1a(B) - Adriano Cattai

U NIVERSIDADE DO E STADO DA B AHIA
D ISCIPLINA: Cálculo I (MAT 065)
S EMESTRE: 2010.1
P ROFESSOR: Adriano Cattai
DATA : 07/07/2010
N OME :
1a AVALIAÇÃO
DA
A PRENDIZAGEM (PARTE B)
I NSTRUÇÕES :
1. Utilize caneta preta ou azul. Todas as questões devem possuir
respostas justificadas;
3. Não use somente símbolos matemáticos, explique os passos da solução
em Português claro e sucinto;
2. É proibido o uso de calculadora e celulares;
4. Todas figuras devem ser acompanhadas de textos explicativos.
Boa Prova!
Q. 1 (3,0). Fazendo uso das propriedades dos limites, avalie (sem o uso da regra de L’Hopsital) cada
limite abaixo.
–Ê
(a) lim
x →0
(b) lim
x →+∞
(c) lim +
x →−1
1
1+
−
|x |

4
1+
x
‹
Ê ™
1
;
|x |
3x +6
;
3
5
−
.
x + 1 x2 − 1
8
>>< x
3
Q. 2 (1,7). Considere a função f (x ) =
>>: 2 − x
x −3
se x < 1
se x = 1
. Exiba o esboço gráfico de f ; determine
2
se 1 < x ≤ 2
se x > 2
os limites laterais de f quando x → 1 e quando x → 2 e, por fim, analise a continuidade desta função.
Q. 3 (1,7). Encontre equações para ambas as retas que são tangentes à curva y = 1 + x 3 e que são
paralelas à reta 12x − y = 1. (Atenção: Use a definição de derivada)
8
>< Ax − 1
Q. 4 (1,8). Determine as constantes A e B de modo que a função f (x ) =
>: Bx −−AA
3
2
contínua.
Q. 5 (1,8). Use a definição de limite para mostrar que lim (3x + 7) = 1.
x →−2
Q. 6 (1,0 (extra)). Use a definição de limite para mostrar que lim x · sen
x →0
1‹
x
= 0.
se 0 6= x < 1
seja
se x = 0
se x ≥ 1
U NIVERSIDADE DO E STADO DA B AHIA
D ISCIPLINA: Cálculo I (MAT 065)
S EMESTRE: 2010.1
P ROFESSOR: Adriano Cattai
DATA : 07/07/2010
N OME :
1a AVALIAÇÃO
DA
A PRENDIZAGEM (PARTE B)
I NSTRUÇÕES :
1. Utilize caneta preta ou azul. Todas as questões devem possuir
respostas justificadas;
3. Não use somente símbolos matemáticos, explique os passos da solução
em Português claro e sucinto;
2. É proibido o uso de calculadora e celulares;
4. Todas figuras devem ser acompanhadas de textos explicativos.
Boa Prova!
Q. 1 (3,0). Fazendo uso das propriedades dos limites, avalie (sem o uso da regra de L’Hopsital) cada
limite abaixo.
√
3
x −1
(a) lim √
;
x →1
x −1
(b) lim (1 + cos(x ))
3sec(x )
;
x →π/2
(c) lim
x →−2
x2 + x + 1
;
x2 − x − 6
8
>< x + 2
Q. 2 (1,7). Considere a função f (x ) =
>: e2 − x
se x < 0
se 0 ≤ x ≤ 1 . Exiba o esboço gráfico de f ; determine
se x > 1
os limites laterais de f quando x → 0 e quando x → 1 e, por fim, analise a continuidade desta função.
x
Q. 3 (1,7). Determine, algebricamente, onde a reta normal à parábola y = x − x 2 no ponto (1, 0) intercepta
a parábola uma segunda vez. Além disso, ilustre, geometricamente, com um esboço gráfico. (Atenção:
Use a definição de derivada)
Q. 4 (1,8). Determine as constantes M e N de modo que a função f seja contínua, em que
8
>
< 2x − N
f (x ) =
7x − 3M
>
: −1 − 2M cos(π + x )
2
se x < 0
se x = 0 .
se x > 0
Q. 5 (1,8). Use a definição de limite para mostrar que lim (3x − 7) = −1.
x →2
2
Q. 6 (1,0 (extra)). Use o teorema do sanduíche para mostrar que lim x · sen
x →0
1‹
x
= 0.
U NIVERSIDADE DO E STADO DA B AHIA
D ISCIPLINA: Cálculo I (MAT 065)
S EMESTRE: 2010.1
P ROFESSOR: Adriano Cattai
DATA : 07/07/2010
N OME :
1a AVALIAÇÃO
DA
A PRENDIZAGEM (PARTE B)
I NSTRUÇÕES :
1. Utilize caneta preta ou azul. Todas as questões devem possuir
respostas justificadas;
3. Não use somente símbolos matemáticos, explique os passos da solução
em Português claro e sucinto;
2. É proibido o uso de calculadora e celulares;
4. Todas figuras devem ser acompanhadas de textos explicativos.
Boa Prova!
Q. 1 (3,0). Fazendo uso das propriedades dos limites, avalie (sem o uso da regra de L’Hopsital) cada
limite abaixo.
√
3
1 + 6x − 1
;
(a) lim
x →0
x
(b) lim
x →+∞
x + 5‹
6x +4
x
;
1
1
(c) lim √
− .
x →0 x x + 1
x
8
>>< 2 − x
2−x
Q. 2 (1,7). Considere a função f (x ) =
>>: x − 4
π
2
se 0 ≤ x ≤ 0
se 2 < x ≤ 3
. Exiba o esboço gráfico de f ; determine
se 3 < x < 4
se x ≥ 4
os limites laterais de f quando x → 2, quando x → 3 e quando x → 4 e, por fim, analise a continuidade
desta função.
π
Q. 3 (1,7). Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f (x ) = cos(x ) quando x0 = . (Atenção:
4
Use a definição de derivada)
Q. 4 (1,8). Por que devemos supor que lim x 2 + b 2 x + a = 0 na hora de determinar as constantes a e b ,
x →2
x 2 + b2x + a
na equação lim
= 5? Determine estas constantes.
x →2
x −2
Q. 5 (1,8). Supondo que lim f (x ) = L, dê um argumento formal usando a definição de limite, com ε e δ,
x →a
para afirmar que lim+ f (x ) = L.
x →a
Q. 6 (1,0 (extra)). Use o teorema do sanduíche para mostrar que lim
x →0
sen(x )
= 1.
x