OFICINA DE MATEMÁTICA BÁSICA - MÓDULO II Lista 2

OFICINA DE MATEMÁTICA BÁSICA MÓDULO II
Lista 2
Data da lista:
Preceptor:
Cursos atendidos:
Coordenador:
01/10/2016
Carlos
Todos
Francisco
1. Calcule as potências em R, quando denidas.
(a) 5 7
2
(b) 2 4
3
(c) ( 21 ) 2
1
√
(d) ( 3) 5
4
(e) 9 2
1
(f) 0 8
3
(g) 21 3
(h) 80,666...
(i) 70,4
1
√
20
2. A potência 3
é maior, menor ou igual a 250?
3. Verique quais das sentenças dadas correspondem à lei de uma função
exponencial.
(a) f (x) = 9x
(b) f (x) = (0, 666...)x
1
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
f (x) = (−4x )
y = 2x
y = x2
f (x) = 0x
f (x) = 1x
f (x) = ( 15 )x
4. Dada a função exponencial f (x) = 4x , determine.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
f (3)
f (−1)
f ( 12 )
)
f ( −1
2
m tal que f (m) = 1
D(f) e Im(f)
5. Construa o gráco da função e conrme as observações feitas sobre as
funções exponencias.
(a) f: R em R∗+ denida por f (x) = ( 41 )x
6. Determine as seguintes funções como crescentes (C) ou descrescentes
(D).
(a) f (x) = 4x
(b) f (x) = π x
(c) f (x) = (
√
2 x
√2
)
(d) f (x) = ( 3)x
7. Resolva as equações.
(a) 9 4+3 = 0
(b) 3x − 39x = 8
x
(c) 25 +125
= 5x+1
6
x
8. Numa certa cultura, há 1000 bactérias em detemrinado instante. Após
10 min existem 4000 bactérias. Quantas bactérias existirão em 1 h,
sabendo que elas aumentam através da fórmula P = P0 .ekt , em que
P é o número de bactérias, t é o tempo em horas e k é a taxa de
crescimento?
2
9. Datação arqueológica do carbono 14 . O carbono 14 é um isótopo raro
do carbono presente em todos os seres vivos. Com a morte, o nível de
C14 no corpo começa a decair. Como é um isótopo radioativo de meiavida de 5730 anos, e como é relativamente fácil saber o nível original
de C14 no corpo dos seres vivos, a medição da atividade de C14 em
um fóssil é uma técnica muito utilizada para datações arqueológicas.
A atividade radioativa do C14 decai com o tempo pós-morte segundo a
t
função exponencial A(t) = A0 .( 21 ) 5730 em que A0 é a atividade normal
do C14 no organismo vivo e t é o tempo decorrido em anos após a
morte. Suponha que um fóssil encontrado em uma caverna foi levado
ao laboratório para ter sua idade estimada. Vericou-se que emitia 7
radiação de C14 por grama/hora. Sabendo que o animal vivo emite
896 radiações por grama/hora, qual é a idade aproximada do fóssil?
10. Determine a função exponencial que satisfaz as condições dadas.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
Valor inicila igual a 5, crescente com taxa de 17% ao ano.
Valor inicila igual a 52, crescente com taxa de 2,3% ao dia.
Valor inicila igual a 16, decrescente com taxa de 56% ao ano.
Valor inicila igual a 8, decrescente com taxa de 0,59% por semana.
Valor inicila da população igual a 28900, decrescente com taxa de
2,6% ao ano.
11. Calcule os logaritmos sem usar a calculadora.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
log4 4
log6 1
log2 32
log3 81
√
log5 3 25
√
log6 6 36
log103
log10.000
log100.000
log10−4
√
log 3 10
1
log6 √1000
3
12. Calcule o valor exato da calculadora sem usar a calculadora.
(a)
(b)
(c)
(d)
7log7 3
log6 1
log2 32
log3 81
13. Esboce o gráco da função, e analise seu domínio, sua imagem, sua
continuidade, o comportamento de crescimento ou decrescimento, se é
limitada, se tem extremos, a simetria, as asíntotas, e o comportamento
nos extremos do domínio.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
f (x) = 4.e3x
f (x) = log(x − 2)
f (x) = log(x + 1)
f (x) = −ln(x − 1)
f (x) = −log(x + 2)
f (x) = 3log(x) − 1
f (x) = 5ln(2 − x) − 3
log 1 (9x)
3
14. Encontre o número b > 1 de modo que os grácos de f (x) = bx e sua
inversa f −1 (x) = logb x tenham exatamente um ponto de intersecção.
Qual é o ponto que é comum aos dois grácos?
15. Assumindo que x e y são números positivos, use as propriedades dos
logaritmos para escrever a expressão como uma soma ou uma diferença
de logaritmos, ou como um múltiplo de logaritmos.
(a) ln xy3
(b) log1000x4
2
q
(c) log 4
x
y
√
3
(d) ln √3 xy
16. Escreva a expressão usando somente logaritmo de base 10.
(a) log2 x
(b) log4 x
(c) log 12 (x + y)
4