AMORTECIMENTO EM DINÂMICA DE ESTRUTURAS Sistema típico Amortecimento modelado como viscoso Relembrando: Amortecimento estrutural associa-se a: . Tipo de material . Estágio de deformação ESTRUTURAS - Betão Armado :e.g. de 5 a 9% de crítico - Aço: de 2 a 5% de crítico - Solos: maior complexidade Amortecimento Viscoso Modelo Kelvin- Voigt : P = ku + cu& . A força de amortecimento P depende da taxa de aplicação da deformação, i.e. da velocidade de deformação (strain rate) . Quanto maior essa velocidade , maior a força P que causa a mesma deformação u Se P = P(u, du/dt ) for desenvolvida em série e aproximada mantendo apenas termos lineares na velocidade tem-se a expressão habitual que é suficientemente rigorosa nos casos correntes de dinâmica de estruturas Dissipação de Energia http://ocw.mit.edu/NR/rdonlyres/Materials-Science-and-Engineering/3-11Mechanics-of-MaterialsFall1999 Ciclo de Histerese Amortecimento Histerético Será razoável, nesse caso, manter o modelo P= c du/dt ? Se o movimento do oscilador for harmónico, em regime estacionário i.e. pode escrever-se u = u0 sinωt e obtem-se P = k u0 sinωt + c ωu0 cosωt u = u 0 sin ωt ⎧ ⎨ ⎩P / ku0 = sin ωt + [(ωc) / k ] cos ωt http://mathworld.wolfram.com/Ellipse.html, mostra a equação de elipse para Δ≠0, J>0 e Δ/L<0 , com ⎡a b d ⎤ ⎡a b⎤ ⎢ ⎥ Δ= b c f ,J=⎢ ,L=a+c ⎥ ⎢ ⎥ b c⎦ ⎣ ⎢⎣d f g ⎥⎦ Pode provar-se que P = k u0 sinωt + c ωu0 cosωt é equação de elipse que traduz a força reactiva em função de u, para o caso de haver amortecimento viscoso. Logo, pode usar-se && + cu& + ku = − Mu && g Mu para representar && + V (u& , u ) = − Mu && g Mu e representar os efeitos não lineares de histerese. Amortecimento viscoso “equivalente” ao histerético Energia Potencial Máxima Energia dissipada por ciclo no loop Ue = 0.5 k u02 2π/ ω ΔW = ∫ P(t)du = πcωu 02 0 Resulta: ⎧ ΔW 2πcω = 1 ΔW ⎪ k →β = ⎨ Ue 4π U e ⎪c = c β = 2β Mω cr ⎩ Slide EERI Hipótese: igual velocidade máxima dos dois sistemas a) Tmax=Vmax 0.5Mv 2max = 0.5ku 012 → u 01 = k v M max b) Cria-se rótula na base porque a força resistente é inferior à força elástica última u02 = uy2 + upl Segundo Sistema . Ao esgotar energia cinética, em D, a força de restituição V2 força o movimento no sentido inverso . Energia dissipada quando V=0 é dada por área de OADG . Energia potencial recuperada é dada por área de GDE CONCLUSÃO: A resistência à acção dinâmica pode conseguir-se através de forças de restituição elásticas de grande manitude ou através de forças menores e deformações plásticas se o sistema as admitir A capacidade de deformação plástica chama-se ductilidade. O factor de ductilidade pode definir-se por δu/δy Que factor m se deve impor para reduzir os esforços por um factorR? 1 + R 1 + 1/ R μ= = 2 2R 2 2 2 Obs. Desenvolvendo em série (2x-1), na vizinhança de x=1, obtem-se a aproximação de R=1/μ Propriedade “Empírica”: Devido ao amortecimento, os valores dos deslocamentos máximos, elástico e elastoplástico, são muito semelhantes, para a mesma acção sísmica (Penelis e Kappos, pg. 34) Aceite esta propriedade, a partir da Figura abaixo, por geometria, pode obter-se: Vu 1 R2 = = Vel μ SNUBBERS Snubbers are used where dynamic restraint is required, but the pipe has to be allowed to move thermally. In operation, normal thermal expansion of the pipework causes the piston rod to extend or retractat a velocity less than the lock-up velocity. In this situation, t he snubber is inactive and the devicehas minimal effect on the behaviour of the pipework. In a dynamic situation, shock or vibration forces which cause the rate of displacement of the piston to exceed the lock-up velocity will cause the regulating valves to close and the snubber limits the velocity. The resistive capacity of the unit transfers the force to the structure and reduces the possibility of overstressing the pipe or associated equipment connections. The function of the bleed grooves is to control the velocity after lock-up. For prolonged thrust, the bleed grooves are eliminated and the unit becomes a rigid strut during lock-up.