Introdução à Análise Real

Universidade Federal da Paraíba
Departamento de Matemática
Introdução à Análise Real - 2013.1
Lista 2
Nome/Matrícula: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
Questões:
1. Obtenha uma decomposição do conjunto dos números naturais N =
conjuntos Xn sejam innitos e Xm ∩ Xn = ∅ para quaisquer m 6= n.
S∞
n=1
Xn tal que os
2. Seja a função f : N × N → N dada por f (1, n) = 2n − 1 e f (m + 1, n) = 2m (2n − 1) para
todo (m, n) ∈ N. Prove que f é uma bijeção.
3. Seja {An ; n ∈ N} uma família de conjuntos. Considere os conjuntos
lim sup(An ) :=
\[
Aj
e
lim inf(An ) :=
i∈N j≥i
[\
Aj .
i∈N j≥i
(a) Prove que lim sup(An ) é o conjunto dos elementos que pertencem a An para uma innidade de valores de n e que lim inf(An ) é o conjunto dos elementos que pertencem a
todo An salvo para um número nito de valores de n.
(b) Conclua que lim inf(An ) ⊂ lim sup(An ).
S
(c) Mostre que se An ⊂ An+1 para todo n, então lim inf(An ) = lim sup(An ) = n∈N An .
T
(d) Mostre que se An ⊃ An+1 para todo n, então lim inf(An ) = lim sup(An ) = n∈N An .
(e) Dê exemplo de uma família de conjuntos {An ; n ∈ N} tal que lim inf(An ) 6= lim sup(An ).
4. Seja K um corpo ordenado. Prove que
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
x2 + y 2 = 0 se, e somente se, x = y = 0, x, y ∈ K.
Se x 6= 0 e n ∈ N, então (1 + x)2n > 1 + 2nx.
Se x < 1 e n ∈ N, então (1 − x)n ≥ 1 − nx.
Para todo x ∈ K, tem-se |x − 1| + |x − 2| ≥ 1.
Para todo x ∈ K, tem-se |x − 1| + |x − 2| + |x − 3| ≥ 2.
K é arquimediano se, e somente se, para cada ε > 0 em K, existe nε ∈ N tal que
1
< ε.
2nε
5. Sobre números racionais e irracionais.
(a)
(b)
(c)
Sejam x racional diferente de zero, e y irracional. Prove que xy e x + y são irracionais.
Dê exemplo de dois números irracionais x, y tais que x + y e x · y são racionais.
√
√
Sejam
a,
b
números
racionais
positivos.
Prove
que
a
+
b é racional se, e somente se,
√
√
a e b forem ambos racionais.
√
(d) Sejam p1 , p2 , . . . , pn números primos, dois a dois distintos. Prove que p1 p2 · · · pn é
irracional.
1
6. Seja X =
1
; n ∈ N . Prove que inf(X) = 0.
n
7. Sejam X ⊂ Y conjuntos não vazios limitados de números reais. Prove que
inf(Y ) ≤ inf(X) ≤ sup(X) ≤ sup(Y ).
8. Sejam X e Y conjuntos não-vazios limitados de números reais tais que se x ∈ X e y ∈ Y ,
então x ≤ y . Prove que sup(X) ≤ inf(Y ). Prove que sup(X) = inf(Y ) se, e somente se,
para todo > 0, podem-se obter x ∈ X e y ∈ Y tais que y − x < .
9. Mostre que o conjunto de todos os polinômios com coecientes inteiros é um conjunto enumerável.
10. Mostre que o conjunto de todos os polinômios com coecientes racionais é um conjunto
enumerável.
11. Mostre que o conjunto de todos os polinômios com coecientes irracionais é um conjunto
não enumerável.
12. Mostre que o conjunto de todos os polinômios com coecientes reais é um conjunto não
enumerável.
13. Um número real é dito
√ algébrico se é raiz de um polinômio de coecientes inteiros. Por
exemplo, o número 7 é algébrico pois é raiz do polinômio x2 − 7. Um número real√ é dito
√
2
2
2
,
transcendente
se
não
for
algébrico.
Por
exemplo,
é
sabido
que
os
números
e
,
π
,
e
√ √7
5 , sen(1) e ln(2) não são algébricos.
(a)
(b)
(c)
(d)
Mostre que o conjunto dos números algébricos é enumerável.
Mostre que o conjunto dos números algébricos é denso em R.
Mostre que o conjunto dos números transcendentes não é enumerável.
Mostre que o conjunto dos números transcendentes é denso em R. (Sugestão: primeiro,
prove que se X é o complementar de um conjunto enumerável de números reais, então
para cada intervalo aberto (a, b), a interseção (a, b) ∩ X é não enumerável; segundo, a
partir deste fato que X é denso em R).
Leitura complementar:
• Todo número racional é algébrico.
• O conjunto dos números algébricos é um corpo.
• A não enumerabilidade de R e o problema 13.(a) assegura a existência de números
transcedentes.
• A existência de números transcedentes assegura o fato de que R possui estrutura de
espaço vetorial sobre o corpo Q de dimensão innita.
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