Lista de Exercícios 4

DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA - UFSCar
Lista de exercício 4
1. Mostre que os vetores e1t = (1, 0, 0), e2t = (0, 1, 0), e3t = (0, 0, 1) formam uma base do R 3 .
2. Considere a base dada no exercício (1), para um vetor qualquer x t = (x1, x2, x3) no R3, encontre escalares
c1, c2, c3 tais que x 
3
 ci ei
i 1
1
 2
0
0
 1
1 
  6
 3






3. Considere os vetores v1 
, v 
, v 
e v4    .
 1  2 1  3  2 
1
 
 
 
 
0
0 
0
0
Mostre v1 , v 2 , v 3 e v 4 são l.d. e encontre um conjunto com 2 vetores que sejam l.i.
4. O vetor v t = (1, 1, 0, 1) está no espaço gerado pelos vetores do exercício anterior?
0
4
2
1
 1  3  5  4
 . Encontre quantas colunas de A são l.i. e dê o posto de
5. Considere a matriz A  
 3 4
0
2


0
 2 2 2
A.
 1
  2
 2
  4






6. Considere o espaço vetorial S 3 gerado por v1   1 , v 2   0  , v3  2 e seja v   2  .
h
  5
 1
 4
a) Avalie a dimensão de S 3 em função do valor de h.
b) Para que valores de h o vetor v pertence ao espaço gerado por v 1 , v 2 , e v 3 .
c) Com h = 1, encontre o vetor xt = (x1, x2, x3) encontre a imagem de x.
7. Encontre a base ortonormal de Gram-Schmidt para o espaço formado pelos vetores
1
 2
 3




v1   1  , v 2  1 e v 3  2 .
 1
0
0
 d1
8. Sejam as matrizes formadas pelos dígitos de seu RA tais que: A  
d3
a) Obtenha y  Ax e z  By , se x t = (2, –1).
b) Mostre que BAx  z .
d2 
 d1
e B

d4 
d5
d3 
.
d 6 
9.
No exercício anterior, encontre vetores u e v tais que u  Bx e v  Au
a) Verifique que v ≠ z .
b) Sob quais condições de A e B tem-se v = z ?
4 1  1
10. Considere a matriz A  
 definindo a transformação T x  Ax .
3  2 5 
a) Defina dois vetores u e v quaisquer e mostre que T é uma transformação linear.
b) Qual a imagem de x t = (1, –1, 2)?
c) Verifique se os vetores y 1t = (–5, –2) e y t2 = (4, 20) estão na imagem de T.
d) Considere o seu RA, formado por seis dígitos na forma d1d2d3d4d5d6. Encontre a imagem do vetor
formado por x t = (d4, d5, d6) e verifique se o vetor y t = (d1, d6) está na imagem de T.
11. Sejam os vetores x1t = (2, 4) e x t2 = (3, 9) representando duas amostras ordenadas.
a) Construa a matriz A 22 da transformação T x   Ax que retorne:
–> a diferença entre a maior e a menor observações (amplitude);
–> o valor médio das observações;
b) Mostre que, nesse caso, qualquer que seja o vetor y = (y1, y2), estará na imagem de T.
12. Considere o plano S formado por z  2 x  2 y .
a) Encontre a matriz canônica da projeção ortogonal do vetor v no plano acima.
b) Encontre v cuja projeção é dada por projS v  (5,  4, 2)t e a sua respectiva componente ortogonal ao
plano.
13. Considere o plano formado por x  y  z  0 .
a) Encontre a matriz canônica da projeção ortogonal no plano.
b) Encontre a projeção de v t  (2, 4,  1) e a sua respectiva componente ortogonal ao plano.
c) Ache o vetor w cuja projeção é Pw = ( 1, 3, 2 ). Interprete esse resultado.