Lista complementar para a segunda prova Prof - ICEB-UFOP

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Lista complementar para a segunda prova
Prof. Bárbara Lopes Amaral
1. (a) Mostre que os vetores (1, 1, 1) e (2, 4, 3) formam uma base para o
subespaço
W = {(x, y, z) ∈ R3 ; x + y − 2z = 0}.
(b) A partir dessa base encontre uma base ortonormal para W utilizando
o processo de ortogonalização de Gram-Schimidt.
2. (a) Mostre que o subconjunto
x y
4
W = (x, y, z, w) ∈ R ;
é diagonal
z w
é um subespaço e encontre uma base para ele.
(b) Mostre que esse subespaço é ortogonal ao subespaço de R4 formado
pelas soluções do sistema
2y − z = 0
x, w ∈ R
y + 3z = 0
3. (a) Mostre que os subconjuntos
x y
4
é mútiplo de I
W1 = (x, y, z, w) ∈ R ;
z w
1 0
x y
é mútiplo de
W2 = (x, y, z, w) ∈ R4 ;
0 −1
z w
são subespaços e encontre bases para eles.
(b) Mostre que esses subespaços são ortogonais.
4. Determine m para que o conjunto de vetores do R3 B = {(3, 5m, 1), (2, 0, 4), (1, m, 3)}
seja LI. Para esses valores de m, B é uma base de R3 ? É uma base ortogonal?
5. (a) Para quais valores de a ∈ R o conjunto B = {(a, 1, 0), (1, a, 1), (0, 1, a)}
é uma base de R3 ?
(b) Faça a = 1 e encontre uma base ortonormal a partir dessa utilizando
o processo de ortogonalização de Gran-Schmidt.
6. Encontre uma base para o subespaço de R3 gerado pelos vetores (1, 1, 1),
(−1, 2, 1).
7. Encontre uma base para o subespaço de R3 gerado pelos vetores (1, 1, 1),
(−1, 0, 1), (1, 4, 7).
8. Encontre uma base ortogonal para o subespaço de R4 gerado pelos vetores
(1, 2, 0, −1), (0, −1, 2, 2), (3, 4, −4, 1).
9. Mostre que os vetores (0, 3, 2) e (−2, 1, 0) forma uma base para o subespaço
gerado pelos vetores (1, 1, 1), (−1, 2, 1).
10. Encontre uma base para o subespaço de R3 ortogonal ao conjunto S =
{(1, 1, 1), (2, −1, 2)}.
11. Se S = {0} qual é o subespaço ortogonal a S? Se S = Rn qual é o
subespaço ortogonal a S?
12. Seja W subespaço de R3 gerado por v = (1, −1, 1). Encontre uma base
para W ⊥ .
13. Seja W subespaço de R4 gerado pelos vetores v1 = (1, 0, −2, 1) e v2 =
(0, 1, 3, −2). Encontre uma base otogonal para W ⊥ .
14. Seja W o conjunto de soluções do sistema
x+y−z =0
x − y + 3z = 0
Encontre uma base para W ⊥ .
15. Seja W o conjunto de soluções do sistema
x + y − 2z = 0
x + 2y − z = 0
Encontre uma base para W ⊥ .
16. Seja
W = (x, y, z, w) ∈ R4 ; x − y + z − 2w = 0 .
Encontre uma base para W ⊥ .
17. Seja
W = (x, y, z) ∈ R3 ; x + y + z = 0 .
Encontre uma base para W ⊥ .