Lista 6 - Professores da UFF

6a Lista de Exercícios de Álgebra Linear
Prof. Luiz Leduino de Salles Neto
EEIMVR-UFF
[email protected]
23 de novembro de 2007
1) Para cada matriz, encontre todos os autovalores e autovetores:


3 1 1
A= 2 4 2 
1 1 3


1 2
2
B =  1 2 −1 
−1 1
4


1 1 0
C= 0 1 0 
0 0 1
2) Dois vetores u e v pertencentes à um espaço vetorial com produto interno V são ditos ortogonais se < u, v >= 0. Demonstre o Teorema de Pitágoras Generalizado: Se u e v são vetores
ortogonais então ku + vk2 = kuk2 + kvk2 .
3) Dizemos que um conjunto de vetores S = {v1 , v2 , v3 . . . vn } é uma base ortogonal de um espaço
vetorial com produto interno V se < vi , vj >= 0 para todo i 6= j. Seja M22 o espaço vetorial
com produto interno dado por < u, v >= tr(ut v). Determine se o conjunto abaixo forma uma
base ortogonal desse M22 , <>.
1
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
0
1 −1
A1 =
A2 =
A3 =
A4 =
4) Suponha que u, v e w são vetores tais que: < u, v >= 2, < v, w >= −3, < u, w >= 5,
kuk = 1, kvk = 2 e kwk = 7. Calcule o valor de cada uma das seguintes expressões:
a) < u + v, u + v >
1
b) < 2v − w, 3u + 2w >
c) < u − v − 2w, 4u + v >
d) ku + vk
e) ku − 2v + 4wk
5) Mostre que vale a seguinte identidade para vetores de qualquer espaço vetorial com produto
interno:
ku + vk2 + ku − vk2 = 2kuk2 + 2kvk2
6) Mostre que se λ é um autovalor de uma matriz invertível A com autovetor associado x, então
1/λ é um autovalor de A−1 com autovetor associado x.
−1
7) Encontre
 os autovalores
 e autovetores de A , onde:
−2 2 3
A =  −2 3 2 
−4 2 5
−1
8) Encontre
P que diagonaliza A e determine P AP :
uma matriz
−14 12
A=
−20 17
−1
9) Encontre
 uma matriz
P que diagonaliza A e determine P AP :
2 0 −2

0 3
0 
A=
0 0
3
n
10) Encontre
 A se n é uminteiro positivo e
3 −1
0

−1
2 −1 
A=
0 −1
3
11) Mostre que uma matriz quadrada é invertível se e somente se λ = 0 não é um autovalor de
A.
12) Por volta de 1200 (d.C.) Leonardo de Pisa, também conhecido como Fibonacci, para descrever o crescimento de uma população de coelhos introduziu uma sequência recursiva de números
que ficou conhecida como a Sequência de Fibonacci: f(0)=1; f(1)=1 e f(n+1)=f(n)+f(n-1). Assim temos a sequência: 1,1,2,3,5,8,13... Esses números descrevem o número de casais em uma
população de coelhos depois de n meses, se for suposto que:
• no primeiro mês nasce apenas um casal;
• casais amadurecem sexualmente (e reproduzem-se) apenas após o segundo mês de vida;
• não há problemas genéticos no cruzamento consangüíneo;
• todos os meses, cada casal fértil dá a luz a um novo casal;
2
• os coelhos nunca morrem.
[Para saber mais acesse http://pt.wikipedia.org/wiki/Numero_de_Fibonacci].
Podemos escrever a relação recursiva da seguinte maneira: vn+1 = Avn , onde:
f (n + 1)
vn+1 =
f (n)
1 1
A=
1 0
f (n)
vn =
f (n − 1)
a) Utilize a diagonalização de matrizes para determinar uma expressão geral para f (n + 1).
b) Pesquise sobre o número de ouro ou razão áurea e sua relação com este exercício.
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