Movimento Harmônico Amortecido

Movimento Harmônico Amortecido
Conceito Principal
Podemos adicionar um termo de dissipação às equações de movimento de uma mola
para levar em conta as fontes de atrito. Esse termo resiste a uma mudança na
velocidade do bloco, enquanto a constante de Hooke resiste a um deslocamento de
equilíbrio. A Lei de Newton pode ser escrita como
,
onde
é o deslocamento a partir da posição de equilíbrio
constante da mola de Hooke, e
(que tomamos como),
é o coeficiente de amortecimento.
éa
Os tipos de oscilações gerado por essa força podem ser classificados em três tipos:
1. Superamortecido,
; a solução é uma soma de decaimentos exponenciais.
2. Criticamente amortecido,
; a solução é o produto de um termo linear com
um decaimento exponencial de tempo mínimo.
3. Subamortecido,
; a solução é o produto de um decaimento exponencial e
uma senóide.
É frequentemente conveniente escrever esses em termos de um fator de amortecimento
e a frequência natural
Para sistemas tais como suspensões de carros
com uma dada frequência natural, engenheiros buscam ajustar o fator de
amortecimento para atingir o amortecimento crítico, minimizando portanto abalos por
solavancos nas estradas.
Derivação
Aplicando a segunda lei de Newton à equação da força, obtemos
Uma vez que sabemos que a aceleração é somente a segunda derivada da posição,
podemos escrever isso como
ou
com fator de amortecimento
e a frequência natural
A solução
para essa equação diferencial pode ser expressa em uma das três maneiras,
dependendo do sinal de
1.
:
1. Criticamente amortecido,
Quando o fator de amortecimento se iguala à frequência natural, a solução é a soma
de decaimentos exponenciais:
Amortecimento crítico é desejável para virtuamente todas as aplicações de motores
de oscilação uma vez que a solução decai rapidamente.
2. Superamortecido,
A solução pode ser expressa como uma soma de funções de decaimento exponencial:
Quanto maior o valor de , mais devagar a solução decairá, devido ao termo
exponencial dominante Ae
.
3. Subamortecido,
Nesse caso o movimento continua oscilatório com uma amplitude em decaimento.
Isso é usualmente a solução menos desejada para sistemas mecânicos tais como
suspensões de carros. a solução formal é
Nesse caso, quanto menor o valor de , mais devagar essa solução decairá.
Em todos os casos, as constantes A e B são determinadas das condições iniciais do
problema.
Tente ajustar o fator de amortecimento e a frequência natural para ver o que acontece ao
movimento do bloco. Veja se você pode minimizar o tempo de decaimento, isto é, o tempo
que ele leva para os osciladores decaírem para 99% de suas amplitudes originais.
Inic...
Fator
de
Amort
ecimen
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Frequê
ncia
Natura
l,
Limpar
1,0
6,0
11,0
16,0
0,0 20,0
O tempo de decaimento foi 1000.0 segundos.