Introdução à Estatística Profa . Juliana Freitas Pires Departamento de Estatística Universidade Federal da Paraíba - UFPB [email protected] Introdução a Probabilidade Existem dois tipos de experimentos: Determinísticos: Os resultados são sempre os mesmos e determinados pelas condições sob as quais o procedimento seja executado. Exemplo: Ponto de ebulição da água, ponto de congelamento da água, Leis da Física. Não-Determinísticos (Probabilístico ou Aleatório): Os resultados podem variar, mesmo quando são executados sob as mesmas condições. Exemplos de um Experimento Aleatório E1 : Jogar um dado e observar a face acima. E2 : Jogar uma moeda quatro vezes e observar o número de caras obtidas. E3 : Jogar uma moeda duas vezes e observar a sequência obtida. E4 : Em uma linha de produção contar o número de peças defeituosas em um período de 8h. E5 : Duração de vida de uma lâmpada (em horas). Característica de um Experimento Aleatório • • • O experimento pode ser repetido indefinidamente sob as mesmas condições. Embora não sejamos capazes de afirmar o resultado que ocorrerá, seremos capazes de descrever o conjunto de todos os possíveis resultados. Quando o experimento for repetido um grande número de vezes, uma configuração definida ou regularidade surgirá. Obs: Essa regularidade torna possível construir modelos matemáticos que possibilitam analisar cada tipo de experimento. Conceitos Iniciais Espaço Amostral: Para cada experimento E, definimos o espaço amostral (S) como o conjunto de todos os possíveis resultados de E. Exemplo: Considerando o exemplo anterior: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. = {0, 1, 2, 3, 4}. = {kk, cc, kc, ck}, em que k = coroa e c = cara. = {0, 1, 2, . . . , N }, onde N é o número máximo de peças produzidas. S5 = {t|t ≥ 0}, onde t é uma quantidade em horas. S1 S2 S3 S4 Conceitos Iniciais Evento: Dado um espaço amostral S, associado a um experimento E qualquer, definimos como evento qualquer subconjunto desse espaço amostral. Exemplo: Considerando o exemplo anterior: A1 : A2 : A3 : A4 : A5 : um número par ocorre, A1 = {2, 4, 6}. duas caras ocorrem, A2 = {2}. pelo menos uma cara ocorre, A3 = {cc, kc, ck}. todas as peças são perfeitas, A4 = {0}. a lâmpada queima em menos de, 3h A5 = {t|0 ≤ t ≤ 3}. Diagrama de Venn O Diagrama de Venn é a forma gráfica de apresentar conjuntos. Neste diagrama, o espaço amostral (S) é representado por um retângulo e os eventos conjuntos contidos neste retângulo. Operações com eventos Sejam A e B eventos de um espaço amostral S. • União: A ∪ B é o evento que ocorrerá se e somente se A ou B ou ambos ocorrerem. Exemplo: A = {1, 2, 3}, B = {3, 4}, então A∪B = {1, 2, 3, 4} Operações com eventos Sejam A e B eventos de um espaço amostral S. • Intersecção: A ∩ B é o evento que ocorrerá se e somente se A e B ocorrerem simultaneamente. Exemplo: A = {1, 2, 3}, B = {3, 4}, então A ∩ B = {3} Operações com eventos Complementar: Se Ac é o evento complementar de A, então Ac consiste em todos os resultados do espaço amostral que não estejam no evento A. Exemplo: E1 : Jogar um dado e observar a face acima. A = {2, 3, 4}, então Ac = {1, 5, 6} Tipos de eventos Eventos Mutuamente Exclusivos (ou disjuntos): Dois eventos, A e B, são mutuamente exclusivos se não podem ocorrer na mesma tentativa, ou seja, A ∩ B = ∅. Exemplo: A = {2, 4, 6} e B = {1, 3} Tipos de eventos Eventos não mutuamente exclusivos: Se dois eventos podem ocorrer na mesma tentativa, eles não são mutuamente exclusivos, ou seja, A ∩ B 6= ∅. Exemplo: A = {2, 4, 6} e B = {5, 6} Outras operações com eventos Leis de De Morgan: (A ∪ B)c = Ac ∩ B c (A ∩ B)c = Ac ∪ B c Leis Distributivas: A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) Probabilidade Probabilidade: é uma medida com a qual podemos esperar a chance de ocorrência de um determinado evento, atribuindo-a um número (valor) entre 0 e 1. Assim, se temos a certeza de que um evento ocorrerá, diremos que sua probabilidade é 1 (ou 100%), caso contrário (certeza que não ocorrerá) diremos que sua probabilidade é 0 (ou 0%). Se, por exemplo, a probabilidade é 1/4 diremos que existe uma chance de 25% de ocorrência de tal evento. Obs. Para obtermos o resultado em termos de percentual é só multiplicar a probabilidade por 100. Probabilidade Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis: quando associamos a cada ponto amostral ( cada elemento do espaço amostral) a mesma probabilidade, o espaço amostral chama-se equiprovável. S = {a1 , a2 , . . . , an } ↓ ↓ ↓ p1 p2 pn Obs. p1 = p2 = · · · = pn = 1 n Probabilidade Definição Clássica: Seja um evento A qualquer. Temos que: P (A) = Número de elementos no evento A Número total de elementos no espaço amostral S Exemplo: A1 = {sair PAR} = {2, 4, 6} P(A1 ) = 3 1 = = 0, 5 = (50%) 6 2 Exemplo De uma classe com 30 alunos, dos quais 14 são meninos, um aluno é escolhido ao acaso. Qual a probabilidade de: a) o aluno escolhido ser um menino? b) o aluno escolhido ser uma menina? Exemplo Sejam os eventos: A: aluno ser menino, e B: aluno ser menina. a) Número de meninos Número total de alunos 14 = . 30 P (A) = b) Número de meninas Número total de alunos 16 = . 30 P (B) = Exemplo Em um lote com 16 peças contém 14 peças perfeitas e 2 peças defeituosas. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcule a probabilidade de que: a) ela seja perfeita; b) ela seja defeituosa. Exemplo a) P: a peça ser perfeita Número de peças perfeitas Número total de peças 14 = . 16 P (P ) = b) D: a peça ser defeituosa Número de peças defeituosas Número total de peças 2 = . 16 P (D) = Exemplo Experimento (E): Dois dados são jogados. Espaço Amostral (S): Detemine a probabilidade de que: 3 = 0, 083 36 2 B = {a soma seja 11} → P(B) = = 0, 056 36 A = {a soma seja 4} → P(A) = Exemplo Uma urna contem 12 bolas numeradas de 1 a 12. Considere os eventos: A : retirada de bola com número par; B : retirada de bola com número ímpar; C : retirada de bola com número múltiplo de 3; D : retirada de bola com número múltiplo de 5; a) Determine os seguintes eventos: A; B; C; D; Ac ; B c ; C c ; Dc ; (A ∪ B); (C ∪ D); (A ∩ B); (C ∩ D); (C c ∪ D); (C c ∩ D); (C c ∪ Dc ); (C ∩ D)c ; (A ∪ B ∪ C); (B ∪ C ∪ D); (B ∩ C ∩ D); (A ∩ C c ∩ Dc ). b) Detemine as probabilidades associadas aos eventos. c) Os eventos C e D são mutamente exclusivos? Justifique. d) Os eventos A e B são complementares? Justifique. d) Utilizando os eventos, exemplifique as leis de Morgan. Probabilidade Definição axiomática: Seja S um espaço amostral associado a E. A cada evento A associaremos um número real, representado por P (A) e denominado probabilidade de A, que satisfaça os seguintes axiomas. Axiomas: A1. 0 ≤ P(A) ≤ 1; A2. P(S) = 1; A3. Se A e B forem mutuamente exclusivos, ou seja, disjuntos (A ∩ B = ∅), então P(A ∪ B) = P(A) + P(B). Probabilidade Propriedades: P1. Se ∅ é o conjunto vazio, então P(∅) = 0. P2. Se Ac for o evento complementar de A, então P(Ac ) = 1 − P(A). P3. Se A e B são dois eventos quaisquer, então P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B). P4. Se A ⊂ B, então P(A) ≤ P(B). Exemplo Uma bola é retirada ao acaso de uma urna que contém 6 bolas vermelhas, 4 bolas brancas e 5 azuis. Determinar a probabilidade dela: a) b) c) d) e) ser vermelha; ser branca; ser azul; não ser vermelha; ser vermelha ou branca. Exemplo Solução: a) P(V ) = 6 15 = 0, 4; b) P(B) = 4 15 = 0, 27; c) P(A) = 5 15 = 0, 33; d) P(V c ) = 1 − P(V ) = 1 − 0, 4 = 0, 6; e) P(V ∪ B) = P(V ) + P(B) = 0, 4 + 0, 27 = 0, 67 Exercício Em uma seleção para uma vaga de engenheiro mecânico de uma grande empresa verificou-se que dos 100 candidatos 40 tinham experiência anterior, 30 possuíam curso de especialização e 20 possuíam tanto experiência como algum curso de especialização. Escolhendo um candidato ao acaso, qual a probabilidade de que: a) Ele tenha experiência anterior ou algum curso de especialização? b) Ele não tenha experiência anterior nem curso de especialização? • Solução A = {O candidato possui experiência anterior} B = {O candidato possui especialização} P(A) = 0, 4 P(B) = 0, 3 P(A ∩ B) = 0, 2 a) Ele tenha experiência ou algum curso de especialização? P(A∪B) = P(A)+P(B)−P(A∩B) = 0, 4+0, 3−0, 2 = 0, 5. b) Ele não tenha experiência anterior nem curso de especialização? P(Ac ∩ B c ) = P [(A ∪ B)c ] = 1 − P(A ∪ B) = 1 − 0, 5 = 0, 5 Tabela de Contingência • Revela a existência de eventos combinados, e facilita o tratamento probabilístico de tais eventos. • É uma tabela que disponibiliza informações diretamente nas linhas e colunas, e que além dessas informações é possível visualizar também o número de casos comuns às interseções de eventos. Exemplo Perguntou-se a uma amostra de adultos em três cidades se eles gostavam de um novo suco. Os resultados estão a seguir. Determine a probabilidade de sortear um adulto de Natal ou que tenha gostado do suco. P(Natal ∪ Sim) = P(Natal) + P(Sim) − P(Natal ∩ Sim) 250 400 150 500 = + − = = 0, 5 1000 1000 1000 1000 Probabilidade Condicional Definição: A probabilidade de um evento A ocorrer, dado (ou na condição de) que outro evento B já ocorreu. P(A|B) = P(A ∩ B) P(B) Escrevemos essa situação como P(A|B) e lemos “ a probabilidade de A, dado B ”. Exemplo Dois dados são lançados ao acaso. Qual a probabilidade da soma ser igual a 6, dado que o primeiro dado saiu número menor que 3. A = {soma igual a 6} = {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)} B= = = {1o dado com no < 3} {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5), (2, 6)} A ∩ B = {(1, 5), (2, 4)} Logo P (A|B) = 2/36 12/36 = 2 12 = 1 6 Exercício Considerando a tabela anterior. Um adulto é selecionada ao acaso. Determine a probabilidade do adulto: 1 não ter gostado do suco? 2 ser de Natal? 3 ter respondido não, sabendo que ele é de natal? Solução 1 2 3 não ter gostado do suco? 350 P(Não) = 1000 ser de Natal? 250 P(Natal) = 1000 ter respondido não, sabendo que ele é de natal? P(Não ∩ Natal) P(Natal) 95/1000 95 = = = 0, 38 250/1000 250 P(Não|Natal) = Teorema do Produto • • O teorema do produto (ou regra da multiplicação) é utilizado quando temos o interesse em determinar a probabilidade de que dois eventos ocorram em sequência. Sejam A e B dois eventos quaisquer de um mesmo espaço amostral S, então: P(A ∩ B) = P(B) × P(A|B) P(A ∩ B) = P(A) × P(B|A) • Esse teorema é consequência direta da definição de probabilidade condicional. Exemplo • Dois carros são selecionados em uma linha de produção com 12 unidades, 5 delas defeituosas. Determine a probabilidade de ambos os carros serem defeituosos. A = {O 1◦ carro é defeituoso} B = {O 2◦ carro é defeituoso} 5 P(A) = 12 4 P(B|A) = 11 5 4 5 P (A ∩ B) = 12 × 11 = 33 = 0, 1515 Independência • Dois eventos A e B são independentes se a probabilidade de ocorrência do evento B não é afetada pela ocorrência (ou não-ocorrência) do evento A. Isto é, P(B|A) = P(B). • Os eventos A e B são independentes se P(A ∩ B) = P(A) × P(B). • Dois eventos que não são independentes são dependentes. Exemplo Entre os 12 carros de uma linha de produção, 5 têm defeito e 2 são selecionados ao acaso. A = {O 1◦ carro é defeituoso} B = {O 2◦ carro é defeituoso} A probabilidade de o segundo carro ser defeituoso depende de o primeiro ter ou não defeito. Os eventos são dependentes. Exemplo Exemplo de eventos independentes: Dois dados são lançados. Determine a probabilidade de sair 4 em ambos. A = {sair 4 no primeiro} B = {sair 4 no segundo} 1 1 P(B|A) = 4 4 Os eventos são independentes. P(A) = Probabilidade • a) b) c) d) e) Uma urna contém 6 bolas vermelhas, 4 bolas brancas e 5 azuis. Suponha que iremos retirar duas bolas da urna sem reposição. Calcule a probabilidade de ambas serem vermelhas. ambas serem azuis. ambas serem brancas. a primeira vermelha e a segunda azul. a primeira azul e a segunda branca.