1. Números

MatemáticaI – Gestão
Departamento de Matemática
ESTG/IPB
1. Números
Números inteiros
100  1
Uma unidade (um)
101  10
Uma dezena (dez)
102  100
Uma centena (cem)
103  1000
Um milhar (mil)
106  1000000
Um milhão (mil milhares)
1012
Um bilião (um milhão de milhões)
Um trilião (Um milhão de biliões)
1018
Nota: No Brasil costuma usar-se: ‘bilhão’ para o número 109 , ‘trilhão’ para o número
1012 , etc; na língua inglesa usa-se: ‘billion’ para o número 109 , ‘trillion’ para o número
1012 , etc. A terminologia portuguesa corresponde à chamada ‘long scale’, enquanto a
terminologia brasileira e inglesa correspondem à chamada ‘short-scale’.
centenas
dezenas
dezenas
unidades
unidades
milhares de milhão
3 4 5 6 2 1 8 7 4 6
centenas de milhão
milhares
dezenas de milhão
milhões
dezenas de milhar
centenas de milhar
Seguem alguns exemplos de escrita de números inteiros por extenso.
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Exemplos1

3456218746: Três mil quatrocentos e cinquenta e seis milhões, duzentos e
dezoito mil, setecentos e quarenta e seis inteiros.

3456218746: Três mil quatrocentos e cinquenta e seis milhões, duzentos e
dezoito mil, setecentas e quarenta e seis unidades.

3456218746: Três mil quatrocentos e cinquenta e seis milhões, duzentos e
dezoito mil, setecentos e quarenta e seis.

23465: Vinte e três mil, quatrocentas e sessenta e cinco unidades.

23465: Vinte e três mil, quatrocentos e sessenta e cinco.
Números decimais
Números decimais são números constituídos por duas partes separadas por um ponto,
‘.’, ou por uma vírgula, ‘,’: a parte inteira fica na esquerda e a parte fraccionária na
direita.
Exemplos



12.345
0.0302
(um número inteiro pode ser escrito como número decimal)
12.0
101  0.1
Uma décima (ou um décimo)
102  0.01
Uma centésima (ou um centésimo)
103  0.001
Uma milésima (ou um milésimo)
106  0.000001
Uma milionésima (ou um milionésimo)
1012
Uma bilionésima (ou um bilionésimo)
1018
Uma trilionésima (ou um trilionésimo)
Nota: No Brasil costuma usar-se: ‘bilionésima’ para o número 109 , ‘trilionésima’ para
o número 1012 , etc; na língua inglesa usa-se: ‘billionth’ para o número 109 ,
‘trillionth’ para o número 1012 , etc.
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A terminologia portuguesa corresponde à
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chamada ‘long scale’, enquanto a terminologia brasileira e inglesa correspondem à
chamada ‘short-scale’.
centésimas
milésimas
décimas
0. 4 5 6 2 1 8 7 4 6
décimas de
milionésima
décimas de
milésima
milionésimas
centésimas
de milésima
Seguem alguns exemplos de escrita de números decimais por extenso.
Exemplos1



3.456: Três unidades e quatrocentas e cinquenta e seis milésimas.
0.34562: Trinta e quatro mil quinhentas e sessenta e duas centésimas de
milésima.
0.0000000002: Duas décimas de milésima de milionésima.
Exercícios
1. Escrever por extenso.
(a) 14.252
(b) 0.23
(c) 0.023
(d) 0.00123
(e) 0.00000002
(f) 10%
(g) 0.05%
(h) 0.15%
(i) 400%
2. Escrever na forma decimal.
(a) 5 104
(b) 5  103
(c) 250  102
(d) 25  1000
(e) 2.5 1000
(f) 0.36  101
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Resolução
1.
(a)
(h)
14.252 : catorze unidades e duzentas e cinquenta e duas milésimas.
0.15% : quinze décimas porcento.
2.
(a)
5 104  50000
(h)
5 103  0.005
2. Igualdades e Desigualdades
Uma igualdade é composta por duas expressões1 separadas pelo símbolo ‘=’ (sinal de
igualdade).
Exemplos

24  6

1
x 1   2x  2
3
A expressão à esquerda do sinal ‘=’ é o primeiro membro da igualdade. A expressão à
direita do sinal ‘=’ é o segundo membro da igualdade. A igualdade A  B lê-se A igual
a B.
Uma desigualdade tem a forma análoga à de uma igualdade, só que o sinal ‘=’ vem
substituído por algum dos quatro sinais seguintes:

maior ou igual (primeiro membro maior ou igual ao segundo membro)

menor ou igual (primeiro membro menor ou igual ao segundo membro)

maior
(primeiro membro maior que o segundo membro)

menor
(primeiro membro menor que o segundo membro)
As igualdades e as desigualdades têm valores lógicos, isto é, representam afirmações
verdadeiras ou falsas.
Exemplos


1
2  4  6 é uma expressão verdadeira
26
é uma expressão falsa
Expressão é qualquer sequência de símbolos.
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 3  2 é uma expressão falsa
 3  3 é uma expressão verdadeira
Exercícios
1. Quais as expressões verdadeiras e quais as que são falsas?
3  3 1
(a)
(b)
45
(c)
(d)
22
2 3

3 4
Resolução
1. (c)
verdadeira.
3. Equações e Inequações
Uma equação é uma igualdade na qual aparecem um ou mais valores desconhecidos,
geralmente representados por letras. Cada valor desconhecido que surge numa
equação designa-se por incógnita.
Exemplos


2x  4  6
2x  3y  3x  2
equação na incógnita x
equação nas incógnitas x e y
Uma inequação é uma desigualdade na qual aparecem incógnitas.
Exemplos


2x  4  6
2x  3y  3x  2
inequação na incógnita x
inequação nas incógnitas x e y
Os valores das incógnitas que fazem verdadeiras as equações e inequações designamse por soluções dessas equações e inequações.
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Exemplos
 x  1 é solução da equação 2x  4  6 , porque 2 1  4  6 é uma expressão verdadeira:
2 1  4  6 equivale a 6  6 .
 x  3 não é solução da equação 2x  4  6 , porque 2  3  4  6 é uma expressão falsa:
2  3  4  6 equivale a 10  6 .
 Todos os números maiores que 4 (por exemplo x  4.2 ) são soluções da inequação x  4 .
Exercícios
1. Resolver as equações.
(a)
3  2x  12 (b)
4x  3x  4
(c)
2
x  x 1
3
(d)
x 2  3x  1  0
4x  3x  4
(c)
2
x  x 1
3
(d)
x 2  3x  1  0
2. Resolver as inequações.
(a)
3  2x  12 (b)
Resolução
1. (c)
2
2
5
3
x  x  1   x  x  1   x  1  x 
3
3
3
5
Esta equação admite uma só solução, x 
3
. Este é o único valor de x que substituído na
5
equação inicial conduz a uma igualdade verdadeira.
2. (c)
2
2
5
3
x  x  1   x  x  1   x  1  x 
3
3
3
5
Esta inequação admite infinitas soluções, como sejam todos os números menores ou iguais
a
3
. Como exemplo, se substituirmos x por 0 na inequação inicial obtemos uma desigualdade
5
verdadeira.
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4. Operações Elementares da Aritmética2
As operações elementares da aritmética (também designadas operações racionais) são
a adição, a subtracção, a multiplicação e a divisão. São operações que somos
solicitados a resolver na maioria dos cálculos, pelo que convém ter alguma
desenvoltura na sua resolução.
Adição
Alinhar as parcelas 12.3 e 97.8
pelos pontos decimais
12.4
+ 97.8
1
12.4
+ 97.8
Da coluna direita para a
esquerda: adicionar os dígitos da
coluna respectiva 8  4  12 ;
escrever 2 no resultado e somar
1 na coluna seguinte.
2
11
12.4
+ 97.8
Repetir o processo com as colunas
seguintes, considerando os dígitos
transportados das colunas anteriores. O
ponto decimal do resultado é alinhado
com os pontos decimais das parcelas.
110.2
Justificação
12.4 = 10 + 2 + 0.4
97.8 = 90 + 7 + 0.8
0.4+0.8 = 1.2 = 1.0 + 0.2
1 para a coluna seguinte e 2 na
coluna presente; o mesmo para as
outras colunas.
2
A Aritmética é uma área da matemática que estuda as propriedades de operações entre números,
como a adição, a subtracção, a multiplicação, a divisão, o cálculo de potências, raízes, logaritmos, etc. É
uma parte fundamental da Teoria de Números (que é uma área de estudo mais alargada).
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Subtracção
3.52
- 1.46
Alinhar o diminuendo 3.51 e o
diminuidor 1.46 pelos pontos decimais
-1
3.52
- 1.46
Da coluna direita para a esquerda,
subtrair os dígitos respectivos; se o de
cima for menor que o de baixo,
adicionar-lhe 10: 12-6=6; escrever 6 no
resultado e subtrair 1 na coluna
seguinte
6
-1
3.52
- 1.46
Repetir o processo com as colunas
seguintes, considerando os dígitos
transportados das colunas anteriores. O
ponto decimal do resultado é alinhado
com os pontos decimais das parcelas.
Exemplo: na 2ª coluna temos 5-4=1;
subtraindo o 1 que vem da 1ª coluna
obtemos 0 no resultado.
2.06
Justificação
3.52 = 3 + 0.5 + 0.02
1.46 = 1 + 0.4 + 0.06
Na coluna 1, para efectuar 0.02 - 0.06 fazemos 0.12 - 0.06 = 0.06; por
tomarmos 0.12 em vez de 0.06 temos de descontar 0.1 ao resultado final ;
é para este efeito que se subtrai 1 na coluna seguinte.
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Multiplicação
3.52
x 14.6
Escrever o multiplicando 3.52 e o
multiplicador 14.6.
3.52
x 14.6
2112
1408
352
Da coluna direita para a esquerda,
multiplicar cada dígito do multiplicador
pelo multiplicando ignorando as casas
decimais; na primeira coluna temos
352 x 6 = 2112; na segunda coluna
temos 352 x 40 = 14080; na terceira
coluna temos 352 x 100 = 35200.
3.52
x 14.6
2112
1408
352
368.192
Adicionar os produtos obtidos. O
número de casas decimais do resultado
é igual à soma dos números de casas
decimais dos factores.
Divisão
Exemplo (divisão inteira – envolve apenas números inteiros): 7  2
7
Escrever o dividendo 7 e o divisor
2
7
2
1
3
Procurar o maior inteiro possível que
multiplicado por 2 produz um resultado
 7 : obtemos o número 3; subtrair ao
dividendo, 7, o produto 3  2  6 :
7  6 1
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10
Dividendo = Divisor x Quociente + Resto
7
=
2
x
3
+
1
Exemplo : 1314  12
1314
1
1
1314
12
11
10
1314
114
06
No dividendo, da esquerda para a
direita, considerar os dígitos suficientes
para obter um número maior ou igual
ao quociente: 13. Dividir 13 por 12.
12
Acrescentar ao resto obtido o dígito
seguinte do dividendo: 1. O resto
obtido, 11, não permite efectuar uma
divisão inteira por 12. Neste caso
acrescentamos um zero no quociente.
12
Acrescentar ao resto obtido o dígito
seguinte do dividendo: 4. Efectuar a
divisão inteira de 114 por 12.
109
Dividendo = Divisor x Quociente + Resto
1314
=
12 x
Exemplo : 13.14  0.12
1.314
0.12
114
0.006
10.9
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109
+
1
Fazemos uma divisão inteira, tal como no exemplo
acima: ignoramos os ‘.’ e os zeros à esquerda até ao
primeiro dígito não nulo, no dividendo e no divisor
– para todos os efeitos vamos dividir 1314 por 12.
Quando o cálculo estiver terminado, as casas
decimais consideram-se da forma seguinte: o ponto
decimal no resto deve ser alinhado pelo ponto
decimal do dividendo; o número de casas decimais
do quociente é igual ao número de casas decimais
do dividendo menos o número de casas decimais do
divisor (neste caso, 3-2=1).
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11
Dividendo = Divisor x Quociente + Resto
1.314
= 0.1 2 x
10.9
+
0.006
Exercícios
1. Resolver mentalmente.
(a) 8  9
(b) 12  5
(e) 8x9
2.
3.
(f)
6x7
(c) 23  32
(d) 123  49
(g) 12x6
(h) 10x342
Efectuar os cálculos.
(a) 2.5  3.7
(b) 4.02  7.5
(c) 0.23  2.34
(d) 2.06  2.06
(e) 1.02  23
(g) 99  88
(h) 0.02  0.034
(f) 12 12 12 12
Representar as seguintes divisões na forma dividendo  divisor  quociente  resto , para os
restos r indicados.
(a) 57  100 r  0
(b) 11 12 r  0.08
(c) 1.1  0.27 r  0.00002
(d) 0.11  0.27 r  0.002
(e) 1.002 : 234 r  0.066
(f) 35.5 : 0.29 r  0.004
(g) 0.01  0.2 r  0
(h) 1.02 : 234 r  0.084
(i) 11.02 :11 r  0.0002
4.
O preço de 8 gramas de um produto médico é de 96 euros.
(a) Qual o preço de um grama do produto?
(b) Quantos gramas de produto se podem adquirir com 1 euro?
5.
Um silo cilíndrico contém 25 toneladas de um certo tipo de granulado. A altura que o
granulado atinge no silo é de 5.75 metros.
(a) Qual a altura correspondente a uma tonelada de granulado?
(b) Qual o peso de granulado correspondente a 1 metro no silo? E a 2.23 metros?
6.
As distâncias em astronomia são medidas em unidades astronómicas (UA), sendo que
1UA  1.496  108 km . A distância mínima entre os planetas Saturno e Terra é de
aproximadamente 7UA. Sabendo que um sinal de rádio viaja pelo espaço a cerca de
300000km / s , calcular o tempo necessário para fazer uma mensagem da Terra chegar a
Saturno (apresentar a resposta em horas).
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