estimativa por ponto e por intervalos

1
AULA 6 – PROBABILIDADE
6.1- Introdução.
Probabilidade é uma parte da estatística que estuda os experimentos aleatórios
ou não determinísticos. Os modelos matemáticos podem ser classificados como
determinísticos ou probabilísticos.
Determinísticos: São aqueles que se conhece a priori os seus resultados.
Exemplo: x = v . t
Probabilísticos: São aqueles que não se pode precisar o resultado, depende
“do acaso”.
Exemplos: ▪ Produção de soja numa determinada colheita;
▪ Número de casos de uma doença em 5 anos;
▪ Número de vezes em que um livro é retirado da biblioteca durante o ano;
▪ Etc.
Devido ao fato de a probabilidade ser uma ferramenta importante nos métodos
estatísticos teóricos e práticos, uma introdução ao cálculo de probabilidades é, sempre,
estudada antes da Inferência Estatística (ver aula 1 figura1.1).
Aqui veremos como a incerteza pode ser medida, como podemos associar-lhe
números e como interpretar esses números. Nas próximas aulas veremos como as
probabilidades, associadas às incertezas, nos permite tomar decisões adequadas.
6.2- Conceitos Importantes.
Experimentos: refere-se a qualquer processo de observação ou medida, no
qual denotaremos por E.
Exemplos: ▪ Medir o teor de açúcar no sangue de diabéticos;
▪ Medir a altura dos alunos da sala;
▪ Contagem de quantas ausências um aluno teve em determinada disciplina;
▪ Verificar se uma lâmpada esta ligada ou desligada;
▪ Obter dados para avaliação e predição de tendências na economia, achar fontes
de uma perturbação social, ou estudar a causa de uma doença, etc.
Espaço Amostral: é o conjunto de todos os resultados possíveis de um
experimento, que denotaremos por Ω.
2
Exemplos: ▪ E = escolher 3 dentre 8 professores do departamento de ciência política de uma
universidade para servirem como conselheiros de um clube de ciência política.
Temos então C83  56 maneiras de escolher os três professores, assim
 Ω = {ABC, ABD,…., FGH}, onde A, B, C, D, E, F, G e H representam os nomes
dos professores.
▪ E = jogar um dado e observar a face de cima  Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}.
▪ E = jogar duas moedas e observar o resultado  Ω = {cc ; ck ; kc ; kk}, onde c é
cara e k é coroa.
Eventos: é um conjunto de resultados do experimento com determinados
atributos e sempre é um subconjunto do espaço amostral. Conjuntos sempre são denotados
com letras maiúsculas, A, B, C,.... e os elementos do conjunto com letras minúsculas, exemplo:
A = {a1, a2, a3,...,ar}.
Exemplos: ▪ Seja o experimento, E = lançamento de um dado. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, e os
eventos podem ser:
A = ocorrer número par  A = {2, 4, 6}
B = ocorrer número ímpar  B = {1, 3, 5}
C = ocorrer número menor que 4  C = {1, 2, 3}
▪ Seja o experimento E = jogar 3 moedas e observar o resultado.
Ω = {ccc ; cck ; ckc ; kcc ; ckk ; kck ; kkc ; kkk}, seja o evento
A = ocorrer pelo menos 2 caras  A= {ccc ; cck ; ckc ; kcc}
Em muitos problemas de probabilidade interessam-nos eventos que podem ser
expressos em termos de dois ou mais eventos, formando uniões, interseções e
complementos, assim
A  B  é o evento que consiste de todos os elementos (resultados) contidos em A,
em B ou em ambos;
A  B  é o evento que consiste de todos os elementos (resultados) contidos
simultaneamente em A e em B;
A  é o evento que consiste de todos os elementos (resultados) do espaço
amostral que não estão contidos em A.
3
OBS: Costumamos ler  como “ou”,  como “e”, e A como “não A”. Eventualmente
encontramos A c , ou A’ para denotar o evento complementar, aqui usaremos sempre A .
Exemplo: Considere o experimento que consiste em retirar uma lâmpada de um lote e medir
seu “tempo de vida” antes de se queimar. Um espaço amostral conveniente é
Ω = { t   : t  0},
isto é, o conjunto de todos os números reais não negativos. Se A indicar o evento “o tempo de
vida da lâmpada é inferior a 20 horas”, então A = { t : 0  t  20 }. Esse é um exemplo de um
espaço amostral contínuo, contrastando com os anteriores, que são discretos.
OBS: Seja Ω um espaço amostral finito, com n elementos. Pode-se verificar que 2n nos fornece
o número total de eventos extraídos de Ω.
→ Considerando o espaço todo Ω e o conjunto vazio  como eventos.
Exemplo: Em um departamento de marketing de uma universidade existem 5 professores,
A, B, C, D e E. Se o experimento é sortear um professor para fazer parte de um novo colegiado
de curso então o espaço amostral será: Ω = {A, B, C, D, E}, logo n=5 e existem 25 = 32
eventos que podem ser obtidos desse espaço amostral, são eles


{ }  C50  1 , o conjunto vazio;


{A}, {B}, {C}, {D}, {E} → C15  5 , os 5 conjuntos formados por
um professor;
{A, B}, {A, C}, {A, D}, {A, E}
{B, C}, {B, D}, {B, E}
{C, D}, {C, E}


{D, E}  C52  10 , os 10 conjuntos formados por dois professores;
{A, B, C}, {A, B, D}, {A, B, E}
{A, C, D}, {A, C, E}
{A, D, E}
{B, C, D}, {B, C, E}
{B, D, E}

4

{C, E, D}  C53  10 , os 10 conjuntos formados por três
professores;
{A, B, C, D}, {A, B, C, E}
{A, B, D, E}
{A, C, D, E}


{B, C, D, E}  C54  5 , os 5 conjuntos formados por quatro
professores;


{A, B, C, D, E}  C55  1 , o conjunto formado por todos os
professores.
Eventos Mutuamente Exclusivos: Dois eventos quaisquer A e B são
denominados mutuamente exclusivos, se eles não puderem ocorrer simultaneamente, isto é,
A  B =  . Os eventos complementares são também mutuamente exclusivos, pois sua
interseção é vazia.
Exemplos: ▪ Sejam os seguintes eventos no lançamento de um dado:
A = ocorrer número par  A = { 2, 4, 6}
 A ∩B = 
B = ocorrer número ímpar  B = {1, 3, 5}
▪ Seja o experimento escolher um funcionário, dentre 8, para ser o primeiro a fazer
um curso de aperfeiçoamento no exterior  Ω ={A, B, C, D, E, F, G, H}. Sejam os
eventos:
X = o funcionário tem curso superior completo → X={A, E, F, G, H}
→ X ={B, C, D}
Y = o funcionário tem curso superior incompleto → Y={B, C}
→ Y ={A, D, E, F, G, H}
X  Y =  , os eventos X e Y são mutuamente exclusivos;
X  X =  , os eventos X e X são mutuamente exclusivos;
Y  Y =  , os eventos Y e Y são mutuamente exclusivos.
5
Exercício: Para um experimento relacionado com certo jogo popular que envolve a escolha de
um número de 1 a 75, o espaço amostral é Ω = {1, 2, 3,........, 75}. Considere os eventos:
B = {1, 2,...., 15}
I = {16, 17,...., 30}
N = {31, 32,....., 45}
G = {46, 47,....., 60}
O = {61, 62,....., 75}
Em termos desses eventos, expresse o evento em que o número escolhido é:
(a) maior que 30;
(b) menor do que 16;
(c) no máximo 45;
(d) menor do que 80;
(e) Quais dos dez pares dos eventos B, I, N, G, O são mutuamente exclusivos?
6.3- Probabilidade de um Evento.
Seja o espaço amostral Ω = {a1, a2,...,an} e A um evento com r elementos; A =
{a1, a2,...,ar}, onde r≤ n. Atribuiremos a A a probabilidade P(A), tal que
P(A) = P(a1) + P(a2) +............+ P(ar).
Sendo o modelo probabilístico um modelo teórico para as freqüências relativas,
de suas propriedades podemos obter algumas das propriedades, que estudaremos a seguir.
0  P(A)  1 , pois a freqüência relativa é um número entre 0 e 1.
P(Ω) = 1, para qualquer espaço amostral ( é chamado evento certo);
P(  ) = 0, a probabilidade do evento vazio é zero (é chamado evento
impossível).
6.4- Probabilidade da união de dois eventos.
3o) Se dois eventos quaisquer A e B de um espaço amostral Ω são
mutuamente exclusivos, isto é A  B =  , temos que:
P(A  B) = P(A) + P(B)
Graficamente temos:
6
6.4.1- Regra Geral da Adição.
Se dois eventos quaisquer A e B de um espaço amostral Ω não são
mutuamente exclusivos, isto é A  B ≠  , temos que:
P(A  B) = P(A) + P(B) – P(A  B)
Graficamente temos:
6.4.2- Probabilidade do Evento Complementar.
Se A e A (complementar de A em relação a Ω) são mutuamente exclusivos
(A  A =  ), logo:
P(A  A ) = P(A) + P( A ), como A  A = Ω,
P(  ) = P(A) + P( A ), como P(Ω) = 1,
1 = P(A) + P( A ), ou seja,
P( A ) = 1 - P(A)
6.5- Espaços Amostrais Finitos Equiprováveis.
Quando associamos a cada possibilidade ou elemento do espaço amostral a
mesma probabilidade, o espaço amostral chama-se equiprovável ou uniforme.
7
Se Ω contem n elementos, então a probabilidade de cada elemento será
1
.
n
Assim, se há n elementos igualmente prováveis no espaço amostral Ω e, r elememtos no
evento A então, a probabilidade do evento A é
P(A) =
r
n
=
r
, ou seja,
n
número  de  casos  favoráveis
número  de  casos  possíveis
Lista de Exercícios – Aula 6
1- As probabilidades de 3 jogadores marcarem um penalty são respectivamente 2/4, 4/5, 7/10,
se cada um “cobrar” uma única vez, qual a probabilidade de:
a) todos acertarem; (0,28)
b) apenas um acertar; (0,22)
c) todos errarem? (0,03)
2- A probabilidade de uma mulher estar viva daqui a 30 anos é 3/4 e de seu marido 3/5.
Calcular a probabilidade de:
a) apenas o homem estar vivo daqui a 30 anos; (0,15)
b) somente a mulher estar viva daqui a 30 anos; (0,30)
c) pelo menos um estar vivo daqui a 30 anos; (0,9)
d) ambos estarem vivos daqui a 30 anos? (0,45)
3- Num grupo de 60 pessoas, 10 são advogados, 5 são economistas, e os demais são
administradores. Escolhido ao acaso uma pessoa do grupo, qual a probabilidade de ser:
a) administrador ou advogado; (0,9167)
b) administrador; (0,75)
c) advogado ou economista? (0,25)
4- Três produtos A, B e C, serão lançados no mercado. A probabilidade do produto A ter
sucesso é duas vezes maior que a do produto B, e este (B) duas vezes maior que a do produto
C. Determine:
a) a probabilidade de sucesso para cada produto; (1/7)
b) a probabilidade de sucesso do produto A ou do produto C; (0,7143)
c) A probabilidade do produto B não ter sucesso? (0,7143)
8
5- Suponha que três dígitos (1, 2, 3) sejam escritos em ordem aleatória. Qual a probabilidade
de que ao menos um dígito ocupe o seu lugar próprio? (0,6667)
6- Numa bolsa temos 5 notas de R$10,00 e 4 notas de R$5,00. Qual a probabilidade de ao
retirarmos 2 notas obtermos R$15,00? (0,5556)
7- Numa fábrica 10 empregados têm mais de 30 anos, 4 empregados tem de 25 a 30 anos e 2
empregados tem menos de 25 anos. Sendo que somente um empregado poderá retirar suas
férias em janeiro (devido ao acúmulo de serviço) será sorteado um dos empregados
aleatoriamente entre todos. Qual a probabilidade de:
a) ele não tenha mais de 30 anos; (0,375)
b) ele não tenha de 25 a 30 anos e menos de 25; (0,625)
c) ele tenha mais de 30 anos ou menos de 25 anos? (0,75)
8- Retirando-se 3 bolas de uma urna que contem 5 bolas azuis, 4 vermelhas e 3 amarelas, num
total de 12 bolas. Calcular:
a) qual seria a probabilidade das 3 bolas serem vermelhas; (0,018181)
b) qual seria a probabilidade de se retirar uma bola de cada cor; (0,272727)
c) qual seria a probabilidade de se retirar 3 bolas da mesma cor? (0,068181)
9- Uma classe do curso de administração tem 30 rapazes e 20 moças. Se três alunos forem
selecionados aleatoriamente para formar uma comissão, qual a probabilidade de:
a) todos serem moças; (0,05816)
b) todos serem rapazes; (0,20714)
c) pelo menos duas moças estarem na comissão? (0,348979)
10- Numa grande loja estão esperando para serem contratados 10 interessados, 4 são
mulheres e 6 são homens. Três interessados no emprego são sorteados juntos aleatoriamente.
Calcule a probabilidade:
a) dos 3 serem homens; (0,166667)
b) 2 serem mulheres e 1 homem; (0,3)
c) pelo menos uma ser mulher? (0,833333)
11- Num depósito existem 15 peças de tecido das quais 3 têm defeito de fabricação.
Escolhendo-se aleatoriamente 3 peças, qual a probabilidade de:
a) nenhuma ser defeituosa; (0,483516)
b) todas serem defeituosas; (0,0021978)
c) uma ser defeituosa; (0,435165)
d) duas serem defeituosas; (0,079121)
e) pelo menos uma ser defeituosa? (0,5165)
12- Uma empresa para admitir funcionários realiza uma entrevista num dado dia. No dia
marcado 10 pessoas estão esperando para serem entrevistadas. Elas estão usando emblemas
numerados de 1 a 10. Três pessoas são escolhidas ao acaso e convidadas para saírem
simultaneamente, pois não serão entrevistadas por falta de tempo. O número de seu emblema
é anotado.
a) Qual é a probabilidade de que o menor número de emblema seja cinco? (0,0833)
b) Qual é a probabilidade de que o maior número de emblema seja cinco? (0,05)
BOM TRABALHO !!!