Instituto Politécnico de Tomar Escola Superior de Tecnologia de

Instituto Politécnico de Tomar
Escola Superior de Tecnologia de Tomar
Area Interdepartamental de Matemática
Frequência de Análise Matemática II
Licenciatura em Engenharia Civil
17 de Maio de 2003
Duração: 1h 15m
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Notas importantes:
• Leia todo o enunciado com atenção antes de o começar a resolver. Pode alterar a ordem de
resposta às questões, por isso sugerimos que comece pelas perguntas que considere de mais fácil
resolução.
• Não é permitido o uso de máquinas de calcular bem como de quaisquer livros ou textos de apoio.
• Qualquer tentativa de fraude que seja detectada resultará na anulação da prova.
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1. Considere g(x, y) = f (x2 − y 2 , y 2 − x2 ), com f diferenciável. Mostre que g satisfaz a equação
y
∂g
∂g
+x
= 0. (1.5)
∂x
∂y
2. Para a construção de um complexo habitacional a Câmara Municipal de Salgueiras contratou
duas empresas X e Y, recebendo a informação de que o custo da obra seria calculado pela
expressão c(x, y) = x2 + 3xy + y 2 , em que x e y representam o montante, em milhões de
euros, pagos às empresas X e Y, respectivamente. Uma recente investigação mostrou que
a Câmara apresenta documentos alegando que pagou 1.01 milhões de euros à empresa X e
2.02 à empresa Y. A empresa X afirma ter recebido apenas 1 milhão de euros e a empresa
Y 2. Calcule um valor aproximado para o desvio de capital efectuado neste negócio. (1.25)
3. A temperatura num ponto (x, y) é dada por
T (x, y) = 20e−x
2
−3y 2
onde T é a medida em 0 C e x, y em metros.
(a) Determine a taxa de variação da temperatura no ponto P (2, −1) em direcção ao ponto
Q(3, −3). (1.5)
(b) Qual a direcção e sentido do maior crescimento da temperatura em P . (0.25)
(c) Determine a taxa máxima de crescimento em P . (0.5)
4. Primeira Lei de Kepler: Um planeta gira em torno do sol numa órbita elı́ptica em que o
sol se encontra num dos focos.
2
Suponha que o planeta Xpto segue uma órbita de equação x4 + y 2 = 1 relativamente ao sol,
√
e que este está localizado no foco ( 3, 0). Determine os possı́veis pontos em que o planeta
estará mais próximo e mais afastado do sol. (2.0)
Bom Trabalho