Exercícios da apostila - capítulos 7 a 9 - (DEP)

Exercícios propostos da apostila do curso
Modelos Probabilísticos Aplicados à Engenharia de Produção
Reinaldo Morabito
Capítulo 7
7.1 Os valores abaixo representam a distribuição de probabilidade de D , a procura diária de um
certo produto. Calcule E (D ) :
d : 1,
P( D  d ) : 0,1,
2,
3,
4,
5
0,1,
0,3,
0,3,
0,2.
7.2 Na produção de petróleo, a temperatura de destilação T (graus centígrados) é decisiva na
determinação da qualidade do produto final. Suponha-se que T seja considerada uma variável
uniformemente distribuída sobre (150, 300) . Admita-se que produzir um galão de petróleo
custe C1 dólares. Se o óleo for destilado a uma temperatura menor que 200º C , o produto final
é conhecido como nafta e se vende por C2 dólares por galão. Se o óleo for destilado a uma
temperatura maior que 200º C , o produto é denominado óleo refinado destilado e se vende por
C3 dólares o galão. Determinar o lucro líquido esperado (por galão).
7.3 Suponha que um dispositivo eletrônico tenha uma duração de vida X (em unidades de
1000 horas), a qual é considerada como uma variável aleatória contínua, com a seguinte fdp:
f ( x)  e  x ,
x0
Suponha que o custo de fabricação de um desses dispositivos seja $ 2,00 . O fabricante vende
a peça por $ 5,00 , mas garante o reembolso total se X  0,9 . Qual será o lucro esperado por
peça, pelo fabricante ?
7.4 Sabe-se que um lote contém 2 peças defeituosas e 8 não-defeituosas. Se essas peças forem
inspecionadas ao acaso, uma após outra, qual será o número esperado de peças que devem ser
escolhidas para inspeção, a fim de removerem-se todas as peças defeituosas ?
7.5 Um lote de 10 motores elétricos deve ser ou totalmente rejeitado ou vendido, dependendo
do resultado do seguinte procedimento: Dois motores são escolhidos ao acaso e inspecionados.
Se um ou mais forem defeituosos, o lote será rejeitado; caso contrário, será aceito. Suponha que
cada motor custe $ 75 e seja vendido por $ 100 . Se o lote contiver 1 motor defeituoso, qual
será o lucro esperado do fabricante ?
1
8
W

X.
.
Seja
,
x

2
3
x2
(a) Calcule E (W ) , empregando a fdp de W
(b) Calcule E (W ) , sem empregar a fdp de W .
7.6 Suponha que X tenha a fdp: f ( x) 
7.7 Um dado equilibrado é jogado 72 vezes. Chamando de X o número de vezes que aparece o
seis, calcule E ( X 2 ) .
7.8 Suponha que X seja uma variável aleatória para a qual E ( X )  10 e V ( X )  25 . Para
quais valores positivos de a e b deve Y  aX  b ter valor esperado 0 e variância 1?
7.9 Suponha que X seja uniformemente distribuída sobre [  a; 3a ] . Determine a variância de
X.
7.10 Um alvo é constituído de três círculos concêntricos de raios
1
3
, 1e
3 . Tiros dentro do
anel exterior valem 4 pontos, dentro do anel seguinte valem 3 pontos, e dentro do anel exterior
velem 2 pontos. Tiros fora do alvo valem zero. Seja R a variável aleatória que representa a
distância do ponto de impacto ao centro do alvo. Suponha que a fdp de R seja
f (r ) 
2
, r  0 . Calcule o valor esperado do escore depois de 5 .
 (1  r 2 )
Capítulo 8
8.1 Se X tiver uma distribuição de Poisson com parâmetro  , e se P( X  0)  0,2 , calcular
P( X  2) .
8.2 O número de navios petroleiros, digamos N , que chegam a determinada refinaria, cada dia,
tem distribuição de Poisson, com parâmetro   2 . As atuais instalações do porto podem
atender a três petroleiros por dia. Se mais de três petroleiros aportarem por dia, os excedentes a
três deverão seguir para outro porto.
(a) Em um dia, qual a probabilidade de se ter de mandar petroleiros para outro porto?
(b) De quanto deverão as atuais instalações serem aumentadas para permitir manobrar todos os
petroleiros, em aproximadamente 90 por cento dos dias ?
(c) Qual o número esperado de petroleiros a chegarem por dia?
(d) Qual o número mais provável de petroleiros a chegarem por dia?
(e) Qual é o número esperado de petroleiros a serem atendidos diariamente?
(f) Qual é o número esperado de petroleiros que voltarão a outros portos diariamente ?
8.3 Suponha-se que a probabilidade de que uma peça, produzida por determinada máquina, seja
defeituosa é 0,2 . Se 10 peças produzidas por essa máquina forem escolhidas ao acaso, qual a
probabilidade de que não mais de uma defeituosa seja encontrada ? Empregue as distribuições
binomial e de Poisson e compare as respostas.
8.4 Uma companhia de seguros descobriu que somente cerca de 0,1 % da população está
incluída em certo tipo de acidente cada ano. Se seus 10.000 seguradores são escolhidos, ao
acaso, na população, qual é a probabilidade de que não mais de que 5 de seus clientes venham a
estar incluídos em tal acidente no próximo ano?
8.5 Um fabricante de filmes produz 10 rolos de um filme especialmente sensível, cada ano. Se
o filme não for vendido dentro do ano, ele deve ser refugado. A experiência passada diz que D ,
a (pequena) procura desse filme, é uma variável aleatória com distribuição de Poisson, com
parâmetro 8. Se um lucro de $ 7 for obtido para cada rolo vendido, enquanto um prejuízo de $
3 é verificado para cada rolo refugado, calcule o lucro esperado que o fabricante poderia
realizar com os rolos que ele produz.
8.6 Suponha que partículas sejam emitidas por uma fonte radioativa e que o número de
partículas emitidas durante um período de uma hora tenha uma distribuição de Poisson com
parâmetro  . Admita que o dispositivo contador, que registra essas emissões, ocasionalmente
falhe no registro de uma partícula emitida. Especificamente, suponha que qualquer partícula
emitida tenha uma probabilidade p de ser registrada.
(a) Se Y for definida como o número de partículas registradas, qual é uma expressão para a
distribuição de probabilidade de Y ?
(b) Calcule P(Y  0) , se   4 e p  0,9 .
8.7 Suponha que um recipiente encerre 10.000 partículas. A probabilidade que uma dessas
partículas escape do recipiente é igual a 0,0004 . Qual é a probabilidade de que mais de 5
escapamentos desses ocorram ? (Pode-se admitir que os vários escapamentos sejam
independentes uns dos outros.)
8.8 Uma fonte radioativa e observada durante 7 intervalos de tempo, cada um de dez segundos
de duração. O número de partículas emitidas durante cada período é contado. Suponha que o
número de partículas emitidas X , durante cada período observado, tenha uma distribuição de
Poisson com parâmetro 5,0 . (Isto é, partículas são emitidas à taxa de 0,5 partículas por
segundo.)
(a) Qual é a probabilidade de que em cada um dos 7 intervalos de tempo, 4 ou mais partículas
sejam emitidas?
(b) Qual é a probabilidade de que em ao menos 1 dos 7 intervalos de tempo, 4 ou mais
partículas sejam emitidas?
8.9 Quatro componentes são reunidos em um único aparelho. Os componentes são originários
de fontes independentes e pi  P ( i-ésimo componente seja defeituoso), i  1,2,3,4.
(a) Estabeleça uma expressão para a probabilidade de que o aparelho completo venha a
funcionar.
(b) Estabeleça uma expressão para a probabilidade de que ao menos 3 componentes venham a
funcionar.
(c) Se p1  p2  0,2 e p3  p4  0,2 , calcule a probabilidade de que exatamente 2
componentes venham funcionar.
8.10 O número de partículas emitidas por uma fonte radioativa durante um período
especificado, é uma variável aleatória com distribuição de Poisson. Se a probabilidade de não
haver emissões for igual a 13 , qual é a probabilidade de que 2 ou mais emissões ocorram?
Capítulo 9
9.1 Suponha que X tenha a distribuição N ( 2; 0,16) . Empregando a tabela da distribuição
normal, calcule as seguintes probabilidades:
(a) P ( X  2,3)
(b) P (1,8  X  2,1) .
9.2 O diâmetro de um cabo elétrico é normalmente distribuído com média 0,8 e variância
0,0004. Qual é a probabilidade de que o diâmetro ultrapasse 0,81?
9.3 Suponha que o cabo no probl. 9.2 seja considerado defeituoso se o diâmetro diferir de sua
média de0,025. Qual é a probabilidade de se encontrar um cabo defeituoso ?
9.4 Suponha-se que a duração da vida de dois dispositivos eletrônicos, D1 e D2 , tenham
distribuições N1 (40; 36) e N1 (45; 9) , respectivamente. Se o dispositivo eletrônico tiver de
ser usado por um período de 45 horas, qual dos dispositivos deve ser preferido? Se tiver de ser
usado por um período de 48 horas, qual deles deve ser preferido?
9.5 Suponha que X tenha distribuição N (  ;  ) . Determine c (como uma função de  e 
), tal que P( X  c)  2 P( X  c) .
9.6 Suponha que a temperatura (medida em graus centígrados) seja normalmente distribuída,
com expectância 50º e variância 4 . Qual é a probabilidade de que a temperatura T esteja entre
48º e 53º centígrados.
9.7 O diâmetro exterior de um eixo, D, é especificado igual a 4 polegadas. Considere D como
uma variável aleatória normalmente distribuída com média 4 polegadas e variância 0,01
(polegadas)2. Se o diâmetro real diferir do valor especificado por mais de 0,05 polegadas e
menos de 0,08 polegadas, o prejuízo do fabricante será $ 0,50 . Se o diâmetro real diferir do
diâmetro especificado por mais de 0,08 polegadas, o prejuízo será de $1,00. O prejuízo L pode
ser considerado uma variável aleatória. Estabeleça a distribuição de probabilidade de L e calcule
E (L) .
9.8 Suponha que X, a carga de ruptura de um cabo (em kg), tenha distribuição N (100; 16) .
Cada rolo de 100 metros de cabo dá um lucro de $25, desde que X  95 , Se X  95 , o cabo
poderá ser utilizado para uma finalidade diferente e um lucro de $10 por rolo será obtido.
Determinar o lucro esperado por rolo.
9.9 Um combustível para foguetes deve conter uma certa percentagem X de um componente
especial. As especificações exigem que X esteja entre 30 e 35 por cento. O fabricante obterá um
lucro líquido T sobre o combustível (por galão), naquelas remessas de combustível que atendam
às especificações, 30  X  35 . Qual deverá ser seu lucro líquido?
9.10 Suponha que X tenha distribuição N (0; 25) . Calcule P (1  X 2  4) .