2° ano – Matrizes – 2016-v1

Hewlett-Packard
MATRIZES
Aulas 01 a 06
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
Ano 2016
Sumário
MATRIZES ................................................................................................................................................................ 2
NOÇÃO DE MATRIZ ................................................................................................................................................. 2
REPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZ E SEUS ELEMENTOS ........................................................................................ 2
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL ................................................................................................................................. 2
MATRIZES ESPECIAIS ............................................................................................................................................... 2
IGUALDADE ENTRE MATRIZES ................................................................................................................................ 3
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 3
MATRIZ OPOSTA ..................................................................................................................................................... 3
MATRIZ TRANSPOSTA ............................................................................................................................................. 3
MATRIZ SIMÉTRICA ................................................................................................................................................. 3
MATRIZ ANTISSIMÉTRICA ....................................................................................................................................... 3
 0 2 5 
 0 2 5 




t
A   2 0 4   A   2 0 4    A EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS ................................................. 3
 5 4 0 
 5 4
0 



OPERAÇÕES ENTRE MATRIZES ................................................................................................................................ 4
ADIÇÃO DE MATRIZES ............................................................................................................................................. 4
SUBTRAÇÃO DE MATRIZES ...................................................................................................................................... 4
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO DE MATRIZES ............................................................................................................. 4
MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ POR UM NÚMERO REAL .................................................................................. 4
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 4
MULTIPLICAÇÃO ENTRE MATRIZES ......................................................................................................................... 5
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 5
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO DE MATRIZES ............................................................................................... 5
MATRIZ INVERSA ..................................................................................................................................................... 6
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS .............................................................................................................................. 6
QUESTÕES EXTRAS .............................................................................................................................................. 6
CAIU NO SIGMA .................................................................................................................................................. 6
CAIU NO VEST ..................................................................................................................................................... 7
AULA 01
MATRIZES
NOÇÃO DE MATRIZ
Dados dois números naturais m e n, denomina-se
matriz m por n (denotado por m x n), uma tabela
formada por números reais distribuídos em m linhas e
n colunas.
Exemplo 1.1: A seguir temos a representação de uma
matriz, A, de três linhas ( m  3 ) e cinco colunas  n  5
.
2

A 7
 1

5

5 2 7 
1 e 1 
2 3

0
0
3x5
REPRESENTAÇÃO DE UMA MATRIZ E
SEUS ELEMENTOS
Os elementos de uma matriz A, m x n, são
representados por aij , em que i  1, 2, 3, , m indica
a linha e j  1, 2, 3,
, n indica a coluna na qual esse
elemento se encontra na matriz. Assim podemos
representar uma matriz A, m x n, dos seguintes modos:
i.
ii.
iii.
 a11

a
A   21


 am1
a12
a13
a22
a23
am2
am3
a12
a13
a1n 

a2 n 


amn m x n
 a11
a
A   21


am1
a22
a23
am2
am3
a1n 
a2 n 


amn  m x n
a11
a12
a13
a1n
a21
a22
a23
a2n
A
am1
am2
am3
amn
mxn
Obs.1: Pode-se representar uma matriz A, m x n, por
A   aij m x n .
c)
1, se i  j
C   cij 4 x 4 , em que cij  
0, se i  j
MATRIZES ESPECIAIS
1. Matriz linha: uma matriz A, 1 x n, é
denominada matriz linha.
2. Matriz coluna: uma matriz A, m x 1, é
denominada matriz coluna.
3. Matriz nula: uma matriz A é denominada
matriz nula se todos seus elementos são iguais
a zero.
4. Matriz quadrada de ordem n: uma matriz A,
n x n, é denominada matriz quadrada de ordem
n.
5. Matriz triangular: uma matriz quadrada de
ordem n, na qual todos os elementos que estão
acima, ou abaixo, da diagonal principal são
iguais a zero.
6. Matriz identidade de ordem n: Matriz
quadrada de ordem n na qual todos os
elementos da diagonal principal são iguais a 1
e todos os outros elementos dessa matriz são
iguais a zero.
Exemplo 1.1: A seguir temos a representação de uma
matriz identidade de ordem 3
1 0
𝐼3 = (0 1
0 0
Obs.1: Em uma matriz quadrada de ordem n os
elementos cujos índices de linha e coluna são iguais
constituem a diagonal principal dessa matriz.
𝑎11
[ ⋮
𝑎𝑛1
a)
A   aij 3 x 2 , em que aij  2i  j .
⋯ 𝑎1𝑛
⋱
⋮ ]
⋯ 𝑎𝑛𝑛
Diagonal
Principal
Obs.2: Em uma matriz quadrada de ordem n os
elementos cuja soma dos índices é igual a n+1
constituem a diagonal secundária dessa matriz.
EXERCÍCIO FUNDAMENTAL
1.1. Escreva a matriz determinada em cada item a
seguir.
0
0).
1
Diagonal
Secundária
𝑎11
[ ⋮
𝑎𝑛1
⋯ 𝑎1𝑛
⋱
⋮ ]
⋯ 𝑎𝑛𝑛
b) B   bij 2 x 3 , em que bij  3i  2 j
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
Página 2
 2 5 


A   1
0 .
 3

 2

TAREFA 1 – Ler páginas 8 e 9 do capítulo "Matrizes 1" e
fazer os PROPOSTOS 1, 2, 3.
AULA 02
IGUALDADE ENTRE MATRIZES
Duas matrizes, A e B, são iguais se todos os
elementos correspondentes, isto é, que ocupam a
mesma linha e mesma coluna, forem iguais.
Exemplo 2.1: As matrizes A e B a seguir são matrizes
iguais.
2  e
2  e
3
3




A   3 5 7 11  , B   3 5 7 11 
 1 0 2 5 
 1 0 2 5 




MATRIZ TRANSPOSTA
Dada a matriz A   aij m x n , denomina-se transposta de
A a matriz At   a ' ji  , em que a ' ji  aij para todo
nxm
i  1,2,
, m e j  1,2,
,n .
Transposição de matriz
Fazer a transposição de uma matriz
,é
simples, basta trocar ordenadamente as linhas por
colunas, ou seja, a primeira linha da matriz A será a
primeira coluna , a segunda linha de A será a
segunda coluna de
exemplo:
, e assim sucessivamente, por
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
2.1 Determine os valores reais de x e y nos itens a
seguir.
2 x  2 5

 

a)  3 1    3 1 
 2y 7   14 7 

 

2
 x  y 2  5
b) 


 5 x  2y 1   2 x  4 y 1 
c)
x y2   2 3 1 
 2



 2 x  y 3y 1   5 3y 1 
 x 4 log3  x  1
2.2 Considere as matrizes A  
 e
5y


16 1 
B
 , em que 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. Sendo 𝐴 = 𝐵,
  25
determine o valor de 𝑥 + 𝑦.
MATRIZ SIMÉTRICA
Uma matriz quadrada de ordem n, A, é denominada
matriz simétrica se At  A .
Exemplo 2.3:
1 2 5
1 2 5




t
A  2 7 4  A  2 7 4  A
5 4 0
5 4 0




MATRIZ ANTISSIMÉTRICA
Uma matriz quadrada de ordem n, A, é denominada
matriz antissimétrica se At  A .
Exemplo 2.4:
MATRIZ OPOSTA
A matriz oposta de A   aij m x n é a matriz
 A   aij m x n .
2

Exemplo 2.2: Se A   1
3

5 

0  , então

2
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
 0 2 5 
 0 2 5 




t
A   2 0 4   A   2 0 4    A
 5 4 0 
 5 4
0 



EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
3 2 y


2.3 Sabendo que a matriz  x 2 5  é simétrica,
3 z 1


qual o valor de 𝑥 + 2𝑦 − 𝑧?
Página 3
TAREFA 2 – No capítulo "Matrizes 1" fazer os
PROPOSTOS de 4 a 9.
AULA 03
OPERAÇÕES ENTRE
MATRIZES
Dadas duas matrizes, A   aij m x n e B   bij m x n , a
matriz soma A  B  C , em que C   cij m x n , é tal que
, m e j  1,2,
,n .
Em outras palavras, para somar duas matrizes basta
somar seus elementos correspondentes.
3.1:
 4 1 2 
B
,
 1 1 2
Sejam
a
matriz
2 5 0 
A

 3 1 2 
soma
C  AB
II.
Associativa:  A  B   C  A   B  C 
III.
Elemento neutro: A  O  A
IV.
Oposto: A    A   O
Multiplicar uma matriz A por um número real k é, por
definição, multiplicar todos os elemento de A por k.
2 5 0 
Exemplo 3.2: Seja A  
 , temos que
 3 1 2 
 4 10 0 
 2 A  

 6 2 4 

Obs.3: Só é possível somar duas matrizes se elas
tiverem a mesma quantidade de linhas e colunas.
Exemplo
Comutativa: A  B  B  A
MULTIPLICAÇÃO DE UMA MATRIZ
POR UM NÚMERO REAL
ADIÇÃO DE MATRIZES
cij  aij  bij para todo i  1,2,
I.
e

15 0 

3 6 
k 5
k 0 
 , para todo k 
k  1 k   2  
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
é
6 4 2
C 
.
4 2 0
3.1
SUBTRAÇÃO DE MATRIZES
Dadas duas matrizes, A   aij m x n e B   bij m x n , a
matriz diferença A  B é, por definição, a soma da
matriz A, com a oposta de B  B  , ou seja,
A  B  A   B  .
Em outras palavras, para subtrair duas matrizes basta
subtrair seus elementos correspondentes.
PROPRIEDADES DA ADIÇÃO DE
MATRIZES
Seja A, B, C e O matrizes com m linhas e n colunas. Em
que O é a matriz nula, m x n. É possível provar que
valem as seguintes propriedades para a adição de
matrizes.
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
 6
3A  
 9
 k 2
kA
 k 3
Dadas as matrizes
 1 2 2 3 


A  6 4 0 1
 5 3 2 2 


e
3 1 0 0


B   3 5 10 1  , determine:
 2 7 12 2 


a) A  B
b) B  A
c) 2A
d) 2A  3B
3.2
Resolva a equação 2𝑋 + 𝐵 = 𝐴, em que
 3 1 
 4 5
A
 e B
.
0 2 
 0 7
3.3
Sendo
as
matrizes
A   aij 3 x 2 ,
com
 
aij  cos  i  e B   bij 3 x 2 , com bij  i j . Determine
2 
2𝐴 + 𝐵.
Página 4
3.4
Resolva o sistema

 16
X Y  

 18

X Y   0


4

12   2

14   8
2   2

6   4
Obs.4: Só é possível multiplicar duas matrizes se o
número de colunas da primeira matriz for igual ao
número de linhas da segunda.
6

4
.
2 

6
𝐴𝑚×𝑝 ∙ 𝐵𝑝×𝑛 = 𝐶𝑚×𝑛
TAREFA 3 – No capítulo "Matrizes 2" fazer os
PROPOSTOS de 1 e 3 e COMPLEMENTAR 1
Obs.5: A matriz produto, caso exista, terá o número de
linhas da primeira e o número de colunas da segunda.
AULA 04
𝐴𝑚×𝑝 ∙ 𝐵𝑝×𝑛 = 𝐶𝑚×𝑛
MULTIPLICAÇÃO ENTRE MATRIZES
Dadas duas matrizes
A   aij m x p
e
B   bij p x n ,
denomina-se o produto A  B a matriz C   cij m x n , tal
que cij  ai1  b1 j  ai 2  b2 j  ai 3  b3 j 
 aip  bpj .
Tablet: Em "Matrizes 2" Ler a situação 3 na página
4.
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
Multiplicação de matrizes
4.1
Para determinar o termo
da matriz produto basta
"pegar" a linha i da matriz A e a coluna j da matriz B.
Em seguida realizar os produtos dos primeiros termos,
dos segundos termos, dos terceiros termos, e assim
sucessivamente, e somar os resultados. Por exemplo,
considere
as
matrizes
e
, assim para descobrir
,
devemos "pegar" a primeira linha da matriz A
e a terceira coluna da matriz B
.
Em seguida façamos a soma dos produtos realizados
entre os primeiros termos, entre os segundos termos
e assim sucessivamente, obtendo o termo .
Fazendo esse processo é possível descobrir totalmente
a matriz
.
as
matrizes
 1 2 1 
A
,
 3 2 2
 1 1 2 
 1 2




B   2 1 3  e C   1 2  . Determine se existir
 0 2 1
 3 4




os produtos a seguir.
a) A  B
b) A  C
c) C  A
d) B  A
e) A2
f) B2
PROPRIEDADES DA MULTIPLICAÇÃO
DE MATRIZES
Seja A, B, C e I matrizes para as quais é possível realizar
as operações a seguir. Em que I é uma matriz
identidade. É possível provar que valem as seguintes
propriedades para a multiplicação de matrizes.
I.
Associativa:  A  B   C  A   B  C 
II.
Distributiva a direita em relação a adição:
 A  B C  A C  B C .
III.
Distributiva a esquerda em relação a adição:
C   A  B  C  A  C  B .
IV.
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
Considere
Elemento neutro: A  I  I  A  A .
Página 5
TAREFA 4: No capítulo "Matrizes 2" fazer os
PROPOSTOS de 4 a 6.
2
4) As matrizes A  
1
A  B  B  A . Calcule
AULA 05
MATRIZ INVERSA
Considere uma matriz quadrada, A, de ordem n. Essa
matriz é dita inversível se existe uma matriz B tal que
em que In é a matriz identidade de ordem n. Nesse
caso a matriz B é dita a inversa de A e é indicada por
A1 .
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
 2 5 
3 5
Verifique se 
 é a inversa de 
.
 1 3 
1 2
5.2
Determine, se existir, as matrizes inversas das
matrizes dadas nos itens a seguir.
5.1
2 5
A

1 3
 1 2 
1 2


5) Sendo A  
 e B   3 1  , resolva a
2
5


2 4


 1 2 
6) Se a matriz A é igual a 
 , determine a
 2 3 
matriz  AT  .
2
7) A soma de todos os elementos da diagonal
principal com todos os elementos da diagonal
secundária da matriz transposta da matriz 𝐴 =
𝑖 2 + 1, 𝑠𝑒 𝑖 = 𝑗
é igual a
(𝑎𝑖𝑗 )2𝑥2 , em que 𝑎𝑖𝑗 = {
2𝑖 + 𝑗, 𝑠𝑒 𝑖 ≠ 𝑗
a) 17. b) 15 c) 16 d) 12 e) 18
8) A inversa da matriz 𝐴 = [
1 0
] .
0 1
5
(B) [−3 2 ] .
−1 −4
1 2
C 

3 6
(C)
1
[31
2
3
2
EXTRA
matriz
B   bij 2 x 3 ,
em
que
 
bij  sen   i   cos  j  , com 1  i  2 e 1  j  3
2 
.
2) Determine o valor de x para que
2   x 1 x  4
 1


.
2
2 
 x x  2   3x  4
].
4 −5
].
−2 3
2
1
9) Considere as matrizes 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )3𝑥2 = [−1 3 ],
0 −2
−3 1
𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 )3𝑥2 = [ 1 −3] e 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗 )3𝑥2 =
1
2
𝑥𝐴 − 𝑦𝐵, com 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ. Para que os elementos 𝑐12
e 𝑐22 sejam iguais a 1, os valores de 𝑥 e 𝑦 devem
ser, respectivamente, iguais a
(A)
(B)
(C)
(D)
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
5
−1
(E) [
a
.
−2
(D) [
QUESTÕES EXTRAS
CAIU NO SIGMA
1
5
1]
4
2
TAREFA 5: No capítulo "Matrizes 2" fazer os
PROPOSTOS de 7 a 12.
1) Determine
3 5
] é igual a
2 4
(A) [
1 2 
b) B  

1 4 
c)
1
x y
 e B 
 são tais que
0
2 3
x y.
equação AT  X  BT .
A  B  B  A  In
a)
1 1
2
3
4
3) Sendo A  
 , calcule A , A e A .
0 1
2 1
e .
3 3
2
1
e −3
3
1 2
e .
3 3
1 2
e .
3 3
.
Página 6
1
soluções do sistema (𝐴 ⋅ 𝐴𝑡 − 3 ⋅ 𝐼) ⋅ 𝑋 = 𝐵, então
2
(E) − 3 e 3.
2 1 0
10) Sejam as matrizes 𝐴 = (
) , 𝐵=
1 2 1 2𝑥3
0 0 2
(
) , 𝑋 = (𝑥𝑖𝑗 )2𝑥3 e 𝑌 = (𝑦𝑖𝑗 )2𝑥3 .
6 4 2 2𝑥3
2𝑋 − 𝑌 = 𝐴
Sabendo que {
, determine as matrizes
𝑋 + 3𝑌 = 𝐵
𝑋 e 𝑌.
CAIU NO VEST
1. (AFA) Dadas as matrizes: 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )8𝑥3 e 𝐵 =
(𝑏𝑖𝑗 )3𝑥7, onde 𝑎𝑖𝑗 = 2𝑖 − 𝑗 e 𝑏𝑖𝑗 = 𝑖 ⋅ 𝑗, o
elemento 𝑐56 da matriz 𝐶 = (𝑐𝑖𝑗 ) = 𝐴 ⋅ 𝐵 é:
𝑥 + 𝑦 é igual a
a) 2 b) 1 c) 0 d) -1 e) -2
GABARITO
EXERCÍCIOS FUNDAMENTAIS
1 0
3 4

 1 1 3 
0 1
1.1. a)  5 6  b) 
 c) 
0 0
4 2 0 
7 8



0 0
2.1. a) x  5, y  7 b) x  2, y  3 c) x  3, y  1
2.2. 4
2.3. 3
a) 74 b) 162 c) 228 d) 276
3.1.
2. (ESPECEX – 2008) Considere as matrizes 𝑀1 =
1
𝑡𝑔 𝑥
1
𝑘𝜋
[
] e 𝑀2 = [
] para 𝑥 ≠ 2 ,
𝑡𝑔 𝑥
− 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 𝑐𝑜𝑡𝑔 𝑥
𝑘 ∈ ℤ. A matriz resultante do produto matricial
𝑀1 ⋅ 𝑀2 é
quadrada à soma dos elementos da sua diagonal
principal. Assinale a opção que contém o traço da
matriz 𝐶, onde 𝐶 = 𝐴 − 2𝐵, em que 𝐴 = (𝑎𝑖𝑗 )2𝑥2
, com 𝑎𝑖𝑗 = 𝑖 + 𝑗, e 𝐵 = (𝑏𝑖𝑗 )2𝑥2, com 𝑏𝑖𝑗 = 𝑖 2 −
𝑗.
4 4 6 

8 0 2
 10 3 4 4 


2
c)  12
4
6
 7 7

d)  21 7 30 5 
 4 24 32 10 


 1

  2 3 

3.2. 
 0 5



2
1 1
3.3.  0 2 
3 9


6
3
8
4.1.
3 5
5
a) 

 7 3 14 
0
6
𝑝 e 4 × 𝑟, respectivamente. Se a matriz transposta
b) 

 7 18 
de 𝐴𝐵𝐶 é do tipo 5 × 4, então
5 6 5 
c)  7 2 3 
 9 14 11 


a) 𝑚 = 𝑝 b) 𝑚𝑝 = 𝑛𝑟 c) 𝑛 + 𝑝 = 𝑚 + 𝑟 d) 𝑟 = 𝑛
1 0 −1
5. (ITA) Considere as matrizes 𝐴 = (
),
0 −1 2
𝑥
1 0
1
𝐼=(
), 𝑋 = (𝑦) e 𝐵 = ( ). Se 𝑥 e 𝑦 são
0 1
2
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
3
3.4. X  
 eY 

 5 11 
 5 1 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3
4. (AFA) As matrizes 𝐴, 𝐵 e 𝐶 são do tipo 𝑚 × 3, 𝑛 ×
 4 1 2 3 
a)  3 9 10 0 
 7 4 14 0 


 2 3 2 3 
b)  9 1 10 2 
 3 10 10 4 


2
2
2
𝑡𝑔2 𝑥
a) [sec 2 𝑥 ] b) [
] c) [sec 2𝑥 ] d) [𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2 𝑥] e)
2
cos 𝑥
𝑠𝑒𝑛 𝑥
−𝑠𝑒𝑛 𝑥
− cos 𝑥
2
cos
𝑥
[
]
𝑠𝑒𝑛2 𝑥
3. (UERJ) Denominamos traço de uma matriz
0 0

0 0
1 0

0 1
d) Não existe
e) Não existe
Página 7
 1 2 1 
f)  4 7 10 
4 4 7


5.1. Sim
5 

2
 3
5.2.
a) 
 1
1 

1


 2 2
 2
b)  1

c) Não existe
QUESTÕES EXTRAS
0
2
0
1. B  

 1 1 1 
2. x  2
 1 2
1 3
1 4
3
4
, A 
 e A 

0 1
0 1
0 1
3. A2  
4. x  7 e y  2
 9 17 2 

 4 7 0 
5. X  
 3 4 

5
6. 
4
7. C
8. D
9. B
6

10. X   7
9

7
3
7
10
7
2
1
 2




7 e
7
7
Y 
5
 11 6


7
 7
7
4
7 
3

7
CAIU NO VEST
1. D
2. C
3. C
4. A
5. D
Elson Rodrigues, Gabriel Carvalho e Paulo Luiz
Página 8