Lista 1 - FGV/EPGE

Lista 1 - Organização de Mercados - Graduação em Economia - EPGE/FGV
2010
(Concorrência Perfeita e Monopólio)
Professora: Adriana Perez
Monitora: Lavinia Hollanda ([email protected])
1. Seja um monopolista com função custo c(x) = cx, c > 0, e que se depara com uma
função demanda x(p) = Ap " ; " > 0.
(a) Calcule a elasticidade-preço da demanda.
(b) Resolva o problema de maximização do monopolista e encontre a relação preçocusto em função de ".
(c) Mostre que se "
1, o preço ótimo não está bem de…nido.
(d) Como o preço varia com "? O que acontece se " ! 1? E se " !
1?
(e) Como um aumento nos custos é repassado ao preço no caso desta função com
elasticidade constante?
(f) Ache a quantidade que o monopolista escolhe produzir.
Resposta:
a. A elasticidade é dada por A elasticidade é dada por
" 1 :p
dlnx(p)
).
dlnp
"
@x p
:
@p x
= ":Ap
Ap
< 0 (ou por " =
"
Temos então que @x
: p = ":Apx
= ":Apx
":
" =
@p x
b. Existem três formas principais de resolver o problema. A primeira é a seguinte:
M
M ax
p
= p:x(p)
c:x(p) = p:Ap
"
c:Ap
"
CPO: @@p = 0
Ap
"
":Ap
"
+ ":Ap " 1 = 0
p:(" 1) = ":c
pM =
":c
("
1)
1
Segunda maneira de resolver, usando a demanda inversa p = ( Ax ) " e maximizando em x:
M ax
x
M
= p(x):x
A 1
c:x = ( ) " :x
x
CPO: @@x = 0
A 1
( ) " :(1
x
p:(1
1
1
) = c
"
1
) = c
"
c:x
pM =
":c
("
1)
Terceira maneira de resolver:
M
M ax
= p:x(p)
p
c:x(p)
CPO: @@p = 0
x(p) + p:x0 (p) = c:x0 (p)
Dividindo os dois lados por x0 (p) :
x(p)
+p=c
x0 (p)
Coloca p em evidência:
x(p)
p 1+ 0
= c
x (p):p
#
"
1
= c
p 1 + x0 (p):p
x(p)
Como x0 (p) =
chegamos a:
dx(p)
,
dp
x0 (p):p
:
x(p)
temos então que " =
p 1
1
"
Substituindo na expressão,
= c
pM =
":c
("
1)
c. Pela expressão de p acima, vemos que a solução não está de…nida para " 1:
1
Observe que a receita marginal é dada por (" " 1) :( Ax ) " . Logo para " < 1 o
monopolista teria receita marginal negativa. Portanto, não poderia ser um
ponto de ótimo, uma vez que diminuindo a produção ele poderia aumentar o
lucro. Assim, o monopolista só atua na parte elástica da demanda (" > 1).
d. Derivando a expressão obtida no ítem anterior em relação a ", obtemos:
@p
c
=
<0
@"
(1 ")2
Assim, quanto menos elástica a demanda, maior será o preço cobrado pelo
monopolista, isto é, maior o seu poder de mercado, medido pelo markup
sobre o custo marginal (dado por " " 1 ). O aumento da elasticidade equivale,
do ponto de vista do monopolista, a enfrentar um mercado mais competitivo.
Logo, quando " ! 1, o preço se aproxima do custo marginal (p = c), como
pode ser visto pela fórmula acima, o monopolista perde todo o poder de
mercado e a solução competitiva é obtida.
2
e. Temos que @p
= " " 1 > 1. Portanto, o repasse é sempre mais do que propor@c
cional ao aumento nos custos, para esta função de demanda. Além disso,
@
como @"
( " " 1 ) < 0, quanto menor a elasticidade do mercado maior o aumento
de preços devido a um aumento nos custos.
f. Substituindo a expressão do preço, encontrada no ítem (b), na função demanda,
obtém-se que x = A( ""c1 ) " .
2. Um monopolista vende em dois mercados diferentes, sem possibilidade de arbitragem
entre eles. A demanda inversa no mercado 1 é dada por p1 = 100 q1 =2, e a demanda
inversa no mercado é dada por p2 = 100 q2 . O monopolista produz q = q1 + q2 e tem
custo c(q) = q 2 .
(a) Calcule a receita marginal em cada um dos mercados e a receita marginal agregada.
(b) Calcule a quantidade que o monopolista vai vender em cada um dos mercados.
(c) Calcule o lucro total do monopolista.
(d) Suponha agora que o monopolista decida dividir a produção em duas plantas, uma
destinada a cada mercado. Calcule o quanto será produzido em cada mercado.
(e) Calcule o lucro total do monopolista ao dividir a produção. O lucro aumenta ou
diminui em relação ao item (c)? Interprete.
(f) Suponha que seja possível arbitrar entre os mercados (logo, o monopolista não
pode mais discriminar entre os mercados, tendo que vender qualquer unidade ao
preço p). Calcule o preço p, a quantidade total produzida, a quantidade vendida
em cada mercado e o lucro do monopolista. O que acontece com o lucro? Por
quê?
Resposta:
a. e b. Resolvendo o problema do monopolista:
q1
) + q2 :(100
M = q1 :(100
2
CPO:
q1 :
(100
q1 )
(100
2
q2 )
(q1 + q2 )2
2:q1 = 2:q2
3q1 )
= q2
q2 :
(100
2q2 )
2(q1 + q2 ) = 0
(100 4q2 )
= q1
2
Substituindo, temos:
[100
2(100
2
3q1 )]
= q1
q1 = 25
3
q2 =
(100
75)
2
q2 = 12; 5
Para calcular a receita marginal, basta substituir os valores acima na receita
marginal de cada mercado:
Rmg1 = (100
q1 ) = 75
Rmg2 = (100
2q2 ) = 75
c. O lucro total do monopolista será dado por:
M
= 25:(100
M
= 1875
25
) + 12; 5:(100
2
(25 + 12; 5)2
12; 5)
d. O novo problema do monopolista será:
q1
) + q2 :(100
2
Resolvendo esse problema, chegamos a:
M ax
M novo
= q1 :(100
q2 )
q12
q22
100
3
= 25
q1 =
q2
e. O novo lucro é M novo = 2916. O lucro aumenta porque, como o custo marginal
é crescente, vale a pena dividir a produção (a primeira unidade produzida para
atender ao segundo mercado é mais barata em uma nova planta). Note que
estamos ignorando os custos …xos da nova planta, o que poderia alterar o
resultado.
f. O lucro do monopolista diminui quando ele não pode discriminar –com discriminação, o pior possível é o lucro sem discriminação, que pode ser reproduzido.
Para resolver o problema, encontramos q1 e q2 em função de p:
q1 = 200
q2 = 100
2p
p
Em seguida, encontramos q = q1 + q2 e maximizamos:
q = q1 + q2 = 300 3p
M ax p:(300 3p) (300
p
4
3p)2
CPO:
300 6p + 6:(300
300 6p + 1800
3p) = 0
18p = 0
24p = 2100
700
p =
8
Resolvendo para q, q1 e q2 :
q = 300
q = 300
q =
300
8
q1 = 200
q1 = 200
q1 =
3p
700
3:
8
2p
700
2:
8
200
= 25
8
q2 = 100
q2
q2
p
700
= 100
8
100
25
=
=
8
2
Resultados corrigidos:
700
8
300
q =
8
q1 = 25
25
q2 =
2
p =
3. Um monopolista vende em dois mercados, 1 e 2, com elasticidades "1 = 2 e "2 =
4, respectivamente. Suponha, novamente, a possibilidade de discriminação perfeita.
Suponha que o monopolista cobre p1 = 2; 5:p2 . Ele está maximizando? Mostre.
Resposta: Não, ele não está maximizando.
Supondo custo marginal constante, o problema do monopolista é:
M ax(p
p
5
c):q(p)
A solução para este problema é:
p
c
1
p
j"j
, em que j"j é o módulo da elasticidade de cada mercado. Temos, portanto, que;
=
p1 c
1
=
! p1 = 2c
p1
2j
p2 c
1
4
=
! p2 = c
p2
4j
3
Com isso, chegamos à seguinte relação no ótimo:
p1 = 1; 5:p2
4. Considere um monopolista com função demanda inversa P = 90
a C = 200 + 10Q.
5Q e custos iguais
(a) Calcule a quantidade e preço que maximizam o lucro do monopolista.
(b) Calcule o lucro do monopolista.
(c) Suponha que um regulador queira implementar o nível e…ciente de produção.
Obtenha o preço, quantidade e lucro da …rma nesse caso. Você acha que seria
uma política regulatória adequada?
(d) Uma regulação alternativa seria obrigar a …rma produzir no ponto onde o custo
médio iguala a receita média. Calcule o nível de produto, o preço e lucro da …rma
com essa política regulatória.
(e) Argumente através da forma das curvas de custo médio e marginal qual das duas
políticas regulatórias é mais adequada.
Resposta:
a. Resolva o problema (abaixo) do monopolista:
M ax (90
Q
5Q)Q
200
10Q
CPO:
90
10Q
10 = 0
Q = 8
Resolvendo para P:
P = 90
5Q = 50
b. Substituindo os valores de P e Q na fórmula:
M
M
= (90 5Q)Q 200
= 50:8 200 80
= 120
6
10Q
c. Queremos o resultado competitivo (e…ciente). Portanto, queremos que o preço
seja igual ao custo marginal. Temos que Cmg = 10. Então:
P = Cmg
P = 10
Com esse preço, substituindo na curva de demanda, teríamos:
10 = 90
Q = 16
5Q
O lucro da …rma seria então:
C
C
= (90 5Q)Q
= (90 80)16
=
200 < 0
200
200
10Q
160
Portanto, se fosse obrigada a atuar em níveis competitivos, a …rma teria
prejuízo e sairia do mercado - e os consumidores não teriam mais a oferta do
bem. Logo, não seria uma regulação adequada.
d. Para implementar esta alternativa, teríamos que igualar a receita média ao
custo médio:
Rmedia =
90
5Q =
(90
5Q)Q
200 + 10Q
=
= Cmedio
Q
Q
200
+ 10 ! Q ' 12; 9
Q
Substituindo para achar o preço e lucro:
P = 90 5Q
P ' 25; 5
R
R
= (90
' 0
5Q)Q
200
10Q
e. Este exercício mostra um caso típico de monopólio natural, onde Cmedio > Cmg
(se igualam quando Q ! 1), pois a …rma tem custo marginal pequeno e
grande custo …xo. Uma regulação que colocasse a …rma para produzir no nível
competitivo não seria adequada, pois levaria a …rma a ter lucros negativos
e, por conseguinte, sair do mercado. Uma solução seria obrigar a …rma a
produzir no ponto de lucro zero, onde a receita média é igual ao custo médio.
Nesse ponto, como foi visto no item anterior, a …rma produz uma quantidade
maior do que produziria em monopólio, porém sem ter lucro negativo.
7
5. Suponha que o governo pretenda usar instrumentos tributários para diminuir as distorções causadas pelo monopólio.
(a) Sem fazer contas, argumente sobre qual o tipo de tributação (impostos, subsídios)
a ser imposta ao monopolista.
(b) Se a demanda inversa é dada por p(q), onde q é a quantidade e p o preço, e os
custos por cq, mostre o imposto ou subsídio que levaria o monopolista a produzir
a quantidade e…ciente.
(c) Suponha agora que o monopolista depara-se com uma curva de demanda dada
por q = 500 20p. Seu custo marginal de produção
é constante e igual a 20 por unidade. O governo pretende intervir de forma a diminuir
a distorção de mercado. Utilizando as suas respostas dos itens anteriores, calcule o
valor da tributação necessária para implementar preço e quantidade de concorrência
perfeita.
Resposta:
a. A tributação deve ser na forma de um subsídio, uma vez que desejamos que o
monopolista produza uma quantidade maior do que ele produziria normalmente.
O subsídio desloca a curva a curva de custo marginal para baixo, possibilitando
maior nível de produção.
b. O problema do monopolista é:
M axp(q):q
q
cq
tq
CPO:
p(q) + p0 (q)q c t = 0
p(q) + p0 (q)q = c + t
Quero que ele produza o resultado competitivo, logo onde p(q) = c. Utilizando
essa condição na CPO, obtemos o valor de t que leva o monopolista a produzir a
quantidade e…ciente:
t = p0 (q)q < 0
Um imposto negativo, isto é, um subsídio.
c. No resultado competitivo, temos que p = cmg = 20. Logo:
500 q
= 20
20
q = 100
p =
Temos ainda que:
p(q) =
8
1
20
Com isso, chegamos ao subsídio de:
t = p0 (q)q
1
t =
:100 =
20
5
Ou seja, a tributação necessária para implementar preço e quantidade de concorrência perfeita nesse caso sera um subsídio de $5 por unidade.
6. Verdadeiro ou falso: A distorção do monopólio vem da cobrança de um preço maior
do que o preço competitivo.
Resposta: Falso. A distorção do monopólio ocorre porque há unidades do bem que
podem ser produzidas a um custo menor do que a utilidade marginal do bem
nesse ponto e não são vendidas, e apenas por isso: quantidade subótima.
Como a demanda relaciona negativamente preço e quantidade, segue que uma
quantidade subótima está, quase sempre, associada a um preço acima do preço
e…ciente (custo marginal). Se, porém, houvesse outra regra que alterasse o preço
para p=cmg e mantivesse a quantidade subótima (racionamento, por exemplo), a
ine…ciência seria mantida. Por outro lado, se uma regra mantivesse o preço acima
do custo marginal, mas gerasse a quantidade competitiva (p.ex. distribuição dos
bens que o monopolista não vende no mercado para aqueles que têm utilidade
marginal maior do que o custo marginal), haveria e…ciência (um exemplo mais
natural seria o monopolista discriminador de primeiro grau).
9