Função Exponencial, Inversa e Logarítmica

CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.1
Função Exponencial,
Inversa e Logarítmica
Bruno Conde Passos – Engenharia Civil
Rodrigo Vanderlei - Engenharia Civil
Função Exponencial
Dúvida:
Como são denominadas as funções a seguir? E, qual a
diferença entre elas?
F(x) = 2𝑥
G(x) = 𝑥 2
Função exponencial
Função potência
Função exponencial
A função F(x) = 7𝑥 é chamada de função exponencial,
pois a variável x é o expoente
Em geral, uma função exponencial é uma função
da forma:
F(x) = 𝑎 𝑥
Função exponencial
Se x = n , um inteiro positivo, então:
𝑎𝑛 = 𝑎. 𝑎. 𝑎. 𝑎. 𝑎. 𝑎. 𝑎. 𝑎. 𝑎. 𝑎. 𝑎 … 𝑎. 𝑎
n fatores
F(x) = 2𝑥 para x = 3, temos:
F(3) = 23 = 2.2.2 = 8
Função exponencial
Função exponencial
Se x = -n , um inteiro negativo, então:
𝑎−𝑛
F(x) = 2−𝑥
1
= 𝑛
𝑎
para x = 3, temos:
F(3) =
2−3
=
1
23
=
1
8
Função exponencial
Função exponencial
Se x = 0 , então:
𝑎0 = 1
F(x) = ( 3)𝑥
para x = 0, temos:
F(0) = ( 3)0 = 1
Função exponencial
Se x = p/q, um numero racional, e q ˃ 0 , então:
𝑝
𝑎𝑞
F(x) = (25)
𝑥
para x =
=
1
,
2
𝑞
(𝑎)𝑝
temos:
1
F( )
2
1
2
= (25) =
2
25
1
=5
Gráficos de Função exponencial
Os gráficos dos membros da família de funções y = 𝑎 𝑥
1
( )𝑥
2
1
( )𝑥
3
(
1 𝑥
)
10
10𝑥
3𝑥
2𝑥
Função exponencial
Algumas propriedades dos expoentes:
Se a e b forem números positivos e x e y, números
reais quaisquer, então:
𝑎 𝑥+𝑦 = 𝑎 𝑥 . 𝑎 𝑦
(𝑎 𝑥 )𝑦 = 𝑎 𝑥𝑦
𝑥
𝑎
𝑎 𝑥−𝑦 = 𝑦
𝑎
(𝑎𝑏)𝑥 = 𝑎 𝑥 . 𝑏 𝑥
EXEMPLO 01
Esboce o gráfico da função y = 3 − 2𝑥 e determine seu
domínio e imagem.
Domínio: Todos os números reais
Imagem: (-∞ , 3 )
EXEMPLO 02
Dadas as funções f(x) = 2 x² – 4 e g(x) = 4
se x satisfaz f(x) = g(x), então quanto vale 2x ?
f(x) = g(x)
2 x² – 4 = 4 x² – 2x
2 x² – 4 = (22)x² – 2x
2 x² – 4 = 22(x² – 2x)
2 x² – 4 = 22x² – 4x
x² – 4 = 2x² – 4x
x² – 4x + 4 = 0
x² – 2x,
EXEMPLO 02
∆ = b² – 4.a.c
∆ = (– 4)² – 4.1.4
∆ = 16 – 16
∆=0
x = – b ± √∆
2.a
x = – (– 4) ± √0
2.1
x=4±0
​ 2
x=2
2x = 22 = 4
Funções exponenciais: aplicações
A função exponencial ocorre frequentemente em
modelos matemáticos da natureza e da sociedade.
• Crescimento populacional;
• Reprodução bacteriana;
• Decaimento radioativo;
Exemplo 03:
Suponha que uma amostra de população bacteriana
dobre a cada hora, em um certos intervalos de tempo.
Se o número de bactérias no instante t for P(t), onde t é
medido em horas, e a população inicial for P(0) = 1000,
qual a função que caracteriza essa população?
Exemplo 03:
P(0) = 1000
P(1) = 2P(0) = 2 x 1000
P(2) = 2P(1) = 2² X 1000
P(3) = 2P(2) = 2³ X 1000
Assim:
P(t) = 𝟐𝒕 𝒙 𝟏𝟎𝟎𝟎 = 𝟐𝒕 (𝟏𝟎𝟎𝟎)
O número e
Na função exponencial uma base a pesa muito na
forma como a função 𝑦 = 𝑎 𝑥 cruza o eixo y.
O número e
Essa notação foi escolhida pelo matemático Suíço
Leonhard Euller em 1727.
e = 2,7182818284590452353602874...
Podemos aplicá-lo de forma correta, utilizando apenas
5 casas decimais
e = 2,71828
Exemplo 04
Esboce o gráfico da função 𝑦 = 2(1 − 𝑒 𝑥 ).
Desafio!
Desafio!
(Mack-SP) Calcule o valor da expressão
2n+4 +2n+2 +2n−1
2n−2 +2n−1
𝟖𝟐
Resposta:
𝟑
=
Funções Inversas
Função Injetora
Definição 1;
Uma função f é chamada função injetora se ela
nunca assume o mesmo valor duas vezes, isto é;
𝑓(x1 )≠𝑓(x2 )
sempre que x1 ≠ x2
Teste da Reta Horizontal
Função Injetora
Definição 2;
Seja f uma função injetora com domínio A e imagem
B. Então sua função inversa 𝑓 −1 tem domínio B e
imagem A, sendo definida por
𝑓 −1 y = x
f x =y
Equações de Cancelamento:
𝑓 −1 (f(x)) = x
para todo x em A
f(𝑓 −1 (x)) = x
para todo x em B
Como Achar a Inversa de Uma Função
Injetora
Passo 1: Escreva y = f(x)
Passo 2: Isole x nessa equação, escrevendo-o em
termos de y.
Passo 3: Para expressar 𝑓 −1 como uma função de x,
troque x por y.
A equação resultante é y = 𝑓 −1 (x)
Exemplo 01
Encontre a função inversa de f(x) = 𝑥 3 + 2
Gráfico da Inversa:
g(x) = 𝑥 3
h(x) = 𝑥 1/3
y=x
Exemplo 02
Esboce os gráficos de f(x) = −1 − 𝑥 e de sua função
inversa, usando o mesmo sistema de coordenadas.
Funções Logarítmicas
Funções Logarítmicas
Se a > 0 e a ≠ 1, a função exponencial f(x) = 𝑎 𝑥 é
crescente ou decrescente, e, portanto, injetora pelo
Teste da Reta Horizontal. Assim, existe uma função
inversa 𝑓 −1 , chamada função logarítmica com base
a denotada por 𝐥𝐨𝐠 𝐚 .
Logo;
log a x = y
𝑎𝑦 = x
Propriedade dos Logaritmos
log a 1 = 0, pois a0 = 1;
log a a = 1, pois a1 = a;
log a x = log a y ↔ x = y.
Propriedade dos Logaritmos
Se x e y forem números positivos, então:
log 𝑎 (𝑥𝑦) = log 𝑎 𝑥 + log 𝑎 𝑦
log 𝑎 (𝑥/𝑦) = log 𝑎 𝑥 - log 𝑎 𝑦
log 𝑎 (𝑥 𝑟 ) = r log 𝑎 𝑥
Exemplo 03
Use as propriedades dos logaritmos para calcular
log 2 80 - log 2 5 .
Equações de Cancelamento
log a (𝑎 𝑥 ) = x
𝑎log𝑎 𝑥 = x
Exemplo 04
Calcule:
2(log5 10).(log2 5) =
Como temos um produto de expoentes podemos escrever
a expressão como uma potência de potência. Aplicamos a
propriedade 4 duas vezes e respondemos a questão
(2log2 5 )log5 10 = 5log5 10 = 10
Exemplo 05
Calcule:
log2 3
2 3
=
log2 3
2 3
=
1
.log2 3
3
2
=
1
(2log2 3 )3 =
1
33
=
3
3
Logaritmos Naturais
O logaritmo na base e é chamado logaritmo natural.
log 𝑒 𝑥 = ln x
Equações do cancelamento:
ln(𝑒 𝑥 ) = x
𝑒 ln 𝑥 = x
Exemplo 06
Encontre x se ln x = 5
Exemplo 07
Resolva a equação 𝑒 5−3𝑥 = 10
Fórmula de Mudança de Base
Para todo número a positivo e diferente de 1, temos.
log 𝑎 𝑥 =
ln 𝑥
ln 𝑎
Exemplo 08
Calcule log 8 5, até a sexta casa decimal.
Funções Trigonométricas
Inversas
Funções Trigonométricas
Inversas
Função Seno
Seno com Domínio Restringido
Logo;
sen y = x
𝑠𝑒𝑛−1 x = y
Com;
𝜋
2
- ≤y≤
𝜋
2
Exemplo 01
(a) Calcule
1
−1
𝑠𝑒𝑛 ( )
2
(b) Calcule tg (arcsen
3
)
2
Cosseno com Domínio
Restringido
Logo;
cos y = x
𝑐𝑜𝑠 −1 x = y
Com;
0≤y≤𝜋
Exemplo 02
Encontre o valor exato da expressão 𝑐𝑜𝑠 −1 (-1).
Tangente com Domínio
Restringido
Exemplo 03
Simplifique a expressão cos(𝑡𝑔−1 x).
Obrigado pela atenção!
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