Mecânica dos Fluidos (MFL0001) CAPÍTULO 3: FLUIDOS EM

Mecânica dos Fluidos (MFL0001)
Curso de Engenharia Civil – 4ª fase
Prof. Dr. Doalcey Antunes Ramos
CAPÍTULO 3:
FLUIDOS EM MOVIMENTO
3.1 – Descrição do Movimento dos Fluidos
3.1.1 – Descrição Lagrangeana e Euleriana do Movimento dos Fluidos
• O método de Lagrange descreve o movimento de cada partícula,
acompanhando-a em sua trajetória total.
• O observador desloca-se simultaneamente como a partícula.
• As partículas individuais são observadas como uma função do
tempo.
• A posição, a velocidade e a aceleração de cada partícula são
apresentadas como:
r ( xo , yo , zo , t )
V ( xo , yo , zo , t )
a ( xo , yo , zo , t )
• O método de Euler consiste em adotar um intervalo de
tempo, escolher uma seção ou um volume de controle no
espaço e considerar todas as partículas que passem por esse
local.
• Na descrição Euleriana do movimento, as propriedades do
escoamento são função do espaço (pontos de observação) e
do tempo:
r ( x, y , z , t )
V ( x, y , z , t )
a ( x, y , z , t )
3.1.2 – A aceleração na descrição Euleriana do movimento dos fluidos
• A aceleração na descrição Euleriana é dada por:
• O vetor velocidade é dado por:
a
dV
dt



V  u  i  v  j  w k
• A derivada de V é dada por:




 V
V
V
V
dV 
dx 
dy 
dz 
dt
x
y
z
t
• A aceleração será, portanto:





V
V
V V
a u
v
w

x
y
z t
• As equações escalares dos componentes da equação vetorial
da aceleração na descrição Euleriana é dada por:
u
u
u
u
ax 
u
v w
t
x
y
z
v
v
v
v
ay   u  v  w
t
x
y
z
w
w
w
w
az 
u
v
w
t
x
y
z





V
V
V V
a u
v
w

x
y
z t
• O termo da derivada parcial no tempo é chamado de aceleração
local:


V
aL 
t
• A soma dos termos da derivada parcial no espaço é chamada de
aceleração convectiva:




V
V
V
aC  u
v
w
x
y
z
3.1.3 – Linhas de Trajetória e Linhas de Corrente
• Linha de Trajetória é o lugar geométrico dos pontos
ocupados por uma partícula em instantes sucessivos. É a linha
traçada por dada partícula ao longo de seu deslocamento.
• Linha de Corrente é a linha tangente aos vetores velocidades
de diferentes partículas no mesmo instante. Note-se que, na
equação de uma linha de corrente, o tempo não é uma
variável, já que a noção se refere a um certo instante.
• Desse conceito decorre que duas linhas de corrente não
podem interceptar-se.
Fonte: Bistafa, 2010
• No interior de um fluido em escoamento existem infinitas
linhas de corrente, definidas por suas partículas fluidas.
• Se considerarmos uma curva fechada, que não seja linha de
corrente, no interior desse fluido, a superfície constituídas
pelas linhas de corrente por ela interceptadas definirá o
denominado tubo de corrente, ou veia líquida.
Fonte: Bistafa, 2010
3.2 – Classificação de Escoamentos
3.2.1 – Escoamentos em Regime Permanente e Não-Permanente
• Um escoamento se processa em regime permanente (ou
estacionário) quando, ao observarmos, ao longo do tempo, um
volume de controle previamente escolhido, as propriedades
médias das partículas fluidas contidas nesse volume
permanecerem constantes.


V
aL 
0
t
• No regime permanente a aceleração local é nula.
• Nesse caso, as linhas de corrente e as trajetórias coincidem.
• Exemplo prático de escoamento em regime permanente:
• Exemplo prático de escoamento em regime não-permanente:
3.2.2 – Escoamentos Uni, Bi e Tridimensionais
Escoamentos Tridimensionais:
• Todos os escoamentos que ocorrem na natureza são
tridimensionais. As grandezas que nele interferem, em cada
seção transversal de um filamento ou tubo de corrente,
variam em três dimensões.
Escoamentos Bidimensionais:
• Se as grandezas do escoamento variarem em 2 dimensões,
isto é, se o escoamento puder definir-se, completamente, por
linhas de corrente contidas em um plano, o escoamento será
bidimensional.
• É o caso de um vertedor de uma barragem.
Escoamentos Unidimensionais:
• O escoamento é dito unidimensional quando uma única
coordenada é suficiente para descrever as propriedades do
fluido.
• Para que isso aconteça é necessário que as propriedades
sejam constantes em cada seção.
3.2.3 – Escoamentos Viscosos e Não-viscosos
• Um escoamento não-viscoso é aquele no qual os efeitos da
viscosidade não influenciam significativamente o escoamento
e são, portanto, desprezados.
• Pode ser também chamado de escoamento de fluido ideal ou
perfeito.
• Um escoamento viscoso é aquele no qual os efeitos da
viscosidade são importantes e não podem ser desprezados.
• Pode ser chamado também de escoamento de fluido real.
3.2.4 – Escoamentos Laminares e Turbulentos
3.2.4.1 – EXPERIÊNCIAS DE REYNOLDS (1883)
Fonte: Bistafa, 2010
Fonte: Bistafa, 2010
NÚMERO DE REYNOLDS
 V  D V  D
Re 



Re < 2300
: ESCOAMENTO LAMINAR
2300 < Re < 4000
: Escoamento de Transição
Re > 4000
: ESCOAMENTO TURBULENTO
Fonte: Bistafa, 2010
Fonte: Bistafa, 2010
3.2.4.2 – Perfil de Velocidades
Fonte: Bistafa, 2010
• O perfil de velocidades no escoamento laminar é dado por:
 r² 
v(r )  Vmax 1  
 R² 
• Onde Vmax é a velocidade no eixo do duto
• O perfil de velocidades no escoamento turbulento segue
aproximadamente a relação:
 r
v(r )  Vmax 1  
 R
1
7
3.2.4.3 – Tensão de Cisalhamento Turbulenta
• No movimento turbulento não nos referimos mais a lâminas e
sim a camadas, uma vez que nesse movimento as lâminas
perdem sua identidade devido à intensa troca de partículas
entre as camadas.
• Ocorre que não há somente troca de massa entre as
camadas, mas também troca de quantidade de movimento.
Fonte: Bistafa, 2010
• O resultado desse processo de troca de quantidade de
movimento entre as partículas fluidas de camadas com
diferentes velocidades é uma tendência à uniformização do
perfil
de
velocidades
do
movimento
turbulento,
comparativamente ao movimento laminar.
• De acordo com a 2ª Lei de Newton, a variação da quantidade
de movimento na camada dá origem a uma força que, por
unidade de área transversal atravessada pelas partículas
fluidas, resulta numa tensão de cisalhamento denominada de
TENSÃO DE CISALHAMENTO TURBULENTA, expressa
por:
dv
 turb  t
dy
• Onde
t
é chamada de viscosidade turbulenta, e não é uma
propriedade do fluido, sendo que seu valor depende das condições do
escoamento.
Fonte: Bistafa, 2010
• A tensão de cisalhamento total total no escoamento
turbulento é dada pela soma da tensão viscosa v com a
tensão turbulenta turb
dv
 total   v   turb    t 
dy
Fonte: Bistafa, 2010
3.2.5 – Escoamentos de Fluidos Compressíveis e Incompressíveis
• Um escoamento incompressível existe se a massa específica de
cada partícula de fluido permanece relativamente constante
enquanto a partícula se move através do campo de escoamento:
D
0
Dt
• Isso não exige que a massa específica seja constante em todo
lugar. Se a massa específica é constante em todo lugar, então,
obviamente, o escoamento é incompressível, mas isso seria uma
condição mais restrita.
• O escoamento atmosférico, no qual  = (z), em que z é vertical,
assim como os escoamentos que envolvem camadas adjacentes de
água doce e salgada, são exemplos de escoamentos incompressíveis
nos quais a massa específica varia.
• Além de escoamentos de líquidos, escoamentos de gás com
baixa velocidade, tais como o escoamento atmosférico
mencionado anteriormente, são também considerados como
escoamentos incompressíveis.
• O Número de Mach é definido como:
V
M
c
• Onde:
• V
• c = (k.R.T)1/2
é a velocidade do gás
é a velocidade do som.
• O número de Mach é útil para decidir se determinado
escoamento de gás pode ou não ser estudado como um
escoamento incompressível. Se M < 0,3, as variações de
massa específica são no máximo de 3% e o escoamento
é assumido como incompressível. Para o ar padrão, isso
corresponde a uma velocidade abaixo de 100 m/s.
• Escoamentos incompressíveis de gases incluem:
escoamentos atmosféricos, a aerodinâmica de
aterrissagem e decolagem de aviões comerciais, os
escoamentos de ar em sistemas de ar condicionado e de
aquecimento, os escoamentos em torno de automóveis e
através de radiadores e ventiladores, e o escoamento
de ar em volta de edifícios, por exemplo.
• Escoamentos compressíveis incluem: a aerodinâmica de
aeronaves de alta velocidade, o escoamento de ar
através de turbinas de jatos, o escoamento de vapor
através de turbina em usinas termoelétricas, o
escoamento de ar em um compressor, e o escoamento
de mistura de ar-gasolina no motor de combustão
interna.
3.2.6 – Escoamentos em Regime Uniforme e Variado
• Um escoamento de um fluido é UNIFORME, do ponto de vista
cinemático, quando o campo de vetores velocidade, no instante
considerado, é constante ao longo do escoamento.
• No escoamento uniforme as trajetórias são retas paralelas e, ao
longo de cada trajetória, no mesmo instante, todas as partículas
têm igual velocidade.
• A definição de escoamento uniforme obriga a constância da
velocidade ao longo do escoamento, e não transversalmente, isto é,
as velocidades em trajetórias distintas, no mesmo instante, podem
diferir.
• Nos escoamentos uniformes, em virtudes das trajetórias serem
retilíneas, coincidem as trajetórias e as linhas de corrente.
• A velocidade média torna o escoamento uniforme na seção:
• Escoamentos variados:
3.2.7 – Escoamentos Conservativos e Não-Conservativos
• Um escoamento de um fluido é CONSERVATIVO, quando a massa
permanece constante ao longo do escoamento do fluido.
• Este caso, de ocorrência freqüente, verifica-se nos encanamentos
onde não há adição nem subtração de matéria ao longo da parede
sólida que contorna o fluido em movimento.
• Quando houver acréscimo (fontes) ou subtração de massa (poços) à
corrente de matéria, o escoamento é dito NÃO-CONSERVATIVO.
3.3 – Vazão em Volume
• Define-se FLUXO DE VOLUME ou VAZÃO EM VOLUME,
ou simplesmente VAZÃO (ou ainda, Descarga) , o volume
de fluido que atravessa a seção do escoamento na
unidade do tempo.
Q   v  dS
s
• Dimensão: [Q] = L3. T-1
• Unidades: m³/s ; l/s
Velocidade Média na Seção
• A velocidade média na seção de escoamento é uma velocidade
fictícia uniforme na seção que, quando substitui o perfil real de
velocidades na seção, produz a mesma vazão em volume.
Q
V
S
Fonte: Bistafa, 2010
coletado
Q
t
Wcoletado
Q
  t
Fonte: Bistafa, 2010
3.4 – Integral Generalizada de Fluxo
Define-se Fluxo ou Vazão de F através de A à integral:
   f  v  dS
sendo:
S
Onde
F
é uma grandeza associada à partícula, que pode ser:

m
W
•
o volume:
•
a massa:
•
o peso:
•
a energia potencial:
•
•
•
F
f 

W.z
a energia cinética:
m . v²/2
a energia de pressão:
p.
m  v
a quantidade de movimento:
Fonte: Bistafa, 2010
Vazão em Massa
Qm     v  dS
S
Sendo a massa específica homogênea na seção do escoamento:
Qm    v  dS    Q
S
• Dimensão: [Qm] = M. T-1
• Unidades: kg/s
Fonte: Bistafa, 2010
Vazão em Peso
QG     v  dS
S
Sendo o peso específico homogêneo na seção do escoamento:
QG    v  dS    Q
S
• Dimensão: [QG] = F. T-1
• Unidades: N/s; kgf/s
Fonte: Bistafa, 2010
Vazão de Energia Potencial
QPot
W z

 v  dS     z  v  dS

S
S
Sendo o peso específico homogêneo na seção do escoamento e z a altura do
centro de gravidade da seção do escoamento em relação a um plano
horizontal de referência:
QPot    z  v  dS    z  Q  z  QW
S
• Dimensão: [QPot] = F. L.T-1 = M. L². T-3
• Unidades: J/s; Watt
Fonte: Bistafa, 2010
Vazão de Energia Cinética
mv
  v²

 v  dS  
 v  dS
2
2
S
S
2
Qcin
Sendo a massa específica homogênea na seção do escoamento :
Qcin 

2
3
v
  dS
S
• Dimensão: [Qcin] = F. L.T-1 = M. L². T-3
• Unidades: J/s; Watt
Deve-se observar que a vazão de energia cinética não pode ser
simplesmente expressa em função da vazão em volume, requerendo o
conhecimento do perfil de velocidades na seção de escoamento.
Fonte: Bistafa, 2010
Coeficiente de Energia Cinética :
Qcin  
 V ³  S
2

  Q V ²
2
1
3

v  dS

V ³ S S
• Para escoamento laminar:  = 2
• Para escoamento turbulento:   1
Fonte: Bistafa, 2010
Vazão de Energia de Pressão
d p  dF  l  p  dS  l  p  d
 p   p  d  p   
F  p 
Fonte: Bistafa, 2010
Q pre  
S
p 
 v  dS   p  v  dS

S
Sendo a pressão uniforme na seção do escoamento :
Q pre  p  v  dS  p  Q
S
• Dimensão: [Qpre] = F. L.T-1 = M. L². T-3
• Unidades: J/s; Watt
Fonte: Bistafa, 2010
Vazão de Quantidade de Movimento
mv
Q QMov  
 v  dS     v  v  dS     v  v  dS  n    v ²  dS  n

S
S
S
S
Também a vazão de energia cinética não pode ser simplesmente
expressa em função da vazão em volume, requerendo o
conhecimento do perfil de velocidades na seção de escoamento.
• Dimensão: [QQMov] = F = M. L. T-2
• Unidades: N; kgf
Fonte: Bistafa, 2010
Coeficiente de Quantidade de Movimento:
QQMov     V ²  S  n      Q V  n
1
2

v  dS

V²S S
• Para escoamento laminar:  = 4/3
• Para escoamento turbulento:   1
Fonte: Bistafa, 2010
Fonte: Bistafa, 2010
Referências Bibliográficas:
 Bistafa, Sylvio R. Mecânica dos Fluidos: noções e aplicações. Edit. Edgard
Blucher, São Paulo, 2010.
 Feghali, J. P. Mecânica dos Fluidos.Vol. 1 e 2. Livro Tec. Cient. Edit., Rio de
Janeiro, 1974.
 Brunetti, F. Mecânica dos Fluidos. Prentice-Hall, São Paulo, 2005.