Lista de Exercıcios do Capıtulo 18 I) (a) Ignorando os graus de

Lista de Exercı́cios do Capı́tulo 18
I) (a) Ignorando os graus de liberdade orbitais escreva a Hamiltoniana de um elétron interagindo com um
campo magnético B(t) = B(cos ωt k + sin ωt i). Em t = 0 o estado eletrônico é |ψ(0)i = |+i, autoestado
do operador Hamiltoniano nesse instante. (b) Expandindo |ψ(t)i em autoestados de Ŝz encontre o sistema
de EDOs para os coeficientes. (c) Expandindo |ψ(t)i em autoestados de Ĥ(t) encontre o sistema de EDOs
para os coeficientes. (d) Resolva esse sistema de EDOs, para a condição inicial dada, nos casos ωL ≪ ω
(perturbação abrupta) e ωL ≫ ω (perturbação adiabática), onde ωL = eB/2mc (simplesmente mantenha
no sistema apenas a frequência dominante). Determine o estado eletrônico no instante t = π/ω, quando
o campo magnético está apontando na direção −k. Para sua informação os autoestados de n · Ŝ, onde
n = (sin θ cos ϕ, sin θ sin ϕ, cos θ) são:
|+h̄/2i = cos(θ/2) e−iϕ/2 |+i+sin(θ/2) eiϕ/2 |−i;
|−h̄/2i = − sin(θ/2) e−iϕ/2 |+i+cos(θ/2) eiϕ/2 |−i
d+
c+
−iωL ω/2
d˙+
cos ωt
sin ωt
ċ+
=
; (d)
; (c)
Resp: (b)
= −iωL
−ω/2 iωL
d−
c−
sin ωt − cos ωt
ċ−
d˙−
(ωL ≫ ω): d+ (t) = e−iωL t , d− (t) = 0; (ωL ≪ ω): d+ (t) = cos(ωt/2), d− (t) = − sin(ωt/2).
⇒ No caso adiabático |d+ (t)| = 1 indica que o estado inicial segue a variação de direção de B(t), no caso
abrupto d+ (π/ω) = 0 e d− (π/ω) = −1 indica que o estado, após o campo se inverter, continua sendo |+i.
2
2
2
2
P̂ 2
II) No Hamiltoniano discutido na aula 14, Ĥ(t) = 2m
+ mω2 X̂ − qE X̂e−t /τ , com estado inicial
|ψ(−∞)i = |0i, calcule a probabilidade de o sistema ser encontrado no estado fundamental em t = +∞
usando a teoria de perturbação em 2a ordem. Sua expressão deve ser correta até o(E 2 ). Compare com a
probabilidade de o sistema ter feito uma transição para outros nı́veis calculada em aula. Dica: da integral
2 2 2
2
2 2
(2)
que fornece d0 (+∞) vc só usará a parte real... Resp: P0→0 = 1 − q E 2h̄b 2πτ e−ω τ /2
⇒ Observe como em o(E 2 ) a soma da probabilidade de haver transição (calculada em aula) e a probabilidade de não haver transição é igual a 1.
18.2.2) Para qual dos 4 estados do nı́vel n = 2 pode haver transição (em 1a ordem da teoria de perturbação)?
18.2.3)
I) Calcule a integral hpf |A0 · P̂|100i.
a3 e2 p |A ·p |2
0
f
f
?
II) Qual a dimensão de
mh̄4 c2
III) (a) Integrando a expressão (*), obtida ao final da aula 17, sobre todas as direções de pf obtenha a taxa
de ionização total. (b) Cada ionização absorve h̄ω da radiação, obtenha a quantidade de energia absorvida
por segundo por cada átomo (taxa de absorção de energia). (c) Usando a expressão da intensidade da
radiação (veja prob. IV), supondo que a radiação tem intensidade de 104 W/m2 e que a frequência angular
da radiação é de 3 × 1016 Hz calcule o tempo necessário para ionizar 10% de um conjunto de N átomos.
IV) A intensidade (energia por unidade de área e por unidade de tempo) de uma onda plana polarizada
cE2
ω 2 A2
é, I = 8π0 = 8πc0 (CGS). Obtenha a seção de choque fotoelétrica, σ, igualando a taxa de absorção
(calculada em III) com Iσ. Calcule essa seção de choque para uma radiação de h̄ω = 15eV.
V) Estime a ordem de grandeza (em eV) do termo de dipolo elétrico para uma radiação de frequência
angular ω = 1015 Hz e intensidade I = 106 W/m2 .
VI) Sakurai, Modern Quantum Mechanics, problema 30 do capı́tulo 5 (página 353). O Hamiltoniano é
simplesmente Ĥ(t) = E1 |1ih1| + E2 |2ih2| + γeiωt |1ih2| + γe−iωt |2ih1|, e |ψ(t)i = c1 (t)|1i + c2 (t)|2i. Para
a parte (a) transforme o sistema de EDOs em uma EDO de 2a ordem para c1 (t).
⇒ Observe que a solução exata, na condição de ressonância ω = ω21 , fornece, em tempos pequenos, um
crescimento de |c2 (t)|2 quadrático em t.