curso de EB 1o - Instituto Politécnico de Setúbal

INSTITUTO POLITÉCNICO DE SETÚBAL
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
Exercícios de AMI - curso de EB
1o SEMESTRE
Ficha Suplementar de Preparação para o Cálculo - Noções Básicas
Instruções:
Exercícios de realização individual ou em grupo com apoio do professor.
Material necessário:
Livro adoptado: Cálculo Volume I-8a edição, Ron Larson, Robert P. Hostetler, Bruce H. Edwards, McGraw Hill, 2006
Questões:
1. Utilizando o algoritmo da divisão, determine o quociente e o resto da divisão de:
(a) x3 − 3x2 + 1 por x2 − x + 2;
(b) x3 − 2x + 1 por x − 1.
2. Decomponha em factores os seguintes polinómios:
(a) x3 − 3x − 2, sabendo que é divisível por x − 2;
(b) 2x3 + 4x2 − 10x − 12;
(c) x5 − 9x.
3. Resolva as seguintes equações:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
|x| = 2;
|x| = −1;
|x − 1| = 0;
|x − 3| = 4;
|x + 4| = 3;
|2 − x| = 1;
|x + 5| = |x − 5| ;
|x + 1| = |x| ;
|x + 3| = |2x + 1| ;
|−x + 4| = |3x + 1| .
4. Resolva as seguintes inequações:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
|x − 1| > 2;
|x − 1| < 2;
|x + 1| > −2;
|x + 1| < −2;
|x + 3| ≤ 0;
Versão de 26 Set 2012
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
(k)
(l)
|x + 3| ≥ 0;
|x + 3| > 0;
|−x − 3| < 5;
|3x − 3| ≤ 1;
|2x + 1| > 2;
|−4x + 1| ≥ 1;
|1 − 2x| < 2.
5. Resolva as seguintes inequações:
(a) x2 < 4;
(b) x2 ≥ 9;
(c) x2 > 0;
(d) x2 + 4 > 0;
(e) x2 + 4 < 0;
(f) x2 + 2x > −1;
(g) (x + 4) (x − 2) > 0;
(h) x2 + 2x − 3 > 0;
(i) x2 + 2x − 3 ≤ 0;
(j) x2 + 2x + 4 ≥ 1;
(k)
2−x
x+1
≥ 0;
(l)
1
x
≤ 0;
(m)
1
x
< 1;
(n)
1
x+1
≥
2
.
x+2
6. Determine o domínio das seguintes funções:
(a) f (x) =
√1
;
1− x+3
(b) f (x) = √ 1
|x+3|
(c) f (x) =
(d) f (x) =
;
√
x2 + x − 2;
1
√
.
3 2
x +x−2
2
7. Diga se as seguintes afirmações são verdadeiras para qualquer x ∈ R:
(a) cos( π2 − x) = sen x;
(b) cos(x + π2 ) = − sen x;
(c) cos(x − π) = cos x;
(d) cos(−π − x) = cos x;
+ x) = sen x;
(e) cos( 3π
2
+ x) = cos x.
(f) sen( 3π
2
8. Sendo α ∈ [0, π] , tal que cos α =
√1 ,
10
determine o valor de sen (α) .
9. Sendo α ∈ [π, 2π] , tal que tg α = −2, determine o valor de sen (2α) .
10. Mostre que:
1
;
cos2 x
(a) tg2 x = −1 +
(b) cos2 x = 21 (1 + cos (2x)) ;
(c) sen2 x = 12 (1 − cos (2x)) .
11. Determine o domínio das seguintes funções:
(a) f1 (x) = 2 sen x + cos(3x);
(b) f2 (x) =
1
;
2 sen x+1
(c) f3 (x) = sen
1
x
+ tg x;
(d) f4 (x) = esen x ;
(e) f5 (x) =
1
;
etg x
(f) f6 (x) = ln(sen2 x);
√
(g) f7 (x) = sen x + 2;
√
(h) f8 (x) = cos x, para x ∈ [0, π] ;
(i) f9 (x) =
√ 1
,
2 sen x+1
(j) f10 (x) =
√ 1
.
cos x+1
para x ∈ − π2 , π2 ;
3