Lista 1 - IME-USP

Instituto de Matemática e Estatística da USP
MPM5608 - Análise Real com aplicações
Lista de Problemas 1 - 1o semestre de 2013
1. O produto do número 142,857 por algum dos números inteiros 2, 3, 4, 5 ou 6 é um número que
é uma permutação cíclica de seus dígitos. Por exemplo, 142, 857 × 4 = 571, 428. Explique tal
propriedade usando a representação decimal de 71 .
√
2. Se q é um número primo e n é número natural maior que 2, sabemos que n q não é racional.
Por quê?
√ √
√
√
√
√
√
3. Prove que 2 + 3, 3 + 5 e 2 + 3 + 5 não são racionais.
√
√
√
4. Sejam n e m números naturais tais que n · m não é racional. Prove que n + m não é
racional.
5. Decida de cada afirmação dada é verdadeira ou falsa. Se for verdadeira, prove. Se for falsa,
mostre um contra-exemplo.
(a) Uma fração irredutível cujo denominador é um número primo tem representação decimal
infinita e periódica.
√
(b) Dados n e m números naturais, então ou n m é natural ou não é racional.
√
(c) Se p e q são números primos distintos então pq não é racional.
(d) O conjunto dos números irracionais é enumerável.
6. Sabemos que todo número racional tem uma representação decimal finita ou infinita períodica. Reciprocamente, toda forma decimal finita ou infinita periódica é a representação de
um número racional. Para representar os números racionais poderiamos utilizar outra base
diferente de 10. Por exemplo, na base 2 a fração 1/2 é representada da forma 0,1111111... As
afirmações anteriores sobre representação decimal dos números racionais são verdadeiras para
representação em outra base?
7. Seja K um corpo ordenado, com N ⊂ K. Prove que as seguintes afirmações são equivalentes:
(a) N não é limitado superiormente em K.
(b) Dados a, b ∈ K, com a > 0, existe n ∈ N tal que n · a > b.
(c) Dado qualquer a > 0 em K, existe n ∈ N tal que 0 <
1
n
< a.
Um corpo K é chamado corpo arquimediano se uma das das proporiedades acima é válida.
8. Mostre que Q é arquimediano. Mostre que R é arquimediano.
9. Prove que se x e y são números reais tais que x < y então existe um número racional r tal que
x < r < y e existe um número irracional s tal que x < s < y.
1
10. Obtenha o supremo e o ínfimo de cada um dos subconjuntos:
A=
n + (−1)n
:n∈N
n
e
( n
)
X 1
B=
:n∈N
2k
k=1
Justifique sua resposta.
11. Sejam A e B dois subconjuntos não vazios de R.
(a) Prove que se A ⊆ B, então inf B ≤ inf A ≤ sup A ≤ sup B.
(b) Sendo A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}, mostre que sup(A + B) = sup A + sup B e que
inf(A + B) = inf A + inf B.
(c) Se A é limitado inferiormente, mostre que −A = {−x : x ∈ A} é limitado superiormente
e sup(−A) = − inf A
(d) Suponha que a ≤ b para todo a ∈ A e todo b ∈ B. Prove que sup A ≤ inf B. Prove ainda
que sup A = inf B se, e somente se, qualquer que seja > 0, existem a ∈ A e b ∈ B tais
que b − a < .
12. Seja A 6= φ um subconjunto de R limitado superiormente. Prove que b = sup A se, e somente
se, para todo > 0 existe a ∈ A tal que b − < a ≤ b.
13. Prove que união enumerável de conjuntos enumeráveis é um conjunto enumerável.
14. Um número real r é dito algébrico se r é raiz de um polinômio com coeficientes inteiros.
√ √
1
, 2, 5 267 são algébricos.
(a) Verifique que os números 2, 13
(b) Prove que o conjunto P de todos os polinômios com coeficientes inteiros é enumerável.
(c) Seja {p1 , p2 , p3 , ...pn ...} uma enumeração de P . Seja An o conjuntos das raízes reais de pn .
Conclua que o conjunto A = ∪∞
n=1 An é enumerável. Mostre que A é denso em R.
(d) Um número real é dito transcendente se não é algébrico. Conclua, de (c), que o conjunto
dos números transcendentes é não-enumerável. Prove que esse conjunto é denso em R.
(e) Pesquise sobre a transcendência do número π e de outros irracionais famosos.
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