Lista de Exercício – 1º Prova

Universidade Federal da Paraíba
Departamento de Estatística
Lista 1 - Outubro de 2013
Disciplina: Probabilidade II
Prof.: Tarciana Liberal
1. Seja X a duração de vida de uma válvula eletrônica e admita que X possa ser representada por
uma variável aleatória contínua, com f.d.p. f (x) = be−bx , x ≥ 0. Seja pj = P (j ≤ X < j + 1).
Verifique que pj é da forma (1 − a)aj e determine a.
2. Suponha que f e g sejam f.d.p. nesse intervalo a ≤ x ≤ b.
(a) Verifique que f + g não é uma f.d.p. nesse intervalo.
(b) Verifique que, para todo número β, 0 < β < 1, βf (x) + (1 − β)g(x) é uma f.d.p. nesse
intervalo.
3. Suponha que o gráfico 4.16 (final da lista) represente a f.d.p. de uma variável aleatória X.
(a) Qual será a relação entre a e b?
(b) Se a > 0 e b > 0, que se pode dizer do maior valor que b pode tomar?
4. O número de clientes chegando a um certo estabelecimento comercial segue a distribuição de
Poisson. Em média, chegam 10 clientes a cada hora.
(a) Determine a probabilidade de que o tempo entre chegadas sucessivas de dois clientes quaisquer
exceda 5 minutos.
(b) Determine a probabilidade de que o tempo até a chegada do quinto cliente exceda 30 minutos.
(c) Determine o tempo médio entre chegas sucessivas. Este é um bom valor preditivo?
(d) Determine o tempo mediano entre chegadas sucessivas.
5. Suponha que o diâmetro X de um cabo elétrico é uma variável aleatória com f.d.p. f (x) = 6x(1−x),
0 ≤ x ≤ 1.
(a) Verifique que essa expressão é realmente uma f.d.p. e esboce seu gráfico.
(b) Obtenha uma expressão para a função de distribuição de X. Verifique que F (x) é realmente
uma função de distribuição e esboce seu gráfico.
(c) Calcule P (X ≤ 1/2|1/3 < X < 2/3).
6. Suponha que a variável aleatória contínua X tenha f.d.p. f (x) = e−x , x > 0. Ache a f.d.p. das
seguintes variáveis aleatórias:
(a) Y = X 3 .
(b) 3/(X + 1)2 .
7. Suponha que o raio de uma esfera seja uma V.A.C. Suponha que o raio r tenha f.d.p. f (r) =
6r(1 − r), 0 < r < 1. Ache a f.d.p. do volume V e da área superficial S da esfera. Calcule o volume
esperado e a área esperada.
8. Suponha que a duração da vida (em horas) de uma certa válvula seja uma variável aleatória com
f.d.p. f (x) = 100/x2 , para x > 100 e zero para quaisquer outros valores de x. Mostre que E(X)
não existe para a V.A. X.
9. Suponha que um dispositivo eletrônico tenha uma duração de vida X, que é considerada uma V.A.
com f.d.p. f (x) = e−x , para x > 0. Suponha que o custo de fabricação de um desses dispositivo
seja R$2, 00. O fabricante vende a peça por R$5, 00, mas garante o reembolso total se X ≤ 0.09.
Qual será o lucro esperado por peça, pelo fabricante? E a variância do lucro?
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Disciplina: Probabilidade II
Prof.: Tarciana Liberal
10. Suponha que X seja uma V.A. para a qual E(X) = 10 e V ar(X) = 25. Para quais valores positivos
de a e b deve Y = aX − b ter valor esperado 0 e variância 1?
2
11. Suponha que a V.A.C. tenha f.d.p f (x) = 2xe−x , para x ≥ 0. Seja Y = X 2 . Calcule E(Y ):
(a) Diretamente, sem primeiro obter a f.d.p. de Y .
(b) Obtendo primeiramente a f.d.p. de Y .
12. Suponha que X tenha a seguinte f.d.p.: f (x) = λe−λ(x−a) , x ≥ a.
(a) Determine a função geradora de momentos de X.
(b) Empregando a f.g.m. calcule E(X) e V ar(X).
13. Se a V.A. X tiver uma f.g.m. dada por MX (t) = 3/(3 − t), qual será o desvio padrão de X?
14. A variável X tem função de distribuição dada por:

0, se
x < 1;

1
−(x−1) ), se 1 ≤ x < 2;
(1
−
e
F (X) =
c
 1
−1 + e−2 − e−2(x−1) ), se
x ≥ 2;
c (1 − e
(a) Obtenha o valor de c.
(b) Classifique a variável e obtenha a correspondente função densidade ou função de probabilidade,
conforme o caso.
15. Sejam F e G funções de distribuição. F + G também é função de distribuição?
16. Mostre que se F e G forem funções de distribuição então, para 0 ≤ α ≤ 1, αF + (1 − α)G também
é função de distribuição.
17. Determine condições sobre as constantes c, de modo que as expressões abaixo sejam função de
probabilidade ou função de densidade, conforme estejam especificadas.
(a) f (x) = cosx,
(b) f (x) =
0 < x < c.
cxe−x/2 ,
0<x<∞
18. Utilizando a expressão V ar(X) = E(X 2 ) − (E(X))2 e as propriedades da esperança, demonstre
que V ar(aX + b) = a2 σ 2 .
19. Seja a V.A.C. X com função de distribuição:
F (X) =



x
4 [1
0, se
x ≤ 0;
+ ln(4/x)], se 0 < x ≤ 4;
1, se
x > 4;
Obtenha a f.d.p. de X.
20. Supondo que a espectativa de vida, em anos, seja Exp(1/60):
(a) Determine, para um indivíduo escolhido ao acaso, a probablidade de viver pelo menos até os
70 anos.
(b) Determine, para um indivíduo escolhido ao acaso, a probablidade de morrer antes dos 70,
sabendo-se que o indivíduo acabou de completar 50 anos.
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(c) Calcule a idade mínima tal que a chance de um indivíduo continuar vivó após essa idade seja
de 50%.
21. Sendo X ∼ N (µ, σ 2 ), µ > 0, avalie as probabilidades abaixo em função de Φ(z) ou numericamente,
se possível:
(a) P (|X| < µ).
(b) P (|X − µ| > 0).
(c) P (X − µ < −σ).
(d) P (σ < |X − µ| < 2σ).
22. Suponha que X seja uniformemente distribuída sobre [−α, α], com α > 0. Determine α de modo
que as seguintes relações sejam satisfeitas:
(a) P (X > 1) = 1/3.
(b) P (X > 1) = 1/2.
(c) P (|X| < 1) = P (|X| > 1).
23. O diâmetro de um cabo elétrico é normalmente distribuído com média 0.8 e variância 0.0004.
O cabo é considerado defeituoso se o diâmetro diferir de sua média em mais de 0.025. Qual a
probabilidade de se encontrar um cabo defeituoso?
24. Suponha que X tenha distribuição N (µ, σ 2 ). Determine c como uma função de µ e σ tal que
P (X ≤ c) = 2P (X > c).
25. Suponha que X seja uma variável aleatória para a qual E(X) = µ e V ar(X) = σ 2 . Suponha que Y
seja uniformemente distribuída sobre o intervalo (a, b). Determine a e b de modo que E(X) = E(Y )
e V ar(X) = V ar(Y ).
26. Uma fábrica de lâmpadas oferece uma garantia de troca se a duração de lâmpada for inferior à 60
horas. A duração das lâmpadas é uma variável aleatória contínua X exponencialmente distribuída
com função de densidade dada por:
(
f (x) =
−1
x
1
5000 ,
5000 e
se
x ≥ 0;
0, se 1 ≤ x < 0;
(a) Determine quantas lâmpadas são trocadas por conta da garantia para cada 1000 lâmpadas
fabricadas.
(b) Obtenha a duração média das lâmpadas e o desvio padrão.
27. Use a função geradora de momentos das densidades uniforme e exponencial para gerar as médias
e as variâncias das respectivas distribuições.
28. Através de documentação e observação cuidadosas, constatou-se que o tempo para se fazer um
teste padrão de estatística é aproximadamente normal com média de 80 minutos e desvio padrão
de 20 minutos.
(a) Que porcentagem dos estudantes não terminará o teste se o tempo máximo é de 2 horas.
(b) Os avaliadores consideram "bom"um tempo de 80 minutos mais ou menos 10 minutos. Se 100
estudantes fazem o teste quantos podemos esperar que tenham um tempo "bom"?
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(c) Os 5% estudantes mais rápidos receberão um certificado especial. Qual o tempo máximo para
receber tal certificado?
29. Suponha que o vão de uma porta em construção deve ser utilizada pôr pessoas que tem altura
normalmente distribuída com média 180 cm e desvio padrão 8 cm.
(a) Qual é a altura do vão da porta, para que 2% das pessoas que passem pôr ele abaixem-se,
evitando assim, bater com a cabeça no mesmo?
(b) Se o vão da porta for construído com 1, 85m de altura, dentre 1000 pessoas, quantas passariam
pela porta sem se curvar?
30. Verifique que a função densidade de probabilidade nos modelos Uniforme, Exponencial e Gama
satisfazem às propriedades de função densidade.
31. A renda doméstica mensal num certo bairro de João Pessoa é uma variável aleatória com distribuição Gama com média R$2000 e desvio padrão R$400.
(a) Ache os parâmetros α e β desta densidade.
(b) Calcule a probabilidade da renda média mensal de um domicílio exceder R$2500.
32. Use a integração por partes para mostrar que Γ(r) = (r − 1)Γ(r − 1).
33. Use o resultado para a distribuição gama, de modo a determinar a média e a variância de uma
distribuição Qui-quadrado, com α = 7/2.
34. Dada as distribuições Qui-quadrado com 15 e 21 graus de liberdade.
(a) Ache os valores críticos correspondentes a 0.05
(b) Encontrar os valores medianos das duas distribuições.
35. Suponha que a velocidade de um corpo é uma variável aleatória V que tem distribuição N (0, 1).
Determine a função densidade de probabilidade da energia cinética E = 21 mV 2 deste corpo. Obtenha P (E ≤ 7) para m = 14.
36. Prove que a distribuição F é unimodal para o valor
ν1 −2
ν2
ν1 ) ν2 +2 )
se ν1 > 2.
37. O tempo necessário para um medicamento contra dor fazer efeito foi modelado de acordo com a
densidade uniforme no intervalo de 5 a 15 (em minutos), tendo por base experimentos conduzidos
em animais. Um paciente, que esteja sofrendo dor, recebe o remédio e, supondo válido o modelo
acima, pergunta-se a probabilidade da dor:
(a) Cessar em até 10 minutos?
(b) Demorar pelo menos 12 minutos?
(c) Durar mais de 7 minutos, sabendo-se que durou menos de 10?
38. Considere a distribuição t de Student com 9 graus de liberdade. Determine o valor crítico para o
qual
(a) a área sombreada à direita é 0.05.
(b) a área total sombreada é 0.05
(c) a área total não sombreada é 0.99
(d) a área sombreada à esquerda é 0.01
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(e) a área a esquerda do valor crítico positivo é 0.90
39. Mostre que a função geratriz de momentos de uma variável aleatória X com distribuição quiquadrado com ν graus de liberdade é M (t) = (1 − 2t)−ν/2 .
40. Sejam X1 e X2 variáveis aleatórias independentes com distribuição qui-quadrado com ν1 e ν2 graus
de liberdade respectivamente.
(a) Mostre que a função geratriz de momentos de Z = X1 + X2 é (1 − 2t)−(ν1 +ν2 )/2
(b) Mostre que Z tem distribuição qui-quadrado com ν1 + ν2 graus de liberdade.
41. Utilizando as tabelas das distribuições T e F , determine:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
F0.99,15,9 .
F0.05,8,30 .
F0.01,15,9 .
t0.99,20 .
t0.01,40 .
t0.05,10 .
42. Verifique que
(a) F0.95 = t20.975 .
(b) F0.99 = t20.995 .
43. Sejam X e Y variáveis aleatórias independentes com funções geradoras de momentos MX (t) e
MY (t) respectivamente, verifique que MX+Y (t) = MX (t)MY (t).
44. A função de probabilidade de uma variável aleatória X é dada por
f (x) =
x2
81 ,
0,
−3 < x < 6;
c.c.;
Determine
(a) A densidade de probabilidade para U = 31 (12 − X).
(b) A densidade de probabilidade para V = X 2 .
45. Determine os quatro primeiros momentos em relação à origem da variável aleatória X com densidade
−2x
2e , x ≥ 0;
f (x) =
0,
c.c.;
46. Determine os quatro primeiros momentos em relação à origem e em relação a média da variável
aleatória X com densidade
4x(9 − x2 )/81, 0 ≤ x ≤ 3;
f (x) =
0,
c.c.;
47. Dois amigos planejam um encontro entre 20 e 21 horas. Um deles é pontual e pretende chegar às
20:30 horas e esperar por exatos 15 minutos. O outro é mais imprevisível e poderá chegar em qualquer momento do intervalo inicialmente previsto, saindo imediatamente se não encontrar o amigo.
Qual é a probabilidade deles se encontrarem? Qual a probabilidade deles não se encontrarem por
um lapso de no máximo 5 minutos?
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