Conceitos: Derivada de uma função real de variável real Derivada

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Matemática I
2015/16
Curso: Gestão
Departamento de Matemática
ESTG-IPBragança
3.2
Ficha Prática 3 (Parte 2) :
Cap. 3 – Funções Reais de Variável Real (Derivadas e Integrais)
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Conceitos:
Derivada de uma função real de variável real
Derivada num ponto, derivada num intervalo, derivadas laterais, regras de derivação, derivadas de algumas funções
elementares, derivada da função composta (regra da cadeia), derivada da função inversa, teoremas de Rolle (dos zeros
das derivadas) e de Lagrange (da média do cálculo diferencial), regras de L'Hospital, indeterminações, extremos de uma
função num dado intervalo, pontos críticos, esboço do gráfico, problemas de optimização, derivada da função implícita.
Integral Indefinida
Primitiva de uma função, integral indefinida, propriedades, integral indefinida de algumas funções elementares.
---------------------------------------------------------------------------------------------------------------------131. Utilizar a definição de derivada para obter as derivadas das funções seguintes.
(a)
f (x)  mx  b
(b) f (x)  x 2
(c) f (x)  x
(d)
f (x)  a x , a  0,a  1
(e) f (x)  g  x   h  x 
(f) f (x)  g  x   h  x 
132. Calcular as derivadas das funções.
(a)
y2
(d) y  3x
1
2
(e) y  2  2x
(g) y  x 2
(h)
(j)
(b)
y  x 2
(k)
4
(m) y  3 x  4 x
(p)
(s)
5

2
y  2x  ln x  ex
y
 x  1
3
x2
y   
y  3x 2  5x
y  3x
2
x

1
x3
(c)
y  e 2
(f)
y  mx  b
(i)
y  3x 2  5x 
(l)
y  x  x 3
(n)
y  2e  3ln x
(o)
y  2e x  3ln x
(q)
y
x2  x
x2  x
(r)
y
(t)
y
2x x
ex  1
(u)
y  xe x
3
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3
2
1
x 2
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133. Calcular as derivadas das funções.
(a) f (x)  1  x 1  2x 
5

2
(k)
7
2
(m) y  6x  4x

7
2
 2x
 x  1
y

1 x 
(i) y  ln 

1 x 
3
3
(l) y  2x  x  1  (x  1)e x
x2
(n) y 
 x  1
3
(o) y 
3
x2
(s)
ex  1
ex  1
y  7 4x  5
(v)
y   2x 
(p)
y
x
2x
x
(f) y  2x  3
3
3
(h) y  ln 2  x
ye
1 x 

2
(e) y  x  1
4x 5
(j) y  e
(c) y 
x

(d) y   3x 
(g)
1
(b) y 
t3
1  t2
(q) y  e1x
(r) y   ln  3x  2  
(t) y  2 log10  x  1
(u) y  x
(w) y  x 2x
x
(x) y  2x  ln x  e
2
134. Determinar a equação da recta tangente à curva no ponto com a abcissa x indicada.
Dizer se o ponto é ponto de crescimento ou decrescimento da função, ou se é um ponto
crítico.
2
(a) y  x , x  1
(b) y   ln  6x  1 , x  0
1
(c) y  x 3  4, x  2
3
135. Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento das funções.
(a) y 
1
x 2
(b) y  3x 3  3x 2  1
(c) y 
x
136. Determinar os limites.
x2  x  6
x 2 x 2  3x  2
xn
(d) lim x , n 
x  e
(a) lim
137. Calcular
2x
e 1
n
x
, n 
(e) lim
x  ln x
(b) lim
x 0
x
x 1
x2 1
lim  x  ln x 
(c) lim
x 1
(f)
x 
dy d 2 y d 3 y
,
,
.
dx dx 2 dx 3
5
2
(a) y  3x  8x
(b) y  sen x
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(c) y  ln x  2
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138. Determinar y ' .
(a) xy2  2y3  x  2y
(c) arc tg y  1  
(b) x 2 y2  xsen y  0
139. Esboçar os gráficos das funções.
1
x
(d) f (x)  3x 3  2x 2  x  4
(a) f (x) 
(b) f (x) 
1
x2
(e) f (x)  x 
(c) f (t)  1  t 
3
(f) y  arc tg x
1
x 2
2
140. Determinar as dimensões de uma lata cilíndrica, com tampa, com volume V , de forma que
a área da sua superfície exterior seja mínima.
141. Determinar o ponto da curva y  x 2  x que se encontra mais próximo de  7, 0  .
142. Quais as dimensões do rectângulo de perímetro P , de modo que a sua área seja máxima?
143. Calcular as integrais indefinidas.
(a)
(b)
 3dx
  3  e  dx
(d)
x

(g)
  2  3x  dx
(j)
x
 3x
3

(n)
(p)
 e
 e  x  dx
(q)
(s)
 1
x x
  x  3  dx


(v)

x
x

1
3
5
dx
x
1
(l)

(o)
 et
1
  2  t  t  dt
(r)
  2x
 x 2 dx
(m)
 4 x dx
(i)
(k)
1
dx
3
(h)
(e)
(t)
(w)
(c)
 3dx
 3xdx
 x dx
 dx
 2xdx
 x dx
(f)
  2x  3 dx
dx
 x3
3
 x xdx
 et
1
  2  t  t  dt
5
x
xdx
5
2
2
 3 dx
 2x 2  1 dx
(u)

(x)
  2  y
x4
dy
2
1
144. Determinar f (x) tal que  f (x)dx  x 2  e 2x  c .
2
1
145. Encontrar uma primitiva da função f (x)  2  1 que se anule no ponto x  2 .
x
------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Bibliografia: ver bibliografia da disciplina.
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