Lista de exercícios 12 Ortogonalidade Exercícios

1◦ semestre 2015.
Olivier Brahic
Universidade Federal do Paraná
Algebra Linear, CM 005
Ciência da computa}ão -¸ TF
Lista de exercícios 12
Ortogonalidade
Exercícios da Seção 5.1
Exercício 1: Encontre o ângulo emtre os vetores v e w em cada um dos seguintes:
a) v = (2, 1, 3)| , e w = (6, 3, 9)| ,
c) v = (4, 1)| , e w = (3, 2)| ,
b) v = (2, −3)| , e w = (3, 2)| ,
d) v = (−2, 3, 1)| , e w = (1, 2, 4)| ,
Exercício 2: Para cada um dos vetores no Problema 1, encontre a projeção escalar de v em
w. Encontre também a projeção vetorial de v em w.
Exercício 3: Para cada um dos seguintes pares de vetores x e y, encontre o vetor projeção
p de x em y e verifique que p e x − p são ortogonais.
a) x = (3, 4), e y = (1, 0),
c) x = (2, 4, 3), e y = (1, 1, 1),
b) x = (3, 5), e y = (1, 1),
d) x = (2, −5, 4), e y = (1, 2, −1),
Exercício 5: Encontre o ponto da reta x = 2y que esta mais próximo do ponto (5, 2).
Exercício 6: Encontre o ponto da reta x = 2y + 1 que esta mais próximo do ponto (5, 2).
Exercício 7: Encontre a distância do ponto (1, 2) à reta 4x − 3y = 0.
Exercício 8: Em cada um dos seguinte, encontre a equação do plano normal ao vetor n dado,
e passando pelo ponto p0 .
a) n = (2, 4, 3), e p0 = (1, 0),
c) n = (0, 0, 1), e p0 = (3, 2, 4),
b) n = (−3, 6, 2), e p0 = (4, 2, −5),
Exercício 9: Encontre a equação do plano que passa pelos pontos p1 = (2, 3, 1), p1 = (5, 4, 3),
e p1 = (3, 4, 4).
Exercício 10: Encontre a distância do ponto (1, 1, 1) ao plano 2x + 2y + z = 0.
Exercício 11: Encontre a distância do ponto (2, 1, −2) ao plano 6(x−1)+2(y −3)+3(z +4) =
0.
1
Exercício 12: Demostre que se x = (x1 , x2 )| , y = (y1 , y2 )| ,e z = (z1 , z2 )| são vetores
arbitrários do plano R2 , então:
c) x| .(y + z) = xT .y + x| .z| .
a) x| .x ≥ 0,
b) x| .y = y| .x,
Exercício 14: Seja x1 , x2 , e x3 vetores em R3 . Se x1 ⊥ x2 e x2 ⊥ x3 , é necessário que
x1 ⊥ x3 ? Demostre sua reposta.
 
 
4
4
2
4

 
Exercício 17: Sejam x = 
−4 e y = 2.
1
4
a) Determine o angulo entre x e y.
b) Determine a distância entre x e y.
Exercício 18: Sejam x e y vetores em Rn . Defina-se:
p=
x| · y
.y e: z = x − p.
y| · y
a) Mostre que p ⊥ z. Logo p é a projeção vetorial de x em y; isto é, x = p + z onde p e z
são componentes orthogonais, e p é um múltiplo escalar de y.
b) Se kpk = 6 e kzk = 8, determine o valor de kxk.
Referências
[1] Steven J. Leon, Álgebra Linear com aplicações, 8a edição, LTC 2011.
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