2014 - Colégio Zaccaria

Colégio Zaccaria
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1909 - 2014
Nota:
LISTA
2014
Data:
Aluno(a):
Nº
2101
Turma:
Turno:
Manhã
☼
Professor(a):
Carolina França
LISTA RECUPERAÇÃO – MATEMÁTICA II – 3º BIMESTRE – 2101
1. (Insper 2014) Considere o quadrilátero convexo ABCD mostrado na figura, em que
AB  4cm, AD  3cm e   90.
ˆ e BD  BC, então a medida do lado
Se a diagonal BD está contida na bissetriz do ângulo ABC
CD, em centímetros, vale
a) 2 2.
b) 10.
c) 11.
d) 2 3.
e) 15.
2. (Pucrs 2014) Se 0  x  2π , então o conjunto solução da equação sen(x)  1  cos2 x é
 π


π 
b) S   ; π 
2 
 3π 
c) S   π ; 
 2 
d) S  0;2π
a) S  0; 
2
e) S  0;π
3. (Unicamp 2014) Seja x real tal que cos x  tg x. O valor de sen x é
3 1
.
2
1 3
b)
.
2
5 1
c)
.
2
1 5
d)
.
2
a)
4. (Upf 2014) Dentre as equações abaixo, assinale aquela que tem uma única solução em
π, π.
a)
b)
c)
d)
e)
tg α  1
sen α  0
cos α  1
tg α  0
cos α  2
1
2
5. (Ita 2013) Se cos 2x  , então um possível valor de
cotg x  1
é
cossec(x  π)  sec( π  x)
3
.
2
a)
b) 1.
c) 2.
d) 3.
e) 2.
6. (Espcex (Aman) 2012) O valor numérico da expressão
sec1320
 53π 
2
 2  cos 
   tg2220
2
3


é:
a) 1
b) 0
c)
1
2
d) 1
e) 
3
2
7. (G1 - cftmg 2012) A figura abaixo representa uma circunferência trigonométrica em que MN
é diâmetro e o ângulo α mede
5π
radianos.
6
A razão entre as medidas dos segmentos AB e AC é
a) 26 3.
b) 3.
3
.
2
3
d)
.
3
c)
8. (G1 - ifsc 2012) Se cos (x) 
12
3π
, πx
e x  (3º quadrante), então é CORRETO afirmar
13
2
que o valor de tg (x) é:
a) –5/13.
b) –5/12.
c) 5/13.
d) 5/12.
e) 0,334.
9. (Udesc 2012) A soma de todos os valores de x  0, 2π que satisfazem a equação
cos2  2x   sen2  x   cos6  x  é igual a:
a)
b)
c)
d)
e)
π
2π
5π
3π
4π
10. (Fgv 2012) Em certa cidade litorânea, verificou-se que a altura da água do mar em um
 πx 
 em que x representa o número de horas
 6 
certo ponto era dada por f(x)  4  3cos 
decorridas a partir de zero hora de determinado dia, e a altura f(x) é medida em metros.
Em que instantes, entre 0 e 12 horas, a maré atingiu a altura de 2,5 m naquele dia?
a) 5 e 9 horas
b) 7 e 12 horas
c) 4 e 8 horas
d) 3 e 7 horas
e) 6 e 10 horas
11. (Ifsul 2011) Sabendo-se que senα 
y
sen  90º α  .tan α
1
e que α  2º quadrante, o valor da expressão
2
sec 180º α 
3 3
4
3
b)
4
3 3
c) 
4
3
d) 
4
a)
12. (Uftm 2011) Dado um triângulo isósceles de lados congruentes medindo 20 cm, e o ângulo
α formado por esses dois lados, tal que 4senα  3cosα, determine:
a) O valor numérico de senα.
b) O perímetro desse triângulo.
13. (Ucpel 2011) Sendo x  0, 2π e 2sen2x  3cosx  0, então x vale
a)
b)
c)
d)
e)
π
3
2π
3
2π
5
3π
4
5π
6
14. (Ibmecrj 2010) O valor de m para que exista um ângulo x com cos x 
2
e tg  x   m  2
m 1
é dado por:
a) Um número par.
b) Um número ímpar.
c) Um número negativo.
d) Um número natural maior que 10.
e) Um número irracional.
2
15. (Fgv 2010) No intervalo [0, ð], a equação 8sen x  4
raízes:
a) 5
b) 4
c) 3
d) 2
senx 
1
8
admite o seguinte número de
e) 1
16. (Ufpe 2010) Quantas soluções a equação trigonométrica
sen x =
1  cos x
admite, no intervalo [0, 80 π )?
17. (G1 - cftmg 2008) Na figura, P e Q são pontos da circunferência trigonométrica de centro O
e raio unitário.
sená : ordenada do ponto P
cosá : abscissa do ponto P
senâ : ordenada do ponto Q
cosâ : abscissa do ponto Q
O valor de á + â em radianos, é
a) 2ð
b)
11π
6
c)
13 π
6
d)
25π
12
18. (Pucrj 2008) Assinale o valor de  para o qual sen2  tg.
a)  2
b)  3
c) 2 3
d) 4 3
e) 3 4
19. (G1 - cftmg 2007) Sabendo-se que cos á = 3/5 e 0 < á < ð/2, pode-se afirmar que tg á vale
a) 4/3
b) 1
c) 5/6
d) 3/4
20. (Ueg 2006) Considere x a medida de um ângulo do primeiro quadrante do circulo
trigonométrico e julgue as afirmações a seguir.
I. cos (- x) = - cos x.
II. cos [(ð/2) - x] = sen x.
III. cos (ð - x) + cos x = 0.
IV. cos (2x) = 2 cos x.
Assinale a alternativa CORRETA:
a) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras.
b) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.
c) Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.
d) Apenas as afirmações II e IV são verdadeiras.
Gabarito:
Resposta da questão 1:
[B]
Como AB  4cm, AD  3cm e A  90, pelo Teorema de Pitágoras, segue de imediato que
BD  5cm. Além disso, sendo BD  BC, tem-se que o triângulo BCD é isósceles de base CD.
Logo, se M é o ponto médio de CD, então DMB  90 e MBD 
α
.
2
Do triângulo ABD, obtemos
cos α 
AB
BD

4
.
5
Daí, sabendo que sen θ 
α
1  cos α
sen 

2
2
1
2
1  cos θ
, vem
2
4
5 
1
10
.
Portanto, do triângulo BMD, encontramos
CD
α
1
CD
sen  2 

2 BD
10 2  5
 CD  10 cm.
Resposta da questão 2:
[E]
sen(x)  1  cos2 x
senx  sen2 x  senx  senx  senx  0  S  0,π
Resposta da questão 3:
[C]
Sabendo que tg x 
π
sen x
, com x   kπ e cos2 x  1 sen2 x, vem
cos x
2
cos x  tg x  cos x 
sen x
cos x
 cos2 x  sen x
 sen2 x  sen x  1
2
1
1

  sen x     1
4
2

1
5

2
2
5 1
 sen x 
.
2
 sen x 
Resposta da questão 4:
[C]
É fácil ver que o conjunto solução da equação cos α  1 é unitário em ]  π, π] , ou seja, a única
solução em ]  π, π] é α  π. Todas as outras equações possuem duas soluções em ]  π, π],
exceto cos α  2, que não possui nenhuma solução em .
Resposta da questão 5:
[A]
cotg x  1

cossec(x  π )  sec( π  x)
cos 2x 
cos x
cos x  1
1
senx
senx

  cos x (I)
1
1
1  cos x


senx cos x senx.cos x
1
1
3
3
 2cos2 x  1   cos2 x   cos x  
(II)
2
2
2
2
Substituindo (II) em (I), temos:
3
3
cotg x  1
cotg x  1
=
ou
=  .
2
2
cossec(x  π)  sec( π  x)
cossec(x  π)  sec( π  x)
Resposta da questão 6:
[D]
Temos que
sec1320  sec(3  360  240)
 sec 240
  sec 60
 2,
5π 
 53 π 

cos 
  cos  4  2π 

3 
 3 

5π
 cos
3
π
 cos
3
1

2
e
tg2220  tg(6  360  60)
 tg60
 3.
Portanto,
sec1320
2
1
 53 π 
2
 2  cos 
 2   ( 3)2
  (tg2220) 
2
2
2
 3 
 1  1  3
 1.
Resposta da questão 7:
[B]
AB =  cos
AC = sen
5π
3

6
2
5π 1

6
2
Portanto:
3
AB
2

 3.
1
AC
2
Resposta da questão 8:
[D]
No terceiro quadrante senos e cossenos são negativos. Utilizando a relação fundamental,
temos:
sen2(x) + cos2(x) = 1
2
144
25
5
 12 
sen (x)      1  sen2 (x)  1 
 sen(x)  
 sen(x)   .
169
169
13
 13 
2
Como o arco x tem extremidade no terceiro quadrante, temos: sen(x)  
Calculado a tangente de x.
sen(x)
tg(x) 

cos(x)
5
13  5 .
12 12

13

Resposta da questão 9:
[C]
Sabendo que cos 2x  2cos2 x  1 e sen2 x  1 cos2 x, vem
(2cos2 x  1)2  (1  cos2 x)  cos6 x  cos2 x(cos 4 x  4 cos2 x  3)  0
cos2 x  0

  ou

4
2
cos x  4 cos x  3  0
cos x  0

 ou
 cos x  1
 ou

cos x   3 (impossível)

π
3π
ou x 
x 
2
2

  ou
.
 x  0 ou x  π ou x  2 π
Portanto, a soma pedida é igual a
Resposta da questão 10:
π 3π

 0  π  2π  5π.
2 2
5
.
13
[C]
 πx 
f(x)  4  3cos 

 6 
 πx 
2,5  4  3cos 

 6 
 πx 
1,5  3cos 

 6 
1
 πx 
cos 


2
 6 
πx 2 π
πx 4 π

 k.2π ou

 k.2π para k inteiro
6
3
6
3
Para k = 0, temos x = 4 ou x = 8.
Para k = 1, temos x = 16 (não convém) ou x = 20 h (não convém).
Resposta: 4h e 8h.
Resposta da questão 11:
[B]
O valor da expressão é dado por
sen 
cos 
1

cos 
  sen   cos 
sen(90   )  tg 
y

sec(180   )
cos  
 sen   1  sen2 

1
 1
 1  
2
2

1 3

2 4

3
.
4
2
Resposta da questão 12:
a) Sabendo que sen2 α  cos2 α  1 e cos α 
2
25
4

sen2 α   sen α   1 
sen2 α  1
9
3

3
 sen α  .
5
4
sen α, então:
3
a medida do lado oposto ao ângulo α. Sabendo que cos α 
b) Seja
cos α 
2
4
. Logo, pela Lei dos Cossenos, encontramos:
5
 202  202  2  20  20 
4
 2  800  640
5
 2  160
  4 10 cm.
Portanto, o perímetro do triângulo é dado por:
20  20  4 10  4(10  10)cm.
Resposta da questão 13:
[A]
2sen2 x  3cosx  0
2  (1  cos2 x)  3  cosx  0
2  2cos2 x  3  cosx  0
2cos2 x  3  cosx  2  0
Resolvendo a equação do segundo grau na incógnita cosx, temos:
cosx 
1
ou cos x  2 (não convém)
2
Portanto, o valor pedido é x 
π
.
3
Resposta da questão 14:
[B]
Se cosx =
2
m 1
, temos secx =
m 1
2
tg(x) = m  2 para m  2
Sabendo que, sec2x = 1 + tg2x, temos:
2
2
 m 1

  1 m  2
 2 
Desenvolvendo, temos:
m2 – 6m + 5 = 0 m = 5 ou m =1 (não convém, pois m  2 )
Resposta da questão 15:
[B]
4
3
sen α e sen α  , então
3
5
8 sen
2
3
x
4
3sen3 x
senx
2
1
8
2 senx
1
8
3.sen2x = 2senx –
1
(.4)
4
12.sen2x = 8senx – 1
12.sen2x - 8senx + 1 = 0
Resolvendo a equação do segundo grau na incógnita senx, temos:
senx =
1
1
ou senx =
6
2
Observando a circunferência trigonométrica, notamos que a equação possui quatro raízes no
intervalo dado.
Resposta da questão 16:
Resolvendo para 0  x  2π
senx 
1  cos x  sen2 x  1  cos x  1  cos2 x  1  cos x  cos2 x  cos x  0
π
3π
logo, cosx = 0 ou cos x = 1  x = , x =
(não convém) ou x  0
2
2
Temos então, duas raízes para cada volta e um total de 40 voltas ([0, 80 π )). Logo, o número
de raízes será 40. 2 = 80.
Resposta da questão 17:
[A]
Resposta da questão 18:
[E]
Resposta da questão 19:
[A]
resposta da questão 20:
[C]