2 [1− cos2(φQ)]+ 1 [1+ 2ε cos(φQ) + ε 2cos2(φQ)]− x 1 − x 1 ε cos(φQ) − y = zero
D2
ε 2D2
εD εD
111/120
Q2 − Q2 cos2(φQ) + 1 + 1 2ε cos(φQ) + 1 ε 2cos2(φQ) − x − x cos(φQ) − y = zero
D2 D2
ε 2D2 ε 2D2
ε 2D2
εD
D
Q2 −Q2 cos2(φQ ) + 1 + 2 cos(φQ) + cos2(φQ) − x − x cos(φQ) − y = zero
D2
D2
ε 2D2 εD D
D2
εD
D
cos2(φQ) 2 cos2(φQ) 2 cos(φQ) cos(φQ) Q2 1
−Q
+
−x
+ 2 + 2 2 − x − y = zero
D2
D2
εD D
D
D ε D εD
(1−Q2)cos 2(φQ) +  2 − x cos(φQ) + Q2 +
2
D
2
 εD

D
D
1 − x − y = zero
ε D εD
2 2
(1−Q )cosD (φQ ) =zero
2
2
Q 2 ≈1
2
 2 − x  cos(φQ) + 1 + 1 − x − y = zero


D2 ε 2D2 εD
 εD  D
 2 − x = zero


 εD 
1 + 1 − x − y = zero
D2 ε 2D2 εD
x = 2k2
moL
y=
2EN
moL2
2 − x =zero ⇒ x = 2 = 2k ⇒ 1 = GMomo ⇒ L2 = εDGM
o
εD
εD moL2 εD moL2
ε 2D2 + ε 2D2 − ε 2D2x − ε 2D2y =zero
D2 ε 2D2 εD
ε 2 +1− εDx − ε 2D2y = zero
εDx = εD 2 ⇒ εDx = 2
εD
ε 2 +1−2−
2εDEN
= zero
k
1 = 1 (1 − ε 2)
a εD
ε 2D2y = ε 2D2
2EN
2EN
2εDEN
2 2
ε
=
D
=
moL2
moεDGMo
k
EN = k (ε 2 −1)
2εD
EN = − k
2a
112/120
§22 Deformação espacial
t=
t'
2
1 − v2
c
t > t'
1
t = t1 +t2 = L + L = 2L
c − v c + v c 1 − v2 
 c2 
t'= 2L'
c
2L'
2
2
1
L
t=
= c 2 ⇒ L = L' 1 − v2
2
c
c 1 − v 
1 − v2
2
 c 
c
L'> L
Que é a deformação espacial.
Sendo o comprimento L’ em repouso no referencial de O’ maior que o comprimento L que está em
movimento com velocidade v em relação ao referencial de O.
Agora calculemos para o Observador O’ a distancia
d'= vt' entre O ↔ O':
d'= vt'= v 2L'
c
Desta obtemos a velocidade v:
d'= v 2L' ⇒ v = cd' .
c
2L'
Agora calculemos para o Observador O a distancia
d = vt entre O ↔ O':
1
d = vt = v(t1 +t2) = v 2L
c 1 − v 2 
 c2 
Desta obtemos a velocidade v:
2
1
d = v 2L
⇒ v = cd 1 − v2  .
2
2L  c 
c 1 − v 
2
 c 
A velocidade v é a mesma para ambos os observadores por isso temos:
2
v = cd' = cd 1 − v2 
2L' 2L  c 
Onde aplicando a relação
2
L = L' 1 − v2 obtemos:
c
cd' =
cd
1 − v 2  ⇒ d'= d 1 − v 2
2
2L' 2L' 1 − v  c2 
c2
2
c
d > d'.
Onde as distâncias d e d’ variam de forma inversa as distancias L e L’.
113/120
No geral teremos de 14.2 e 14.4:

d1 − vux
2 
c


d'=
2
1 − v2
c
ou
d'1 + vu'2x'
c 
d= 
2
1 − v2
c
u'x'= zero
()
d'1 + v 02 

c 
d= 
2
1 − v2
c
d=
u'x'= c
d'1 + vc2 
d =  c2 
1 − v2
c
1+ v
c
d = d'
1− v
c
u'x'= −v
( )
d'1 + v −2v 

c 
d=
2
1 − v2
c
d = d' 1 − v2
c
ux = v
( )
d 1 − v v2 


c
d'=
2
1 − v2
c
d'= d 1 − v2
c
ux = c
d1 − vc2 
d'=  c2 
1 − v2
c
1− v
c
d'= d
v
1+
c
ux = zero
d 1 − v 02 

c 
d'= 
2
1 − v2
c
d'
2
1 − v2
c
2
2
()
d'=
114/120
d
2
1 − v2
c
§23 Curvatura do Espaço e Tempo
r
As variáveis com linha t',v',x',y',r' , etc... São as utilizadas no §21.
Geometria do espaço e tempo no plano
xy → y ⊥ x .
y = f (x )
r r
y = ∫ds'= ∫ dr'.dr'
x = ct'
∫ds'=f (ct')
r r
dy = ds'= dr'.dr'
dx =cdt'
r
r = xî + yĵ=ct'î + ∫ds'ĵ
r
r'= x'î + y'ĵ
r
dr = dxî +dyĵ=cdt'î +ds'ĵ
r
dr'= dx'î +dy'ĵ
r r
y
dr = r.dr = x dx + dy
r
r
r
r
r
dy cdt' ds'
v = dr = dx î+
ĵ=
î+
ĵ=cî+v'ĵ
dt' dt' dt'
dt' dt'
dy ds'
=
=v'
dt' dt'
dx =c
dt'
c =vcosϕ
dy ds'
dy dt' dt' 1 ds'
tgϕ =
=
=
=
dx dx c c dt'
dt'
r r r
v =c +v'
r
r
dy'
v'= dr' = dx'î+
ĵ
dt' dt' dt'
v'=vsenϕ
d 2y d  dy  1 d  1 ds'  1 d 2s'
=  =

=
dx2 dx  dx  c dt' c dt'  c 2 dt'2
r
c = cî
r
r
r
r
a = dv = dc + dv'
dt' dt' dt'
r
v'= v'ĵ
r
dc =zero
dt'
r
r
dv = dv' → ar = ar'
dt' dt'
r r
ds2 = dr.dr = dxî +dyĵ dxî +dyĵ = cdt'î +ds'ĵ cdt'î +ds'ĵ = dx2 +dy 2 =c 2dt'2 +ds'2
(
)(
) (
ds = c 2dt'2 +ds'2
)(
)
ds'= ds2 −c 2dt'2
2
v = ds = c 2 +  ds'  = c 2 +v'2 >c
dt'
 dt' 
2
v'= ds' =  ds  −c 2 = v 2 −c 2
dt'  dt' 
115/120
Κ=
dϕ
→ϕ ≡ ∠
ds
tgϕ =
curvatura teórica
dy
dx
ϕ = arctg
2
ds = 1+  dy  = 1+ 1  ds' 


dx
c 2  dt' 
 dx 
d 2y
1 d 2s'
2
2
2
dϕ
= dx 2 = c dt' 2
dx
dy  1+ 1  ds' 
1+ 

c 2  dt' 
 dx 
dy
dx
2
1 d 2s'
c 2 dt'2
2
dϕ 1+ 1  ds' 
1 d 2s'


dϕ dx
c 2  dt'  =
c 2 dt'2
Κ=
=
=
3
2
ds ds
2 2
ds
'
1




1+ 2 
1  ds' 

dx
c  dt'  1+ c 2  dt'  


r
1 vr'dv'
2
ds' Κ = ds' dϕ =v'Κ =v'dϕ =
= c dt'3
3
dt'
dt' ds
ds
2 2
 1  ds'   1+ v'2  2
1+ c 2  dt'    c 2 


1 ds' d 2s'
c 2 dt' dt'2
r
1 vr'dv'
r
2
r r r dϕ
v'Κ =v' = c dt'3
ds
1+ v'2  2
 c2 
dEk =
movdv
2
1− v 2
c
=
r
1 dv'
r
2
r dϕ
Κ=
= c dt' 3
ds
1+ v'2  2
 c2 
r
= − k2 dr = k2 r̂dr'
r
r
1+ v'2 


 c2 
mov'dv'
3
2
r
c 2 vr'dv'
m
r
o 2
dEk r r
r
= F'.v'= c dt3' = k2 r̂ dr' = k2 r̂v'
dt'
dt' r
1+ v'2  2 r


 c2 
r
dEk r r
r
2 r dϕ
= F'.v'= moc v' = k2 r̂v'
dt'
ds r
r
r
dϕ k
F'= moc 2
= r̂
ds r 2
r
r dϕ
Κ = = k 2 12 r̂
ds moc r
116/120
21.56
§ 24 Princípio Variacional
Ek =
Ek =
m oc 2
= k + constan te
r
1− v2
c
21.21
2
mo v 2
2
m c2
+ m o c 2 1− v2 = o = k + constan te
2
2
r
c
1− v2
1− v2
c
c
2 
m v

p = d  − m o c 2 1− v2  = o
2
dv 
c 
1− v2
c
2


−  − m o c 2 1− v2 + k  = m o c 2
2
c r
1− v2 
c
mov 2
2
L = − m o c 2 1− v2 + k Lagrangeana.
c r
mov 2
2
1− v 2
c
− L = m o c 2 Que é a energia inercial da partícula de massa mo.
2
L = pv − m o c 2 = − m o c 2 1− v2 + k
c r
pv − L = mo c 2
Princípio Variacional
t2
∫
x& = dx = ux Esta é a componente da velocidade no eixo x.
dt
Ação = S = L[(x (t ),x& (t ),t )]dt
t1
t2
∫
δS = δ L(x,x& ,t )dt = zero Variação nula da ação ao longo do eixo x.
t1
Construindo a variável x '=x + εη no intervalo
quando ε ≠ zero teremos as condições:
t1 ≤ t ≤ t 2 nesta vemos que quando ε → zero⇒ x'= x e
dε = zero
dt
η= η(t )
η(t1 )= zero
η(t 2 )= zero
dη
= zero
dε
η& =
x'=x + εη
&
x& '= x& + εη
dx' = η
dε
dx& ' = η&
dε
dx = zero
dε
dx& = zero
dε
t2
Temos então uma nova função
t2
∫
∫
& ,t )dt = F(x ',x& ',t )dt onde quando
I(ε )= G(x + εη,x& + εη
t1
t2
∫
t1
t2
∫
ε = zero→ x '= x → x& '= x& → F = L ⇒ F(x ',x& ',t )dt = L(x,x& ,t )dt
t1
t1
117/120
dη
dt
t2
t2
∫
∫
ε ≠ zero→ x'≠ x → x& '≠ x& → F ≠ L ⇒ F(x ',x& ',t )dt ≠ L(x,x& ,t )dt
t1
t1
t2
Assim
∫
I(ε )= F[x'(ε),x& '(ε),t ]dt que derivada fornece:
t1
t2
t2
t2
t2
t1
t1
t1
t1
δI(ε) ∂F(x ',x& ',t )dx'
∂F(x',x& ',t )dx& '
& dt = zero
=
dt +
dt = ∂F ηdt + ∂F η
dε
∂x '
dε
∂x& '
dε
∂x '
∂x& '
∫
∫
∫
∫
d  ∂F η = d  ∂F η+ ∂F dη⇒ ∂F η
& = d  ∂F η − d  ∂F η
dt ∂x& '  dt ∂x& '  ∂x& ' dt ∂x& ' dt ∂x& '  dt ∂x& ' 
t2
t2
t2
t2
1
1
1
1
t2
t2
t2
t1
t1
t1
δI(ε) ∂F
=
ηdt + ∂F η& dt = ∂F ηdt +  d  ∂F η − d  ∂F ηdt = zero
 dt  ∂x& '  dt  ∂x& '  
dε
∂x '
∂x& '
∂x '
t
t
t
t
∫
∫
∫
∫
δI(ε) ∂F
=
ηdt + d ∂F η − d  ∂F ηdt = zero
dε
∂x'
 ∂x& '  dt  ∂x& ' 
∫
t2
∫
t1
∫
∫
t
2
d ∂F η = ∂F η = ∂F η(t 2 )− ∂F η(t1 )= zero
∂x& '
 ∂x& '  ∂x& ' t1 ∂x& '
t2
t2
t2
1
1
1
δI(ε) ∂F
=
ηdt − d  ∂F ηdt =  ∂F − d  ∂F ηdt = zero
 ∂x' dt  ∂x& ' 
dε
∂x'
dt  ∂x& ' 
t
t
t
∫
∫
∫
t2
δI(ε)  ∂F d  ∂F 
=
−   ηdt = zero⇒ η≠ zero→ ∂F − d  ∂F  = zero

dε
∂x' dt  ∂x& ' 
 ∂x' dt  ∂x& ' 
t
∫
1
ε = zero→ x'= x → x& '= x& → F = L ⇒ ∂L − d  ∂L  = zero
∂x dt  ∂x& 
∂L = d  ∂L  Esta é a componente do eixo x
∂x dt  ∂x& 
2
L = − m o c 2 1− v2 + k
c r
∂  − m c 2 1− v 2 + k  = d  ∂  − m c 2 1− v 2 + k 
o
o
∂x 
c 2 r  dt  ∂x& 
c 2 r 
∂  − m c 2 1− v 2  = zero
o
∂x 
c2 
∂  k  = zero
∂x&  r 
∂  k  = d  ∂  − m c 2 1− v 2  Esta é a componente do eixo x
o
∂x  r  dt  ∂x& 
c 2 
118/120
2
2
2
dy dz
v = dx +
+
= x& 2 + y& 2 + z& 2
dt dt dt
∂  k  = k ∂ (r −1 )= k(−1)r −1−1 ∂r = −k 1 x = −k x
∂x
∂x  r  ∂x
r2 r
r3
1
−1
∂  − m c 2 1− v 2  = − m c 2 1 1− v 2  2  − 2 v dv  = m o v d




o
o
2 dx
&
∂x& 
2  c 2   c 2 dx& 
c2 
1− v 2
c
r 2 =x 2 + y2 +z 2
( x& + y& + z& )
2
2
2
 m x&
∂  − m c 2 1− v 2  = m o v  1 (x& 2 + y& 2 + z& 2 )12−1 2 x&  = m o v 
x&
o
=
o

2 
2  &2 &2 &2 
2
2
∂x& 
c2 


1− v 2
1− v 2  x + y + z  1− v2
c
c
c


1




2
2 
2
2 2 −1
&
 dx&
m
x
m
m

&
d
o
o
v
d
v
o
d
x
v

v


2
v
dv

1
=
&
&

1
−
−
x
1
−
=
1
−
−
x
1
−
−



 2 
2
2 
2
2 
2  dt
2
2  
dt 
dt
dt
2
c
c
c
c


 c dt 
v


v

v



 1−  

 1− 2  1− c 2  
2
 c 
c 





 dx&

v 2 1− v 2
1
−





2
2
2
&
m
x
m
m
dt
c
c + x&  v dv 
d
o
o
dx& 1− v + x&  v dv  =
o
=


 2 



2
2
dt 
c
v 2  1− v 2   dt
v 2  c dt  1− v 2  
v2
v 2  c dt 
1
−
1
−
1
−
1
−


  c 2  

c 2   c 2  
c2
c2
c2



 dx&

v 2 1− v 2
1
−


2
2

&
m
x
m
dt
c
c + x&  v dv  = m o 1− v 2  dx& + v dv x& 
d
o
o
=
 2 

3 
2 
dt 
dt c 2 
v 2  1− v 2  
v2
v 2  c dt   v 2  2  c  dt
1
−
1
−
1
−


 1− c 2 
c 2   c 2  
c2
c2

− k x3 î =
r
1− v 2 &x& + v dv x&  î Eixo x

3 
dt c 2 
 c2 
1− v 2  2 
 c2 
y
− k 3 ˆj =
r
1− v 2 &y& + v dv y&  ˆj
Eixo y

3 
dt c 2 
c2 
2 2 
1− v 
 c2 
mo
− k z3 k̂ =
r
mo
mo
1− v 2 &z&+ v dv z&  k̂ Eixo z

dt c 2 
c2 
3 
2 2 
1− v 
2

c 
(
)
r
y
− k x3 î − k 3 ĵ − k z3 k̂ = − 3k xî + yĵ + zk̂ = − 3k r = −2k r̂
r
r
r
r
r
r
1− v 2 &x& + v dv x&  î + m o 1− v 2 &y& + v dv y&  ĵ+ m o 1− v 2 &z&+ v dv z&  k̂ = − k r̂



3 
3 
3 
dt c 2 
dt c 2 
dt c 2  r 2
c2 
c2 
c2 
2 2 
2 2 
2 2 
1− v 
1− v 
1− v 
 c2 
 c2 
 c2 
mo
mo
 
3  
2 2  
1− v 
2

2
2
2
y& 


1− v2 &x& + v dv x&2  î + 1− v2 &y& + v dv 2  ĵ+ 1− v2 &z& + v dv z&2  k̂  = −2k r̂
dt c   c 
dt c   c 
dt c   r
c 
c 
119/120
1− v 2 &x&î + v dv x& î + 1− v 2 &y&ĵ+ v dv y& ĵ+ 1− v 2 &z&k̂ + v dv x& k̂  = − k r̂





dt c 2  c 2 
dt c 2  c 2 
dt c 2  r 2
c2 
mo
3 
2 2 
1− v 
2

c 
1− v 2  &x&î + &y&ĵ+&z&k̂ + v dv x& î + + y& ĵ+ z& k̂  = − k r̂

 r 2
c2 
c 2 dt
mo
(
3 

1− v 2  2 
2

)
(
)
c 
r
r
a = &x&î + &y&ĵ+ &z&k̂ = d x& î + y&ˆj+ z& k̂ = dv
dt
dt
(
)
r
F=
r
r
1− v 2  dv + v dv v  = − k r̂


3
dt c 2  r 2
 c 2  dt
1− v 2  2 
 c2 
r
F=
r
r
1− v 2  dv + v dv v  = − k r̂

3 
dt c 2  r 2
 c 2  dt
1− v 2  2 
 c2 
mo
mo
r
v = x& î + + y& ĵ+ z& k̂
= 21.16
= 21.19
“Embora ninguém possa voltar atrás e fazer um novo começo,
qualquer um pode começar agora e fazer um novo fim”
(Chico Xavier)
Referências
[1] Alonso & Finn, Vol. I e II, Ed. Edgard Blücher LTDA, 1972.
[2] Robert Resnik, Introdução à Relatividade Especial, Ed. Univ. de S. Paulo e Ed. Polígono S.A., 1971.
[3] E. Terradas Y R. Ortiz, Relatividad, Cia. Ed. Espasa-Calpe Argentina S. A., 1952.
[4] Abraham Pais, “Sutil é o Senhor...” A ciência e a vida de Albert Einstein, Ed. Nova Fronteira, 1995.
[5] Marcel Rouault, Física Atômica, Ao Livro Técnico LTDA, 1959.
[6] H. A. Lorentz, A. Einstein e H. Minkowisk, O Princípio da Relatividade, edição da Fundação Calouste
Gulbenkian, 1989.
[7] L. Landau e E. Lifchitz, Teoria do Campo, Hemus – Livraria Editora LTDA.
[8] Robert Martin Eisberg, Fundamentos da Física Moderna, Ed. Guanabara Dois S.A., 1979.
[9] Max Born, Física Atômica, edição da Fundação Calouste Gulbenkian, 1986.
http://www.wbabin.net/physics/faraj7.htm
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