Física UMA ABORDAGEM TEÓRICA DA

UMA ABORDAGEM TEÓRICA DA SONOLUMINESCÊNCIA COM ENFOQUE
HIDRODINÂMICO
L. L. Vignoli, L. C. O. Santos, R. C. Paschoal e A. L. F. de Barros
Centro Federal de Educação Tecnológica Celso Suckow da Fonseca – CEFET/RJ
Departamento de Disciplinas Básicas e Gerais – DEPBG – Unidade Maracanã
Resumo- A sonoluminescência é um fenômeno no qual, basicamente, energia sonora é transformada em
energia luminosa. O mecanismo de geração de fótons ainda não foi completamente explicado e, portanto, é
uma linha de pesquisa em desenvolvimento. O estudo da sonoluminescência envolve diretamente vários
campos de estudos como a hidrodinâmica, a termodinâmica, reações químicas e, indiretamente, algumas
áreas como a teoria de circuitos, que precisa ser desenvolvida para reprodução deste fenômeno em
laboratório. Neste trabalho, iremos abordar predominantemente aspectos hidrodinâmicos usados para
descrever a variação do raio da bolha e o movimento de translação da mesma. O movimento da parede da
bolha, que causa sua variação de volume, é o aspecto mais estudado, sendo fundamental para o
entendimento da emissão de luz. Já o movimento de translação de uma única bolha relaciona-se ao fato de
que ela precisa estar estabilizada no centro do ressonador para que ocorra a emissão de luz.
Palavras-chave: sonoluminescência, hidrodinâmica, Rayleigh-Plesset, força de Bjerknes
Área do Conhecimento: Física
Introdução
Esta trabalho está sendo desenvolvido como
projeto de Iniciação Científica no Laboratório de
Física Experimental e Aplicada (LaFEA) do
CEFET/RJ, com o objetivo de preparar um
material
teórico
para
o
estudo
da
sonoluminescência e, com isso, estabelecer um
sólido conhecimento de base para as experiências
deste tópico, que são realizadas simultaneamente.
Outro objetivo do projeto é fazer uma aproximação
com tópicos dos cursos de graduação em
Engenharias e Física, como aplicações da
Equação de Navier-Stokes, teoria de circuitos e
ondas de choque, que algumas vezes não são
completamente abordados.
A sonoluminescência é reproduzida em
laboratório geralmente com a criação de uma
única bolha de gás em um meio líquido,
geralmente a água (no presente trabalho,
assumiremos sempre tratar-se deste líquido). Essa
bolha é aprisionada no centro do ressonador por
ondas acústicas ultrassônicas criadas por cristais
piezelétricos, ou PZT´s (maiores detalhes em
GARCIA et al., 2012). Muitas vezes são colocados
gases nobres no interior da bolha: a principal
vantagem é o aumento significativo da intensidade
da luz emitida. A Figura 1 ilustra o esquema
experimental com um ressonador cilíndrico: a)
Entrada de gases: utilizada quando há mistura de
gases nobres na água; b) Transdutor acústico
(piezoelétrico): responsável pela criação da onda
mecânica; c) Líquido: geralmente utiliza-se a água,
onde
a
mesma
precisa
ser
destilada,
degaseificada e deionizada, podendo ser
misturada com gases nobres para ampliar a
emissão de luz; d) Efeito de cavitação: a bolha é o
principal foco do estudo da sonoluminescência; e)
Ressonador: frasco onde a água é armazenada; f)
Hidrofone: transdutor que capta a resposta do
ressonador no aprisionamento da bolha de gás; g)
Filamento: é um aquecedor no qual através da
passagem de corrente elétrica, as bolhas são
criadas; e h) Fotodetector: dispositivo que registra
a quantidade de fotóns emitidos durante o
processo.
Figura 1 - Elementos básicos para obtenção do
efeito sonoluminescente.
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1
Na primeira parte, iremos apresentar alguns
modelos que podem ser utilizados para descrever
a expansão e a contração da bolha. Os modelos
são
deduzidos
considerando
diferentes
propriedades,
como,
por
exemplo,
a
compressibilidade e a viscosidade do líquido, a
presença de um gás nobre ou simplesmente o
vácuo no interior da bolha, assim como o equilíbrio
termodinâmico de fases.
Na segunda parte, serão apresentadas
algumas forças responsáveis pelo movimento de
translação da bolha. Na hipótese ideal que iremos
considerar, a bolha está estabilizada no centro do
ressonador e, portanto, está no ponto de maior
pressão acústica, ou seja, no antinodo.
Todos os resultados do presente trabalho
foram obtidos por meio de simulações numéricas e
consulta à literatura, tornando o estudo
exclusivamente teórico. Em paralelo, estudos
experimentais da sonoluminescência, incluindo a
automatização do aparato experimental, estão
sendo realizados no LaFEA (GARCIA et al., 2012).
Nenhum destes resultados experimentais está
relatado aqui.
Modelo de Rayleigh-Plesset
A Equação mais importande na mecânica dos
fluidos é a de Navier-Stokes. Por esta Equação
não ter uma solução geral analítica conhecida,
algumas vezes não é muito abordada nos cursos
de graduação. A Equação de Navier-Stokes
descreve o movimento de um fluido por meio de
sua densidade (ρ), viscosidade (µ), pressão (p) e
velocidade (u
), como mostra a Equação (1),
onde campo e
²
,
² 3 1
4μ 2#
$ ² 2 , 3
% onde c é a velocidade de propagação do som no
meio líquido. Para as equações (1) e (2),
&'(
e
2# )* +*
$ *
,
) +*
&'( .,
-
4
5
onde &'( é a pressão atmosférica, + é raio “hard
core” de Van der Waals, 0 é o coeficiente
termodinâmico de transformação adiabática e .
é a pressão acústica imposta pelos PZTs no local
da bolha.
A Figura 2 é a solução numérica através do
software MATLAB da Equação (3), considerando
argônio no interior da bolha (isto fixa o valor de h).
1
é a aceleração criada por forças de
é a derivada material da velocidade.
Se considerarmos agora o fluido como
newtoniano, o movimento apenas na direção radial
(hipótese ideal) e, para uma primeira abordagem,
a compressibilidade do líquido sendo muito menor
do que a do gás, podemos então escrever a
Equação (2), que é a Equação de RayleighPlesset para líquidos incompressíveis (BRENNEN,
1995),
um ponto qualquer distante da bolha e R(t) é o raio
da bolha no instante t.
Como foi revisado em (VIGNOLI et al., 2012),
desprezar a compressibilidade do líquido não é
uma boa aproximação para o caso da
sonoluminescência.
Neste
caso,
podemos
modificar a Equação (2) e reescrever a Equação
de Rayleigh-Plesset como a Equação (3):
² 3 1
4μ 2#
2
² 2 onde S é a tensão superficial, é a pressão no
interior da bolha, é a pressão no líquido em
Figura
2
–
Gráfico
representando
o
comportamento do raio da bolha na presença do
campo acústico gerado pelos PZT´s. A emissão de
luz ocorre no instante de mínimo raio.
Outro ponto importante é a velocidade de
expansão ou contração do raio da bolha. De
acordo com a teoria de ondas de choque
(LANDAU e LIFSHITZ, 1959), uma condição
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necessária para a criação da mesma é a
velocidade de perturbação no fluido.
No caso abordado em nosso estudo da
sonoluminescência, a água foi o fluido escolhido
para a simulação.
Quando a velocidade de perturbação da água
se aproxima da velocidade em que o som se
propaga no meio, a compressibilidade do líquido
começa a influenciar e ondas de choque poderão
ser criadas. A taxa de variação do raio da bolha
para o hélio, para uma bolha com raio inicial de 2
µm é mostrada na Figura 3.
²
2 3 4 1 1 % 2 3% ²
1 1 . 6
% % O segundo modelo alternativo é o de KellerMiksis, que foi derivado de forma parecida ao
modelo de Herring-Trilling, mas com o efeito da
viscosidade sendo considerado (KELLER, MIKSIS,
1980), como segue na Equação (7):
1 3 1 1
1 % 2 3% 1 Figura 3 – Gráfico que representa a taxa de
variação do raio, ou seja, a velocidade de
perturbação do líquido.
Na Figura 3, podemos perceber que a
velocidade máxima ocorre na primeira contração
da bolha, se aproximando da velocidade de
propagação do som na água.
Modelos Alternativos
Além do modelo de Rayleigh-Plesset, existem
os que consideram diferentes hipóteses para
tentar descrever a variação do raio da bolha. Até
hoje, ainda não foi criado um modelo que consiga
explicar exatamente os dados experimentais e, por
isso, ainda há pesquisa nesta área.
O primeiro modelo que iremos apresentar é o
modelo de Herring-Trilling, que considera a
compressibilidade do líquido, mas desconsidera o
efeito da viscosidade (TRILLING, 1951) e pode ser
escrito como segue a Equação (6):
1 1
4 2#
% 4 2#
. 7
% Existem ainda outros modelos, como o de
Gilmore (VOKURKA, 1986), que não considera a
velocidade do som constante no meio e o modelo
proposto por Kyuichi Yasui, que considera o não
equilíbrio termodinâmico de fases entre o gás no
interior da bolha e o líquido da bolha (YASUI,
1997), ou seja, considera que uma parte da água
recebe calor e se transforma em gás. Estes
modelos não serão mostrados neste trabalho.
Estabilidade da Bolha
A estabilidade da bolha é outro ponto
importante na abordagem hidrodinâmica da
sonoluminescência, pois, como dito anteriormente,
a bolha precisa estar estabilizada para ser
estudada. Além disso, alguns modelos expostos
são derivados do fato da bolha estar parada em
um campo acústico.
Utilizando uma hipótese simplificada, podemos
considerar que as forças que atuam na
sonoluminescência de bolha única são o empuxo
e a força primária de Bjerknes.
A força primária de Bjerknes é o resultado da
interação entre a oscilação da bolha em um fluido
e um campo sonoro ao qual ela é submetida
(LEIGHTON et al., 1990). Este tipo de força é o
principal responsável pelo movimento de
translação da bolha e é um efeito não linear,
resultado de um comprimento de onda finito da
onda sonora em um liquido. A frequência e o
número de onda serão expressos em função de ω
e k, respectivamente (k = ω/c = 2π/λ).
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O comprimento de onda finito implica um
gradiente de pressão instantâneo no líquido e uma
força atuando que influi na flutuabilidade da bolha.
Esta força pode ser expressa matematicamente
como a Equação (8)
456789 : 4; <: =. < ,
8
onde V(t) é o volume da bolha no instante t.
O símbolo <...> significa a média com relação
ao tempo. Supondo que o eixo vertical seja o eixo
z, podemos então escrever a Equação anterior
como a Equação (9), na qual T é o período da
oscilação
456789 '
4?
A.B sinAF G * sinH . 9
3@
Figura 5 – Gráfico das forças que atuam na bolha,
de acordo com o modelo simplificado que foi
considerado aqui.
)
A força primária de Bjerknes é resultado da
pequena diferença de pressão entre os dois lados
da bolha. A força pode tanto aproximar quanto
afastar a bolha do antinodo da onda acústica
como ilustra a Figura (4) (MATULA et al., 1997).
Figura 4 – A Figura ilustra a ação do gradiente de
pressão sobre a bolha (MATULA et al., 1997).
No nosso caso simplificado, não estamos
considerando outras forças, mas apenas o
empuxo e a força primária de Bjerknes. Então,
como o empuxo é sempre no sentido positivo do
eixo z, a forca primária de Bjerknes será no
sentido negativo, como vemos na Figura (5).
Conclusão
Neste artigo, foi mostrado parte do trabalho
desenvolvido por alunos de Iniciação Científica do
CEFET/RJ, que tem por objetivo geral melhor
compreender os aspectos teóricos e operacionais
da sonoluminescência de única bolha, estimulando
outros estudos e a pesquisa nesta área.
Com a nossa simulação, foi possível
demonstrar a importância da compressibilidade do
líquido no caso especifico da sonoluminescência,
quando o numero de Mach se aproxima de um. A
simulação realizada mostrando a atuação da força
de Bjerknes foi um caso simplicado, ou seja, uma
primeira aproximação em que algumas forças,
como a força de arrasto, não foram consideradas.
A sonoluminescência pode ser uma ligação
entre diversos laboratórios de pesquisa e entre
pesquisadores teóricos e experimentais, além de
uma opção interessante de abordagem de temas
importantes na formação acadêmica de alunos de
graduação e de pós-graduação, abarcando áreas
diversas,
como
mecânica
dos
fluídos,
termodinâmica, teoria de circuitos e cálculo
numérico.
Esse trabalho faz parte de um material de
ensino que está sendo preparado para os alunos
ingressantes no grupo de pesquisa e para os
demais interessados no assunto, tendo como
objetivo contribuir para a divulgação científica da
sonoluminescência em língua portuguesa e
complementar a formação acadêmica dos
estudantes.
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Referências
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Dynamics, Oxford University Press, 1995.
Bubble
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De BARROS, A. L. F., Automatização do processo
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- LANDAU, L. D.; LIFSHITZ, E. M., A Course of
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- LEIGHTON, T. G., WALTONT, A. J.,
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- VOKURKA, K., Comparison of gas bubble
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