Capítulo 1 - Primeira parte

CAPÍTULO 1 – LIMITE E CONTINUIDADE
1. LIMITE LATERAL
Seja a função
f : IR → IR
e p ∈ IR , dizemos que o limite de f quando x tende a p pela direita, ou por valores maiores ou superiores que p,existe e vale L ,
L ∈ IR , se e somente se,
∀ ε > 0 , ∃ δ >0 : 0< x− p <δ ⇒
f (x ) − L
< ε.
O que equivale a escrever
lim f (x) = L ,
x →p +
Analogamente dizemos que o limite de f quando x tende a p pela esquerda, ou por valores menores ou inferiores que p, é
, se e somente se,
L ∈ IR
∀ ε > 0 , ∃ δ > 0 : −δ < x − p < 0 ⇒
f (x) − L
< ε
O que equivale a escrever
lim f (x ) = L
x →p −
EXEMPLO 1.1:
Seja
f : IR → IR
x + 2 , x > 1
x a f (x) = 
 −x , x < 1
Podemos afirmar intuitivamente que
lim f (x ) = lim+
x →1+
x →1
( x+ 2 )
= 3.
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Já que, a partir do cálculo de alguns valores obtemos:
x
1,1
1,05
1,03
1,01
1,005
f(x) = x+2
3,1
3,05
3,03
3,01
3,005
Analogamente podemos afirmar intuitivamente que
lim− f (x ) = lim− − x = − 1 .
x →1
x →1
Já que, a partir do cálculo de alguns valores obtemos:
x
0,9
0,95
0,97
0,99
0,995
f(x) = - x
- 0,9
-0,95
-0,97
-0,99
-0,995
EXEMPLO 1.2:
Seja
f : IR → IR
 x −1 , x < 0

x a f (x ) =  0 , x = 0
 2x + 1 , x > 0

Podemos afirmar intuitivamente que
lim f (x ) = lim+
x → 0+
x→0
( 2x + 1 )
=1 .
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Já que, a partir do cálculo de alguns valores obtemos:
x
0,1
0,05
0,03
0,01
0,005
f (x) = 2x+1
1,2
1,1
1,06
1,02
1,01
Analogamente podemos afirmar intuitivamente que
lim f (x ) = lim ( x − 1 ) = − 1 .
x→ 0−
x→ 0−
Já que, a partir do cálculo de alguns valores obtemos:
x
- 0,1
-0,05
-0,03
-0,01
-0,001
f(x) = x -1
- 1,1
- 1,05
-1,03
-1,01
-1,001
EXEMPLO 1.3:
Seja
f : IR → IR
x a
 x +1 , x < 0

f (x ) =  0 , x = 0
 2x + 1 , x > 0

Podemos afirmar intuitivamente que
lim f (x ) = lim+ (2x + 1) = 1 .
x → 0+
x→ 0
Já que, a partir do cálculo de alguns valores obtemos:
x
0,1
0,05
0,03
0,01
0,005
f(x) = 2x+1
1,2
1,1
1,06
1,02
1,01
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Analogamente podemos afirmar intuitivamente que
lim− f ( x) = lim− (x + 1) = 1 .
x→ 0
x→0
Já que, a partir do cálculo de alguns valores obtemos:
x
- 0,1
-0,05
-0,03
-0,01
-0,001
f(x) = x+1
0,9
0,95
0,97
0,99
0,999
EXEMPLO 1.4:
f : IR → IR
x a f (x ) = 2x
Podemos afirmar intuitivamente que
lim f (x ) = lim 2x = 2 .
x →1+
x →1+
Já que, a partir do cálculo de alguns valores obtemos:
x
1,1
1,05
1,03
1,01
1,005
f(x) = 2x
2,2
2,1
2,06
2,02
2,01
Analogamente podemos afirmar intuitivamente que
lim f (x ) = lim 2x = 2 .
x →1−
x →1−
Já que, a partir do cálculo de alguns valores obtemos:
x
0,9
0,95
0,97
0,99
0,995
f(x) = 2x
1,8
1,9
1,94
1,98
1,99
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2. LIMITE
Seja a função f : IR → IR
e p ∈ IR , dizemos que o limite de f quando x tende a p existe e vale L , L ∈ IR , se e somente se,
∀ ε > 0 , ∃ δ >0 : 0<
x− p
<δ ⇒
f (x) − L
< ε.
O que equivale a escrever
lim f ( x ) = L .
x→p
Das definições de limites laterais temos que o limite de uma função em um ponto p, p ∈ IR , existe e tem valor L, L ∈ IR , se e
somente se, os limites laterais de p existem e ambos valem L , ou seja,
∃ lim+ f ( x ) = L
 x →p
∃ lim f ( x ) = L ⇔ 
x →p
f (x ) = L
∃ xlim
→p −

EXEMPLO 2.1:
f : IR → IR
x + 2 , x ≥ 1
x a f (x ) = 
 −x , x <1
Não existe lim f ( x ) , uma vez que lim− f ( x ) = − 1 ≠ 3 = lim+ f ( x )
x →1
x →1
x →1
EXEMPLO 2.2:
f : IR → IR
 x −1 , x < 0

x a f (x ) =  0 , x = 0
 2x + 1 , x > 0

Não existe lim f ( x ), uma vez que lim− f ( x ) = − 1 ≠ 1 = lim+ f ( x )
x→0
x→ 0
x→0
EXEMPLO 2.3:
Seja
f : IR → IR
x a
 x +1 , x < 0

f (x ) =  0 , x = 0
 2x + 1 , x > 0

Uma vez que lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = 1 temos lim f ( x ) = 1
x→ 0
x→ 0
x→ 0
EXEMPLO 2.4:
f : IR → IR
x a f (x) = 2x
Uma vez que lim+ f ( x ) = lim− f ( x ) = 2 temos lim f ( x ) = 2
x →1
x →1
x →1
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