Resolução 2. (i) 3. Numa divisão o quociente C representa a

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Resolução
2. (i) 11.02 :11 r  0.0002
11.02 11
00
1
11.0200 11
00 0200 1.0018
90
0.0002
11.02 11
00 0 10
11.02 11
00 02 100
11.0200 11
00 0200 10018
90
2
11.020 11
00 020 1001
9
Dividendo = Divisor
11.02
3.
=
x
11
x
Quociente + Resto
1.0018
+ 0.0002
Numa divisão A : B  C ,
A B
0 C
o quociente C representa a quantidade de A por unidade de B.
Exemplo
Se um objecto custar 2€, então 10 objectos custam 20€. Neste caso temos
20 :10  2 .
20 10
0 2
O quociente 2 representa a divisão de 20 em 10 partes, ou seja a quantidade de euros
por objecto. Notar que este raciocínio é válido se estivermos a considerar uma
relação linear entre o número de objectos x e o seu custo y , neste caso
y  2x
(a) A resposta a dar na alínea 4(a) é o resultado da divisão 96 : 8  12 , i.e. cada grama de
produto custa 12€.
(b) A resposta a dar na alínea 4(b) é o resultado da divisão 8 : 96  0.083 , i.e. com 1€
compra-se aproximadamente oitenta e três milésimas de grama do produto.
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5. Fracções
a
b
O valor da fracção
Numerador
Denominador
a
corresponde ao resultado exacto da divisão a  b , i.e.
b
a
 c  a  bc .
b
Exemplos

3
 0.75 , porque 3  4  0.75 .
4

4
4 ,
1
porque 4  1 4 .
O valor de uma fracção não se altera se multiplicarmos ou dividirmos o numerador e o
denominador pelo mesmo número.
Exemplos

6 2 3 3


8 2 4 4

2 4 2 8


5 4  5 20
O primeiro exemplo representa a redução da fracção
números mais pequenos)
6
à forma mais simples (com
8
3
. Desta última, por não se poder reduzir mais, diz-se que
4
está na forma irredutível.
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Adição de Fracções
Exemplos
1.
1
2
3 4 3 4 7

  

2 (3) 3 ( 2 ) 6 6
6
6
2.
Para efectuar a soma, temos que obter duas fracções
com o mesmo denominador. O menor denominador
possível é o mínimo múltiplo comum de 40 e 60.
7 11

60 40
Cálculo do mmc(40,60)
Factorizamos os dois números em produtos de factores primos.
40 | 2
20 | 2
10 | 2
5|5
1|
60 | 2
30 | 2
15 | 5
3| 3
1|
Nesta notação, 40|2 significa a divisão de 40 por 2, cujo quociente é 20;
escrevemos 20 na linha seguinte da coluna esquerda e repetimos o processo. A
factorização termina quando na coluna da esquerda se obtém 1. Todos os
números na coluna direita são números primos (um número primo é um
número inteiro positivo, maior do que 1, que só é divisível por si próprio e por
1. Os primeiros sete números primos são 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17 ).
Marcamos em cada decomposição os factores comuns a ambas (os que têm
uma barra).
40  2  2  2  5
60  2  2  5  3
Multiplicamos a fracção correspondente a cada número pelos termos não
marcados no outro número: 40  3  2  60  120 , i.e. mmc(40, 60)  120 .
7
11
14 33 14  33 47





60 (2 ) 40 (3) 120 120
120
120
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Multiplicação de Fracções
Exemplos



Regra geral:
3 5 3  5 15
 

2 7 2  7 14
5 3  5 15
3 

7
7
7
3 5 5
 
4 3 4
a c a c
 
b d bd
Divisão de Fracções
Exemplos



Regra geral:
3 5 3 7 21
   
2 7 2 5 10
3 5 3 7
21

 

2 7 2 5
10
3 3 3 4 12
    1
4 4 4 3 12
a c a d
 
ou
b d bc
a
b  a d
c b c
d
6. Potências
Expoente
Base
43  4  4  4  64
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Multiplicação de Potências com a Mesma Base
Regra geral:
a b  a c  a b c
Exemplos

23  24   2  2  2  2  2  2  2   23 4  27

c 5  c4  c5 4  c 9
Divisão de Potências com a Mesma Base
Regra geral:
a b  a c  a b c
Exemplo

25  23 
2  2  2  2 2
 253  22  4
222
Potências com expoente nulo:
a 0  1 se a  0 .
Exemplo

23  23 
222
 1  233  20
222
Potências com expoente negativo:
ab 
1
se a  0 .
a b
Exemplos


1 1

23 8
1
25   5
2
23 
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n
an
a
   n
b
b
Potências de fracções:
.
Exemplos
3

3
8
2 2
   3 
 5  5 125

3
2
 5  5 125



 
 
3
8
5
2 2
3
3
7. Radicais
Sinal de radical
3
Índice do radical: número
inteiro positivo
64
Radicando: número não-negativo se o índice do radical é par
Exemplos

9
lê-se ‘raiz quadrada de nove’ ou ‘raiz índice dois de nove’.

3
8
lê-se ‘raiz cúbica de oito’ ou ‘raiz índice três de oito’.

6
64
lê-se ‘raiz sexta de sessenta e quatro’ ou ‘raiz índice seis de sessenta
e quatro’.

n
a
lê-se ‘raiz n-ésima de a’ ou ‘raiz índice n de a’.
Exemplos

9 3
significa que 32  9 .
3

3
8  2
significa que  2   8 .

6
64  2
significa que 26  64 .

n
a b
significa que b n  a .
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Propriedades da Radiciação
[a, b são números reais não negativos; n, m são números inteiros não negativos]
3
n
ab  n a n b
n
a na

, b0
b nb
n
am 
n m
 a
n
2 4  3 2 3 4
9
9

4
4
m
3
24 
3 5
a  nm a
Se o radicando b for negativo, então o índice n da raiz
n
 2
3
4
27  15 27
b tem que ser ímpar.
Exemplos

não está definida no conjunto dos números reais; não
9
existe um número b tal que
9  b e b 2  9 .
3

3
8
é igual a 2 porque  2   8 .

6
64
não está definida no conjunto dos números reais.

5
243
é igual a 3 porque  3  243 .
5
Nota: por definição temos
n
m
n
m
 n1 
a  a   a  , sendo n e a positivos.
 
m
Exemplos

3
4
2 2
3
4
3
4
4
3
 4
notar que  2 3   2 3  24 , ou seja, 2 3 ’comporta-se’
 
como raiz cúbica de 24 .
1


16  16 2

5
3
2

1
5
3
2

1
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Exercícios
1. Escrever na forma irredutível
27
12
(a)
(b)
18
15
(c)
2. Resolver.
7 11
(a)

60 40
(b)
24
40
5 8

54 45
3. Escrever como produto.
3 8
21 8
3 3
(a)

(b)

(c)

5 3
5 9
2 2
4. Reduzir cada uma das expressões à forma de fracção irredutível.
2 1
2
2 2
(a)

(b)
4
(c)
:
7 5
7
7 5
4 2 1
 7 9  5
 24 2 40 
(d) 

(e) 
 
(f)  
   0.5
5 3 5
 3 5 4
 10 3 15 
2
1 1 2 2
22 1
 2 1 
(i)
  
(g)

(h) 
 
2
5
6 5 6
( 3) 5
3
5


5. Simplificar as expressões.
1
(a) 2  2
5
25
23
22
(g)
(3) 2
(d)
3
5
(b) 2  2
(c) 2  2
a5
a3
(h) a 5  a 5
(f) a 3 21
(e)
3
(i) a 5 : a 5
6.
Uma conta bancária é iniciada com 1ct. De seguida é duplicada a cada dia que passa. Qual o valor
da conta ao fim de 10 dias? E ao fim de 30 dias?
7.
Uma conta bancária é iniciada com 100000€. De seguida são-lhe acrescentados 100000€ a cada dia
que passa. Qual o valor da conta ao fim de 10 dias? E ao fim de 30 dias?
8.
Para cada expressão E, determinar o inteiro k tal que k  E  k  1 .
(a)
(g)
9
1
2 2
8
 
(b)
(h)
82
1
92
ESTG/IPB Departamento de Matemática
(c)
(i)
33
1
83
(d)
(j)
Mário Abrantes
3
8
2
5
195
(e)
3
62
(k) 25
1
3
(f)
(l)
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3
641
66
2
7
Matemática I - Gestão
(m)

1
3
3
25
(s) 4  4
3

2
5
ESTG/IPB
(n)
3
64
(o)
1
3
(t) 5.5  5.5

2
5
9
4
1
3
(u) 2  3
(p)
3
122 (q)
70.5
20
1
(r) 34.5 5
1
3
9. Escrever cada uma das expressões na forma decimal.
(a)
 3 10 
2

(b) 9 101

5

(c) 9  101

4
(d)  3  4 
2
10. Determinar as soluções reais das equações.
(a) x2  12
(b) x3  12
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(c) x 2  12
(d) x3  12
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